【导与练】2010-2012年高考数学 试题汇编 第二节 矩阵与变换(选修4-2) 理(含解析)

第二节 矩阵与变换(选修4
2)
矩阵的线性变换与矩阵的乘法
1.(2011年江苏卷,21B)已知矩阵A=⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡1211,向量β=.求向量α,使得A 2
α=β.
解:A 2
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1211⎥⎦⎤⎢⎣⎡1211=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡3423,
设α=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡y a ,
由A 2
α=β,得⎥⎦⎤⎢⎣⎡3423⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,即⎥⎦⎤⎢⎣⎡++y x y x 3423=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡21,
从而解得
,所以α=⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡21-. 2.(2010年福建卷,理21)已知矩阵M=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡11b a ,N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 02,且MN=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-0202. (1)求实数a,b,c,d 的值;
(2)求直线y=3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程. 解:法一:(1)由MN=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡11b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 02=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++d b bc ad c 22=⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡-0202 从而解得
(2)因为矩阵M 对应的线性变换将直线变成直线(或点),所以可取直线y=3x 上的两点(0,0),(1,3). 由(1)M=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣⎡--1111, 由⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1111,⎥⎦⎤⎢⎣⎡00=⎥⎦⎤⎢⎣⎡00,⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1111⎥⎦⎤⎢⎣⎡31=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-22得
点(0,0),(1,3)在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像分别是点(0,0),(-2,2). 从而直线y=3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程为y=-x. 法二:(1)同法一.
(2)设直线y=3x 上的任意点(x,y)在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像是点(x',y'),
由⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1111⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--y x y x =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-x x 22 得x'=-2x,y'=2x, 所以y'=-x',
即点(x',y')必在直线y=-x 上.
由(x,y)的任意性可知,直线y=3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程为
y=-x.
(1)对于图形变换,首先要分清哪个是变换前的,哪个是变换后的,以及变换的途径,
以防因颠倒而出错.
(2)善于运用线性变换、变换的复合转化为方程组求解
.
逆变换与逆矩阵
3.(2012年上海数学,理3,4分)函数f(x)=
的值域是 .
解析:f(x)=2×(-1)-sin xcos x=-2-sin 2x, 由于-1≤sin 2x ≤1, 所以-≤-2-sin 2x ≤-,
即-≤f(x)≤-.
答案:[-,-]
4.(2012年江苏数学,21B,10分)已知矩阵A 的逆矩阵A -1
=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡--212
14341求矩阵A 的特征值. 解:因为A -1
A=E,所以A=(A -1)-1
.
因为A -1
=⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡--21214341,所以A=(A -1)-1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1232,
于是矩阵A 的特征多项式为f(λ)==λ2
-3λ-4.
令f(λ)=0,解得A 的特征值λ1=-1,λ2=4.
5.(2012年福建卷,理21(1),7分)设曲线2x 2
+2xy+y 2
=1在矩阵A=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡10b a (a>0)对应的变换
作用下得到的曲线为x 2+y 2
=1.
①求实数a,b 的值;
②求A 2
的逆矩阵.
解:①设曲线2x 2+2xy+y 2
=1上任意点P(x,y)在矩阵A 对应的变换作用下的像是P'(x',y').
由⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x =⎥⎦⎤⎢⎣
⎡10b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+y bx ax , 得
.
又点P'(x',y')在x 2
+y 2
=1上,
所以x'2+y'2
=1,
即a 2x 2+(bx+y)2
=1,
整理得(a 2+b 2)x 2+2bxy+y 2
=1, 依题意得
解得
或
因为a>0,所以
②由①知,A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1101,A 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1101⎥⎦⎤⎢⎣⎡1101=⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡1201,
所以|A 2|=1,(A 2)-1
=⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡-1201.。