第二章习题解答

第2章 牛顿运动定律及其应用 习题解答
1．质量为10kg 的质点在xOy 平面内运动，其运动规律为:
543x con t =+(m),5sin 45y t =-(m).求t 时刻质点所受的力．
解:本题属于第一类问题
543
20sin 480cos 4x x x x con t dx v t dt
dv a t dt
=+==-==- 5sin 45
20cos 480sin 4y y y t v t a t
=-==-
12800cos 4()
800sin 4()()800()
x x y y x y F ma t N F ma t N F F F N ==-==-=+=
2．质量为m 的质点沿x 轴正向运动，设质点通过坐标x 位置时其速率为kx （k 为比例系数），求：
（1）此时作用于质点的力；
（2）质点由1x x =处出发，运动到2x x =处所需要的时间。

解:(1) 2()dv dx F m mk mk x N dt dt
=== (2) 22112111ln ln x
x x x x dx dx v kx t x dt kx k k x ==⇒===⎰ 3．质量为m 的质点在合力0F F kt(N )=-（0F ,k 均为常量）的作用下作直线运动，求：
（1）质点的加速度；
（2）质点的速度和位置（设质点开始静止于坐标原点处）.
解:由牛顿第二运动定律 200201000
232000012111262v t x t F kt dv m
F kt a (ms )dt m
F t kt F kt dv dt v (ms )m m F t kt F t kt dx dt x (m )m m ---=-⇒=--=⇒=⎰⎰--=⇒=⎰⎰
4．质量为m 的质点最初静止在0x 处，在力2
F k /x =-(N)（k 是常量）的作用下沿X 轴运动，求质点在x 处的速度。

解: 由牛顿第二运动定律
02120v x x dv dv dx dv F k /x m
m mv dt dx dt dx k vdv dx v ms )mx -=-====-⇒=⎰⎰ 5．已知一质量为m 的质点在x 轴上运动，质点只受到指向原点的引力的作用，引力大小与质点离原点的距离x 的平方成反比，即2
/x k f -=(N)，k 是比例常数．设质点在 x =A 时的速度为零，求
质点在x =A /4处的速度的大小． 解: 由牛顿第二运动定律
02120v x x dv dv dx dv F k /x m
m mv dt dx dt dx k vdv dx v ms )mx -=-====-⇒===⎰⎰ 6．质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力kv (k 为常数)作用，t =0时质点的速度为0v ，证明
(1) t 时刻的速度为v ＝t m k e v )(0-；
(2) 由0到t 的时间内经过的距离为x ＝(k
mv 0)［1-t m k e )(-］； (3)停止运动前经过的距离为)(
0k
m v ； (4)当k m t =时速度减至0v 的e 1，式中m 为质点的质量． 证明: (1) t 时刻的速度为v ＝t m k e v )(0- 0000ln v t k t m v dv F kv m
dt dv k v k dt t v v e v m v m -=-==-⇒=-⇒=⎰⎰
(2) 由0到t 的时间内经过的距离为x ＝(k
mv 0)［1-t m k e )(-］ 00000(1)k t m
x t
k k t t m m dx v v e dt
mv dx v e
dt x e k ---===⇒=-⎰⎰
(3)停止运动前经过的距离为)(0k
m v 在x 的表达式中令t=0得到: 停止运动前经过的距离为)(
0k m v (4)当k m t =时速度减至0v 的e
1，式中m 为质点的质量． 在v 的表达式中令k m t =得到:
01v v e = 7．质量为m 的子弹以速度v 0水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为Ｋ，忽略子弹的重力，求：
(1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；
(2) 子弹进入沙土的最大深度．
解: 由牛顿第二运动定律 (1) dv dv k m kv dt dt v m
=-⇒=- 考虑初始条件,对上式两边积分: 000
v t k t m v dv k dt v v e v m -=-⇒=⎰⎰ (2) max 00max 0
0x k t m mv dx v e dt x dt k ∞-=-⇒=⎰⎰ 8．质量为m 的雨滴下降时，因受空气阻力，在落地前已是匀速运动，其速率为v = 5.0 m/s ．设空气阻力大小与雨滴速率的平方成正比，问：当雨滴下降速率为v = 4.0 m/s 时，其加速度a 多大？(取29.8/g m s =)
解: 由牛顿第二运动定律
雨滴下降未达到极限速度前运动方程为
2mg kv ma -= （1）
雨滴下降达到极限速度后运动方程为
20mg kv -= （2）
将v = 4.0 m/s 代入（2）式得
2max
mg k v = （3） 由（1）、（3）式
22424m a x 16(1)10(1) 3.6/25
v v v a g m s v ===-=⨯-= 9．一人在平地上拉一个质量为M 的木箱匀速前进，如图. 木箱与地面间的摩擦系数μ＝0.6.设此人前进时，肩上绳的支撑点距地面高度为h ＝1.5 m ，不计箱高，问绳长l 为多长时最省力? 解: 由牛顿第二运动定律有
sin 0cos 0T N mg T N θθμ+-=-=
联立以上2式得 ()cos sin mg
T μθθμθ=+
上式T 取得最小值的条件为
tg θμ==
由此得到
2.92l m =≈。