有限元相关知识
有限元基本知识
有限元的基本概念
计算等效节点力 单元特性分析的另一个重要内容是建立单元的外部 "载荷" (包括单元之间的内部 "载荷") 与单元节点物理 量之间的关系。 物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递 到另一个单元。但是，对于实际的连续体，力可以作用 在单元的任意区域或位置 (体积力、分布面力、集中力 等)，也可以在一个单元与相邻单元的公共边 (线、面) 之间进行传递。因而，这种作用在单元上的表面力、体 积力和集中力都需要等效的移到节点上去，也就是用等 效的节点力来代替所有作用在单元上的力。
{u} - 单元中任意点的物理量值，它是坐标的函数： {u} = {u (x,y,z)} [P] - 形状函数，与单元形状、节点坐标和节点自由度等有关 {ue} - 单元节点的物理量值；对于结构位移法可以是位移、转 角或其对坐标的导数。 常用的大型分析软件中基本上是位移+转角。
有限元分析的基本过程
结构分析时一些常用单元的节点自由度 (在单元坐标系中) 杆元：单元形状为线段，变形形式为拉伸和扭转。 在单元坐标系中： 节点自由度为 Tx 和 Rx，其中 x 为杆的轴线。 在总体坐标系中： 三个位移和三个转角 (T1,T2,T3,R1,R2,R3)。 梁元：单元形状为线段，变形形式为拉伸、扭转，以及两个垂 直于轴线方向的弯曲 在单元坐标系中： 节点自由度为 Tx,Ty,Tz,Rx,Ry,Rz。其中 x 为梁的 轴线，Y,z 为梁截面的两个抗弯惯矩主轴方向。 在总体坐标系中： 三个位移和三个转角 (T1,T2,T3,R1,R2,R3)。
有限元分析的基本过程
有限元分析的基本过程
单元形状函数举例 (未必是实际使用的单元)：
(1) 一维单元
a. 杆单元 轴向拉伸和扭转：节点位移自由度为 Tx，Rx 对 2 节点单元 (线性单元)： Tx = a0 + a1 * x Rx = b0 + b1 * x 各有 2 个未知数，可以由 2 个节点的位移值确定； 对 3 节点单元 (二次单元)： Tx = a0 + a1 * x + a2 * x2 Rx = b0 + b1 * x + b2 * x2 各有 3 个未知数，可以法的发展 有限元分析方法最早是从结构化矩阵分析发展而来，逐步推广 到板、壳和实体等连续体固体力学分析，实践证明这是一种非常有 效的数值分析方法。 (1) 有限元方法已发展到流体力学、温度场、电传导、磁场、 渗流和声场等问题的求解计算，目前又发展到求解几个交叉学科的 问题。 例如当气流流过一个很高的铁塔产生变形，而塔的变形又反过 来影响到气流的流动……这就需要用固体力学和流体动力学的有限 元分析结果交叉迭代求解，即所谓"流固耦合"的问题。 (2) 由求解线性工程问题进展到分析非线性问题 线性理论已经远远不能满足设计的要求。 例如：航空航天和动力工程的高温部件存在热变形和热应力， 要考虑材料的非线性 (弹塑性) 问题；诸如塑料、橡胶和复合材料 等各种新材料的出现，也只有采用非线性有限元算法才能解决。
有限元分析及应用难不难
有限元分析及应用难不难有限元分析（Finite Element Analysis，简称FEA）是一种工程分析方法，通过将连续结构分割成有限数量的小元素，通过对这些元素进行数值计算，来近似求解结构的力学性能。
在工程领域中，有限元分析被广泛应用于计算机辅助设计（CAD）、结构力学分析、流体力学分析等方面。
有限元分析的应用非常广泛，其中包括结构强度分析、热传导分析、流体力学分析、电磁场分析等。
在结构强度分析中，有限元分析可以帮助确定结构的受力状况，检验结构的强度和刚度是否满足设计要求，为工程设计提供依据。
在热传导分析中，有限元分析可以用于计算传热问题，例如确定工件的温度分布和热流量。
在流体力学分析中，有限元分析可以模拟流体的流动行为，例如计算液体或气体的速度、压力和流量。
在电磁场分析中，有限元分析可以计算电场、磁场和电磁波等现象。
尽管有限元分析在工程领域中有着广泛的应用，但也存在一定的难度。
首先，有限元分析需要进行大量的计算，因此对于计算机硬件的要求较高，需要有一定的计算资源才能够进行较为复杂的分析。
其次，有限元分析需要进行一系列的前期准备工作，包括建立模型、进行网格划分、确定边界条件等。
这些准备工作需要较为熟练的技能和经验，对于初学者来说可能会有一定的学习曲线。
此外，有限元分析的结果对于模型的准确性和边界条件的合理性有较高的要求，需要进行验证和校正，否则可能会导致分析结果的误差。
尽管有限元分析存在一定的难度，但它也有很多优势。
首先，有限元分析可以对复杂的工程结构进行分析，可以解决一些传统方法难以或无法解决的问题。
其次，有限元分析可以进行模拟试验，通过改变结构参数等来评估设计方案，降低实际试验的成本。
此外，有限元分析还可以进行参数化分析，通过改变模型参数来研究不同因素对结构性能的影响。
这些优势使得有限元分析在工程设计、优化和研究领域中得到了广泛的应用。
在实际应用中，想要进行有限元分析需要具备一定的背景知识和技能。
有限元法及应用知识点总结
• 但是必须指出，无论是虚位移原理还是虚应力原理， 他们所依赖的几何方程和平衡方程都是基于小变形理 论的，他们不能直接应用于基于大变形理论的力学问 题。
4.最小位能原理和最小余能原理
• 明确：最小位能原理是建立在虚位移原理基础上 的，而最小余能原理建立在虚应力原理基础上。
在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性 （包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。
2）几何非线性问题
几何非线性问题是由于位移之间存在非线 性关系引起的。
当物体的位移较大时，应变与位移的关系 是非线性关系。研究这类问题一般都是假 定材料的应力和应变呈线性关系。它包括 大位移大应变及大位移小应变问题。如结 构的弹性屈曲问题属于大位移小应变问题， 橡胶部件形成过程为大应变问题。
• 最小位能原理是指在所有可能位移中，真实位移 使系统总位能取最小值。
• 总位能是指弹性体变形位能和外力位能之和。
• 最小余能原理是指在所有的应力中，真实应力使 系统的总余能取最小值。
• 总余能是指弹性体余能和外力余能总和。
4.最小位能原理和最小余能原理（续）
• 一般而言，利用最小位能原理求得位移近似解 的弹性变形能是精确解变形能的下界，即近似 的位移场在总体上偏小，也就是说结构的计算 模型显得偏于刚硬；而利用最小余能原理求得 的应力近似解的弹性余能是精确解余能的上界， 即近似的应力解在总体上偏大，结构的计算模 型偏于柔软。
平面单元划分原则（续）
• 3）划分单元的形状，一般均可取成三角形或 等参元。对于平直边界可取成矩形单元，有时 也可以将不同单元混合使用，但要注意，必须 节点与节点相连，切莫将节点与单元的边相连。 4）单元各边的长不要相差太大，否则将影响 求解精度。
有限元分析基础知识
2000，4
ANSYS单元分类
1. 杆单元，包括二维杆单元和三维杆单元，线性调节 元，主要包括： LINK1，LINK8，LINK10，LINK11，LINK180等。 2. 弹簧阻尼单元，包括COMBIN系列： COMBIN7,COMBIN14,COMBIN37,COMBIN40等。 3. 质量元，MASS21。
ANSYS/Structural求解功能
ANSYS/Structural求解功能
Static -- 结构静力问题（包括线性和非线性问题） Modal -- 模态振动特性计算分析（结构固有频率和振型） Harmonic -- 谐波分析 Transient -- 瞬态分析 Spectrum -- 谱分析 Eigen Buckling -- 特征值屈曲分析（线性） Substructural -- 子结构分析 。。。。。。
2000，4
有限元分析步骤（续）
• 集合所有单元的平衡方程，集合依据的是所有相邻 单元在公共节点 处的位移相等；建立总体的有限元方程组。 • 引入边界条件 • 求解有限元方程组，得到未知节点位移 • 计算单元应力，对不同的单元，对应力的处理还有不同的方法
2000，4
ANSYS文件结构
二进制文件 Jobname.db （数据库文件） Jobname.dbb （备份文件） Jobname.rst （结构分析结果文件） Jobname.rth （热分析结果文件） Jobname.rmg （电磁场分析结果文件） Jobname.rfl （流体分析结果文件） Jobname.tri （三角化刚度矩阵文件） Jobname.emat （单元矩阵文件） Jobname.esav （单元保存文件）
2000，4
简例（续）
有限元基础知识培训
HB
HRB
HV
第3页/共34页
一、材料基础知识
➢根据经验，大部分金属的硬度和强度之间有如 下近似关系： 低碳钢 σb≈0.36 HB 高碳钢 σb≈0.34 HB 灰铸铁 σb≈0.1 HB
➢因而可用硬度近似地估计抗拉强度。
第4页/共34页
一、材料基础知识
塑性
➢ 材料的塑性是指材料受力时，当应力超过屈服点后， 能产生显著的变形而不立即断裂的性质。
约束：就是消灭自由度！？
有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元间通过节 点连接，并承受一定载荷
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二、CAE基础知识
节点和单元
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二、CAE基础知识
节点和单元
第21页/共34页
二、CAE基础知识
有限单元法特点
第22页/共34页
二、CAE基础知识
有限元求解问题的基本步骤
作用在单元边界上的表面力、 作用在单元内的体积力和集中 力等，都必须等效移置到单元 节点上去，化为相应的单元等 效节点载荷
第25页/共34页
二、CAE基础知识
有限元求解问题的基本步骤
• 定义求解域 • 求解域离散化 • 单元推导 • 等效节点载荷计算 • 总装求解 • 联立方程组求解和结果解释
将单元总装形成离散域的总矩 阵方程（联合方程组） （1）由各单元刚度矩阵组集成 整体结构的总刚度矩阵 （2）将作用于各单元的节点载 荷矩阵组集成总的载荷列阵 求得整体坐标系下各单元刚度矩 阵后，可根据结构上各节点的力 平衡条件组集求得结构的整体刚 度方程
➢ 各向同性与各向异性。
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一、材料基础知识
应力集中与应力集中系数
➢材料会由于截面尺寸改变而引起应力的局部增大， 这种现象称为应力集中。
有限元基本理论
2、虚应力原理
第1章 预备知识
1.4.4 线弹性力学的变分原理
1、最小位能原理
第1章 预备知识
设：
第1章 预备知识
2、最小余能原理
第1章 预备知识
第1章 预备知识
第2章 弹性力学有限元
2.1 平面问题3结点三角形单元
第2章 弹性力学有限元
2.1.1 单元位移模式及插值函数
第2章 弹性力学有限元
取：
则：
2.3.3 3结点环状单元的等效结点荷载
第2章 弹性力学有限元
例：计算3结点环状单元自重荷载
由面积坐标
第2章 弹性力学有限元
积分
则：
2.4 空间问题有限元
2.4.1 4结点四面体单元
第2章 弹性力学有限元
1、位移函数
第2章 弹性力学有限元
其中：
代入结点坐标得：
有限元基本理论
目 录
第1章 预备知识 第2章 弹性力学有限元 第3章 单元插值函数的构造 第4章 杆件结构力学问题 第5章 平板弯曲问题 第6章 应用中的若干问题 第7章 材料非线性问题
第1章 预备知识
1.1 引言
数值分析方法
有限差分法
微分方程近似解法
有限单元法
几何形状规则
几何形状规则
则两项近似解为：
力矩法
一项近似解，取W1=1（0≤x≤1）
则一项近似解为：
由
第1章 预备知识
两项近似解，取W1=1，W2=x
由
则两项近似解为：
伽辽金法
第1章 预备知识
一项近似解，取W1= N1 = x(1-x)
由
则一项近似解为：
两项近似解，取W1= N1= x(1-x) ，W2= N2 = x2(1-x)
有限元的基本理论知识
位移函数
对三角形单元,假定单元内的位移分量是坐标的线性函数
u = β1 + β 2 x + β 3 y v = β4 + β5 x + β6 y
u= 1 {(ai + bi x + ci y)ui + (a j + b j x + c j y)u j + (a m + bm x + cm y )u m } 2A 1 {(ai + bi x + ci y)vi + (a j + b j x + c j y)v j + (am + bm x + cm y)vm } v= 2A 1 xi y i ai = x j y m x m y j , bi = y j y m , ci = x m x j 1 A = 1 x j y j a j = x m y i xi y m , b j = y m y i , c j = xi x m 2 1 x m y m a m = x i y j x j y i , bm = y i y j , c m = x j x i
S {δ }
{σ } = [D ][B ]{δ }e = [S ]{δ }e
1 [D] = E 2 1 0
= Si
[
Sj
]
e
0 1 0 1 0 2
bi E b [S i ] = i 2 2(1 ) A 1 c 2 i
ci
ci 1 bi 2
单元刚度矩阵
e
X
e j
Y
e j
X
ห้องสมุดไป่ตู้
e m
Y
e T m
第1章UG-NX有限元分析入门-–基础实例资料
如图所示为一对齿轮传动副，各个零件材料均为20CrMoH钢，其中件1为主动齿轮，件2为从动齿轮。在传递动力时，件1主动齿轮角速度为500 rev/min,件2从动齿轮受到100N.mm的扭矩，计算齿轮啮合区域（啮合区域有A、B二处，如图1-47 所示）最大的位移变形量和冯氏应力值。
1）新建【Gear1】FEM模型
调出主动齿轮模型，其名称为【Gear1】。 依次左键单击【开始】和【高级仿真】，在【仿真导航器】中单击【Gear1.prt】节点，右键单击出现的【新建FEM】选项，弹出【新建部件文件】对话框，在【新文件名】下面的【名称】选项中将【fem1.fem】修改为【Gear1_fem1.fem】，通过单击图标，选择本实例高级仿真相关数据存放的【文件夹】，单击【确定】按钮。 弹出【新建FEM】对话框，默认【求解器】和【分析类型】中的选项，单击【确定】按钮，即可进入创建有限元模型的环境。
【gear2】网格划分后示意图
仿真导航器新增节点
（2）建立FEM装配模型
返回至高级仿真的初始界面,新建【Gears.prt】模型，新建【Gears.prt】装配FEM模型：
默认参数单击确定
1）添加组件
在【仿真导航器】窗口单击【Gears_assyfem1.afm】节点，右键单击弹出的【加入已存的组件】命令：
第1章 UG NX有限元分析入门 –基础实例
本章内容简介 本章简要介绍零件和装配件结构静力学有限元分析的具体工作流程和操作步骤，为后续学习和掌握较为复杂零件、装配件的静力学结构分析以及其他有限元分析类型打下基础。
本书以实例教学内容为主
1.1 UG NX有限元入门实例1—零件受力分析
仿真导航器新增节点
单击确定
有限单元法的基本思想
α1 α4
α2 x α5 x
α3 α6
y y
应变
x 2， y 6， xy 3 5
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元法分析流程
虚功原理 ——建立等效积分形式的平衡方程
变形体中满足平衡的力系在任意 满足协调条件的变形状态上作的虚功 等于零，即体系外力的虚功与内力的 虚功之和为零。
有限元法分析流程
x
E 1 2
u x
v y
,
xy
E 2(1
)
v x
u y
y
E 1 2
v y
u x
,
x
x
yx
y
fx
0, xy
x
y
y
fy
0
位移表示的平衡微分方程:
x xy
x
xy y
y y
xz z yz
z
pvx pvy
0 0
xz x
yz y
z z
pvz
0
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元法分析流程
几何方程
应变 ~ 位移
u
第二章 有限元法的基本思想
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元法分析流程
弹性力学 有关知识
有限元法 基本思想
有限单元法的基本知识和地震波传播正演模拟的应用
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相 互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线性 组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为 由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所 有单元上的近似解构成。根据所采用的权函数和插值函数的不同， 有限元方法也分为多种计算格式。从计算单元网格的形状来划分， 有三角形网格、四边形网格和多边形网格。
13
线性代数基础
矩阵求逆：
方阵A可逆的充分必要条件是它的行列式不为零，即 det(A) A 0
如果行列式为零，称A为奇异矩阵。
矩阵求逆： 对一个方阵A，如果存在一个矩阵B，使得
AB BA I
则B是A的一个逆矩阵。 当A可逆时，A的逆矩阵为：
A1 1 A det(A)
其中，A*为A的伴随矩阵，由A的代数余子式组成，
W Fds
W 1
2
cij ijkl kl
17
有限单元法基础
一维问题：
设有线性方程组
Ax b
设有向量y，y Rn 。一般地，方程组两侧同乘y不改变它的解：
yAx yb
考虑泊松方程：
u(x) f (x)
其中u是标量场，f是源项，一维情况下：
2
有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢 慢用于流体力学的数值模拟。
在地球物理领域，有限单元法应用于地震波场模拟、地球动 力学模拟等。由于网格划分的灵活性，特别适用于非常复杂的模 型，如自由地表、复杂边界模型。
3
有限单元法简介
有限单元方法是将偏微分方程描述的连续问题进行离散求解的一 种数值方法。 其基本原理是：用简单的块体构造复杂的对象，或将一个复杂的 对象分为用以处理的小块体。 例子：近似圆的面积
有限元第4章刚度矩阵方程的处理知识交流
(c )
单元内的节点最大编号差决定着刚度矩阵的带宽，而影响刚度 矩阵的存储量，这对于节点数较多的单元形式尤为重要。为进 一步减小刚度矩阵存储量以节省计算机资源，除了等带宽存储 刚度矩阵元素的方法外，还有一种更为经济的存储方式，称为 变带宽存储。如图4-3所示，刚度矩阵中每一行所具有的非零 元素数目不等，存储时可不必按最大带宽将带内元素全部存储 。因为解方程组时只用到每行第一个非零元素及其以后的诸元 素，因此只要将图4-3中折线到对角线间的元素存在计算机中 即可。这样一来又可以少存许多零元素。再采用一维数组存储 ，又可以进一步减小存储量。这称为一维变带宽压缩存储。
k91
k92
k93
k94
k95
k96
k97
k98
M
k9,10 d9
M
k10,1 k10,2 k10,3 k10,4 k10,5 k10,6 k10,7 k10,8 k10,9 k10,10 d10 F 10
总刚度平衡方程的求解
应用有限元法，最终都是归结为解总体刚度矩阵平衡方程， 它实际上是以总体刚度矩阵为系数矩阵的大型线性代数方程组。 通过对结构施加位移边界条件，消除了结构的刚体位移，从而消 除总体刚度矩阵的奇异性，解这个线性代数代数方程组可求出节 点位移。
可将总体刚度矩阵中相应的行列、删行删列划掉，然后将矩阵压缩即可 求解。这种方法的优点时道理简单。如果删去的行列很多，则总体刚度 矩阵的阶数可大大缩小。通常用人工计算时常采用该方法。若用计算机 算题，在程序编制上必带来麻烦，因为刚度矩阵压缩以后，刚度矩阵中 各元素的下标必全改变。因而一般计算机算题不太采用。
点位移，而其余各行保持不变。
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2
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有限元基础知识之hypermesh网格化分详细教学
•2021/6/7
•7
有限元网格质量控制
• 1单元的纵横比
•2021/6/7
•24
2D面板
网格优化,降低QI值
qualityindex
•2021/ 黄色的更差 红色的最差，一般不能出现红色的网格
优化方法
•2021/6/7
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如果质量差的网格很多，可以save failed,然后retrieve再进行查看
创建材料
• 1.汽车及其零部件的强度和刚度分析 • 2.汽车及其零部件的振动和噪声分析 • 3.汽车碰撞仿真分析 • 4.汽车空气动力学分析 • 5.汽车零部件热场，温度场分析
•2021/6/7
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有限元分析步骤
• 建立有限元模型是CAE分析最重要，最基本的步骤，前处 理是一个比较繁琐的过程，占用有限元分析过程的大半时 间，而且其建模质量直接影响有限元分析的正确性和精度。 其步骤大概分为以下几个步骤
材料参数
•2021/6/7
•27
建属性property
建属性的时候，如果是2D单元，选择type为2D， cardimage选择pshell 然后选上已经建好的材料
最后写上部件的厚度T
•2021/6/7
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把属性赋给部件
这样部件就有了自己的属性，即有了材料和厚度
•2021/6/7
•29
添加约束
•2021/6/7
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以clip_repair为例进行几何清理
有限元法的预备知识
V = P ⋅u ( x)
x =l
P 2l = EA
P 2l Π = U −V = − 2 EA
（二）2D问题
一受分布荷载的简支梁，由于简支梁厚度较薄，外载沿高度方 向无变化，该问题可以认为是一平面问题。 (1)基本变量 位移v(x)（中性层的挠度） 应变εx (εx为主要应变，直线假定，中性层） 应力σx (σx为主要应力，其它分量不考虑） (2)基本方程 ①平衡方程
写成矩阵形式：
Lσ + pv = 0
几何变形方程：
∂u ∂v ∂w εx = , εy = , εz = ∂x ∂y ∂z ∂u ∂v ∂w ∂v ∂w ∂u γ xy = + , γ yz = + , γ zx = + ∂y ∂x ∂y ∂ z ∂x ∂ z
写成矩阵形式：
ε=L u
T
E σx = ε x + μ ( ε y + ε z )) ( 2 材料物理方程： 1− μ E σy = ε + μ ( ε x + ε z )) 2 ( y 1− μ E σz = ε + μ ( ε x + ε y )) 2 ( z 1− μ E τ xy = γ xy 2(1 + μ) E τ yz = γ yz 2(1 + μ) E τ zx = γ zx 2(1 + μ)
外力功
V = ∫ q ( x ) ⋅ v ( x ) dx
l
势能
1 d 2v 2 Π = U − V = ∫ EI ( 2 ) dx − ∫ q ( x ) ⋅ v ( x ) dx 2l dx l
2.2.2 弹性问题近似求解的加权残值法WRM 原理 设有一组满足所有边界条件的试函数，其线性组合为：
有限元模型 知识产权
有限元模型与知识产权1. 介绍有限元模型（Finite Element Model，简称FEM）是一种数学建模方法，用于解决实际工程问题。
它通过将连续物体离散化为有限数量的小元素，并在每个元素上进行力学分析，最终得到整个系统的行为。
有限元模型广泛应用于结构力学、流体力学、热传导等领域。
知识产权（Intellectual Property，简称IP）是指由人类创造的智力成果所享有的专有权利。
它包括专利、商标、版权和商业秘密等形式，旨在保护创新和创作的成果，并鼓励创新活动。
本文将探讨有限元模型与知识产权之间的关系，包括知识产权在有限元模型中的应用以及相关的法律保护。
2. 知识产权在有限元模型中的应用2.1 模型设计和开发在创建有限元模型时，设计和开发过程中可能涉及到一些创新性的想法和方法。
这些想法和方法可以被视为知识产权，并受到相应的保护。
例如，在开发新颖算法或改进传统算法的过程中，可以申请专利来保护这些创新成果。
2.2 模型数据和结果有限元模型通常需要大量的数据输入和输出。
这些数据和结果可能包含了公司的商业机密或者其他敏感信息。
因此，在共享有限元模型数据和结果时，需要注意保护知识产权。
可以使用非公开的文件格式、加密技术或访问控制来确保只有授权人员能够访问这些数据和结果。
2.3 模型软件和工具有限元模型通常需要使用专门的软件和工具进行建模、分析和后处理。
这些软件和工具可能是由公司自主开发或者购买的商业软件。
在使用这些软件和工具时，需要遵守相应的许可协议，并尊重知识产权。
3. 知识产权保护与侵权防范3.1 专利保护在有限元模型领域，一些创新性的想法和算法可以通过专利申请来获得保护。
专利可以阻止他人在特定领域内复制、销售或使用该发明。
因此，在设计新的有限元模型算法时，应该考虑是否适合申请专利以获得相应的保护。
3.2 商标保护商标是用于识别和区分商品和服务的标志，可以包括名称、图形、字母、数字等。
在有限元模型领域，一些软件和工具可能具有独特的名称或标志，可以申请商标保护，以防止他人滥用或混淆消费者。
有限单元法知识点总结
有限单元法知识点总结1. 有限元法概述有限单元法（Finite Element Method ，简称FEM）是一种数值分析方法，适用于求解工程结构、热传导、流体力学等领域中的强耦合、非线性、三维等问题，是一种求解偏微分方程的数值方法。
有限元法将连续的物理问题抽象为由有限数量的简单几何单元（例如三角形、四边形、四面体、六面体等）组成的离散模型，通过对单元进行适当的数学处理，得到整体问题的近似解。
有限元法广泛应用于工程、材料、地球科学等领域。
2. 有限元法基本原理有限元法的基本原理包括离散化、加权残差法和形函数法。
离散化是将连续问题离散化为由有限数量的简单单元组成的问题，建立有限元模型。
加权残差法是选取适当的残差形式，并通过对残差进行加权平均，得到弱形式。
形函数法是利用一组适当的形函数来表示单元内部的位移场，通过形函数的线性组合来逼近整体位移场。
3. 有限元法的步骤有限元法的求解步骤包括建立有限元模型、建立刚度矩阵和载荷向量、施加边界条件、求解代数方程组和后处理结果。
建立有限元模型是将连续问题离散化为由简单单元组成的问题，并确定单元的连接关系。
建立刚度矩阵和载荷向量是通过单元的应变能量和内力作用，得到整体刚度矩阵和载荷向量。
施加边界条件是通过给定位移或力的边界条件，限制未知自由度的取值范围。
求解代数方程组是将有限元模型的刚度方程和载荷方程组成一个大型代数方程组，通过数值方法求解。
后处理结果是对数值结果进行处理和分析，得到工程应用的有用信息。
4. 有限元法的元素类型有限元法的元素类型包括结构单元、板壳单元、梁单元、壳单元、体单元等。
结构单元包括一维梁单元、二维三角形、四边形单元、三维四面体、六面体单元。
板壳单元包括各种压力单元、弹性单元、混合单元等。
梁单元包括梁单元、横梁单元、大变形梁单元等。
壳单元包括薄壳单元、厚壳单元、折叠单元等。
体单元包括六面体单元、锥体单元、八面体单元等。
5. 有限元法的数学基础有限元法的数学基础包括变分法、能量方法、有限元插值等。
北科大有限元资料2(判断题-课后思考题-知识点总结)
1、弹性力学和材料力学在研究对象上的区别？6答：材料力学的研究对象是杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件。
弹性力学除了研究杆状构件外，还研究板、壳、块，甚至是三维物体等，弹性力学的研究对象要广泛得多。
2、理想弹性体的五点假设？答：连续性假定、完全弹性假定、均匀性假定、各向同性假定、小位移和小变形的假定。
3、什么叫轴对称问题，采用什么坐标系分析？为什么？答：如果弹性体的几何形状、约束状态以及外载荷都对称于某一根轴，那么弹性体所有的位移、应变和应力也都对称于这根轴，这类问题称为轴对称问题。
对于轴对称问题，采用圆柱坐标。
当以弹性体的对称轴为Z轴时，则所有的应力分量，应变分量和位移分量都只与坐标r、z有关，而与θ无关。
4、梁单元和杆单元的区别？答：主要区别是受力不同，梁单元主要承受弯矩，杆单元主要承受轴向力。
杆单元通常用于网架、桁架的分析；而梁单元则基本上可以适用于各种情况。
5、薄板弯曲问题与平面应力问题的区别？答：平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是薄板，但前者受力特点是平行于板面且沿厚度均布载荷，变形发生在板面内；后者受力特点是当承受垂直于板面的载荷时，板在弯曲应力和扭转应力作用下将变成曲面板。
6、有限单元法结构刚度矩阵的特点？答：主对称元素总是正的；对称性；稀疏性；奇异性；非零元素呈带状分布。
7、有限单元法的收敛性准则？答：完备性要求，协调性要求。
完备性要求。
如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，则有限元解收敛的条件之一是单元内场函数的试探函数至少是m次完全多项式。
或者说试探函数中必须包括本身和直至m 阶导数为常数的项。
单元的插值函数满足上述要求时，我们称单元是完备的。
协调性要求。
如果出现在泛函中的最高阶导数是m阶，则试探函数在单元交界面上必须具有Cm-1连续性，即在相邻单元的交界面上应有函数直至m-1阶的连续导数。
当单元的插值函数满足上述要求时，我们称单元是协调的。
8、简述圣维南原理在工程实际中的应用？答：物体小部分边界上的面力是平衡力系，则近处产生显著应力，远处应力小到忽略不计。
有限元基础知识归纳
有限元知识点归纳1.、有限元解的特点、原因？答：有限元解一般偏小，即位移解下限性原因：单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度。
在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以节点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的变形进行了约束和限制，使单元的刚度较实际连续体加强了，因此，连续体的整体刚度随之增加，离散后的刚度较实际的刚度K为大，因此求得的位移近似解总体上将小于精确解。
2、形函数收敛准则（写出某种单元的形函数，并讨论收敛性）P49(1)在节点i处N i=1,其它节点N i=0;(2)在单元之间，必须使由其定义的未知量连续；(3)应包含完全一次多项式；(4)应满足∑Ni=1以上条件是使单元满足收敛条件所必须得。
可以推证，由满足以上条件的形函数所建单元是完备协调的单元，所以一定是收敛的。
4、等参元的概念、特点、用时注意什么？（王勖成P131）答：等参元—为了将局部坐标中几何形状规则的单元转换成总体（笛卡尔）坐标中的几何形状扭曲的单元，以满足对一般形状求解域进行离散化的需要，必须建立一个坐标变换。
即：为建立上述的变换，最方便的方法是将上式表示成插值函数的形式，即：其中m是用以进行坐标变换的单元节点数，xi,yi,zi是这些结点在总体（笛卡尔）坐标内的坐标值，Ni’称为形状函数，实际上它也是局部坐标表示的插值函数。
称前者为母单元，后者为子单元。
还可以看到坐标变换关系式和函数插值表示式：在形式上是相同的。
如果坐标变换和函数插值采用相同的结点，并且采用相同的插值函数，即m=n，Ni’=Ni,则称这种变换为等参变换。
5、单元离散？P42答：离散化既是将连续体用假想的线或面分割成有限个部分，各部分之间用有限个点相连。
每个部分称为一个单元，连接点称为结点。
对于平面问题，最简单、最常用的离散方式是将其分解成有限个三角形单元，单元之间在三角形顶点上相连。
这种单元称为常应变三角形单元。
常用的单元离散有三节点三角形单元、六节点三角形单元、四节点四边形单元、八节点四边形单元以及等参元。
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有限元基本方法1. 绪论绪言有限元方法是用于解决工程学和数学物理学问题的一种数值方法，然而利用数学解析的方法难于求解复杂的几何形状、载荷和力学特征的问题，数学解析通常是求解微分方程或者偏微分方程，但是对于以上复杂的情况需要利用数值方法，也就是所说的有限元的方法。
有限元方法是通过求解联立代数方程组进行问题求解，而不是微分方程。
数值方法可以求解出联立体中多个离散点未知量的近似值。
建模的过程也叫作离散化，即将物理划分为小物体或单元（有限元）组成的等价系统。
有限元方法是通过为每一个有限元建立方程，并进而组合这些方程对物体进行求解。
总之，结构问题的求解是指确定受到载荷结构的各节点的位移和应力。
而非机构问题的未知量可以使热流或者流体流动产生的温度或者流体压力。
下文有介绍有限元历史、矩阵运算方法，计算机在对于求解复杂问题的作用以及有限元的一般步骤。
1.1历史H&M于1941/1943用与求解一维单元求解连续体中的应力，C在1943年提出分段插值函数，L于1953年在其著作中提出了刚度法和位移法，然而这些方法都难以手工求解。
A和K在1954年利用能量原理建立了矩阵结构分析方法。
T等人于1956年首次使用了二维单元，推导了杆单元、梁单元、二维三角形平面应力单元和矩阵单元的刚度矩阵。
并概括了直接刚度法的过程，得到了总体刚度矩阵，随着计算机技术的发展，K等人促进了用矩阵符号表示的有限元刚度方程的进一步发挥。
M在1961年建立了平面矩阵板弯曲单元的刚度矩阵，C和S与1961年建立了轴对称壳和压力容器的曲面壳弯曲单元的刚度矩阵。
Ma于1961年利用四面体刚度矩阵的方法将有限元方法延伸到三维问题。
Ca等人于1962年考虑了非线性材料问题，并于1963年，首次处理了屈曲问题，Zie等人于1968年将有限元方法扩充到粘弹性问题。
Me于1963年认识到可以借助变分方程建立有限元方法方程，于是有限元方法开始用于求解非结构应用问题，后Zie等人求解了场问题，如确定轴的扭转，流体流动和热传导。
加权残余法的适应性使得有限元方法得以进一步扩展，人们认识到当直接公式和变分公式难以或者无法使用时，加权残余法常常是适用的。
如Ly等人在1977年将加权残余法用于确定磁场。
1.2矩阵符号简介矩阵法有限元方法的必要工具，目的是简化单元刚度方程公式，利于计算机编程。
引例如下:作用在各节点（1,2,3.......,n）上的力分量（F1X,F1Y,F1Z,......F NZ）和相应的节点位移（u1,v1,w1.......w n）。
用{}大括号表示列矩阵，矩阵所有的力或位移可以化简表示为{F}和{d}。
然而常用的矩形矩阵用方括号[]表示，如下的单元刚度矩阵[k]和总体刚度矩阵[K],分别用方矩阵表示。
在结构理论中k ij和K ij通常指刚度影响系数。
通过使用刚度总体矩阵[K]，可将总节点力[F]与总节点位移{d}进行关联，方程如下：{F}=[K]{d}方程称为总体刚度方程，这是刚度分析法和位移分析法建立的基本方程。
另外结合书本附页自己学习矩阵有关的知识。
1.3计算机在求解有限元问题的作用计算机实现了在几秒钟内完成上千个方程组的求解，在使用计算机进行求解时，分析人员需要提供确定的有限元模型，并将其相关信息（单元节点坐标、单元相互连接方式、单元的材料性能、外加载荷、边界条件或约束条件）输入计算机。
以便计算机根据这些信息生成相关的方程并进行求解。
1.4有限元的一般步骤结构力学分析中，通常使用两种有限元方法：力法、位移法（柔度法、刚度法）力法：力作为未知量，为了得到控制方程，必须先使用平衡方程，在引入协调方程作为附加方程，得到一组关于多余力和未知力的方程。
位移法:以节点位移作为未知量，协调条件要求施加载荷前后公共节点、公共边和公共表面仍要保持原先的连续条件。
变分法:适用于建立结构或者非结构问题控制方程的一种方法。
有两种原理：最小势能原理、虚功原理。
有限元中每一个单元以一个位移函数相互关联。
每一个单元通过共享接口（节点、边界、表面等）直接或者间接与其他单元连接。
通过材料的应力/应变特性，某一节点的特性可以由其他单元的特性确定。
如何将结构或者连续体划分为有限元（离散化）：如何将物体划分为具有节点的有限元等价系统，有：简单两节点线单元和高阶线单元、具有角点的简单二维单元和具有边中点的高阶二维单元、简单三维单元和具有棱边中节点的高阶三维单元、用于对称轴求解的简单三角形和四边形对称单元。
线单元：线单元有横截面积，且可变二维单元:单元是有厚度的，厚度可变也可是等厚度的。
三维单元;对称单元：可用于几何形状及载荷都是对称的问题中。
如何推导单元刚度矩阵和单元方程单元的刚度矩阵和单元的方程最初是基于刚度影响系数建立的，本书使用：直接平衡法或刚度法、功或能量法、加权残余法。
直接平衡法：利用单元的力平衡条件以及应力/应变关系得到。
应用范围是线单元和一维单元功或能量法:应用范围是二维和三维单元的刚度矩阵和方程，涉及虚功原理和最小势能和castigliano理论虚功原理可以用于任何材料，还适用于势函数不存在的情况。
最小势能原理只能应用于弹性材料。
在线弹性材料分析中，使用以上三种方法都可以得到相同的单元方程，目前更多地是使用最下势能原理泛函数：函数的函数，以函数为参数的函数，能过将有限元方法扩展到结构应力分析以外的领域。
加权残余法:多用于推导单元方程，其中迦辽金发很著名如何得到总体方程并引入边界条件：总体方程：联立各个节点方程可以得到总体的节点联立方程。
{F}=[K]{d}其中{F}是总体节点力矢量，它还包括了外加载荷，[k]是结构总体刚度矩阵（多数是对称的方阵），{d}是节点的自由度或广义位移，[k]是行列式为0 的奇异矩阵，为了去掉奇异性需要添加边界条件，使结构固定。
直接刚度法：以节点力平衡为基础的一种较为直接的叠加方法。
需要我完成的内容：矩阵运算规则、推导未知自由度，推导单元刚度矩阵和方程。
第二章引入线性弹簧再介绍刚度矩阵定义，弹簧单元刚度矩阵的推导，再利用平衡和协调的的基本概念组装由弹簧单元构成的结构的总体刚度矩阵，又引入直接刚度法的概念来通过叠加单个单元的刚度矩阵得到总体的刚度矩阵。
总体刚度矩阵建立后要怎么添加边界条件呢？（均匀或不均匀边界）最后引入最小势能原理推导弹簧的单元方程。
2.1刚度矩阵的定义如何定义：对于一个单元，其刚度矩阵[k],将节点位移{d}与同一单元的节点力{f}关联在一起：{f}=[k]{d}对于一个连续的介质或一系列单元构成的结构，刚度矩阵[K]将全局坐标（想x ，y ，z ）的节点位移{d}与整个结构的总体力[F]关联在一起：{F}=[K]{d}[K] 表示整个弹簧组装的刚度矩阵。
2.2弹簧单元刚度矩阵的推导推导过程：方法：直接平衡法（胡克定理）参考点：1,2叫做单元节点。
自由度：节点位移叫做每个节点的自由度本构定律：结构问题有胡克定律、热传导问题有傅里叶定律、流体流动有达西（darcy ）定律，电网络有欧姆定律。
⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎭⎬⎫⎩⎨⎧212221121121u u k k k k f f x x K ij 代表由地第j 个自由度的单位位移d j 在第i 个自由度需要的力Fi 。
步骤一：如何选择单元类型弹簧单元有两个节点，在每个节点标上节点号，并标上单元号来表示这一单元。
步骤二：如何选择位移函数位移函数的用途：对解得形状或单元内的位移分布进行假设。
最常用的函数是多项式。
弹簧的位移函数表示为：u=x a a 21+其中a 的个数与单元相关的自由度的总数相等。
这里每一个单元有两个自由度，函数的矩阵表达形式为： u=[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧211a a x 如上图，我们用u 1和u 2表示1,2节点位移，u 表示位移函数。
u(0)=u 1=1au(L)=u 2=1212u L a a L a +=+解得：Lu u a 122-=则位移函数可以表示为：u=112)(u x Lu u +- 用矩阵形式表示为： u=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-211u u L x L x 或 u=[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧2121u u N N 其中N 1、N 1 称为形函数，N i 称为内插函数。
步骤三：定义应变/位移和应力/应变关系弹簧两端受到拉力T 总伸长(变形)为0δ，弹簧的总变形表示如下：12)0()(u u u L u -=-=δ而对于弹簧，将弹簧力与变形直接联系起来，可以不需要应变/位移的关系： T=k δ带入变形式得：)(12u u k T -=步骤四：如何推导单元刚度矩阵和单元方程？利用节点力符号和里的平衡得出：T f x -=1 T f x =2利用步骤三的方程可以表示为：)(121u u k f T x -=-=)(122u u k f T x -==用矩阵表示为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧2121u u k k k k f f x x 以上关系对于x 轴的弹簧成立，线弹性单元的刚度矩阵表示为：[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=k kk k k 特点：方阵、对称阵。