圆周角定理
圆周角定理与圆的切线
第2讲圆周角定理与圆的切线【2013年高考会这样考】考查圆的切线定理和性质定理的应用.【复习指导】本讲复习时，牢牢抓住圆的切线定理和性质定理，以及圆周角定理和弦切角等有关知识，重点掌握解决问题的基本方法•A1 KAOJIiZIZHUDAOXUE “一亠—亠』01》考基自主导学基础梳理1. 圆周角定理⑴圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆相交的角.⑵圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一_______(3)圆周角定理的推论①同弧(或等弧)上的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.②半圆(或直径)所对的圆周角是90° 90。
的圆周角所对的弦是直径.2. 圆的切线(1)直线与圆的位置关系①切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.②切线的判定定理过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线.(3)切线长定理从圆外一点引圆的两条切线长相—3. 弦切角(1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角.（2）弦切角定理及推论①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半.②推论：同弧（或等弧）上的弦切角相等，同弧（或等弧）上的弦切角与圆周角相等.双基自测1 •如图所示，△ ABC 中，/ C = 90° AB= 10, AC = 6,以AC为直径的圆与斜边交于点P,则BP长为___________ .解析连接CP.由推论2知/ CPA= 90°即CP丄AB,由射影定理知，AC2=AP AB.A AP= 3.6,二BP= AB—AP = 64 答案6.4 2•如图所示，AB、AC是。
O的两条切线，切点分别为B、C, D是优弧"BC上的点，已知/ BAC= 80° 那么/BDC = __________ .解析连接OB、OC,贝U OB 丄AB, OC X AC,：/ BOC= 180°— /BAC= 100°A / BDC = 2/BOC= 50°答案50 3. （2011广州测试（一））如图所示，CD是圆O的切线，切点为C, 点A、B在圆O上，BC= 1,/ BCD= 30°则圆O的面积为______ .解析连接OC, OB,依题意得，/ COB= 2/ CAB = 2/BCD =60° 又OB = OC,因此△ BOC是等边三角形，OB= OC= BC = 1,即圆O的半径为1, 所以圆O的面积为nX12= n.答案n4. （2011深圳二次调研）如图，直角三角形ABC中，/ B= 90°AB= 4,以BC为直径的圆交AC边于点D, AD = 2,则/C的大解析 连接 BD ，则有/ ADB = 90°.在 Rt A ABD 中，AB = 4, AD = 2,所以/ A = 60° 在 Rt A ABC 中，/ A = 60° 于是有/ C = 30° 答案 30°5. （2011汕头调研）如图，MN 是圆O 的直径，MN 的延长线与 圆O 上过点P 的切线PA 相交于点A ,若/ M = 30° AP = 2晶 则圆O 的直径为 .解析 连接OP ，因为/ M = 30°所以/ AOP = 60°因为PA 切圆O 于P ，所以AP 2^/3OP 丄AP ，在叱ADO中, OP=寸AO P = tan 丽y 故圆O 的直径为4.答案4*CAOXiANGTANJIUID*OXIi —净考向探究导析 考向一圆周角的计算与证明【例1】?（2011中山模拟）如图，AB 为。
圆周角定理 课件
(2)因为△ABE∽△ADC， 所以AABE＝AADC，即 AB·AC＝AD·AE. 又 S＝12AB·AC·sin ∠BAC，且 S＝12AD·AE， 所以 AB·AC·sin ∠BAC＝AD·AE. 则 sin ∠BAC＝1. 又∠BAC 为三角形内角， 所以∠BAC＝90°.
2．已知 AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆的直径． 求证：∠BAE＝∠DAC. 证明：连接 BE，因为 AE 为直径， 所以∠ABE＝90°. 因为 AD 是△ABC 的高，所以∠ADC＝90°. 所以∠ADC＝∠ABE. 因为∠E＝∠C，所以∠BAE＝90°－∠E， ∠DAC＝90°－∠C. 所以∠BAE＝∠DAC.
5．如图，△ABC 的角平分线 AD 的延长线交 它的外接圆于点 E. (1)证明：△ABE∽△ADC； (2)若△ABC 的面积 S＝12AD·AE， 求∠BAC 的大小． 解：(1)证明：由已知条件可得∠BAE＝∠CAD. 因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角， 所以∠AEB＝∠ACD. 故△ABE∽△ADC.
利用圆周角进行计算
[例 2] 如图，已知 BC 为半⊙O 的直径， AD⊥BC，垂足为 D，BF 交 AD 于 E，且 AE ＝BE.
(1)求证： AB＝ AF ； (2)如果 sin ∠FBC＝35，AB＝4 5，求 AD 的长． [思路点拨] BC 为半⊙O 的直径，连接 AC，构造 Rt△ABC.
4．如图，△ABC ຫໍສະໝຸດ 接于⊙O，OD⊥BC 于 D，∠A＝50°，则
∠OCD 的度数是
()
A．40° C．50°
B．25° D．60°
解析：连接 OB.因为∠A＝50°，所以弦 BC 所 对的圆心角∠BOC＝100°，∠COD＝12∠BOC ＝50°，∠OCD＝90°－∠COD＝40°. 答案：A
圆周角定理 课件
如图 2－1－2，△ABC 的角平分线 AD 的延长 线交它的外接圆于点 E.
图 2－1－2 (1)证明：△ABE∽△ADC； (2)若△ABC 的面积 S＝12AD·AE，求∠BAC 的大小．
【思路探究】 (1)通过证明角相等来证明三角形相似． (2)利用(1)的结论及面积相等求 sin∠BAC 的大小，从而 求∠BAC 的大小． 【自主解答】 (1)由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD. 因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角，所以∠AEB＝ ∠ACD. 故△ABE∽△ADC.
(2)因为△ABE∽△ADC，所以AABE＝AADC，即 AB·AC＝ AD·AE.
又 S＝12AB·ACsin∠BAC 且 S＝12AD·AE， 故 AB·ACsin∠BAC＝AD·AE， 则 sin∠BAC＝1，又∠BAC 为三角形内角，所以∠BAC ＝90°.
1．解答本题(2)时关键是利用 AB·AC＝AD·AE 以及面积 S ＝12AB·ACsin∠BAC 确定 sin∠BAC 的值．
圆周角定理
1．圆周角定理及其推论 (1)圆周角定理：圆上一条弧所对的 圆周角 等于它所 对的 圆心角 的一半． (2) 推 论 1 ： 同弧或等弧 所 对 的 圆 周 角 相 等 ； 同圆或等圆 中，相等的圆周角所对的 弧 也相等． (3)推论 2： 半圆 (或 直径 )所对的圆周角是直角；90° 的圆周角所对的弦是 直径 ．
在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是直角， 所对的弧是半圆，利用此性质既可以计算角大小、线段长度 又可以证明线线垂直、平行等位置关系，还可以证明比例式 相等．
如图 2－1－5，已知等腰三角形 ABC 中，以腰 AC 为直
径作半圆交 AB 于点 E，交 BC 于点 F，若∠BAC＝50°，则
圆周角定理
∵∠1=∠2,∴ = ,
∴BF=CG, = ,
∴∠FBD=∠GCE.
又 ∵BD=CE,∴△BFD≌△CGE,
∴∠F=∠G,∴ = ,
∴AB=AC.
题型一
题型二
题型三
题型三
易错辨析
易错点:误认为同弦或等弦所对圆周角相等而致错
【例3】 如图,若∠BAD=75°,则∠BCD=
分成两条弧:优弧和劣弧,若圆周角的顶点同在优弧上或同在劣弧
上,同弦或等弦所对的圆周角相等;若一个圆周角的顶点在优弧上,
另一个圆周角的顶点在劣弧上,则同弦或等弦所对的圆周角不相等,
它们互补(如本题).
(2)在圆周角定理的证明中,运用了数学中分类讨论和化归的思想
以及归纳的证明方法.这个定理是从特殊情况入手研究的,首先研
究当角的一边过圆心时,得到圆周角与同弧所对的圆心角的关系,
然后研究当角的一边不经过圆心时,圆周角与同弧所对的圆心角之
间的关系.当角的一边不经过圆心时,又有两种情况:一是圆心在圆
周角内部;二是圆心在圆周角外部.经过这样不同情况的讨论,最后
第二讲
直线与圆的位置关系
一
圆周角定理
1.了解圆心角定理,并能应用定理解决问题.
2.理解圆周角定理及其两个推论,并能应用定理解决有关问题.
圆周角定理的理解
剖析:(1)应用圆周角定理时,要注意的问题如下:
圆周角定理推论1中,同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.
这一定理成立的前提是同圆或等圆,否则不成立.
角形,从而得到成比例线段,再列方程求得线段长.
题型一
题型二
题型三
【变式训练 1】 如图,已知△ABC 内接于☉O, = , 点是
圆周角定理 课件
3．关于圆周角定理推论的理解
(1)在推论1中，注意：“同弧或等弧”改为“同弦或等弦” 的话结论就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两种可 能，在一般情况下是不相等的．
(2)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，但并不是 “圆心角等于它所对的弧”．
(3)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在 同圆或等圆中”．
【示例2】 如图，D，E分别为△ABC边AB，AC 的中点，直 线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明： (1)CD＝BC； (2)△BCD∽△GBD.
证明 (1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又 已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD ＝ AD. 而 CF∥AD ， 连 接 AF ， 所 以 ADCF 是 平 行 四 边 形 ， 故 CD＝AF.
证明 连结 CE、CF、EF，∵BC 为⊙O 的直径，∴∠BFC ＝90°，∠BEC＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴∠BCE＝∠A. 又∵∠BFE＝∠BCE，∴∠BFE＝∠A.又∵∠EBF＝∠DBA， ∴△BEF∽△BDA.∴EBFE＝ABDD. ∵∠BFC＝∠BCA，∠CBD＝∠CBD， ∴△CBF∽△DBC.∴CBCF＝CBDD. 又∵AD＝CD，∴EBFE＝CBCF，∴BBCE＝CEFF.
(4)在同圆或等圆中，由弦相等⇒弧相等时，这里的弧要求 同是优弧或同是劣弧，一般选劣弧．
题型一 圆中相关角度数的求解
【例 1】 在半径为 5 cm 的圆内有长为 5 3 cm 的弦 AB，求此弦
所对的圆周角．
[思维启迪] 对于弦所对的圆周角要考虑全面．
解 如图所示，过 O 点作 OD⊥AB 于点 D.因为 OD⊥AB，OD
反思感悟 弦所对的圆周角有两个，易丢掉120°导致错误，另外求圆周角时易应用到解三角形的知识．
初三数学圆周角知识点
初三数学圆周角知识点初三数学圆周角知识点初三数学圆周角知识点11、定义：顶点在圆上，角的两边都与圆相交的角。
(两条件缺一不可)2、定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
3、推论：1)在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
2)直径(半圆)所对的圆周角是直角;900的圆周角所对的弦为直径。
(①常见辅助线：有直径可构成直角，有900圆周角可构成直径;②找圆心的方法：作两个900圆周角所对两弦交点)4、圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补。
(任意一个外角等于它的内对角)补充：1、两条平行弦所夹的弧相等。
2、圆的两条弦1)在圆外相交时，所夹角等于它所对的两条弧度数差的一半。
2)在圆内相交时，所夹的角等于它所夹两条弧度数和的一半。
3、同弧所对的(在弧的同侧)圆内部角最大其次是圆周角，最小的是圆外角。
初三数学圆周角知识点2一、圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
①定理有三方面的意义：a.圆心角和圆周角在同一个圆或等圆中;(相关知识点如何证明四点共圆 )b.它们对着同一条弧或者对的两条弧是等弧c.具备a、b两个条件的圆周角都是相等的，且等于圆心角的一半.②因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.二、圆周角定理的推论推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论2：半圆(或直径)所对的`圆周角等于90°;90°的圆周角所对的弦是直径推论3：如果三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形三、推论解释说明圆周角定理在九年级数学知识点中属于几何部分的重要内容。
①推论1是圆中证明角相等最常用的方法，若将推论1中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立.因为一条弦所对的圆周角有两个.②推论2中“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”③圆周角定理的推论2的应用非常广泛，要把直径与90°圆周角联系起来，一般来说，当条件中有直径时，通常会作出直径所对的圆周角，从而得到直角三角形，为进一步解题创造条件④推论3实质是直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理.。
圆周角定理及其推论
画多少个？它们有什么关系？为什么？
反过来呢？
D
A
推论1： 同圆或等圆中：
C O·
同弧或等弧所对的圆周角相等；
相等的圆周角所对的弧也相等. E
B
探究三：
如图， △ABC内接于⊙O, 请思考当∠AOB为 180°时, ∠ACB的度数是多少?从而你得到什么结论?
反过来呢？
C
推论2：
A
·O
B
半圆(或直径)所对的圆周角是直角;
O
∴ ∠BAC = 12∠BOC.
B
C
猜想： 一条弧所对的圆周角都等于它所对圆心角的一半
1、圆心在圆周角的边上 2 、圆心在圆周角的内部.
C
C
O·
O·
A
B
A
B
D
3、圆心在圆周角的外部
C
O·
D
B
A
圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
探究二：
在一个圆中，并画出A⌒B所对的圆周角能
24.3 圆周角
1.圆周角的概念 ：
顶点在圆上，并且两
C
边都与圆还另有一个交
点的角叫做圆周角。
O
B
2.一个角是圆周角的条件：
①顶点在圆上；
A
②两边都和圆相交。
练习:指出下图中的圆周角.
A
Oቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
×
C O
√
O D
×
O
E
O
O
B
×
×
√F
探究一：
A
如图，等边△ABC的三个顶点
圆周角定理
圆周角定理圆周角定理，又称为圆心角定理，是指在一个圆中，它对应的弧所对的圆周角的度数是一定的。
这一定理在几何学和三角学中有着重要的应用。
本文将介绍圆周角的定义、性质以及相关应用。
圆周角的定义在一个圆中，以圆心为顶点，连接圆上的两个点，所得到的角即为圆周角。
圆周角用字母“∠”来表示，其中小写的字母表示圆弧，如∠ABC，表示以圆心O为顶点的角，对应的圆弧为AB和AC。
圆周角的性质性质一：圆周角的度数是一定的在同一个圆中，不论圆周角对应的圆弧长度如何变化，其圆周角的度数是不变的。
这一性质可以用公式表示如下：∠ABC = (∠AOB) / 2 = (s / r) × 180°其中，“∠ABC”表示圆周角的度数，∠AOB表示对应的圆心角的度数，s表示圆弧的长度，r表示圆的半径。
性质二：垂直弧所对的圆周角是180°在圆中，对于垂直弧所对的圆周角，其度数恒为180°。
而垂直弧指与半径垂直的弧。
圆周角的应用圆周角定理在几何学和三角学中有着广泛的应用，以下列举其中几个常见的应用：应用一：扇形面积计算利用圆周角定理可以计算圆内的扇形面积。
假设扇形对应的圆心角为θ°，则扇形的面积等于圆的面积乘以θ/360°。
可以用以下公式表示：扇形面积= (θ / 360°) × πr²其中，r表示扇形的半径。
应用二：圆锥的体积计算圆锥的体积计算也可以利用圆周角定理实现。
假设圆锥的底面半径为r，高度为h，底角为θ°，则圆锥的体积可以用以下公式表示：圆锥体积= (θ / 360°) × πr² × h / 3应用三：三角函数的定义在三角学中，三角函数的定义与圆周角密切相关。
以正弦函数为例，其定义可以通过圆周角在单位圆上的投影来说明。
对于角θ对应的圆周角，在单位圆上的投影点坐标可以表示为（cosθ，sinθ）。
圆周角定理课件
总结和回顾
圆周角定理是几何学中重要的概念，它帮助我们理解和解决与圆相关的各种问题。
2 计算问题
通过圆周角的公式，我 们可以解决各种与圆相 关的数学计算问题。
3 工程应用
圆周角的概念在建筑、 设计和工程领域有广泛 应用，帮助解决实际问 题。
圆周角定理的证明
1
步骤一
通过绘制辅助线和应用几何定理，建立圆周角定理的几何模型。
2
步骤二
利用圆周角的定义和性质，推导出圆周角定理的数学表达式。
圆周角的弦长
圆周角对应的弦长等于圆半径乘以2sin(圆周角的度数/2)。
圆周角的性质
相等的圆周角
当两个圆周角的圆心角度数相 等时，其圆周角相等。
互补的圆周角
两个互补的圆周角的度数和为 360度。
切线与圆周角
切线与相交弦所对的圆周角相 等。
圆周角的应用
1 几何证明
圆周角的性质在几何证 明中经常被本节课的演示文稿，让我们一起探索圆周角的定理以及其应用。
圆周角定义
圆周角指的是以圆心为顶点的角，其两条边分别是与圆相交的弧，通常用字 母表示，如∠ABC。
圆周角的公式
圆周角的度数
圆周角的度数等于其对应的弧所对的圆心角的度数。
圆周角的弧长
圆周角对应的弧长等于圆周长乘以圆周角的度数除以360。
3
步骤三
进行严格的逻辑推理和证明，验证圆周角定理的准确性。
圆周角定理的例题
例题一
在半径为5cm的圆中，∠ABC 对应的弧长为15cm，求∠ABC 的度数。
例题二
已知∠ABC的度数为60度，圆 半径为8cm，求∠ABC对应的 弦长。
例题三
若两个圆周角的圆心角相等， 一个圆周角的度数为110度， 求另一个圆周角的度数。
数学知识点：圆周角定理_知识点总结
数学知识点：圆周角定理_知识点总结
顶点在圆上,它们的两边在圆内的部分分别是圆的弦.
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
圆心角定理：
圆心角的度数等于它所对弧的度数。
推论1：
同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径,高考物理。
圆周角的特点:
(1)角的顶点在圆上;
(2)角的两边在圆内的部分是圆的弦.
圆周角和圆心角相对于圆心与直径的位置关系有三种:
解题规律:
解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理.。
初中圆的十八个定理
初中圆的十八个定理1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
3、垂径定理：垂直弦的直径平分该弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
4、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于该半径的直线是圆的切线。
5、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。
6、公切线长定理：如果两圆有两条外公切线或两条内公切线，那么这两条外公切线长相等，两条内公切线长也相等。
如果他们相交，那么交点一定在两圆的连心线上。
7、相交弦定理：圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段长的乘积相等。
8、切割线定理：从圆外一点向圆引一条切线和一条割线，则切线长是这点到割线与圆的两个交点的两条线段长。
9、割线长定理：从圆外一点向圆引两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
10、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
11、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
12、定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
13、定理：把圆分成n（n≥3），依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。
14、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。
15、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。
16、定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n 个全等的直角三角形17、定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
18、(d是圆心距，R、r是半径)①两圆外离d>R+r；②两圆外切d=R+r；③两圆相交R-r<dr；④两圆内切d=R-r （R>r）；⑤两圆内含dr。
圆周角的定理及推论的应用
圆周角的定理及推论的应用圆周角是数学中的一个重要概念，掌握圆周角的定理及其推论，对于解决许多几何问题非常有帮助。
本文将围绕圆周角的定理及推论的应用展开阐述。
一、圆周角的定义圆周角是指落在圆周上的两条弧所对的角，即两个弧之间的角度量。
一般用大写字母表示圆周角，如∠ABC。
二、圆周角的定理1、相等圆周角定理：在同一个圆周上，所对的圆周角相等。
证明：作弦AB、CD相交于点E，则∠AEB=∠CED。
由于AE、BE、CE、DE均是从一个圆心O引出的弦，故∠AEB=∠CEB，∠CED=∠BED，又因为OE=OE，故OEB≌OED，由此可得∠OEB=∠OED，即∠AEB=∠CED。
2、圆心角的定理：在同一个圆中，所对的圆心角相等。
证明：连接圆心O到AB的中垂线OH，H为AB的中点。
则OH垂直于AB，因此∠AOH、∠BOH均为直角，所以∠AOB=2∠AOH=2∠BOH。
3、正弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R证明：如下图所示，以AB、BC、CA为边作三角形ABC的外接圆，设圆心为O。
连接AO、BO、CO，过O点作弦AD、BE、CF，则OD=OE=OF=R，所以AOD、BOE、COF都是等边三角形。
因此，∠OAB=∠CFO、∠OBA=∠CEO、∠OBC=∠AEO、∠OCB=∠AFO。
设∠BAC=x，∠ABC=y，∠ACB=z，由三角形内角和公式得：x+y+z=180又由圆周角定理得：∠BOC=2y，∠AOC=2z，∠AOB=2x于是：∠AOB+∠BOC+∠AOC=3602x+2y+2z=360，即x+y+z=180。
将sinA、sinB、sinC带入上述公式中，可得：sinA/BC=sinB/CA=sinC/AB=1/2R即sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R。
4、余弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：cosA=(b²+c²-a²)/2bc，cosB=(a²+c²-b²)/2ac，cosC=(a²+b²-c²)/2ab证明：将ABC的外接圆的半径延长到BC、AC和AB上分别交于点D、E、F。
关于圆的定理
关于圆的定理1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形3、垂径定理：垂直弦的直径平分该弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
推论1：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等4、切线之判定定理：经过半径的外端并且垂直于该半径的直线是圆的切线。
5、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。
6、公切线长定理：如果两圆有两条外公切线或两条内公切线，那么这两条外公切线长相等，两条内公切线长也相等。
如果他们相交，那么交点一定在两圆的连心线上。
7、相交弦定理：圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段长的乘积相等。
8、切割线定理：从圆外一点向圆引一条切线和一条割线，则切线长是这点到割线与圆的两个交点的两条线段长的比例中项。
9、割线长定理：从圆外一点向圆引两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
10、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心11、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等12、定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦13、定理：把圆分成n(n≥3):⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形14、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆15、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆16、定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形17、定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
关于圆的定理
1 圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
2 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
3 垂径定理：垂直弦的直径平分该弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
4 切线之判定定理：经过半径的外端并且垂直于该半径的直线是圆的切线。
5 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。
6 公切线长定理：如果两圆有两条外公切线或两条内公切线，那么这两条外公切线长相等，两条内公切线长也相等。
如果他们相交，那么交点一定在两圆的连心线上。
7 相交弦定理：圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段长的乘积相等。
8 切割线定理：从圆外一点向圆引一条切线和一条割线，则切线长是这点到割线与圆的两个交点的两条线段长的比例中项。
9 割线长定理：从圆外一点向圆引两条割线，这一条到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
10 圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
11 西姆松定理说明：有三角形ABC，平面上有一点P。
P在三角形三边上的投影（即由P到边上的垂足）共线（此线称为西姆松线, Simson line）当且仅当P在三角形的外接圆上。
圆周角概念和性质
圆周角教学内容1．圆周角的概念．2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弦所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用．教学目标1．了解圆周角的概念．2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半．3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径．4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题．重难点、关键1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．3．关键：探究圆周角的定理的存在．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们口答下面两个问题．1．什么叫圆心角？2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角．（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对的其余各组量都分别相等．刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．二、探索新知问题：如图所示的⊙O ，我们在射门游戏中，设E 、F 是球门，•设球员们只能在所在的⊙O 其它位置射门，如图所示的A 、B 、C 点．通过观察，我们可以发现像∠EAF 、∠EBF 、∠ECF 这样的角，它们的顶点在圆上，•并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题．1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？（学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言．老师点评：1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个． 2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的．3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，•并且 它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．”（1）设圆周角∠ABC 的一边BC 是⊙O 的直径，如图所示 EF∵∠AOC 是△ABO 的外角∴∠AOC=∠ABO+∠BAO∵OA=OB∴∠ABO=∠BAO∴∠AOC=∠ABO∴∠ABC=∠AOC （2）如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的两侧，那么∠ABC=∠AOC 吗？请同学们独立完成这道题的说明过程． 老师点评：连结BO 交⊙O 于D 同理∠AOD 是△ABO 的外角，∠COD 是△BOC的外角，•那么就有∠AOD=2∠ABO ，∠DOC=2∠CBO ，因此∠AOC=2∠ABC ．（3）如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的同侧，那么∠ABC=∠AOC 吗？请同学们独立完成证明． 老师点评：连结OA 、OC ，连结BO 并延长交⊙O 于D ，那么∠AOD=2∠ABD ，∠COD=2∠CBO ，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=∠AOD-∠COD=∠AOC 现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB ′C ，•同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的．从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 进一步，我们还可以得到下面的推导：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目．例1．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD与CD 的大小有什么关系？为什么？分析：BD=CD ，因为AB=AC ，所以这个△ABC 是等腰，要证明D 是BC 的中点，•只要连结AD 证明AD 是高或是∠BAC 的平分线即可．解：BD=CD理由是：如图24-30，连接AD∵AB 是⊙O 的直径∴∠ADB=90°即AD ⊥BC又∵AC=AB∴BD=CD三、巩固练习1．教材P92 思考题．2．教材P93 练习．四、应用拓展例2．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别设为a ，b ，c ，⊙O 半径为R ，求证：===2R ． 分析：要证明===2R ，只要证明=2R ，=2R ，=2R ，即sinA=，sinB=，sinC=，因此，十分明显要在直角三角形中进行．证明：连接CO 并延长交⊙O 于D ，连接DB∵CD 是直径121212121212sin a A sin b B sin c Csin a A sin b B sin c C sin a A sin b B sin c C2a R 2b R 2cR∴∠DBC=90°又∵∠A=∠D在Rt △DBC 中，sinD=，即2R= 同理可证：=2R ，=2R ∴===2R 五、归纳小结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：1．圆周角的概念；2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都相等这条弧所对的圆心角的一半；3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．4．应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题．六、布置作业1．教材P95 综合运用9、10、 BC DC sin a Asin b B sin c Csin a A sin b B sin c C。
圆周角定理
判断ＡＢ与ＡＣ的大小有什么关系？为什么？
例４． 如图，AB与CD相交于圆内一点P．求证：
∠BAC= ∠BOC
∠BAC= ∠BOC
Ｂ Ｄ Ｃ 例1:如图:AB,AC是⊙O的两条弦,延长CA到D,
３．方法上主要学习了圆周角定理的证明渗透了“特殊到一般”的思想方法和分类讨论的思想方法． (2)等弦所对的圆周角相等或互补；
一．圆周角定理
A
A
O●
●
C
O
B
C
B
A
C O●
B
一. 圆周角定理
圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半．
已知：如图，在⊙O中，B C
A
A
所对的圆周角和圆心角分别
是∠BAC, ∠BOC ．
O ●
●
求证：∠ BAC=
1
∠
BOC
B
O
C
C
2
B
分析２: 以直径为分界线，可以得到另外两类圆周角及 相应的圆心角，如下图（２），（３）所示．只要能将它们 化归为（１）的特殊情形，问题就能解决．
延长ＢＤ到点Ｃ，使ＣＤ＝ＢＤ，连接ＡＣ． 的度数与 的度数和的一半等于∠APD的度数．
判断ＡＢ与ＡＣ的大小有什么关系？为什么？ 已知：如图，在⊙O中， 所对的圆周角和圆心角分别是∠BAC, ∠BOC ．
判断ＡＢ与ＡＣ的大小有什么关系？为什么？ 的度数与 的度数和的一半等于∠APD的度数．
（2）半圆（直径）所对的圆心角是多少度？圆周角是多少度？
小结： 圆周角／圆心角定理
• １．圆心角（central angle）：顶点在圆心上的角叫做圆 心角．(1)在同圆或等圆中，两圆心角相等⇔其所对的弦 （或弧）也相等；(2)圆心角的度数等于它所对的弧的度 数．
圆周角定理 课件
已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接 圆的直径，求证：∠BAE＝∠DAC.
分析：题目中出现圆的直径，想到直径所对的圆周角 是直角．因此，连结BE，得到∠ABE＝90°，同时，在 △ABE与△ADC中，又有同弧所对的圆周角∠C与∠E相等， 从而结论得以证明．
圆周角定理
1．圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆 心角的________．
应当注意的是，圆周角与圆心角一定是对着__________，它 们才有上面定理中所说的数量关系．
2．圆心角定理：圆心角的度数________它所对弧的度数．
3．圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角________；同圆或等圆中， 相等的圆周角所对的弧________．
所以 AD=BD= 5 3 (cm)．在 Rt△AOD 中，OD= OA2 AD2 2
= 5 (cm)，所以∠OAD=30，所以∠AOD=60.所以∠AOB= 2
2∠AOD=120，所以∠ACB= 1 ∠AOB=60.因为∠AOB=120， 2
所以 AEB 的度数为 120， ACB 的度数为 240.所以∠AEB= 1 240=120.所以此弦所对的圆周角为 60或 120. 2
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是________；90°的圆 周角所对的弦是________．
1．一半 同一条弧 2.等于
3.相等 也相等 直角 直径
在半径为5 cm的圆内有长为5 3 cm的弦AB，求 此弦所对的圆周角．
OD 经过圆心，
点评：弦所对的圆周角有两个，易丢掉120°而导致错
误．另外，求圆周角时应用到解三角形的知识．
圆周角定理 课件
∴ED＝2.5 cm. 【名师点评】 和圆周角有关的线段、角的计算，不仅可以 通过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线段， 有时，还可以通过比例线段，相似比来计算．
又 OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝30°， ∴∠BOD＝60°，∴∠CAB＝∠BOD. (2)在 Rt△ABC 中，∠ABC＝30°，得 AC＝12AB， 又 OB＝12AB，∴AC＝OB. 由 BD 切⊙O 于点 B，得∠OBD＝90°. 在△ABC 和△ODB 中，
∠CAB＝∠BOD ∠ACB＝∠OBD ， AC＝OB
的弦是直__径__．
考点突破
考点一 与圆周角定理相关的证明 例1 (高考课标全国卷)如图，D，E 分别为△ABC 边 AB ，AC 的中点，直线 DE 交△ABC 的外接圆于 F ，G 两点．若 CF ∥ AB ，
证明：(1) CD＝BC；
(2)△BCD∽△GBD. 【证明】 (1)因为 D，E 分别为 AB，AC 的中点，所以 DE ∥BC.又已知 CF∥AB，故四边形 BCFD 是平行四边形，所以 CF＝BD＝AD.而 CF∥AD，连接 AF，所以四边形 ADCF 是 平行四边形，故 CD＝AF.
圆周角定理
1．圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的_一__半__． 应当注意的是，圆周角与圆心角一定是对着_同__一__条__弧____，它
们才有上面定理中所说的数量关系．
2．圆心角定理 圆心角的度数_等__于___它所对弧的度数． 3．圆周角定理的推论 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相__等__；同圆或等圆中，相等 的圆周角所对的弧也相__等__． 推论 2：半圆(或直径)所对的圆周角是直__角__；90°的圆周角所对
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
踢足球射门的“学问”
足球场上有句顺口溜：”冲向球门跑，越近就越好； 歪着球门跑，射点要选好．”可见踢足球是有“学问”的， 以下我们将来学些几何知识来分析类似足球射门的问题。
复习旧知：请说说我们是如何给圆心角下定义的，试回答？
顶点在圆心，并且两边都和圆相交 的角叫圆心角。
考考你：你能仿照圆心角的定义， 给下图中象∠ACB 这样的角下个定义吗？
A
1 BAC BOC 2
O B
·
C
D
（3）在圆周角的外部．
圆心O在∠BAC的外部，作直径AD，
利用（１）的结果，有
1 BAD BOD 2 1 DAC DOC 2 1 DAC DAB (DOC DOB) 2
A
1 BAC BOC 2
D
O
·
C B
个内角度数分别是多少度？ 答： △ABC的三内角分别是 ∠A＝55 °，∠B＝85 ° ，∠C＝40 °
3、试比较图中∠E、∠ACB、∠D大小。
例1 在绿茵场上，足球队员带球进攻，总是尽 力向球门AB冲近(如图1)，你说为什么 解 :设球员在位于C处接到球，
他带球尽力向球门冲近到D，
此时不仅距离球门近了，射 门更为有力，而且对球门AB
（1）在圆周角的一条边上；
∵OA=OC， ∴∠A=∠C．
A O B
又∠BOC=∠A+∠C ∴∠BOC=2∠A 即 A 1 BOC 2
·
C
（2）在圆周角的内部． 圆心O在∠BAC的内部，作直径AD，
利用（１）的结果，有
1 BAD BOD 2 1 DAC DOC 2
1 BAD DAC (BOD DOC ) 2
的张角也扩大了，球更容易射
中.可以证明如下： 延长CD到E，则∠ADE＞∠ACE，∠BDE＞∠BCE， 所以∠ADE+∠BDE＞∠ACE+∠BCE，
即∠ADB＞∠ACB．
这样，更容易射门得分．
练 习
2.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多 少种方法？与同学交流一下．
方法三
方法一 A C O 方法二
习题1.如图：OA、OB、OC都是⊙O的半径 ∠AOB=2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC.
证明： ∠ACB= 1∠AOB 2 1 ∠BAC= ∠BOC 2 ∠AOB=2∠BOC ∠ACB=2∠BAC A
2
O
C
B 规律:解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出 同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理
C
证明：
以AB为直径作⊙O，
1 2
∵AO=BO， CO= AB, ∴AO=BO=CO. ∴点C在⊙O上. 又∵AB为直径,
A
· O
B
1 ∴∠ACB= ×180°= 90°. 2 ∴ △ABC 为直角三角形.
1 ⌒ ___ 分析:AB所对圆周角是∠ACB, 圆心角是∠AOB. 则∠ACB= ∠AOB. 2 1 ___ ⌒ BC所对圆周角是∠ BAC , 圆心角是∠BOC, 则∠ BAC= ∠BOC
小结与作业 1、本节课我们学习了哪些知识？
2、圆周角定理及其推论的用途你
都知道了吗？
O
B
果两个圆周角相等， 它们所对弧一定相等吗？为什么？
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它 们所对的弧一定相等．
例题
例 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平 分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长． 解：∵AB是直径， C ∴ ∠ACB= ∠ADB=90°． 在Rt△ABC中，
1、圆周角的度数与它所对弧的度数有什么关系呢? 2、圆周角与圆心角之间又有什么关系呢?
同学们可以大胆地说出你的猜想？
同弧所对圆周角与圆心角的关系
为了进一步探究上面的发现，如图在⊙O任取一个圆周角 ∠BAC，将圆对折，使折痕经过圆心O和∠BAC的顶点 A．由于点A的位置的取法可能不同，这时折痕可能会:
定理
定 理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周 角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推 论
C2 C1 C3
半圆（或直径）所对的圆周 角是直角;
A
90°的圆周角所对的弦是直径．
·
O
B
1、求圆中的角x的度数？
=?
2、如图7-32，已知△ABC内接于⊙O， ， 的度数分别为80°和110°，则△ABC的三
AB2 AC 2 102 62 8 A ∵CD平分∠ACB， BC
O B
ACD BCD.
∴AD=BD. 又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
D
AD BD
2 2 AB 10 5 2(cm) 2 2
练 习
3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个 三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.） 1 已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线， 且CO= AB 2 求证： △ABC 为直角三角形.
顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角 叫做圆周角．
探索：判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？
重点观察下面三个图形中,圆心与圆周角的位置关系?
在以上三个图形中,哪 个图形是特殊的,其它 图形可以转化为特殊 图形吗?
圆心角和圆周角都是和圆有关的角,圆心角的度数等于它所对弧的 度数。
如果圆心角和圆周角所对的弧相同,那么