《矩形的性质与判定》教案

《矩形的性质与判定》教案
教学目标：
1．掌握矩形的概念、性质和判别条件．
2．提高对矩形的性质和判别在实际生活中的应用能力．
教学重点、难点：
教学重点：本节课的重点是矩形的性质和常用判别方法的理解和掌握．
教学难点：本节课的难点是矩形的性质和常用判别方法的综合应用．
教学过程：
一．巧设情境问题，引入课题
给出活动的平行四边形教具，请学生观察当它的一个内角由锐角变为钝角的过程中，会形成怎样的特殊图形情况．进而引入本节课的主题——矩形．
二．讲授新课
主要环节：
(1)根据演示过程，请学生尝试给矩形下定义．
(2)寻找生活中的矩形．
(3)从对称的角度再认识矩形．
(4)探索矩形的性质．
(5)通过练习，加强学生对矩形性质的理解．
(6)矩形的判定．
(一)矩形的概念、性质
矩形是学生比较熟悉的图形，小学甚至更早学生就已经接触到．但是当时对于矩形的理解和认识是停留在表象层面的，即提到矩形，学生往往联想到的是具体的图形和形象，不能离开实物去研究图形．随着学生的思维水平的提高，这里采取的动画的方式，请学生给矩形下定义，就是要让学生在直观从把握矩形的本质特征，从而将对矩形的理解上升到形式化的高度．
1．矩形的概念
在上面学习和小学的知识基础上，引导学生归纳出矩形的概念．
有一角是直角的平行四边形是矩形．
让学生举出三个日常生活中的矩形的实例．
2．矩形的性质
根据上面的定义提问：
(1)矩形是不是平行四边形？
(2)平行四边形是不是矩形？
(3)平行四边形的性质矩形有没有也具备？
(4)矩形有没有与平行四边形不同的性质？
教师在学生回答的基础上，引导学生得出：矩形不但具备一般平行四边形的所有性质，还具备一般平行四边形没有的特殊性质：
3．探究
(1)如图，剪出一个矩形纸片ABCD，点O是这个矩形的中心．请你用折叠的方法，验证它是轴对称图形．矩形有几条对称轴，它们都经过矩形的中心吗？
(2)拿出准备好的平行四边形活动框架，来做一做：
在一个平行四边形活动框架上，用两根像皮筋分别套在相对的两个顶点上，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状：
①随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？
②当∠α是锐角时，两条对角线的长度有什么关系？当∠α是钝角时呢？
③当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时两条对角线的长度有什么关系？
(学生进行活动，探索矩形的性质)
当∠α是锐角或钝角时，两条对角线是不相等的．
当∠α是直角时，平行四边形变为矩形，这时两条对角线的长度相等．
归纳矩形的性质：(引导学生归纳，并体会矩形的“对称美”．)
矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形．
矩形的性质：
定理1．矩形的四个角都是直角；
定理2．矩形的对角线相等；
教师根据矩形的性质2，画出图形，写出已知、求证，让学生独立完成性质2的证明．已知：如图，AC和BD是矩形ABCD的对角线；
求证：AC=BD．
教师让学生独立完成证明过程，
让一位学生板演，教师是学生完成证明过程后，
进行点评指正．
4．习题演示
如图，四边形ABCD 是矩形，△PBC 和△QCD 都是等边三角形，且点P 在矩形上方，点Q 在矩形内．求证：(1)∠PBA =∠PCQ =30°；(2)P A =PQ ．
证明：(1)∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠ABC =∠BCD =90°．
∵△PBC 和△QCD 是等边三角形，
∴∠PBC =∠PCB =∠QCD =60°，
∴∠PBA =∠ABC －∠PBC =30°
∠PCD =∠BCD －∠PCB =30°．
∴∠PCQ =∠QCD －∠PCD =30°．
∴∠PBA =∠PCQ =30°．
(2)∵AB =DC =QC ，∠PBA =∠PCQ ，PB =PC ，
∴△P AB ≌△PQC ，
∴P A =PQ ．
如图，在矩形ABCD 中，点E F 、分别在边AD DC 、上，ABE DEF △∽△，692AB AE DE ===，，，求EF 的长．
证明：∵四边形ABCD 是矩形，AB =6
∴∠A =∠D =90°，DC =AB =6
又∵AE =9
∴在Rt △ABE 中，由勾股定理得：BE =
117692222=+=+AB AE ，
∵ABE DEF △∽△， A
C B
D P
Q
A B C
D
E F
∴EF BE DE AB =，即EF
11726=， ∴EF =
3117． (二)矩形的判定
我们已知矩形性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角．(出示符号语言)
1．问题：若平形四边形的对角线相待，则它是矩形吗？(由学生分析)
矩形判定：对角线相等的平行四边形是矩形．(出示符号语言)
2．矩形的判定定理
定理1．对角线相等的平行四边形是矩形；
定理2．有三个角是直角的四边形是矩形．
3．矩形判断定理的证明
(1)证明定理1
教师对照右边的图形，写出已知、求证如下．
已知：在平行四边形ABCD 在中，AC =BD ，求证：平行四边形ABCD 是矩形．
教师做启发性提问：
①条件是什么？结论是什么？
②要证明一个四边形是矩形，根据矩形的定义，只需证明什么？
③要证明有一个角是直角，根据相邻的两个角互补，只需要证明什么？于是就归结为证明怎样的两个三角形全等？
④如果选择要证明全等的两个三角形是△ABC 和△DCB ，它们已经满足哪些条件？这些条件能证明它们全等吗？根据是什么？
(2)证明定理2
教师做启发性提问：
①定理的条件是什么？结论是什么？
②在没有这个判定定理以前，我们要证明一个四边形是矩形，只能根据什么方法来证明？
③因此证明这个定理应该先证明什么？再证明什么？
教师在学生回答后，让学生自己独立的完成证明．
在学生回答后让学生口述证明过程，教师在指正的基础上同步板书，证明过程略． 4．讲解范题
一张四边形的纸板ABCD 的形状如图(1)，它的两条对角线互相垂直．如果要从这张纸板中剪出一个矩形，并且使它的四个顶点分别落在四边形ABCD 的四条边上，可以怎么剪？
(2)(1)
A C
教师引导学生利用三角形的中位线定理，分别取AB 、BC 、CD 、DA 的中点E 、F 、G 、H ，任何再利用三角形的中位线定理进行证明，证明过程略．
三、课堂小结
1．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，有两条对称轴．
2．矩形不但具备一般平行四边形的所有性质，还具备一般平行四边形没有的特殊性质是：
(1)矩形的四个角都是直角；
(2)矩形的对角线相等．
3．针对判定一个四边形是矩形的判定方法进行小结，特别指出要利用判定定理2进行判定时要具备两个条件：
(1)这个四边形是平行四边形；
(2)对角线要相等．
这两个条件缺一不可．
四、布置作业
1．课本习题6.4的1、2题．
2．课本习题6.5的1、2题．
3．课本习题6.5的1题．。