27.3位似
人教版九年级数学下册：27.3《位似》教案1
人教版九年级数学下册：27.3《位似》教案1一. 教材分析《人教版九年级数学下册》第27.3节“位似”是学生在学习了相似三角形的基础上，进一步研究位似图形的性质。
本节内容通过具体的实例，让学生理解位似的定义，掌握位似图形的性质，并能够运用位似的概念解决实际问题。
教材通过丰富的图片和实例，激发学生的学习兴趣，培养学生观察、思考、归纳的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了相似三角形的性质，对图形的相似性有一定的认识。
但在实际应用中，学生可能对位似的概念理解不够深入，难以运用位似知识解决生活中的问题。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，通过实例分析，引导学生深入理解位似的概念，提高学生的实际应用能力。
三. 教学目标1.了解位似的定义，掌握位似图形的性质。
2.能够识别生活中的位似图形，并运用位似知识解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、思考能力和归纳能力。
四. 教学重难点1.重点：位似的定义，位似图形的性质。
2.难点：运用位似知识解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例，引导学生观察、思考，激发学生的学习兴趣。
2.启发式教学法：教师提问，学生回答，引导学生主动探究位似的概念。
3.小组合作学习：学生分组讨论，共同完成实践任务，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.准备相关的图片和实例，用于教学演示。
2.准备练习题，用于巩固所学知识。
3.准备黑板，用于板书关键知识点。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的位似图形，如放大或缩小的图片、相似的建筑等。
引导学生观察这些图形，并提出问题：“你们认为这些图形有什么共同的特点？”让学生思考并回答，从而引出位似的概念。
2.呈现（10分钟）介绍位似的定义，并用具体的实例进行分析。
讲解位似图形的性质，如对应边的比例关系、对应角的相等性等。
让学生通过观察实例，理解并掌握位似的概念。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，找出生活中的位似图形，并运用位似知识进行分析。
27.3位似
27. 3 位似（一）一、教学目标1．了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质．2．掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．二、重点、难点1．重点：位似图形的有关概念、性质与作图．2．难点：利用位似将一个图形放大或缩小．3．难点的突破方法（1）位似图形：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．（2）掌握位似图形概念，需注意：①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；②两个位似图形的位似中心只有一个；③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；④位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似．（3）位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质．位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比（相似比）．（4）两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行．（5）利用位似，可以将一个图形放大或缩小，其步骤见下面例题．作图时要注意:①首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择；②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；④符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关（如例2），并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形（如例2中的图2与图3）．三、例题的意图本节课安排了两个例题，例1是补充的一个例题，通过辨别位似图形，巩固位似图形的概念，让学生理解位似图形必须满足两个条件：（1）两个图形是相似图形；（2）两个相似图形每对对应点所在的直线都经过同一点，二者缺一不可．例2是教材P61例题，通过例2 的教学，使学生掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．讲解例2时，要注意引导学生能够用不同的方法画出所要求作的图形，要让学生通过作图理解符合要求的图形不惟一，这和所作的图形与所确定的位似中心的位置有关（如位似中心O可能选在四边形ABCD外，可能选在四边形ABCD内，可能选在四边形ABCD的一条边上，可能选在四边形ABCD的一个顶点上）．并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形（如例2 中的图2与图3），因此，位似中心的确定是作出图形的关键．要及时强调注意的问题（见难点的突破方法④），及时总结作图的步骤（见例2），并让学生练习找所给图形的位似中心的题目（如课堂练习2），以使学生真正掌握位似图形的概念与作图．四、课堂引入1．观察：在日常生活中，我们经常见到下面所给的这样一类相似的图形，它们有什么特征？2．问：已知：如图，多边形ABCDE，把它放大为原来的2倍，即新图与原图的相似比为2．应该怎样做？你能说出画相似图形的一种方法吗？五、例题讲解例1（补充）如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心．分析：位似图形是特殊位置上的相似图形，因此判断两个图形是否为位似图形，首先要看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否都经过同一点，这两个方面缺一不可．解：图（1）、（2）和（4）三个图形中的两个图形都是位似图形，位似中心分别是图（1）中的点A ，图（2）中的点P和图（4）中的点O．（图（3）中的点O不是对应点连线的交点，故图（3）不是位似图形，图（5）也不是位似图形）例2（教材P61例题）把图1中的四边形ABCD 缩小到原来的21． 分析：把原图形缩小到原来的21，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为1∶2 ．作法一：（1）在四边形ABCD 外任取一点O ；（2）过点O 分别作射线OA ，OB ，OC ，OD ；（3）分别在射线OA ，OB ，OC ，OD 上取点A ′、B ′、C ′、D ′， 使得21OD D O OC C O OB B O OA A O ='='='='； （4）顺次连接A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′A ′，得到所要画的四边形A ′B ′C ′D ′，如图2．问：此题目还可以如何画出图形？作法二：（1）在四边形ABCD外任取一点O ；（2）过点O 分别作射线OA ，OB ， OC ，OD ；（3）分别在射线OA ， OB ，OC ， OD 的反向延长线上取点A ′、B ′、C ′、D ′，使得21OD D O OC C O OB B O OA A O ='='='='； （4）顺次连接A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′A ′，得到所要画的四边形A ′B ′C ′D ′，如图3．作法三：（1）在四边形ABCD 内任取一点O ；（2）过点O 分别作射线OA ，OB ，OC ，OD ；（3）分别在射线OA ，OB ，OC ，OD 上取点A ′、B ′、C ′、D ′， 使得21OD D O OC C O OB B O OA A O ='='='='； （4）顺次连接A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′A ′，得到所要画的四边形A ′B ′C ′D ′，如图4．（当点O在四边形ABCD的一条边上或在四边形ABCD的一个顶点上时，作法略——可以让学生自己完成）六、课堂练习1．教材P61．1、22．画出所给图中的位似中心．1．把右图中的五边形ABCDE扩大到原来的2倍．七、课后练习1．教材P65．1、2、42．已知：如图，△ABC，画△A′B′C′，使△A′B′C′∽△ABC，且使相似比为1.5，要求（1）位似中心在△ABC的外部；（2）位似中心在△ABC的内部；（3）位似中心在△ABC的一条边上；（4）以点C为位似中心．教学反思27. 3 位似（二）一、教学目标1．巩固位似图形及其有关概念．2．会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．3．了解四种变换（平移、轴对称、旋转和位似）的异同，并能在复杂图形中找出这些变换．二、重点、难点1．重点：用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换．2．难点：把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．3．难点的突破方法（1）相似与轴对称、平移、旋转一样，也是图形之间的一个基本变换，因此一些特殊的相似（如位似）也可以用图形坐标的变化来表示．．（2）带领学生共同探究出位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点．．为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k．（3）在平面直角坐标系中，用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换的关键是要确定位似图形各个顶点的坐标，而不同方法得到的图形坐标是不同的．如：已知：△ABC三个顶点坐标分别为A(1,3)，B(2,0)，C(6,2)，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，根据前面（2）总结的变化规律，点A的对应点A′的坐标为（1×2，3×2），即A′（2，6），或点A的对应点A′′的坐标为（1×(-2)，3×(-2)），即A′′（-2，-6）．类似地，可以确定其他顶点的坐标．（4）本节课的最后要给学生总结（或让学生自己总结）平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而图形放大或缩小（位似变换）之后是相似的．并让学生练习在所给的图案中，找出平移、轴对称、旋转和位似这些变换．三、例题的意图本节课安排了两个例题，例1是教材P63的例题，它是在引导学生寻找出位似变换中对应点的坐标的变化规律后的一个用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换的题目，其目的是巩固新知识，帮助学生加深理解用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换知识，此题目应让学生用不同方法作出图形．例2是教材P64的一个问题，它是“平移、轴对称、旋转和位似”四种变换的一个综合题目，所给的图案由于观察的角度不同，答案就会不同，因此应让学生自己来回答，并在顺利完成这个题目基础上，让学生自己总结出这四种变换的异同．四、课堂引入1．如图，△ABC三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，（1）将△ABC向左平移三个单位得到△A1B1C1，写出A 1、B 1、C 1三点的坐标；（2）写出△ABC 关于x 轴对称的△A 2B 2C 2三个顶点A 2、B 2、C 2的坐标；（3）将△ABC 绕点O 旋转180°得到△A 3B 3C 3，写出A 3、B 3、C 3三点的坐标．2．在前面几册教科书中，我们学习了在平面直角坐标系中，如何用坐标表示某些平移、轴对称、旋转（中心对称）等变换，相似也是一种图形的变换，一些特殊的相似（如位似）也可以用图形坐标的变化来表示．3．探究：（1）如图，在平面直角坐标系中，有两点A(6,3)，B(6,0)．以原点O 为位似中心，相似比为31，把线段AB 缩小．观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？（2）如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，以点O 为位似中心，相似比为2，将△ABC 放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？【归纳】 位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ．五、例题讲解例1（教材P63的例题）分析：略（见教材P63的例题分析）解：略（见教材P63的例题解答）问：你还可以得到其他图形吗？请你自己试一试！解法二：点A 的对应点A′′的坐标为（-6×)21(-，6×)21(-），即A′′（3，-3）．类似地，可以确定其他顶点的坐标．（具体解法与作图略）例2（教材P64）在右图所示的图案中，你能找出平移、轴对称、旋转和位似这些变换吗？分析：观察的角度不同，答案就不同．如：它可以看作是一排鱼顺时针旋转45°角，连续旋转八次得到的旋转图形；它还可以看作位似中心是图形的正中心，相似比是4∶3∶2∶1的位似图形，……．解：答案不惟一，略．六、课堂练习1． 教材P64．1、22．△ABO的定点坐标分别为A(-1,4)，B(3,2)，O(0,0)，试将△ABO放大为△EFO，使△EFO与△ABO的相似比为2.5∶1，求点E和点F的坐标．3．如图，△AOB缩小后得到△COD，观察变化前后的三角形顶点，坐标发生了什么变化，并求出其相似比和面积比．七、课后练习1．教材P65．3，P66．5、82．请用平移、轴对称、旋转和位似这四种变换设计一种图案（选择的变换不限）．3．如图，将图中的△ABC以A．为位似中心，放大到1.5倍，请画出图形，并指出三个顶点的坐标所发生的变化．教学反思。
人教版数学九年级下册27.3《位似(1)》教学设计
人教版数学九年级下册27.3《位似（1）》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级下册27.3《位似》是学生在学习了相似三角形的基础上，进一步研究位似图形的性质。
本节内容通过具体的实例，让学生理解位似的概念，掌握位似图形的性质，并能够运用位似性质解决实际问题。
教材通过丰富的图形和实例，引导学生探究、发现位似的性质，培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了相似三角形的性质和判定，具备了一定的几何知识基础。
但九年级学生的空间想象能力和抽象思维能力仍需进一步提高。
因此，在教学过程中，教师应注重引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，自主探究位似图形的性质，提高学生的空间想象能力和抽象思维能力。
三. 教学目标1.知识与技能：理解位似的概念，掌握位似图形的性质，能够运用位似性质解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和创新精神。
四. 教学重难点1.重点：位似的概念，位似图形的性质。
2.难点：位似性质的证明和运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过丰富的图形和实例，引导学生观察、操作，激发学生的学习兴趣。
2.问题驱动法：设置问题引导学生思考，培养学生的问题解决能力。
3.合作学习法：分组讨论，培养学生团队合作意识和交流能力。
4.启发式教学法：引导学生自主探究，培养学生的抽象思维能力。
六. 教学准备1.准备相关的图形和实例，用于引导学生观察和操作。
2.准备投影仪或大屏幕，用于展示图形和实例。
3.准备练习题和实际问题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中常见的位似图形，如放大或缩小的地图、图片等，引导学生观察并提问：“这些图形有什么共同特点？”让学生思考位似图形的性质，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师通过展示位似图形的定义和性质，引导学生理解和掌握位似的概念。
《27.3 位似》教学设计教学反思-2023-2024学年初中数学人教版12九年级下册
《位似》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 理解位似图形概念，掌握位似图形性质。
2. 能够运用位似将图形进行相似变换。
3. 培养观察、分析、归纳和解决问题的能力。
二、教学重难点1. 教学重点：位似图形概念的理解和位似图形性质的运用。
2. 教学难点：将位似性质灵活运用到实际问题中。
三、教学准备1. 准备教学用具：黑板、白板、几何工具、图片等。
2. 准备教学材料：位似图形相关例题和练习题。
3. 设计导入环节，引导学生进入位似图形概念的学习。
4. 设计探究环节，引导学生通过实际操作和推理，理解位似图形性质。
5. 设计应用环节，引导学生解决实际问题，提高运用位似知识的能力。
6. 准备教学评价工具，对学生的学习情况进行评估。
四、教学过程：1. 引入课题通过展示两张相似的图片，让学生观察并思考这两张图片的相似之处，从而引出位似图形和相似图形的区别。
2. 探索新知(1)位似图形定义：两个图形位似，位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形。
(2)位似中心：两个图形位似，位似中心只有一个，且在两个图形上对应点的连线上。
(3)探索方法：通过画点和画线两种方法来证明两个图形位似。
(4)位似图形性质：利用位似图形的性质解决实际问题。
3. 实践活动(1)学生动手操作，画一组位似图形。
(2)通过实践活动，加深对位似图形的理解。
4. 课堂小结通过回顾本节课所学知识，让学生对本节课有一个系统的认识，并从中发现自己的不足之处，及时加以弥补。
5. 作业布置(1)巩固本节课所学知识，加深对位似图形的理解。
(2)结合实际生活，利用位似图形解决实际问题。
教学设计方案（第二课时）一、教学目标1. 学生能够理解位似图形的基本概念和性质。
2. 学生能够应用位似图形解决一些简单的几何问题。
3. 培养学生的观察、分析和解决问题的能力。
二、教学重难点1. 教学重点：理解位似图形的性质，掌握其应用方法。
2. 教学难点：将位似图形性质与实际问题的结合应用。
《27.3 第1课时 位似图形的概念及画法》课件(三套)
作法一：（1）在四边形ABCD外任取一点O； （2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD； （3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点 A′、B′、C′、D′， 使得 OA OB OC OD 1
OA OB OC OD 2
（4）顺次连结A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画 的四边形A′B′C′D′，如图2．
把右图中的五边形ABCDE扩大到原来的2倍。
练 A
一B
E
练 C
●
O D
D` ●
`E ●
`●
A
●
C`
●
B`
四、归纳小结
1、如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对 应点连线相交于 一点 ，对应边互相 平行 ，那么 这样的两个图形叫做__位__似__图_形__.这个点叫 做 位似中心 .
2、利用位似进行作图的关键是确定_位__似_中__心 _和 _关__键__点____.
第二十七章 相似 27.3 位似
第1课时 位似图形的概念及画法
一、新课引入 1、我们学过的图形变换形式有哪些？
平移、旋转、对称
2、什么叫相似？相似与全等有什么区别与联系？ 相似：形状相同。 全等：大小、形状相同，能够重合 区别：相似不一定全等，但全等一定相似。 联系：形状相同
二、学习目标
1 了解位似图形及其有关概念，了解 位似与相似的联系和区别，掌握位 似图形的性质；
解析：由题意得，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′ 是位似图形，所以五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′ 相似，所以它们的周长的比等于对应边的比，即等于
OA 10 1 . OA 20 2
答案：1
2
通过这节课的学习，你有哪些收获？ 1.如果两个相似图形的每组对应点所在的直线都交于一点, 对应边平行，那么这样的两个图形叫做位似图形, 这个交 点叫做位似中心, 这时两个相似图形的相似比又叫做它们 的位似比. 2.位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上,它们到 位似中心的距离之比等于位似比.
人教版九年级数学下册：27.3《位似》说课稿1
人教版九年级数学下册：27.3《位似》说课稿1一. 教材分析《位似》是人教版九年级数学下册第27.3节的内容，属于几何学的范畴。
这部分内容是在学生学习了相似三角形、相似多边形的基础上进行的，是几何学习中的重要组成部分。
位似是指两个图形在形状上相似，但大小不一定相同的现象。
通过学习位似，学生可以更好地理解图形的内在联系，提高空间想象力，为后续学习圆锥、圆柱等几何体的性质打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础，对相似三角形、相似多边形有一定的了解。
但是，对于位似的理解还需要进一步的引导和培养。
此外，学生的空间想象力各不相同，需要在教学过程中注意因材施教，引导学生主动探究，提高空间想象力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：理解位似的定义，掌握位似的性质，能运用位似解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间想象力，提高解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作精神，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 说教学重难点1.教学重点：位似的定义，位似的性质。
2.教学难点：位似的性质的理解和运用，尤其是位似中心的确定。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、讨论法、案例教学法等，引导学生主动探究，提高空间想象力。
2.教学手段：多媒体课件、几何模型、黑板等。
六. 说教学过程1.导入：通过一个生活中的实例，引导学生思考位似的存在，激发学生的兴趣。
2.新课讲解：讲解位似的定义，通过几何模型和多媒体课件，展示位似的性质，引导学生动手操作，加深理解。
3.例题解析：分析几个典型的位似问题，引导学生运用位似性质解决实际问题。
4.课堂练习：设计一些练习题，让学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。
5.总结：对本节课的内容进行总结，强调位似的性质和运用。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出位似的性质和关键点。
27.3 第1课时 位似图形的概念及画法
27.3 位似第1课时位似图形的概念及画法1．了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的相关知识；(重点)2．掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．(难点)一、情境导入生活中我们经常把自己好看的照片放大或缩小，由于没有改变图形的形状，我们得到的照片是真实的．观察图中有多边形相似吗？如果有，那么这种相似有什么共同的特征？二、合作探究探究点：位似图形【类型一】判定是否是位似图形下列3个图形中是位似图形的有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：根据位似图形的定义可知两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行(或共线)，所以位似图形是第一个和第三个．故选C.方法总结：判断两个图形是不是位似图形，首先要看它们是不是相似图形，再看它们对应顶点的连线是否交于一点．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题【类型二】确定位似中心找出下列图形的位似中心．解析：(1)连接对应点AE、BF，并延长的交点就是位似中心；(2)连接对应点AN、BM，并延长的交点就是位似中心；(3)连接AA ′，BB ′，它们的交点就是位似中心．解：(1)连接对应点AE 、BF ，分别延长AE 、BF ，使AE 、BF 交于点O ，点O 就是位似中心；(2)连接对应点AN 、BM ，延长AN 、BM ，使AN 、BM 的延长线交于点O ，点O 就是位似中心；(3)连接AA ′、BB ′，AA ′、BB ′的交点就是位似中心O . 方法总结：确定位似图形的位似中心时，要找准对应顶点，再经过每组对应顶点作直线，交点即为位似中心．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第2题 【类型三】 画位似图形按要求画位似图形：(1)图①中，以O 为位似中心，把△ABC 放大到原来的2倍； (2)图②中，以O 为位似中心，把△ABC 缩小为原来的13.解析：(1)连接OA 、OB 、OC 并延长使AD ＝OA ，BE ＝BO ，CF ＝CO ，顺次连接D 、E 、F 就得出图形；(2)连接OA 、OB 、OC ，作射线CP ，在CP 上取点M 、N 、Q 使MN ＝NQ ＝CQ ，连接OM ，作NF ∥OM 交OC 于F ，再依次作EF ∥BC ，DE ∥AB ，连接DF ，就可以求出结论．解：(1)如图①，画图步骤：①连接OA 、OB 、OC ；②分别延长OA 至D ，OB 至E ，OC 至F ，使AD ＝OA ，BE ＝BO ，CF ＝CO ；③顺次连接D 、E 、F ，∴△DEF 是所求作的三角形；(2)如图②，画图步骤：①连接OA 、OB 、OC ，②作射线CP ，在CP 上取点M 、N 、Q 使MN ＝NQ ＝CQ ，③连接OM ，④作NF ∥OM 交OC 于F ，⑤再依次作EF ∥BC 交OB 于E ，DE ∥AB 交OA 于D ，⑥连接DF ，∴△DEF 是所求作的三角形．方法总结：画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题 【类型四】 位似图形的实际应用在放映电影时，我们需要把胶片上的图片放大到银幕上，以便人们欣赏．如图，点P 为放映机的光源，△ABC 是胶片上面的画面，△A ′B ′C ′为银幕上看到的画面．若胶片上图片的规格是2.5cm ×2.5cm ，放映的银幕规格是2m ×2m ，光源P 与胶片的距离是20cm ，则银幕应距离光源P 多远时，放映的图象正好布满整个银幕？解析：由题中条件可知△A ′B ′C ′是△ABC 的位似图形，所以其对应边成比例，进而即可求解．解：图中△A ′B ′C ′是△ABC 的位似图形，设银幕距离光源P 为x m 时，放映的图象正好布满整个银幕，则位似比为x 0.2＝22.5×10－2，解得x ＝16.即银幕距离光源P 16m 时，放映的图象正好布满整个银幕．方法总结：在位似变换中，任意一对对应点到位似中心的距离之比等于对应边的比，面积比等于相似比的平方．【类型五】 利用位似的性质进行证明或计算如图，F 在BD 上，BC 、AD 相交于点E ，且AB ∥CD ∥EF ，(1)图中有哪几对位似三角形，选其中一对加以证明； (2)若AB ＝2，CD ＝3，求EF 的长．解析：(1)利用相似三角形的判定方法以及位似图形的性质得出答案；(2)利用比例的性质以及相似三角形的性质求出BE BC ＝EF DC ＝25，求出EF 即可． 解：(1)△DFE 与△DBA ，△BFE 与△BDC ，△AEB 与△DEC 都是位似图形．理由：∵AB ∥CD ∥EF ，∴△DFE ∽△DBA ，△BFE ∽△BDC ，△AEB ∽△DEC ，且对应边都交于一点，∴△DFE 与△DBA ，△BFE 与△BDC ，△AEB 与△DEC 都是位似图形；(2)∵△BFE ∽△BDC ，△AEB ∽△DEC ，AB ＝2，CD ＝3，∴AB DC ＝BE EC ＝23，∴BE BC ＝EFDC ＝25，解得EF ＝65. 方法总结：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．位似图形的对应线段的比等于相似比．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题 三、板书设计位似图形的概念及画法 1．位似图形的概念；2．位似图形的性质及画法．在教学过程中，为了便于学生理解位似图形的特征，应注意让学生通过动手操作、猜想、试验等方式获得感性认识，然后通过归纳总结上升到理性认识，将形象与抽象有机结合，形成对位似图形的认识．教师应把学习的主动权充分放给学生，在每一环节及时归纳总结，使学生学有所收获.。
初中数学 人教版九年级下册27.3 位似 课件
OA OB OC OD 2
3. 顺次连接点A'、B'、C'、D'，所得四边形A'B'C'D'就是所要求的图形．
A
B
D
A'
B'
D' C
y A
C. (3，2)
D. (3，1)
C
B
D x
随堂演练
2. 如图，线段CD的两个端点的坐标分别为C(1，2)，D(2，0)，
以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B的坐
标为(5，0)，则点A的坐标为( B )
A．(2，5)
B．(2.5，5)
C．(3，5)
D．(3，6)
随堂演练
3. 如图，某学习小组在讨论 “变化的鱼”时，知道大 鱼与小鱼是位似图形，则小鱼上的点 (a，b) 对应大 鱼上的点 (－2a，－2b) .
y 6
B
4 C
2
A″ O
－2
B″ －4
A 6x 4
C″
课堂总结
1.图形变换的种类： (1)全等变换：全等变换不改变图形的大小与形状，全等变换
包括平移、旋转、轴对称． (2)相似变换：相似变换改变图形的大小，不改变图形的形状，
位似是相似的特殊情况． 2. (1)当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为 k(k＞0)，对应点为 （kx，ky）；当位似图形在原点两侧时， 其对应顶点的坐标的比为－k，对应点为（﹣kx，﹣ky）.
27.3-位似图形1wj
D
C D/ C/ O
A
A/
B/
D A
B C
O
B
D/ C/
B/
A/
O
D D/
CHale Waihona Puke C/A A/B/ B
这两个图放形幻有灯哪些片特征呢？
在片12幻 的．．灯 过两每机程图组放中形对映，相应图这似点．所在直幻线灯都机在 些图片经有过什同么一关点． 哪儿呢？ 系3呢. ？对应边互相平行，
27．3 位 似 图形
＝EBPC
＝DFCP
A
C/
B/
B
O A/ C
位似图形有以下性质：
１．位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上
２．位似图形上任意一对对应点到位似中心的 距离之比等于位似比.
如图，D，E分别AB，AC上的点.
（1）如果DE∥BC，那么∆ADE 和 ∆ABC是位似图形吗？为什么？
A DE
B
C
如图，D，E分别AB，
A
D
B
O
C
F
A
E
△DEF就是所求
2、作△ABC与的位似图形△DEF
且位似比为１／２
O
△DEF就是所求
B E●
●
F
C
●
D
A
A
C/
B/
如图位似图形中，我们可以看到，
△OAB∽△O A′B′,则 B
OA OB
AB
OA′ ＝OB′ ＝A′B′ .
O A/ C
从下图中同样可以看到
AF AD
＝AAPC
＝AABE
相似图形的相似比又叫做它们的位似比.
2.位似图形的性质 位似图形的对应点和位似中心在同一条直 线上,它们到位似中心的距离之比等于相 似比.（位似比）
人教版数学九年级下册教案27.3《位似》
人教版数学九年级下册教案27.3《位似》一. 教材分析《位似》是人教版数学九年级下册第27章第三节的内容，本节课主要让学生理解位似的性质，学会求位似图形的相似比。
通过本节课的学习，学生能够掌握位似的定义，理解位似与相似的关系，以及位似在实际问题中的应用。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了相似图形的性质，能够求出两相似图形的相似比。
但位似这一概念对学生来说比较抽象，不易理解。
因此，在教学过程中，教师需要利用生活中的实例，引导学生直观地理解位似的含义，并学会求位似图形的相似比。
三. 教学目标1.理解位似的定义，掌握位似图形的性质。
2.学会求位似图形的相似比。
3.能够运用位似知识解决实际问题。
四. 教学重难点1.教学重点：位似的定义，位似图形的性质，求位似图形的相似比。
2.教学难点：位似与相似的关系，位似在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用情境教学法、案例教学法和小组合作学习法。
通过生活实例引入位似概念，引导学生直观地理解位似；通过具体案例，让学生学会求位似图形的相似比；通过小组合作学习，培养学生运用位似知识解决实际问题的能力。
六. 教学准备1.教学课件：位似的概念、位似图形的性质、求相似比的方法。
2.实例图片：生活中的位似现象。
3.练习题：巩固位似知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如相机拍照、放大镜观察等，引导学生直观地认识位似现象。
提问：这些现象中，你们发现了什么共同特点？2.呈现（10分钟）呈现位似的定义，引导学生理解位似的含义。
通过具体案例，让学生学会求位似图形的相似比。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选择一个实例，求出位似图形的相似比。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）出示练习题，让学生独立完成。
教师讲解答案，巩固位似知识。
5.拓展（10分钟）引导学生运用位似知识解决实际问题，如设计图案、建筑布局等。
学生分组讨论，分享解题过程和答案。
27.3位
练习：如图：以O为位似中心， 将△ABC放大为原来的两倍
O
B A C
B' C'' A'' O C C' B A A'
如果把位似图形放到直角体系中，又如何 去探究位似变换与坐标之间的关系呢？
B''
思考：还有没其他作法？ 思考：还有没其他作法？
如果位似中心跑到三角形内部呢？ 如果位似中心跑到三角形内部呢？ A
思考：位似图形有何性质？ 思考：位似图形有何性质？
概念与性质
2. 位似图形的性质
OA 从第 (1)，(2)图中，我们可以看到，△OAB∽△O A′B′,则 图中，我们可以看到， OAB∽△O A′ ＝ ∽△ OA′ OA′ OB AB AF AP AE EP FP 从第（ ＝ .从第（3）图中同样可以看到 ＝ ＝ ＝ ＝ OB′ OB′ A′B′ AD AC AB BC DC
相似 对应点的连 线相交一点 对应边平行
辨一辨
1. 判断下列各对图形是不是位似图形 判断下列各对图形是不是位似图形. （1）正五边形ABCDE与正五边形A′B′C′D′E′； 是 正五边形ABCDE与正五边形A′B′C′D′E′； ABCDE与正五边形A′B′C′D′E′ （2）等边三角形ABC与等边三角形A′B′C′. 是 等边三角形ABC与等边三角形A′B′C′. ABC与等边三角形
O
B C
如果∆OAB和 ∆OCD是位似图形，那么 和 是位似图形， 如果 是位似图形 AB∥CD吗？为什么？ ∥ 吗 为什么？ C
A
理由是： 解:AB∥CD.理由是： ∥ 理由是 ∆OAB和 ∆OCD是位似图形， 是位似图形， 和 是位似图形 ∆OAB∽ ∽ ∆OCD ∠OAB＝∠C ＝
人教版数学九年级下册27.3 第1课时 位似图形的概念及画法
知识要点 位似图形
内容
概念 定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶 点的连线相交于_一__点__，对应边_互__相__平__行_ _(_或__共__线__)_，像这样的两个图形叫做位似图 形．这个点叫做_位__似__中__心__.
性质 任意一对对应点到位似中心的距离之比等 于__相__似__比__.
内容
画法 一般步骤： ①定_位__似__中__心___； ②分别连接并延长位似中心和能代表原图 的__关__键__点____； ③根据相似比，确定能代表所作的位似图 形的___关__键__点___； ④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的 图形.
对应点在位似中心异 对应点在位似中心
基本 侧：
同侧：
第二种，如图 b， ①连接 OA、OB、OC； ②分别延长 AO 至 D′，BO 至 E′，CO 至 F′，使 OD′＝2AO， OE′＝2BO，OF′＝2CO； ③顺次连接 D′、E′、F′得到△D′E′F′，△D′E′FE∥AB，CE＝2BE，则△ABC 与△DEC 是以点__C____为位似中心的位似图形，其相似比为 __3_∶__2___.
4．找出下列位似图形的位似中心． 解：如图所示．
5．按要求画位似图形并写出作图步骤：如图，以 O
为位似中心，把△ABC 放大到原来的 2 倍．
解：第一种，如图 a， ①连接 OA、OB、OC； ②分别延长 OA 至 D，OB 至 E，OC 至 F， 使 AD＝OA，BE＝BO，CF＝CO； ③顺次连接 D、E、F 得到△DEF，△DEF 就是所 求作的三角形．
模型
(1)判断两个图形是不是位似图形，首先要 解题 看它们是不是相似图形，再看它们对应顶 策略 点的连线是否交于一点．(如T1)
27.3 平面直角坐标系中的位似
第2课时 平面直角坐标系中的位似
1.什么叫位似图形?
如果两个相似图形的每组对应顶点所在的直
线都交于一点,对应边互相平行，那么这样
的两个图形叫做位似图形, 这个交点叫做位
似中心, 这时两个相似图形的相似比又叫做
它们的位似比.
注意：同时满足下面三个条件的两个 图形才叫做位似图形．三条件缺一不可．
A′(2,1),B′(2,0) y A〞(-2,-1),B(-2,0)
A
A'
B〞
x o
B'
B
A〞
观察对应点之间的坐标的变化,你有什么发现?
如图，△AOC三个顶点的坐标分别为A（4，4）， O（0，0），C（5，0）以点O为位似中心，相似 比为2，讲△AOC放大，观察对应顶点坐标的变化， 你有什么发现
y
A'
A
C"
o
C
C'
x
A"
在平面直角坐标系中，如果位似变换是 以原点为位似中心，相似比为k，那么与 原图上点（x,y）对应的点的坐标为 （kx,ky）或（-kx,-ky）。
例.如图，
三角形ABO的三个顶点的坐标分别为A(-2,4),
B(-2相似比 为3/2的位似图形.
在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以 原点O为位似中心,相似比为1:3,把线段AB缩小.
y A′(2,1),B′(2,0)
A
A'
x o
B'
B
观察对应点之间的坐标的变化,你有什么发现?
在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以 原点O为位似中心,相似比为1:3,把线段AB缩小.
27.3位似
今天我们将学习另一种图形的变换
人教版九年级下册
观察探究
在日常生活中，我们经常见到这样一类相似的图形，
例如，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏 幕上（如图显示了它工作的原理）．在照相馆中，摄影师通 过照相机，把人物的形象缩小在底片上．
这样的放大缩小，没有改变图形形状，经过放大或缩小的图 形，与原图形是相似的，因此，我们可以得到真实的图片和 满意的照片．
B
E O
●
F
●
C
D
●
A
还有其他方法吗?
变式训练
(2)如何把三角形ABC放大为原来的2倍? 在射线OA,OB,OC上分别取D,E,F,使OD=2OA, OE=2OB, OF=2OC,连接D,E,F, 还有其他方法吗?
E
B O
C A F D
课堂小结
1.什么叫位似图形? 如果两个图形不仅相似,而且对应顶点的连 线相交于一点,对应边互相平行，像这样的两个 图形叫做位似图形, 这个点叫做位似中心。 2.位似图形的性质 位似图形上的任意一对对应点到位似中 心的距离之比等于相似比 3.利用位似可以把一个图形放大或缩小
探究新知
2. 位似图形的性质
OA 从第 (1)，(2)图中，我们可以看到，△OAB∽△O A′B′,则 ＝ OA′ OB AB AF AP AE EP FP ＝ .从第（3）图中同样可以看到 ＝ ＝ ＝ ＝ OB′ A′B′ AD AC AB BC DC
性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心 的距离之比等于相似比.
y
o
A C
x
B
至此,我们己经学习了四种变换;平移轴、 对称、旋转和位似,你能说出它们之间的异同 吗?在图所示的图案中,你能找到这些变换吗?
27.3 位似
27.3位似1.了解位似图形及其有关概念,了解位似与相似的联系和区别,掌握位似图形的性质.2.掌握位似图形的画法,能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小.3.了解用坐标描述位似变换的基本原理,理解以原点为位似中心的坐标变化规律.4.能利用以原点为位似中心的坐标变化规律找出对应点的坐标.5.能运用位似原理作出位似图形.1.学生经历对位似图形的观察、画图、分析、交流,体验探索得出结论,培养学生分析问题、解决问题的能力.2.进一步提高学生利用图形的变换解决问题的能力及小组合作、共同探究的能力,养成良好的数学思维习惯.3.在探究活动中,让学生感受、体会几何图形之美,提高对数学美的认识.4.让学生在应用位似知识解决问题的过程中,体验数形结合的思想方法在解题中的应用.1.经历从实际问题中建立数学模型的过程,增强应用意识,提高实践能力.2.经历将一个图形放大或者缩小的过程,培养学生动手操作的良好习惯,培养学生的数学应用意识.3.进一步提高合作互助及交流能力,感受数学创造的乐趣,增强学好数学的信心.【重点】1.位似图形的有关概念、性质及作位似图形.2.运用坐标系下的位似变换原理作出位似图形.【难点】1.利用位似图形将一个图形放大或缩小.2.把一个图形放大或缩小后,理解点的坐标变化的规律.第课时1.了解位似图形及其有关概念,了解位似与相似的联系和区别,掌握位似图形的性质.2.掌握位似图形的画法,能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小.1.学生经历对位似图形的观察、画图、分析、交流,体验探索得出结论,培养学生分析问题、解决问题的能力.2.进一步提高学生利用图形的变换解决问题的能力及小组合作、共同探究的能力,养成良好的数学思维习惯.1.使学生亲身经历位似图形的概念的形成过程和位似图形、位似变换的性质的探索,感受数学学习的应用性和挑战性.2.经历将一个图形放大或者缩小的过程,培养学生动手操作的良好习惯,培养学生的数学应用意识.3.通过探究等数学活动,让学生感受成功的快乐,体验独自克服困难、解决数学问题的过程,有克服困难的勇气,具备学好数学的信心.【重点】位似图形的有关概念、性质及作位似图形.【难点】利用位似图形将一个图形放大或缩小.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习课本P47~48.导入一:【欣赏图片】【师生活动】教师用多媒体出示图片,引出课题,学生观察思考各图片中的两个图形有什么共同特征.导入二:【复习提问】(1)什么是相似图形?(2)相似图形的性质是什么?【师生活动】学生思考回答,教师点评.导入三:图中有相似多边形吗?如果有,这种相似有什么特征?【师生活动】学生观察、思考,小组合作交流,共同归纳总结图形特征,教师用多媒体出示图片,适当点拨,让学生大胆猜想、归纳.[设计意图]先由生活图片导入新课,让学生体会生活中处处有数学,激发学生的学习兴趣,教师很自然地导出课题,然后复习相似三角形的概念和性质,为本节课的学习做好铺垫,最后再观察思考、交流课本中的几何图形,通过归纳相似的特征,很流畅地归纳出位似概念.[过渡语]我们可以得到以上多边形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,这样特殊的相似图形就【课件展示】如果两个相似多边形的对应顶点的连线相交于一点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这点叫做位似中心.这时我们说这两个图形关于这点位似.【思考】(1)位似图形一定是相似图形吗?反之成立吗?(位似图形一定是相似图形,相似图形不一定是位似图形,位似图形是特殊的相似图形)(2)如何判断两个图形是位似图形?(首先判断两个图形是相似图形,其次判定每一对对应点所在的直线都经过同一点)(3)判断下列图形是不是位似图形?【师生活动】学生独立思考回答,教师适当点评.二、位似图形的性质思路一如图所示的两组多边形是位似图形,观察思考.(1)在各图中,位似图形的位似中心与这两个图形有什么位置关系?(2)在各图中,对应点到位似中心的距离与两个图形的相似比有什么关系?(3)在各图中,两个图形中的对应线段有什么位置关系?【师生活动】学生独立思考后,小组交流讨论,小组代表展示本小组成果,教师巡视时个别辅导学生,对学生的展示给予鼓励和表扬,师生共同归纳位似图形的性质.【课件展示】(1)位似图形可能在位似中心的同侧,也可能在位似中心的异侧.(2)位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上,它们到位似中心的距离之比等于相似比.(3)位似图形中的对应线段平行或在同一条直线上.思路二教师引导,共同分析归纳.如图所示(同思路一图),两组多边形都是位似图形,思考回答.(1)图(1)中的两个位似图形在位似中心的,图(2)中的两个位似图形在位似中心的,故位似图形和位似中心的位置关系是.(2)各图中两个图形的对应边的位置关系是.(教师举例说明位似的对应边可能在同一条直线上)(3)各图中, ,之间的数量关系是;它们与两个图形的相似比之间的数量关系是;故用语言叙述为.【师生活动】学生在教师的问题下思考、回答,教师点拨,共同归纳总结.【课件展示】(1)位似图形可能在位似中心的同侧,也可能在位似中心的异侧.(2)位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上,它们到位似中心的距离之比等于相似比.(3)位似图形中的对应线段平行或在同一条直线上.[设计意图]通过师生合作,经历探索位似图形的性质的过程,理解并掌握位似图形的性质,为后面学习画图做好铺垫,同时提高学生分析问题的能力和归纳总结的能力.[过渡语]根据位似图形的性质,我们可以将一个图形放大或缩小,让我们一起尝试画出下面的图形吧!(教材47页)如图所示,将四边形ABCD缩小为原来的.思路一【教师温馨提示】将四边形缩小为原来的,可以画出与该四边形相似比为1∶2的位似图形,利用位似图形的性质可以将图形放大或缩小.【师生活动】学生独立思考,尝试画图后,小组合作交流,小组代表展示自己的画法,教师巡视过程中及时帮助有困难的学生,并对学生的展示给出点评.【教师继续提示】位似图形一定在位似中心的同侧吗?尝试画出位似图形在位似中心异侧的图形.【课件展示】作法:如图所示.(1)在四边形ABCD外任取一点O;(2)过O点分别作射线OA,OB,OC,OD;(3)分别在射线OA,OB,OC,OD上取点A',B',C',D',使得====;(4)顺次连接A',B',C',D'.所得的四边形A'B'C'D'就是所求作的四边形.类似的方法可以画出在位似中心异侧的位似图形,如图所示.当位似中心选取在四边形内部时,画出的图形如图所示.归纳作位似图形的一般步骤:(1)确定位似中心,画位似图形时,位似中心可能在图形的内部,也可能在图形的外部,还可能在图形的边上.(2)找出关键点(多边形常取顶点),连接位似中心和关键点.(3)根据相似比,确定能代表所作的位似图形的关键点,顺次连接所得的关键点,得到新的图形.(4)写出作图的结论.思路二教师引导思考:(1)利用位似图形可以将一个图形放大或缩小吗?放大或缩小的比例与两个图形的相似比有什么关系? (利用位似图形可以将图形放大或缩小,放大或缩小的比例与相似比相等)(2)根据位似图形的性质,对应点到位似中心的距离比有什么数量关系?(位似图形对应点到位似中心的距离比等于相似比)(3)如何选取位似中心的位置?与四边形有什么位置关系?(平面上任意一点,可能在图形内部,也可能在图形外部,还可能在图形的边上)(4)如何选取缩小后图形的各个顶点?(连接位似中心和各个顶点,根据对应点到位似中心的距离比等于相似比得到各顶点)(5)顺次连接各顶点可得所求作的四边形.【师生活动】学生在教师的引导下思考,然后独立完成画图,教师及时发现学生画图中出现的错误,并及时纠正,强调易错点.【课件展示】归纳画位似图形的方法:(1)确定位似中心;(2)对应点与位似中心的距离比相等,且等于相似比.[设计意图]教师提出问题,引导画图方法,让学生独立完成画图,或学生通过合作交流,共同探究、归纳画图方法,培养学生的作图能力与语言表达能力,体验成功的快乐,增强学习数学的信心.[知识拓展](1)位似是一种具有特殊位置关系的相似.两个图形是位似图形,必定是相似图形,而两个图形是相似图形,不一定是位似图形.(2)位似中心可以在两个图形内部,两个图形之间,两个图形的同一侧,也可以在一个图形的一条边上或某一顶点上.(3)利用位似,可以将一个图形放大或缩小.(4)平行于三角形一边的直线与其他两边或两边的延长线相交,所构成的三角形与原三角形位似.(5)作位似图形时,要弄清相似比.(6)一般情况下,作已知图形的位似图形的结果不唯一.1.位似图形的概念.2.位似图形与相似图形的关系:位似图形一定是相似图形,相似图形不一定是位似图形.3.位似图形的性质:位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上,它们到位似中心的距离之比等于相似比;位似图形中的对应线段平行或在同一条直线上.4.画位似图形: 确定位似中心;对应点与位似中心的距离比相等.1.下列说法:①相似图形一定是位似图形;②位似图形一定是相似图形;③两个位似图形若全等,则位似中心在两个图形之间;④若五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'位似,则其中△ABC与△A'B'C'也是位似的,且相似比相等.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:利用位似的定义可知,位似图形一定是相似图形,因为它是一种特殊的相似,但是相似图形不一定是位似图形,所以①错误,②正确;两个位似图形若全等,根据对应点一定相交于一点,可得到位似中心在两个图形之间,③正确;④若五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'位似,则在五边形中连线组成的△ABC与△A'B'C',画出图形,可得它们也是位似的,④正确.所以②③④正确.故选C.2.△ABC和△A'B'C'是位似图形,且面积之比为1∶9,则△ABC和△A'B'C'的对应边AB和A'B'的比为()A.3∶1B.1∶3C.1∶9D.1∶27解析:由△ABC和△A'B'C'是位似图形,且面积之比为1∶9,得△ABC和△A'B'C'的对应边AB与A'B'的比为1∶3.故选B.3.△ABC与△A'B'C'是位似图形,且△ABC与△A'B'C'的相似比是1∶2,已知△ABC的周长是3,则△A'B'C'的周长是.解析:由△ABC与△A'B'C'是位似图形,且相似比是1∶2,得△ABC与△A'B'C'的周长比是1∶2,又△ABC的周长是3,所以△A'B'C'的周长为6.故填6.4.如图所示,已知△EFH和△MNK是位似图形,那么其位似中心是点.解析:因为位似图形的对应点的连线相交于一点,即位似中心,所以位似中心为B点.故填B.5.如图所示,顶点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形,已知图中的每个小正方形的边长都是1个单位长度,在图中选择适当的位似中心,画一个与格点△DEF位似且相似比不等于1的格点三角形.解:本题答案不唯一.如图所示的△DE'F'就是符合题意的一个三角形.第1课时1.位似图形的概念2.位似图形的性质3.将图形放大或缩小例题一、教材作业【必做题】教材第51页习题27.3第1,2题.【选做题】教材第51页习题27.3第4题.二、课后作业【基础巩固】1.下列关于位似图形的表述:①相似图形一定是位似图形,位似图形一定是相似图形;②位似图形一定有位似中心;③如果两个图形是相似图形,且每组对应点的连线所在的直线都经过同一点,那么这两个图形是位似图形;④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比.其中正确的是()A.②③B.①②C.③④D.②③④2.△ABC与△A'B'C'是位似图形,且△ABC与△A'B'C'的相似比是1∶2,已知△ABC的面积是3,则△A'B'C'的面积是()A.3B.6C.9D.123.如图所示的图形中是位似图形的有()A.0个B.1个C.2个D.3个4.如图所示,正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的,若AB∶FG=2∶3,则下列结论正确的是()A.2DE=3MNB.3DE=2MNC.3∠A=2∠FD.2∠A=3∠F5.如图所示,△ABC与△DEF是位似图形,相似比为2∶3,已知AB=4,则DE的长等于.6.如图所示,△ABC与△A'B'C'是位似图形,点O是位似中心,若OA=2AA',S△ABC=9,则S△A'B'C'=.7.三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子(如图所示).现测得OA=20 cm,OA'=50 cm,这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是.8.如图所示,电影胶片上一个图片的规格为3.5 cm×3.5 cm,放映屏幕的规格为2 m×2 m,若放映机的光源S 距胶片20 cm,那么光源S距屏幕m时,放映的图象刚好布满整个屏幕.【能力提升】9.如图所示,△OAB和△ODC是位似图形.(1)AB与CD平行吗?请说明理由;(2)如果OB=3,OC=4,OD=3.5,试求△OAB与△ODC的相似比及OA的长.【拓展探究】10.如图所示,在边长为1的正方形网格中,有形如帆船的图案①和半径为2的☉P.(1)将图案①进行平移,使A点平移到点E,画出平移后的图案;(2)以点M为位似中心,在网格中将图案①放大为原来的2倍,画出放大后的图案,并在放大后的图案中标出线段AB的对应线段CD;(3)在(2)所画的图案中,线段CD被☉P所截得的弦长为.(结果保留根号)【答案与解析】1.A(解析:①相似图形不一定是位似图形,位似图形一定是相似图形,故①错误;②位似图形一定有位似中心,故②正确;③如果两个图形是相似图形,且每组对应点的连线所在的直线都经过同一点,那么这两个图形是位似图形,故③正确;④位似图形上任意对应两点与位似中心的距离之比等于相似比,故④错误.正确的为②③.故选A.)2.D(解析:∵△ABC 与△A'B'C'是位似图形,且△ABC 与△A'B'C'的相似比是1∶2,△ABC 的面积是3,∴△ABC 与△A'B'C'的面积比为1∶4,则△A'B'C'的面积是12.故选D .)3.D(解析:根据位似图形的定义可知两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点,对应边互相平行(或共线),所以位似图形是(1)(2)(4).故选D .)4.B(解析:∵正五边形FGHMN 与正五边形ABCDE 是位似图形,∴= =,∴3DE =2MN.故选B.)5.6(解析:根据题意知△ABC 与△DEF 位似,且AB ∶DE =2∶3,AB =4,∴DE =6.故填6.)6.(解析:△ABC 与△A'B'C'是位似图形,由OA =2AA',可得两位似图形的相似比为2∶3,∴两位似图形的面积比为4∶9,又S △ABC =9,∴S △A'B'C'=.故填.) 7.(解析:观察图形可得三角尺与它的影子是位似图形,∵OA =20, OA'=50,∴三角尺的周长影子的周长= = .故填.) 8.(解析:设屏幕距光源S x cm,则 =.,所以x =. cm= m .故填.) 9.解:(1) AB ∥CD.理由如下:∵△OAB 与△ODC 是位似图形,∴△OAB ∽△ODC.∴∠A =∠D ,∴AB ∥CD.(2)∵OB ∶OC =3∶4,又∵△OAB ∽△ODC ,∴OB ∶OC =OA ∶OD ,∴3∶4=OA ∶3.5,解得OA =.△OAB 与△ODC 的相似比为3∶4.10.解:(1)平移后的图案,如图所示. (2)放大后的图案,如图所示. (3)线段CD 被☉P 所截得的弦长为2 .本节课让学生观察生活的图片及教材中多边形的图片,通过思考图片的共同点,师生共同得出位似图形的概念,激发学生的兴趣和求知欲.探索位似图形的性质的过程中,以教师提出的问题为指导,通过小组合作交流,归纳总结位似图形的性质,提高了学生分析问题、解决问题的能力,为进一步探索将图形放大或缩小提供了理论依据,在整个探究过程中,学生是课堂的主人,学生在课堂上享受到成功的快乐.画位似图形,由教师先提出问题,学生讨论,通过展示不同成果让学生体会思考问题要全面,最后归纳总结画位似图形的方法,培养学生归纳总结能力.本节课的重点是位似图形的概念、性质及作图方法,在课堂上注重探究知识的形成过程,不是单纯地记忆结论,所以为了让学生交流时有目的,设计的问题较多,不能培养学生的发散思维和创造力,同时在每个探究活动中都设计了小问题,造成探索交流结论的思考时间过长,导致后面的画图处理得有些仓促,部分学生没有真正把握位似中心位置的选取.本节课以学生欣赏生活图片导入新课,激发学生学习兴趣,学生观察两个图形的共同特征,除了相似以外,对应顶点所在的直线交于一点,自然地引出位似图形的概念,然后让学生经历观察、讨论、归纳等数学活动探索位似图形的性质,培养学生的创新意识及与他人合作的能力,最后让学生经历作图的过程,增强学生的动手操作能力,并让学生体会位似中心的位置选取不同,画出的图形位置不同,培养学生用多种方法解决问题的能力.练习(教材第48页)1.解:平行.∵△OAB与△OCD是位似图形,∴∠OAB=∠C,∴AB∥CD.2.提示:要以O为位似中心,原来的三角形与所作的三角形的相似比为1∶3.(1)本节课的重点是探究位似图形的概念、性质及画位似图形,教学导入环节设计学生欣赏图片,通过观察、讨论、归纳等数学活动,形成位似图形的概念.动手实践、自主探究与合作交流是学生学习数学的重要方式,本节课导出位似图形的概念后,探究位似图形的性质和画图,以学生的实践活动为主线展开,充分为学生提供动手实践、合作交流、探索的机会,而在具体的实施过程中,教师又给予了必要的引导与启发,使学生的探索方向变得清晰,目的更加明确,真正体现了教师为主导、学生为主体的教学理念.特别是在探究位似图形性质的时候,通过学生自己动手主动探究,不仅更好地促进学生对知识点的理解,并且有效地激发了学生的学习兴趣和热情,有利于培养其主动学习的习惯,学生经历知识的形成,提高学生分析问题、解决问题的能力.(2)数学教学的过程是师生共同活动、共同成长与发展的过程.真正的知识不全是由教材和教师讲授获取的,而是通过学生作为主体,在教师设计的各种数学活动中,通过小组合作交流的途径共同探究,最终获得数学知识并进行应用,所以教学设计中把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位,为学生提供展示自己的机会,使课堂真正成为学生展示自我的舞台.(3)由感性认识上升到理性思考,透过具体现象抽象出事物本质是人们认识事物的普遍规律,因此在引入新课时,通过动画演示相似三角形对应点连线相交于一点的现象,帮助学生从感性材料中提炼出位似图形的定义.与此同时,利用几何画板为学生搭建自主探究的平台,降低学生理解抽象概念的难度,进而使其对性质理解得更透彻.如图所示,在所给网格图(每小格均为边长是1的正方形)中完成下列各题.(1)图形ABCD与图形A1B1C1D1关于直线MN成轴对称,请在图中画出对称轴并标注相应字母M,N;(2)以图中O点为位似中心,将图形ABCD放大为原来的2倍,画出放大后的图形A2B2C2D2,则图形ABCD 与图形A2B2C2D2的对应边的比是多少?(3)求图形A2B2C2D2的面积.解:(1)如图所示的对称轴MN.(2)如图所示的图形A2B2C2D2,对应边的比为1∶2.(3)图形A2B2C2D2的面积=×B2D2×A2C2=×4×8=16.。
27.3 位似
6、在Rt ABC中，ACB 90 , A 30 , CD AB于点D, 那么ACD与BCD的
3 :1 。 面积之比为 _______
7、如图，ADE ABC, AD 6cm, DB 3cm, BC 9.9cm, A 70 ,
6.6cm . B 50 , 那么AED ________, 60 DE ________
(2)作点B关于l的对称点B2 , 连接AB2交l于点M .所以点M 在A1B1上 8 距点A1 km时总路线最短。 3
布置作业
教材P70,6,8,9,10,11,12
相似复习课(2)
复习回顾
1、相似图形概念：把形状相同的图形说成是相似图 形。 2、多边形相似的定义： 如果两个边数相同的多边 形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做 相似多边形，相似多边形的对应边的比叫做相似比 （或相似系数）。 反过来，如果两个多边形满足对应角相等，对应边的 比相等，那么这两个多边形相似。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( A)10 ( B)20 (C)30 ( D)70
AB BC AC 分析： , 其中AB, BC , AC构成ABC , AD DE AE AD, DE , AE构成ADE , 三边对应成比例，则 ABC ADE , BC和DE 对应的角BAC DAE , BAD EAC 20 , 所以应选B.
(1)如果居民小区A、B在主干线l的两侧，如图1所示，那么分支点M 在什么地方时，
(2)如果居民小区A、B在主干线l的同侧，如图2所示，那么分支点M 在什么地方时，
8 (1)连接AB与l交于点即为点M .先证B1BM A1 AM , 求得A1M km, 3 10 5 根据勾股定理求得AM km, BM km,因此AB 5km。所以点M 3 3 8 在A1B1上距点A1 km处，最短路线长5km。 3
人教版数学九年级下册27.3《位似》课件
标的变化规律，分别取点A″ （3， - 6），B″（3，0）， O（0，0）.顺次连接点A ″， B ″，O，所得的△A ″B ″O
就是要画的一个图形.
应用提高
例:如图，四边形 ABCD的坐标分别为 A(-6,6),B(-8,2), C(-4,0),D(-2,4),
画出它的一个以原点 O为位似中心，相似 比为 1 的位似图形．
坐标为（4，2），则这两个正方形位似
中心的坐标是（-2，0）．
y
3.已知,如右图, O（0，0），
A（-4，2），B（-2，-2） ,以点O
为位似中心,按比例尺1:2把△OAB
A
缩小,则点A的对应点A′的坐标为
(-2,1)或(2,-1),点B的对应点B ′的
O
x
坐标为(-1,-1)或(1,1).
B
D
EF B 不是 C G
是
显然，位似图 形是相似图形的特 殊情形.相似图形不 一定是位似图形， 可位似图形一定是 相似图形.
练习1 2. 如图，△OAB和△OCD是位似图形，
AB与CD平行吗？为什么？
解：AB∥CD．理由如下： ∵△OAB与△OCD是位似图形， ∴△OAB∽△OCD，
∴∠OAB＝∠C，
246 8
-4
-6
-8
练习2 2．如图，△ABO三个顶点 的坐标分别为A（4，-5）， B（6，0），O（0，0）.以 原点O为位似中心，把这个 三角形放大为原来的2倍，
得到△A′B′O′．写出△A′B′O′三个 顶点的坐标．
解：A′（8，-10）, B ′（12，0）, O ′（0，0） 或A′（-8，10）, B ′ （-12，0）, O ′ （0，0）
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在前面几册教科书中，我们学习了在平面直角坐 标系中，如何用坐标表示某些平移、轴对称、旋 转（中心对称）等变换，相似也是一种图形的变 换，一些特殊的相似（如位似）也可以用图形坐 标的变化来表示．
探究
如图，在平面直角坐标系中，
8 6
有两点A（6，3），B（6，
0）．以原点O为位似中心，
1 相似比为 ，把线段AB缩 3
2
4
6
8 9 101112
A A' B
C C'
解： A'（ 4 ， － 4 ），B ' （
B'
8
， － 10 ），C ' （ 10 ，－4 ）， ， 10 ），C" （ －10 ，4 ），
A" （－ 4 ， 4 ），B" （ － 8
至此，我们已经学习了四种变换：平移、轴对称、旋转和位似，你能 说出它们之间的异同吗？在图所示的图案中，你能找到这些变换吗？
A A' B'
-8 -6
8
D6
4 2D' -2C' -2 -4 -6 -8 2 4 6 8
2
分析：问题的关键是要确定位似
C -4
图形各个顶点的坐标．根据前面
的规律，点A的对应点A‘的坐标
1 1 为 6 ,6 ，即（－3，
3）．类似地，可以确定其他顶
点的坐标． 解：如图，利用位似变换中对应点的坐标的变化规律．分别取点
位似的作用 位似可以将一个图形放大或缩小。
小练习
请以坐标原点O为位似中心，作□ ABCD 的位似图形，并把它的边长放大3倍。 分析：根据位似图形上任意一对对应点到位似中 心的距离之比等于位似比，我们只要连结位似中心O 和□ ABCD的各顶点，并把线段延长（或反向延长） 到原来的3倍，就得到所求作图形的各个顶点。
作法：
1. 连结OA，OB，OC，OD. 2. 分别延长OA，OB，OC， OD至G，C，E，F，使
OG OC OE OF 3 OA OB OC OD
3. 依次连结GC，CE，EF，FG.
四边形GCEF就是所求作的四边形. 如果反向延长OA，OB，OC，OD，就得到四边形G’C’E’F’， 也是所求作的四边形.
标分别为A（2，3），B （2，1），C（6，2），以
8 6 4 2
A'
A B
B'
2 4
C' C
6 8 9 101112
点O为位似中心，相似比
为2，将△ABC放大，观察 对应顶点坐标的变化，你
-12 -10-9 -8
-6
-4 -2 O B" -2 -4 -6 -8
C" A"
有什么发现？
位似变换后A，B，C的对应点为 A '（ 4 ，6 ），B ' （ 4 ， 2 ），C ' （ 12 ，4 ）；
2
2
A'（ － 3 ， 3 ），B ' （ － 4 ，
C ' （ －2 ， 0 ），D'（ －1 ， 2
1
），
）．
就这一个结果 吗？
依次连接点A'B'C'D'就是要求的四边形ABCD的位似图形．
练习
1. 如图表示△AOB和把它缩小后得到的△COD，求它们的 相似比．
点D的横坐标为2 点B的横坐标为5 相似比为 2
－12 A"－4）． －6），B" （－4，
知识要点
在平面直角坐标系中，如果位似变换 是以原点为位似中心，相似比为k，那么 位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，那 么与原图形上的点（x，y）对应的位似图 形上的点的坐标为（kx，ky）或（－kx， －ky）。
例 如图，四边形ABCD的坐标分别 为A（－6，6），B（－8，2），C （－4，0），D（－2，4），画出它 的一个以原点 O为位似中心，相似比 1 B 为 的位似图形．
新课导入
这种相似有 什么特征？
相似图形
观察
它们相似的共 同点是什么？
其中相似图形的 共同点是什么？
知识要点
不仅相似，而且对应顶点的连线相交 于一点，对应边互相平行，像这样的两个图 形叫做位似图形（homothetic figures），这 个点叫做位似中心，这时我们说这两个图形 关于这点位似，它们的相似比又称为位似比。
注意
位似是一种具有位置关系的相似。 位似图形是相似图形的特殊情形。 位似图形必定是相似图形，而相似图形 不一定是位似图形。 两个位似图形的位似中心只有一个。 两个位似图形可能位于位似中心的两侧， 也可能位于位似中心的一侧。
位似图形的性质 对应点与位似中心共线。 不经过位似中心的对应边平行。 位似图形上任意一对应点到位似中心的 距离之比等于位似比。
-8 -6 -4 8 6 4 2 -2 O -2 -4 -6 -8
A
C
2D 4
B
6
5
8
B"
2. 如图，△ABC三个顶 点坐标分别为A（2，－ 2），B（4，－5），C （5，－2），以原点O为 位似中心，将这个三角 形放大为原来的2倍．
8
6
C"
-12 -10-9 -8 -6 -4
A"
4 2
-2 O -2 -4 -6 -8
-8 -6 -4
4
A A' B'
2 4 6 B 8
B〞
-2 O -2 A〞 -4 -6 -8
2
小，观察对应点之间坐标的 变化，你有什么发现？
位似变换后A，B的对应点为A ' （ 2 ， 1 ），B'（ 2 ， 0 ）；A" （－ 2 ，－ 1 ），B" （ － 2 ， 0 ）．
探究
如图，△ABC三个顶点坐