经济数学答案

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经济数学基础及参考答案

作业（一）（一）填空题3.曲线x y =在)1,1(的切线方程是 .答案：2121+=x y4.设函数52)1(2++=+x x x f ，则____________)(='x f .答案：x 21. 函数212-+-=x x x y 的连续区间是（）答案：D ，可能是cA ．),1()1,(+∞⋃-∞B ．),2()2,(+∞-⋃--∞C ．),1()1,2()2,(+∞⋃-⋃--∞D ．),2()2,(+∞-⋃--∞或),1()1,(+∞⋃-∞ 2. 下列极限计算正确的是（）答案：B A.1lim=→xx x B.1l i m=+→xxxC.11sinlim 0=→xx x D.1si n l i m=∞→xx x3. 设y x =lg 2，则d y =（）．答案：B A ．12d xx B ．1d x x ln 10C ．ln 10xx d D ．1d xx4. 若函数f (x )在点x 0处可导，则( )是错误的．答案：BA ．函数f (x )在点x 0处有定义B ．A x f x x =→)(lim 0，但)(0x f A ≠C ．函数f (x )在点x 0处连续D ．函数f (x )在点x 0处可微 5.当0→x 时，下列变量是无穷小量的是（）. 答案：C A ．x 2 B ．xx sinC ．)1ln(x +D ．x cos(三)解答题问：（1）当b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处有极限存在？（2）当b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处连续.答案：（1）当1=b ，a 任意时，)(x f 在0=x 处有极限存在；1lim ()lim (sin)x x f x x b b x--→→=+=，0sin lim ()lim 1x x x f x x++→→==，有极限存在，lim ()lim ()1x x f x f x b +-→→===（2）当1==b a 时，)(x f 在0=x 处连续。

经济数学1参考答案

11、
A. B. C. D. 参考答案： C
12、
A. k=0 B. k=1 C. k=2 D. -1/2 参考答案： C
13、
A. （n+1）阶无穷小 B. n阶无穷小 C. 同阶无穷小 D. 高阶无穷小参考答案： A
14、
A. 不含有对数函数 B. 含有反三角函数 C. 一定是初等函数 D. 一定是有理函数参考答案： C
一、单项选择题
1、
A. л B. 2л C. 4л D. 6л 参考答案： C
2、
A. -1 B. 0 C. 1 D. 不存在参考答案： C
3、
A. 1 B. 2 C. 6 D. 1/6 参考答案： C
4、
A.
B. C. D. 参考答案： B
5、
A. B. C. D. 参考答案： C
6、
A. 5/6 B. 1/2 C. -1/2 D. 1 参考答案： A
A. [0,л] B. （0,л） C. [-л/4,л/4] D. （-л/4,л/4）参考答案： C
26、若函数f(x)在（a,b）内存在原函数，则原函数有（）
A. 一个 B. 两个 C. 无穷多个 D. 都不对参考答案： C
27、
A. 必要条件 B. 充分条件 C. 充分必要条件 D. 无关条件参考答案： A
7、
A.
B.
C. D.
参考答案： B
8、若函数f(x)在（a,b）内存在原函数，则原函数有（）
A. 一个 B. 两个 C. 无. 参考答案： B
10、数列有界是数列收敛的（）
A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件
D. 既非充分也非必要参考答案： B

经济数学基础试题及答案

经济数学基础试题及答案一、选择题1、在下列数学家中，哪一位是第一个把圆周率精确到小数点后7位的人？A.阿基米德B.牛顿C.欧拉D.祖冲之答案：D.祖冲之2、在下列四个方程中，哪一个不是一元二次方程？A. 2x^2 + 3x - 5 = 0B. x^3 - 2x^2 + x = 0C. ax^2 + bx + c = 0（a≠0）D. (x + 3)(x - 2) = x^2 - x - 6答案：B. x^3 - 2x^2 + x = 03、在下列四个函数中，哪一个是偶函数？A. y = x^3B. y = x^2 + 1C. y = cosxD. y = lg|x|答案：D. y = lg|x|4、在下列四个命题中，哪一个是真命题？A.若a是正数，则a>0B.若a是负数，则a<0C.若a是零，则a=0D.若a是正数，则|a|=a答案：D.若a是正数，则|a|=a5、在下列四个数中，哪一个是无理数？A. π/4B. √9C. eD. ln10答案：A. π/4二、填空题1、若函数f(x) = x^2 - 2x - 8的函数值小于0，则相应的x的取值范围是_____.答案：(-2, 4)2、若函数f(x)在区间[0, 1]上单调递增，则f(0)=-1，f(1)=-3，则该函数的最大值和最小值分别为_____.答案：-1, -33、若直线y=ax+b（a、b为常数）与两坐标轴所围成的面积为1，则_____.答案：b=-1或b=14、若函数f(x)在区间[0, 1]上单调递减，且f(x)的函数值介于-1和1之间，则称f(x)为“弱减函数”。

若对于任意实数x都有f(x)=f(2-x)，则____（填“是”或“不是”）“弱减函数”。

答案：是5、若函数f(x)在区间[0, 1]上单调递增，且f(0)=0，f(1)=1，则该函数的最大值和最小值分别为_____.答案：1, 0《经济数学基础12》期末试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1、下列哪个选项正确地描述了函数的概念？（A）映射（B）关系（C）变量（D）公式2、下列哪个选项是方程x2 + 2x + 1 = 0的根？（A）x = 1（B）x = -1（C）x = 2（D）x = -23、下列哪个选项正确地描述了导数的应用？（A）优化问题（B）概率问题（C）代数问题（D）几何问题4、下列哪个选项正确地描述了微分的概念？（A）无穷小量（B）导数（C）极限（D）积分5、下列哪个选项正确地描述了不定积分的概念？（A）原函数（B）导函数（C）定积分（D）微分方程6、下列哪个选项正确地描述了定积分的概念？（A）原函数（B）导函数（C）定积分（D）变上限积分7、下列哪个选项正确地描述了二重积分的概念？（A）二重积分是两个积分的和（B）二重积分是两个积分的差（C）二重积分是一个积分的平方（D）二重积分是一个积分的多次积分8、下列哪个选项正确地描述了级数的概念？（A）级数是无穷多个数的和（B）级数是无穷多个数的积（C）级数是无穷多个数的商（D）级数是无穷多个数的差9、下列哪个选项正确地描述了微分方程的概念？（A）包含导数的方程（B）包含变量的等式（C）包含积分的方程（D）包含微分的方程10、下列哪个选项正确地描述了经济数学的概念？（A）经济数学是数学在经济中的应用（B）经济数学是数学在社会科学中的应用（C）经济数学是数学在物理中的应用（D）经济数学是数学在哲学中的应用二、填空题（每题3分，共30分）1、函数f(x) = x2 + 2x + 1的最小值是________。

经济数学试题及答案

经济数学试题及答案一、选择题1. 假设市场需求曲线为Qd=100-2P，市场供给曲线为Qs=-20+4P，求平衡价格和平衡数量。

答案：平衡价格为20，平衡数量为40。

2. 若某商品的需求弹性为-2，需求量为10时，价格为20，求需求量变化1%时的价格变化百分比。

答案：需求量变化1%时，价格变化百分比为2%。

3. 某企业生产一种商品，已知其总生产成本函数为C(Q)=100+2Q+0.5Q^2，求当产量为10时，平均成本和边际成本。

答案：当产量为10时，平均成本为25，边际成本为13。

二、计算题1. 已知一家工厂的生产函数为Q=10L^0.5K^0.5，其中L为劳动力投入，K为资本投入。

若工厂每年投入的劳动力为100人，资本为400万元，劳动力每人每年工作2000小时，资本的年利率为10%，求工厂的年产量和总成本。

答案：工厂的年产量为2万单位，总成本为500万元。

2. 假设某商品的总收益函数为R(Q)=500Q-0.5Q^2，总成本函数为C(Q)=100+40Q，求当产量为20时，利润最大化的产量和利润。

答案：当产量为20时，利润最大化的产量为10，利润为250。

三、证明题1. 某商品的边际收益递减法则是指随着生产规模的扩大，每增加一单位产量所带来的边际收益递减。

证明边际收益递减法则成立。

证明：当企业的产品产量增加时，企业需要增加投入以提高产量，但边际收益会递减。

假设某企业当前产量为Q，边际收益为MR，增加一单位产量后，产量为Q+1，边际收益为MR+ΔMR。

由于边际收益递减，ΔMR<0。

所以，边际收益递减法则成立。

四、应用题某公司生产A、B两种产品，已知产品A每单位成本为10元，产品B每单位成本为20元。

市场上A、B产品的需求量分别为1000和500，价格分别为15和25。

若公司希望通过调整价格来提高总利润，应如何调整？答案：根据产品的成本和需求量，计算可得产品A的利润为5000元（(15-10)*1000）,产品B的利润为2500元（(25-20)*500）。

《经济数学基础》习题答案及试卷（附答案）

习题解答第一章经济活动中的函数关系分析实训一（A ）1．填空题：（1）(,2][2,)-∞-+∞ ；（2）()3,5；（3）1x；（4）2x e ；2x e ；（5）473x -，提示：由()()47433433g f x x x =+=+-⎡⎤⎣⎦，所以()473x g x -=．2．（1）tan(2)y x =；（2）（3）y=；（4）y=lg(sin 2)x ．3．（1）cos y u =，1xu e =-；（2）ln y u =，222u x x =-+；（3）y =1u x =+；（4）y lg u v =，v =实训一（B ）1．由已知可知2110x -<-<，得到201x <<，即定义域为()()1,00,1- ．2．由()21f x x -=，可得()()2111f x x -=-+，所以()()21f x x =+．也可令1x t -=．3．（1）u y e =，sin u v =，2v x =；（2）log uv ay =，21u x =+，sin v w =，2w x =． 4． ()()()log log log a a a f x f y x y xy f xy +=+==；()()log log log a a axx f x f y x y f y y ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭．实训二（A ）1．填空题：（1）y =（2）[]1,3-；（3）2π-，4π；（4）12，π． 2．（1）⨯；（2）⨯；（3）⨯；（4）√．3．（1）由()cos 21y x =+，解得21arccos x y +=，()1arccos 12x y =-，所以，()()11arccos 12fx x -=-．定义域：[]1,1x ∈-；值域：11,22y π-⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦（2）由()1ln 2y x =++，解得12y x e -+=，12y x e -=-，所以，()112x fx e --=-定义域：(),x ∈-∞+∞；值域：()2,y ∈-+∞ 4．【水面波纹的面积】设面积为S （2cm ），时间为t （s ），则()22502500S t t ππ==【仪器初值】()0.04200.800208986.58Q Q e Q e -⨯-===解得0.808986.582000Q e =≈．实训二（B ）1．由()x a f x x b +=+，解得反函数为()11a bx f x x --=-．由已知()1x a f x x b -+=+，可得1a bx x a x x b-+=-+，相比较，可得a 为任意实数，1b =-．2．由()ln x x ϕ=，()21ln 3g x x ϕ=++⎡⎤⎣⎦，可得()221ln 3ln 3x x g x e e e ϕ+=⋅⋅=⎡⎤⎣⎦所以，()213x g x e+=．实训三【商品进货费用】设批次为x ，由题意：库存费：11250030000242C x x=⋅⋅=；订货费：2100C x =．【原料采购费用】设批量为x ，库存费用为1C ，进货费用为2C ，进货总费用为12C C C =+．1122C x x=⋅⋅= 23200640000200C xx=⋅=所以进货总费用为：12640000C C C x x=+=+．【商品销售问题】设需求函数关系式为：d Q ap b =+，其中p 为定价．由已知可得：1000070700073a ba b=+⎧⎨=+⎩，解得1000a =-，80000b =，所以100080000d Q p =-+；供给函数为：1003000s Q p =+平衡状态下：价格70p =；需求量10000d Q =．【商品盈亏问题】设()()()()2015200052000L x R x C x x x x =-=-+=-．()6001000L =；无盈亏产量：()0L x =，解得400x =．【供给函数】答案：1052PQ =+⋅．【总成本与平均成本】总成本()1306C Q Q =+，[]0,100Q ∈．平均成本()13061306Q C Q Q Q+==+，[]0,100Q ∈．第一章自测题一、填空题1、[2,1)(1,1)(1,)---+∞2、(,)-∞+∞3、(,1)a a --4、23x x -5、2ln(1)x -6、arcsin 2x7、cos(ln )x8、2142R Q Q =-+9、22()2505;()6248100R x x x L x x x =-=-+- 10、6P = 二、选择题1、C2、B3、B4、D5、C三、计算解答题1、（1）22log , 1y u u x ==+（2）1x y u e ==+ 2、1()1 , ()1f x x f x x -=+=- 四、应用题1、（1） 6 , 8P Q == （2） 3.5 , 3P Q == （3） 6.5 , 7P Q ==2、（1）()10200C x x =+，()200()10C x C x x x==+ （2）()15R x x =（3）()()()5200L x R x C x x =-=-，无盈亏点：40x =五、证明题（略）第二章极限与变化趋势分析实训一（A ）1．（1）×；（2）√；（3）×；（4）×；（5）√． 2．（1）收敛，且lim 0n n x →∞=；（2）发散，lim n n x →∞=∞；（3）收敛，且lim 2n n x →∞=；（4）发散．3．（1）收敛，且lim 2x y →∞=；（2）收敛，且0lim 1x y →=；（3）收敛，且lim 1x y →+∞=；（4）发散．【产品需求量的变化趋势】lim lim 0t t t Q e -→+∞→+∞==．实训一（B ）（1）无穷大；（2）无穷大；（3）无穷大；（4）无穷大．【人影长度】越靠近路灯，影子长度越短，越趋向于0．实训二（A ）1．填空题（1）5；（2）2；（3）1；（4）13；（5）∞；（6）∞；（7）2． 2．（1）()()()()2211111112lim lim lim 21121213x x x x x x x x x x x x →→→-+-+===---++；（2）(222211lim2x x x x x x →→→===--；（3）()()2322000222lim lim lim 211x x x x x x x x x x x x x →→→---===---；（4）()()211121111lim lim lim 111112x x x x x x x x x →→→--⎛⎫-===-⎪---++⎝⎭． 3．（1）222112lim lim 2111x x x x x x x →+∞→+∞-⎛⎫-==- ⎪+--⎝⎭；（2）()()()1121lim lim lim 22222222n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞⎛⎫++++-⎛⎫-=-==- ⎪⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭．【污染治理问题】由题意可知，该问题为等比级数问题，首项为a ，公比为45，则设n 周后所剩污染物为n a ，则45nn a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为4lim 05nn a →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，可以确定随着时间的推移能将污染物排除干净．【谣言传播】（1）1lim (t)lim11ktt t P ae -→∞→∞==+；（2）121(t)0.8110t P e-==+，可解得2ln 407.38t =≈．实训二（B ）1．填空题（1）32π-；（2）0；0．（无穷小与有界函数的乘积为无穷小）（3）0a =，2b =-．2．（1）()3320lim3h x h x x h→+-=；（2）442x x x →→→===．3．由()3lim 30x x →-=，且232lim 43x x x kx →-+=-，可得()23lim 20x x x k →-+=，解得3k =-．4．由题意可知()()21116lim lim 511x x x x x ax bx x→→--++==--，可得7a =-，6b =．实训三（A ）1．填空题（1）1e -；（2）3e -；（3）e ；（4）e ；（5）3k =；（6）5050.1230⨯⨯=万元，()55010.125038.1⨯+-=万元，50.125041.1e ⨯=万元． 2．（1）6e -；（2）1e -；（3）2e -；（4）01e =． 3．（1）0.042003 6.68rtPe e ⨯==万元； 2.25o P =万元．（2）24.38t p =万元；24.43t p =万元．实训三（B ）1．（1）(()0111lim 1lim 1lim 11x x x x x x e x x x --→∞→∞→∞⎡⎤⎛⎛⎫⎛⎫-=-=-==⎢⎥⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦；（2）()15lim 15xx x x e →→∞=+=；（3）()1111111lim lim 11xxx x xx e ---→→=+-=；（4）()()()1000ln 121limlim ln 12limln 12x x x x x x x xx →→→+=+=+ ()()112limln 12lnlim 12ln 2x xx x x x e →→=+=+==．2．322lim lim 122x xc x x x c c e e x c x c →∞→∞+⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以3c =．实训四（A ）1．填空题（1）(]0,3；（2）()243,110,1x x x f x x ⎧-+≤-=⎨>⎩；（3）()0lim 1x f x -→=-，()0lim 0x f x +→=，()0lim x f x →不存在；（4）()(),22,-∞--+∞ ；（5）1x =，2x =；（6）1k =．2．图略，()0lim 1x f x -→=，()0lim 0x f x +→=，()0lim x f x →不存在． 3．()()1lim 11x f x f -→==，()1lim 2x f x +→=，因为()()11lim lim x x f x f x -+→→≠，所以()f x 在1x =处不连续．【个人所得税计算】个人所得税的起征点为月收入3500元．850035005000-=，50000.2555455⨯-=；1200035008500-=，85000.25551145⨯-=．【出租车费用】图略，()8, 322, 3836, 8x f x x x x x ≤⎧⎪=+<≤⎨⎪->⎩．实训四（B ）1．图略，()()0lim 10x f x f -→=-=，()0lim 0x f x +→=，因为()()11lim lim x x f x f x -+→→≠，所以()f x 在0x =处不连续．2．由连续的定义可知：()()220lim 1xx k f x e →==+=．3．因为()01f =，()01lim sin00x x f x→=≠（无穷小与有界函数的乘积），所以0x =为第一类的可去间断点．第二章自测题一、填空题 1、1- 2、1 3、12- 4、345、221,02,0x x x x ⎧+=⎪⎨≠⎪⎩6、1-7、100 ; 0 8、0.035; 5.15e(万)(万)二、选择题1、C2、A3、C4、A5、B 三、计算解答题1、（1）原式=211(1)1 lim lim0(1)(1)1x xx xx x x→→--==+-+（2）原式=lim lim x x=1lim2x==-（3）设1xe t-=，则ln(1)x t=+，0x→时，0t→，原式=10011lim lim1ln(1)ln(1)limln(1)t ttttt ttt→→→==+⋅++1111lnln[lim(1)]ttet→===+（4）原式=sin[lim sin[limx x→+∞=s i n[l]s i n00x===2、(0)2f=00l i m()l) x x xf x---→→→==00lim lim(12x x--→→==+=00lim()lim(2)2x xf x x++→→=+=lim()2(0)xf x f→∴==()f x∴在0x=点连续，从而()f x在(,)-∞+∞内连续.四、应用题第三章经济最优化问题分析实训一（A ）1．填空题（1）45x ；（2）2313x -；（3）23x ；（4）5232x --；（5）2ln 2x ；（6）1ln10x ；（7）0；（8）0．2．2log y x =，1ln 2y x '=．212ln 2x y ='=，122ln 2x y ='=．3．（1）()141y x -=-，即43y x =-；（2）()222y x +=--，即22y x =-+；（3）cos y x '=，312x k y π='==，切线方程为123y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即126y x π=-．实训一（B ）1．()()()20001sin010limlim lim sin 00x x x x f x f x f x x x x→→→-'====-．2．()()()()000002lim h f x h f x f x h f x h →+-+--()()()()0000022lim2h f x h f x hh f x h f x h →+-=+--()()()()00000022limlim 12h h f x h f x hh f x h f x h →→+-=⋅=+--．其中()()()00002lim2h f x h f x f x h→+-'=，()()()()()00000021limh h f x f x h f x f x h f x →='+----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦． 3．因为3,02⎛⎫⎪⎝⎭不在21y x =上，不是切点．设过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭与21y x =相切的切线的切点坐标为21,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则切点为21,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线方程为：()2312Y X a a a -=--，有已知3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭在切线上，带入可得1a =，所以切线方程为：()121y x -=--，即23y x =-+．实训二（A ）1．（1）223146y x x x '=+-；（2）11'ln n n y nx x x --=+；（3）21'41y x x =++；（4）2cosx cosx sinx'(x 1)x y +-=+． 2．（1）22'1xy x =+；（2）22'2sin3x 3cos3x x x y e e =+；（3）'y = （4）22sec cos122'csc sinx 2tan 2cos sin222x x y x x x x ====．3．（1）''2y =；（2）''2x x y e xe --=-+（3）222222(1x )2(2x)''224(1x )x y x x --+-==-+--；（4）2322222(1x)2''2arctanx 1(1x )x x x y x +-=++++． 4．（1）2212dy x xdx y y --+==；（2）x y x y dy y e y xy dx e x xy x++--==--．【水箱注水】由24r h =，12r h =，22311133212h v r h h h πππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，两边求导得214v h h π''=，由已知2v '=，3h =，带入可得： 1294h π'=，89h π'=所以水位上升的速度为89π米/分．【梯子的滑动速度】由题意可得22100x y +=，两边求导可得：220dx dy xy dt dt +=，即dx y dy dt x dt=-，将8y =，6x =，0.5dy dt =带入可得：820.563dy dt =-⨯=-．所以梯子的另一端华东的速度为23米/秒．负号表示运动方向．实训二（B ）1．（1）11(1ln )e x e x y x x x e -=+++；（2）()()1112121y x x x ⎫'=--⎪⎪-+⎭． 2．()()cos sin x x y e x f e x ''=++． 3．将1y y xe -=两边对x 求导可得：0y y dy dy e xe dx dx --=，即1y ydy e dx xe =-．…………（1）将0,1x y ==带入（1）可得：y e '=．对（1）继续求导，()()()22121y y y y y y y e xe e e xy e y e xe ''----''==-．4．（1）22x z z xy x ∂'==∂， 22y zz yx y ∂'==∂；（2）2xy x z z ye xy x ∂'==+∂，2xy y z z xe x y∂'==+∂．实训三（A ）1．填空题（1）单调递增区间，(),0-∞；单调递减区间()0,+∞．（2）6a =-．（3）驻点．（4）()00f x ''<．2．()()3444110y x x x x x '=-=-+=，得驻点1230,1,1x x x ==-=，单调递增区间：()()1.0 1.-+∞ ，单调递减区间：()().10.1-∞- ．3．()()23693310y x x x x '=--=-+=，得驻点121,3x x =-=．又由于：66y x ''=-，()1120y ''-=-<，所以11x =-为极大点，极大值为0； ()360y ''=>，所以23x =为极小点，极小值为32-．【定价问题】21200080R PQ P P ==-，25000502500050(1200080)6250004000C Q P P =+=+-=-， 224000160T Q P ==-，21200080625000400024000160L R C T P P P P =--=--+-+28016160649000P P =-+-160161600L P '=-+=，解得：101P =， 167080L =．【售价与最大利润】1100200Q p =-，21100200R PQ P P ==-；220019004400L R C P P =-=+-，40019000L P '=-+=，解得 4.75P =此时：150Q =，112.5L =．【最小平均成本】210000501000050x x c x x x ++==++；21000010c x '=-+=，解得100x =．【最大收入】315x R px xe -==，33155x x R exe--'=-3(155)0x x e-=-=，解得：3x =，此时115p e -=，145R e -=．实训三（B ）1．（1）设()1xf x e x =--，()10xf x e '=->（0x >），说明()f x 在0x >时单调递增，又()00f =，所以，当0x >时，()()00f x f >=，所以不等式成立．（2）设()()ln 1f x x x =-+，()1101f x x'=->+（0x >），说明()f x 在0x >时单调递增，又()00f =，所以，当0x >时，()()00f x f >=，所以不等式成立． 2．()cos cos3f x a x x '=+，没有不可导点，所以cos cos 033f a πππ⎛⎫'=+=⎪⎝⎭，得2a =．又()2sin 3sin3f x x x ''=--，03f π⎛⎫''=<⎪⎝⎭，所以3x π=为极大值点，极大值为3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭【采购计划】设批量为x ，采购费：132********200C x x =⨯=；库存费：222xC x =⨯=；总费用：12640000C C C x x=+=+； 264000010C x'=-+=，解得800x =唯一驻点，所以采购分4次，每次800吨，总费用最小．第三章自测题一、填空题 1． 2 2． 12-3． 21x -4． 1-5． 212c o s x xx+ 6． 17． 2l n3x + 8． 2 ; 09． 11ln ; ln y x y x yxy y x x xy --+⋅⋅+10． 12x =二、选择题1、C2、A3、A4、D5、A 三、计算解答题1、（1）([1]y x '''=+=+[12]()1x =⋅⋅⋅==（2）222()()2x x x x y e x e x xe e --'''=⋅+⋅-=- 2、方程221x y xy +-=两边对x 求导，得22()0x y y y x y ''+⋅-+= 解得：22y xy y x-'=-，将0,1x y ==代入，得切线斜率12k =，所以，切线方程为：11(0)2y x -=-，即：220x y -+=. 3、定义域(,)-∞+∞2363(2)y x x x x '=-=- 令0y '=，得驻点120,2x x ==递增区间：(,0)-∞、(2,)+∞ 递减区间：(0,2)极大值：(0)7f = 极小值：(2)3f = 四、应用题1、50S t ==(50)50dSt dt'== 所以，两船间的距离增加的速度为50千米／小时. 2、第四章边际与弹性分析实训一（A ）1．填空题（1）0.2x ∆=， 2.448y ∆=， 2.2dy =．（2）1x dy edx ==．（3）12dy x dx x ⎛⎫=+⎪⎝⎭．（4）cos(21)x +，2cos(21)x +．（5）[]()f g x '，[]()()f g x g x ''．2．（1）(12)dy x dx =+；（2）221dy dx x =+；（3）222(22)x x dy xe x e dx --=-；（4）322(1)dy x x dx -=-+；（5）23(1)1dy dx x =-+；（6）1dx dy x nx=． 3．()ln 11x y x x '=+++，11ln 22x y ='=+，所以11ln 22x dy dx =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．【金属圆管截面积】2s r π=，2200.05ds r r πππ=∆=⨯=．实训一（B ）1．（1）2sec x ；（2）1sin 5x 5；（3）2x ；（4）232x ；（5）21x +；（6）arctan x ． 2．将x yxy e+=两边对x 求导，()1x yy xy ey +''+=+，解得：x y x ye yy x e ++-'=-，所以x y x ye ydy dx x e++-=-．3．（1110.001 1.00052≈+⨯=；（20.02221 2.001783⎛⎫==≈+= ⎪⨯⎝⎭；（3）()ln 1.01ln(10.01)0.01=+≈；（4）0.0510.05 1.05e ≈+=．【圆盘面积的相对误差】2s r π=，0.2r ∆≤()'2s ds s r r r r π∆≈=∆=∆（1）()()22482240.29.65s ds cm cm πππ∆≈=⨯⨯==；（2）2220.22 1.67%24r r r s ds s s r r ππ∆∆∆≈===⨯≈．实训二（A ）1．（1）()2'2x f x xe =；（2）[]1'()(1)a bf x x e a x ac --=++．2．（1）()21900110090017751200C =+⨯=；17757190036C ==．（2）()39002C '=，表示第901件产品的成本为32个单位；()51000 1.673C '=≈，表示第1001件产品的成本为53个单位． 3．（1）(50)9975R =；9975199.550R ==．（2）()502000.0250199R '=-⨯=，表示第51件产品的收入为199个单位． 4．22()()100.01520050.01200L R x C x x x x x x =-=---=--，50.020L x '=-=，解得唯一驻点250x =，所以当每批生产250个单位产品时，利润达到最大．实训二（B ）1．()()()()()242,04282, 4x x x x L x R x C x x x ⎧--+≤≤⎪=-=⎨⎪-+>⎩，即()232,0426, 4x x x L x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩，求导()3,041, 4x x L x x -+≤<⎧'=⎨->⎩，令()0L x '=解得3x =百台（唯一驻点）所以每年生产300台时，利润达到最大．()()430.5L L -=-万元，在最大利润的基础上再生产1百台，利润将减少0.5万元．2．()0.50.25C a a =+（万元）()2152R a aa =- ()22150.50.25 4.750.522a L a a a a a =---=-+-令() 4.750L a a '=-+=，解得 4.75a =（百台）又()10L a ''=-<，有极值的第二充分条件，可知当 4.75a =为最大值（唯一驻点）所以该产品每年生产475台时，利润最大．实训三（A ）1．填空题（1）1axy=；（2）21x Ey Ex ==；（3）1ln()4p η=-；（4）()334η=，()41η=，()554η=． 2．（1）15x η=；（2）3(3)5η=，价格为3时，价格上涨1%，需求下降0.6%，缺乏弹性；(5)1η=，价格为5时，价格上涨1%，需求下降1%，单位灵敏性； 6(6)5η=，价格为6时，价格上涨1%，需求下降1.2%． 3．（1）500P =元时，100000Q =张．（2）18002ppη=-．（3）1η=时，18002600p p p =-⇒=所以：当0600p ≤<时，1η<；当600900p <≤时，1η>．实训三（B ）1．（1）224202EQ x x Q Ex Q x '==--，243x EQ Ex ==-，所以价格增长5%，需求量减少6.7%；（2）()()3220R x xQ x x x ==--，x =403Q =．2．（1）2Q P '=-，48P Q ='=-，经济意义：在价格4P =的基础上，增加一个单位，需求量减少8个单位．（2）22275P P Q Q P η'=-=-，4320.542359P η===，经济意义，在4P =的基础上涨1%，需求减少0.54%．（3）375R PQ p p ==-，3375375p p p pη-=-，(4)0.46η=，经济意义，在4P =的基础上，若价格上涨1%，收入上涨0.46%．（4）198(6)0.46234η-=≈-，经济意义，在6P =的基础上，若价格上涨1%，收入减少0.46%．（5）375R p p =-，275305R p p '=-=⇒=，又6R p ''=-，()5300R ''=-<，所以由极值的第二充分条件，可知5P =时，总收入最大．第四章自测题一、填空题 1． 22 ; 2xxe e2．212x 3． arctan x4． 0.1 ; 0.63 ; 0.6 5． 45 ; 11 ; 456．10 ; 10% ; 变动富有弹性 7． 15%20% 8． 10% 二、选择题1、C2、B3、D4、A5、C 三、计算解答题1、（1）2222222()()2(2)x x x x y x e x e xe x e x ''''=⋅+⋅=+⋅2222222(1)x x x x e x e x e x =+=+ 22(1)xd y y d x xe x d x'∴==+ （2）222sin(12)[sin(12)]y x x ''=+⋅+2222s i n (12)c o s (12)(12)x x x '=+⋅+⋅+ 24s i n (24)x x =+ 24s i n (24)d y y d x x x d x'∴==+ 2、方程242ln y y x -=两边对x 求导，得31224dy dyy x dx y dx⋅-⋅⋅= 解得，3221dy x y dx y =-，3221x y dy dx y ∴=-3、四、应用题1、（1）()60.04C Q Q '=+ ()300()60.02C Q C Q Q Q Q==++（2）2300()0.02C Q Q'=-+令()0C Q '=，得Q = （3）2()()(204)204R Q P Q Q Q Q Q Q =⋅=-⋅=-2()()() 4.0214300L Q R Q C Q Q Q =-=-+- ()8.0414L Q Q '=-+ 令()0L Q =，得Q =2、 4Q P '=-（1）(6)24Q '=-，6P =时，价格上升1个单位，需求量减少24个单位.（2）22224(1502)15021502P P P Q P Q P P η''=-⋅=-⋅-=-- 24(6)13η=6P =时，价格变动1%，需求量变动2413% （3）23()()(1502)1502R P Q P P P P P P =⋅=-⋅=-33(1502)1502E R P PR P P E P R P P''=⋅=⋅--2215061502P P -=-61113P EREP==-6P =时，若价格下降2%，总收入将增加2213%第五章经济总量问题分析实训一（A ）1．填空题（1）3x ，3x C +；（2）3x ，3x C +；（3）cos x -，cos x C -+；（4C ；（5）arctan x ，arctan x C +．2．（1）B ；（2）C ；（3）D ；（4）A ．3．（1）5322225x x C -+；（2）31cos 3xx e x C --+；（3）21x x C x-++；（4）(2)ln 2xe C e+． 4．（1）1arctan x C x--+；（2）sin cos x x C ++．【曲线方程】由题意()21f x x '=+，所以()()()23113f x f x dx x dx x x C '==+=++⎰⎰，又过点()0,1带入，得到1C =，所以曲线方程为：()3113f x x x =++．【总成本函数】由题意可得()220.01C x x x a =++，又固定成本为2000元，所以 ()220.012000C x x x =++．【总收入函数】()()278 1.2780.6R x x dx x x C =-=-+⎰，由()000R C =⇒=，所以总收入函数为()2780.6R x x x =-．实训一（B ）1．填空题（1）sin 2ln x x x +；（2）223cos3x e x +；（3）ln x x C +． 2．（1）D ；（2）B ．3．（1）322233331u u u I du u du u u u -+-⎛⎫==-+- ⎪⎝⎭⎰⎰ 2133ln 2u u u C u=-+++；（2）)32332333I dx x x C ===-+⎰；（3）()222222121212arctan 11x x I dx dx x C x x x x x ++⎛⎫==+=-++ ⎪++⎝⎭⎰⎰；（4）()()()1111tttt te e I dt edt e t C e +-==-=-++⎰⎰．实训二（A ）1．填空题（1）212x ；（2）x e --；（3）ln x ；（4）arctan x ；（5）23x x +；（6）arcsin x ． 2．（1）B ；（2）B ．3．（1）()()()11cos 2121sin 2122I x d x x C =++=++⎰；（2）()()3212313139I x x C =+=++；（3）()()231ln ln ln 3I x d x x C ==+⎰；（4）111xx I e d e C x ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭⎰．4．（1）sin sin sin x xI e d x eC ==+⎰；（2）()()11ln 11x xx I d e e C e =+=+++⎰；（3）()()2222ln 22d x x I x x C x x -+==-++-+⎰；（4）22221111111x x x I dx dx x x x ++-⎛⎫==+- ⎪+++⎝⎭⎰⎰ 21l n (1)a r c t a n 2x x x C=++-+． 5．（1）()x x x x x I xd e xe e dx xe e C -----=-=-+=--+⎰⎰；（2）()()()ln 1ln 1ln 1I x dx x x xd x =+=+-+⎰⎰()()11ln 1ln 111x x x x dx x x dx x x +-=+-=+-++⎰⎰()()l n 1l n 1x x x x C =+-+++．【需求函数】由已知，()111000ln3100033p pQ p dp C ⎛⎫⎛⎫=-⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰ 又因为0p =时，1000Q =，代入上式，得到0C =．所以，()110003pQ p ⎛⎫= ⎪⎝⎭．【资本存量】由已知，32()2(1)y I t dt t C ===++⎰⎰因为0t =时，2500498y C C =+=⇒= 所以，322(1)498y t =++．实训二（B ）1．填空题（1）ln ()f x C +；（2）arctan(())f x C +；（3）'()()xf x f x C -+． 2．（1）()()2arctan 1x x x d e I e C e ==++⎰；（2）()()11131431dx I dx x x x x ⎛⎫==-⎪-+-+⎝⎭⎰⎰113l n 3l n 1l n 441x I x x C C x -=⎡--+⎤+=+⎣⎦+；（3）()()2arctan 111dxI x C x ==++++⎰；（4）()22222x x x x x I x d e x e e dx x e xe dx -----=-=-+=--⎰⎰⎰()22222x x x x x x I x e xe e C x e xe e C ------=----+=-+++．【物体冷却模型】设()T t 为t 时刻物体的温度，由冷却定律可得：0()dTk T T dt=-，分离变量0dT kdt T T =-，两边积分0dTkdt T T =-⎰⎰，可得：()0ln ln T T kt c -=+，0()kt T t T ce =+．由已知()0100T =，()160T =，020T =，带入得到：80c =，ln 2k =-，所以ln2()2080t T t e -⋅=+，当ln 23020803te t -⋅=+⇒=．实训三（A ）1．填空题（1）122lim(1)nn i i n n→∞=+∑；（2）2)x dx -；（3）2π；（4）0． 2．（1）12010(3)3S x dx =+=⎰；（2）12218(2)3S x x dx -=--=⎰；（3）1303(1)4S x dx =-=⎰或034S ==⎰．实训三（B ）1．（1）分割：将[]0,4n 等分，每份长度为4n ；（2）近似代替：2412823i i n iA n n n⎡⎤+⎛⎫∆=⋅+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（3）求和：()2212221111281281282nnni ii i n n n in n iA A n nn===++++≈∆===∑∑∑；（4）取极限：()2211282lim16n n n n A n→∞++==． 2．1sin xdx π⎰．3．22211113ln ln 222x dx x x x ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰．实训四（A ）1．填空题（1）64；（2）1；（3）2π；（4）3；（5）1． 2．（1）()()()44341118111144I x d x x =--=-=⎰；（2）()()44223328I x dx xx =+=+=⎰；（几何上为直角三角形的面积）（3）22242200111222x x e I e dx e -===⎰；（4）2112111xx I e d e e x =-=-=⎰（5）01cos sin 222x x x I dx πππ++===⎰；（6）0；（利用当积分区间为对称区间，被积函数为奇函数时定积分的性质）（7）121211122222235I xdx xdx xdx xdx -=+=+=+=⎰⎰⎰⎰；（8）02sin 4I xdx π==⎰．（利用定积分的周期性）【资本存量问题】（1）434211214I t ===⎰（万元）；（4）33224422820 6.87x xtx x ⎛⎫==-=⇒=≈ ⎪⎝⎭⎰．【投资问题】01000P =，200A = 0.05()200T t tdP e dt-= 0.05()0.05020040004000TT t T t P edt e -==-+⎰ 10t =，0.5400040002595t P e=-+= 因为0.515741600T P e-≈<，所以，此项投资不恰当．实训四（B ）1．因为()1229214x dx --+=-⎰，()1129214x dx -+=⎰，()20216x dx +=⎰，()21214x dx +=⎰， ()3222213x dx +=⎰，所以应该分两种情况：（1）因为()3403kf x dx =⎰，()()332240221816333k f x dx x dx -+=-==⎰⎰ 所以，0k =；（2）因为()()102112f x dx f x dx ---=⎰⎰，由对称性可知1k =-．2．对()21f x dx -⎰作代换令1x t -=（切记：定积分的换元要换限，积分值不变），则有：()()21011f x dx f t dt --=⎰⎰，所以，()()21101101112tte f x dx f t dt dt dt e t ---==+++⎰⎰⎰⎰ ()()()()001101011132ln 1ln 2ln 121t t td e ed te t e t e --+=++=+++=+++⎰⎰． 3．()()()()11111111I xf x dx xdf x x f x f x dx ----'===-⎰⎰⎰()()()()21111110x f f e f f --=+--=+-=．因为()()222x x f x e xe --'==-，()f x 为奇函数，所以()()110f f +-=．【储存费用问题】第五章自测题一、填空题 1．sin x x e c ++2．5314453x x x c -++ 3．ln xdx4．21ln 2x c +5．196．327．94π8．21200 ;200Q Q - 9．二、选择题1、D2、B3、A4、B5、C 三、计算解答题 1、（1）原式=1111()(3)(2)532dx dx x x x x =--+-+⎰⎰ 113[l n 3l n 2]l n 552x x x c cx -=--++=++ （2）原式=22111112sin ()cos cos cos1d x x x πππ-==-⎰2、（1）222222212(1)()()(1)(1)x x x F x G x dx dx x x x x ++++==++⎰⎰22111()arctan 1dx x c x x x=+=-+++⎰（2）222222212(1)3()()(1)(1)x x x F x G x dx dx x x x x -+--==++⎰⎰ 22131()3arctan 1dx x c x x x=-=--++⎰3、原式=31222(1)(1)1)33x x =+=+=⎰⎰四、应用题 1、（1）32412)2(24S x x dx x x =-=-=（2）1100()()1x x S e e dx ex e =-=-=⎰2、（1）2()()(100020)C Q C Q dQ Q Q dQ '==-+⎰⎰2311000103Q Q Q c =-++(0)9000C = ，9000c ∴=， 321()10100090003C Q Q Q Q ∴=-++ ()3400R Q Q = 321()()()10240090003L Q R Q C Q Q Q Q =-=-++- （2）令()()R Q C Q ''=，得60Q = 最大利润(60)99000L =（元） 3、.期末考试（90分钟）一、选择题（每题3分，共9分）1、设()0, 0x f x k x ≠=⎪=⎩在0x =处连续，问k =（）。

2023-2024经济数学(2)复习题答案详解

增．
填空题
1．
1
1 4x
2
dx
（
） d arctan2x ．
解：d arctan2x 2 dx ，所以， 1 dx 1 d arctan2x ．
1 4x2
1 4x2
2
2．
x
f
ln x f ln x
dx
解：
x
f
ln x f ln x
dx
f
ln x f ln x
d
ln
x
．
f
1
ln
x
df
(ln
x)
2
解：f xy，x y x2 y 2 xy (x y)2 xy ．令 xy s ，x y t ，则 f s，t t 2 s ，
故， f x，y y 2 x ．
填空题
15．若 z 2x2 3xy y2 ，则 2 z
．
xy
解： z 4x 3y ， 2 z 3．
x
xf
xdx
5
0
xdf
x
xf
5 (x)
0
5
0
f
xdx
5
f
(5)
3
7
．
填空题
5．
1
x
1 x2
2dx
1
．
偶倍奇零
1
解： x
1 x2 2dx
1 x2 2x 1 x2 1 x2 dx
1
2x
1 x2
1 dx
1
1
1
1
1dx 2 ． 1
6．
x2
1 dx 2x 2
xd
ln
x
ln

经济数学-答案

《经济数学》参考答案一、单项选择题1、⎩⎨⎧≤<-<<-+=323211)(22x x x x x f 的定义域为（ D ）A 、（-1，3）；B 、（-1，2）；C 、[-1，3]；D 、（-1，2）∪（2，3]。

2、当∞→n 时，与n1sin2等价的无穷小量是（ C ） nD n C nB nA 2.;1.;1.;1.2 3、设x x e e y -+=，则)(n y =（ A ）A 、x n x e e --+)1(；B 、x n x e e -+-+1)1(；C 、xxne e -+；D 、xxne e -- 4、设y xe y =，则='y （ B ）yy yy yyy yexe D e xe C xe e B xe e A 1.;1.;1.;1.----。

5、函数)1ln(+-=x x y 的单调递减区间为（ A ） A 、（-1，0）；B 、)0,(-∞；C 、（-2，-1）；D 、),0(∞+。

二、填空题1、若b x x f +=sin )(（b 为常数）为奇函数，则b = 0 。

2、=++∞→1)1(lim x x xx e 。

3、若0)0(,5)0(=='f f ，则=→xx f x )(lim0 5 。

4、已知曲线49)(23+-+=x ax x x f 在1=x 处有拐点，则=a -3 。

5、71862)(23---=x x x x f 在=x 3 处取得极大值。

三、计算题1、求xx xx x sin tan lim0--→；解：原式22lim cos 1tan lim cos 11sec lim 2202020==-=--=→→→xx x x x x x x x 。

2、 )cos 1(sin 1lim sin 0x x e x x x ---→；解：原式22lim cos 1tan lim cos 11sec lim 2202020==-=--=→→→xx x x x x x x x3、设⎪⎩⎪⎨⎧>≤++=03sin 0)(2x x x x x x a x f ,求a 的值使)(x f 在0=x 处连续;解：3),0()0(,33sin lim )0(,)(lim )0(020=+=-==+=++=-+-→→a f f x x f a x x a f x x 4、设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=2221313t at y t at x ，求dx dy 解：2222222222223212,)1()1(3)1(6)1(3,)1(6)1(6)1(6t t dx dy t t a t at t a dt dx t at t at t at dt dy -=+-=+-+=+=+-+=。

《经济数学基础12》形考作业4参考答案

经济数学基础12 形考作业4 参考答案题目1：供求模型假设某种商品的需求函数和供给函数分别为：- 需求函数：Qd = 1000 - 2P - 供给函数：Qs = 2P - 200请回答以下问题： 1. 在市场均衡下，该商品的价格和数量是多少？ 2. 如果政府实施价格控制，将商品价格限制在50元以下，导致该商品的供给量减少至300个。

此时市场出现供不应求的情况，请问此时的价格和数量分别是多少？答案：1. 在市场均衡下，该商品的价格和数量是多少？市场均衡的条件是供求两侧的数量相等。

即 Qd = Qs。

将需求函数和供给函数代入上述条件中：Qd = 1000 - 2PQs = 2P - 200将 Qd 和 Qs 相等，得到：1000 - 2P = 2P - 200通过简单的运算，得到 P = 400 和 Q = 600。

所以，在市场均衡下，该商品的价格为 400 元，数量为600 个。

2. 如果政府实施价格控制，将商品价格限制在50元以下，导致该商品的供给量减少至300个。

此时市场出现供不应求的情况，请问此时的价格和数量分别是多少？当市场出现供不应求的情况时，价格会被控制在供给函数和需求函数的交点上。

我们可以将供给函数和需求函数代入上述条件中，得到：1000 - 2P = 2P - 200通过简单的运算，得到 P = 375 和 Q = 550。

所以，在价格被控制在50元以下，商品供给量减少至300个的情况下，市场的价格为 375 元，数量为 550 个。

题目2：弹性系数计算某市场上一种商品的需求函数为 Qd = 100 - 2P，其中 P 表示价格，Qd 表示需求量。

请计算该商品的价格弹性系数，并给出其弹性的分类。

答案：根据价格弹性系数的公式，我们可以计算价格弹性系数为：ε = (dQd / dP) * (P / Qd)其中，dQd / dP 是需求量关于价格的导数。

根据给定的需求函数 Qd = 100 - 2P，我们可以对其求导，得到：dQd / dP = -2将该值代入弹性系数公式中，并考虑到 P = 50，Qd = 100 - 2P：ε = (-2) * (50 / (100 - 2*50))通过简单的运算，得到ε = -1。

经济数学基础12-国家开放大学电大易考通考试题目答案

经济数学基础12【填空题】若，则=1/3&三分之一。

【知识点】凑微分【填空题】若，则=1/2&二分之一。

【知识点】凑微分【填空题】若，则=-1。

【知识点】凑微分【填空题】若，则=-1/2&负二分之一。

【知识点】凑微分【单选题】若，则f(x)=。

A.B.C.D.【答案】C【单选题】下列给出了四个等式中，正确的是。

A.B.C.D.【答案】A【单选题】若＝。

A.4sin2xB.－4sin2xC.2cos2xD.－2cos2x【答案】B【单选题】若f(x)是可导函数，则下列等式中不正确的是。

A.B.C.D.【答案】D【单选题】微分=。

A.B.C.D.【答案】B【单选题】若f(x)可微，则＝。

A.f(x)B.C.D.f(x)＋c【答案】B【单选题】若，则f(x)＝。

A.B.C.D.【答案】C【单选题】以下结论正确的是。

A.方程的个数小于未知量的个数的线性方程组一定有无穷多解B.方程的个数等于未知量的个数的线性方程组一定有唯一解C.方程的个数大于未知量的个数的线性方程组一定有无解D.A，B，C都不对【答案】D【单选题】若线性方程组AX=O只有零解，则线性方程组AX=b。

A.有唯一解B.有无穷多解C.无解D.解不能确定【答案】D【单选题】齐次线性方程组。

A.有非零解B.只有零解C.无解D.可能有解也可能无解【答案】A【单选题】线性方程组一定。

A.有无穷多解B.有唯一解C.只有零解D.无解【答案】B【单选题】线性方程组一定。

A.有唯一解B.有无穷多解C.无解D.有是一个解【答案】C【单选题】线性方程组的解的情况是。

A.无解B.只有零解C.有唯一解D.有无穷多解【答案】A【单选题】线性方程组解的情况是。

A.有无穷多解B.只有零解C.有唯一解D.无解【答案】D【单选题】线性方程组解的情况是。

A.有唯一解B.只有零解C.有无穷多解D.无解【答案】C【单选题】设线性方程组AX=b有唯一解，则相应的齐次方程组AX=O解的情况是。

经济数学基础课后答案(概率统计第三分册)

习题一1.写出下列事件的样本空间： (1) 把一枚硬币抛掷一次； (2) 把一枚硬币连续抛掷两次；(3) 掷一枚硬币，直到首次出现正面为止；(4) 一个库房在某一个时刻的库存量(假定最大容量为M ).解 (1) Ω={正面，反面}　△ {正，反}(2) Ω={(正、正)，(正、反)，(反、正)，(反、反)} (3) Ω={(正)，(反，正)，(反，反，正)，…} (4) Ω={x ；0 ≤x ≤ m } 2.掷一颗骰子的试验，观察其出现的点数，事件A ＝“偶数点”，B ＝“奇数点”，C ＝“点数小于5”，D ＝“小于5的偶数点”，讨论上述各事件间的关系.解 {}{}{}{}{}.4,2,4,3,2,1,5,3,1,6,4,2,6,5,4,3,2,1=====D C B A ΩA 与B 为对立事件，即B ＝A ；B 与D 互不相容；A ⊃D ，C ⊃D.3. 事件A i 表示某个生产单位第i 车间完成生产任务，i ＝1，2，3，B 表示至少有两个车间完成生产任务，C 表示最多只有两个车间完成生产任务，说明事件B 及B －C 的含义，并且用A i (i ＝1，2，3)表示出来.解 B 表示最多有一个车间完成生产任务，即至少有两个车间没有完成生产任务. 313221A A A A A A B ++=B －C 表示三个车间都完成生产任务321321321321＋＋＋A A A A A A A A A A A A B =321321321321321321321A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A C ++++++=321A A A C B =-4. 如图1－1，事件A 、B 、C 都相容，即ABC ≠Φ，把事件A ＋B ，A ＋B ＋C ，AC ＋B ，C －AB 用一些互不相容事件的和表示出来.解 B A A B A +=+C B A B A A C B A ++=++C B A B B AC +=+BC A C B A C B A AB C ++=-5.两个事件互不相容与两个事件对立的区别何在，举例说明.解两个对立的事件一定互不相容，它们不可能同时发生，也不可能同时不发生；两个互不相容的事件不一定是对立事件，它们只是不可能同时发生，但不一定同时不发生. 在本书第6页例2中A 与D 是对立事件，C 与D 是互不相容事件. 6.三个事件A 、B 、C 的积是不可能事件，即ABC ＝Φ，问这三个事件是否一定互不相容?画图说明.解不一定. A 、B 、C 三个事件互不相容是指它们中任何两个事件均互不相容，即两两互不相容.如图1－2，事件ABC ＝Φ，但是A 与B 相容.7. 事件A 与B 相容，记C ＝AB ，D ＝A+B ，F ＝A －B. 说明事件A 、C 、D 、F 的关系.解由于AB ⊂A ⊂A+B ，A －B ⊂A ⊂A+B ，AB 与A －B 互不相容，且A ＝AB ＋(A －B). 因此有A ＝C +F ，C 与F 互不相容， D ⊃A ⊃F ，A ⊃C.8. 袋内装有5个白球，3个黑球，从中一次任取两个，求取到的两个球颜色不同的概率. 解记事件A 表示“取到的两个球颜色不同”. 则有利于事件A 的样本点数目＃A ＝1315C C .而组成试验的样本点总数为＃Ω＝235+C ，由古典概率公式有P (A )＝=Ω##A 2815281315=C C C (其中＃A ，＃Ω分别表示有利于A 的样本点数目与样本空间的样本点总数，余下同)9. 计算上题中取到的两个球中有黑球的概率.解设事件B 表示“取到的两个球中有黑球”则有利于事件B 的样本点数为＃25C B =.1491)(1)(2825=-==C C B P B P －10. 抛掷一枚硬币，连续3次，求既有正面又有反面出现的概率.解设事件A 表示“三次中既有正面又有反面出现”, 则A 表示三次均为正面或三次均为反面出现. 而抛掷三次硬币共有8种不同的等可能结果，即＃Ω＝8，因此图1－1图1－2143821#1)(1)(=-=Ω-=-=A A P A P ＃ 11. 10把钥匙中有3把能打开一个门锁，今任取两把，求能打开门锁的概率.解设事件A 表示“门锁能被打开”. 则事件A 发生就是取的两把钥匙都不能打开门锁.15811)(1)(21027==Ω-=-=CC A A P A P －＃＃从9题－11题解中可以看到，有些时候计算所求事件的对立事件概率比较方便. 12. 一副扑克牌有52张，不放回抽样，每次一张，连续抽取4张，计算下列事件的概率：(1)四张花色各异； (2)四张中只有两种花色.解设事件A 表示“四张花色各异”；B 表示“四张中只有两种花色”.，113113113113452##C C C C A ，　C Ω== ）＋#2132131133131224C C C C C C B （= 105013##)(4524.C ΩA A P ===30006048＋74366##)(452　）（.C ΩB B P ===13. 口袋内装有2个伍分、3个贰分，5个壹分的硬币共10枚，从中任取5枚，求总值超过壹角的概率.解设事件A 表示“取出的5枚硬币总值超过壹角”.)＋(＋C ＝##25231533123822510C C C C C C A C Ω　，　= 50252126)(.ΩA A P ＝＝＃＃＝14. 袋中有红、黄、黑色球各一个，每次任取一球，有放回地抽取三次，求下列事件的概率：A ＝“三次都是红球”　△ “全红”，B ＝“全白”，C ＝“全黑”，D ＝“无红”，E ＝“无白”，F ＝“无黑”，G ＝“三次颜色全相同”，H ＝“颜色全不相同”，I ＝“颜色不全相同”.解＃Ω＝33＝27，＃A ＝＃B ＝＃C ＝1，＃D ＝＃E ＝＃F ＝23＝8，＃G ＝＃A ＋＃B ＋＃C ＝3，＃H ＝3！＝6，＃I ＝＃Ω－＃G ＝24271)()()(===C P B P A P 278)()()(===F P E P D P 982724)(,92276)(,91273)(======I P H P G P 15. 一间宿舍内住有6位同学，求他们中有4个人的生日在同一个月份的概率. 解设事件A 表示“有4个人的生日在同一个月份”.＃Ω＝126，＃A ＝21124611C C0073.01221780##)(6＝＝ΩA A P =16. 事件A 与B 互不相容，计算P )(B A +. 解由于A 与B 互不相容，有AB ＝Φ，P (AB )＝0.1)(1)()(=-==+AB P AB P B A P17. 设事件B ⊃A ，求证P (B )≥P (A ）. 证 ∵B ⊃A∴P (B -A )＝P (B ) - P (A ) ∵P (B -A )≥0 ∴P (B )≥P (A )18. 已知P (A )＝a ，P (B )＝b ，ab ≠0 (b ＞0.3a )，P (A －B )＝0.7a ，求P (B +A )，P (B -A )，P (B ＋A ).解由于A －B 与AB 互不相容，且A ＝(A -B )＋AB ，因此有P (AB )＝P (A )-P (A -B )＝0.3aP (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P (AB )＝0.7a ＋b2P (B -A )＝P (B )-P (AB )＝b -0.3aP(B ＋A )＝1-P (AB )＝1-0.3a19. 50个产品中有46个合格品与4个废品，从中一次抽取三个，计算取到废品的概率. 解设事件A 表示“取到废品”，则A 表示没有取到废品，有利于事件A 的样本点数目为＃A ＝346C ，因此P (A )＝1-P (A )＝1-3503461C C ΩA－＝＃＃＝0.225520. 已知事件B ⊃A ，P (A )＝ln b ≠ 0，P (B )＝ln a ，求a 的取值范围.解因B ⊃A ，故P (B )≥P (A )，即ln a ≥ln b ,⇒a ≥b ，又因P (A )＞0，P (B )≤1，可得b ＞1，a ≤e ，综上分析a 的取值范围是：1＜b ≤a ≤e21. 设事件A 与B 的概率都大于0，比较概率P (A )，P (AB )，P (A +B )，P (A )+P (B )的大小(用不等号把它们连接起来).解由于对任何事件A ，B ，均有AB ⊂A ⊂A +B且P (A +B )＝P (A )＋P (B )-P (AB )，P (AB )≥0，因此有P (AB )≤P (A )≤P (A +B )≤P (A )＋P (B )22. 一个教室中有100名学生，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率(设一年以365天计算).解设事件A 表示“100名学生的生日都不在元旦”，则有利于A 的样本点数目为＃A ＝，而样本空间中样本点总数为＃Ω＝，所求概率为1001003653641##1)(1)(-=Ω-=-=A A P A P= 0.239923. 从5副不同手套中任取4只手套，求其中至少有两只手套配成一副的概率.解设事件A 表示“取出的四只手套至少有两只配成一副”，则A 表示“四只手套中任何两只均不能配成一副”.21080##)(4101212121245===C C C C C C ΩA A P 62.0)(1)(=-=A P A P24. 某单位有92％的职工订阅报纸，93％的人订阅杂志，在不订阅报纸的人中仍有85％的职工订阅杂志，从单位中任找一名职工求下列事件的概率： (1)该职工至少订阅一种报纸或期刊； (2)该职工不订阅杂志，但是订阅报纸.解设事件A 表示“任找的一名职工订阅报纸”，B 表示“订阅杂志”，依题意P (A )＝0.92，P (B )＝0.93，P (B ｜A )＝0.85P (A ＋B )＝P (A )＋P (A B )＝P (A )＋P (A )P (B ｜A )＝0.92＋0.08×0.85＝0.988P (A B )＝P (A ＋B )-P (B )＝0.988－0.93＝0.05825. 分析学生们的数学与外语两科考试成绩，抽查一名学生，记事件A 表示数学成绩优秀，B表示外语成绩优秀，若P (A )＝P (B )＝0.4，P (AB )＝0.28，求P(A ｜B )，P (B ｜A )，P (A ＋B ).解 P (A ｜B )＝7.04.028.0)()(==B P AB PP (B ｜A)＝7.0)()(=A P AB PP (A ＋B )＝P (A )＋P (B )-P (AB )＝0.5226. 设A 、B 是两个随机事件. 0＜P (A )＜1，0＜P (B )＜1，P (A ｜B )＋P (A ｜B )＝1. 求证P (AB )＝P (A )P (B ).证 ∵P ( A ｜B )＋P (A ｜B )＝1且P ( A ｜B )＋P (A ｜B )＝1∴P ( A ｜B )＝P (A ｜B ))(1)()()()()()(B P AB P A P B P B A P B P AB P --==P (AB )［1-P (B )］＝P ( B )［P ( A )-P ( AB )］整理可得P (AB )＝P ( A ) P ( B )27. 设A 与B 独立，P ( A )＝0.4，P ( A ＋B )＝0.7，求概率P (B ). 解 P ( A ＋B )＝P (A )＋P (A B )＝P ( A )＋P (A ) P ( B )⇒ 0.7＝0.4＋0.6P ( B )⇒ P ( B )＝0.528. 设事件A 与B 的概率都大于0，如果A 与B 独立，问它们是否互不相容，为什么?3解因P ( A )，P ( B )均大于0，又因A 与B 独立，因此P ( AB )＝P ( A ) P ( B )＞0，故A 与B 不可能互不相容.29. 某种电子元件的寿命在1000小时以上的概率为0.8，求3个这种元件使用1000小时后，最多只坏了一个的概率. 解设事件Ai表示“使用1000小时后第i 个元件没有坏”，i ＝1，2，3，显然A 1，A 2，A 3相互独立，事件A 表示“三个元件中最多只坏了一个”，则A＝A 1A 2A 3＋1A A 2A 3＋A 12A A 3＋A 1A 23A ，上面等式右边是四个两两互不相容事件的和，且P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝0.8P ( A )＝[][])()(3)(12131A P A P A P +＝0.83＋3×0.82×0.2 ＝0.89630. 加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的废品率分别为0.3，0.2，0.2，并且任何一道工序是否出现废品与其他各道工序无关，求零件的合格率. 解设事件A 表示“任取一个零件为合格品”，依题意A 表示三道工序都合格.P (A )＝(1－0.3)(1－0.2)(1－0.2)＝0.44831. 某单位电话总机的占线率为0.4，其中某车间分机的占线率为0.3，假定二者独立，现在从外部打电话给该车间，求一次能打通的概率；第二次才能打通的概率以及第m 次才能打通的概率(m 为任何正整数).解设事件A i 表示“第i 次能打通”，i ＝1，2，…，m ，则P (A 1)＝(1－0.4)(1－0.3)＝0.42 P (A 2)＝0.58 × 0.42＝0.2436 P (A m )＝0.58m －1 × 0.4232. 一间宿舍中有4位同学的眼镜都放在书架上，去上课时，每人任取一副眼镜，求每个人都没有拿到自己眼镜的概率.解设A i 表示“第i 人拿到自己眼镜”，i ＝1,2,3,4. P ( A i )＝41，设事件B 表示“每个人都没有拿到自己的眼镜”. 显然B 则表示“至少有一人拿到自己的眼镜”. 且B ＝A 1＋A 2＋A 3＋A 4.P (B )＝P (A 1＋A 2＋A 3＋A 4)＝∑∑∑-+-=≤≤≤≤4141414321)()()()(i j i k j i k j i i i i A A A A P A A A P A A P A p ＜＜＜P (A i A j )=P (A i )P (A j ｜A i )=)41(1213141≤≤=⨯j i ＜ P (A i A j A k )=P (A i )P (A j ｜A i )P (A k ｜A i A j )=41×31×21=241（1≤i ＜j ＜k ≤4） P (A 1A 2A 3A 4) =P (A 1)P (A 2|A 1)P (A 3|A 1A 2)×P (A 4｜A 1A 2A 3)=2411213141=⨯⨯⨯ 85241241121414)(3424=-⨯+⨯-⨯=C C B P83)(1)(=-=B P B P33. 在1，2，…，3000这3000个数中任取一个数，设A m ＝“该数可以被m 整除”，m ＝2，3，求概率P (A 2A 3)，P (A 2＋A 3)，P (A 2－A 3). 解依题意P (A 2)＝21，P (A 3)＝31P (A 2A 3)＝P (A 6)＝61P (A 2＋A 3)＝P (A 2)＋P (A 3)－P (A 2A 3)＝32613121=-+ P (A 2－A 3)＝P (A 2)－P (A 2A 3)＝316121=-34. 甲、乙、丙三人进行投篮练习，每人一次，如果他们的命中率分别为0.8，0.7，0.6，计算下列事件的概率： (1)只有一人投中； (2)最多有一人投中； (3)最少有一人投中.解设事件A 、B 、C 分别表示“甲投中”、“乙投中”、“丙投中”，显然A 、B 、C 相互独立.设A i 表示“三人中有i 人投中”，i ＝0,1,2,3,依题意，)()()() ()(0C P B P A P C B A P A P ===0.2×0.3×0.4×=0.024P ( A 3 )=P ( ABC )=P ( A ) P ( B ) P ( C )4=0.8×0.7×0.6=0.336P (A 2)=P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )=0.8×0.7×0.4＋0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6=0.452 (1) P (A 1)＝1－P (A 0)－P (A 2)－P (A 3)＝1－0.024－0.452－0.336＝0.188(2) P (A 0＋A 1)＝P (A 0)＋P (A 1)＝0.024＋0.188＝0.212 (3) P (A ＋B ＋C )＝P (0A )＝1－P (A 0)＝0.97635. 甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，假定他们的命中率分别为0.4及0.5，问谁先投中的概率较大，为什么?解设事件A 2n -1B 2n 分别表示“甲在第2n －1次投中”与“乙在第2n 次投中”，显然A 1，B 2，A 3，B 4，…相互独立.设事件A 表示“甲先投中”.⋯+++=)()()()(543213211A B A B A P A B A P A P A P⋯⨯⨯⨯⨯=＋＋＋0.40.5)(0.60.40.50.60.42 743.014.0=-=计算得知P (A )＞0.5，P (A )＜0.5，因此甲先投中的概率较大.36. 某高校新生中，北京考生占30％，京外其他各地考生占70％，已知在北京学生中，以英语为第一外语的占80％，而京外学生以英语为第一外语的占95％，今从全校新生中任选一名学生，求该生以英语为第一外语的概率.解设事件A 表示“任选一名学生为北京考生”，B 表示“任选一名学生，以英语为第一外语”. 依题意P (A )＝0.3，P (A )＝0.7，P (B ｜A)＝0.8，P (B ｜A )＝0.95. 由全概率公式有P (B )＝P (A )P (B ｜A )＋P (A )P (B ｜A )＝0.3×0.8＋0.7×0.95＝0.90537. A 地为甲种疾病多发区，该地共有南、北、中三个行政小区，其人口比为9 : 7 : 4，据统计资料，甲种疾病在该地三个小区内的发病率依次为4‰，2‰，5‰，求A 地的甲种疾病的发病率.解设事件A 1，A 2，A 3分别表示从A 地任选一名居民其为南、北、中行政小区，易见A 1，A 2，A 3两两互不相容，其和为Ω.设事件B 表示“任选一名居民其患有甲种疾病”，依题意：P (A 1)＝0.45，P (A 2)＝0.35，P (A 3)＝0.2，P (B ｜A 1)＝0.004，P (B ｜A 2)＝0.002，P (B ｜A 3)＝0.005＝∑=31)|()(i i i A B P A P＝ 0.45 × 0.004 + 0.35 × 0.002 + 0.2 × 0.005＝0.003538. 一个机床有三分之一的时间加工零件A ，其余时间加工零件B ，加工零件A 时，停机的概率为0.3，加工零件B 时停机的概率为0.4，求这个机床停机的概率.解设事件A 表示“机床加工零件A ”，则A 表示“机床加工零件B ”，设事件B 表示“机床停工”.)|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +=37.0324.0313.0=⨯+⨯= 39. 有编号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的3个口袋，其中Ⅰ号袋内装有两个1号球，1个2号球与1个3号球，Ⅱ号袋内装有两个1号球和1个3号球，Ⅲ号袋内装有3个1号球与两个2号球，现在先从Ⅰ号袋内随机地抽取一个球，放入与球上号数相同的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，计算第二次取到几号球的概率最大，为什么?解设事件A i 表示“第一次取到i 号球”，B i 表示第二次取到i 号球，i ＝1，2，3.依题意，A 1，A 2，A 3构成一个完全事件组.41)()(,21)(321===A P A P A P41)|()|(,21)|(131211===A B P A B P A B P41)|()|(,21)|(232221===A B P A B P A B P61)|(,31)|(,21)|(333231===A B P A B P A B P应用全概率公式∑==31)|()()(i i j i j A B P A P B P 可以依次计算出4811)(,4813)(,21)(321===B P B P B P . 因此第二次取到1号球的概率最大. 40. 接37题，用一种检验方法，其效果是：对甲种疾病的漏查率为5％(即一个甲种疾病患者，经此检验法未查出的概率为5％)；对无甲种疾病的人用此检验法误诊为甲种疾病患者的概率为1％，在一次健康普查中，某人经此检验法查为患有甲种疾病，计算该人确实患有此病的概率.解设事件A 表示“受检人患有甲种疾病”，B 表示“受检人被查有甲种疾病”，由37题计算可5知P (A )＝0.0035，应用贝叶斯公式)|()()|()()|()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B A P +=01.09965.095.00035.095.00035.0⨯⨯⨯=＋25.0= 41. 甲、乙、丙三个机床加工一批同一种零件，其各机床加工的零件数量之比为5 : 3 : 2，各机床所加工的零件合格率，依次为94％，90％，95％，现在从加工好的整批零件中检查出一个废品，判断它不是甲机床加工的概率.解设事件A 1，A 2，A 3分别表示“受检零件为甲机床加工”，“乙机床加工”，“丙机床加工”，B 表示“废品”，应用贝叶斯公式有∑==31111)|()()|()()|(i i i A B P A P A B P A P B A P7305020＋1030＋06.05.006.05.0=⨯⨯⨯⨯=....74)|(1)|(11=-=B A P B A P42. 某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车4种交通工具，其概率分别为5％，15％，30％，50％，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100％，70％，60％与90％，已知该旅行者误期到达，求他是乘坐火车的概率.解设事件A 1，A 2，A 3，A 4分别表示外出人“乘坐飞机”，“乘坐火车”，“乘坐轮船”，“乘坐汽车”，B 表示“外出人如期到达”.∑==41222)|()()|()()|(i i i A B P A P A B P A P B A P1.05.04.03.03.015.0005.03.015.0⨯+⨯+⨯+⨯⨯==0.20943. 接39题，若第二次取到的是1号球，计算它恰好取自Ⅰ号袋的概率.解 39题计算知P (B 1)＝21，应用贝叶斯公式21212121)()|()()|(111111=⨯==B P A B P A P B A P44. 一箱产品100件，其次品个数从0到2是等可能的，开箱检验时，从中随机地抽取10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收，若已知该箱产品已通过验收，求其中确实没有次品的概率.解设事件A i 表示一箱中有i 件次品，i ＝0, 1, 2. B 表示“抽取的10件中无次品”，先计算P ( B )∑++⨯===20101001098101001099)1(31)|()()(i i i C C C C A B P A P B P37.0)(31)|(0==B P B A P45. 设一条昆虫生产n 个卵的概率为λλ-=e !n p nn n =0, 1, 2, …其中λ＞0，又设一个虫卵能孵化为昆虫的概率等于p (0＜p ＜1). 如果卵的孵化是相互独立的，问此虫的下一代有k 条虫的概率是多少?解设事件A n ＝“一个虫产下几个卵”，n ＝0，1，2….B R ＝“该虫下一代有k 条虫”，k ＝0，1，….依题意λλ-==e !)(n p A P nn n⎩⎨⎧≤≤=-nk qp C n k A B P kn k k n n k 00)|(＞其中q =1－p . 应用全概率公式有∑∑∞=∞===kn n k n n n k n k A B P A P A B P A P B P )|()()|()()(0∑∞=-λ--λ=l n k n k n q p k n k n n !)(!!e !∑∞=-λ--λλk n k n kk n q k p !)()(e !)(6由于q k n kn k n k n k n q k n q λ∞=--∞=-∑∑=-λ=-λe !)()(!)()(0，所以有 ,2,1,0e)(e e !)()(===--k kp k p B P pp q k k λλλλλ7习题二1. 已知随机变量X 服从0－1分布，并且P {X ≤0}＝0.2，求X 的概率分布.解 X 只取0与1两个值，P {X ＝0}＝P {X ≤0}－P {X ＜0}＝0.2，P {X ＝1}＝1－P {X ＝0}＝0.8. 2. 一箱产品20件，其中有5件优质品，不放回地抽取，每次一件，共抽取两次，求取到的优质品件数X 的概率分布.解 X 可以取0, 1, 2三个值. 由古典概型公式可知{})2,1,0(2202155===-m C C C m X P mm 依次计算得X 的概率分布如下表所示：3. 上题中若采用重复抽取，其他条件不变，设抽取的两件产品中，优质品为X 件，求随机变量X 的概率分布.解 X 的取值仍是0, 1, 2.每次抽取一件取到优质品的概率是1/4，取到非优质品的概率是3/4,且各次抽取结果互不影响，应用伯努利公式有{}1694302=⎪⎭⎫⎝⎛==X P{}1664341112=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P {}1614122=⎪⎭⎫⎝⎛==X P4. 第2题中若改为重复抽取，每次一件，直到取得优质品为止，求抽取次数X 的概率分布. 解 X 可以取1, 2, …可列个值. 且事件{X = n }表示抽取n 次，前n －1次均未取到优质品且第n 次取到优质品，其概率为41431⋅⎪⎭⎫⎝⎛-n . 因此X 的概率分布为 {}⋯=⎪⎭⎫⎝⎛==-,2,143411n n X P n5. 盒内有12个乒乓球，其中9个是新球，3个为旧球，采取不放回抽取，每次一个直到取得新球为止，求下列随机变量的概率分布. (1)抽取次数X ； (2)取到的旧球个数Y .解 (1)X 可以取1, 2, 3, 4各值.{}{}4491191232431=⨯====X P X P {}22091091121233=⨯⨯==X P {}2201991011121234=⨯⨯⨯==X P (2) Y 可以取0, 1, 2, 3各值 .{}{}4310====X P Y P {}{}44921====X P Y P {}{}220932====X P Y P {}{}220143====X P Y P 6. 上题盒中球的组成不变，若一次取出3个，求取到的新球数目X 的概率分布. 解 X 可以取0, 1, 2, 3各值.{}2201031233===C C X P{}2202713122319===C C C X P{}22010823121329===C C C X P{}22084331239===C C X P7. 已知P {X ＝n }＝p n，n ＝1, 2, 3, …, 求p 的值.8解根据{}∑=∞=11n n X P ＝, 有 ∑∞=-==111n n pp P 解上面关于p 的方程，得p ＝0.5.8. 已知P {X ＝n }=p n， n ＝2, 4, 6, …，求p 的值.解 1122642=-=⋯+++p p p p p解方程，得p =2±/29. 已知P {X ＝n }=cn , n =1, 2, …, 100, 求c 的值. 解 ∑=+⋯++==10015050)10021(1n c c cn ＝解得 c ＝1/5050 .10. 如果p n ＝cn ＿2，n =1, 2, …, 问它是否能成为一个离散型概率分布，为什么?解 ,1121∑=∑∞=∞=n n n n c p 由于级数∑∞=121n n 收敛, 若记∑∞=121n n =a ,只要取ac 1=, 则有∑∞=1n n p =1,且p n ＞0. 所以它可以是一个离散型概率分布.11. 随机变X 只取1, 2, 3共三个值，其取各个值的概率均大于零且不相等并又组成等差数列，求X 的概率分布.解设P {X ＝2}＝a ，P {X ＝1}＝a －d , P {X =3}=a +d . 由概率函数的和为1，可知a =31, 但是a －d 与a +d 均需大于零,因此｜d ｜＜31, X 的概率分布为其中d 应满足条件：0＜｜d ｜＜312. 已知{}λ-==e !m c λm X P m ,m =1, 2, …, 且λ＞0, 求常数c . 解{}∑∑∞=-∞====11e!1m m m m c m X p λλ由于∑∑∞=∞==+=10e !1!m mm mm m λλλ, 所以有∑∞=---=-=-=11)e 1(e )1e (e !m m c c m c λλλλλ 解得 λ--=e 11c13. 甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，直到有一人投中为止，假定甲、乙二人投篮的命中率分别为0.4及0.5，求： (1)二人投篮总次数Z 的概率分布； (2)甲投篮次数X 的概率分布； (3)乙投篮次数Y 的概率分布.解设事件A i 表示在第i 次投篮中甲投中，j 表示在第j 次投篮中乙投中，i =1, 3, 5, …, j =2, 4, 6,…,且A 1, B 2, A 3, B 4，…相互独立.(1){}{}1222321112---=-=k k k A B A B A p k Z P = (0.6×0.5)1-k ·0.4= 0.4(0.3)1-k k=1, 2, …{})(2212223211k k k k B A B A B A p k Z P ---===0.5×0.6×(0.6×0.5)1-k =0.3kk=1, 2, …(2) {}{}12223211---==n n n A B A B A p n X P{}n n n n B A B AB A p 212223211---+)5.06.04.0()5.06.0(1⨯+⨯=-n,2,13.07.01=⨯=-n n (3) {}4.0)(01===A P Y P{}{}{}122121121211+--+==n n n n n A B A B A P B A B A P n Y P)4.05.05.0(6.0)5.06.0(1⨯+⨯⨯⨯=-n，2,13.042.01=⨯=-n n 14. 一条公共汽车路线的两个站之间，有四个路口处设有信号灯，假定汽车经过每个路口时遇到绿灯可顺利通过，其概率为0.6，遇到红灯或黄灯则停止前进，其概率为0.4，9求汽车开出站后，在第一次停车之前已通过的路口信号灯数目X 的概率分布(不计其他因素停车).解 X 可以取0, 1, 2, 3, 4 .P { X ＝0 } ＝0.4 P { X ＝1 }＝0.6×0.4＝0.24 P { X ＝2 } ＝0.62×0.4＝0.144 P { X ＝3 } ＝0.63×0.4＝0.0864 P { X ＝4 } ＝0.64＝0.129615. ⎩⎨⎧∈=.,0],[,sin )(其他，b a x x x f问f (x )是否为一个概率密度函数，为什么?如果(1).π23,)3( ;π,0)2( ;2π,0======b a b a b a π解在［0, 2π］与［0, π］上，sin x ≥0,但是,1d sin π0≠⎰x x,1d sin 2π0=⎰x x 而在⎥⎦⎤⎢⎣⎡π23,π上,sin x ≤0.因此只有(1)中的a , b 可以使f (x )是一个概率密度函数.16. ⎪⎩⎪⎨⎧≤=-.0,00e)(,22x x cx x f cx ，＞其中c ＞0，问f (x )是否为密度函数，为什么?解易见对任何x ∈(－∞ , ＋∞) , f ( x ) ≥ 0，又1d e 202=⎰-∞+x cx cxf (x )是一个密度函数 .17.⎩⎨⎧+=.0.2＜＜,2)(其他，a x a x x f问f ( x )是否为密度函数，若是，确定a 的值；若不是，说明理由. 解如果f ( x )是密度函数，则f ( x )≥0，因此a ≥0，但是，当a ≥0时，444|d 2222≥+==⎰⨯++a x x a a a a 由于x x f d )(⎰+∞∞-不是1，因此f ( x )不是密度函数. 18. 设随机变量X ～f ( x )⎪⎩⎪⎨⎧∞++=.,0,,)1(π2)(2其他＜＜x a x x f 确定常数a 的值，如果P { a ＜ x ＜ b } ＝0.5，求b 的值.解)arctan 2π(2arctan π2d )1(π22a x x x a a-π==+⎰⎰+∞+∞ 解方程 π2⎪⎭⎫ ⎝⎛a arctan － 2π=1 得 a = 0{}b x x x f b x P b barctan π2|arctan π2d )(000==⎰=＜＜解关于b 的方程：π2arctan b =0.5 得 b =1.19. 某种电子元件的寿命X 是随机变量，概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≥=.100,0,100100)(2＜x x x x f3个这种元件串联在一个线路中，计算这3个元件使用了150小时后仍能使线路正常工作的概率.解串联线路正常工作的充分必要条件是3个元件都能正常工作. 而三个元件的寿命是三个相互独立同分布的随机变量，因此若用事件A 表示“线路正常工作”，则3])150([)(＞X P A P ={}32d 1001502150=⎰∞+x x X P ＝＞ 278)(=A P 20. 设随机变量X ～f ( x )，f ( x )＝A e－|x|，确定系数A ；计算P { |X | ≤1 }. 解 A x A x A x x 2d e 2d e10||=⎰=⎰=∞+-∞+∞--解得 A ＝21 {}⎰⎰---==≤10||11d e d e 211||x x X P x x632.0e 11≈-=-21. 设随机变量Y 服从［0, 5］上的均匀分布，求关于x 的二次方程4x 2＋4xY +Y +2=0有实数根的概率.解 4x 2+4xY +Y +2=0. 有实根的充分必要条件是△＝b 2－4ac =16Y 2－16(Y +2)=16Y 2－16Y －32≥0 设事件P (A )为所求概率.则{}{}{}120321616)(2-≤+≥=≥--=Y P Y P Y Y P A P=0.622. 设随机变量X ～ f ( x )，⎪⎩⎪⎨⎧-=.,01||,1)(2其他，＜x xcx f确定常数c ，计算.21||⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤X P 解 π|arcsin d 1111211c x c x x c ==-⎰=--c =π131arcsin 2d 1121||0212121 2=π=-π=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤⎰-xx x X P 23. 设随机变量X 的分布函数F ( x )为⎪⎩⎪⎨⎧≥=.1,1,10,0,0)(x x x A x x F ＜＜，＜确定系数A ，计算{}25.00≤≤X P ，求概率密度f ( x ). 解连续型随机变量X 的分布函数是连续函数，F (1)＝F (1－0)，有A ＝1.⎪⎩⎪⎨⎧=.,0,10,21)(其他＜＜x xx f {}5.0)0()25.0(25.00=-=≤≤F F X P24. 求第20题中X 的分布函数F ( x ) . 解 {}t x X P x F t xd e 21)(||-∞-⎰=≤= 当t ≤ 0时，x t xt x F e 21d e 21)(=⎰=∞- 当t ＞0时，t t t x F t x t t x d e 21d e 21d e 21)(-00||⎰+⎰=⎰=-∞--∞-x x ---=-+=e 211)e 1(212125. 函数(1+x 2)－1可否为连续型随机变量的分布函数，为什么? 解不能是分布函数，因F (－∞)＝ 1 ≠ 0. 26. 随机变量X ～f ( x )，并且)1(π)(2x ax f +=,确定a 的值；求分布函数F ( x )；计算{}1||＜X P . 解 a x a x x a ==⎰+=∞+∞-∞+∞-arctan πd )1(π12因此a =1x xt t t x F ∞-∞-=⎰+=arctan π1d )1(π1)(2x arctan π121+= {}⎰+=⎰+=-12112d )1(π12d )1(π11||x x x x X P ＜21arctan π210==x27. 随机变量X 的分布函数F ( x ) 为：⎪⎩⎪⎨⎧≤-=.2,02,1)(2x x xA x F ，＞确定常数A 的值，计算{}40≤≤X P . 解由F ( 2＋0 )＝F ( 2 )，可得4,041==-A A{}{})0()4(4X 040F F P X P -=≤=≤≤＜=0.7528. 随机变量X ～f ( x )，f ( x )＝,ee xx A-+确定A 的值；求分布函数F ( x ) .解 ⎰+=⎰+=∞∞-∞∞--x A x A xx x x d e 1e d e e 12A A x 2πe arctan ==∞∞-因此 A ＝π2，x txt t t x F ∞-∞--=+=⎰e arctan π2d )e e (π2)(x e arctan π2=29. 随机变量X ～f ( x )，⎪⎩⎪⎨⎧=.,00,π2)(2其他＜＜a x xx f确定a 的值并求分布函数F ( x ) .解 220222ππd π21a x x x a a ==⎰= 因此，a = π 当0＜x ＜π时，⎰=x x t t x F 0222πd π2)(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=π1,π0,π0,0)(22x x xx x F ＜＜ 30. 随机变量X 的分布函数为)0(0,e 22210,0)(22＞＞a x ax x a x x F ax⎪⎩⎪⎨⎧++-≤=-求X 的概率密度并计算⎭⎬⎫⎩⎨⎧a X P 10＜＜. 解当x ≤ 0时，X 的概率密度f ( x ) ＝0；当x ＞ 0时，f ( x ) ＝F′ ( x )⎪⎩⎪⎨⎧≤=-.0,e 2,0,0)(23＞　x x a x x f ax)0()1(1010F a F a x P a x P -=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧＜＜＜08.0e 2511≈-=- 31. 随机变量X 服从参数为0.7的0－1分布，求X 2，X 2－2X 的概率分布.解 X 2仍服从0－1分布，且P { X 2＝0 } ＝P { X ＝0 } ＝0.3，P {X 2＝1}＝P {X＝1}＝0.7X 2－2X 的取值为－1与0 , P {X 2－2X ＝0}其他＝P { X ＝0 } ＝0.3P { X 2－2X ＝－1 } ＝1－P { X ＝0 } ＝0.732. 已知P { X ＝10n} ＝P { X ＝10-n}＝,,2,1,31=n n Y =l gX ，求Y 的概率分布.解 Y 的取值为±1, ±2 , …P { Y =n } =P { l gX =n } =P { X =10n } =31P { Y =－n } =P { l gX =－n } =P { x =10-n } ＝31 n ＝1 ,2 , …33. X 服从［a , b ］上的均匀分布，Y =ax +b (a ≠0)，求证Y 也服从均匀分布.证设Y 的概率密度为f Y ( y ) ，X 的概率密度为f X ( x )，只要a ≠ 0，y = ax + b 都是x 的单调函数. 当a ＞ 0时，Y 的取值为［a 2+b , ab +b ］,ax y h b y a y h x y1)(,)(1)(='='-== ],,[,)(1])([)()(2b ab b a y a b a y h f y h y f X Y ++∈-='=当],[2b ab b a y ++∈时，f Y ( y ) =0.类似地，若a ＜0，则Y 的取值为［ ab +b , a 2+b ］⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤+--=.,0,,)(1)(2其他b a y b ab a b a y f Y因此，无论a ＞0还是a ＜0，ax +b 均服从均匀分布.34. 随机变量X 服从［0 , 2π］上的均匀分布Y =cos X , 求Y 的概率密度f Y ( y ).解 y =cos x 在［0, 2π］上单调，在(0 , 1)上，h ( y ) = x =arccos yh′ ( y ) = 211y -- , f x ( x ) = π2 , 0 ≤ x ≤ 2π. 因此⎪⎩⎪⎨⎧-=.0,10,1π2)(2其他，＜＜y yy f Y35. 随机变量X 服从(0 , 1)上的均匀分布，Y =e x, Z =｜ln X ｜，分别求随机变量Y 与Z 的概率密度f Y ( y ) 及f Z ( z ) .解 y = e x在(0 , 1)内单调 , x =ln y 可导，且x′y = y1, f X ( x ) =1 0 ＜ x ＜ 1 , 因此有⎪⎩⎪⎨⎧.,0,e 1,1)(其他　＜＜y yy f Y在(0 , 1)内ln x ＜ 0｜ln x ｜=-ln x 单调，且x = e z -，x′z ＝－e z -，因此有⎩⎨⎧∞+=-.,0,0e )(其他＜＜，z z f z z36. 随机变量X ～f ( x ) ，⎩⎨⎧≤=-0,00,e )(x x xf x ＞ Y =X , Z = X 2 , 分别计算随机变量Y 与Z 的概率密度f y ( y ) 与f Z ( z ) .解当x ＞ 0时，y =x 单调，其反函数为x = y 2 , x′y = 2y⎪⎩⎪⎨⎧≤=-.0,0,0,e 2)(2y y y y f y Y ＞当x ＞ 0时z ＝x 2也是单调函数，其反函数为x =z , x′ z =z21⎪⎩⎪⎨⎧≤=-.0,00e 21)(z ，z zz f zz ＞37.随机变量X ～f ( x )，当x ≥ 0时,)1(2)(2x x f +=π, Y =arctan X ,Z =X1,分别计算随机变量Y 与Z 的概率密度f Y ( y ) 与fz ( z ) . 解由于y = arctan x 是单调函数，其反函数x =tan y , x′ y =sec 2y 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-2π,0内恒不为零，因此，当0 ＜ y ＜π2时，π2)tan 1(π2sec )(22=+=y y y f Y 即Y 服从区间(0 , 2π)上的均匀分布.z = x 1在x ＞0时也是x 的单调函数，其反函数x =z 1, x′ z =21z-.因此当z ＞0时，)1(π2])1(1[π21)(222z zz z fz +=+-=⎪⎩⎪⎨⎧≤+=0,00,)1(π2)(2z z z z f z ＞即Z =X1与X 同分布. 38. 一个质点在半径为R ，圆心在原点的圆的上半圆周上随机游动. 求该质点横坐标X 的密度函数f X ( x ) .解如图，设质点在圆周位置为M ，弧MA 的长记为L ，显然L 是一个连续型随机变量，L 服从［0，πR ］上的均匀分布.⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.,0π0,π1)(其他，R l Rl f LM 点的横坐标X 也是一个随机变量，它是弧长L 的函数，且X ＝ R cos θ ＝ R cosRL函数x = R cos l / R 是l 的单调函数 ( 0＜ l ＜ πR ) ,其反函数为l ＝ R arccosRx 22xR R l x--='当－R ＜ x ＜ R 时，L′x ≠ 0，此时有2222π1π1)(x R R x R R x f X -=⋅--=当x ≤ －R 或x ≥ R 时，f X ( x ) ＝0 .39. 计算第2 , 3 , 5 , 6 , 11各题中的随机变量的期望. 解根据第2题中所求出的X 概率分布，有2138223815138210=⨯+⨯+⨯=EX 亦可从X 服从超几何分布，直接计算2120521=⨯==N N nEX 在第3题中21161216611690=⨯+⨯+⨯=EX亦可从X 服从二项分布(2，41)，直接用期望公式计算：21412=⨯==np EX在第5题中(1) 3.122014220934492431=⨯+⨯+⨯+⨯=EX (2) 3.022013220924491430=⨯+⨯+⨯+⨯=EY在第6题中，25.2220843220108222027122010=⨯+⨯+⨯+⨯=EX在第11题中，⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=d 313312d 311EX图2-131｜＜d ＜｜0 d 22+=40. P { X = n } =nc, n =1, 2, 3, 4, 5, 确定C 的值并计算EX .解 160137543251==++++=∑=c c c c c c n c n13760=C 137300551==∑⋅==C n c n EX n 41. 随机变量X 只取－1, 0, 1三个值，且相应概率的比为1 : 2 : 3，计算EX .解设P { X ＝－1 } ＝ a ，则P { X ＝0 } ＝2a , P { X ＝1 } ＝3a ( a ＞0 ) ，因a + 2a + 3a = 1 , 故a ＝1/631631620611=⨯+⨯+⨯-=EX 42. 随机变量X 服从参数为0.8的0－1分布，通过计算说明EX 2是否等于( EX )2? 解 EX ＝P { X ＝1 } ＝0.8，( EX )2＝0.64EX 2＝1×0.8＝0.8＞( EX )243. 随机变量X ～f ( x ) ，f ( x ) ＝0.5e - | x |，计算EX n，n 为正整数. 解当n 为奇数时，)(x f x n是奇函数，且积分x x xn d e 0-∞⎰收敛，因此0d e5.0||=⎰=-∞+∞-x x EX x n n当n 为偶数时，x x x x EX x n x n n d e 5.02d e 5.00||-∞+-∞+∞-⎰=⎰=!)1(d e 0n n x x x n =+Γ=⎰=-∞+44. 随机变量X ～f ( x ) ，⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤=.,0,21,2,10,)(其他＜＜x x x x x f 计算EX n(n 为正整数) . 解 x x x x x x x f x EXn n n nd )2(d d )(21101⎰-+⎰=⎰=+∞+∞-1)2(21)12(122121-+--+++=++n n n n n )2()1(222++-=+n n n45. 随机变量X ～f ( x ) ，⎩⎨⎧≤≤=.,0,10,)(x cx x f bb ,c 均大于0，问EX 可否等于1，为什么?解 11d d )(10=+=⎰=⎰∞+∞-b cx cx x x f b 而2d 101+=⎰=+b cx cx EX b 由于方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+1211b c b c无解，因此EX 不能等于1. 46. 计算第6，40各题中X 的方差DX . 解在第6题中，从第39题计算知EX ＝49， 22012152208492201084220272=⨯+⨯+=EX DX ＝EX 2－( EX )2≈0.46在第40题中，已计算出EX ＝137300, c cn n c n EX n n 15515122=∑=⨯∑=== =137900DX =EX 2-(EX )2≈1.7747. 计算第23，29各题中随机变量的期望和方差.其他其他解在第23题中，由于f ( x ) ＝x21（0＜x ＜1）,因此31d 21=⎰=x xxEX51d 22102=⎰=x xx EXDX = EX 2－ ( EX )2 =454 在第29题中，由于f ( x ) ＝2π2x( 0＜x ＜π ) , 因此π32d π2π022=⎰=x xEX2πd π22π0232=⎰=x x EX DX ＝EX 2－ ( EX )2=18π248. 计算第34题中随机变量Y 的期望和方差. 解 EY =π2d 1π2d )(12=⎰-=⎰∞+∞-y y y y y yf Y EY 2=21d 1π21022=⎰-y y y DY =222π28ππ421-=-49. 已知随机变量X 的分布函数F ( x ) 为：F ( x ) =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤+≤-++-.1,11022101,2211,022x x ，x x x x x x ，＜－，＜，＜计算EX 与DX .解依题意，X 的密度函数f ( x ) 为：⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-+=.010,101,1)(其他，＜，＜，x x x x x f解 EX ＝0d )1(d )1(0101=-⎰++⎰--x x x x x xEX 2=61d )1(d )1(102012=-⎰++⎰-x x x x x x DX =61 50. 已知随机变量X 的期望E X ＝μ，方差DX ＝σ2，随机变量Y = σμ-X , 求EY 和DY .解 EY =σ1( EX －μ ) ＝0 DY =2σDX=151. 随机变量Y n ～B ( n , 41) ,分别就n =1, 2, 4, 8, 列出Y n 的概率分布表，并画出概率函数图 .其中a = 1/65536 . 图略 .52. 设每次试验的成功率为0.8，重复试验4次，失败次数记为X ，求X的概率分布 . 解 X 可以取值0, 1, 2, 3, 4 .相应概率为P ( X ＝m ) ＝m m mC 2.08.0444⨯⨯-- ( m=0, 1, 2, 3, 4 ) 计算结果列于下表53. 设每次投篮的命中率为0.7，求投篮10次恰有3次命中的概率；至少命中3次的概率 .解记X 为10次投篮中命中的次数，则 X ～B ( 10 , 0.7 ) .{}009.03.07.0373310≈==C X P{}{}{}{}21013=-=-=-=≥X P X P X P X P=1－0.310－10×0.7×0.39－45×0.72×0.38≈0.998454．掷四颗骰子，求“6点”出现的平均次数及“6点”出现的最可能（即概率最大）次数及相应概率.解掷四颗骰子，记“6点”出现次数为X ，则X ～B （4，61）.EX = np =32由于np + p = 65，其X 的最可能值为［ np + p ］=0{}1296625)65(04===X P 若计算{}12965001==X P ，显然{}{},3,2==x P x P{}4=x P 概率更小.55．已知随机变量X ～B （n , p ），并且EX =3，DX =2，写出X 的全部可能取值，并计算{}8≤X P .解根据二项分布的期望与方差公式，有⎩⎨⎧==23npq np 解方程，得q =32，p =31，n =9 .X 的全部可能取值为0, 1, 2, 3, …, 9 .{}{}918=-=≤X P X P= 1－9)31(≈ 0.999956．随机变量X ～B （n ，p ），EX =0.8，EX 2=1.28，问X 取什么值的概率最大，其概率值为何? 解由于DX = EX 2－(EX)2=0.64, EX =0.8, 即⎩⎨⎧==8.064.0np npq 解得 q = 0.8，p = 0.2，n = 4 .由于np +p =1，因此X 取0与取1的概率最大，其概率值为{}{}4096.08.0104=====X P X P57．随机变量X ～B （n , p ），Y =e aX，计算随机变量Y 的期望EY 和方差DY .解随机变量Y 是X 的函数，由于X 是离散型随机变量，因此Y 也是离散型随机变量，根据随机变量函数的期望公式，有｝｛｝｛∑+==∑==∑+==∑∑====-==-==-ni n a i n i a in ni ai ni na i n i a i n ni ni in i i n ai ai q p q p C i X P EY q p q p C qp C i X P EY 022022000)e ()e ()e ()e ()e (e en ap n ap q q DY 22)e ()e (+-+=58. 从一副扑克牌（52张）中每次抽取一张，连续抽取四次，随机变量X ，Y 分别表示采用不放回抽样及有放回抽样取到的黑花色张数，分别求X ，Y 的概率分布以及期望和方差. 解 X 服从超几何分布，Y 服从二项分布B （4，21）.)4,3,2,1,0(45242626===-m C C C m X P m m ｝｛)4,3,2,1,0()21()21(44===-m C m Y P mm m ｝｛具体计算结果列于下面两个表中.X 0 1 2 3 4 P46/833 208/833 325/833208/833 46/833Y 0 1 2 3 4 P1/164/166/164/161/161 2214171651485226522641252264211===⨯===⨯⨯⨯=--⋅⋅==⨯==npq DY np EY N n N N N N N n DX N N n EX 59. 随机变量X 服从参数为2的泊松分布，查表写出概率4,3,2,1,0,==m m X P ｝｛并与上题中的概率分布进行比较.X0 1 2 3 4 P0.13530.27070.27070.18040.090260．从废品率是0.001的件产品中，一次随机抽取500件，求废品率不超过0.01的概率. 解设500件中废品件数为X ，它是一个随机变量且X 服从N=，1N =100，n =500的超几何分布.由于n 相对于N 较小，因此它可以用二项分布B （500，0.001）近似.又因在二项分布B （500，0.001）中，n =500比较大，而p =0.001非常小，因此该二项分布又可用泊松分布近似，其分布参数λ=np =0.5.}∑=≈≤=≤⎩⎨⎧=-505.0999986.0e !5.05X 001.0500m m m P XP ｝｛ 61.某种产品每件表面上的疵点数服从泊松分布，平均每件上有0.8个疵点，若规定疵点数不超过1个为一等品，价值10元；疵点数大于1不多于4为二等品，价值8元；4个以上者为废品，求：（1）产品的废品率；（2）产品价值的平均值解设X 为一件产品表面上的疵点数目，（1）｝｛｝＞｛314≤-=X P X P ∑==-==30014.01m m X P ｝｛（2）设一件产品的产值为Y 元，它可以取值为0，8，10.)(61.98088.0101898.08 110418 10108800元｝｛｝＜｛｝｛｝｛｝｛≈⨯+⨯=≤+≤==⨯+=⨯+=⨯=X P X P Y P Y P Y P EY62．设书籍中每页的印刷错误服从泊松分布，经统计发现在某本书上，有一个印刷错误的页数与有2个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率.解设一页书上印刷错误为X ，4页中没有印刷错误的页数为Y ，依题意，｝｛｝｛21===X P X P 即 λλλλ--=e !2e2解得λ=2，即X 服从λ=2的泊松分布.2e 0-===｝｛X P p显然Y ～B )e ,4(2-84e 4-===p Y P ｝｛63．每个粮仓内老鼠数目服从泊松分布，若已知一个粮仓内，有一只老鼠的概率为有两只老鼠概率的两倍，求粮仓内无鼠的概率. 解设X 为粮仓内老鼠数目，依题意λλλλ--⨯====e !22e2212｝｛｝｛X P X P解得λ=1.1e 0-==｝｛X P。

经济数学随堂答案

1. 下面那一种方法不是函数的表示方法？（）A．分析法 B．图示法 C．表格法 D．解析法参考答案：D参考答案：C2. 下面那一句话是错误的？（）A．两个奇函数的和是奇函数B．两个偶函数的和是偶函数C．两个奇函数的积是奇函数D．两个偶函数的积是偶函数参考答案：A参考答案：ABCD件，试求卖出件数与售价A．B．C．D．下面关于函数参考答案：√参考答案：√参考答案：C参考答案：C参考答案：D参考答案：√参考答案：×参考答案：×参考答案：×参考答案：×参考答案：×参考答案：B参考答案：C参考答案：×参考答案：×参考答案：×参考答案：√参考答案：B．（）。

参考答案：A 参考答案：×参考答案：√参考答案：√参考答案：×参考答案：√参考答案：A参考答案：C参考答案：A参考答案：C参考答案：√参考答案：√参考答案：D参考答案：B参考答案：A参考答案：×参考答案：√参考答案：√参考答案：√参考答案：√参考答案：√参考答案：×参考答案：√是否有以下不等式成立，（参考答案：√参考答案：×参考答案：√参考答案：D参考答案：B参考答案：√参考答案：√参考答案：B某产品的总成本的边际成本函数的边际收入函数为为产量，而固定成本，求总的利润函数在上题中，计算总利润最大时的产量参考答案：B参考答案：C参考答案：B参考答案：D参考答案：B参考答案：A参考答案：C参考答案：A参考答案：A参考答案：B参考答案：A参考答案：C．）参考答案：C参考答案：B参考答案：D参考答案：C参考答案：D 参考答案：B参考答案：C参考答案：C 参考答案：C参考答案：C参考答案：C参考答案：√参考答案：√参考答案：C参考答案：B参考答案：A参考答案：A参考答案：√参考答案：A参考答案：A 参考答案：B参考答案：A参考答案：C参考答案：A参考答案：D参考答案：C参考答案：C参考答案：B为随机事件为随机事件参考答案：A参考答案：C ．的概率为参考答案：C 参考答案：A参考答案：C参考答案：√参考答案：×参考答案：√参考答案：B．参考答案：D参考答案：B：随机变量，样本根据上题，判断以下说法：若已知总体的期望总体的方差未知，可以用样本的方差设有下面的样本值，则样本的均值和方差为？参考答案：×参考答案：×查表求查表求。

经济数学-郭军主编-第二章习题参考答案

()()()0021111lim 1lim1111x x x x xy xx x x x ∆→∆→−++∆+′=∆−=++∆+−=+（2）提示：和差化积公式；()()()000cos cos lim22sin sin 22limsin sin 22lim12sin x x x x x x y xx x x xx x x x x ∆→∆→∆→+∆−′=∆+∆∆⎛⎞⎛⎞−⋅⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠=∆∆∆⎛⎞⎛⎞−+⋅⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠=∆=−2．某物体的运动方程为，求该物体在时的瞬时速度.2()s s t t ==3t =提示：位移的导数即为速度；()2()2(2)6s s t tt s ′′===⇒=3．问正确吗？()()00f x f x ′′=⎡⎤⎣⎦不正确；右边肯定等于0，而左边不一定等于0.4．设在点处不可导，则曲线在点处是否一定不()y f x =0x ()y f x =()()000,P x f x 存在切线？答案：不一定；提示：不可导，但是存在切线。

()00y f x x ===0x =5．求曲线上，其切线与直线平行的点.3y x x =+4y x =提示：平行即为直线的斜率相等；。

()3231412y x x x x y ′′=+=+=⇒=±⇒=±6．已知，则.()32f ′=()()33lim2h f h f h→−−=提示：运用导数的定义；。

()()()()()()()033331limlim 122h h f h f f h f h h →→−−−−=−=−−⋅−−7．讨论下列函数在处的连续性与可导性:0x =（1）；（2）；y x x = 2 03 1 0x x y x x +>⎧=⎨−≤⎩（3）.()21sin 0ln 1 0x x x y x x ⎧<⎪=⎨⎪+≥⎩提示：根据连续性定义（极限值等于函数值）和可导性的定义（差商的极限存在）。

（1）连续且可导；()()00lim lim 0;lim lim 0x x x x x x x x x x x x x xx x x x x xxx+−+−→→∆→∆→==+∆+∆−+∆+∆−==∆∆（2）不连续也不可导；()()()()00lim 22lim 311231331lim 1lim 3,(0)x x x x x x x x x x x x x xx+−+−→→∆→∆→+=≠−=−+∆+−−+∆−−=≠==∆∆（3）连续但不可导；()200001lim sin =lim ln 1 =0;1sin1lim lim sin ,x x x x x x x x x x x−+−−→→∆→∆→+∆∆=∆∆极限不存在。

经济数学——微积分——中值定理的答案

第四章中值定理，导数的应用§4.1 4.1 中值定理中值定理一、单项选择题1、下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是、下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是 (A) . (A) . (A) 256,[2,3]y x x =-+ (B) e ,[0,1]x y x -= (C) 321,[0,2](1)y x =- (D) 1,5,[0,5]1,5x x y x +<ì=í³î2、下列函数在给定区间上不满足拉格朗日中值定理条件的是满足拉格朗日中值定理条件的是 (B) . (B) . (A) 22,[1,1]1x y x=-+ (B) ,[1,2]y x =-(C) 32452,[0,1]y x x x =-+- (D) 2ln(1),[0,3]y x =+3、函数3y x =在[1,2]-上满足拉格朗日中值定理的x = (B) . (A) 0 (B) 1 (C)12(D)324、设()y f x =是(,)a b 内的可导函数，,x x x +D 是(,)a b 内任意两点，则内任意两点，则 (C) . (C) . (A) ()y f x x ¢D =D(B) (B) 在在,x x x +D 之间恰有一点x ，使()y f x x ¢D =D (C) (C) 在在,x x x +D 之间至少有一点x ，使()y f x x ¢D =D (D) (D) 对于对于,x x x +D 之间任意一点x ，均有()y f x x ¢D =D 5、设()f x 在[,]a b 上有定义，在(,)a b 内可导，则内可导，则 (B) . (B) . (A) (A) 当当()()0f a f b ×<时，存在(,)a b x Î，使得()0f x = (B) (B) 对于任何对于任何(,)a b x Î，有lim[()()]0x f x f xx ®-=(C) (C) 当当()()f a f b =时，存在(,)a b x Î，使得()0f x ¢= (D) (D) 存在存在(,)a b x Î，使得()()()()f b f a f b a x ¢-=- 析：析：ABC ABC 均要求()f x 在[,]a b 上连续上连续. .二、证明题1、已知()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(1)0f =.求证至少存在一点(0,1)x Î，使()()f f x x x¢=-.证明令()()F x xf x =，则()()()F x f x x f x ¢¢=+，由题设知()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0(0)0,(1)1(1)0F f F f =×==×=.所以根据罗尔定理，至少存在一点(0,1)x Î，使得()0F x ¢=，即()()0f xf x x ¢+=，从而()()f f x x x¢=-.2、设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，0a b <<.试证明存在两点,(,)a b x h Î，使得()()()2f f a b h x h¢¢=+.证明令2()g x x =,则(),()f x g x 均在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导.且在(,)a b 内，()20g x x ¢=¹.根据拉格朗日中值定理,至少存在一点(0,1)x Î，使得 ()()()f b f a f b ax -¢=-；又由柯西中值定理，至少存在一点(0,1)h Î，使得()()()()()()f f b f a g g b g a h h ¢-=¢-，即()()()11()2f f b f a f b a b a b a h x h ¢-¢=×=×-++，亦即亦即 ()()()2f f a b h x h¢¢=+.所以存在两点,(,)a b x h Î，使得()()()2f f a b h x h¢¢=+.3、用拉格朗日中值定理证明：0x >时，ln(1)1x x x x<+<+.证明令()ln(1)f x x =+，1()1f x x¢=+.显然()f x 在[0,]x 上连续，在(0,)x 内可导内可导..根据拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理,,()(0)()(0)(0)f x f f x x x x ¢-=-<<，即ln(1)1x x x+=+，又11x x x xx<<++，所以当0x >时，有ln(1)1x x x x<+<+.4、证明方程510x x +-=只有一个正实根只有一个正实根. .证明 ①存在性存在性令令5()1f x x x =+-，()f x 在[0,1]上连续上连续,,(0)10,(1)10f f =-<=>，据零点定理，至少存在一点(0,1)x Î，使得()0f x =，即方程510x x +-=至少有一实根(0,1)x Î.②唯一性②唯一性用反证法，假设方程用反证法，假设方程510x x +-=有两个实根12,x x 且12x x <，则有12()()0f x f x ==，又()f x 在12[,]x x 上连续，在12(,)x x 内可导，根据罗尔定理知，至少存在一点12(,)x x h Î，使得()0f h ¢=，即4510h +=，矛盾，矛盾..所以510x x +-=只有一个实根实根. .综合①②知，方程510x x +-=只有一个正实根只有一个正实根. .§4.2洛必达法则一、填空题1、0e elimsin xxx x -®-=2；是00型未定式型未定式. .2、2ln 2limtan x x x p p +®æö-ç÷èø=0；是¥¥型未定式型未定式. .3、1lim (1)x x x ®¥+=1；是¥型未定式型未定式. .4、21lim 1x x x -®¥æö-=ç÷èø1e -；是1¥型未定式型未定式. .5、2201lim cot x x x ®æö-=ç÷èø23；是¥-¥型未定式型未定式. .析：2201l i m c o t x x x ®æö-=ç÷èø222220sin cos lim sin x x x x x x ®-()()40s i n c o s s i n c o sl i m x x x x x x x x ®-+=30sin sin cos lim cos x x x x x x x x ®-æöæö=+ç÷ç÷èøèø20cos cos sin 2lim 3x x x x x x ®-+=0sin 22lim 33x x x ®== 二、单项选择题1、设0()lim()x x f x g x ®为未定式，则0()lim()x x f x g x ®¢¢存在是0()lim()x x f x g x ®也存在的也存在的 (A) (A) (A) 条件条件条件. .(A) (A) 充分非必要充分非必要充分非必要 (B) (B) (B) 必要非充分必要非充分必要非充分 (C) (C) (C) 充要充要充要 (D) (D) (D) 既非充分也非必要既非充分也非必要既非充分也非必要2、求201sinlimsin x x xx®时，下列各种解法正确的是时，下列各种解法正确的是 (C) . (C) .(A) (A) 用法洛必达则后，求得极限为零用法洛必达则后，求得极限为零用法洛必达则后，求得极限为零 (B) (B) 因为因为01lim sinx x®不存在，所以上述极限不存在不存在，所以上述极限不存在(C) (C) 原式原式01lim sinsin x xx x x®æö=×=ç÷èø(D) (D) 因为不能用洛必达法则，所以极限不存在因为不能用洛必达法则，所以极限不存在因为不能用洛必达法则，所以极限不存在3、下列求极限问题中，能够使用洛必达法则的是、下列求极限问题中，能够使用洛必达法则的是 (C) . (C) .(A) 21sinlimsin x x x x ® (B) cos lim cos x x x x x®¥+- (C) 0sin lim sin x x x x x ®- (D) 1ln lim 1x x x x ®+-三、用洛必达法则计算下列极限1、2232tan tan sec 1limlim(sin )limsin 3x x x x x x x x x x x xxx®®®---== 因2202sec tan sec 1limlim()633x x x xx x x x®®×=== 因tan .2、22221111ln 1111lim lim lim lim 11111arccot 11x x x x x x x x x x xx ®+¥®+¥®+¥®+¥æö×-ç÷æöèø++ç÷+èø==×=×=-++. 或2222111ln 11lim lim lim lim 11arccot arccot 1x x x x x x x xxx xx®+¥®+¥®+¥®+¥æö+-ç÷+èø====-+. 3、11111ln 1ln 11ln lim lim lim lim 111ln (1)ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x®®®®-++-æö-===ç÷---èø++- 1211lim112x xx x ®==+. 4、1ln(e )limlim (e )exx x x x x x x ®+¥®+¥++=,而 ln(e )1e e e lim lim lim lim 1e1+e e x xxxx x x x x x x x x x ®+¥®+¥®+¥®+¥++====+，所以，所以 1lim (e )e xxx x ®+¥+=. 5、11(ln 1)1limlim ()1ln 11xxxx x x xx x x x x x®®-+-=-+-的导数由取对数求导法算出21121(ln 1)(ln 1)1limlim111x x xx x x x x x x xxx®®++×+-==--2211lim (ln 1)2x x x x x x ++®éù=-++=-ëû. §4.3 导数的应用（一）函数的单调性一、单项选择题1、函数arctan y x x =-在(,)-¥+¥内 (A) .(A) (A) 单调增加单调增加单调增加 (B) (B) (B) 单调减少单调减少单调减少 (C) (C) (C) 不单调不单调不单调 (D) (D) (D) 不连续不连续不连续 2、设32()(21)(1)f x x x =--，则()f x 的单调递减区间为的单调递减区间为 (A) . (A) .(A) 2[,1]3(B) 2(,],[1,)3-¥+¥ (C) (,1)-¥ (D) 2[,)3+¥二、求函数32()231213f x x x x =--+的单调区间的单调区间. .解定义域(,)x Î-¥+¥，2()66126(1)(2)f x x x x x ¢=--=+-，令()0f x ¢=，得121,2x x =-=，列表如下：，列表如下：x (,1)-¥-(1,2)- (2,)+¥()f x ¢ +-+()f x↗ ↘ ↗三、求函数23()(1)f x x x =-的单调区间的单调区间. .解定义域(,)x Î-¥+¥，213313252()(1)33x f x x x xx --=+-×=,令()0f x ¢=，得25x =，又0x =为()f x 的不可导点，列表如下：的不可导点，列表如下：x(,0)-¥2(0,)52(,)5+¥()f x ¢+-+()f x↗↘↗四、利用单调性证明不等式1、0x >时，2cos 12x x >-.证明令2()cos 12x f x x =-+，则()sin f x x x ¢=-+，()cos 10f x x ¢¢=-+³，所以()f x ¢在(0,)+¥内单调递增，于是有()(0)0f x f ¢¢>=，从而()f x 在(0,)+¥内单调递增，所以()(0)0f x f >=，即2cos102x x -+>，亦即2cos 12x x >-.2、0x >时，()221ln 11x x xx +++>+. 证明令()22()1ln 11f x x x x x =+++-+,则()()2222211()ln 1ln 111x x x f x x xx x xx xx++¢=+++×-=+++++>0从而又有()f x 在(0,)+¥内单调递增，所以()(0)0f x f >=，即 ()221ln 110x x x x +++-+>，亦即()221ln 11x x xx +++>+.§4.3 导数的应用（二）函数的极值一、单项选择题1、若函数()f x 的极值点是0x ，则必有，则必有 (D) . (D) .(A)0()0f x ¢= (B)0()f x ¢不存在不存在 (C) (C)0()0f x ¢¹ (D)0()0f x ¢=或0()f x ¢不存在不存在 2、设23()(1)f x x =-，则1x =是()f x 的 (D) .(A) (A) 间断点间断点间断点 (B) (B) (B) 可导点可导点可导点 (C) (C) (C) 驻点驻点驻点 (D) (D) (D) 极值点极值点极值点 3、设2()()lim1()x af x f a x a ®-=--，则()f x 在x a =处 (A) .(A) (A) 必有极大值必有极大值必有极大值 (B) (B) (B) 必有极小值必有极小值必有极小值 (C) (C) (C) 没有极值没有极值没有极值 (D) (D) (D) 是否有极值不能确定是否有极值不能确定是否有极值不能确定析：2()()()limlim1()2()x ax af x f a f x x a x a ®®¢-=---洛必达,lim ()0x af x ®¢\=，即()0f a ¢=,()()()limlim2()2()x ax af x f x f a x a x a ®®¢¢¢-=--''''()()lim122x af x f a ®===-,()20f a ¢¢=-<,()f x \在x a =处取得极大值处取得极大值二、求函数()e x f x x -=的极值的极值. .解定义域(,)x Î-¥+¥，()e ee(1)xxxf x x x ---¢=-=-，令()0f x ¢=，得驻点1x =，列表如下：列表如下：x (,1)-¥1(1,)+¥()f x ¢+ 0+()f x↗ 极大值点极大值点↘所以()f x 的极大值为1(1)e f -=,无极小值无极小值. .三、求函数32()(1)x f x x =-的极值的极值. .解定义域(,1)(1,)x Î-¥+¥ ，2232433(1)2(1)(3)()(1)(1)x xx x x x f x x x --×--¢==--，令()0f x ¢=，得驻点120,3x x ==，列表如下：，列表如下：x(,0)-¥0 (0,1)1 (1,3)3 (3,)+¥()f x ¢+ 0+不存在不存在 -+()f x↗不是不是极值点极值点↗间断间断↘极小极小值点值点↗所以()f x 的极小值为27(3)4f =，无极大值，无极大值. .四、试求a 为何值时，函数1()sin sin 33f x a x x =+在点3x p=处取得极值？它是极大值还是极小值？并求出该极值还是极小值？并求出该极值. .解 ()cos cos 3f x a x x ¢=+，据题设知03f p æö¢=ç÷èø，即c o s c o s 03a p p +=，2a =.()2sin 3sin 3f x x x ¢¢=--,从而2sin 3sin 3033f pp p æö¢¢=--=-<ç÷èø，所以3x p=是()f x 的极大值点，极大值33f p æö=ç÷èø.§4.3 导数的应用（三）凸性与拐点一、单项选择题1、若在区间(,)a b 内，()0,()0f x f x ¢¢¢><，则()f x 在该区间内在该区间内 (D) . (D) . (A) (A) 单调减少，曲线是凹的单调减少，曲线是凹的单调减少，曲线是凹的 (B) (B) (B) 单调增加，曲线是凹的单调增加，曲线是凹的单调增加，曲线是凹的 (C) (C) 单调减少，曲线是凸的单调减少，曲线是凸的单调减少，曲线是凸的 (D) (D) (D) 单调增加，曲线是凸的单调增加，曲线是凸的单调增加，曲线是凸的2、若点(1,0)是曲线322y ax bx =++的拐点，则的拐点，则 (B) . (B) .(A) 1,2a b == (B) 1,3a b ==- (C) 0,3a b ==- (D) 2,2a b == 3、曲线22(1)(3)y x x =--的拐点个数为的拐点个数为 (C) . (C) .(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 4、曲线arctan y x x =的图形在的图形在 (A) . (A) .(A) (,)-¥+¥内是凹的内是凹的 (B) (B) (,)-¥+¥内是凸的内是凸的 (C) (,0)-¥内是凹的，(0,)+¥内是凸的内是凸的 (D) (,0)-¥内是凸的，(0,)+¥内是凹的内是凹的5、设()f x ¢在x a =处连续，又()lim 1x a f x x a ®¢=--，则，则 (B) .(B) . (A) x a =是()f x 的极小值点的极小值点 (B) (B) x a =是()f x 的极大值点的极大值点 (C) (,())a f a 是曲线()y f x =的拐点的拐点(D) x a =不是()f x 的极值点，(,())a f a 也不是曲线()y f x =的拐点的拐点二、求曲线2ln(1)y x =+的凹凸区间与拐点的凹凸区间与拐点. .解定义域(,)x Î-¥+¥，221x y x¢=+，2222222(1)222(1)(1)(1)x x xx y x x +-×-¢¢==++，令0y ¢¢=，得121,1x x =-=，列表得结论如下：，列表得结论如下：x(,1)-¥-1-(1,1)-1(1,)+¥()f x ¢¢- 0+- ()f xÇ拐点拐点(1,ln 2)-È拐点拐点 (1,ln 2)Ç三、已知曲线32y ax bx cx =++在点(1,2)处有水平切线，且原点为该曲线的拐点，试求,,a b c 的值，并写出该曲线的方程的值，并写出该曲线的方程. .解 232,62y ax bx c y ax b ¢¢¢=++=+，由题设知1102,0,0x x x yy y ===¢¢¢===，即，即232020a b c a b c b ++=ìï++=íï=î，解得，解得 103a b c =-ìï=íï=î，所以曲线的方程为33y x x =-+.§4.3 导数的应用（四）函数图形的描绘一、填空题1、曲线221(1)xy x -=-有2条渐近线，其方程为10x y ==和.2、曲线ln x y x x=+的垂直渐近线为x =，斜渐近线为y x=.3、曲线exy x -=+有斜渐近线y x=.4、曲线32(1)x y x =-有垂直渐近线1x =，斜渐近线2y x =+.5、曲线2211earctan(1)(2)x x x y x x +-=+-有2条渐近线条渐近线. . 析：2211lim earctan(1)(2)4x x x x x x p®¥+-=+-，4y p\=是水平渐近线；是水平渐近线；22011lim earctan,0(1)(2)x x x x x x x ®+-=¥\=+-是垂直渐近线是垂直渐近线.. 二、求函数e 1xy x -=+的单调区间与极值及此函数曲线的凹凸区间与拐点，并求其渐近线，作出函数的图形作出函数的图形. .解定义域(,)x Î-¥+¥.(1)e ,(2)e xxy x y x --¢¢¢¢¢=-=-.令0y ¢=，得1x =；令0y ¢¢=，得2x =，无一阶导数和二阶导数不存在的点，无一阶导数和二阶导数不存在的点..列表得结论如下：列表得结论如下：x(,1)-¥1(1,2)2(2,)+¥()f x ¢+--()f x ¢¢--+()f xÇ极大值点极大值点Ç拐点拐点È极大值1(1)e 1y -=+，拐点()22,2e 1-+.因为1lim (e1)lim 1lim 11e exx x x x x x x -®¥®¥®¥+=+=+=，所以1y =为曲线的水平渐近线，曲线无垂直渐近线和斜渐近线直渐近线和斜渐近线. .选取辅助点3(0,1),(3,3e1)-+，做出函数的图形如下：，做出函数的图形如下：无垂直渐近线和斜渐近线无垂直渐近线和斜渐近线. . . 选取辅助点选取辅助点3(0,1),(3,3e 1)-+，做出函数的图形如下：，做出函数的图形如下：§4.4函数最大值与最小值及其在经济中的应用一、填空题1、1y x x =+-在区间[5,1]-上的最大值为54，最小值为65-.2、322(2)y x x =-在区间[1,3]-上的最大值为39，最小值为0.取得最大值的点为取得最大值的点为1,3x x =-=，取得最小值的点为0,2x x ==.3、设32()6f x ax ax b =-+在区间[1,2]-上的最大值为3，最小值为29-，又0a >，则a =2，b =3.析: 2()3123(4)00,4f x ax ax ax x x x ¢=-=-=Þ==(舍) ) ，， ()6126(2)0f x ax a a x ¢¢=-=-= (0)0f ¢¢\<，(0),(2)7,(2)16f b f b a f b a =-=-=-，()f x 最大值为3,3b \=，1x =1(1,e1)-+2(1,2e1)-+x()f x 最小值为29,1629,2b a a \-=\=.二、单项选择题1、设31()3f x x x =-，则1x =是()f x 在[2,2]-上的上的 (B) . (B) .(A) (A) 极小值点，但不是最小值点极小值点，但不是最小值点极小值点，但不是最小值点 (B) (B) (B) 极小值点，也是最小值点极小值点，也是最小值点极小值点，也是最小值点 (C) (C) 极大值点，但不是最大值点极大值点，但不是最大值点极大值点，但不是最大值点 (D) (D) (D) 极大值点，也是最大值点极大值点，也是最大值点极大值点，也是最大值点 2、设00()0,()0f x f x ¢¢¢=>，则，则 (B) . (B) .(A) 0()f x 一定是()f x 的最小值的最小值 (B) (B) 0()f x 一定是()f x 的极小值的极小值 (C) 0()f x 一定是()f x 的最大值的最大值 (D) (D) 0()f x 一定是()f x 的极大值的极大值 3、设()f x 在某区间内可导且只有一个驻点0x ，则，则 (C) . (C) .(A) 0()f x 一定是()f x 的极值的极值 (B) (B) 0()f x 一定不是()f x 的极值的极值 (C) (C) 当当0()f x 是()f x 的极小值时，0()f x 一定是()f x 在该区间上的最小值；在该区间上的最小值；当0()f x 是()f x 的极大值时，0()f x 一定是()f x 在该区间上的最大值在该区间上的最大值 (D) (D) 以上结论均不正确以上结论均不正确以上结论均不正确三、求函数2()1x f x x=+在1[,1]2-上的最大值和最小值上的最大值和最小值. .解 2222(1)(2)1(),,2(1)(1)2x x x x x f x x x x +-+æö¢==Î-ç÷++èø，令()0f x ¢=，得0x =，因为，因为 111(0)0,,(1)222f f f æö=-==ç÷èø，所以()f x 在1[,1]2-上的最大值为11(1)22f f æö-==ç÷èø,最小值为(0)0f =.四、一商家销售某种商品的价格满足关系70.2p x =-（万元（万元//吨），其中x 为销售量，该商品的成本函数为31C x =+（万元）（万元）..（1）若每销售一吨商品，政府要征税t 万元，求该商家获最大利润时的销售量；（2）t 为何值时，政府税收总额最大？为何值时，政府税收总额最大？解 (1) 设政府税收总额为T ，商品销售收入为R ，则2,70.2T tx R xp x x ===-，利润函数为函数为 2270.2(31)0.2(4)1L R C T x x x tx x t x =--=--+-=-+--；0.4(4)L x t ¢=-+-.4a 0.40.1x c b pb=-，4b x c4b x c-324b x bc -+(34)2b a c b ,2b c -<(34)2b a cb时可31518282b a b a -=+ç(5216b b -æö=ç÷。

经济数学答案（完整）

经济数学基础作业1及解答（一）填空题 1.___________________sin lim=-→xxx x .答案：0 2.设 ⎝⎛=≠+=0,0,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续，则________=k .答案：13.曲线x y =在)2,1(的切线方程是 .答案：2321+=x y4.设函数52)1(2++=+x x x f ，则____________)(='x f .答案：x 25.设x x x f sin )(=，则__________)2π(=''f .答案：2π-（二）单项选择题1. 当+∞→x 时，下列变量是无穷小量的是（）.答案：DA ．()x +1lnB ．12+x xC ．21x e- D ．xxsin 2. 下列极限计算正确的是（）答案：B A.1lim=→xx x B.1lim 0=+→xx xC.11sinlim 0=→x x x D.1sin lim =∞→xx x3. 设y x =lg2，则d y =（）．答案：B A ．12d x x B ．1d x x ln10 C ．ln10x x d D ．1d xx 4. 若函数f (x )在点x 0处可导，则( )是错误的．答案：BA ．函数f (x )在点x 0处有定义B ．A x f x x =→)(lim 0，但)(0x f A ≠C ．函数f (x )在点x 0处连续D ．函数f (x )在点x 0处可微 5.若x x f =⎪⎭⎫ ⎝⎛1，则()()='x f .A.21x B.21x- C.x 1 D.x 1- 答案：B(三)解答题 1．计算极限（1）123lim 221-+-→x x x x 解：2112lim )1()1()2()1(lim 123lim 11221-=+-=+⋅--⋅-=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）8665lim 222+-+-→x x x x x解：2143lim )4()2()3()2(lim 8665lim 22222=--=-⋅--⋅-=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x（3）xx x 11lim--→ 解：)11(11lim)11()11)(11(lim 11lim000+---=+-+---=--→→→x x x x x x x x x x x x 21111l i m-=+--=→x x（4）423532lim 22+++-∞→x x x x x解：32423532lim 423532lim 2222=+++-=+++-∞→∞→xx x x x x x x x x（5）xxx 5sin 3sin lim 0→解： 535355sin 33sin lim 5sin 3sin lim00=⋅=→→xx x xx x x x （6）)2sin(4lim 22--→x x x解：41222)2sin(2lim )2sin()2()2(lim )2sin(4lim2222=+=--+=-+⋅---→→→x x x x x x x x x x x2．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+=0sin 0,0,1sin )(x x xx a x b x x x f ，问：（1）当b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处有极限存在？（2）当b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处连续. 解： b b xx x f x x =+⋅=--→→)1sin (lim )(lim 01sin lim )(lim 0==++→→xxx f x x ∴（1）当1=b 时，1)(lim )(lim 00==+-→→x f x f x x )(x f 在0=x 处有极限存在，此时a 可取任何值。

经济数学试题及答案解析

经济数学试题及答案解析一、选择题1. 下列哪个选项是边际成本函数MC的表达式？A. MC = dTC/dQB. MC = TC/QC. MC = Q * dTC/dQD. MC = dTR/dQ答案：A2. 某企业在生产过程中，总成本函数为TC(Q)，若边际成本MC等于平均成本AC，则该企业处于：A. 完全竞争市场B. 完全垄断市场C. 垄断竞争市场D. 寡头市场答案：A二、简答题1. 简述什么是边际收益递减规律。

答案：边际收益递减规律指的是在生产过程中，当持续增加一种生产要素而其他要素保持不变时，该生产要素的边际产出量会逐渐减少的现象。

2. 解释什么是完全竞争市场，并列举其四个基本特征。

答案：完全竞争市场是一种理想化的市场结构，其特征包括：市场上存在大量买家和卖家，产品是同质的，市场信息完全透明，以及进入和退出市场没有障碍。

三、计算题1. 假设某企业的生产函数为Q = 2L + 3K，其中L为劳动投入，K为资本投入。

若企业希望生产10单位的产品，且劳动的边际产出为2单位，求资本的投入量。

答案：首先，根据生产函数，我们有Q = 2L + 3K。

将Q设为10，得到10 = 2L + 3K。

由于劳动的边际产出为2，即dQ/dL = 2，我们可以推断出L = 5。

将L的值代入原方程，得到10 = 2*5 + 3K，解得K = 0。

2. 某企业的成本函数为TC(Q) = 0.5Q^2 - 4Q + 100。

求该企业在生产100单位产品时的总成本和平均成本。

答案：首先，计算总成本TC(100) = 0.5*100^2 - 4*100 + 100 = 5000 - 400 + 100 = 4700。

然后，计算平均成本AC = TC(Q)/Q = 4700/100 = 47。

四、论述题1. 论述规模经济与规模不经济的概念及其对企业生产决策的影响。

答案：规模经济是指企业在扩大生产规模时，单位产品的平均成本下降的现象。

经济数学考试卷答案(全)

F u f u f u du F u C
1 1 dx d ( ) x2 x

19、设F ( x )=f ( x ), 则 f (cos x )sin xdx B ）（ A. f (cos x ) C C. F (cos x ) C ; ; B. F (cos x ) C D. f (cos x ) C ;
一、单项选择题
1、下列函数中（ A ）不是偶函数。 A. x 2 cos( x 1) C. x cos x
2
;
B. sin x 2 1 D. e
x2
;
;
奇偶函数四则运算性质：奇×奇＝偶奇×偶＝奇奇＋奇＝奇偶×偶＝偶奇÷偶＝奇偶＋偶＝偶
奇＋偶＝通常为非奇非偶
奇偶函数复合性质：奇（奇）=奇；偶（奇）=偶；奇（偶）=偶；偶（偶）=偶
e
px
0
p 0, 发散; dx p 0, 收敛.
p 0, 发散; 3. e dx p 0, 收敛.
0 px
1 1 18、设函数f ( x )的原函数为F ( x ), 则 2 f ( )dx A ）（ x x 1 A. F ( ) C ; B. F ( x ) C ; x 1 1 C. F ( ) C ; D. f ( ) C x x
Amn，则ATm n
;
C. BA可行
Ams Bsn ( AB)mn
23、设A、B均为n阶方阵，则下列结论正确的是（ A ） A. ( AB )T BT AT C. ; ; B. ( A+B )2 A2 +2 AB B 2 D. 若A O , B O , 则AB O ;