上海七年级数学上册复习寒假班讲义数学15-三角形习题课-学生

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沪教版七年级数学寒假班讲义邻补角、对顶角及垂直(学生版)

1、平面上两条不重合直线的位置关系相交：两条直线有一个交点；平行：两条直线没有交点．2、邻补角的意义两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为邻补角． 3、邻补角的性质互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于一点O ，问一共可以构成多少对邻补角，并把他们写出来．邻补角、对顶角及垂线知识结构模块一邻补角的意义和性质例题解析知识精讲ABC DEFOOE DCBA 【例2】判断：（1）平面内两条直线的位置关系，不是相交就是平行；（）（2）平面内两条直线有交点，则这两条直线相交；（）（3）有一条边是公共边的两个角互为邻补角．（）（4）有两个角互为补角，并且有一条公共边，那么他们互为邻补角．（）【例3】如图，∠AOD 的邻补角是______________．【例4】如图，OC 平分∠AOB ，∠AOD =2∠BOD ，∠COD =28°，求∠AOC 的大小．【例5】如图，直线a 、b 相交，∠1=40°，求∠2，∠3，∠4的度数．【例6】如图所示，AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠AOD ，∠AOC=120°，求∠BOD ，∠AOE 的度数．【例7】同一平面上的任意三条直线，可以有________________个交点．ABCDEFOab12 34ABC D O1、对顶角的意义：两个角有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为对顶角． 2、对顶角的性质：对顶角相等．【例8】下列说法中，正确的是()A ．有公共的顶点，且方向相反的两个角是对顶角B ．有公共顶点，且又相等的两个角是对顶角C ．由两条直线相交所成的角是对顶角D ．角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角【例9】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于一点O ，问一共可以构成多少对对顶角，并把他们写出来．【例10】下列图中，∠1与∠2是对顶角的是（）A. B. C. D.12121212例题解析知识精讲模块二对顶角的意义和性质ABC DEFO【例11】判断：（1）有公共顶点，且度数相等的两个角是对顶角．（）（2）相等的两个角是对顶角．（）【例12】若∠1与∠2是对顶角，∠3与∠2互余，且∠3=60°，那么∠1=__________．若∠1与∠2是对顶角，且∠1与∠2互余，则∠1=__________，∠2=__________．【例13】如图，直线AB、CD交于点O，则（1）若∠1+∠3=68°，则∠1=__________．（2）若∠2 : ∠3=4 : 1，则∠2=__________．（3）若∠2 -∠1=100°，则∠3=__________．【例14】如图（1）所示，两条直线AB与CD相交有几对对顶角？（2）如图（2）所示，三条直线AB、CD、EF相交有几对对顶角？（3）试猜想n条直线相交于一点会有多少对对顶角？32 1O D BC A1、垂线的意义如果两条直线的夹角为直角，那么就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 2、垂直的符号记作：“⊥”，读作：“垂直于”，如：CD AB ，读作“AB 垂直于CD ”．注：垂直是特殊的相交．3、垂直公理：在平面内，过直线上或直线外的一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只能作一条．简记为：过一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直 4、中垂线过线段中点且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线．5、垂线段的性质联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．6、点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离．如果一个点在直线l 上，那么就说这个点到直线l 的距离为零．【例15】判断：（1）经过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直．（）（2）两条直线的交点叫垂足．（）（3）线段和射线没有垂线．（）（4）两条直线不是平行就是互相垂直．（）（5）直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离．（）例题解析知识精讲模块三垂线(段)的意义和性质AB CD 【例16】如图，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，那么点B 到线段CD 的距离是线段__________的长度；线段CD 的长度是点C 到线段________的距离；线段AC 是点________到线段_______的距离．【例17】下列选项中，哪个是直线l 的垂线（）【例18】如图，AC BC ⊥，垂足为C ，AC =4，BC =3，那么点A 与BC 的距离为______．【例19】如图，直线AB ，CD 交于点O ，OE ⊥AB ，:1:2AOC COE ∠∠=，则 COE ∠=_________．【例20】如图，已知OA ⊥OB ，OC ⊥OD ，BOC ∠比AOC ∠大20︒，则BOD ∠的度数为_______．ABC DEOABCDllllABCDOC【例21】如图，一棵小树生长时与地面成80°角，它的主根深入泥土，如果主根和小树在同一条直线上，那么∠2等于多少度?【例22】如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥AB ，OB 平分∠DOF ，∠COF =47∠BOD ．求∠AOC 、∠EOD 、∠COE 的度数．【例23】如图，AOC ∠与BOC ∠是邻补角，OD 、OE 分别是AOC ∠与BOC ∠的平分线，试判断OD 与OE 的位置关系，并说明理由．【例24】下列结论不正确的是()A ．互为邻补角的两个角的平分线所成的角为90°B ．相等的两个角是对顶角C ．两直线相交，若有一个夹角为90°，则这四个角中任取两个角都互为补角D ．同角的余角相等例题解析模块四综合运用ABCD E FOABCD EO【例25】如图，AB 与CD 为直线，图中共有对顶角()．A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对【例26】如图所示，已知AB 、CD 相交于O 点，OE ⊥AB ，∠EOC =28°，则∠AOD =_______．【例27】如图，直线AD 和BE 相交于O 点，OC ⊥AD ，∠COE =70°，求∠AOB 的度数．【例28】如图，已知AB 、CD 、EF 相交于点O ，AB ⊥CD ，OG 平分∠AOE ， ∠FOD ＝28°，求∠COE 、∠AOE 、∠AOG 的度数．【例29】已知直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，∠1：∠3=3：1，∠2=20°，求∠DOE 的度数．【例30】如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，且∠AOC =∠AOD －80°，A BCD EFABCDEOABCDEFGOA BCDE O A B CD E F12 O3F E ODCBAFEOD C B AOE DC BA 求∠AOE 的度数．【习题1】下列语句中正确的是（）A ．过直线AB 的中点且和AB 垂直的直线叫做中垂线 B ．过线段CD 的中点且和CD 垂直的直线叫做CD 的中垂线C ．和直线AB 相交且过A 点的直线是AB 的中垂线D ．和线段AB 相交且成90度的直线是AB 的中垂线【习题2】如图，直线a ，b 相交，∠1=40°，则∠2=_______，∠3=_______，∠4=_______．【习题3】如图，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，∠BOE 的对顶角是______，∠COF 的邻补角是____，若∠AOE =30°，那么∠BOE =_______，∠BOF =_______【习题4】如图，直线AB 、CD 相交于点O ，∠COE =90°，∠AOC =30°，∠FOB =90°，则∠EOF =________．【习题5】如图所示，AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠AOD ，∠随堂检测ABC DE Oa b1234AOC =120°，求∠BOD ，∠AOE 的度数．【习题6】如图所示，直线a ，b ，c 两两相交，∠1=2∠3，∠2=65°，求∠4的度数．【习题7】如图，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，∠AOE =40°，∠BOC =2∠AOC ，求∠DOF ．【习题8】如图，已知∠2与∠BOD 是邻补角，OE 平分∠BOD ，OF 平分∠COE ，∠2∶∠1=4∶1，求∠AOF 的度数．【习题9】已知点O 是直线AB 上一点，OC ，OD 是两条射线，且∠AOC =∠BOD ，则∠AOC与∠BOD 是对顶角吗?为什么?ABCD EF OABC DE F 2 1Ob a c2314课后作业【作业1】判断：（1）两个角开口相反且有公共点，则他们是对顶角（）（2）∠A与∠B互为邻补角，所以他们相等（）（3）∠1和∠2相等，并且他们有一条边在同一直线上，那么∠1=∠2=90°（）（4）同一平面内，两条不相交的直线，一定不会垂直（）（5）经过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直（）（6）同一平面内，点到直线的各条线段中，垂线段最短（）（7）邻补角一定是补角，补角不一定是邻补角（）【作业2】如图所示AB，CD相交于点O，EO⊥AB于O，FO⊥CD于O，∠EOD与∠FOB的大小关系是（）A．∠EOD比∠FOB大B．∠EOD比∠FOB小C．∠EOD与∠FOB相等D．∠EOD与∠FOB大小关系不确定【作业3】如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，C，D是分别位于公路AB 两侧的加油站．设汽车行驶到公路AB上点M的位置时，距离加油站C最近；行驶到点N的位置时，距离加油站D最近，请在图中的公路上分别画出点M，N的位置并说明理由．【作业4】如图，AOB为直线，∠AOD：∠DOB=3：1，OD平分∠COB．（1）求∠AOC 的度数；（2）判断AB 与OC 的位置关系．【作业5】若两个角互为邻补角，则它们的角平分线所夹的角为_________度．【作业6】作图：已知线段AB 及线段外一点P ．（1）过点P 作线段AB 的垂线；（2）画线段AB 的垂直平分线．【作业7】如图所示，这是某位同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是多少?（比例尺为1:100）【作业8】如图所示，直线、b 、c 相交，∠1=60°，∠2=23∠4，求∠3、∠5的度数．【作业9】如图，OD ⊥OC ，且2:13:2∠∠=，那么1∠=________，3∠=_______．a bc1 2 34 5 ABCDO123 A BP起跳线【作业10】如图，直线AB 、CD 、EF 交于点O ，DOB ∠是它的余角的2倍，2AOE DOF ∠=∠，且有OG OA ⊥，求EOG ∠的度数．ABCDE FGO。

上海七年级数学上册复习寒假班讲义数学14-全等三角形复习-(学生).docx

全等三角形知识精要一、三角形1. 概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形2. 分类1) 按边分类2) 按角分类3. 三角形中的线段1) 三角形的角平分线、中线、高分别有三条，它们都是线段。

2) 三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点。

讲解“四心”的概念4. 三边关系1) 三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。

5. 三角关系1) 内角和180°.2) 外角定理。

3) 直角三角形两锐角互余。

二、全等三角形1. 概念1) 能够完全重合的图形叫做全等图形，能够完全重合的三角形叫做全等三角形。

2. 性质1) 对应边和对应角相等；2) 周长和面积相等；三角形不等边三角形等腰三角形底边和腰不等的等腰三角形(三线合一)等边三角形三角形直角三角形：四条性质斜三角形锐角三角形钝角三角形3)对应线段相等。

3.全等三角形的判定1)SSS;SAS;ASA;AAS;HL4.全等变换1)通过图形运动，不改变图形形状，改变图形位置。

5. 角平分线定理、垂直平分线定理三、全等三角形的应用：数量关系——线段的“和差倍分”问题；位置关系——平行或垂直热身练习1. 如图1,已知AD=AE，BE=DC，证△ABE≌△ACD。

2. 如图2,已知AC∥BE且AC=BE，点B是AD的中点，试说明△ABC≌△BDE的理由。

3. 如图3,已知CA=CD,CB=CE,∠1=∠2。

求证△ABC≌△DEC.精解名题例1.已知△ABC中，BC∥EF，点D是∠ABC的平分线和∠ACB的外角平分线的交点，DE交AB于E，交AC于F.求证: EF+FC=EB.例2.如图，AD平分∠BAC,AD=BD,DC⊥AC.求证：AC=1AB.2例3.已知以△ABC的边AB、AC为边长，各作正方形ABDE和ACFG.求证:BC⊥EG.例4.如图，已知C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边在AB同侧作等边△ACD和△BCE，AE交BC于点G，BD交CE于点H。

三角形讲义(总)

教学过程课前检测1、不改变数的大小，把下面各小数改写成两位小数。

0.3 24.2500100.5 752、将下列小数按从小到大的顺序排列。

0.50.5060.605 0.056 0.065 0.56（）3、把3.33的小数点先向左移动1位，再向右移动2位，得到的数是（）。

4、填入适当的小数或整数。

82厘米=（）米 6.14元=6元（）角（）分9吨145千克 =（）吨 5.02千克=（）千克（）克7平方分米=（）平方米5.6平方分米=（）平方分米（）平方厘米5、把下面各数改写成以“万”作单位的数。

72500= 65200000吨=3200000人=6、把下面各数改写以“亿”作单位的数，再精确到个位。

426000000 24090000000知识纵横知识点一：三角形的特性①三角形的高：从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足之间的线段②三角形的底：这条对边叫做三角形的底三角形的性质：①物理特性：三角形具有稳定性（不易变形）②边的特性：三角形任意两边的和大于第三边知识点二：三角形的分类按照角大小来分：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。

按照边长短来分：等边三角形、等腰三角形、三条边都不相等的三角形1、三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。

2、有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。

（其他两个角必定是锐角）3、有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。

（其他两个角比定是锐角）4、每个三角形都至少有两个锐角；每个三角形都至多有1个直角；每个三角形都至多有1个钝角。

知识点三：三角形的内角和180三角形的内角和等于。

1、两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

(等腰三角形的特点：两腰相等，两个底角相等)2、三条边都相等的三角形叫等边三角形(正三角形) (等边△的三边相等，每个角是60度)3、等边三角形是特殊的等腰三角形知识点四：图形的拼组1、用2个相同的直角三角形可以拼成一个长方形、一个平行四边形、一个大等腰三角形。

初中数学辅导讲义沪教版初一C专题(三角形综合一3星)

-------------三角形综合1（★★★）知识结构全等三角形的判定方法如下：B CAE FD1、有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

简称：ASA ，角边角。

如图所示：已知：F C E B EF BC ∠=∠∠=∠=,,；则DEF ABC ∆≅∆2、有两角和任意一角的邻边对应相等的两个三角形全等。

简称：AAS ，角角边。

如图所示：已知：E B D A EF BC ∠=∠∠=∠=,,；则DEF ABC ∆≅∆3、有两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

简称：SAS ，边角边。

如图所示：已知：E B EF BC DE AB ∠=∠==,,；则DEF ABC ∆≅∆ 4、有三条边对应相等的两个三角形全等。

简称：SSS ，边边边。

如图所示：已知：DF AC EF BC DE AB ===,,；则DEF ABC ∆≅∆题型一：证明线段相等例题1已知：如图1，B 、C 、E 三点在一条直线上，△ABC 和△DCE均为等边三角形，连结AE 、DB ，求证：AE=DB （★★）思路：利用等边三角形的性质证明∆ACE 全等于∆BCD例题2如图，已知A 、C 、B 三点在一直线上，CE 平分∠ACD ，CF 平分∠BCD ，PQ ∥AB 交CD 于G ，交CE 于P ，交CF 于Q 。

求证：PG=QG （★★）思路：这里让学生记住基本模型：角平分线+平行等等腰三角形，题目中PG=CG ,QG=CG,得证。

证明线段相等主要看要证明的线段的位置，根据位置情况来定方法： 1. 如果要证明的线段在同一三角形中，常用它们所对的角相等； 2. 如果要证明的线段分别在两个三角形中，常用全等三角形；3. 如果要证明的线段既不在同一三角形中也不在两个（全等）三角形中，则应想办法作辅助线使其构成全等三角形（或找中间量）。

我来试一试！已知：如图3，△ABC 中AB=AC ，D 是AB 上一点，E 是AC 延长线上一点，BD=EC ，连结DE 交BC 于F ，求证：DF=EFGFDE QPBCABCAED题型二：证明两线垂直例题1已知，如图在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，点D 在AB 上，将△ACD 绕点C 逆时针旋转90°得△BCE ，求证：BE ⊥AB （★★★）例题2如图△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，点C 在AD 上，AE 的延长线交BD 于点F ，求证：AF ⊥BD （★★★）思路：等腰三角形性质应用，证明∆ACE 全等于∆BCD ，得∠CAE=∠CBD,得∠CAE+∠ADF=90°，根据三角形内角和180°可得∠AFD=90°，从而得证。

上海七年级数学上册复习寒假班讲义数学12-全等三角形的判定-学生

全等三角形（一）知识储备1、全等三角形的概念：（1）能够重合的两个图形叫做全等形。

（2）两个三角形是全等形，就说它们是全等三角形。

两个全等三角形，经过运动后一定重合，相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角叫做对应角。

（3）全等三角形的表示：如图，△ABC和△DEF是全等三角形，记作△ABC≌△DEF，符号“≌”表示全等，读作“全等于”。

注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

2、全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等，对应角相等。

【例1】如图，△ABC≌△DEF，则有：AB=DE，AC=DF，BC=EF；∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。

3、全等三角形的判定定理：S.A.S “边角边”公理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

【例2】A.S.A “角边角”公理：两角和它们的所夹边对应相等的两个三角形全等。

【例3】A.A.S “角角边”公理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

【例4】S.S.S “边边边”公理：三边对应相等的两个三角形全等。

【例5】H.L “斜边直角边“公理斜边和一条直角对应相等的两个直角三角形全等。

【例6】（二）双基回眸1、下列说法中，正确的个数是（）①全等三角形的周长相等②全等三角形的对应角相等③全等三角形的面积相等④面积相等的两个三角形全等A．4 B．3 C．2 D．12、如果ΔABC≌ΔDEF，则AB的对应边是_____，AC的对应边是_____，∠C的对应角是_____，∠DEF的对应角是_____．3、如图，△ABC≌△BAD，A和B、C和D是对应顶点，如果AB＝5，BD＝6，AD＝4，那么BC等于（）A．6 B．5 C．4 D．无法确定4、如图，△ABC≌ΔADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（）A．40°B．35° C．30° D．25°5、能确定△ABC≌△DEF的条件是（）A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠EB．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠EC．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠DD．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E6、如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是（）A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙（三）例题经典例1：如图，ΔABC≌ΔDCB．（1）若∠D＝74°∠DBC＝38°，则∠A＝_____，∠ABC＝_____；（2）对应边AC＝，AB= ；（3）如果ΔAOB≌ΔDOC，则AO= _，BO= _，∠A=_ ，∠ABC= ．例2：如图，AB、CD相交于O点，AO＝CO，OD＝OB．求证：∠D＝∠B．例3：如图，PM＝PN，∠M＝∠N．求证：AM＝BN．例4：如图，AC BD．求证：OA＝OB，OC＝OD．例5：如图，△RPQ中，RP＝RQ，M为PQ的中点．求证：RM平分∠PRQ．例6：如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AD ＝BC ．求证：（1）AB ＝DC ：（2）AD ∥BC ．例7：阅读下题及一位同学的解答过程，回答问题：如图，AB 和CD 相交于点O ，且OA ＝OB ，∠A ＝∠C 。

初中数学辅导讲义沪教版初一C专题(三角形全等2星)

图2--------三角形全等(★★)1、理解全等三角形的概念，能正确表示两个全等三角形，能找出全等三角形的对应元素。

2、清晰阐述四种全等三角形的判定方法（SAS 、ASA 、AAS 、SSS ）的区别和联系。

3、教导学生如何灵活选择哪种判定方法进行几何证明和求值。

4、灵活掌握全等三角形的性质。

【课堂导入】用线连接全等的图形知识结构1、概念理解：两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）使之与另一个重合，这两个三角形称为全等三角形，而两个三角形全等的判定是几何证明的有力工具。

2、三角形全等的判定定理及其推论：注意：在全等的判定中，没有AAA 和SSA ，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。

3、全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。

注意：1）性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等，而全等的判定却刚好相反。

2）利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。

在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。

1.本部分建议时长2分钟.2.请学生先思考，发现有遗忘时让学生查看讲义，最后口述完成.1.本部分建议时长25分钟.2.进行例题讲解时，教师宜先请学生试着自行解答.若学生能正确解答，则不必做过多的讲解；若学生不能正确解答，教师应对相关概念、公式进行进一步辨析后再讲解例题.3.在每一道例题之后设置了变式训练题，应在例题讲解后鼓励学生独立完成，以判断学生是否真正掌握了相关考点和题型.4.教师应正确处理好例题与变式训练题之间的关系，宜采用讲练结合的方式，切不可将所有例题都讲完后再让学生做变式训练题.题型一：三角形全等的概念如图，已知△ABC ≌△ADE ,∠C =∠E ,BC =DE ,（1）____=AB ,____=AC _____BAC ∠=,____ABC ∠= （2）∠BAD = ∠CAE 吗?为什么? (★★) 答案：（1）AD 、AE 、DAE ∠、ADE ∠（2）相等，例题 1“知识结构”这一部分的教学，可采用下面的策略：“典例精讲”这一部分的教学，可采用下面的策略：因为∠BAD =BAC DAC ∠-∠、∠CAE =DAE DAC ∠-∠ 又因为BAC DAE ∠=∠ 所以 ∠BAD = ∠CAE1、记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

上海七年级数学上册复习寒假班讲义数学1-实数的概念--学生

5, 说出下列五个式子分别表示的含义
(1) (2) (3) (4) (5)
立方根
新课引入
一个正方体纸盒，如果这个正方体的体积为216 ，那么它每条棱长是多少？
观察由以上问题，有，即要求一个数，使它的立方等于216，通过分析，有，那么6就是这个正方体的棱长
归纳如果一个数的立方等于，这个数叫做的立方根（也叫做三次方根），即如果，那么叫做的立方根
例求下列各数的算术平方根
⑴100 ⑵ ⑶0.0001 ⑷0 ⑸
点拨：由一个数的算术平方根的定义出发来解决问题
思考：－4有算术平方根吗？
例求值
(1) (2)
点拔:开平方和平方是互为逆运算
备选例题：要使代数式有意义，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
拓展：已知的算术平方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分，求的算术平方根
结论有理数和无理数统称为实数
实数分类
像有理数一样，无理数也有正负之分。例如，，是正无理数，，，是负无理数。由于非0有理数和无理数都有正负之分，所以实数也可以这样分类：
我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？
探究如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O′，点O′的坐标是多少？
总结1、事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数
当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数
1、与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大

初中数学辅导讲义沪教版初一C专题(三角形综合二4星)

三角形综合2（★★★★）知识结构全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法：(1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作60∠=︒，射线MN与DBADMN∠外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系?N E B M A DGNEB M A D【解析】猜测DM MN =.过点M 作MG BD ∥交AD 于点G ，AG AM =，∴GD MB =又∵120ADM DMA +∠=∠，120DMA NMB +=∠∠ ∴ADM NMB =∠∠，而120DGM MBN ==∠∠， ∴DGM MBN ∆∆≌，∴DM MN =．我来试一试！如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？N CDE B M A NCDEB M A【解析】猜测DM MN =.在AD 上截取AG AM =，∴DG MB =，∴45AGM =∠∴135DGM MBN ==︒∠∠，∴ADM NMB =∠∠， ∴DGM MBN ∆∆≌，∴DM MN =．判断线段的大小关系的题目，一定要先大胆的猜想，在证明。

上海七年级数学上册复习寒假班讲义数学5-实数单元复习

学科教师辅导讲义学员学校：年级：初一课时数：2 学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题实数全章复习授课时间：备课时间：教学目标1、理解实数的分类，了解无理数的概念2、会求无理数的绝对值、相反数，会对实数进行大小比较.3、理解平方根、算术平方根和立方根等概念会求一个数的平方根和立方根4、掌握实数间的运算法则，会计算简单的实数运算。

重点及难点1、理解平方根、算术平方根和立方根等概念会求一个数的平方根和立方根2、掌握实数间的运算法则，会计算简单的实数运算。

教学内容知识精一、主要知识点：注意：(1)实数还可按正数，零，负数分类．(2)整数可分为奇数，偶数，零是偶数，偶数一般用2n (n 为整数)表示；奇数一般用2n -1或2n +1(n 为整数)表示．(3)正数和零常称为非负数．1.1.2平方根、算术平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根(或二次方根)，即如果a x =2，那么x 就叫做a 的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根．正数a 的平方根，记作：a ±．正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根．记作：a ．正数和零的算术平方根都只有一个．零的算术平方根是零．⎩⎨⎧<-≥==．，)0()0(2a a a a a a注意：a 的“双重非负性” ：⎩⎨⎧≥≥．，00a a1.1.3立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根(或叫做a 的三次方根)，即如果a x =3，那么x 就叫做a 的立方根．一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零．注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面．例题精讲（一）、有理数无理数的判别：1. 在-1.732，2，π， 3.41，2+3，3.212212221…，3.14这些数中，无理数的个数为( ). A.5 B.2 C.3 D.42．下列实数317，π-，3.14159 ，8，327-，21中无理数有（）Ａ．2个Ｂ．3个Ｃ．4个Ｄ．5个3.数3.14， 2 ，π，0.323232…，17 ，9 中，无理数的个数为（）Ａ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个（二）、算术平方根、平方根、立方根的概念：1、36的平方根是；16的算术平方根是；2、8的立方根是；327-＝；3、37-的相反数是；绝对值等于3的数是4、23的倒数的平方是，2的立方根的倒数的立方是。

沪教版初一全等三角形

边角边（SAS）证明方法
总结词
当两个三角形的两边和它们之间的夹角分别相等时，这两个三角形全等。
详细描述
如果两个三角形有两条边分别相等，并且这两条边所夹的角也相等，则这两个三角形必然全等。这是全等三角形的一种常见证明方法。
角边角（ASA）证明方法
总结词
当两个三角形的两角和它们之间的夹边分别相等时，这两个三角形全等。
全等三角形的对应高、中线、角平分线也相等。
全等三角形的周长、面积和对应角所对的边相等。
全等三角形的判定条件
边边边（SSS）判定
如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。
角边角（ASA）判定
如果两个三角形的两个角和它们之间的夹边分别相等，则这两个三角形全等。
边角边（SAS）判定
如果两个三角形的两边和它们之间的夹角分别相等，则这两个三角形全等。
03
全等三角形的应用
在几何图形中的应用
01
02
03
04
证明线段相等
全等三角形是证明线段相等的重要工具，可以通过构造全等三角形来证明两条线段相等。
证明角度相等
全等三角形中的对应角相等，可以利用这一性质证明两个角
相等。
证明垂直关系
利用全等三角形中的直角三角形性质，可以证明两条线段互
相垂直。
证明平行关系
角角边（AAS）判定
如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别相等，则这两个三角形全等。
02
全等三角形的证明方法
边边边（SSS）证明方法
总结词
当两个三角形的三边分别相等时，这两个三角形全等。
详细描述
如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形必然全等。这是全等三角形最基本的一种证明方法。

初中数学辅导讲义沪教版初一T同步(三角形的角3星)

——三角形的角1．知道三角形的相关概念，了解三角形按角如何分类；2．认识三角形的边、顶点、内角、外角。

2．掌握三角形的内角和、外角和及外角的两个性质。

建议3分钟问题引入：1、三角形按角来分类可以分为哪几类？2、三角形内角和是多少？3、三角形外角的性质是什么？建议7分钟提问：1、三角形的基本概念：三角形的定义：三角形的内角：三角形的外角：2、三角形的分类：按角来分、、。

3、三角形的内角、外角与外角和三角形的三个内角的和。

三角形的一个外角等于。

三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.三角形的外角和。

4、锐角、直角、钝角三角形高的画法和比较本部分建议20分钟题型Ⅰ三角形的分类（★★★）．在△ABC 中，已知∠A ＝2∠B ＝3∠C ，试判断三角形的形状. 【答案】．AB C ∆是钝角三角形.（★★★）．△ABC 中， C 31B 21A ∠=∠=∠，则△ABC 是（） A. 锐角三角形 B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定【答案】 B ．题型Ⅱ三角形的角（★★★）．已知：如图，∠A ＝70°，∠B ＝30°，∠C ＝20°，求∠BOC 的度数.【答案】120度（★★★）图中点P 为△ABC 内任一点，请你判断∠BAC 与∠BPC 的大小，并说明理由.．【答案】 ∠BAC ＜ ∠BPC.（★★★）如图，在△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线相交于点O ，（1）若∠A ＝90°，求∠COB 的度数；（2）若∠A ＝50°，求∠COB 的度数；（3）若∠A ＝n °，求∠COB 的度数；（4）当∠A 为多少度时，∠COB ＝3∠A. 【答案】（1）∠BOC ＝135°（2）∠BOC ＝115°（3）00n 2190BOC +=∠ （4）∠A ＝36°（★★★）．如图，△ABC 中，BD 、CD 分别平分∠ABC 和∠ACB ，请判断∠BDC与A 21900∠+的大小，并说明理由.【答案】．∠BDC=A 21900∠+师生一起总结。

上海七年级数学上册复习寒假班讲义数学11-全等三角形的概念和性质-学生

全等三角形的概念和性质知识精讲要点一、全等形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.要点二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.要点三、对应顶点，对应边，对应角1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB 和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.2. 找对应边、对应角的方法（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.要点四、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.精解名题类型一、全等形和全等三角形的概念1、下列每组中的两个图形，是全等图形的为（）A ．B ．C ．D ．举一反三：【变式】如图，在5个条形方格图中，图中由实线围成的图形与①全等的有______________.类型二、全等三角形的对应边，对应角2、如图，△ABN ≌△ACM ，∠B 和∠C 是对应角，AB 与AC 是对应边，写出其他对应边和对应角.举一反三：【变式】如图，△ABD ≌△ACE ，AB ＝AC ，写出图中的对应边和对应角.类型三、全等三角形性质3、已知：如图所示，Rt △EBC 中，∠EBC ＝90°，∠E ＝35°.以B 为中心，将Rt △EBC 绕点B 逆时针旋转90°得到△ABD ，求∠ADB 的度数.解：∵Rt △EBC 中，∠EBC ＝90°，∠E ＝35°，∴∠ECB ＝________°.∵将Rt △EBC 绕点B 逆时针旋转90°得到△ABD ， ∴△________≌△_________.∴∠ADB ＝∠________＝________°.4、如图，把△ABC 绕C 点顺时针旋转35°，得到△A B C ''，A B ''交AC 于点D ，则A B D '∠= °．举一反三：【变式】如图，将△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转20°，B 点落在B '位置，A 点落在A '位置，若AC A B ''⊥，则BAC ∠的度数是____________.巩固练习一、选择题1. 如图，△ABC ≌△ECD ，AB 和EC 是对应边，C 和D 是对应顶点，则下列结论中错误的是（） A. AB ＝CE B. ∠A ＝∠E C. AC ＝DE D. ∠B ＝∠D2. 如图，△ABC ≌△BAD ，A 和B ，C 和D 分别是对应顶点，若AB ＝6cm ，AC ＝4cm ，BC ＝5cm ，则AD 的长为（）A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 以上都不对3. 下列说法中正确的有（）①形状相同的两个图形是全等图形 ②对应角相等的两个三角形是全等三角形 ③全等三角形的面积相等 ④若△ABC ≌△DEF ，△DEF ≌△MNP ，△ABC ≌△MNP. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个4. 如图,△ABE≌△ACD ,∠B＝50°,∠AEC＝120°,则∠DAC 的度数等于( ) A.120° B.70° C.60° D.50°5. 已知△ABC≌△DEF，BC ＝EF ＝6cm ，△ABC 的面积为18平方厘米，则EF 边上的高是（） A.6cm B.7cm C.8cm D.9cm6. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC 、BD 分别为折痕，则∠CBD 的度数为（） A ．60° B ．75° C ．90° D ．95°二、填空题7. 如图，在△ABC 中，AC ＞BC ＞AB ，且△ABC ≌△DEF ，则在△DEF 中，______＜______＜_______(填边).FE DCBA8. 如图，△ABC ≌△AED ，AB ＝AE ，∠1＝27°，则∠2＝___________.9. 已知△DEF ≌△ABC ，AB ＝AC ，且△ABC 的周长为23cm ，BC ＝4cm ，则△DEF 的边中必有一条边等于______. 10. 如图，如果将△ABC 向右平移CF 的长度，则与△DEF 重合，那么图中相等的线段有__________；若∠A＝46°，则∠D ＝________.11.已知△ABC ≌△'''A B C ，若△ABC 的面积为10 2cm ，则△'''A B C 的面积为________ 2cm ，若△'''A B C 的周长为16cm ，则△ABC 的周长为________cm ．12. △ABC 中，∠A ∶∠C ∶∠B ＝4∶3∶2，且△ABC ≌△DEF ，则∠DEF ＝______ .三、解答题13.如图，已知△ABC ≌△DEF ，∠A ＝30°，∠B ＝50°，BF ＝2，求∠DFE 的度数与EC 的长.14.已知：如图，△ABC ≌△DEF ，且B ，E ，C ，F 四点在一条直线上，∠A ＝85°,∠B ＝60°，AB ＝8，EH ＝2.（1）求∠F 的度数与DH 的长；（2）求证：AB ∥DE.（1）解：∵∠A ＝85°，∠B ＝60°，∴∠ACB ＝180°－∠______－∠______＝______°. ∵△________≌△ABC ，∴_______＝AB （）∠________＝∠ACB ＝_____°（） ∵AB ＝8，EH ＝2，∴DH＝DE－HE＝______－HE ＝_______.（2）证明：∵△________≌△_________，∴∠______＝∠______（）∴_____∥_______（）15. 如图，E为线段BC上一点，AB⊥BC，△ABE≌△ECD.判断AE与DE的关系，并证明你的结论.。

初一数学：三角形课堂讲义

第三章三角形第一讲与三角形有关的线段一、与三角形有关的线段（一）.知识梳理：＝∠CAD＝∠BAC（二）.典型例题：例1：如图1，图中共有多少个三角形？图一[答疑编号500200030101] 『正确答案』图中共有8个三角形。

例2：在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分为12和15的两部分，求三角形各边的长。

[答疑编号500200030102] 『正确答案』AB=AC=8 BC=11或AB=AC=10 BC=7例3：（1）已知三角形的两边分别为5cm和6cm，求第三边c的取值范围及三角形周长的取值范围；[答疑编号500200030103] 『正确答案』1cm<C<11cm（2）已知三角形的三边分别为14，4 x和3 x，求x的取值范围；[答疑编号500200030104] 『正确答案』2<X<14（3）已知三角形的三边分别为a，a－1和a＋1，求a的取值范围。

[答疑编号500200030105] 『正确答案』a.>2例4：如图3，在小河的同侧有A，B，C三条村庄，图中的线段表示道路，某邮递员从A村送信到B村，总是走经过C村的道路，不走经过D村的道路，这是为什么呢？请你用所学的数学知识加以证明。

图3[答疑编号500200030106]例5 （1）已知等腰三角形的一边等于8cm，一边等于6cm，求它的周长.[答疑编号500200030107] 『正确答案』22cm或20cm（2）一个等腰三角形的周长为30cm，一边长为6cm，求其它两边的长.[答疑编号500200030108] 『正确答案』12cm和12cm例6已知：如图4，在△ABC中，AB=AC，周长为16cm，AC边上的中线BD把△ABC分成周长差为2cm的两个三角形，求△ABC各边的长.[答疑编号500200030109] 『正确答案』AB=6cm BC=4cm 或 AB=BC=第三章三角形第二讲与三角形有关的角二、与三角形有关的角（一）、知识梳理（二）、经典例题例1.下列四个图中能说明∠1>∠2的图是（）[答疑编号500200030110] 『正确答案』C 例2.已知：如右图（1），直线AB∥CD，直线EF 分别交AB,CD 于点E,F ，∠BEF 的平分线与∠DFE 的平分线相交于点P ，试说明：∠P=90o.图（1）[答疑编号500200030111]例3.如右图（2），在锐角三角形ABC中，CD,BE分别是AB,AC边上的高，且CD,BE交于一点P，若∠A=50o，求∠BPC的度数。

沪教版七年级-三角形的有关概念与性质-学生讲义

A BCICBAD例2. 如图所示，将△ABC 沿着DE 翻折，若∠1+∠2=80O ，则∠B=_____________。

例3. 如图，在△ABC 中，点D 是BC 上的任意一点，说明：CA+CB > BD+DA .例4. 如图，ΔABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点I ，根据下列条件，求∠BIC 的度数。

② ∠ABC ＝60°，∠ACB ＝70°，则∠BIC ＝＿＿＿。

A BG FCDE12②若∠ABC＋∠ACB＝130°，则∠BIC＝＿＿＿。

③若∠A＝50°，则∠BIC＝＿＿＿＿。

④若∠A＝110°则∠BIC＝＿＿＿。

⑤从上述计算中，我们能发现已知∠A，求∠BIC的公式是：∠BIC＝。

⑥如图，若BP，CP分别是∠ABC与∠ACB的外角平分线，交于点P，若已知∠A，则∠BPC的公式是：∠BPC＝＿＿＿。

AB CP*例5.在△ABC中，AD是高，AE,BF是角平分线且相较于O点，∠BAC=50°，∠C=70°，求∠DAC，∠BOA的度数。

备选例题例1.如图所示，求∠A＋∠B +∠C+∠D+∠E+∠F的度数．例2. 如下几个图形是五角星和它的变形．（1）图甲是一个五角形ABCDE，你能计算出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的大小吗？（2）如图乙，如果点B向右移动到AC上时，还能算出∠A+∠EBD+∠C+∠D+∠E•的大小吗？（3）如图丙，点B向右移动到AC的另一侧时，（1）的结论成立吗？为什么？（4）如图丁，点B，E移动到∠CAD的内部时，结论又如何？例3. 如图，已知OA＝a，P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON＝600，填空：（1）当OP＝时，△AOP为等边三角形；（2）当OP＝时，△AOP为直角三角形；（3）当OP满足时，△AOP为锐角三角形；（4）当OP满足时，△AOP为钝角三角形。

初一数学三角形教学辅导讲义.doc

初一数学三角形辅导讲义年级：初一辅导科目：数学课时数：3课题三角形教学目的教学内容一、【中考要求】了解三角形的有关概念（内角、外角、中线、高、角平分线），会画任意三角形的角平分线、中线和高，了解三角形的稳定性，探索并掌握三角形中位线的性质，了解全等三角形的概念，探索并掌握两个三角形全等的条件。

了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质，探索并掌握一个三角形是等腰三角形的条件，了解等边三角形的概念。

探索并掌握直角三角形的性质，探索并掌握一个三角形是直角三角形的条件，体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题，会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。

会算角度的和与差，认识度、分、秒，会进行度、分、秒的简单换算，了解角平分线及其性质，了解补角、余角、对顶角等概念。

二、【三年中考】1．(2009·温州)下列长度的三条线段能组成三角形的是()A．1 cm，2 cm，3. 5 cm B．4 cm，5 cm，9 cmC．5 cm，8 cm，15 cm D．6 cm，8 cm，9 cm2．(2008·嘉兴)如图，△ABC中，已知AB＝8，BC＝6，CA＝4，DE是中位线，则DE＝()A．4 B．3 C．2 D．11．(2008·嘉兴)已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为()A．50°B．80°C．50°或80°D．40°或65°7．(2009·金华)如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1＝32°，那么∠2的度数是() A．32°B．58°C．68°D．60°9．(2008·温州)以OA为斜边作等腰直角三角形OAB，再以OB为斜边在△OAB外侧作等腰直角三角形OBC，如此继续，得到8个等腰直角三角形(如图)，则图中△OAB与△OHI的面积比值是()A．32 B．64 C．128 D．25610．(2008·金华)把两块含有30°的相同的直角三角尺按如图所示摆放，使点C，B，E在同一条直线上，连结CD，若AC＝6 cm，则△BCD的面积是________ cm2.三、【考点知识梳理】（一）三角形的概念与分类1．由三条线段首尾顺次连接所围成的平面图形，叫做三角形．2．三角形按边可分为：不等边三角形和等腰三角形；按角可分为锐角三角形、钝角三角形和直角三角形．（二）三角形的性质1．三角形的内角和是180°，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角．2．三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．3．三角形中的重要线段(1)角平分线：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心，它到三角形各边的距离相等．(2)中线：三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心．(3)高：三角形的三条高交于一点，这点叫做三角形的垂心．(4)三边垂直平分线：三角形的三边垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点距离相等．(5)中位线：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半．温馨提示：三角形的边、角之间的关系是三角形中重要的性质，在比较角的大小、线段的长短及求角或线段中经常用到。

初一数学《三角形》全章复习与巩固(基础)《三角形》全章复习与巩固(基础)知识讲解

《三角形》全章复习与巩固（基础）责编：康红梅【学习目标】1. 理解三角形有关的概念,掌握三角形内角和定理的证明，能应用内角和定理进行相关的计算及证明问题.2. 理解并会应用三角形三边关系定理；3.了解三角形中三条重要的线段并能正确的作图.4.了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式，而且要用利用图形全等的解决实际生活中存在的问题.5. 掌握常见的尺规作图方法，并根据三角形全等判定定理利用尺规作一个三角形与已知三角形全等.【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．要点二、三角形的分类【高清课堂：与三角形有关的线段三角形的分类】1.按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.2.按边分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形要点诠释：①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;③等边三角形：三边都相等的三角形.要点三、三角形的三边关系1.定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系．2.三角形的重要线段：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，这点称为三角形的重心．一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.要点四、全等三角形的性质与判定1.全等三角形的性质全等三角形对应边相等，对应角相等.2.全等三角形的判定定理全等三角形判定1——“边边边”：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. “全等三角形判定2——“角边角”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.全等三角形判定3——“角角边”：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）全等三角形判定4—— “边角边”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.要点诠释：（1）如何选择三角形证全等，可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.要点五、用尺规作三角形1.基本作图利用尺规作图作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角，并利用全等三角形的知识作一个三角形与已知三角形全等；要点诠释：要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行表达.【典型例题】类型一、三角形的内角和1．在△ABC中，∠B＝20°+∠A，∠C＝∠B－10°，求∠A的度数.【思路点拨】由三角形的内角和，建立方程解决.【答案与解析】∵∠C＝∠B－10°＝∠A+10°，由三角形的内角和定理，得∠A+∠B+∠C＝∠A+∠A+20°+∠A+10°＝180°，∴∠A＝50°.【总结升华】本题根据三角形的内角和定理列出以∠A为未知数的方程，解方程即可求得∠A.建立方程求解，是本章求解角度数的常用方法.举一反三【变式】若∠C=50°，∠B-∠A=10°，那么∠A=________，∠B=_______【答案】60°，70°.类型二、三角形的三边关系及分类2.一个若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c的取值范围是_______.【思路点拨】三角形的两边a、b，那么第三边c的取值范围是│a-b│＜c＜a+b.【答案与解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c的取值范围是│2-7│＜c＜2+7,即5＜c＜9．【总结升华】三角形任意两边之差小于第三边，若这两边之差是负数时需加绝对值．举一反三【变式】（2015•泉州）已知△ABC中，AB=6，BC=4，那么边AC的长可能是下列哪个值（）　A．11B．5C．2D．1【答案】B．解：根据三角形的三边关系，6﹣4＜AC＜6+4，即2＜AC＜10，符合条件的只有5.3.一个三角形的三个内角分别是75°、30°、75°，这个三角形是（）A 锐角三角形B 等腰三角形C 等腰锐角三角形【答案】C举一反三【变式】一个三角形中，一个内角的度数等于另外两个内角的和的2倍，这个三角形是（）三角形A 锐角B 直角C 钝角 D无法判断【答案】C【解析】利用三角形内角和是180°以及已知条件，可以得到其中较大内角的度数为120°，所以三角形为钝角三角形.类型三、三角形的重要线段4.（2015•常德）如图，在△ABC中，∠B=40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC= ．【思路点拨】根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得∠DAC+∠ACF=（∠B+∠B+∠1+∠2）；最后在△AEC中利用三角形内角和定理可以求得∠AEC的度数．【答案】70°．【解析】解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF；又∵∠B=40°（已知），∠B+∠1+∠2=180°（三角形内角和定理），∴∠DAC+∠ACF=（∠B+∠2）+（∠B+∠1）=（∠B+∠B+∠1+∠2）=110°（外角定理），∴∠AEC=180°﹣（∠DAC+∠ACF）=70°．故答案为：70°．【总结升华】此题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质，熟练应用角平分线的性质是解题关键．举一反三【变式】在△ABC中,∠B=60°,∠C=40°,AD、AE分别是△ABC的高线和角平分线, 则∠DAE 的度数为_________.【答案】10°.类型四、全等三角形的性质和判定5.两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．(1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；(2)证明：DC⊥BE .【思路点拨】△ABE与△ACD中，已经有两边，夹角可以通过等量代换找到，从而证明△ABE≌△ACD；通过全等三角形的性质，通过倒角可证垂直.【答案与解析】解：（1）△ABE≌△ACD 证明：∠BAC＝∠EAD＝90° ∠BAC＋∠CAE＝∠EAD＋∠CAE 即∠BAE＝∠CAD 又AB＝AC，AE＝AD， △ABE≌△ACD（SAS）（2）由（1）得∠BEA＝∠CDA，又∠COE＝∠AOD ∠BEA＋∠COE＝∠CDA＋∠AOD＝90° 则有∠DCE＝180°－ 90°＝90°，所以DC⊥BE.【总结升华】我们可以试着从变换的角度看待△ABE与△ACD，后一个三角形是前一个三角形绕着A点逆时针旋转90°得到的，对应边的夹角等于旋转的角度90°，即DC⊥BE.举一反三【变式】如图，已知：AE⊥AB，AD⊥AC，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE.【答案】证明：∵AE⊥AB，AD⊥AC，∴∠EAB＝∠DAC＝90°∴∠EAB＋∠DAE＝∠DAC＋∠DAE ，即∠DAB＝∠EAC.在△DAB 与△EAC 中，DAB EAC AB ACB C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△DAB≌△EAC （ASA ）∴BD＝CE.6.己知：在ΔABC 中，AD 为中线.求证：AD ＜()12AB AC+【答案与解析】证明：延长AD 至E ，使DE ＝AD ，∵AD 为中线，∴BD＝CD在△ADC 与△EDB 中DC DB ADC BDEAD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC≌△EDB（SAS ）∴AC＝BE在△ABE 中，AB ＋BE ＞AE ，即AB ＋AC ＞2AD∴AD＜.()12AB AC +【总结升华】用倍长中线法可将线段AC ，2AD ，AB 转化到同一个三角形中，把分散的条件集中起来.倍长中线法实际上是绕着中点D旋转180°.举一反三【变式】若三角形的两边长分别为5和7, 则第三边的中线长的取值范围是( )x A.1 ＜＜ 6 B.5 ＜＜ 7 C.2 ＜＜ 12 D.无法确定x x x 【答案】A ；提示：倍长中线构造全等三角形，7－5＜＜7＋5，所以选A 选项.2x 类型五、全等三角形判定的实际应用　7.如图，小叶和小丽两家分别位于A 、B 两处隔河相望，要测得两家之间的距离，请你设计出测量方案．【答案与解析】本题的测量方案实际上是利用三角形全等的知识构造两个全等三角形，是一个三角形在河岸的同一边，通过测量这个三角形中与AB 相等的线段的长，从而得知两家的距离．解：在点B 所在的河岸上取点C ，连结BC ，使CD=CB ，利用测角仪器使得∠B=∠D ，且A 、C 、E 三点在同一直线上，测量出DE 的长，就是AB 的长．在△ABC 和△ECD 中B D CD CBACB ECD ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩∴△ABC ≌△ECD （ASA ）∴AB=DE ．【总结升华】对于实际应用问题，首先要能将它化成数学模型，再根据数学知识去解决．由已知易证△ABC ≌△ECD ，可得AB=DE ，所以测得DE 的长也就知道两家的距离是多少．类型六、用尺规作三角形8.作图：请你作出一个以线段a 为底边，以∠α为底角的等腰三角形（要求：用尺规作图，并写出已知，求作，保留作图痕迹，不写作法和结论）已知：求作：【思路点拨】可先画线段BC=a，进而在BC的同侧作∠MBC=∠α，∠NCB=∠α，MB，CN交于点A，△ABC就是所求的三角形．【答案与解析】解：已知：线段a，∠α．求作：△ABC，使BC=a，AB=AC，∠ABC=∠α．△ABC就是所求作的三角形．【总结升华】考查等腰三角形的画法；会作一个角等于已知角是解决本题的突破点；注意画图的顺序为边，角，角．举一反三【变式】作图题：（要求：用直尺、圆规作图，保留作图痕迹，不写作法．）已知：线段a与线段b．求作：线段AB，使AB=2a﹣b．【答案】解：如图所示：作线段AB即为所求．。

上海七年级数学上册复习寒假班讲义数学8-相交线平行线综合复习-学生

学科教师辅导讲义相交线平行线综合复习知识梳理1. 两条直线的位置关系（1）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：相交与平行．（2）平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．2. 几种特殊关系的角（1）余角和补角：如果两个角的和是直角，称这两个角互为余角．如果两个角的和是平角，称这两个角互为补角．（2）对顶角：①定义：一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这两个角叫对顶角．②性质：对顶角相等．（3）同位角、内错角、同旁内角两条直线分别与第三条直线相交，构成八个角．①在两条直线之间并且在第三条直线的两旁的两个角叫做内错角．②在两条直线的同一侧并且在第三条直线同旁的两个角叫做同位角．③在两条直线之间并且在第三条直线同旁的两个角叫做同旁内角．3. 主要的结论（1）垂线①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．②直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短．（2经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行4. 几个概念（1）垂线段：过直线外一点，作已知直线的垂线，这点和垂足之间的线段．（2）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度． 5. 几个基本图形（1）相交线型．①一般型（如图①）；②特殊型（垂直，如图②）．ABC DOABCDO ①②（2）三线八角．①一般型（如图①）；②特殊型（平行，如图②）．A BCDEFABCDEF①②热身练习一、判断：1、如图1，AB ∥CD ，且∠BAP=60°-α，∠APC=45°+α，∠PCD=30°-α，则α=( ) A 、10° B 、15° C 、20° D 、30°图1 图2 图3 2、如图2，CD AB //，且25=∠A ，45=∠C ，则E ∠的度数是（）A.60 B.70 C.110 D.803、如图3，已知AB ∥CD ，则角α、β、γ之间的关系为（）（A ）α+β+γ=1800 （B ）α—β+γ=1800 （C ）α+β—γ=1800 （D ）α+β+γ=3600 4、如图所示，AB ∥ED ，∠B ＝48°,∠D ＝42°, 证明：BC ⊥CD 。

沪教版数学七年级第一学期知识复习附带习题

④－（3a ）3的系数是－1；× ⑤－32x 2y 3的次数是7；× ⑥-31πr 2h 的系数是π31。

× 2. －23ab c 2π的系数是_2π-____，次数是__6___． 3.整式735232413653z xz y x z y x -+-是九次四项式，七次项系数 -5，-13 ，常数项为 04.已知a=2002x+2003，b=2002x+2004，c=2002x+2005，则多项式a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca 的值为 3 。

5.若m 2+2(k-1)m+9是完全平方式，则k= 4或-2 .6.已知(x 2+mx+n)(x 2-3x+2)的展开式中不含x 2项和x 项，则m= 3 ，n= 7 .7.若1,2=-=-c a b a ,则=-+--22)()2(a c c b a 5 . 8.如果x 2－kx ＋9y 2是一个完全平方公式的结果，则常数k ＝6±y9.如果320a b c -+=，则2793a b c ÷⨯= 1 。

10.已知与是同类项，求多项式的值。

答：，，值为1011.因式分解：①22()4()4a b c c a b c c ++-+++； ②4116x -； =2()a b c +- =2111()()()422x x x +-+③2256839x xy y ++； ④22222636m x m x m --+；=(53)(13)x y x y ++ =22(3)(6)m x x --+12.化简、解方程：①1111-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x ②22224421y xy x y x y x y x ++-÷+--解：1 解：yx y +- ③ 132+=x x ④ 13132=-+--xx x解：x=2 检验解：x=2 检验巩固练习一、选择题1. 下列的说法中,正确的是( B ).（A ）中心对称图形必是轴对称图形.（B ）长方形是中心对称图形,也是轴对称图形.（C ）菱形是中心对称图形,但不是轴对称图形.（D ）角是轴对称图形也是中心对称图形.2. 下列的说法中,不正确的是( C ).（A ）中心对称图形的对称中心也是连接对称点线段的中点.（B ）轴对称图形的对称轴是连接对称点线段的垂直平分线（C ）矩形是以对角线为对称轴的轴对称图形.（D ）线段是以其中点为对称中心的中心对称图形.3.下列命题中，错误的是（ A ）（A ）.直线的垂直平分线是这条直线的对称轴（B ）.角是轴对称图形（C ）.线段是轴对称图形（D ）.等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在直线4.下列命题中，正确的是（B ）（1）两个全等图形关于某直线成轴对称（2）两个全等的等腰三角形关于某直线成轴对称（3）关于某直线对称的两个三角形是全等的（4）关于某直线对称的两个三角形不一定全等A.1个B.2个C. 3个D. 4个二、填空题1.计算的结果是___ ______． 2.一个长方形的面积是平方米，其长为米，用含有的整式表示它的宽为____米。