高一数学同步讲练同步三角函数的最值

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高中数学同步教学课件培优课三角函数中的最值问题

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4.已知函数 f(x)＝2cos(2x＋φ)|φ|<π2的图象向右平移π6个单位得到的函数
图象关于 y 轴对称，则函数 f(x)在0，π2上的最大值与最小值之和为
A.－ 3
√B.－1
C.0
D. 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
由题意知，y＝2cos(2x＋φ)的图象向右平移π6个单位后，得到 y＝2cos2x－π6＋φ＝2cos2x－π3＋φ，其图象关于y轴对称， ∴－π3＋φ＝kπ，k∈Z，即 φ＝π3＋kπ，k∈Z，又|φ|<π2，∴φ＝π3. ∴f(x)＝2cos2x＋π3，
可化为y＝f(sin x)(y＝
二
f(cos x))型的最值问题
例2 已知0≤x≤π2，求函数y＝cos2x－2acos x的最大值M(a)与最小值m(a).
设 cos x＝t，∵0≤x≤π2，∴0≤t≤1. ∵y＝t2－2at＝(t－a)2－a2，
∴当a≤0时，m(a)＝0，M(a)＝1－2a；
函数图象平移距离的三最小值问题
例3 将函数f(x)＝sin 4x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标
不变)，再将它的图象向左平移φ(φ>0)个单位，得到一个偶函数的图象，
则φ的最小值为
π A.16
π B.12
π C.6
√D.π4
伸长后得y＝sin 2x，平移后得y＝sin[2(x＋φ)]＝sin(2x＋2φ)，因为该函数为偶函数，所以 2φ＝π2＋kπ(k∈Z)，即 φ＝π4＋k2π(k∈Z)，又 φ>0，所以取 k＝0，得 φ 的最小值为π4.
ymax＝a＋58a－32＝1⇒a＝2103<2(舍去)； ②若 0≤a2≤1，即 0≤a≤2，则当 cos x＝a2时，ymax＝a42＋58a－12＝1，

三角函数的最值求法

三角函数的最值求法掌握三角函数的单调性和有界性，能够利用三角函数的单调性及有界性来求得一些三角函数的最大值和最小值，是近年高考的热点内容之一.三角函数的最值问题，其本质上是对含有三角函数的复合函数求最值，因此，求函数最值得方法都能适用.当然还其他特殊的方法.三角函数的最值都是在限定区间上取得的，因而要特别注意题设中所给的区间.求三角函数最值时，一般要进行一些代数变换和三角变换，要注意函数有意义的条件、弦函数的有界性及变换的等价性.选择适当的方法是解题的关键.下面就例谈几种解决三角函数最值的方法.题型一：用换元法求函数的最值例1:若，求函数的最小值.思路:注意到函数的特征，若用万能公式，能将它化为关于的有理函数,从而不难用判别式方法求解.解析：令=t，，，则，当t=-1时，y=0;当y 0时，由于t为实数，从而有或.由于，故函数的最小值为.点评：展开函数式，得到一个含有、的对称式，运用变换“”同样可解得上一题.题型二：用均值不等式法求函数的最值例2：已知，且，求的最大值.思路：在三角函数关系的条件下，要求得角的最值，一般应设法转化为求该角的某一三角函数的最值.依题意，本题可以优先求y的正切的最值.解析：，且，当且仅当，即时，，又函数在上单调递增，.点评：选函数来求的角的最值时，必须注意选定函数的单调性，若选定的函数与角的最值取得时刻相同时，解题较为方便.题型三：利用三角函数的有界性来求函数的最值例3：求函数的最小值，并求出取得最小值时x的值.思路：先化简函数，再由正、余弦函数的有界性来思考，同时应注意角度的限定范围.解析：由降幂公式和倍角公式，得== .的最小值是，此时.点评：形如（a、b、c、d为常数）的式子，都能仿照上例变形为形如的式子，从而有关问题可在变形式的基础上求解.另外，求最值时不能忽视对定义域的思考.例4：已知圆的半径为R，其内接三角形ABC有成立，求的面积S的最大值.解析：由已知式可得，.==当时，点评：利用三角函数的性质来求三角函数的最值问题，是最常见的基本方法.因此，在解题时要认真解题，看该题结构特点是否能化为一个三角函数式，若能，要充分利用所有三角函数公式化为一个三角函数式，从而利用三角函数性质，求出最值.望大家在解题时注意.题型四:转化为二次函数求函数的最值例5:是否存在实数，使得函数在闭区间上的最大值是1？若存在，求出对应的a值，若不存在，试说明理由.解析：=当时，若，即，则当时，（舍去）若即，则当时，即或（舍去）,若，即，则当时，（舍去）综上所述，存在符合题设.点评：求包含参数的三角函数最值时，应根据三角函数或本身的取值范围来进行分类讨论.题型五：轮换对偶求函数的最值例6：已知、、为锐角，且，求函数的最小值.解析：由= ，令，结合，得+ -得，所以当且仅当时，等号成立.故.题型六：利用判别式法求函数的最值例7：求函数的最值.解析：原式化为即当时，得到当时，代入原方程综上.点评：求分式形式的含正、余切三角函数的最值时，应考虑到用判别式法来求得.题型七：利用斜率求函数的最值例8：求函数的最值.解析：设平面上两点的坐标为，，则AB的斜率为.又A为定点，B在单位圆上，故直线AB：是圆的切线时得k值为函数y的最值，此时点评：求分式形式含正、余弦的三角函数的最值时，应考虑巧用斜率来求得.求三角函数最值的方法有：配方法、化为一个角的三角函数、换元法、基本不等式法等.三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而要加更注意题设中所给出的区间.求三角函数的最值时，一般要进行一些三角变换以及代数换元，须注意函数有意义的条件和弦函数的有界性.在求包含参数函数的最值时，解题要注意参数的作用和影响.（陕西洋县城关中学）。

三角函数的最值

三角函数的最值三角函数是基本的数学函数，在各种实际的应用中神奇地出现。

平面三角函数是微分学中最具有代表性的函数之一，它有着深远的影响和广泛的应用。

本文主要讨论的是三角函数的最值问题，以帮助读者更加深入地了解它。

首先，我们将来讨论三角函数的最值。

首先，圆弧的最高和最低点之间的关系可以作为求最值之间的关系。

通过分析，可以得出一般最值的表达式，即有极值关系的三角函数的最值为：cosθ =1，此时θ为正负90度。

因此，可以得出三角函数的最大值为：sinθ = 1，最小值为：sinθ = -1 。

其次，要进一步理解三角函数的最值，我们可以利用三角函数的切线的特性来求解。

在一个函数的极值点上，函数在该点的切线都是水平的，而有极值的三角函数也是如此，在最大值点和最小值点上，切线都是水平的，它们有公式：sinθ = 0。

得到有极值的三角函数的最值公式：sinθ =1，从而可以求出三角函数的最值。

再次，我们可以采用三角函数的尺规法来求解三角函数的最值。

尺规法是一种在函数图像上求解函数最值的方法，它规定一条水平线从函数曲线的最小值点穿过函数曲线的最大值点，这条水平线上的定点就是函数的最值点，由此可以求出函数的最值。

在此，可以得出三角函数的最值公式：sinθ =1，其中θ为正负90度。

最后，我们通过泰勒公式进一步分析三角函数的最值。

考虑到在函数发展的高阶项上，泰勒展开式能够有效地把三角函数进行展开，从而得到函数的极限值。

通过泰勒展开式，我们可以得出三角函数的极限值：sinθ =1，从而可以求出三角函数的最值。

本文从三个方面论述了三角函数的最值：圆弧的最高点和最低点之间的关系，由切线特性可以求出的最值公式，以及由尺规法和泰勒公式得出的最值公式，期望通过本文能够帮助读者更加深入地理解三角函数的最值问题。

总之，通过本文的讨论，我们可以得出三角函数的最值公式：sin θ =1，其中θ为正负90度，帮助我们更好地理解三角函数的最值问题。

三角函数的最值

三角函数的最值三角函数是一类描述几何图形以及物理场景的数学函数。

它是利用给定角度的正弦、余弦、正切函数来定义和表达平面坐标系中点和直线之间的关系，它们又被称为直角三角形函数。

它们各自的最值概念是广泛使用的，因此本文将研究并解释三角函数的最值的概念。

虽然三角函数可以用来描述几何图形，但它们本质上是数学函数，可以用最值来描述它们的表现形式。

数学家定义的最值的概念是指函数的最大值（及大于等于该值的最小值）或最小值（及小于等于该值的最大值）。

在三角函数的情况下，由于它们是周期函数，可以定义出最大值和最小值。

正弦函数的最值为（1，-1），余弦函数的最值为（1，-1），正切函数的最值为无穷大（+∞）和无穷小（-∞）。

这些最值的定义确立了三角函数的可能值范围，因此任何满足这些范围的数值都可以算作三角函数的值。

三角函数的最值可以表示为“最大值＝（x，y）”或“最小值＝（x，y）”样式，其中x和y分别表示函数的最大值和最小值。

三角函数的最值可以用函数法则来描述。

例如，正弦函数的最大值为（π／2，1），最小值为（3π／2，-1），其余最值也可以精确地定义出来。

这样的函数法则可以用于计算三角函数的最大值和最小值，也可以用于计算函数的任何一个最值。

例如，求出余弦函数的最大值和最小值，可以使用下面这个函数： f(x) = cos(x)。

若输入x=π／2，则f(x)=1（最大值）；若输入x = 3π／2，则f(x) = -1（最小值）。

此外，三角函数的最值还可以用图形的方式表示。

例如，可以画出三角函数的图形，并从中找出最大值和最小值。

对三角函数来说，图形的水平轴上的最高值即为最大值，轴上的最低值为最小值。

三角函数的最值的概念不仅可以用来解释函数作图或函数表示，它也是许多其他数学领域的重要概念，例如微积分和动力学中。

例如，考虑一个简单的物理实验：小球从地面跳起，然后运动到最高点后回落，这个过程中，小球的跳跃高度便是物理场景中的最值。

三角函数最值问题求法

三角函数最值问题求法三角函数是高中数学中常见的一种函数类型，它与三角形的边长和角度之间的关系密切相关。

在解决三角函数最值的问题时，我们通常需要根据特定的条件和信息来确定函数的最大值或最小值。

下面将详细介绍三角函数最值问题的求解方法。

1.函数的定义域和值域分析：在解决三角函数最值问题之前，我们首先要对函数的定义域和值域进行分析。

不同的三角函数具有不同的定义域和值域，对于正弦函数和余弦函数，其定义域是整个实数集，值域是[-1,1]；而对于正切函数，其定义域是除去kπ（k∈Z）的全体实数，值域是整个实数集。

2.函数的周期性利用：三角函数具有周期性的特点，即对于一些三角函数f(x)，存在正整数T，使得对于任意实数x，有f(x+T)=f(x)。

利用函数的周期性特点，我们可以通过分析一个周期内的变化趋势，从而确定函数的最值。

常见的周期为π或2π。

在具体求解过程中，我们可以通过将函数的自变量进行换元，使其处于一个周期内进行分析。

3.导数的求解和极值点分析：如果一个三角函数是连续的，并且在一些区间内可导，则可以通过求导数的方法来确定指定区间上的局部最值。

我们可以通过求导数并令其等于零，求解出导数为零的点，然后通过第一、第二导数的正负性进行判断，得出函数的极值点和最值。

同时，我们还可以利用导数的符号变化来确定驻点和极值点的位置。

4.图像分析法：对于特定的三角函数问题，我们可以通过观察函数的图像来推测函数的最值。

通过绘制函数的图像，并结合定义域和值域的分析，我们可以直观地判断出函数在一些区间上的最值。

对于常见的正弦函数、余弦函数和正切函数，我们可以通过观察其图像的特点，确定函数在一个周期内的最值位置。

5.利用特殊三角函数的性质：在求解三角函数最值问题时，我们可以利用特殊的三角函数性质来进行分析。

例如，正弦函数和余弦函数在定义域内是交错递增和递减的，因此我们可以通过分析数值的正负性来确定函数在一些区间上的最值。

而正切函数在定义域上的周期是π，其在相邻两个零点之间是增函数还是减函数，从而确定函数的极值点。

初升高数学暑假衔接(人教版)高一预习专题强化2 三角函数中的最值问题(学生版)

强化专题1三角函数中的最值问题【方法技巧】求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)．求三角函数取最值时相应自变量x 的集合时，要注意考虑三角函数的周期性．(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (或y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c )，x ∈D 的函数的值域或最值时，通过换元，令t ＝sin x (或cos x )，将原函数转化为关于t 的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t ＝sin x (或cos x )的有界性．(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．域，也可利用正弦函数、余弦函数自身的有界性求解.【题型目录】一、y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 型的最值问题二、可化为y ＝f (sin x )型的二次式的值域问题三、含sin x ±cos x ，sin x cos x 的最值问题四、形如()sin sin x af x x b +=+的最值问题五、函数图象平移问题的最值六、ω的最值问题【例题详解】一、y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 型的最值问题1．已知()ππ2sin cos 262f x x x ⎛⎫⎛⎫=+⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 的最大值为（）A ．12B ．2C ．1D ．322．函数sin()cos()26y x x ππ=+-的最大值为________________．3．函数2cos cos 33y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值是_______．4．已知函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为______.5．函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.二、可化为y ＝f (sin x )型的二次式的值域问题1．当x ∈π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的值域为________．2．已知函数()22cos 2cos f x x x =-+，[]0,x a ∈的值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则实数a 的取值范围为__________.3．函数2()2cos 2sin 4cos f x x x x =+-的最大值为______，取得最大值时对应的x =_______．4．已知函数2()4tan 4tan 3(0)2f x x x x π=-+<<，当x θ=时，()f x 取得最小值，则tan(4πθ+=__________．5．函数2tan 3tan 1,,34⎡⎤=+-∈-⎢⎥⎣⎦y x x x ππ的值域为________．6．若方程2cos sin 0x x a -+=在,22ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦内有解，则a 的取值范围是______．三、含sin x ±cos x ，sin x cos x 的最值问题1．函数2sin cos 2y x x x x =+的最大值为（）A ．52B ．3C ．72D ．42．函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________．3．若π03x <≤，则函数sin cos sin cos y x x x x =++的值域是___________.4．函数()13sin cos cos 222f x x x x π⎛⎫=+--⎪⎝⎭的最小值为___________________．5．函数1()sin 2()24g x x x x π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭R 的值域为___________.6．已知函数1sin cos (),sin cos x xf x x R x x+=∈+，则()y f x =的值域为_______．7．函数sin cos ()1sin cos =++x xf x x x的值域为_____________．8．若()sin cos 2sin cos a x x x x +≤+对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的最大值为（）A ．2B ．3C ．522D 四、形如()sin sin x af x x b +=+的最值问题1．函数cos 12cos 1x y x +=-的值域是（）A ．][(),04,∞∞-⋃+B ．][(),02,∞∞-⋃+C ．[]0,4D ．[]0,22．函数2cos 2cos xy x+=-的最大值为__________；3．求下列函数的值域：（1）sin 2sin 1x y x -=-；（2）1tan ,,01tan 2+⎛⎫=∈- ⎪-⎝⎭x y x x π.五、函数图象平移问题的最值1．将函数()sin f x x =图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，再向右平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值为（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π2．设函数5()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()g x 为偶函数，则ϕ的最小值是（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π3．若函数sin 2y x =与()sin 2y x ϕ=+在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上的图象没有交点，其中()0,2ϕπ∈，则ϕ的取值范围是（）A ．[),2ππB ．,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(),2ππD ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ，24．将函数2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象沿水平方向平移ϕ个单位后得到的图象关于直线4x π=对称（0ϕ>向左移动，0ϕ<向右移动），当ϕ最小时，则ϕ=（）A ．3πB ．12π-C ．6πD ．3π-5．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0ω>，0ϕπ<<）的部分图象如图所示，且1323f π⎛⎫=⎪⎝⎭.将()f x 图象上所有点的横坐标缩小为原来的18，再向上平移一个单位长度，得到()g x 的图像；若()()129g x g x =，1x ，250,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则21x x -的最大值为（）A ．πB ．34πC ．32πD ．2π6．已知1x ，2x ，是函数()()()tan 0,0f x x ωϕωϕπ=-><<的两个零点，且12x x -的最小值为3π，若将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度后得到的图象关于原点对称，则ϕ的最大值为（）A ．34πB ．4πC ．78πD ．8π7．声音是由物体振动产生的声波，其中纯音的数学模型是sin y A x ω=，已知函数()()()2sin 2ππf x x =+-≤≤f f 的图像向右平移5π12个单位后，与纯音的数学模型函数2sin 2y x =图像重合，且()f x 在[],a a -上是减函数，则a 的最大值是（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．512π8．将函数()3sin()2f x x =--图象上每一点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的13，再向右平移29π个单位得到函数()g x 的图象，若()g x 在区间,18πθ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，则θ的最小值为（）A ．12πB ．6πC ．3πD ．18π9．将函数()2cos f x x =的图象先向右平移()0ϕϕπ<<个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的()10ωω>倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若对()g x 满足()()124g x g x -=，有12min4x x π-=恒成立，且()g x 在区间()63ππ，上单调递减，则ϕ的取值范围是（）A ．[]123ππ，B ．[]32ππ，C ．2(]33ππ，D ．2[]33ππ，六、ω的最值1．设函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图象向右平移3π个单位长度后，所得图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）A ．12B ．3C ．6D ．92．已知函数()sin()(0,0)f x A x ωϕωϕπ=+><<为偶函数，在0,3π⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减，且在该区间上没有零点，则ω的取值范围为（）A ．3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．35,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦3．已知函数()()sin 0f x x ωω=>在区间2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且()1f x =在区间[0,2]π上有且仅有一解，则ω的取值范围是（）A ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．33,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．15,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．函数sin(0)3y x πωω=->的图象向左平移4π个单位后，得到函数()f x 的图象，若函数()f x 为奇函数，则ω的最小值为（）A ．12B ．43C ．13D ．565．已知函数()tan f x x ω=在(,22ππ-内是减函数，则ω的取值范围是（）A ．01ω<≤B ．10ω-≤<C ．20ω-≤<D ．102ω<≤6．已知函数()cos()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为4π，将()f x 的图象向右平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象.若函数()g x 的图象在区间423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，则ϕ的取值范围为（）A ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．已知函数()()cos (0)2f x x πωϕωϕ=+>≤，，8x π=-是()y f x =的零点，直线38x π=为()y f x =图象的一条对称轴，且函数()f x 在区间51224ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，则ω的最大值是（）A ．9B ．7C ．5D ．38．已知函数()cos 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（ω>0），对任意x ∈R ，都有()f x ≤3f π⎛⎫⎪⎝⎭，并且()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调，则ω的最小值是（）A ．6B ．7C ．8D ．99．函数()=sin2+1(0)f x x ωω>在ππ62⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则ω取值范围为_____。

三角函数的最值习题精选精讲

三角函数的值域或最值常见的三角函数最值的基本类型有：（1）y=asinx+b （或y=acosx+b ）型，利用()1cos 1sin ≤≤x x 或，即可求解，此时必须注意字母a 的符号对最值的影响。

（2）y=asinx+bcosx 型，引入辅助角ϕ ，化为y=22b a +sin （x+ϕ）,利用函数()1sin ≤+ϕx 即可求解。

Y=asin 2x+bsinxcosx+mcos 2x+n 型亦可以化为此类。

（3）y=asin 2x+bsinx+c （或y=acos 2x+bcosx+c ），型，可令t=sinx （t=cosx ）,-1≤t ≤1,化归为闭区间上二次函数的最值问题。

（4）Y=d x c b x a ++sin sin （或y=dx bx a ++cos cos ）型，解出sinx （或cosx ）,利用()1cos 1sin ≤≤x x 或去解；或用分离常数的方法去解决。

（5）y=d x c b x a ++cos sin （y=dx c bx a ++sin cos ）型，可化归为sin （x+ϕ）g （y ）去处理；或用万能公式换元后用判别式去处理；当a=c 时，还可利用数形结合的方法去处理上。

（6）对于含有sinx±cosx,sinxcosx 的函数的最值问题，常用的方法是令sinx±cosx=t,2≤t ,将sinxcosx 转化为t 的函数关系式，从而化为二次函数的最值问题。

一、利用三角函数的有界性．求解这类问题，首先利用有关三角函数公式化为sin()y A x k ωϕ=++的形式．在化简过程中常常用到公式：22sin cos sin(),tan ,ba xb x x aab ϕϕϕ+=++=其中由及点(a,b)的位置确定. 例1 、(2000年高考)已知：2123sin cos 12sin y x x x x R =+⋅+∈，，求y 的最大值及此时x 的集合．解：∵2123sin cos 12sin y x x x =+⋅+1cos 2315sin 21sin(2)44264x x x π+=++=++，∴当sin(2)16x π+=时，max 157244y=+= ．此时，2262x k πππ+=+，即6x k ππ=+．所以y 的最大值为74，此时x 的集合为{|}6x x k k Z ππ=+∈，．例2、求函数1cos 3cos xy x-=+的值域．解： 1cos 3cos x y x -=+⇒(1)cos 2y x +=-⇒2cos 1x y=-+，由|cos |1x ≤得2||11y -≤+， |1|2y +≥即，解得31y y ≤-≥或，所以函数1cos 3cos xy x-=+的值域是3][1-∞-∞ （，，+）二、利用二次函数最值性质求解这类问题，首先利用有关三角函数公式化为2sin sin y x b x c a =++的形式．例3、求函数278cos 2[,]63sin y x x x ππ=--∈-，的值域．解：278c o s 2s i n y x x =--＝278cos 2(1)cos x x ---＝223,(cos 2)x --∵[,]63x ππ∈-，∴1cos [1]2x ∈，，∴3[1]2y ∈-，．例4、（90年高考）求函数sin cos sin cos y x x x x =++的最小值．解：设sin cos x x t +=，[22]t ∈-，，则21sin cos 2x x t -=，所以()y f t =＝211,2(1)t ⋅-+([2,2])t ∈-，当1[22]t =-∈-，时，y 有最小值1-．三、利用均值不等式*利用均值不等式求三角函数时，一定要注意均值不等式中的使用条件：一正、二定、三相等．例6、当0x π<<时，求sin 2cos xy x=+的最大值．解：设2223tan 0,(0),,23233x t t t x y t t π=><<=≤=⋅+则（当且仅当tan 32xt ==时取等号）。

三角函数的极值和最值问题

三角函数的极值和最值问题三角函数是数学中常见的一类函数，其在解决各种实际问题中起着重要的作用。

本文将探讨三角函数的极值和最值问题，帮助我们更好地理解和应用这一概念。

一、极值问题的引入在开始我们的讨论之前，我们首先来了解下什么是极值。

在数学中，对于一个函数而言，当其在某个区间内取得最大值或最小值时，称该值为函数的极值。

对于三角函数而言，我们主要关注的是正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）在一定区间内的极值问题。

二、正弦函数的极值问题正弦函数的图像是一条连续的曲线，在区间[0, 2π]内，正弦函数的极大值为1，极小值为-1。

当我们需要求解正弦函数的极值时，首先要找到其周期。

正弦函数的周期为2π，即在[0, 2π]内，正弦函数呈现出一个完整的周期性。

因此，在该区间内，我们可以找到无穷多个极大值和极小值，均为1和-1。

三、余弦函数的极值问题余弦函数的图像也是一条连续的曲线，在区间[0, 2π]内，余弦函数的极大值为1，极小值为-1。

与正弦函数类似，我们需要先找到余弦函数的周期。

余弦函数的周期同样为2π，在这个区间内，余弦函数的极大值和极小值也为1和-1。

因此，在[0, 2π]内，余弦函数也有无穷多个极大值和极小值。

四、正切函数的极值问题正切函数的图像呈现出周期性，其周期为π，即在[0, π]、[π, 2π]、[2π, 3π]等区间内，正切函数的极值问题也呈现出周期性。

在每个π的区间内，正切函数的极值均为无穷大，其中极小值是负无穷，极大值是正无穷。

所以，在正切函数的图像上，我们将无法找到具体的极值点。

五、总结与应用通过以上的分析，我们可以得出以下结论：1. 正弦函数和余弦函数在其周期内有无穷多个极值点，分别为1和-1。

2. 正切函数在其周期内没有具体的极值点。

在实际问题中，我们可以利用三角函数的极值和最值来解决一些优化问题。

例如，在物理中，我们可以通过极值问题来求解质点的最大位移、速度或加速度等。

高一数学三角函数的最值问题

三角函数的最值问题三角函数的最值问题是本学期高一的一个重要的专题，本文可作为课外辅导材料，也可作为三角函数的一个专题复习内容。

三角函数的最值问题的训练可提高学生灵活运用三角公式、三角函数图象性质的能力。

求三角函数的最值要注意其特殊性（正、余弦的有界性），同时也要注意运用求一般函数最值的通法（如运用函数的单调性，配方法等）。

求三角函数的最值往往先通过适当的三角变换或代数换元化归为基本类型的三角函数或代数函数。

常见的三角函数最值的基本类型有：（1）y=asinx+b （或y=acosx+b ）型，利用()1cos 1sin ≤≤x x 或，即可求解，此时必须注意字母a 的符号对最值的影响。

（2）y=asinx+bcosx 型，引入辅助角ϕ ，化为y=22b a +sin （x+ϕ）,利用函数()1sin ≤+ϕx 即可求解。

Y=asin 2x+bsinxcosx+mcos 2x+n 型亦可以化为此类。

（3）y=asin 2x+bsinx+c （或y=acos 2x+bcosx+c ），型，可令t=sinx （t=cosx ）,-1≤t ≤1,化归为闭区间上二次函数的最值问题。

（4）Y=d x c b x a ++sin sin （或y=dx bx a ++cos cos ）型，解出sinx （或cosx ）,利用()1c o s 1sin ≤≤x x 或去解；或用分离常数的方法去解决。

（6）对于含有sinx±cosx,sinxcosx 的函数的最值问题，常用的方法是令sinx±cosx=t,2≤t ,将sinxcosx 转化为t 的函数关系式，从而化为二次函数的最值问题。

三角函数的最值

三角函数的最值
三角函数是数学中的一个重要概念，它也被认为是一种有用的函数。

在这里，我们将讨论三角函数的最值。

首先，我们需要了解的是，三角函数的最值是指函数在某一范围内的极大值或极小值。

有三种不同的三角函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

这些函数的最值都是取决于函数所给定的范围。

正弦函数是以曲线的形式表示的函数，它沿着x轴定义。

在定义域为[-π，π]的情况下，正弦函数的最值计算如下：当x=0时，正弦函数的最大值为1，最小值为-1；当x=π/2时，正弦函数的最大值为1，最小值为-1。

余弦函数也是以曲线的形式表示的函数，它在x轴上定义。

在定义域为[-π，π]的情况下，余弦函数的最值计算如下：当x=0时，余弦函数的最大值为1，最小值为-1；当x=π时，余弦函数的最大值为1，最小值为-1。

最后，正切函数被定义为x轴上的曲线，它的形状有点像余弦函数的形状，但它是特殊的。

在定义域为[-π，π]的情况下，正切函数的最值计算如下：当x=0时，正切函数的最大值为正无穷，最小值为负无穷；当x=π/2时，正切函数的最大值为无穷大，最小值为无穷小。

总之，我们可以得出结论，三角函数的最值取决于函数的定义域和特定的x坐标。

需要注意的是，三角函数的最值可以用在几何图形、微积分、数学建模和计算机科学等领域中。

因此，了解三角函数的最
值对于学习和使用数学是非常重要的。

以上就是关于三角函数最值的介绍和讨论，希望我们所探讨的内容可以帮助读者更好地理解和掌握三角函数的最值。

最后，祝愿所有学习数学的人取得更大的进步！。

三角函数的最值

三角函数的最值三角函数是比较重要的数学主题，它可以帮助我们更好地理解几何概念以及图形的变化。

而三角函数的最值，则是三角函数的一个重要概念，有助于我们更好地绘制三角函数图像、分析三角函数的图形特征，以及求解信息等等。

一、解析三角函数的最值三角函数的最值是指三角函数y=f(x)在给定的区间[a,b]内，f(x)的最大值和最小值。

特别的，当取区间[a,b]为全实数集时，最大值和最小值将不再存在。

例如，sin(x)在实数集内，其最大值为1，最小值为-1；而cos(x)在实数集内，其最大值为1，最小值也为1。

二、三角函数最值的求解方法（1）偏导数法若需求解f（x）在给定的区间[a,b]内的最值，可以先对函数求偏导，考察偏导数是否在区间内取得最值，若有则求该点的函数值，并记录其最小值或最大值；若无，则求取函数在该区间的定点的值，作为函数的最值。

（2）判别式法一般的，令f（x）=0，求获函数的根，然后计算函数的二阶导数，若f(x)>0，则根为极小值点，若f(x)<0，则根为极大值点。

（3）几何解法由几何图像解三角函数最值，在找到函数图像上的极大值极小值时，可以从两个方面考虑，一是寻找函数最大最小值点，另一种方法是求解两个函数的比值f(x)/g(x)，在给定区间[a,b]内找到两个函数比值最大最小点。

三、典型例题（1）求函数f(x)=x2－2x＋1[-1,1]上的最大值和最小值解：f(x)=2x-2=0,得x=1当x=-1，f(-1)=0;x=1，f(1)=2所以函数y=f(x)在[-1，1]上的最大值为2，最小值为0（2）求函数f(x)=sin2x[0,π/2]上的最大值和最小值解：f(x)=2cos2x，得cos2x=0，得x=π/4当x=0,f(0)=0;当x=π/4，f(π/4)=1所以函数y=f(x)在[0，π/2]上的最大值为1，最小值为0四、总结本文介绍了三角函数的最值的概念，并介绍了常用的求解最值的方法，以及常见的例题。

2023版高中数学新同步精讲精炼(必修第一册) 5

5.7 三角函数的应用(精练)【题组一圆周运动】1．(2021·全国高一单元测试)如图，为一半径为3m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2m ，已知水轮自点A 开始1min 旋转4圈，水轮上的点P 到水面距离y (m )与时间x (s )满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则有( )A ．ω＝215π，A ＝3 B ．ω＝152π，A ＝3 C ．ω＝215π，A ＝5 D ．ω＝152π，A ＝5 【答案】A【解析】由题目可知最大值为5，∴ 5＝A ×1＋2⇒A ＝3． 60==154T ，则2215T ππω==．故选:A2．(2021·重庆北碚·西南大学附中高一月考)(多选)水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点(3,A -出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设点P 的坐标为(,)x y ，其纵坐标满足()sin()0,0,||2y f t R t t πωϕωϕ⎛⎫==+≥>< ⎪⎝⎭，则下列叙述正确的是( )A ．水斗作周期运动的初相为3π-B ．在水斗开始旋转的60秒(含)中，其高度不断增加C ．在水斗开始旋转的60秒(含)中，其最高点离平衡位置的纵向距离是D ．当水斗旋转100秒时，其和初始点A 的距离为6 【答案】AD【解析】对于A ，由(3,A -，知6R ，120T =，所以260T ππω==；当0t =时，点P 在点A 位置，有6sin ϕ-，解得sin ϕ=||2ϕπ<，所以3πϕ=-，故A 正确；对于B ，可知()6sin 603f t t ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭，当(]0,60t ∈，2,60333t ππππ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，所以函数()f x 先增后减，故B 错误；对于C ，当(]0,60t ∈，2,60333t ππππ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，sin 603t ππ⎛⎤⎛⎫-∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，所以点P 到x 轴的距离的最大值为6，故C 错误；对于D ，当100t =时，46033t πππ-=，P 的纵坐标为y =-3x =-，所以||336PA =--=，故D 正确．故选：AD ．3．(2021·全国高一课时练习)(多选)如图，一个水轮的半径为6m ，水轮轴心O 距离水面的高度为3m ，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动5圈，当水轮上点P 从水中浮现时的起始(图中点0P )开始计时，记()f t 为点P 距离水面的高度关于时间()s t 的函数，则下列结论正确的是( )A ．()39f =B ．()()17f f =C ．若()6f t ≥，则[]()212,512t k k k ∈++∈ND ．不论t 为何值，()()()48f t f t f t ++++是定值【答案】BD【解析】设()()()sin 0,0f t A t b A ωϕω=++>>，则6A =，212π=ω，则6π=ω，由题意可知()max 69f t b =+=，可得3b =，()06sin 30f ϕ=+=，可得1sin 2ϕ=-，由图可知，函数()f t 在0t =附近单调递增，可得()26k k Z πϕπ=-∈，所以，()6sin 366t f t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.对于A 选项，()36sin 333f π=+=，A 错；对于B 选项，()16sin033f =+=，()76sin 33f π=+=，()()17f f =，B 对；对于C 选项，由()6sin 3666t f t ππ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭，可得1sin 662t ππ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，所以，()5226666t k k k N ππππππ+≤-≤+∈，解得()122126k t k k N +≤≤+∈，C 错；对于D 选项，()()()24486sin 6sin 6sin 966663663t t t f t f t f t ππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭26sin 3sin sin 3sin 966666636666t t t t t πππππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+-----+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭9=，D 对.故选：BD.4．(2021·全国高一课时练习)(多选)水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点(1,A 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒.经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设点P 的坐标为(),x y ，其纵坐标满足()()sin 0,0,2y f t R t t πωϕωϕ⎛⎫==+≥>< ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是( )A ．3πϕ=B ．当[]0,2t ∈时，函数()y f t =单调递增.C ．当[]3,5t ∈时，函数最小值为2-.D ．当t =9时，4PA = 【答案】BD【解析】由题，2R ==，26T πω==，3πω∴=，故()2sin 3f t t πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又当0t =时，()y f t ==||2ϕπ<，3ϕπ∴=-，所以()2sin 33f t t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故A 错误：当[0,2]t ∈时，,3333t ππππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以函数()y f t =在[0,2]是单调递增的，故B 正确：当[3,5]t ∈时，24,3333t ππππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以函数()y f t =在[3,5]t ∈是单减的，故最小值为4(5)2sin3f π==故C 错误：当9t =时，8333t πππ-=，P 的横坐标为82cos13π=-，又8(9)2sin 3f π=(P -，PA 为水车直径，故4PA =，故D 正确．故选：BD5．(2021·全国高一课时练习)游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O 距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象吗？ (2)转四圈需要多少时间？(3)你第四次距地面最高需要多少时间？ (4)转60分钟时，你距离地面是多少？【答案】(1)是周期现象；(2)48(分钟)；(3)42(分钟)；(4)0.5(米)．【解析】(1)游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O 距离地面40.5米，半径40米，从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，利用三角函数的周期性得到你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象．(2)每转一圈需要12分钟，∴转四圈需要41248⨯=分钟．(3)游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O 距离地面 40.5米，半径40米，∴出发后6分钟时，摩天轮第一次到达最高点， ∴你第四次距地面最高需要：612342+⨯=分钟．(4)由已知可设40.540cos y t ω=-，0t ，由周期为12分钟可知，当6t =时，摩天轮第一次到达最高点，即函数第一次取得最大值，所以6ωπ=，即6π=ω， 40.540cos 6y t π∴=-，0t∴转60分钟时，你距离地面高度为：40.540cos(60)40.540cos100.56y ππ=-⨯=-=(米)．【题组二几何问题】1．(2021·安徽芜湖一中高一月考)某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15︒的看台的某一列的正前方，在这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30，第一排和最后一排的距离为(如图所示)，旗杆底部与第一排在同一水平面上，则旗杆的高度为___________.【答案】15米【解析】如图所示，由题得，45AEC ︒∠=，1806015105ACE ︒︒︒︒=--=∠，30EAC ︒∴∠=，由正弦定理可知sin sin CE ACEAC AEC=∠∠，sin sin CEAC AEC EAC∴=⋅∠=∠∴在Rt ABC 中，sin 15AB AC ACB =⋅∠==米，即旗杆的高度为15米.故答案为：15米.2．(2021·江苏高一期中)如图，在扇形POQ 中，半径2OP =，圆心角3POQ π∠=，B 是扇形弧上的动点，矩形ABCD 内接于扇形．其中CD 在半径OQ 上，记BOC α∠=．(1)当45BOC ∠=︒时，求矩形ABCD 的面积；(2)求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大值．【答案】(1)2(2)当6πα=时，矩形ABCD【解析】(1)在Rt OBC 中，2sin 452BC ==2cos 452OC ==在Rt ADO 中，tan 3AD OD π==，所以OD AD所以CD OC OD =-=，设矩形ABCD 的面积为S ，则2S CD BC =⋅=⎭(2)在Rt OBC 中，2sin BC α=，2cos OC α=．在Rt ADO 中，tan 3AD OD π==，所以OD AD α===，所以2cosCD OC OD αα=-=，设矩形ABCD 的面积为S ，则22cos 2sin 4sin cosS CD BC αααααα⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭， 2sin 2226πααα⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，由03πα<<，得52666πππα<+<，所以当262ππα+=，即6πα=时max S ==因此，当6πα=时，矩形ABCD 3．(2021·江苏高一专题练习)圣·索菲亚教堂(SAINT SOPHIA CATHEDRAL )是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，如左图．某校高一数学兴趣小组打算根据所学知识估算索菲亚教堂的高度，他们在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，测得建筑物AB 的高度为h ，在它们之间的地面上的点M (B ，M ，D 三点共线)处可以测得楼顶A 和教堂顶C 的仰角分别为α和β，在楼顶A 处可测得塔顶C 的仰角为γ，且AB 与CD 都垂直地面，如右图，那么请你根据他们测得的数据估算索菲亚教堂的高度为多少？(结果用h ，α，β，γ表示)【答案】高度为()()sin sin sin sin h βαγαβγ+-.【解析】解：由题可知，在Rt CDM 中，CDM β∠=，设CD x =，则sin sin CD xCM ββ==，在Rt ABM 中，AMB AB h α∠==，，则sin sin AB hAM αα==．在ACM △中，CAM CMA αγπαβ∠=+∠=-+，（）∴MCA βγ∠=- 由正弦定理sin sin sin a b cA B C==可知 sin sin CM AMMAC MCA=∠∠，即()()sin sin sin sin x hβααγβγ=+-． ∴()()sin sin sin sin x h βαγαβγ+=-答：索菲亚教堂的高度为()()sin sin sin sin h βαγαβγ+-．【题组三其他问题】1．(2021·全国高一课时练习)在自然条件下，对某种细菌在一天内存活的时间进行了一年的统计与测量，得到10次测量结果(时间近似到0.1小时)，结果如表所示：(1)试选用一个形如()sin y A x t ωϕ=++的函数来近似描述一年(按365天计)中该细菌一天内存活的时间y 与日期位置序号x 之间的函数解析式.(2)用(1)中的结果估计该种细菌一年中大约有多少天的存活时间大于15.9小时. 【答案】(1)()23237sin 12.41365,365730y x x x N ππ⎛⎫=-+≤≤∈⎪⎝⎭；(2)这种细菌一年中大约有121天(或122天)的存活时间大于15.9小时..【解析】(1)由表格可知函数的最大值为19.4，最小值为5.4，19.4 5.472A -∴==， 19.4712.4t ∴=-=，又365T =，2365πω∴=，当172x =时，23652x ππϕ+=，解得：323730πϕ=-， ()23237sin 12.41365,365730y x x x N ππ⎛⎫∴=-+≤≤∈ ⎪⎝⎭.(2)由15.9y >得：23231sin 3657302x ππ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即2323563657306x ππππ<-<，解得：111.17232.83x <<，∴这种细菌一年中大约有121天(或122天)的存活时间大于15.9小时.2．(2021·广东铁一中学高一月考)“中国齐云山国际养生万人徒步大会”得到了国内外户外运动爱好者的广泛关注，为了使基础设施更加完善，现需对部分区域进行改造．如图，在道路北侧准备修建一段新步道，新步道开始部分的曲线段MAB 是函数2sin(),(0,0),[4,0]y x x ωϕωϕπ=+><<∈-的图象，且图象的最高点为(1,2)A -．中间部分是长为1千米的直线段BC ，且//BC MN ．新步道的最后一部分是以原点O 为圆心的一段圆弧CN ．(1)试确定,ωϕ的值；(2)若计划在扇形OCN 区域内划出面积尽可能大的矩形区域建服务站，并要求矩形一边EF 紧靠道路MN ，顶点Q 落在半径OC 上，另一顶点P 落在圆弧CN 上．记PON θ∠=，请问矩形EFPQ 面积最大时θ应取何值，并求出最大面积？【答案】(1)6π=ω，23ϕπ=；(2)当6πθ=2. 【解析】(1)∵1(4)34T =---=，∴212T ωπ==，∴6π=ω．图象过(1,2)A -，∴2,62k k Z ππϕπ-+=+∈，又0ϕπ<<，∴23ϕπ=．(2)由(1)知22sin 63y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，交y 轴于B ，又1,//BC BC MN =，∴2,3OC CON BCO π=∠=∠=．又PON θ∠=，∴(2cos ,2sin )P θθ，2sin 2sin ,2cos 2costan 60PF EF θθθθθ==-=-︒，∴22sin 2cos 2sin 22sin 2cos2)EFPQ S PF EF θθθθθθθ⎛⎫=⋅===- ⎪⎝⎭12sin 222cos 2226πθθθθθ⎫⎛⎫==+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭又πθ0,3，∴6πθ=时sin 216πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，此时矩形EFPQ 2． 3．(2021·兴仁市凤凰中学高一期末)某港口水深y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：据上述数据描成的曲线如图所示，该曲线可近似的看成函数sin y A t b ω=+的图象． (1)试根据数据表和曲线，求sin y A t b ω=+的解析式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？【答案】(1)3sin 10(024)6y t t π=+；(2)1:00至5:00或13:00至17:00.【解析】1)根据数据，可得137A b A b +=⎧⎨-+=⎩，3A ∴=，10b =， 15312T =-=，26T ωππ∴==， ∴函数的表达式为3sin 10(024)6y t t π=+；(2)由题意，水深 4.57y +，即3sin 1011.5(024)6t t π+，1sin62tπ∴， ∴[266t k πππ∈+，52]6k ππ+，0k =，1， [1t ∴∈，5]或[13t ∈，17]；所以，该船在1:00至5:00或13:00至17:00能安全进港．4．(2021·北京市第一六一中学)海水受日月的引カ，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节某天的时间与水深值(单位：m)记录表．试用一个三角函数来近似地描述这个港口的水深值y 与时间[]()0,24t t ∈的函数关系，则这个函数关系式是________．【答案】[]5sin 5,0,2426y t t π=+∈【解析】设y 与t 之间的函数关系式为()()sin 0,0y A t B A ωϕω=++>>，则由表中数据可得12T =，且7.52.5A B A B +=⎧⎨-+=⎩，故2126ππω==且55,2B A ==，所以5sin 526y t πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为当3t =时，7.5y =，所以32,62k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得2,k k Z ϕπ=∈，故5sin 526y t π=+，其中024t ≤≤.故答案为：[]5sin 5,0,2426y t t π=+∈.5．(2021·全国高一课时练习)埃及塞得港是苏伊士运河北段的港口，其水深度y (米)时间t (024t ≤≤，单位：时)的函数，记作()y f t =，下面是水深与时间的数据：经长期观察，()y f t =的曲线可近似地看出函数()sin y A x B ωϕ=++(其中0A >，0>ω，[),ϕππ∈-的图象.(1)试根据以上数据，求出函数()y f t =的近似表达式；(2)一般情况下，轮船航行时港口船底离海底的距离为3米或3米以上时认为是安全的(船舶停靠时，近似认为海底是平面)，停泊时船底只要不碰触海底即可.3月29日21万吨排水量的“长赐号”集装箱船计划靠港，其最大吃水深度(船舶吃水一般指船舶浸在水里的深度，是船舶的底部至船体与水面相连处的垂直距离)需12米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需时间).【答案】(1)3sin 156y t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；(2)18小时.【解析】(1)根据表格可得出：3A =， 15B =，12T =.由22T πω==可知6π=ω；当9t =时函数取最大值，即9262k ππϕπ⋅+=+，k Z ∈，可得2k ϕππ=-，又因为[),ϕππ∈-，得到()f t ϕ=，函数()y f t =的近似表达式为3sin 156y t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(2)由题意得航行时3sin 15156t ππ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，即sin 06t ππ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭.因为024t ≤≤，所以[],36t ππππ-∈-.通过正弦函数图象可知，当[][]0,2,36t πππππ-∈⋃，即[][]6,1218,24t ∈⋃时，sin 06t ππ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭.由于停泊时的要求3sin 15126t ππ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭恒成立，“长赐号”集装箱船如果该船希望在同一天内安全进出港，它至多能在港内停留24618-=小时.6．(2021·全国高一课时练习)某地一天的时间(024x x ，单位：时)随气温()oC y 变化的规隼可近似看成正弦函数()sin y A x B =++ωϕ的图象，如图所示.(1)根据图中数据，试求()sin y A x B =++ωϕ(0,0,0)A ωπϕ>>-<<的表达式.(2)该地居民老张因身体不适在家休养，医生建议其外出进行活动时，室外气温不低于o 23C ，根据(1)中模型，老张该日可在哪一时段外出活动，活动时长最长不超过多长时间？【答案】(1)36sin 20124y x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；(2)老张可在11:0019:00外出活动，活动时长最长不超过8小时；【解析】(1)依题意可得2614A B A B +=⎧⎨-+=⎩解得620A B =⎧⎨=⎩，又1532T =-即224T πω==，解得12πω=，所以6sin 2012y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，又函数过点()3,14，所以6sin 3201412πϕ⎛⎫⨯++= ⎪⎝⎭，即sin 14πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以2,42k k Z ππϕπ+=-+∈，解得32,4k k Z πϕπ=-+∈，因为0πϕ-<<，所以34πϕ=-，所以36sin 20124y x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭(2)依题意令36sin 2023124x ππ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，即31sin 1242x ππ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭ 所以3522,61246k x k k Z ππππππ+≤-≤+∈ 解得11241924,k x k k Z +≤≤+∈ 因为024x所以1119x ≤≤，又19118-=即老张可在11:0019:00外出活动，活动时长最长不超过8小时；7．(2021·全国)海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：(1)已知该港口的水深与时刻间的变化满足函数()cos y A x b ωϕ=++，()0,0,0,A b ωπϕπ>>>-<<，画出函数图象，并求出函数解析式.(2)现有一艘货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米，安全条例规定至少要有2.2米的间隙(船底与洋底的距离)，该船何时能进入港口？在港口能呆多久？1.7【答案】(1)作图见解析，2cos 4.562y x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；(2)该船在2：00或14：00点可以进入港口，在港口可以停留2个小时. 【解析】(1)由图象可知 6.5 2.522, 4.5,122A b T πω+=====，6π=ω，则有2cos 4.56y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭又因为3x =时取最大值6.5，可得2πϕ=-，所以2cos 4.562y x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭(2)货船需要的安全水深为4 2.2 6.2+=米，所以当 6.2y ≥时就可以进港.令2cos 4.5 6.262x ππ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，得 1.7cos 622x ππ⎛⎫-≥≈ ⎪⎝⎭得22,6626k x k k Z ππππππ-+≤-≤+∈，即212412k x k +≤≤+，当0k =时，[]2,4x ∈；当1k =时，[]14,16x ∈，所以，该船在2：00或14：00点可以进入港口，在港口可以停留2个小时.。

三角函数的概念(1)三角函数的定义(讲)高一数学同步讲练测(新教材人教A版必修第一册)

专题19三角函数的概念（1）三角函数的定义（讲）本节知识点与题型快速预览知识点课前预习与精讲精析1．任意角的三角函数的定义(1)单位圆在直角坐标系中，我们称以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．(2)三角函数的定义①如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ；x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x(x ≠0)．正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．②我们也可以利用角α终边上任意一点的坐标来定义三角函数．设α是一个任意角，α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2>0)，那么：比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝ y r；比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝ x r；比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝ y x．正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数(trigonometric function)．[知识点拨](1)在任意角的三角函数的定义中，应该明确：α是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集．(2)要明确sin α是一个整体，不是sin 与α的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f (x )表示自变量为x 的函数一样，离开自变量的“sin ”“cos ”“tan ”等是没有意义的．(3)由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，所以三角函数可以看成是自变量为实数的函数．(3)定义域：如表所示三角函数解析式定义域正弦函数y ＝sin x R 余弦函数y ＝cos x R 正切函数y ＝tan x {x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }2．三角函数值的符号sin α、cos α、tan α在各个象限的符号如下：[知识点拨]正弦、余弦和正切函数在各象限的符号可用以下口诀记忆：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．其含义是在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限只有正弦值为正，在第三象限只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正．3．公式一(k∈Z)sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cosα，tan(α＋2kπ)＝tanα．[知识点拨]该组公式说明：终边相同的角的同名三角函数值相等；如果给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的(不存在者除外)，反过来，如果给定一个三角函数值，却有无数多个角与之对应．4．有向线段一条线段有两个端点，如果规定其中一个端点为起点，另一个为终点，这条线段被看做带有方向，于是把它叫做有向线段．表示有向线段时，要先写起点的字母，后写终点的字母．当有向线段与数轴平行时，我们可根据此线段的方向(从起点向终点)与数轴的方向相同或相反，分别把它的长度加上正号或负号，这样所得的数，就是此有向线段的数值，它是一个实数，如图所示，有向线段AB＝2，CD＝1，而有向线段BA＝－2，DC＝－1．5．三角函数线的作法如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于点P(角α的顶点与原点重合，角α的始边与x 轴的非负半轴重合)．过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过点A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点，这样就有sinα＝MP，cosα＝OM，tanα＝AT.单位圆中的有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线．[知识点拨]①三角函数线的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中正弦线和余弦线在单位圆内，正切线在单位圆外．②三角函数线的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向切线与α的终边(或反向延长线)的交点．③三角函数线的正负：三条有向线段凡与x轴正方向或y轴正方向同向的为正值，与x轴正方向或y轴正方向反向的为负值．④三角函数线的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后．⑤三角函数线的意义：三角函数线的方向表示三角函数值的符号；三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值．6．三角函数线的作用(1)用三角函数线可以比较两数的大小．在代数中，我们经常采用作差、作商、利用函数的单调性等方法比较大小，而三角函数线就表示了三角函数值的大小，所以在比较一些三角函数值的大小时，常采用比较三角函数线的方法，更加方便与直观．(2)利用三角函数线可以求角或角的范围，即解简单的三角方程或三角不等式．即由三角函数线得三角函数值，再找角的终边，进而找到角的值或取值范围．1．若点P在角的终边上，且|OP|＝2（点O为坐标原点），则点P的坐标为．【解析】解：点P在角的终边上，且|OP|＝2（点O为坐标原点），设点P的坐标为（a，b），a＜0，b＞0．则a2+b2＝4，且tan，求得a，b＝﹣1（舍去），或a，b＝1，故点P的坐标为（，1），故答案为：（，1）．2．已知角α终边落在直线上，求值：．【解析】解：当角α终边落在直线（x≥0）上，α为锐角，sinα cosα均为正值，且tanα，再结合sin2α+cos2α＝1，求得sinα，cosα，则2．当角α终边落在直线（x＜0）上，α∈（π，），sinα cosα均为负值，且tanα，再结合sin2α+cos2α＝1，求得sinα，cosα，则，故答案为：2或．3．函数的值域为．【解析】解：当角是第一象限中的角时，y＝1+1＝2，当角是第二象限的角时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，当角是第三象限的角时，y＝﹣1+1＝0，当角是第四象限的角时，y＝1﹣1＝0，可知函数的值域是{﹣2，0，2}，故答案为：{﹣2，0，2}．4．若cosα＞0，tanα＜0，则α在第象限．【解析】解：∵cosα＞0，∴α在第一象限或第四象限或x轴正半轴，∵tanα＜0，∴α在第二象限或第四象限，综上，α在第四象限．故答案为：四．5．若，则点P（tanθ，sinθ）位于第象限．【解析】解：∵，∴tanθ＜0，sinθ＞0，故点P（tanθ，sinθ）位于第二象限，故答案为：二．典型题型与解题方法重要考点一：利用三角函数的定义求三角函数值【典型例题】已知角α和角β的终边垂直，且角α终边上一点坐标P（1，2），则tanα＝，cosβ＝．【解析】解：由任意角的三角函数的定义可知tanα2，可得sinα，所以cosβ＝cos（α±）＝±sinα＝±．故答案为：2，±．【题型强化】已知a＜0，角α的终边上有一点P（3a，﹣4a），则sinα＝．【解析】解：由三角函数的定义可知sinα，当a＜0时，sinα．故答案为：．【收官验收】已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（，），则tanα＝，cos2α＝．【解析】解：∵角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（，），则tanα，cos2α，故答案为：；．【名师点睛】(1)已知角α的终边在直线上的问题时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．②注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上任意一点坐标(a，b)，则对应角的正弦值sinα＝ba2＋b2，余弦值cosα＝aa2＋b2，正切值tanα＝ab．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．重要考点二：三角函数在各象限内符号的应用【典型例题】如果sinθ＞0，tanθ＜0，那么角θ所在象限是．【解析】解：根据题意，若sinθ＞0，θ为第一二象限的角，tanθ＜0，θ为第二四象限的角，则sinθ＞0，tanθ＜0，则θ为第二象限的角，故答案为：第二象限【题型强化】若点P（sin2θ，2sinθ）位于第三象限，那么角θ终边落在第象限．【解析】解：根据题意，点P（sin2θ，2sinθ）位于第三象限，则有，即，则有，则角θ终边落在第四象限；故答案为：四【收官验收】已知α是第三象限的角，则sin（cosα）•cos（sinα）的符号是号（填正或负）【解析】解：∵α是第三象限的角，∴﹣1＜cosα＜0，﹣1＜sinα＜0，则sin（cosα）＜0，cos（sinα）＞0，即则sin（cosα）•cos（sinα）＜0，故答案为：负．【名师点睛】(1)能准确判定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键；(2)要熟记三角函数值在各象限的符号规律．重要考点三：分类讨论思想在化简三角函数式中的应用【典型例题】已知扇形的圆心角为θ，其弧长是其半径的2倍，则．【解析】解：圆心角θ2，∵2＜π，∴sinθ＞0，cosθ＜0，tanθ＜0，∴1﹣1﹣1＝﹣1，故答案为：﹣1【题型强化】函数y的值域是．【解析】解：由题意可得：sin x≠0，cos x≠0，tan x≠0，角x的终边不在坐标轴上，当x∈（2kπ，2kπ），k∈Z时，y1+1+1＝3；当x∈（2kπ，2kπ+π），k∈Z时，y1﹣1﹣1＝﹣1；当x∈（2kπ+π，2kπ），k∈Z时，y1﹣1+1＝﹣1；当x∈（2kπ，2kπ+2π），k∈Z时，y1+1﹣1＝﹣1．可得：函数y的值域是{3，﹣1}．故答案为：{3，﹣1}．【收官验收】设α角属于第二象限，且|cos|＝﹣cos，则角属于象限．【解析】解：∵|cos|＝﹣cos，∴cos0，∵α角属于第二象限，∴属于第一或三象限，∴角属于第三象限，故答案为：三【名师点睛】对于多个三角函数符号的判断问题，要进行分类讨论．重要考点四：三角函数定义理解中的误区【典型例题】已知角α的终边经过点P（x，﹣6），且cosα，则x＝．【解析】解：由题意可得cosα，求得x＝﹣8，故答案为：﹣8．【题型强化】已知点P（cosθ，sinθ）在第三象限，则角θ的终边落在第象限．【解析】解：∵点P（cosθ，sinθ）在第三象限，∴cosθ＜0，θ可能在第三象限或者第二象限或x轴的负半轴，sinθ＜0，θ可能在第三象限或者第四象限或y轴的负半轴，所以θ在第三象限．故答案为：三．【收官验收】α，β∈{1，2，3，4，5}，那么使得sinα•cosβ＜0的数对（α，β）有个．【解析】解：∵1在第一象限，2，3在第二象限，3，4在第三象限，5在第四象限，若sinα•cosβ＜0，则若α是第一象限，则β是第三象限，此时为（1，3），（1，4），若α是第二象限，则β是第三象限，此时为（2，3），（2，4），（3，3），（3，4），若α是第三象限，则β是第一或第四象限，此时为（3，1），（4，1），（3，5），（4，5），若α是第四象限，则β是第一或第四象限，此时为（5，1），（5，3），（5，4），综上共有13个，故答案为：13重要考点五：利用三角函数线比较大小【典型例题】设a＝sin24°，b＝tan38°，c＝cos52°，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b【解析】解：a＝sin24°，b＝tan38°，c＝cos52°＝sin28°，根据单位圆的三角函数线：AB＝b，EF＝c，CD＝a，即：tan38°＞sin28°＞sin24°，即a＜c＜b，故选：D．【题型强化】sin4，cos4，tan4的大小关系是（）A．sin4＜tan4＜cos4 B．tan4＜sin4＜cos4C．cos4＜sin4＜tan4 D．sin4＜cos4＜tan4【解析】解：如图作单位圆，∵4，∴tanα＝AT＞0，sinα＝BP＜0，cosα＝OB＜0；故BP＜OB＜AT；故sin4＜cos4＜tan4；故选：D．【收官验收】已知sinθ，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的范围．【解析】解：画出三角函数线如图．由图可知角θ的范围是{θ|2kπθ≤2kπ或2kπx≤2kπ，k∈Z}【名师点睛】利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点：(1)关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线．(2)注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向．重要考点六：利用三角函数线求解不等式【典型例题】利用单位圆和三角函数线，分别求出使下列各组条件成立的x的集合．（1）；（2）tan x．【解析】解：（1）画出图形，如图所示；单位圆中的三角函数线同时满足sin x，cos x的x是，k∈z；即x的取值范围是{x|2kπx≤2kπ，k∈z}．（2）（2）如图①所示，过点（1，）和原点作直线交单位圆于P和P′，则射线OP、OP′就是满足tan x的角x的终边，∵在[0，2π）内，满足条件的∠POx＝π，∠P′Ox；∴满足条件tan x的角x的集合是{x|x kπ，k∈Z}，则满足tan x的角x的集合是{x|kπ≤x kπ，k∈Z}．【题型强化】利用三角函数线比较下列各组三角函数值的大小：（1）sin与sinπ（2）cos与cos（）（3）tan与tanπ【解析】解：（1）sin与sinπ，sin与sinπ对应的三角函数线如图①所示：即sin NB，sinπ＝MA，则有sinπ＞sin；（2）cos与cos（）cos与cos（）对应的三角函数线如图②所示：cos OM，cos（）＝ON，则有cos cos（）；（3）tan与tanπ，tan与tanπ对应的三角函数线如图③所示：即有tan AM，tanπ＝AN，则有tanπ＞tan．【收官验收】利用单位圆，求适合下列条件的角的集合．（1）cosα；（2）sinα．【解析】解：（1）在单位圆内作出cosα的三角函数线如图1所示；在[0，2π）内，cos cos，OA，OB分别为，的终边，由余弦线可知，满足cosα的角的取值集合是{α|α2kπ或α2kπ，k∈Z}；（2）在单位圆内作出sinα的三角函数线如图2所示；在[0，2π）内，sin sin，OA，OB分别为，的终边，由正弦线可知，满足sinα的角的解集为{α|2kπ≤α2kπ，k∈Z}．【名师点睛】利用三角函数线解sinα≥a，sinα≤a(|a|<1)型不等式的具体方法为：①如图所示，画出单位圆；②过y轴上一点M(0，a)作y轴的垂线，交单位圆于P，P′两点，作射线OP，OP′；③写出射线OP与OP′对应的角；④图中阴影部分(包括边界)即满足sinα≤a(|a|<1)的角α的终边所在的范围，空白部分(包括边界)即满足sinα≥a(|a|<1)的角α的终边所在的范围．重要考点七：利用三角函数线证明几何结论【典型例题】当α∈（0，）时，求证：sinα＜α＜tanα．【解析】证明：方法一：由0＜α，可得sinα、α、tanα都是正实数．设f（α）＝α﹣sinα，求导得：f′（α）＝1﹣cosα＞0，因此，f（α）＝α﹣sinα在α∈（0，）上是个增函数，则有f（α）＝α﹣sinα＞f（0）＝0，即sinα＜α．同理，令g（α）＝tanα﹣α，则g′（α）1＞0，∴，g（α）＝tanα﹣α在α∈（0，）上也是个增函数，也有g（α）＝tanα﹣α＞g（0）＝0，即tanα＞α．综上，当α∈（0，）时，sinα＜α＜tanα．方法二：如图，设角a的终边与单位圆相交于点P，单位圆与X轴正半轴的交点为A，过点A作圆的切线交OP的延长线于T，过P作PM⊥OA于M，连结AP，则sinα＝MP，，tanα＝AT，∵S△POA＜S扇形POA＜S△OAT，∴，∴MP AT，∴sinα＜α＜tanα．【题型强化】设α是锐角，利用单位圆证明下列不等式：（1）sinα+cosα＞l；（2）sinα＜α＜tanα．【解析】证明：（1）α为锐角，角α的终边落在第一象限，设角α的终边与单位圆交于点P（x，y）时，过P作PM⊥x轴于点M，作PN⊥Y轴于点N（如图），则sinα＝MP，cosα＝OM＝NP，利用三角形两边之和大于第三边有：sinα+cosα＝MP+OM＞1，得证．（2）∵如图所示：S△OP A＜S扇形OP A＜S△OAE，S△OP A•1•BP，S扇形OP A•1•，S△OAE•1•AE，∴BP AE，∴sinα＜α＜tanα．【收官验收】利用三角函数线证明：若0＜α＜β，则有β﹣α＞sinβ﹣sinα．【解析】证明：如图所示，∠AOQ＝α，∠AOP＝β，单位圆O与x轴正半轴交于点A，与角α，β的终边分别交于点Q，P，过Q，P分别作OA的垂线，设垂足分别为M，N，则由三角函数线的定义可知，sinα＝NQ，sinβ＝MP，过点Q作OH⊥MP，垂足为H，于是MH＝NQ，则HP＝MP﹣MH＝MP﹣NQ＝sinβ﹣sinα．设的长分别为m，p，q，则由图可知HP＜m＝p﹣q＝β﹣α，即β﹣α＞sinβ﹣sinα．【名师点睛】解答利用三角函数线求解不等式这类题目时，一般先根据三角函数值的范围找出角的终边所在的区域，在找角的终边所在的区域时，注意对正弦要找单位圆上的纵坐标，对余弦应在单位圆上找横坐标，根据这些坐标找出单位圆上满足要求的弧，即可找到角的终边所在的区域，再根据角的终边所在的区域写出角的范围．。

高中第一册(下)数学三角函数的最值

一．课题：三角函数的最值二．教学目标：掌握三角函数最值的常见求法，能运用三角函数最值解决一些实际问题．三．教学重点：求三角函数的最值．四．教学过程：（一）主要知识：求三角函数的最值，主要利用正、余弦函数的有界性，一般通过三角变换化为下列基本类型处理：①sin y a x b =+，设sin t x =化为一次函数y at b =+在闭区间[1,1]t ∈-上的最值求之； ②sin cos y a x b x c =++，引入辅助角(cos ϕϕϕ==，化为)y x c ϕ=++求解方法同类型①；③2sin sin y a x b x c =++，设sin t x =，化为二次函数2y at bt c =++在[1,1]t ∈-上的最值求之；④sin cos (sin cos )y a x x b x x c =+±+，设sin cos t x x =±化为二次函数2(1)2a t y bt c -=++±在闭区间[t ∈上的最值求之；⑤tan cot y a x b x =+，设tan t x =化为2at by t+=用∆法求值；当0ab >时，还可用平均值定理求最值； ⑥sin sin a x by c x d+=+根据正弦函数的有界性，即可分析法求最值，还可“不等式”法或“数形结合”．（二）主要方法：①配方法；②化为一个角的三角函数；③数形结合法；④换元法；⑤基本不等式法．（三）例题分析：例1．求函数sin cos()6y x x π=+-的最大值和最小值．解：3sin cos cossin sinsin cos )66226y x x x x x x πππ=++=+=+．当23x k ππ=+，max y =，当223x k ππ=-，min y =()k Z ∈．例2．求函数(sin 2)(cos 2)y x x =--的最大、最小值．解：原函数可化为：sin cos 2(sin cos )4y x x x x =-++，令sin cos (||x x t t +=≤，则21sin cos t x x -=，∴2211324(2)22t y t t -=-+=-+．∵2[t =∉，且函数在[上为减函数，∴当t =时，即2()4x k k Z ππ=+∈时，min 92y =-t =32()4x k k Z ππ=-∈时，max 92y =+例3．求下列各式的最值：（1）已知(0,)x π∈，求函数213sin y θθ=+的最大值；（2）已知(0,)x π∈，求函数2sin sin y x x=+的最小值．解：（1）1123sin sin y θθ=≤=+，当且仅当sin 3θ=时等号成立．故max 12y =．（2）设sin (01)x t t =<≤，则原函数可化为2y t t=+，在(0,1)上为减函数，∴当1t =时，min 3y =．说明：sin sin ay x x=+型三角函数求最值，当sin 0x >，1a >时，不能用均值不等式求最值，适宜用函数在区间内的单调性求解．例4．求函数2cos (0)sin xy x xπ-=<<的最小值．解：原式可化为sin cos 2y x x +=(0)x π<<，引入辅助角ϕ，1tan yϕ=，得)2x ϕ+=，∴sin()x ϕ+=由|1≤，得y ≥y ≤ 又∵1cos 1x -≤≤，∴2cos 0x ->，且sin 0x >，故0y >．∴y ≥max y =例5．《高考A 计划》考点32，智能训练10：已知sin sin 2αβ+=，则cos cos y αβ=+的最大值是．解：∵2223(sin sin )(cos cos )2cos()4y αβαβαβ+++=+-=+，∴252cos()4y αβ=+-，故当cos()1αβ-=时，max 2y =．（四）巩固练习：1．已知函数sin()y A x ωϕ=+在同一周期内，当9x π=时，取得最大值12，当49x π=时，取得最小值12-，则该函数的解析式是（ B ）2．若方程cos 2cos 1x x x k -=+有解，则k ∈[3,1]-．五．课后作业：《高考A 计划》考点32，智能训练6，8，9，12，13，14．。

三角函数的最大值与最小值

求函数的最大值与最小值是高中数学中的重要内容，也是高考中的常见题型，本文对三角函数的求最值问题进行归类研究，供同学们借鉴。

一、化成的形式【例1】在直角三角形中，两锐角为A和B，求的最大值。

【解析】由，得，则当时，有最大值。

【例2】求函数在上的最大值和最小值。

【解析】由，得，得，则当x=0时，；当时，【点评】这类题目解决的思路是把问题化归为的形式，一般而言，，但若附加了x的取值范围，最好的方法是通过图象加以解决。

例2中，令，画出在上的图象（如图1），图1不难看出，即。

应注意此题容易把两个边界的函数值和误认为是最大值和最小值。

二、形如的形式【例3】求函数的最大值和最小值。

【解析】由已知得，即，所以因，即解得，故【点评】上述利用正（余）弦函数的有界性，转化为以函数y为主元的不等式，是解决这类问题的最佳方法。

虽然本题可以使用万能公式，也可以利用圆的参数方程和斜率公式去求解，但都不如上述解法简单易行。

有兴趣的同学不妨试一试其他解法。

三、形如的形式【例4】求函数的最大值和最小值。

【解析】由，得，，，即【点评】此题是利用了分离分母的方法求解的。

若用例3的解法同样可求，有兴趣的同学不妨试一下，并作解法对比。

四、形如的形式【例5】求的最小值。

【解析】设，则。

从图2中可以看到在区间上是减函数（也可以利用函数的单调性定义来证明这一结论）。

当时，【点评】若由，可得最小值是错误的。

这是因为当等号成立时，，即是不可能的。

若把此题改为就可以用不等式法求解了，同学们不妨琢磨一下。

五、利用与之间的关系【例6】求函数的最大值和最小值。

【解析】设，则，且。

由于，故当t=1时，；当时，。

【点评】这三者之间有着相互制约，不可分割的密切联系。

是纽带，三者之间知其一，可求其二。

令换元后依题意可灵活使用配方法、重要不等式、函数的单调性等方法来求函数的最值。

应该注意的是求三角函数的最值方法有多种，像配方法、不等式法等，这里不再赘述，有兴趣的同学不妨自己探讨一下。

高中数学三角函数的最值问题复习讲义苏教版必修1

三角函数的最值问题专题类型一、可化为k x A y ++=)sin(ϕω、k x A y ++=)sin(ϕω型：例1、函数()R x x x x y ∈+⋅+=1cos sin 23cos 212，当y 取得最大值时x 的集合。

点拨：此类问题为x c x x b x a y 22cos cos sin sin +⋅+=类型的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为x n x m y 2cos 2sin +=型，再用辅助角公式化为k x A y ++=)sin(ϕω求解。

解:().47,6,2262,4562sin 21452sin 232cos 2121452sin 432cos 41122sin 2322cos 121max =∈+=∴+=+∴+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+⋅++⋅=y z k k x k x x x x x x x x y ππππππ 例2、已知函数())cos (sin sin 2x x x x f +=，求函数f(x)的最小正周期和最大值。

解：()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-=+=42212sin 2cos 1cos sin 2sin 22πx sn x x x x x x f∴ f(x)的最小正周期为π，最大值为21+。

类型二、换元后化为普通函数：例3、函数3cos 3sin 2+--=x x y 的最小值为 .[分析]2cos 3cos 2+-=x x y ，因含有cosx 的二次式，可换元，令cosx=t ，则,23,112+-=≤≤-t t y t 配方，得41232-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t y , ∴≤≤-,11t 当t=1时,即cosx=1时，0min =y .例4、函数y=5sinx+cos2x 的值域为 .点拨：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一。

()48331612,,221sin 683316812,,22,1sin ,1sin 183345sin 21sin 5sin 2sin 21sin 5max min 222=+⨯-=∈+=∴=-=+⨯-=∈-=-=∴≤≤-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++-=-+=y z k k x x y z k k x x x x x x x x y ππππ 例5、函数1cos 21cos 2-+=x x y 的值域为 . 解：原函数变形为1cos ,1cos 221≤-+=x x y ，可直接得到：3≥y 或.31≤y例6、已知()π,0∈x ，则函数x x y sin 2sin +=的最小值为 .[分析]设()tt y t t x 1,10,sin +=≤<=，在（0，1）上为减函数，当t=1时，3min =y 。

三角函数的最值

三角函数的最值三角函数是经典的数学概念，是微积分的基础。

三角函数的最值是指在特定的条件下，在其定义域内，三角函数的极值点，也就是说，三角函数的极值可能是最大值，也可能是最小值。

三角函数的最值是由它的函数表达式决定的，函数表达式中一般包含两个变量，例如正弦函数y=sin x，x是变量，是三角函数的定义域，取值范围是所有实数，y也是变量，是三角函数的值域，取值范围是[-1，1]。

因此，需要通过函数表达式来求解三角函数的最值。

三角函数的最值可以从下面几个方面来看：1.于定义域：当定义域x发生变化时，三角函数的最值也会发生变化。

例如，正弦函数y=sin x，当x从0到2π时，正弦函数的值从0到1，这是正弦函数的最大值。

2.于定义域中特定点：当定义域中的某个特定点发生变化时，三角函数的最值也会发生变化。

例如，正弦函数y=sin x，当x=π时，正弦函数的值是0，这是正弦函数的最小值。

3.于函数变换：当函数的变换发生变化时，三角函数的最值也会发生变化。

比如，函数变换y=ax+b，此时正弦函数的值有可能发生变化，也有可能不变。

除了上述几个方面，三角函数的最值还受空间结构的影响，以及实际问题的影响。

当函数的空间结构发生变化时，三角函数的最值也会发生变化，例如当函数变换y=ax+b时，正弦函数的值有可能发生变化，也有可能不变。

而在一些实际问题中，三角函数的最值也会发生变化，例如在角度测量中，正弦函数的最大值为π/2，最小值为-π/2，而不是0到2π的最大值和最小值。

三角函数的最值是由它的函数表达式决定的，受到定义域、定义域中某个特定点、函数变换、空间结构以及实际问题的影响。

因此，当求解三角函数的最值时，除了要仔细分析函数本身，还要考虑定义域、定义域中的某个特定点、函数变换、空间结构以及实际问题等因素。

只有全面考虑了这些因素，才能准确高效地求解三角函数的最值。

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