【附答案或解析】2015秋九年级数学上册21.4+解直角三角形课堂导学+北京课改版

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九年级数学上册20_4解直角三角形课后练习1新版北京课改版

解直角三角形一、基础训练1.在Rt △ABC 中,∠C=90°,若32sin =A ,那么tanB 等于______.2.已知直角三角形的两条直角边的比为3:7,则最小角的正弦值是_______.3.在Rt △ABC 中,∠C =90°,tanA=3,AC=10,则S △ABC =_______.4.在Rt △ABC 中, ∠C =90°,tanA=31,则sinB 等于______. 5.在△ABC 中,∠C=90°,AC=BC=1,则tanA=______.6.已知△ABC 中∠A,∠B,∠C 所对的边别离为a,b,c,且a ：b ：c=3：4：5,则sinB=____,tanA____.7.如图所示,两条宽度都为1的纸条,交叉重叠放在一路,且它们的交角为α,则它们重叠部份(图中阴影部份)的面积为( )A.αsin 1B.αcos 1 C.αsin 8.△ABC 中,∠A 、∠B 为锐角,且有|tanB －3|+(2sinA －3)2=0,则△ABC 的形状是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形9.在Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C 的对边别离为a 、b 、c,且c=,∠B=42°6′,求a 、b.10.在Rt △ABC 中,∠C=90°,a=,b=,求c,∠A.11.依照下列条件解直角三角形：(1)AB=10,∠C=90°,∠A=30°；(2)BC=15,∠C=90°,∠B=45°.12.如图所示,在梯形ABCD 中,AD∥BC,AB⊥AC,∠B=45°,AD=2,BC=24,求DC 的长.二、创新应用13.新华中学打算把一块形状近似于直角三角形的废地开辟为生物园,如图所示,∠ACB=90°,BC=60米,∠A=36°.(1)若入口E 在边AB 上,且与A 、B 等距离,请你在图中画出入口E 到C 点的最短线路,并求出最短线路CE 的长(精准到1米).(2)若线段CD 是一条沟渠,而且D 点在边AB 上,已知沟渠造价为50元/米,求沟渠线路应如何设计才能使造价最低?请你画出沟渠线路,并求出最低造价.(参考数据：sin36°≈,cos36°≈,tan36°≈14.“金升实验学校”有一块三角形形状的花园。

北京版数学九年级上册《20.4 解直角三角形》教学设计

北京版数学九年级上册《20.4 解直角三角形》教学设计一. 教材分析北京版数学九年级上册《20.4 解直角三角形》这一节主要让学生掌握解直角三角形的知识和方法。

在学习了锐角三角函数和直角三角形的性质的基础上，本节课进一步引导学生利用勾股定理和锐角三角函数解决实际问题。

教材通过丰富的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了锐角三角函数和直角三角形的性质，对解决实际问题有一定的认识。

但部分学生对勾股定理的理解和应用还不够熟练，解题方法有待提高。

此外，学生的空间想象能力和几何思维能力也有待加强。

三. 教学目标1.让学生掌握解直角三角形的方法，能运用勾股定理和锐角三角函数解决实际问题。

2.提高学生空间想象能力和几何思维能力。

3.培养学生合作交流、积极探究的学习态度。

四. 教学重难点1.重点：掌握解直角三角形的方法，能运用勾股定理和锐角三角函数解决实际问题。

2.难点：对勾股定理的灵活运用和解决复杂实际问题的能力。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究解直角三角形的方法。

2.利用几何画板等软件，直观展示直角三角形的性质，帮助学生理解。

3.小组讨论，培养学生合作交流的能力。

4.通过实例分析，提高学生解决实际问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的几何画板软件。

2.准备实例问题和练习题。

3.准备教学PPT。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个实际问题引入本节课的主题，如：一个长方形游泳池，已知长和宽，如何测量池深？让学生思考如何解决这个问题，从而引出解直角三角形的方法。

2.呈现（10分钟）通过PPT展示直角三角形的性质，引导学生复习已学的锐角三角函数知识。

然后讲解勾股定理及其在解直角三角形中的应用。

3.操练（10分钟）让学生利用几何画板软件，自行构造一个直角三角形，并测量其各边长。

通过实际操作，加深学生对直角三角形性质的理解。

4.巩固（10分钟）解答学生提出的问题，并进行总结。

北京课改版数学九年级上册20.4《解直角三角形》说课稿

北京课改版数学九年级上册20.4《解直角三角形》说课稿一. 教材分析《解直角三角形》是北京课改版数学九年级上册第20章第4节的内容。

这部分内容是在学生已经掌握了锐角三角函数的概念、直角三角形的性质等知识的基础上进行学习的。

本节课主要让学生学会运用锐角三角函数的定义及直角三角形的性质来解决实际问题。

教材通过丰富的实例，引导学生探究解直角三角形的方法，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的空间想象能力和逻辑思维能力，对于锐角三角函数和直角三角形的性质有一定的了解。

但学生在解决实际问题时，往往不能灵活运用所学知识。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的知识基础，引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的解决问题的能力。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握解直角三角形的方法，能运用锐角三角函数的定义及直角三角形的性质解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、交流等活动，培养学生的问题解决能力和合作意识。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探究、积极进取的精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：让学生掌握解直角三角形的方法，能运用锐角三角函数的定义及直角三角形的性质解决实际问题。

2.教学难点：如何引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生解决问题的能力。

五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用问题驱动法、合作学习法和多媒体辅助教学法。

问题驱动法能激发学生的思考，培养学生的解决问题的能力；合作学习法能促进学生之间的交流，提高学生的合作意识；多媒体辅助教学法能丰富教学手段，提高学生的学习兴趣。

六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考如何解决直角三角形的问题，激发学生的学习兴趣。

2.探究：让学生分组讨论，运用锐角三角函数的定义及直角三角形的性质来解决实际问题，培养学生的问题解决能力和合作意识。

北京版数学九年级上册《20.4 解直角三角形》说课稿2

北京版数学九年级上册《20.4 解直角三角形》说课稿2一. 教材分析北京版数学九年级上册《20.4 解直角三角形》这一节的内容是在学生已经掌握了锐角三角函数的基础上进行讲解的。

本节内容主要让学生了解解直角三角形的概念，学会用锐角三角函数来解直角三角形，并且能够运用到实际问题中。

教材通过详细的讲解和例题，使学生能够更好地理解和掌握解直角三角形的方法。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对锐角三角函数有一定的了解。

但是，对于解直角三角形的概念和应用可能还不够清晰。

因此，在教学过程中，我需要注重引导学生从实际问题中抽象出直角三角形的解法，并通过例题和练习来巩固学生对知识的理解和运用。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生了解解直角三角形的概念，掌握用锐角三角函数解直角三角形的方法，并能够运用到实际问题中。

2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流和探究活动，培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探究的精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：使学生掌握解直角三角形的方法，并能够运用到实际问题中。

2.教学难点：理解解直角三角形的概念，并能够灵活运用锐角三角函数来解直角三角形。

五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用自主学习、合作交流和探究活动等教学方法。

同时，利用多媒体课件和实物模型等教学手段，帮助学生更好地理解和掌握知识。

六. 说教学过程1.导入新课：通过展示实际问题，引导学生从实际问题中抽象出直角三角形的解法，激发学生的学习兴趣。

2.自主学习：让学生自主探究解直角三角形的方法，引导学生通过尝试和思考来解决问题。

3.合作交流：学生进行小组讨论和合作交流，共同解决问题，培养学生的团队合作意识。

4.探究活动：引导学生进行探究活动，通过实践和验证来加深学生对知识的理解和运用。

5.巩固练习：通过布置练习题，让学生运用所学知识解决问题，巩固学生对知识的掌握。

九年级数学上册20.4解直角三角形课后练习1北京课改版

20。

4 解直角三角形一、基础训练1。

在Rt △ABC 中,∠C=90°，若32sin =A ,那么tanB 等于______. 2。

已知直角三角形的两条直角边的比为3：7,则最小角的正弦值是_______。

3.在Rt △ABC 中,∠C =90°,tanA=3,AC=10，则S △ABC =_______。

4.在Rt △ABC 中, ∠C =90°,tanA=31,则sinB 等于______。

5.在△ABC 中，∠C=90°,AC=BC=1,则tanA=______。

6.已知△ABC 中∠A,∠B ，∠C 所对的边分别为a,b,c ，且a:b:c=3：4：5，则sinB=____,tanA____。

7.如图所示，两条宽度都为1的纸条,交叉重叠放在一起,且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为（）A 。

αsin 1B 。

αcos 1 C 。

αsin D.1 8。

△ABC 中，∠A 、∠B 为锐角,且有|tanB －3｜+（2sinA －3）2=0,则△ABC 的形状是（ )A.等腰三角形B.直角三角形 C 。

等边三角形 D 。

等腰直角三角形9.在Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c,且c=287。

4,∠B=42°6′,求a 、b 。

10.在Rt △ABC 中,∠C=90°,a=25。

64，b=32。

48，求c ，∠A.11。

根据下列条件解直角三角形：（1)AB=10，∠C=90°,∠A=30°；（2）BC=15,∠C=90°,∠B=45°.12.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB⊥AC,∠B=45°，AD=2，BC=24,求DC的长.二、创新应用13.新华中学打算把一块形状近似于直角三角形的废地开辟为生物园,如图所示，∠ACB=90°,BC=60米，∠A=36°.（1）若入口E在边AB上，且与A、B等距离，请你在图中画出入口E到C点的最短路线，并求出最短路线CE的长(精确到1米)。

京改版数学九年级上册20.4解直角三角形教学设计

3.教学步骤：
a.介绍解直角三角形的原理：利用勾股定理、正弦、余弦、正切等三角函数求解直角三角形。
b.示范解题过程：以旗杆高度问题为例，演示如何运用解直角三角形的方法求解。
c.讲解注意事项：在解题过程中，注意单位换算、精确度等问题。
d.学生跟随教师解题，巩固所学知识。
（三）学生小组讨论
1.教学活动设计：组织学生进行小组讨论，共同解决实际问题。
d.评价与反馈：教师对学生的解题情况进行评价，给予鼓励和指导。
（五）总结归纳
1.教学活动设计：通过总结归纳，帮助学生梳理所学知识，形成知识体系。
2.教学方法：采用归纳法、总结法，提高学生的概括能力和思维能力。
3.教学步骤：
a.回顾本节课所学内容：解直角三角形的原理、方法及其在实际问题中的应用。
b.学生分享学习心得：让学生谈谈自己在学习解直角三角形过程中的收获和困惑。
3.精讲精练，突破难点：针对教学难点，设计具有针对性的例题和练习题，通过精讲精练，帮助学生巩固知识，形成解题策略。
4.分层教学，关注个体差异：针对不同层次的学生，设计难易程度不同的题目，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
5.评价与反思：在教学过程中，注重对学生的评价与反馈，引导学生进行自我反思，提高学生的自我认知能力。
4.通过对解直角三角形的过程与方法的学习，培养学生分析问题、解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学学科的兴趣，培养学生热爱数学的情感。
2.培养学生勇于探索、积极思考、克服困难的意志品质，增强学生的自信心。
3.通过解直角三角形的学习，让学生体会数学在生活中的重要性，认识到数学与现实生活的紧密联系。
b.学生思考并回答：旗杆与地面形成一个直角三角形，我们可以通过测量旗杆底部到观察点的距离和旗杆顶部到观察点的距离，再运用解直角三角形的原理来求解旗杆的高度。

沪教版九年级(上)数学秋季课程第4讲解直角三角形(解析版)

解直角三角形是九年级上学期第二章第二节的内容，通过本节的学习，需要掌握直角三角形中，除直角外其余五个元素之间的关系，并熟练运用锐角三角比的意义解直角三角形，以及解直角三角形的相关应用．重点在于理解仰角、俯角、方向角、坡度、坡角等概念，并能利用其解决实际问题；难点在于，若一个三角形不是直角三角形，要有意识把它化归为解直角三角形的问题．1、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．在t R ABC∆中，如果=90C∠︒，那么它的三条边和两个锐角之间有以下的关系：（1）三边之间的关系：222a b c+=（2）锐角之间的关系：90A B∠+∠=︒（3）边角之间的关系：sin cosaA Bc==，cos sinbA Bc==tan cotaA Bb==，cot tanbA Ba==解直角三角形内容分析知识结构模块一：解直角三角形知识精讲2 / 26【例1】ABC ∆中，90C ∠=︒，已知AB = 6.4，40B ∠=︒，则A ∠=______，AC =______，BC =______．（sin400.64︒≈，sin500.77︒≈，边长精确到0.1）【答案】50︒，4.1，4.9．【解析】9050A B ∠=︒-∠=︒，根据锐角三角形比的定义，sin ACB AB=，即得sin40 6.40.64 4.096 4.1AC AB =⋅︒≈⨯=≈，同理sin50 4.9BC AB =⋅︒≈．【总结】考查直角三角形中锐角三角比的定义和应用．【例2】若菱形的周长为8，相邻两内角之比为3 : 1，则菱形的高是______．【答案】2．【解析】菱形周长为8，则其边长为2，相邻两内角之比为3 : 1，则较小内角为1180454︒⨯=︒，则菱形高为2sin 452︒=．【总结】考查菱形性质和相关锐角三角比的应用．【例3】如图，OAB ∆中，OA = OB ，125AOB ∠=︒．已知点A 的坐标是（4，0），则点B的坐标是____________．（用锐角三角比表示）【答案】()4cos554sin55-︒︒，．【解析】过点B 作BM x ⊥轴交x 轴于点M ，则有18055BOM AOB ∠=︒-∠=︒，由4BO AO ==，可得cos55MO BO =⋅︒，sin55BM BO =⋅︒，点B 在第二象限，可知其坐标即为()4cos554sin55-︒︒，．【总结】考查平面直角坐标系中点坐标与线段长度的转换，结合锐角三角比相关知识解题．【例4】如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB = AC ，D 为边AC 的中点，DE BC ⊥于点E ，连接BD ，则tan DBC ∠的值为（）例题解析A BOxyMAB CDEOA ．13B ．21-C ．23-D ．14【答案】A【解析】设AB AC a ==，90BAC ∠=︒，可得2BC a =，45C ∠=︒，D 为AC 中点，则有1122CD AC a ==，DE BC ⊥，可得2sin 4DE CE CD C a ==⋅=，则324BE BC CE a =-=，214tan 3324aDE DBC BE a ∠===．【总结】考查等腰直角三角形中的锐角三角比的应用．【例5】如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是边AD 的中点，若AC =10，DC =25，则BO =______，EBD ∠的度数约为____°____＇（参考数据：1tan 2634'2︒≈）．【答案】5，18，26．【解析】根据矩形性质，10BD AC ==，152BO BD ==，根据勾股定理，2245AB BD AB =-=，E 是AD 中点，则25AE AB ==，251tan 245AB ADB AD ∠===，则有2634'ADB ∠=︒，45AEB ∠=︒，即得：452634'1826'EBD AEB ADB ∠=∠-∠=︒-︒=︒．【总结】本题一方面考查矩形性质，另一方面考查锐角三角比的应用．【例6】在锐角ABC ∆中，AB = 14，BC = 14，84ABC S ∆=，求cot C 的值．【答案】7136-．【解析】作AD BC ⊥交BC 于D ，则有12ABC S AD BC ∆=⋅，得：22841214ABC S AD BC ∆⨯===，根据勾股定理可得22213BD AB AD =-=，则14213713cot 126CD C AD --===．【总结】解三角形，通过作高把线段放到直角三角形中即可．【例7】如图，ABC ∆中，23AB =，AC = 2，边BC 上的高3AD =，求ABC S ∆和BAC ∠的大小．【答案】23ABC S ∆=，90BAC ∠=︒．【解析】AD BC ⊥，根据锐角三角比的定义，则有AB CDEABCD4 / 2631sin 223AD B AB ===，3sin 2AD C AC ==，可得：30B ∠=︒，60C ∠=︒，可知90BAC ∠=︒，所以1232ABC S AB AC ∆=⋅=．【总结】解直角三角形的应用，直接采用特殊角锐角三角比，也可直接用勾股定理解题．【例8】如图，在锐角ABC ∆，4sin 5B =，tan 2C =，且40ABC S ∆=，求BC 的长．【答案】10【解析】作AD BC ⊥交BC 于点D ，由4sin 5B =，可设4AD a =，则有5AB a =，根据勾股定理得：223BD AB AD a =-=，因为tan 2C =，则2CD a =，5BC BD CD a =+=，11454022ABC S AD BC a a ∆=⋅=⋅⋅=，即24a =，解得：2a =，即得：510BC a ==．【总结】考查锐角三角比的应用，通过作高把线段放到直角三角形中即可．【例9】如图，ABC ∆中，30B ∠=︒，45C ∠=︒，22AB AC -=-，求BC 的长．【答案】31+．【解析】过点A 作AD BC ⊥交BC 于D ，设AD a =，由30B ∠=︒，45C ∠=︒，可得：2AB a =，3BD a =，CD a =，2AC a =．∵22AB AC -=-，∴2222a a -=-，解得：1a =，由此可得331BC BD CD a a =+=+=+．【总结】考查锐角三角比的应用，通过作高把线段放到直角三角形中，把题目中的线段用一条线段表示出来即可．【例10】如图，先将斜边AB 长6 cm ，30A ∠=︒的直角三角板ABC 绕点C 顺时针方向旋转 90°至''A B C ∆位置，再沿CB 向左平移，使点B 落在原三角板ABC 位置的斜边AB 上，则平移的距离为______．【答案】()33cm -． ''B 【解析】30A ∠=︒，得'sin303BC AB cm B C =⋅︒==，cos3033AC AB cm =⋅︒=，则有'333AB =-，得()()'''3tan 333333B B AB A cm =⋅=-⨯=-．ABCAB CDABCD【总结】考查锐角三角比的应用，通过作高把线段放到直角三角形中，把题目中的已知线段用一条线段表示出来即可．【例11】如图，正方形ABCD 中，E 为边BC 上一点，将正方形折叠，使A 点与E 点重合，折痕为MN ，若1tan 3AEN ∠=，DC + CE =10．（1）求ANE ∆的面积；（2）求sin ENB ∠的值．【答案】（1）103；（2）35．【解析】（1）设正方形边长为a ，由1tan 3AEN ∠=，可得：13BE a =，则有23CE a =，CD a =，DC + CE =10，即2103a a +=，解得：6a =，则123BE a ==，设AN m =，根据翻折的性质，则有EN AN m ==，6BN m =-，在Rt BNE ∆中用勾股定理，则有222BN BE NE +=，即()22262m m -+=，解得：103m =，11102223ANE S BE AN m ∆=⋅=⨯=；（2）由（1）可得2BE =，103NE =，则23sin 1053BE ENB NE ∠===．【总结】解直角三角形的应用，注意充分利用翻折的性质和其中的相关等量关系．【例12】如图，四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒，120B ∠=︒，AB = 4，BC = 2，求四边形的面积．【答案】2633．【解析】延长AB 、DC 交于点E ，90A C ∠=∠=︒，120B ∠=︒，60D CBE ∴∠=∠=︒．由BC = 2，得tan 602324CE BC BE BC =︒⋅===，．由AB = 4，即得8AE AB BE =+=，则有83cot 603AD AE =⋅︒=． A BC D EN MABCD E6 / 26即得：1118312638223222323ABCD ADE BCE S S S AD AE BC CE ∆∆=-=⋅-⋅=⨯⨯-⨯⨯=．【总结】利用割补法求面积，关键在于对特殊角的利用，不能把特殊角分开，延长即可．【例13】如图，在四边形ABCD 中，已知AD = AB = BC ，连接AC ，且30ACD ∠=︒，23tan 3BAC ∠=，CD = 3，求AC 的长．【答案】635或63．【解析】过点B 作BE AC ⊥交AC 于E ，过点D 作DF AC ⊥交AC 于F ，则有12AE CE AC ==，设AE a =，由23tan 3BAC ∠=，可得：233BE a =，根据勾股定理即可得22213AB BE AE a BC AD =+===，由30ACD ∠=︒，CD = 3，可得3sin302DF CD =⋅︒=，33cos302CF CD =⋅︒=，在Rt ADF ∆中用勾股定理，则有222AF DF AD +=，即222333212223a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，整理，得：25183270a a -+=，解得：1335a =，233a =，均符合题意，即得6325AC a ==或63AC =．【总结】考查锐角三角比的应用，通过作高把线段放到直角三角形中，把题目中的线段用一条线段表示出来即可．【例14】小智在学习特殊角的三角比时发现，将如图所示的矩形纸片ABCD 沿过B 点的直线折叠，使点A 落在BC 上的点E 处，折痕BM ．还原后，再沿过点E 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点F 处，折痕EN ．利用这种方法，可以求出tan67.5︒的值是21+，试证明之．【答案】略．【解析】证明：第一次折叠，由翻折的性质，得：AB BE =，有45AEB ∠=︒，第二次折叠，由翻折的性质，得：AE EF =，有2AEB AFB ∠=∠，则有22.5AFB ∠=︒，67.5FAB ∠=︒，设AB a =，则有BE a =，2AE a EF ==，则有()21BF a =+，A BCDEFNM AB CD E F仰角视线水平线俯角铅垂线()21tan 67.5tan 21a BFFAB ABa+︒=∠===+．【总结】考查翻折性质与特殊角锐角三角比的结合运用，注意线段长度的合理转换．【例15】在平面直角坐标系内，放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示）．点1B 在y 轴上，点1C 、1E 、2E 、2C 、3E 、4E 、3C 在x 轴上．已知正方形1111A B C D 的边长为1， 1160B C O ∠=︒，11B C //22B C //33B C ，则点3A 到x 轴的距离是（）A ．3318+ B ．3118+ C ．336+ D ．316+ 【答案】D【解析】由1160B C O ∠=︒，11B C //22B C //33B C ，可得： 22233460B C E B C E ∠=∠=︒，由11122290B C D B C D ∠=∠=︒，得：11122360C D E C D E ∠=∠=︒， 1111221cos602D E C D B E =⋅︒==则2222223sin 603B E BC CD ===︒，2322343cos606D E C D B E =⋅︒==，由此可得3A 到x 轴的距离即为()3433311cot 601366B E ⎛⎫+⋅+︒=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故选D ．【总结】考查特殊角锐角三角比的应用，注意进行边角转化．1、仰角与俯角在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角．如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角．模块二：解直角三角形的应用知识精讲x yO8 / 26北北偏东30°南偏西45°北偏西70°南偏东50°30° 70° 45° 50°hl2、方向角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角．如图：北偏东30°，北偏西70°，南偏东50°，南偏西45°．3、坡度（坡比）、坡角在修路、挖河、开渠等设计图纸上，都需要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度h 和水平宽度l 的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即h i l=．坡度通常写成1 : m 的形式，如1:1.5i =．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α．坡度i 与坡角α之间的关系：tan hi l α==．【例16】如图，为测量一棵与地面垂直的树OA 的高度，在距离树的底端30米的B 处，测得树顶A 的仰角ABO ∠为α，则树OA 的高度为（）A ．30tan αB ．30sin αC ．30tan αD ．30cos α【答案】C【解析】转化为直角三角形中求长度的问题，根据锐角三角比定义可得tan OAOB α=，即得30tan OA α=，故选C ．【总结】考查锐角三角比在实际问题中的应用．例题解析A BO【例17】如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A 处．如果海轮沿着正南方向航行到灯塔的正东方向，那么海轮航行的距离AB 的长是（）海里A ．2B ．2sin 55°C ．2cos 55°D ．2tan 55°【答案】C【解析】转化为直角三角形中求长度的问题，根据锐角三角比定义可得cos ABPAB PA ∠=，即得2cos55OA =︒，故选C ．【总结】考查锐角三角比在实际问题中的应用．【例18】如图所示，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18厘米，深为30厘米，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A ，斜坡的起始点为C ，现设计斜坡BC 的坡度i = 1 : 5，那么AC 的长度是______厘米．【答案】210【解析】依题意可得31854BD =⨯=， 23060AD =⨯=，根据坡度的含义，可得：270BDCD i==，由此可得210AC CD AD cm =-=．【总结】考查坡度的实际应用和理解．【例19】如图，斜面AC 的坡度为1 : 2，AC =35米，坡顶有一旗杆BC ，旗杆顶端B 点与 A 点有一条彩带相连，若AB = 10米，则旗杆BC 的高度为（）米A ．5B ．6C ．8D ．3+5【答案】A【解析】斜坡坡度为1 : 2，即12CD AD =，设CD a =，则有2AD a =，根据勾股定理可得535AC a ==，解得3a =，即得：3CD =，6AD =，根据勾股定理可得228BD AB AD =-=，则5BC BD CD m =-=．【总结】考查坡度的实际应用和理解，结合勾股定理进行实际计算．C ABDABP 北ABC D10 / 26【例20】如图，要在宽为22米的大道AB 两边安装路灯，路灯的灯臂CD 长2米，且与灯柱BC 成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO 与灯臂CD 垂直．当灯罩的轴线DO 通过公路路面中心线时照明效果最佳．此时，路灯的灯柱BC 的高度应该设计为（）米 A ．1122- B ．1123-C ．11322-D ．1134-【答案】D【解析】延长OD 、DC 交于点E ．90B ODC ∠=∠=︒，120BCD ∠=︒， 60DOB DCE ∴∠=∠=︒，由BC = 2，tan 602324DE DC CE DC ∴=︒⋅===，．依题意可知：O B =11，即得：tan 60113BE OB =⋅︒=，则()1134BC BE CE m =-=-．【总结】考查利用锐角三角比求线段长度，关键在于对特殊角的利用，不能把特殊角分开，延长即可．【例21】如图，为测得一栋大厦CD 的高度，一人先在附近一楼房的底端A 点观测大厦顶端C 处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B 处观测大厦底部D 处的俯角是30°，已知楼房高AB 约是45 m ，根据以上观测数据可求大厦的高CD 是______m ．【答案】135．【解析】90BAD ADC ∠=∠=︒，30ADB ∠=︒，60CAD ∠=︒，则有tan 60453AD AB =⋅︒=，tan60135CD AD m =⋅︒=．【总结】考查俯角仰角与特殊角锐角三角比的结合应用．【例22】如图，小智在大楼30米高（即PH = 30米）的A BCDABCH PQABC DO E窗口P 处进行观测，测得山坡上A 处的俯角为15°，山脚B 处的俯角为60°．已知山坡的坡度为1:3，点P 、H 、B 、C 、 A 在同一平面上，点H 、B 、C 在同一直线上，且PH HC ⊥．则山坡上A 、B 两点间的距离为______．【答案】203m ．【解析】依题意有60PBH ∠=︒，15QPA ∠=︒，山坡坡度为1:3，则有30ABC ∠=︒，由此可得:9030BPH PBH ∠=︒-∠=︒，90ABP ∠=︒， 9045APB BPH QPA ∠=︒-∠-∠=︒，则有203sin 60PHBP ==︒，203AB PB m ==．【总结】考查俯角仰角与特殊角锐角三角比的结合应用．【例23】某单位拟建造地下停车库，设计师提供了车库入口设计示意图（如图），按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你计算图中CE 的长．（参考数据：sin180.309︒≈，cos180.951︒≈，tan180.325︒≈，cot18 3.078︒≈，结果精确到0.1 m ）【答案】2.3m ．【解析】依题意得18BAD ∠=︒，tan 9tan18BD AB BAD =⋅∠=︒， 9tan180.5CD BD BD =-=︒-， 9072BDA BAD ∠=︒-∠=︒，则有9018DCE BDA ∠=︒-∠=︒，由此可得()cos 9tan180.5cos189sin180.5cos18CE CD DCE =⋅∠=︒-⨯︒=︒-︒由上述数据，即可得90.3090.50.951 2.3055 2.3CE m ≈⨯-⨯=≈．【总结】考查锐角三角比在解决实际问题中的具体应用，注意题目要求，考虑需要涉及到哪些相关的锐角三角比．ABC D E9 m0.5 m12 / 26【例24】小方在课外活动中观察吊车的工作过程，绘制了如图所示的平面图形．已知吊车吊臂的支点O 距离地面高'2OO =米．当吊臂顶端由点A 抬升至点'A （吊臂长度不变）时，地面B 处的重物（高度不计）被吊至'B 处，紧绷着的吊缆''A B AB =．AB 垂直地面'O B 于点B ，直线''A B 垂直地面'O B 于点C ，吊臂长度'10OA OA ==米，且3cos 5A =，1sin '2A =．（1）求重物在水平方向移动的距离BC ；（2）求重物在竖直方向提升的高度'B C ．【答案】（1）3m ；（2）()536m -．【解析】（1）如图，则有4sin 1085OD OA A m =⋅=⨯=， ''1sin 1052OF OA A m =⋅=⨯=，则3BC FD OD OF m ==-=；（2）由（1）可得：cos 6AD OA A m =⋅=，则'''8AB AD DB AD OO m A B =+=+==， ''2253A F OA OF m =-=，则()''''5328536B C A F FC A B m =+-=+-=-．【总结】考查锐角三角比在解决实际问题中的具体应用，注意题目要求，考虑需要涉及到哪些相关的锐角三角比，注意看清楚题目提供的条件．【例25】如图，是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB DB ⊥，坡面AC 的坡角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC 的坡度为3:3i =．若新坡角下需留3米宽的人行道，问离原坡角（A 点处）10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈）【答案】需要拆除．【解析】依题意有45CAB ∠=︒，则10AB BC ==，DC 的坡度为3:3i =，即得：103CDBD i==，由此可得：10310AD BD AB =-=-，则点A 距人行道外侧距离至少为103103103710.3210-+=-≈>，由此可知建筑物需要拆除．【总结】考查锐角三角比在解决实际问题中的具体应用．【例26】数学兴趣小组准备利用所学的知识测量公路旁某广告牌的高度．如图所示，先在水平面上点A 处测得对广告牌上沿点C 的仰角为30°，然后沿AH 方向前进10米至点A BCD FDA BA ＇B ＇ O ＇OCC DG 广告牌B 处，测得对广告牌下沿点D 的仰角为60°．已知矩形广告牌垂直于地面的一边CD高2米．求广告牌的高度GH （结果保留根号）．【答案】()531m -．【解析】作DE BH ⊥交BH 于E ，设BE a =，则有tan 3DE BE DBE a =⋅∠=， 32CE CD DE a =+=+，由30CAE ∠=︒，得332310AE CE a AB BE a ==+=+=+，解得：53a =-，由此可得()()323532531GH CE a m ==+=⨯-+=-．【总结】考查锐角三角比在解决实际问题中的具体应用，注意线段长度的转化和等量关系．【例27】如图，轮船甲位于码头O 的正西方向A 处，轮船乙位于码头O 的正北方向C 处，测得45CAO ∠=︒．轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45 km /h 和36 km /h ．经过0.1 h ，轮船甲行驶至B 处，轮船乙行驶至D 处，测得58DBO ∠=︒．此时B 处距离码头O 有多远？（参考数据：sin580.85︒≈，cos580.53︒≈，tan58 1.60︒≈）【答案】13.5km ．【解析】依题意可得：450.1 4.5AB km =⨯=， 360.1 3.6CD km =⨯=，由45CAO ∠=︒，可知 4.5AO CO BO ==+，8.1DO CO CD BO =+=+，58DBO ∠=︒，得tan tan58DODBO BO∠==︒，即8.1 1.60BO BO+≈，解得：13.5BO km =．【总结】考查锐角三角比在解决实际问题中的具体应用，注意线段长度的转化和等量关系．【例28】如图，MN 表示一段笔直的高架道路，线段AB 表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A 到MN 的距离为15米，BA 的延长线与MN 相交于点D ，且30BDN ∠=︒，假设汽车在高架道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．A BCD O北东14 / 26（1）过点A 作MN 的垂线，垂足为H ．如果汽车沿着从M 到N 的方向在MN 上行驶，当汽车到达点P 处时，噪音开始影响这一排居民楼，那么此时汽车与点H 的距离为多少米？（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板．当汽车行驶到点Q 时，它与这一排居民楼的距离QC 为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（结果精确到1米，参考数据：3 1.7≈）【答案】（1）36；（2）89．【解析】（1）39AP =，根据勾股定理可得：2222391536PH AP AH m =-=-=；（2）30BDN ∠=︒，得278DQ QC m ==， cot 30153DH AH m =⋅︒=，由此可得隔音板长度：361537811415389PQ PH DH DQ m =-+=-+=-≈．【总结】考查锐角三角比在解决实际问题中的具体应用，注意将题目中的语言转化为数学符号语言．【例29】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．据气象部门观测，某沿海城市A 正南方向相距220 km 的B 处有一台风中心，中心最大风力为12级，每远离台风中心20 km ，风力就会减弱一级．现台风中心正以15 km /h 的速度沿北偏东30°方向移动，如图所示．若城市所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响．（1）设台风中心风力不变，该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由．（2）如该城市受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响时的最大风力为几级？【答案】（1）会受影响；（2）415h ；（3）6.5级．【解析】（1）作AD BC ⊥交BC 于D ，则有sin 110AD AB B km =⋅=，不受台风影响的最小距离为()12420160km -⨯=，因为110160<，故该城市会受到台风影响；（2）设在E 点处该城市开始受到台风影响，则有160AE km =，根据勾股定理可得：223015DE AE AD =-=，则受影响时间为2301515415h ⨯÷=；（3）台风中心到达D 点处距该城市最近，受到最大风力影响，受到的最大风力即为1211020 6.5-÷=级．【总结】考查锐角三角比在解决实际问题中的具体应用，关键是找准题目要求的临界位置结AB CDP NMQH AB CD E合题意进行求解．【例30】某水库大坝的横截面积是如图所示的四边形ABCD ，其中AB // CD ．瞭望台PC 正前方水面上有两艘渔船M 、N ，观察员在瞭望台顶端P 处观测渔船M 的俯角31α=︒，观测渔船N 的俯角45β=︒．已知MN 所在直线与PC 所在直线垂直，垂足为E ，PE 长为30米．（1）求两渔船M 、N 之间的距离（结果精确到1米）（2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD 的坡度i = 1 : 0.25．为了提高大坝的防洪能力，某施工队在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝顶加宽3米，背水坡FH 的坡度为i = 1 : 1.5．施工12天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的1.5倍，结果比原计划提前20天完成加固任务．施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？（参考数据：tan310.60︒≈，sin310.52︒≈）【答案】（1）20m ；（2）600．【解析】（1）3050tan 0.60PE ME m α=≈=，30tan PENE m β==，由此可得：20MN ME NE m =-=；（2）作DG AB ⊥交AB 于G ，作 FQ BH ⊥交BH 于Q ．依题意有：24DG FQ ==，AD 坡度i = 1 : 0.25，即得：16DGAG i ==，FH 坡度i = 1 : 1.5，即得：236FQHQ i ==，AB C D E F NM P JHG Q16 / 26由此可得336633AH GQ HQ AG =+-=+-=，则填筑土石方总量为()()11005024333432002DG DF AH ⋅+⨯=⨯⨯+=方，设原计划每天填筑x 方，可列方程4320012 1.5122043200x x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，解得：600x =，经检验，600x =是原方程的根，即原计划每天填筑土石方600立方米．【总结】考查实际问题的应用，主要是对题目要求进行准确分析．【习题1】如图，菱形ABCD 的边长为15，3sin 5BAC ∠=，则对角线AC 的长为______．【答案】24．【解析】连结BD 交AC 于点O ，则有AC BD ⊥，2AC AO =，由3sin 5BAC ∠=，即35BO AB =，得9BO =，勾股定理得2212AO AO BO =-=，则224AC AO ==．【总结】考查菱形的性质结合锐角三角比基础知识的应用．【习题2】有一个相框的侧面抽象为如图所示的几何图形，已知BC = BD = 15 cm ， 40CBD ∠=︒，则点B 到CD 的距离为______cm ．（参考数据：sin200.342︒≈，cos200.940︒≈，sin400.642︒≈，cos400.766︒≈，结果精确到0.1 cm ）【答案】14.1．【解析】作BE CD ⊥，则有1202CBE CBD ∠=∠=︒，故B 到CD 的距离cos 150.94014.1BE BC CBE cm =⋅∠≈⨯=．【总结】考查锐角三角比和等腰三角形性质的结合应用．随堂检测AB CDOABC DEABCDE F G 【习题3】如图，为了测得电视塔的高度AB ，在D 处用高为1米的测角仪CD 测得电视塔顶端A 的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F 处，又测得电视塔顶端A 的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB 为（）A ．503米B ．51米C ．()503+1米D ．101米【答案】C【解析】60AEG ∠=︒，得：tan 603AG EG EG =⋅︒=，30ACG ∠=︒，则有cot 3033CG AG AG EG =⋅︒==，则有2100CE CG EG EG =-==，得：50EG =，3503AG EG ==，()5031AB AG BG m =+=+．故选C ．【总结】考查特殊角锐角三角比的实际应用，相应线段长度转化．【习题4】如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，3sin 5B =．D 是BC 上一点，已知45ADC ∠=︒，DC = 6，求tan BAD ∠的值．【答案】17．【解析】过点D 作DE AB ⊥交AB 于点E ．由90C ∠=︒，3sin 5B =，可设3AC a =，则5AB a =，根据勾股定理可得224BC AB AC a =-=，由45ADC ∠=︒，可得3CD AC a ==，则BD BC CD a =-=，由90C DEB B B ∠=∠=︒∠=∠，，即得ACB ∆∽DEB ∆，则有55AC BC AB a DE BE BD a ====，由此可得35DE a =，45BE a =，则215AE AB BE a =-=，即得315tan 2175aDE BAD AE a ∠===．【总结】解直角三角形，通过作高把线段放到直角三角形中再通过相应的线段比例关系把三角形中的相关线段表示出来即可．【习题5】如图，ABC ∆和ADE ∆都是等边三角形，AB = 2AD ，已知45BAD ∠=︒，AC 与DE 相交于点F ，ABC ∆的面积为3，求阴影部分的面积．【答案】334-【解析】作CG AB ⊥交AB 于点G ，作FH AE ⊥交AE 于点H ，则有6045E B EAF BAD ∠=∠=︒∠=∠=︒，．设ABC ∆边长为a ，则有1322BG a CG a ==，，ABCD EA BCDE FG H18 / 261133222ABC S CG AB a a ∆=⋅=⋅⋅=，即得24a =，解得：2a =，即22AB AD ==，得ADE ∆边长为1，则有1AE =，设FH h =，则有3cot 603EH EF h =⋅︒=，AH FH h ==，即得3113AE AH FH h ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得332h -=，13324S AE FH -=⋅=阴．【总结】考查特殊角的锐角三角比与特殊图形的结合应用．【习题6】如图，在四边形ABCD 中，45A C ∠=∠=︒，105ADB ABC ∠=∠=︒．（1）若AD = 2，求AB ；（2）若232AB CD +=+，求AB ．【答案】（1）62+；（2）31+．【解析】（1）作DE AB ⊥交AB 于点E ，由45A ∠=︒，可得：cos452AE AD DE =⋅︒==，由105ADB ∠=︒，可得：30ABD ∠=︒，即得cot 306BE DE =⋅︒=，则62AB =+；（2）作BF CD ⊥交CD 于点F ，由（1）可得()31AB DE =+，设DE a =，则有2BD a =，由45A C ∠=∠=︒，105ADB ABC ∠=∠=︒，可得60BDC ∠=︒，则有cos60DF BD a =⋅︒=，3BF a CF ==，即得()31CD a AB =+=，由232AB CD +=+，即可得31AB =+．【总结】考查特殊角锐角三角比的应用，通过作高解直角三角形即可．【习题7】2015年4月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级地震，震源深度为20千米．中国救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方C 处有生命迹象．在废墟一侧某面上选两探测点A 、B ，点A 、B 相距2米，探测线与该面的夹角分别是30°和45°（如图），试确定生命所在的点C 与探测面的距离（参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈）【答案】2.732m ．【解析】作CD AB ⊥交直线AB 于点D ．由题意可得：30CAD ∠=︒，45CBD ∠=︒，则有cot 303AD CD CD =⋅︒=，BD CD =，即()312AB AD BD CD =-=-=，AB CDEFABC30°45° DEDCB A解得：31 2.732CD m =+≈【总结】考查特殊角锐角三角比的应用，通过作高解直角三角形即可．【习题8】利用几何图形，求sin 18°的值．【答案】514-．【解析】如图，ABC ∆为“黄金三角形”，AD 、BE 分别为其顶角和一底角角平分线，则有18BAD ∠=︒，12BD BC =，根据相似可证得“黄金三角形中”512BC AC -=，则有51sin184BD AC -︒==．【总结】考查“黄金三角形”的性质的应用．【习题9】如图，港口B 位于港口O 正西方向120 km 处，小岛C 位于港口O 北偏西60° 方向上．一艘游船从港口O 出发，沿OA 方向（北偏西30°）以v km /h 的速度驶离港口O ，同时一艘快艇从港口B 出发，沿北偏东30°的方向以60 km /h 的速度驶向小岛C ，在小岛C 用1 h 加装补给物资后，立即按原来的速度给游船送去．（1）快艇从港口B 到小岛C 需要多长时间？（2）若快艇从小岛C 到与游船相遇恰好用时1 h ，求v 的值及相遇处与港口O 的距离．【答案】（1）1h ；（2）40v =，相遇处与港口O 的距离120km ．【解析】（1）依题意可得60CBO ∠=︒，30BOC ∠=︒，则有90ACB ∠=︒，此时sin 60BC OB BOC km =⋅∠=，则快艇到小岛的时间为60601h ÷=；（2）延长BC 交AO 于点D ．由题意可知60CD BC ==，则有AB BO =，由30AOC ∠=︒，可得60BOD ∠=︒，即BOD ∆为等边三角形，相遇点D 与港口距离120OD OB km ==，船速()12011140/v km h =÷++=． A B CO北北东D20 / 26【总结】考查方位角的应用，计算速度时注意不要遗漏时间．【习题10】如图所示，已知边长为2的正三角形ABC 沿直线l 顺时针滚动．（1）当ABC ∆滚动一周到111A B C ∆的位置时，A 点所运动的路程约为______；（精确到0.1）（2）设ABC ∆滚动240°，C 点的位置为'C ，当ABC ∆滚动480°时，A 点的位置再'A ，请你利用正切的两角和公式()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-，求出''CAC CAA ∠+∠的度数．【答案】（1）8.4；（2）30︒．【解析】（1）A 点转过的圆心角度数为1202240︒⨯=︒，由此可得运动路程为：240288 3.148.418033ππ⨯⨯=≈≈；（2）作'C D AC ⊥交直线AC 于点D ，作'A E AC ⊥交直线AC 于点E ．则有''2sin 603C D A E ==︒=，2215AD =⨯+=，4219AE =⨯+=，则有''3tan 5C D CAC AD ∠==，''3tan 9A E CAA AE ∠==，根据上述公式，代值计算，则有()''''''33tan tan 359tan 1tan tan 333159CAC CAA CAC CAA CAC CAA +∠+∠∠+∠===-∠⋅∠-⨯，即得''30CAC CAA ∠+∠=︒．【总结】阅读题，抓住题目中的运动过程，准确分析即可进行解题应用．ABCA 1B 1C 1DE【作业1】如图，将正方形ABCD 的边BC 延长到点E ，使得CE = AC ，AE 与CD 相交于点F ，求E ∠的余切值．【答案】21+．【解析】设正方形边长为a ，则有2AC a CE ==， ()21BE BC CE a =+=+，()21cot 21aBEE ABa+===+．【总结】考查根据一些特殊角锐角三角比计算一些相关锐角三角比的思想方法．【作业2】如图，在矩形ABCD 中，AB = 8，BC = 12，E 是BC 的中点，连接AE ，将ABE ∆沿AE 折叠，点B 落在点F 处，连接FC ，则sin EFC ∠的值为______．【答案】45．【解析】连结BF ，根据翻折的性质，可得BE EF FC ==，可证得BFC ∆为直角三角形，AE BF ⊥，即得//AE CF ，所以EFC AEF AEB ∠=∠=∠．由8AB =，6BE =，勾股定理得：2210AE AB BE =+=，则84sin sin 105AB EFC AEB AE ∠=∠===．【总结】考查翻折性质的应用，通过等角转化求角的锐角三角比．课后作业AB C D EFA B CDEF22 / 26【作业3】如图，AD 是ABC ∆的中线，1tan 3B =，2cos 2C =，2AC =．求：（1）BC 的长；（2）sin ADC ∠的值．【答案】（1）4；（2）22．【解析】（1）作AE BC ⊥交BC 于点E ，则cos 1CE AC C AE =⋅==，由1tan 3AE B BE ==，即得：3BE =，则4BC CE CE =+=；（2）因为AD 是ABC ∆中线，则有2BD CD ==，即得：1DE CD CE =-=，由勾股定理，得：222AD AE DE =+=，则有12sin 22AE ADC AD ∠===．【总结】解三角形，通过作高把边转化到直角三角形中即可．【作业4】如图，轮船从B 处以每小时60海里的速度沿南偏东20°的方向匀速航行，在B 处观测灯塔A 位于南偏东50°方向上．轮船航行40分钟到达C 处，在C 处观测灯塔A 位于北偏东10°方向上，则C 处与灯塔A 的距离是（）A ．20海里B ．40海里C ．2033海里D ．4033海里【答案】D ．【解析】依题意可得：30ABC ACB ∠=∠=︒，则有AB AC =，作AD BC ⊥交BC 于D ，轮船行程即260403BC =⨯=，则有1202BD CD BC ===，403cos 3CD AC ACB ==∠．【总结】考查方位角知识的应用，本题重点在于准确分析相关角度的大小再利用特殊角的锐角三角比解决问题．ABCD EABC 北东D【作业5】如图，在ABC ∆中，45B ∠=︒，562AB =，D 是BC 上一点，AD = 5，CD = 3，求ADC ∠的度数及AC 的长．【答案】60ADC ∠=︒，19AC =．【解析】作AE BC ⊥交BC 于点E ，则有56253sin 222AE AB B =⋅=⨯=， 3sin 2AE ADE AD ∠==，即得sin 60ADE ∠=︒，则1522DE AD ==，则12CE CD DE =-=，勾股定理得2219AC AE CE =+=．【总结】考查特殊角锐角三角比的应用，作高把线段放到直角三角形中即可．【作业6】如图，点D 在ABC ∆的边BC 上，C BAD DAC ∠+∠=∠，4tan 7BAD ∠=，65AD =，CD = 13，求线段AC 的长．【答案】265．【解析】作DE AB ⊥交AB 于点E ，作AF BC ⊥交BC 于点F ，作DAG BAD ∠=∠交CD 于点G ，作DH AG ⊥交AG 于点H ． ∵4tan 7DE BAD AE ∠==，勾股定理得22265AE DE AD +==，∴4DE =，7AE =．∵AD 为角平分线，根据角平分线性质有4DH DE ==，7AH AE ==，C BAD DAC ∠+∠=∠，即C BAD DAH GAC ∠+∠=∠+∠，即得：C GAC ∠=∠．∴AG CG =，设AG a =，则有7GH a =-，13DG a =-，在Rt DGH ∆中，∵222DH HG DG +=，∴()()2224713a a +-=-，解得：263a =，即263AG GC ==，此时13133DG a =-=．在ADG ∆中用面积法，则有DH AG AF DG ⋅=⋅，即2613433AF ⨯=⋅，即得8AF =，Rt ADF ∆勾股定理，得()22226581DF AD AF =-=-=，则12CF CD DF =-=，由此可得2222812413AC AF CF =+=+=．【总结】本题综合性较强，综合应用了锐角三角比、角平分线的性质、面积法等解三角形常用的方法，主要是根据题目条件进行变化得出最终结果．【作业7】如图，一栋楼房AB 背后有一台阶CD ，台阶每层高0.2米，且AC = 17.2米．设太阳光线与水平地面的夹角为α，当60α=︒时，测得楼房在地面上的影长AE = 10米．现D AB CE HF EGABCD24 / 26有一只小猫睡在台阶的MN 这层上晒太阳．（参考数据：3 1.73≈）（1）楼房的高度约为多少米？（2）过了一会儿，当45α=︒时，问小猫能否还晒到太阳？请说明理由．【答案】（1）17.3m ；（2）能．【解析】（1）根据锐角三角比的含义，tan AB AE α=，则有tan 10317.3AB AE m α=⋅=≈；（2）45α=︒时，影长即为tan 17.3AB m α⋅=， 17.317.20.10.2m m -=<，即影子的落点正在在台阶侧面CM 上，此时小猫还是可以晒到太阳的．【总结】考查利用锐角三角比解决实际问题，化为实际三角形模型即可．【作业8】如图，CD 是ABC ∆的中线，已知90ACD ∠=︒，3cos 5A =，求tan BCD ∠的值．【答案】38．【解析】由90ACD ∠=︒，3cos 5AC A AD ==，可设3AC a =，则5AD a =，根据勾股定理，可得：224CD AD AC a =-=．延长CD 到E ，使DE CD =，连结AE ．由AD BD =，CDB ADE ∠=∠，可证CDB EDA ∆≅∆，则有BCD E ∠=∠，由此可得：33tan tan 248AC a BCD E CE a ∠=∠===⨯．【总结】考查“倍长中线法”在解三角形中的应用，可进行等角转化，将不便计算的角放到直角三角形中即可．【作业9】如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，AB = 4，BC = 6，DAC B AEF ∠=∠=∠，点E 、F 分别在BC 、AC 上（点E 与B 、C 不重合），设BE = x ，AF = y ．（1）求cos B ；ABCDENM ABCDE（2）求证：ABE ∆∽ECF ∆；（3）求y 关于x 的代数式；（4）当点E 在BC 上移动时，AEF ∆是否有可能是直角三角形？若有可能，请求出BE 的长；若不能，请说明理由．【答案】（1）34；（2）略；（3）26164x x y -+=；（4）23BE =或3BE =．【解析】（1）作AG BC ⊥交BC 于点G ， //AD BC ， DAC ACB ∴∠=∠． DAC B ∠=∠， B ACB ∴∠=∠．AB AC ∴=， 132BG CG BC ∴===．3cos 4BG B AB ∴==．（2）证明：AEC B BAE AEF FEC ∠=∠+∠=∠+∠，又B AEF ∠=∠， BAE FEC ∴∠=∠，B ACB ∠=∠，∴ABE ∆∽ECF ∆．（3）由ABE ∆∽ECF ∆，则有AB BEEC CF=，即464x x y =--，整理得：26164x x y -+=；（4）①90AEF B ∠=∠<︒，即AEF ∠不可能为直角；②90EAF ∠=︒，则有3cos cos 4AC ACE B EC ∠===，4AC AB ==，则有163EC =，则162633BE BC EC =-=-=；③90AFE ∠=︒，此时则有90AEB EFC ∠=∠=︒，此时点E 与点G 重合，即为BC 中点，此时3BE =；综上所述，23BE =或3BE =．【总结】考查“一线三等角”证相似的基本模型，同时对直角三角形的存在性问题可转化为固定角的锐角三角比不变的问题．【作业10】如图（a ）所示，已知正方形ABCD 在直线MN 的上方，BC 在直线MN 上，E是BC 上一点，以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG ．（1）连接GD ，求证：ADG ∆≌ABE ∆；（2）连接FC ，观察并猜测FCN ∠的度数，并说明理由；ABCDE FG。

初三数学(北京版)解直角三角形(1)-1教学设计

二、问题梳理三、基础知识回顾四、实际尝试边长的问题，再利用直角三角形相关边角性质，来求边长，从而实现问题的解决这里通过一个实际问题，既巩固实际问题转化为基础图形的意识，又引出利用直角三角形解直角三角形的问题通过构造基本图形，将测距问题，转化为求直角三角形一边的问题。

然后根据已知元素条件，利用相应的直角三角形性质，求出所需未知元素，实现测距问题的解决。

同时引出解直角三角形的概念，及“有哪些直角三角形的性质，可供我们使用？”的问题，衔接下一环节在一个Rt△ABC中，若∠C为90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，除直角C外，其余的两个锐角和三条边之间有什么关系？两个锐角之间的关系：即∠A＋∠B=90°三条边之间的关系：a2＋b2＝c2角和边之间的关系：sin A＝ac，cos A＝bc，tan A＝ab根据实际需求，回顾检索相关知识，锻炼学生解决新问题的能力和意识例1：已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，a＝15，求这个直角三角形的未知边和角.解：求未知角：∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝90°-∠A＝30°.求未知边：∵a＝15，sin A＝ac，∴c＝asin A＝15sin60°＝15√32＝10√3.已知直角三角形中某些元素条件直角三角形性质求其余未知元素（边和角）实际问题测距离AB直角三角形求直角三角形边长构造解决。

九年级数学上册20解直角三角形章末温习导学案新版北京课改版

第20章解直角三角形一、知识梳理1.锐角三角函数的概念2.锐角三角函数的增减性3.明白得同角三角函数的关系4.把握互余两角三角函数的关系5.把握科学计算器求三角函数值及角的度数6.解直角三角形的概念7.依照三角形中的已知量正确地求未知量8.把握解直角三角形的进程二、题型、方式归纳1. 锐角三角函数值都是2. 在直角三角形中，假设一个锐角确信，那么那个角的对边，斜边和邻边之间的比值也随之。

3. 咱们要用到科学计算器中的键。

4. 在直角三角形中共有边、角5. 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=1/2，AC=3，那么BC的值为( )A. 2B. 4C. 43D. 6归纳小结1.三角函数的概念在△ABC中，∠C=90°，咱们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，sinA= ∠A的对边/斜边=BC/AB=a/c强调：“sinA”是一个完整的符号，不要误解为sin·A，记号里适应省去角的符号“∠”。

单独写成符号sin 是没成心义的，因为他离开了确信的锐角无法显示它的含义。

在△ABC中，∠C=90°，咱们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，cosA= ∠A的邻边/斜边=AC/AB=b/c强调：“cosA”是一个完整的符号，不要误解为cos·A，记号里适应省去角的符号“∠”。

单独写成符号cos 是没成心义的，因为他离开了确信的锐角无法显示它的含义。

在△ABC中，∠C=90°，咱们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，tanA= ∠A的对边/邻边=BC/AC=a/b强调：“tanA”是一个完整的符号，不要误解为tan·A，记号里适应省去角的符号“∠”。

单独写成符号tan 是没成心义的，因为他离开了确信的锐角无法显示它的含义。

2.锐角三角函数的增减性（1）锐角三角函数值都是正值（2）当角度在0°～90°间转变时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）。

北京课改版数学九年级上册20.4《解直角三角形》教学设计

北京课改版数学九年级上册20.4《解直角三角形》教学设计一. 教材分析《解直角三角形》是北京课改版数学九年级上册第20章第4节的内容，本节主要让学生掌握直角三角形的性质和解法。

教材通过引入实际问题，引导学生运用勾股定理和锐角三角函数解决实际问题，培养学生的解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了勾股定理、锐角三角函数等知识，具备一定的数学基础。

但部分学生对直角三角形的性质和解法理解不够深入，解决实际问题的能力有待提高。

三. 教学目标1.理解直角三角形的性质和解法。

2.能够运用勾股定理和锐角三角函数解决实际问题。

3.培养学生的解决问题的能力和合作精神。

四. 教学重难点1.重点：直角三角形的性质和解法。

2.难点：运用勾股定理和锐角三角函数解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、合作学习法等，引导学生主动探究、合作交流，提高学生解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关案例和实际问题。

2.准备教学课件和板书设计。

3.准备练习题和家庭作业。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节内容，激发学生的兴趣。

问题：某建筑物的高度是直角三角形的一条直角边，另一条直角边是30米，斜边是40米，求建筑物的高度。

2.呈现（15分钟）引导学生分析问题，呈现勾股定理和锐角三角函数的定义，让学生理解直角三角形的性质和解法。

解释：根据勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即a² + b² = c²。

在本题中，a和b分别代表直角三角形的两条直角边，c代表斜边。

根据题目给出的数据，我们可以得到：30² + b² = 40²。

解方程得到b = 20米，即建筑物的高度为20米。

3.操练（15分钟）让学生分组讨论，运用勾股定理和锐角三角函数解决实际问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

问题：一个直角三角形的两条直角边分别是8米和15米，求斜边的长度。

京改版数学九年级上册 20.4 解直角三角形教案

解直角三角形教学设计北京市顺义区第三中学一、对解直角三角形的知识解读1.对知识本身的分析解读我们知道，由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程叫做解直角三角形，而在直角三角形中，除直角以外还有三条边及两个锐角共五个元素，那么什么样的直角三角形才可解呢？如果已知两个锐角能否解直角三角形呢？事实上，解直角三角形与直角三角形的判定与作图有着本质的联系，因为已知两个元素（至少有一个是边）可以判定直角三角形全等，也可以利用尺规作图作出直角三角形，即此时直角三角形是确定的，因此这样的直角三角形是可解的，从而确立了解直角三角形的概念。

由于已知两个锐角的直角三角形是不确定的，它们是无数多个相似的直角三角形，因此求不出各边的长。

所以，要解直角三角形，给出的除直角外的两个元素中，至少有一个是边，这样，解直角三角形就分为两大类，即已知一条边及一个锐角或已知两条边解直角三角形。

从直角三角形的可解性和存在性上来说，全等三角形的有关理论对理解本节课有积极的促进作用，因此，利用三角形全等的理论，有利于理解解直角三角形的相关内容，加强知识间的相互联系，使学生的学习形成正迁移。

初中主要研究锐角三角函数及解直角三角形和含特殊角的非直角三角形，这一阶段讲授的三角函数是静态的，主要讨论直角三角形的边角关系，即进一步研究直角三角形的性质，通过边的比值反映角的大小，而不是从函数的角度来认识。

正弦、余弦、正切都是在给定的直角三角形中定义的，因此角度只限制在0°到90°。

可以说，解直角三角形是初中这部分内容的定位。

高中主要研究任意角的三角函数（数学4基本初等函数2）、解斜三角形（数学5解三角形），是从函数的角度来研究三角函数的，因此它强调的是比值随角度的变化规律。

在欧氏几何中主要用定性的方法研究三角形，发现一般三角形中共性的结论。

例如：三角形中，大边对大角，小边对小角；两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；三角形的内角和是180°，直角三角形的三边满足勾股定理等等。

北京版数学九年级上册《20.4 解直角三角形》说课稿

北京版数学九年级上册《20.4 解直角三角形》说课稿一. 教材分析《20.4 解直角三角形》这一节的内容，主要是在学生已经掌握了直角三角形的性质和勾股定理的基础上，进一步探讨如何解直角三角形。

通过这一节的学习，让学生能够熟练运用勾股定理和直角三角形的性质，解决实际问题。

教材中通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固知识，提高解题能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于直角三角形和勾股定理的概念和性质已经有了一定的了解。

但是，解直角三角形的方法和技巧还需要进一步的引导和培养。

同时，学生的学习兴趣和学习积极性也需要老师的激发和引导。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握解直角三角形的方法，能够熟练运用勾股定理和直角三角形的性质解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流的方式，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力，提高学生的学习积极性。

四. 说教学重难点1.教学重点：解直角三角形的方法和技巧，勾股定理的应用。

2.教学难点：如何引导学生理解和掌握解直角三角形的方法，如何激发学生的学习兴趣和积极性。

五. 说教学方法与手段在本节课的教学中，我将采用自主学习、合作交流的教学方法，引导学生通过观察、思考、讨论等方式，探索解直角三角形的方法。

同时，利用多媒体教学手段，展示直角三角形的图形，帮助学生直观地理解和解题。

六. 说教学过程1.导入：通过复习直角三角形的性质和勾股定理，引导学生进入本节课的学习。

2.自主学习：让学生自主探索解直角三角形的方法，引导学生通过观察、思考、讨论等方式，发现解题规律。

3.合作交流：学生分组讨论，分享解题方法和心得，互相学习，互相促进。

4.教师讲解：针对学生的讨论结果，进行讲解和总结，引导学生理解和掌握解直角三角形的方法。

5.练习巩固：让学生进行相关的练习题，巩固所学知识，提高解题能力。

北京版数学九年级上册《20.4 解直角三角形》教学设计2

北京版数学九年级上册《20.4 解直角三角形》教学设计2一. 教材分析北京版数学九年级上册《20.4 解直角三角形》是学生在学习了锐角三角函数、三角形的性质等知识的基础上，进一步研究直角三角形的性质。

本节课的主要内容是让学生掌握解直角三角形的方法，理解直角三角形中的边角关系，能运用勾股定理和锐角三角函数解决实际问题。

教材通过丰富的图片和实例，激发学生的学习兴趣，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了锐角三角函数、三角形的性质等知识，具备了一定的观察、分析、解决问题的能力。

但部分学生对直角三角形的性质和解直角三角形的方法理解不够深入，解题时容易出错。

因此，在教学过程中，要关注学生的个体差异，针对性地进行指导。

三. 教学目标1.理解直角三角形的性质，掌握解直角三角形的方法。

2.能够运用勾股定理和锐角三角函数解决实际问题。

3.培养学生的观察能力、分析能力、解决问题的能力。

4.激发学生学习数学的兴趣，培养合作意识。

四. 教学重难点1.重点：直角三角形的性质，解直角三角形的方法。

2.难点：运用勾股定理和锐角三角函数解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过丰富的图片和实例，激发学生的学习兴趣，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

2.问题驱动法：引导学生提出问题，分析问题，解决问题，培养学生的观察能力、分析能力、解决问题的能力。

3.合作学习法：分组讨论，共同完成任务，培养学生的团队协作能力。

4.讲解法：针对重点、难点知识进行详细讲解，确保学生理解掌握。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，包括图片、实例、动画等，直观展示直角三角形的性质和解直角三角形的方法。

2.教学素材：准备相关的实际问题，用于巩固和拓展学生的知识。

3.计算器：为学生提供计算工具，方便解决实际问题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用图片和实例，引导学生关注直角三角形的性质，激发学生的学习兴趣。

京改版九年级上册第21章《21.4解直角三角形》教案

2、观察图形，求直角三角形中的未知元素，图形的给出灵活，不同位置的放置培养学生观察图形的能力。例2引导学生思考不同解法调动了学生的积极性，多数学生思维比较活跃。
3、学生发言后及时鼓励，解题完毕将结论一一明确，规范学生的书写格式。
4、学生标图情况不好，计算缺乏条理，还要督促落实。例2不同解法训练学生的发散思维，然后要总结通法才好，在讲解完例2后板书通法才好，当时由于时间紧和板书位置小的限制板书的是利用比例设参数的方法，以后要注意通性通法的体现，给学生具有指导性的示范。
《解直角三角形》教学设计
课题
解直角三角形
教学目标
知识与技能：
1、理解解直角三角形的概念，掌握直角三角形中的边角关系；
2、会运用勾股定理、直角三角形两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。
3、学会画图分析已知和求解，体会数形结合思想、转化思想，培养分析问题解决问题能力。
过程与方法：经历概念的总结概括过程、由因导果的分析问题的过程，体会数形结合、转化的方法。
例1：:如图，解直角三角形。
解：∵
∴
∵ ∴∠A=450. ∴∠B=450.
∴BC=1，∠A=450,∠B=450.
其他方法：或用正弦，或用正切，或用等腰三角形性质；或用三边之比
注意：尽量使用已知条件
例2、已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，a=15,解这
个三角形。
引导分析：已知∠C=90°，∠A=60°，a=15,
需要求出AC、AB和∠B。通过图形分析
知：∠B=300，
还有其他方法吗？
或用∠A的正弦，或用∠B的正切，或用∠B的余弦，或设参数用勾股定理；或用三边之比
小结：1、分析问题的一般思路：把已知和未知联系起来

【附答案或解析】2015秋九年级数学上册21.4+解直角三角形课前预习训练+北京课改版

21.4 解直角三角形自主学习主干知识 ←提前预习勤于归纳→认真阅读教材,完成下列问题1.在Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C 的对边分别为a 、b 、c,除直角C 外,其余的两个锐角和三条边之间有什么关系?(1)锐角之间的关系：_________________；(2)三边之间的关系：_________________；(3)边角之间的关系：_________________.答案：(1)∠A+∠B=90° (2)a 2+b 2=c 2 (3)ba A cb Ac a A ===tan ,cos ,sin , ab Bc a B c b B ===tan ,cos ,sin 2.根据以上直角三角形中边角之间的关系式,在Rt△ABC 中,若知道a 、b 、c 、∠A、∠B 五个元素中的两个(至少有一个是边),就可求出其余的边和角,这种由已知边和角求未知边和角的过程叫______.答案：解直角三角形点击思维 ←温故知新查漏补缺→举例说明,如何根据已知条件解直角三角形?答案：例如，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a 和b ，求其他未知元素.解析：由勾股定理a 2+b 2=c 2，可求出c ，在Rt △ABC 中，由tanA=ba ，可求得∠A，然后∠B=90°－∠A.对于其他情况的已知条件，用类似的方式可求解.昨天我所在学校期中考试成绩，有个别同学考的不太理想，跟我发微信，自己在期中考试前已经非常努力的做题了，但最后的成绩却很差。

部分家长也反映孩子很努力，却始终考不出成绩，问到底如何才能学好物理？回答这个问题前，我们先讨论以下，努力和好成绩之间的关系，是不是努力了就一定会有好成绩？答案是否定地！按照这个逻辑，如果有学生24小时不断地学习就得保送清华北大；中国足球只要训练的足够刻苦，就一定能踢赢巴西；我作为老师只要足够的努力就能当上教育局局长？很显然，努力和最后的结果并不是必然的关系，在努力和结果之间，还有存在一桥梁，那就是方法。

北京版-数学-九年级上册-导学案-20.4解直角三角形

20.4 解直角三角形预习案一、预习目标及范围：1.通过学习，理解解直角三角形的概念。

(重点）2.能够根据三角形中的已知量正确地求未知量。

（难点）3.运用所学的知识解决实际的问题。

预习要点1.什么是解直角三角形？2.直角三角形中的边和角有什么关系？三、预习检测1. 在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=10，sinA=3/5，cosA=4/5，tanA=3/4，则BC的长为（）A. 6B. 7.5C. 8D. 12.52.在△ABC中，∠C=90°，∠A=72°，AB=10，则边AC的长约为（精确到0.1）（）A. 9.1B. 9.5C. 3.1D. 3.53.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，AB=7，则BC的长为（）A. 7sin35°B. 7/cos35°C. 7cos35°D. 7tan35°4.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，sinB=3/5，则AB=（）A. 15B. 12C. 9D. 6探究案一、合作探究活动1：小组合作（1）在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形。

（2）在直角三角形中共有三条边、三个角六个元素。

（3）三条边的关系：a2+b2= 。

锐角之间的关系：∠A+∠B= 。

sinA= ; cosA= ; tanA= 。

活动内容2：典例精析例题1已知：如图所示，在Rt △ABC中，∠C=90°，∠A=60°，a=15，解这个直角三角形。

分析：∵∠C=90°，∠A=60°，∴∠B=90°-∠A=30°，∵a=15，sinA=a/c，∴c=a/sinA=15/sin60°=15/（/2）=103又∵tanA=a/b,∴b=a/tanA=15/tan60°=15/=53∴∠B=30°，c= 103, b= 53例题2、已知，如图所示，在△ABC中，AB=AC, ∠A=120°，BC=4cm，求AB的长。

秋九年级数学上册 21.4 解直角三角形课堂导学北京课改版

21.4 解直角三角形名师导学典例分析例1请你根据以上的条件,计算出河宽CD(结果保留根号).思路分析:题目中涉及了部分特殊角,把它放在相应的直角三角形中有利于解决问题. 解：设DA 为x 米,∴DB=DA+AB=(x+20)米.∵∠CBD=45°,∠CDA=90°,∴DC=DB=x+20,在Rt△CD A 中,∠DAC=60° ∴tan60°=DA DC ,∴xx 203+=,∴203+=x x ,20)13(=-x , )13(102)13(201320+=+=-=x (米). ∴DC=10(3+1)+20=103+30(米).例2 如图21－4－2所示,△ABC 中,AB=1,AC=2,42sin =B ,求BC 的长.思路分析:过点A 作AD ⊥BC,垂足为D,从而把原来的斜三角形转化为两个直角三角形的问题,再进一步利用边角关系式求解.解：如图21－4－2所示,过点A 作AD ⊥BC,垂足为D.42sin ,sin =∙=∴=B AB AD AB AD B , ∴414)42(12222=-=-=AD AB BD . 在Rt △ACD 中,430)42()2(2222=-=-=AD AC CD ∴41430+=+=BD CD BC 突破易错☆挑战零失误规律总结善于总结★触类旁通1 方法点拔：在解决涉及特殊角的三角形问题时,一般把特殊角放在相应的直角三角形中,再根据相关的两锐角之间的关系,三边之间的关系或边角之间的关系进一步解出答案.另外,在选择边角关系式时可遵循“有斜选弦,无斜选切”的策略,即已知条件中若涉及斜边的问题,可从正余弦方面考虑求解,若已知条件中未涉及斜边,可从正、余切方面考虑求解.2 方法点拨：在非直角三角形中求一些未知元素时,我们常通过添加适当的辅助线转化为直角三角形来求解.如本题过顶点作高,将钝角三角形分解成两个直角三角形,再如,常过梯形上底两顶点作高将梯形分解成两个直角三角形和一个矩形.另外,本题容易错误使用cosC=sinB 这一结论,因为公式cosC=sinB 成立的前提条件是∠B,∠C 互余,而本题△ABC 为一般三角形,故cosC=sinB 不成立.。