高中数学 第四章 导数应用 4.1.1 导数与函数的单调性课件7 北师大版选修1-1
北师大版数学高二选修1-1课件 第四章 1.1 导数与函数的单调性
33，
33，则
a
的取值范围是
(_0_，__＋__∞__).
解析
f′(x)＝a(3x2－1)＝3ax＋
33x－
33，
令
f′(x)<0，由已知得－
3 3 <x<
33，
可得a>0.
12345
解析 答案
5.已知a>0且a≠1，证明：函数y＝ax－xln a在(－∞，0)上是减少的. 证明 y′＝axln a－ln a＝ln a(ax－1)， 当a>1时，因为ln a>0，ax<1， 所以y′<0，即y在(－∞，0)上是减少的； 当0<a<1时，因为ln a<0，ax>1， 所以y′<0，即y在(－∞，0)上是减少的. 综上，函数y＝ax－xln a在(－∞，0)上是减少的.
(√) 4.若f(x)在区间(a，b)上可导，则“f′(x)>0”是“f(x)在(a，b)上是增加的” 的充要条件.( × ) 5.若f(x)的图像在[a，b]上是一条连续曲线，且f(x)在(a，b)上f′(x)<0，则 f(x)在[a，b]上是减少的.( √ )
题型探究
类型一 原函数和导函数图像之间的关系 例1 已知函数y＝f(x)的图像如图所示，则函数y＝f′(x)的图像可能是 图中的
解答
类型三 含参数函数的单调性 例3 若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上是增加的，则k的取值范 围是_[1_，__＋__∞__). 解析 由于 f′(x)＝k－1x，f(x)＝kx－ln x 在区间(1，＋∞)上是增加的， 得 f′(x)＝k－1x≥0 在(1，＋∞)上恒成立. 因为 k≥1x，而 0<1x<1，所以 k≥1， 即k的取值范围为[1，＋∞).
高中数学北师大版选修1-1课件：第四章 1.1 导数与函数的单调性 (2)
1.函数导数与单调性的关系:函数y=f(x)在某个区间内,如 果f′(x)>0, 则f(x)是增加的；如果f′(x)<0, 则f(x)是减少的.
2.根据导数确定函数单调区间的步骤： （1）确定函数f(x)的定义域. （2）求出函数的导数. （3）解不等式f ′(x)>0,得函数递增区间，解不等式f′(x)<0, 得函数递减区间.
【规律方法】 1.本题关键是构造函数 f(x)，借助函数的单调性来证明不 等式． 2.利用导数证明不等式的一般步骤 (1)构造函数：F(x)＝f(x)－g(x)． (2)求导：F′(x)＝f′(x)－g′(x)． (3)判断函数的单调性． (4)求 F(x)在区间上的最小值为 0，证得 f(x)≥g(x)； 求 F(x)在区间上的最大值为 0，证得 f(x)≤g(x).
【解析】 f′(x)＝x′·ln x＋x·(ln x)′＝1＋ln x.
由 1＋ln x>0 得 ln x>－1＝ln 1e，
即
1 x>e.
由
1＋ln
x<0
得
1 0<x<e.
∴f(x)＝xln x 在(1e，＋∞)上递增，在(0，1e)上递减．
【答案】 D
3 .函数 f(x)＝(x－3)ex 的单调递增区间是________． 【解析】 f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′ ＝(x－2)ex.令 f′(x)>0，解得 x>2. 【答案】 (2，＋∞)
4.求函数 f(x)＝2x3－6x2＋7 的单调区间．
解：f′(x)＝6x2－12x. 令 6x2－12x>0， 解得 x>2 或 x<0. 因此当 x∈(2，＋∞)，x∈(－∞，0)时，f(x)是增加的． 令 6x2－12x<0，解得 0<x<2. 因此当 x∈(0，2)时，f(x)是减少的． 故 f(x)＝2x3－6x2＋7 的单调递增区间为(2，＋∞)和(－∞，0)， 单调递减区间为(0，2)．
高中数学北师大版选修1-1课件：第4章 §1 1.1 导数与函数的单调性
【解析】1.∵f'(x)=3x2+a，a≥0. ∴f'(x)≥0对一切实数R都恒成立且只有x=0，a=0时，f'(x)=0， ∴函数f(x)的递增区间为(-∞，+∞).
答案：(-∞，+∞)
第十五页，编辑于星期日：二十三点 三十三分。
2.(1)
f '(x) 2(x 1)2 (2x b) 2(x 1) 2x 2b 2 2[x (b 1)] (x 1).
答案：(-∞，a)，(-2a，+∞)
第二十一页，编辑于星期日：二十三点 三十三 分。
类型三 已知函数的单调性求参数的取值范围
【典型例题】
1.函数f(x)=ax3-x在R上是减少的，则 ( )
A.a≤0
B.a<1
C.a<2
D.a≤ 1
2.已知函数f(x)=2ax- x∈(0，1].若f3(x)在x∈(0，1)上 1
第二十页，编辑于星期日：二十三点 三十三分。
【变式训练】
函数f(x)= x13+ ax12-2a2x+1(a<0)的递增区间为
.
32
【解析】f'(x)=x2+ax-2a2=(x+2a)(x-a)，
∵a<0，∴-2a>a，由f'(x)>0得x<a或x>-2a.
∴函数的递增区间为(-∞，a)，(-2a，+∞).
与抽象函数相关的单调性问题
【典型例题】
1.若在区间(a，b)内有f'(x)>0，且f(a)≥0，则在区间
(a，b)内有 ( )
A.f(x)>0
2017_2018版高中数学第四章导数应用1.1导数与函数的单调性课件北师大版选修
3x－1 x
3x＋1 ，
由
x>0，解
f′(x)>0，得
x>
3 3.
由 x<0，解 f′(x)<0，得 0<x< 33.
∴函数 f(x)＝3x2－2ln x 的单调递增区间为( 33，＋∞)，
单调递减区间为(0，
3 3 ).
反思与感悟
求函数y＝f(x)的单调区间的步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域. (2)求导数y′＝f′(x). (3)解不等式f′(x)>0，函数在定义域内的解集上为增函数. (4)解不等式f′(x)<0，函数在定义域内的解集上为减函数.
答案
如图所示，函数y＝f(x)在(0，b)或(a，0)
内导数的绝对值较大，图像“陡峭”， 在(b，＋∞)或(－∞，a)内导数的绝对值 较小，图像“平缓”.
梳理
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么 函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图像就比较“陡 峭”(向上或向下)；反之，函数的图像就“平缓”一些.
f′(x)＝xcos
x－sin x2
x ，又
x∈π2，π，
则cos x<0，所以xcos x－sin x<0，
所以 f′(x)<0，所以 f(x)在π2，π上是减少的.
类型三 含参数函数的单调性
例4 若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上是增加的，则k的取值范围 是_[_1_，__＋__∞__) . 答案 解析
第四章 §1 函数的单调性与极值
1.1 导数与函数的单调性
学习目标
1.理解导数与函数的单调性的关系. 2.掌握利用导数判断(证明)函数单调性的方法. 3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间.
高中数学第四章导数应用4.1函数的单调性与极值4.1.1导数与函数的单调性导学案北师大版选修1-1
4.1.1 导数与函数的单调性学习目标 1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断(证明)函数单调性的方.法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间思考观察下列各图，完成表格内容函数及其图像切线斜率k正负导数正负单调性正正[1，＋∞)上单调递增正正R上单调递增负负(0，＋∞)上单调递减负负(0，＋∞)上单调递减负负(－∞，0)上单调递减梳理一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上(1)如果f′(x)>0，则f(x)在该区间上是增加的.(2)如果f′(x)<0，则f(x)在该区间上是减少的.导数值切线的斜率倾斜角曲线的变化趋势函数的单调性>0>0锐角上升单调递增<0<0钝角下降单调递减知识点二函数的变化快慢与导数的关系思考我们知道导数的符号反映函数y＝f(x)的增减情况，怎样反映函数y＝f(x)增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？答案如图所示，函数y＝f(x)在(0，b)或(a，0)内导数的绝对值较大，图像“陡峭”，在(b，＋∞)或(－∞，a)内导数的绝对值较小，图像“平缓”.梳理一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图像就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图像就“平缓”一些.类型一原函数与导函数的关系例1 已知函数y＝f(x)的图像如图所示，则函数y＝f′(x)的图像可能是图中的( )答案 C解析由函数y＝f(x)的图像的增减变化趋势判断函数y＝f′(x)的正、负情况如下表：x (－1，b)(b，a)(a，1)f(x)↘↗↘f′(x)－＋－由表可知函数y＝f′(x)的图像，当x∈(－1，b)时，函数图像在x轴下方；当x∈(b，a)时，函数图像在x轴上方；当x∈(a，1)时，函数图像在x轴下方.故选C.反思与感悟(1)对于原函数图像，要看其在哪个区间内单调递增，则在此区间内导数值大于零.在哪个区间内单调递减，则在此区间内导数值小于零.根据导数值的正负可判定导函数图像.(2)对于导函数的图像可确定原函数的增减区间及增减快慢.跟踪训练 1 已知y ＝f ′(x )的图像如图所示，则y ＝f (x )的图像最有可能是如图所示的( )答案 C解析 由f ′(x )>0(f ′(x )<0)的分界点判断原函数在此分界点两侧的图像的上升和下降趋势.由已知可得x 的取值范围和f ′(x )的正、负，f (x )的增减变化情况如下表所示：x (－∞，0)(0，2) (2，＋∞)f ′(x ) ＋ － ＋ f (x )↗↘↗由表可知f (x )在(－∞，0)上是增加的，在(0，2)上是减少的，在(2，＋∞)上是增加的，满足条件的只有C ，故选C.类型二 单调区间的求解及单调性证明 命题角度1 求函数的单调区间 例2 求f (x )＝3x 2－2ln x 的单调区间. 解 f (x )＝3x 2－2ln x 的定义域为(0，＋∞). f ′(x )＝6x －2x ＝23x 2－1x＝23x －13x ＋1x， 由x >0，解f ′(x )>0，得x >33. 由x <0，解f ′(x )<0，得0<x <33. ∴函数f (x )＝3x 2－2ln x 的单调递增区间为(33，＋∞)， 单调递减区间为(0，33). 反思与感悟 求函数y ＝f (x )的单调区间的步骤(1)确定函数y ＝f (x )的定义域. (2)求导数y ′＝f ′(x ).(3)解不等式f ′(x )>0，函数在定义域内的解集上为增函数. (4)解不等式f ′(x )<0，函数在定义域内的解集上为减函数. 跟踪训练2 求函数f (x )＝exx －2的单调区间.解 函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞). f ′(x )＝exx －2－e x x －22＝e x x －3x －22.因为x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以e x>0，(x －2)2>0. 由f ′(x )>0，得x >3，所以函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)； 由f ′(x )<0，得x <3.又函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，2)和(2，3).命题角度2 证明函数的单调性例3 证明函数f (x )＝ln xx在区间(0，2)上是单调递增函数.证明 由题意，得f ′(x )＝1x·x －ln xx2＝1－ln x x2. ∵0<x <2，∴ln x <ln 2<1，1－ln x >0， ∴f ′(x )＝1－ln xx2>0. 根据导数与函数单调性的关系，可得函数f (x )＝ln x x在区间(0，2)上是单调递增函数.反思与感悟 利用导数证明不等式的一般步骤 (1)构造函数：F (x )＝f (x )－g (x ). (2)求导：F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x ). (3)判断函数的单调性.(4)若F (x )在区间上的最小值大于等于0，则f (x )≥g (x )；若F (x )在区间上的最大值小于等于0，则f (x )≤g (x ).跟踪训练3 证明：函数f (x )＝sin x x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上是减少的.证明 f ′(x )＝x cos x －sin x x 2，又x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos x <0，所以x cos x －sin x <0，所以f ′(x )<0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上是减少的.类型三 含参数函数的单调性例4 若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上是增加的，则k 的取值范围是________. 答案 [1，＋∞)解析 由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增⇔f ′(x )＝k －1x≥0在(1，＋∞)上恒成立.由于k ≥1x ，而0<1x<1，所以k ≥1.即k 的取值范围为[1，＋∞). 引申探究试求函数f (x )＝kx －ln x 的单调区间. 解 f (x )＝kx －ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝k －1x，当k ≤0时，函数的单调递减区间为(0，＋∞)；当k >0时，函数的单调递增区间为(1k ，＋∞)，单调递减区间为(0，1k).反思与感悟 (1)讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参数不等式的解集的问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准.(2)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；②先令f ′(x )>0(或f ′(x )<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f (x )是否满足题意.(3)恒成立问题的重要思路 ①m ≥f (x )恒成立⇒m ≥f (x )max ； ②m ≤f (x )恒成立⇒m ≤f (x )min .跟踪训练4 已知函数f (x )＝x 2＋2a ln x . (1)试讨论函数f (x )的单调区间；(2)若函数g (x )＝2x＋f (x )在[1，2]上是减函数，求实数a 的取值范围.解 (1)f ′(x )＝2x ＋2a x ＝2x 2＋2ax，函数f (x )的定义域为(0，＋∞).①当a ≥0时，f ′(x )>0，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；②当a <0时，f ′(x )＝2x ＋－ax －－ax，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (0，－a )－a (－a ，＋∞)f ′(x ) － 0＋ f (x )递减递增由上表可知，函数f (x )的单调递减区间是(0，－a )； 单调递增区间是(－a ，＋∞).(2)由g (x )＝2x ＋x 2＋2a ln x ，得g ′(x )＝－2x 2＋2x ＋2ax，由已知函数g (x )为[1，2]上的单调减函数， 则g ′(x )≤0在[1，2]上恒成立， 即－2x 2＋2x ＋2ax≤0在[1，2]上恒成立，即a ≤1x－x 2在[1，2]上恒成立.令h (x )＝1x－x 2，则h ′(x )＝－1x 2－2x ＝－(1x2＋2x )<0，x ∈[1，2]，所以h (x )在[1，2]上为减函数，h (x )min ＝h (2)＝－72，所以a ≤－72.故实数a 的取值范围为{a |a ≤－72}.1.f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( ) A.(－∞，2)B.(0，3)C.(1，4)D.(2，＋∞)答案 D解析 f ′(x )＝e x ＋(x －3)·e x ＝(x －2)e x>0， 解得x >2.∴f (x )的单调递增区间是(2，＋∞).2.函数y ＝f (x )在定义域(－32，3)内可导，其图像如图所示，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集是( )A.[－13，1]∪[2，3)B.[－1，12]∪[43，83]C.(－32，12)∪[1，2]D.(－32，－1)∪[12，43]∪[83，3]答案 A解析 求f ′(x )≤0的解集，即求函数f (x )在(－32，3)上的单调减区间.由题干图像可知y＝f (x )的单调减区间为[－13，1]，[2，3).3.若函数f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)上是增加的，则m 的取值范围是( ) A.m ≥43B.m >43C.m ≤43D.m <43答案 A解析 ∵函数f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)上是增加的， ∴f ′(x )＝3x 2＋4x ＋m ≥0在R 上恒成立， 则判别式Δ＝16－12m ≤0，即m ≥43.4.若函数y ＝f (x )＝a (x 3－x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，则a 的取值范围是________. 答案 (0，＋∞)解析 f ′(x )＝a (3x 2－1)＝3a (x ＋33)(x －33)， 令f ′(x )<0，由已知得－33<x <33， 故a >0.5.已知a >0且a ≠1，证明：函数y ＝a x－x ln a 在(－∞，0)上是减少的. 证明 y ′＝a xln a －ln a ＝ln a (a x－1)， 当a >1时，因为ln a >0，a x<1，所以y ′<0，即y 在(－∞，0)上是减少的； 当0<a <1时，因为ln a <0，a x >1， 所以y ′<0，即y 在(－∞，0)上是减少的. 综上，函数y ＝a x－x ln a 在(－∞，0)上是减少的.1.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度.2.利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0； (4)根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间.40分钟课时作业一、选择题1.函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( ) A.(π2，3π2)B.(π，2π)C.(3π2，5π2)D.(2π，3π)答案 B解析 y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ， 若y ＝f (x )在某区间内是增函数， 只需在此区间内y ′>0恒成立即可， ∴只有选项B 符合题意，当x ∈(π，2π)时，y ′>0恒成立.2.下列函数中，在(0，＋∞)上是增函数的是( ) A.y ＝sin x B.y ＝x e xC.y ＝x 3－x D.y ＝ln x －x答案 B解析 显然y ＝sin x 在(0，＋∞)上既有增又有减，故排除A ；对于函数y ＝x e x ，因为e x恒大于零，易知y ＝x e x在(0，＋∞)内为增函数； 对于C ，y ′＝3x 2－1＝3(x ＋33)(x －33)， 故函数在(－∞，－33)，(33，＋∞)上为增函数， 在(－33，33)上为减函数；对于D ，y ′＝1x－1 (x >0). 故函数在(1，＋∞)上为减函数，在(0，1)上为增函数.故选B.3.设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图像如图所示，则导函数f ′(x )的图像可能是( )答案 C解析 原函数的单调性是当x <0时，f (x )单调递增； 当x >0时，f (x )的单调性变化依次为增、减、增，故当x <0时，f ′(x )>0；当x >0时，f ′(x )的符号变化依次为＋，－，＋.故选C. 4.函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( ) A.a ≤0 B.a <1 C.a <2 D.a ≤13答案 A解析 f ′(x )＝3ax 2－1，由题意知，对∀x ∈R ， 3ax 2－1≤0，当a >0时，显然不合题意， 当a ≤0时，成立.故a ≤0.5.函数f (x )的导函数为f ′(x )，若y ＝f ′(x )的图像如图所示，则f (x )的解析式可能是( )A.y ＝x 2－2x B.y ＝13x 3＋x 2C.y ＝x 2＋2xD.y ＝13x 3－x 2答案 B解析 由题图知f ′(x )＝0时，x 1＝－2，x 2＝0，由此可知B 正确.6.已知函数f (x )在定义域R 上为增函数，且f (x )＜0，则g (x )＝x 2f (x )在(－∞，0)内的单调情况一定是( ) A.单调递减 B.单调递增 C.先增后减 D.先减后增答案 B解析 因为函数f (x )在定义域R 上为增函数， 所以f ′(x )≥0.又因为g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )， 所以当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )＞0恒成立， 所以g (x )＝x 2f (x )在(－∞，0)内单调递增.7.函数f (x )＝sin x ＋2xf ′(π3)，f ′(x )为f (x )的导函数，令a ＝－12，b ＝log 32，则下列关系正确的是( ) A.f (a )>f (b ) B.f (a )<f (b ) C.f (a )＝f (b ) D.f (|a |)<f (b )答案 A解析 ∵f ′(x )＝cos x ＋2f ′(π3)，∴f ′(π3)＝cos π3＋2f ′(π3)，解得f ′(π3)＝－12，∴f (x )＝sin x －x ，由f ′(x )＝cos x －1≤0知函数f (x )为减函数， 而－12<log 32，则f (－12)>f (log 32)，即f (a )>f (b ).二、填空题 8.已知函数f (x )＝k ex －1－x ＋12x 2(k 为常数)，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线与x 轴平行，则f (x )的单调递减区间为____________. 答案 (－∞，0) 解析 f ′(x )＝k ex －1－1＋x ，∵曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线与x 轴平行， ∴f ′(0)＝k ·e －1－1＝0，解得k ＝e ， 故f ′(x )＝e x＋x －1. 令f ′(x )<0，解得x <0，故f (x )的单调递减区间为(－∞，0).9.若函数f (x )＝2x 3－3mx 2＋6x 在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m 的取值范围为__________. 答案 (－∞，52]解析 ∵f ′(x )＝6x 2－6mx ＋6， 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立， 即x 2－mx ＋1≥0恒成立，∴m ≤x ＋1x恒成立.令g (x )＝x ＋1x ，g ′(x )＝1－1x2，∴当x >2时，g ′(x )>0，即g (x )在(2，＋∞)上是增加的， ∴m ≤2＋12＝52.10.函数f (x )的图像如图所示，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则不等式f ′xx<0的解集为________.答案 (－3，－1)∪(0，1)解析 由题图知，当x ∈(－∞，－3)∪(－1，1)时，f ′(x )<0， 当x ∈(－3，－1)∪(1，＋∞)时，f ′(x )>0， 故不等式f ′xx<0的解集为(－3，－1)∪(0，1). 11.如果函数y ＝f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，那么实数k 的取值范围是________. 答案 [1，32)解析 y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x ＝2x ＋12x －1x，由f ′(x )>0，得x >12，f (x )的增区间是(12，＋∞)，由f ′(x )<0，得0<x <12，f (x )的减区间是(0，12)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12，k ＋1>12，k －1≥0，得1≤k <32.三、解答题12.若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1，4)内为减函数，在区间(6，＋∞)内为增函数，试求实数a 的取值范围.解 f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1＝(x －1)[x －(a －1)]， 令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝a －1. 因为f (x )在(1，4)内为减函数， 所以当x ∈(1，4)时，f ′(x )≤0； 因为f (x )在(6，＋∞)内为增函数， 所以当x ∈(6，＋∞)时，f ′(x )≥0. 所以4≤a －1≤6，解得5≤a ≤7. 所以实数a 的取值范围为[5，7].13.已知二次函数h (x )＝ax 2＋bx ＋2，其导函数y ＝h ′(x )的图像如图，f (x )＝6ln x ＋h (x ).(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数f (x )在区间(1，m ＋12)上是单调函数，求实数m 的取值范围.解 (1)由已知，h ′(x )＝2ax ＋b ，其图像为直线，且过(0，－8)，(4，0)两点， 把两点坐标代入h ′(x )＝2ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧8a ＋b ＝0，b ＝－8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－8，∴h (x )＝x 2－8x ＋2，h ′(x )＝2x －8， ∴f (x )＝6ln x ＋x 2－8x ＋2. (2)f ′(x )＝6x＋2x －8＝2x －1x －3x(x >0).当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (0，1) 1 (1，3) 3 (3，＋∞)f ′(x ) ＋ 0－ 0＋ f (x )↗↘↗∴f (x )的单调递增区间为(0，1)和(3，＋∞)，f (x )的单调递减区间为(1，3).要使函数f (x )在区间(1，m ＋12)上是单调函数，则⎩⎪⎨⎪⎧1<m ＋12，m ＋12≤3，解得12<m ≤52.即实数m 的取值范围为(12，52].。
北师大版选修1-1第四章导数与函数的单调性(课件)(共22张PPT)
例 2、求函数 f ( x) 2 x3 3x 2 36 x 16 的单调区间.
思路点拨：先求函数定义域 求导 令 f '( x ) 0 ，得函数增区间； 令 f '( x ) 0 ，得函数减区间 写出结论
例 2、求函数 f ( x) 2 x3 3x 2 36 x 16 的单调区间.
用定义法判断函数单调性的步骤： （1）在给定区间内任取x1<x2; （2）作差f(x1)-f(x2);
（3）变形;
（4）判断符号;
（5）下结论。
如何确定函数 f ( x) 2x3 3x2 36x 16 在哪个区间上 单调递增，哪个区间上单调递减？
用单调性定义讨论函数单调性虽然可行，但十分 麻烦，是否有更为简捷的方法呢？
问题2．导数的定义与几何意义是什么.
y f ( x x) f ( x) f '( x)= lim lim x 0 x x 0 x
几何意义：函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数 f(x0), 就是曲线y=f(x) 在点 P(x0, f(x0)) 处的切线的斜率.
如何确定函数 f ( x) 2x3 3x2 36x 16 在哪个区间上 单调递增，哪个区间上单调递减？
问题1．函数单调性的定义是什么？
一般地，在给定区间上任取两个自变量 x1 , x 2 ，当 x1 x 2 时， 若 f ( x1 ) f ( x2 ) ，则 f(x)在这个区间上单调递增. 若 f ( x1 ) f ( x2 ) ，则 f (x)在这个区间上单调递减.
问题2．导数的定义与几何意义是什么.
解：由导数公式表和求导法则可得
f '( x) 6x2 6x 36 6( x 2)( x 3)
高中数学 第四章 导数应用 4.1.1 导数与函数的单调性
新课活动二-----分析
函数
导数
函数单调性
函数在定义域上单调递增 函数在定义域上单调递增 函数在定义域上单调递增 函数在定义域上单调递增
在其定义域上,
f x 0
类似地
函数
y f x log1 x
2
导数
函数单调性
函数在定义域上单调递减 函数在定义域上单调递减
函数在定义域上单调递减
在其定义域上,
导数与函数的单调性
问题
？ 导数 f x
函数单调性
y在x点的瞬时变化 刻画 率
刻画
y随x的增大而增大， 或y随x的增大而减小
函数变化
新课活动一-----计算
函数
导数
y f x log1 x
2
f
x
1 x ln
1
2
函数单调性
函数在定义域上单调递增 函数在定义域上单调递增
函数在定义域上单调递减 函数在定义域上单调递增 函数在定义域上单调递减 函数在定义域上单调递增 函数在定义域上单调递减
例 1、求函数 f (x) 2x3 3x2 36x 16 的单调区间.
解：由导数公式表和求导法则可得
f '(x) 6x2 6x 36 6(x 2)(x 3)
令 f x 0 ，解得 x 2 或 x 3
当 x (, 2)或x (3, ) 时， f '(x) 0 ，
因此，在这两个区间上，函数是增加的；
2、讨论函数 y 2x sin x在 0,2 的单调性
归纳小结
• 1、导数与函数单调性的关系； • 2、用导数求函数的单调性；
f次函数 y x2
x
抽象概括
如果在某个区间内，函数 y f x 的导数 f x 0 ， 则在这个区间上，函数 y f x 是增加的；
数学选修北师大版 第四章 导数应用1.1+导数与函数的单调性 (共15张PPT)
再来看指数函数 , 对数函数导数及其单调 性. (1) y f ( x) 2 ,
x
f ( x) 2 ln 2; >0
x x
1 (2) y f ( x) , 2 (3) y f ( x) log3 x, (4) y f ( x) log1 x,
2
2.确定函数 f ( x ) x 3 6 x 2 7 在哪个区间 内是增函数，哪个区间内是减函数．
2 解：f ( x ) 6 x 12 x
令 6 x 2 12 x 0，解得 x 2或 x 0， f ( x )是增函数； 因此， 当 x (,0) 时，
f ( x )是增函数； 当 x (2,) 时，
例1求函数f ( x) 2 x 3x 36x 16
3 2
的递增区间与递减区间 .
40 20 3 2 O x
方法归纳
由导数来求函数的单调区间步骤: 1,先求出函数的导函数. 2,由导函数得到相应的不等式. 3,由不等式得相应的单调区间.
1.确定函数 f ( x ) x 2 2 x 4 在哪个区 间内是增函数，哪个区间内是减函数．
2
4.函数y＝x＋lnx的单调递增区间为( A) A．(0，＋∞)
B．(－∞，－1)，(1，＋∞) C．(－1,0) D．(－1,1)
5．函数y＝x2－4x＋a的
(2，＋∞) ， 单调递增区间为________
单调递减区间为________ (－∞，2) ．
导数与函数的单调性有什么关系?
在区间 (a ， b) 内函数的单调性与导数有如下关系： 导数 函数的单调性 增函数 单调________ 减函数 单调________ 常函数 _______
高中数学第四章导数应用4.1函数的单调性与极值4.1.1导数与函数的单调性导学案北师大版选修1_1
4.1.1 导数与函数的单调性学习目标 1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断(证明)函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间.知识点一 函数的单调性与导函数正负的关系 思考 观察下列各图，完成表格内容梳理 一般地，设函数y ＝f (x )，在区间(a ，b )上 (1)如果f ′(x )>0，则f (x )在该区间上是增加的. (2)如果f ′(x )<0，则f (x )在该区间上是减少的.知识点二 函数的变化快慢与导数的关系思考我们知道导数的符号反映函数y＝f(x)的增减情况，怎样反映函数y＝f(x)增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？答案如图所示，函数y＝f(x)在(0，b)或(a，0)内导数的绝对值较大，图像“陡峭”，在(b，＋∞)或(－∞，a)内导数的绝对值较小，图像“平缓”.梳理一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图像就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图像就“平缓”一些.类型一原函数与导函数的关系例1 已知函数y＝f(x)的图像如图所示，则函数y＝f′(x)的图像可能是图中的( )答案 C解析由函数y＝f(x)的图像的增减变化趋势判断函数y＝f′(x)的正、负情况如下表：由表可知函数y＝f′(x)的图像，当x∈(－1，b)时，函数图像在x轴下方；当x∈(b，a)时，函数图像在x轴上方；当x∈(a，1)时，函数图像在x轴下方.故选C.反思与感悟(1)对于原函数图像，要看其在哪个区间内单调递增，则在此区间内导数值大于零.在哪个区间内单调递减，则在此区间内导数值小于零.根据导数值的正负可判定导函数图像.(2)对于导函数的图像可确定原函数的增减区间及增减快慢.跟踪训练 1 已知y ＝f ′(x )的图像如图所示，则y ＝f (x )的图像最有可能是如图所示的( )答案 C解析 由f ′(x )>0(f ′(x )<0)的分界点判断原函数在此分界点两侧的图像的上升和下降趋势.由已知可得x 的取值范围和f ′(x )的正、负，f (x )的增减变化情况如下表所示：由表可知f (x )在(－∞，0)上是增加的，在(0，2)上是减少的，在(2，＋∞)上是增加的，满足条件的只有C ，故选C.类型二 单调区间的求解及单调性证明 命题角度1 求函数的单调区间 例2 求f (x )＝3x 2－2ln x 的单调区间. 解 f (x )＝3x 2－2ln x 的定义域为(0，＋∞). f ′(x )＝6x －2x＝x 2－x＝3x －3x ＋x， 由x >0，解f ′(x )>0，得x >33. 由x <0，解f ′(x )<0，得0<x <33. ∴函数f (x )＝3x 2－2ln x 的单调递增区间为(33，＋∞)， 单调递减区间为(0，33). 反思与感悟 求函数y ＝f (x )的单调区间的步骤(1)确定函数y ＝f (x )的定义域. (2)求导数y ′＝f ′(x ).(3)解不等式f ′(x )>0，函数在定义域内的解集上为增函数. (4)解不等式f ′(x )<0，函数在定义域内的解集上为减函数. 跟踪训练2 求函数f (x )＝exx －2的单调区间.解 函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞). f ′(x )＝exx －－exx －2＝exx －x －2.因为x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以e x>0，(x －2)2>0. 由f ′(x )>0，得x >3，所以函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)； 由f ′(x )<0，得x <3.又函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，2)和(2，3).命题角度2 证明函数的单调性例3 证明函数f (x )＝ln xx在区间(0，2)上是单调递增函数.证明 由题意，得f ′(x )＝1x·x －ln xx2＝1－ln x x2. ∵0<x <2，∴ln x <ln 2<1，1－ln x >0， ∴f ′(x )＝1－ln xx2>0. 根据导数与函数单调性的关系，可得函数f (x )＝ln x x在区间(0，2)上是单调递增函数.反思与感悟 利用导数证明不等式的一般步骤 (1)构造函数：F (x )＝f (x )－g (x ). (2)求导：F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x ). (3)判断函数的单调性.(4)若F (x )在区间上的最小值大于等于0，则f (x )≥g (x )；若F (x )在区间上的最大值小于等于0，则f (x )≤g (x ).跟踪训练3 证明：函数f (x )＝sin x x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上是减少的.证明 f ′(x )＝x cos x －sin x x 2，又x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos x <0，所以x cos x －sin x <0，所以f ′(x )<0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上是减少的.类型三 含参数函数的单调性例4 若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上是增加的，则k 的取值范围是________. 答案 [1，＋∞)解析 由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增⇔f ′(x )＝k －1x≥0在(1，＋∞)上恒成立.由于k ≥1x ，而0<1x<1，所以k ≥1.即k 的取值范围为[1，＋∞). 引申探究试求函数f (x )＝kx －ln x 的单调区间. 解 f (x )＝kx －ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝k －1x，当k ≤0时，函数的单调递减区间为(0，＋∞)；当k >0时，函数的单调递增区间为(1k ，＋∞)，单调递减区间为(0，1k).反思与感悟 (1)讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参数不等式的解集的问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准.(2)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；②先令f ′(x )>0(或f ′(x )<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f (x )是否满足题意.(3)恒成立问题的重要思路 ①m ≥f (x )恒成立⇒m ≥f (x )max ； ②m ≤f (x )恒成立⇒m ≤f (x )min .跟踪训练4 已知函数f (x )＝x 2＋2a ln x . (1)试讨论函数f (x )的单调区间；(2)若函数g (x )＝2x＋f (x )在[1，2]上是减函数，求实数a 的取值范围.解 (1)f ′(x )＝2x ＋2a x ＝2x 2＋2ax，函数f (x )的定义域为(0，＋∞).①当a ≥0时，f ′(x )>0，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；②当a <0时，f ′(x )＝x ＋－ax －－ax，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可知，函数f (x )的单调递减区间是(0，－a )； 单调递增区间是(－a ，＋∞).(2)由g (x )＝2x ＋x 2＋2a ln x ，得g ′(x )＝－2x 2＋2x ＋2a x，由已知函数g (x )为[1，2]上的单调减函数， 则g ′(x )≤0在[1，2]上恒成立， 即－2x 2＋2x ＋2ax≤0在[1，2]上恒成立，即a ≤1x－x 2在[1，2]上恒成立.令h (x )＝1x－x 2，则h ′(x )＝－1x 2－2x ＝－(1x2＋2x )<0，x ∈[1，2]，所以h (x )在[1，2]上为减函数，h (x )min ＝h (2)＝－72，所以a ≤－72.故实数a 的取值范围为{a |a ≤－72}.1.f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( ) A.(－∞，2)B.(0，3)C.(1，4)D.(2，＋∞)答案 D解析 f ′(x )＝e x ＋(x －3)·e x ＝(x －2)e x>0， 解得x >2.∴f (x )的单调递增区间是(2，＋∞).2.函数y ＝f (x )在定义域(－32，3)内可导，其图像如图所示，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集是( )A.[－13，1]∪[2，3)B.[－1，12]∪[43，83]C.(－32，12)∪[1，2]D.(－32，－1)∪[12，43]∪[83，3]答案 A解析 求f ′(x )≤0的解集，即求函数f (x )在(－32，3)上的单调减区间.由题干图像可知y＝f (x )的单调减区间为[－13，1]，[2，3).3.若函数f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)上是增加的，则m 的取值范围是( ) A.m ≥43B.m >43C.m ≤43D.m <43答案 A解析 ∵函数f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)上是增加的， ∴f ′(x )＝3x 2＋4x ＋m ≥0在R 上恒成立， 则判别式Δ＝16－12m ≤0，即m ≥43.4.若函数y ＝f (x )＝a (x 3－x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，则a 的取值范围是________. 答案 (0，＋∞)解析 f ′(x )＝a (3x 2－1)＝3a (x ＋33)(x －33)， 令f ′(x )<0，由已知得－33<x <33， 故a >0.5.已知a >0且a ≠1，证明：函数y ＝a x－x ln a 在(－∞，0)上是减少的. 证明 y ′＝a xln a －ln a ＝ln a (a x－1)， 当a >1时，因为ln a >0，a x<1，所以y ′<0，即y 在(－∞，0)上是减少的； 当0<a <1时，因为ln a <0，a x >1， 所以y ′<0，即y 在(－∞，0)上是减少的. 综上，函数y ＝a x－x ln a 在(－∞，0)上是减少的.1.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度.2.利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0； (4)根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间.40分钟课时作业一、选择题1.函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( ) A.(π2，3π2)B.(π，2π)C.(3π2，5π2)D.(2π，3π)答案 B解析 y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ， 若y ＝f (x )在某区间内是增函数， 只需在此区间内y ′>0恒成立即可， ∴只有选项B 符合题意，当x ∈(π，2π)时，y ′>0恒成立.2.下列函数中，在(0，＋∞)上是增函数的是( ) A.y ＝sin x B.y ＝x e xC.y ＝x 3－x D.y ＝ln x －x答案 B解析 显然y ＝sin x 在(0，＋∞)上既有增又有减，故排除A ；对于函数y ＝x e x ，因为e x恒大于零，易知y ＝x e x在(0，＋∞)内为增函数； 对于C ，y ′＝3x 2－1＝3(x ＋33)(x －33)， 故函数在(－∞，－33)，(33，＋∞)上为增函数， 在(－33，33)上为减函数；对于D ，y ′＝1x－1 (x >0). 故函数在(1，＋∞)上为减函数，在(0，1)上为增函数.故选B.3.设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图像如图所示，则导函数f ′(x )的图像可能是( )答案 C解析 原函数的单调性是当x <0时，f (x )单调递增； 当x >0时，f (x )的单调性变化依次为增、减、增，故当x <0时，f ′(x )>0；当x >0时，f ′(x )的符号变化依次为＋，－，＋.故选C. 4.函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( ) A.a ≤0 B.a <1 C.a <2 D.a ≤13答案 A解析 f ′(x )＝3ax 2－1，由题意知，对∀x ∈R ， 3ax 2－1≤0，当a >0时，显然不合题意， 当a ≤0时，成立.故a ≤0.5.函数f (x )的导函数为f ′(x )，若y ＝f ′(x )的图像如图所示，则f (x )的解析式可能是( )A.y ＝x 2－2x B.y ＝13x 3＋x 2C.y ＝x 2＋2xD.y ＝13x 3－x 2答案 B解析 由题图知f ′(x )＝0时，x 1＝－2，x 2＝0，由此可知B 正确.6.已知函数f (x )在定义域R 上为增函数，且f (x )＜0，则g (x )＝x 2f (x )在(－∞，0)内的单调情况一定是( ) A.单调递减 B.单调递增 C.先增后减 D.先减后增答案 B解析 因为函数f (x )在定义域R 上为增函数， 所以f ′(x )≥0.又因为g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )， 所以当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )＞0恒成立， 所以g (x )＝x 2f (x )在(－∞，0)内单调递增.7.函数f (x )＝sin x ＋2xf ′(π3)，f ′(x )为f (x )的导函数，令a ＝－12，b ＝log 32，则下列关系正确的是( ) A.f (a )>f (b ) B.f (a )<f (b ) C.f (a )＝f (b ) D.f (|a |)<f (b )答案 A解析 ∵f ′(x )＝cos x ＋2f ′(π3)，∴f ′(π3)＝cos π3＋2f ′(π3)，解得f ′(π3)＝－12，∴f (x )＝sin x －x ，由f ′(x )＝cos x －1≤0知函数f (x )为减函数，而－12<log 32， 则f (－12)>f (log 32)，即f (a )>f (b ). 二、填空题8.已知函数f (x )＝k e x －1－x ＋12x 2(k 为常数)，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线与x 轴平行，则f (x )的单调递减区间为____________.答案 (－∞，0)解析 f ′(x )＝k e x －1－1＋x ，∵曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线与x 轴平行，∴f ′(0)＝k ·e －1－1＝0，解得k ＝e ，故f ′(x )＝e x ＋x －1.令f ′(x )<0，解得x <0，故f (x )的单调递减区间为(－∞，0).9.若函数f (x )＝2x 3－3mx 2＋6x 在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m 的取值范围为__________.答案 (－∞，52] 解析 ∵f ′(x )＝6x 2－6mx ＋6，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立，即x 2－mx ＋1≥0恒成立，∴m ≤x ＋1x恒成立. 令g (x )＝x ＋1x ，g ′(x )＝1－1x 2， ∴当x >2时，g ′(x )>0，即g (x )在(2，＋∞)上是增加的，∴m ≤2＋12＝52. 10.函数f (x )的图像如图所示，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则不等式f x x <0的解集为________.答案 (－3，－1)∪(0，1)解析 由题图知，当x ∈(－∞，－3)∪(－1，1)时，f ′(x )<0，当x ∈(－3，－1)∪(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故不等式f x x <0的解集为(－3，－1)∪(0，1).11.如果函数y ＝f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，那么实数k 的取值范围是________.答案 [1，32) 解析 y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x ＝x ＋x －x ，由f ′(x )>0，得x >12，f (x )的增区间是(12，＋∞)， 由f ′(x )<0，得0<x <12，f (x )的减区间是(0，12)， 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ k －1<12<k ＋1，k －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ k －1<12，k ＋1>12，k －1≥0，得1≤k <32. 三、解答题12.若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1，4)内为减函数，在区间(6，＋∞)内为增函数，试求实数a 的取值范围.解 f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1＝(x －1)[x －(a －1)]，令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝a －1.因为f (x )在(1，4)内为减函数，所以当x ∈(1，4)时，f ′(x )≤0；因为f (x )在(6，＋∞)内为增函数，所以当x ∈(6，＋∞)时，f ′(x )≥0.所以4≤a －1≤6，解得5≤a ≤7.所以实数a 的取值范围为[5，7].13.已知二次函数h (x )＝ax 2＋bx ＋2，其导函数y ＝h ′(x )的图像如图，f (x )＝6ln x ＋h (x ).(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数f (x )在区间(1，m ＋12)上是单调函数，求实数m 的取值范围.解 (1)由已知，h ′(x )＝2ax ＋b ，其图像为直线，且过(0，－8)，(4，0)两点， 把两点坐标代入h ′(x )＝2ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 8a ＋b ＝0，b ＝－8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－8，∴h (x )＝x 2－8x ＋2，h ′(x )＝2x －8， ∴f (x )＝6ln x ＋x 2－8x ＋2.(2)f ′(x )＝6x ＋2x －8＝x －x －x (x >0).当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴f (x )的单调递增区间为(0，1)和(3，＋∞)， f (x )的单调递减区间为(1，3).要使函数f (x )在区间(1，m ＋12)上是单调函数，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1<m ＋12，m ＋12≤3， 解得12<m ≤52.即实数m 的取值范围为(12，52].。
高中数学第四章导数应用4.1函数的单调性与极值4.1.1导数与函数的单调性导学案北师大版选修1_1
4.1.1 导数与函数的单调性学习目标 1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断(证明)函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间.知识点一 函数的单调性与导函数正负的关系 思考 观察下列各图，完成表格内容梳理 一般地，设函数y ＝f (x )，在区间(a ，b )上 (1)如果f ′(x )>0，则f (x )在该区间上是增加的. (2)如果f ′(x )<0，则f (x )在该区间上是减少的.知识点二 函数的变化快慢与导数的关系思考我们知道导数的符号反映函数y＝f(x)的增减情况，怎样反映函数y＝f(x)增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？答案如图所示，函数y＝f(x)在(0，b)或(a，0)内导数的绝对值较大，图像“陡峭”，在(b，＋∞)或(－∞，a)内导数的绝对值较小，图像“平缓”.梳理一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图像就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图像就“平缓”一些.类型一原函数与导函数的关系例1 已知函数y＝f(x)的图像如图所示，则函数y＝f′(x)的图像可能是图中的( )答案 C解析由函数y＝f(x)的图像的增减变化趋势判断函数y＝f′(x)的正、负情况如下表：由表可知函数y＝f′(x)的图像，当x∈(－1，b)时，函数图像在x轴下方；当x∈(b，a)时，函数图像在x轴上方；当x∈(a，1)时，函数图像在x轴下方.故选C.反思与感悟(1)对于原函数图像，要看其在哪个区间内单调递增，则在此区间内导数值大于零.在哪个区间内单调递减，则在此区间内导数值小于零.根据导数值的正负可判定导函数图像.(2)对于导函数的图像可确定原函数的增减区间及增减快慢.跟踪训练 1 已知y ＝f ′(x )的图像如图所示，则y ＝f (x )的图像最有可能是如图所示的( )答案 C解析 由f ′(x )>0(f ′(x )<0)的分界点判断原函数在此分界点两侧的图像的上升和下降趋势.由已知可得x 的取值范围和f ′(x )的正、负，f (x )的增减变化情况如下表所示：由表可知f (x )在(－∞，0)上是增加的，在(0，2)上是减少的，在(2，＋∞)上是增加的，满足条件的只有C ，故选C.类型二 单调区间的求解及单调性证明 命题角度1 求函数的单调区间 例2 求f (x )＝3x 2－2ln x 的单调区间. 解 f (x )＝3x 2－2ln x 的定义域为(0，＋∞). f ′(x )＝6x －2x＝x 2－x＝3x －3x ＋x， 由x >0，解f ′(x )>0，得x >33. 由x <0，解f ′(x )<0，得0<x <33. ∴函数f (x )＝3x 2－2ln x 的单调递增区间为(33，＋∞)， 单调递减区间为(0，33). 反思与感悟 求函数y ＝f (x )的单调区间的步骤(1)确定函数y ＝f (x )的定义域. (2)求导数y ′＝f ′(x ).(3)解不等式f ′(x )>0，函数在定义域内的解集上为增函数. (4)解不等式f ′(x )<0，函数在定义域内的解集上为减函数. 跟踪训练2 求函数f (x )＝exx －2的单调区间.解 函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞). f ′(x )＝exx －－exx －2＝exx －x －2.因为x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以e x>0，(x －2)2>0. 由f ′(x )>0，得x >3，所以函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)； 由f ′(x )<0，得x <3.又函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，2)和(2，3).命题角度2 证明函数的单调性例3 证明函数f (x )＝ln xx在区间(0，2)上是单调递增函数.证明 由题意，得f ′(x )＝1x·x －ln xx2＝1－ln x x2. ∵0<x <2，∴ln x <ln 2<1，1－ln x >0， ∴f ′(x )＝1－ln xx2>0. 根据导数与函数单调性的关系，可得函数f (x )＝ln x x在区间(0，2)上是单调递增函数.反思与感悟 利用导数证明不等式的一般步骤 (1)构造函数：F (x )＝f (x )－g (x ). (2)求导：F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x ). (3)判断函数的单调性.(4)若F (x )在区间上的最小值大于等于0，则f (x )≥g (x )；若F (x )在区间上的最大值小于等于0，则f (x )≤g (x ).跟踪训练3 证明：函数f (x )＝sin x x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上是减少的.证明 f ′(x )＝x cos x －sin x x 2，又x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos x <0，所以x cos x －sin x <0，所以f ′(x )<0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上是减少的.类型三 含参数函数的单调性例4 若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上是增加的，则k 的取值范围是________. 答案 [1，＋∞)解析 由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增⇔f ′(x )＝k －1x≥0在(1，＋∞)上恒成立.由于k ≥1x ，而0<1x<1，所以k ≥1.即k 的取值范围为[1，＋∞). 引申探究试求函数f (x )＝kx －ln x 的单调区间. 解 f (x )＝kx －ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝k －1x，当k ≤0时，函数的单调递减区间为(0，＋∞)；当k >0时，函数的单调递增区间为(1k ，＋∞)，单调递减区间为(0，1k).反思与感悟 (1)讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参数不等式的解集的问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准.(2)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；②先令f ′(x )>0(或f ′(x )<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f (x )是否满足题意.(3)恒成立问题的重要思路 ①m ≥f (x )恒成立⇒m ≥f (x )max ； ②m ≤f (x )恒成立⇒m ≤f (x )min .跟踪训练4 已知函数f (x )＝x 2＋2a ln x . (1)试讨论函数f (x )的单调区间；(2)若函数g (x )＝2x＋f (x )在[1，2]上是减函数，求实数a 的取值范围.解 (1)f ′(x )＝2x ＋2a x ＝2x 2＋2ax，函数f (x )的定义域为(0，＋∞).①当a ≥0时，f ′(x )>0，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；②当a <0时，f ′(x )＝x ＋－ax －－ax，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可知，函数f (x )的单调递减区间是(0，－a )； 单调递增区间是(－a ，＋∞).(2)由g (x )＝2x ＋x 2＋2a ln x ，得g ′(x )＝－2x 2＋2x ＋2a x，由已知函数g (x )为[1，2]上的单调减函数， 则g ′(x )≤0在[1，2]上恒成立， 即－2x 2＋2x ＋2ax≤0在[1，2]上恒成立，即a ≤1x－x 2在[1，2]上恒成立.令h (x )＝1x－x 2，则h ′(x )＝－1x 2－2x ＝－(1x2＋2x )<0，x ∈[1，2]，所以h (x )在[1，2]上为减函数，h (x )min ＝h (2)＝－72，所以a ≤－72.故实数a 的取值范围为{a |a ≤－72}.1.f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( ) A.(－∞，2)B.(0，3)C.(1，4)D.(2，＋∞)答案 D解析 f ′(x )＝e x ＋(x －3)·e x ＝(x －2)e x>0， 解得x >2.∴f (x )的单调递增区间是(2，＋∞).2.函数y ＝f (x )在定义域(－32，3)内可导，其图像如图所示，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集是( )A.[－13，1]∪[2，3)B.[－1，12]∪[43，83]C.(－32，12)∪[1，2]D.(－32，－1)∪[12，43]∪[83，3]答案 A解析 求f ′(x )≤0的解集，即求函数f (x )在(－32，3)上的单调减区间.由题干图像可知y＝f (x )的单调减区间为[－13，1]，[2，3).3.若函数f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)上是增加的，则m 的取值范围是( ) A.m ≥43B.m >43C.m ≤43D.m <43答案 A解析 ∵函数f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)上是增加的， ∴f ′(x )＝3x 2＋4x ＋m ≥0在R 上恒成立， 则判别式Δ＝16－12m ≤0，即m ≥43.4.若函数y ＝f (x )＝a (x 3－x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，则a 的取值范围是________. 答案 (0，＋∞)解析 f ′(x )＝a (3x 2－1)＝3a (x ＋33)(x －33)， 令f ′(x )<0，由已知得－33<x <33， 故a >0.5.已知a >0且a ≠1，证明：函数y ＝a x－x ln a 在(－∞，0)上是减少的. 证明 y ′＝a xln a －ln a ＝ln a (a x－1)， 当a >1时，因为ln a >0，a x<1，所以y ′<0，即y 在(－∞，0)上是减少的； 当0<a <1时，因为ln a <0，a x >1， 所以y ′<0，即y 在(－∞，0)上是减少的. 综上，函数y ＝a x－x ln a 在(－∞，0)上是减少的.1.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度.2.利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0； (4)根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间.40分钟课时作业一、选择题1.函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( ) A.(π2，3π2)B.(π，2π)C.(3π2，5π2)D.(2π，3π)答案 B解析 y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ， 若y ＝f (x )在某区间内是增函数， 只需在此区间内y ′>0恒成立即可， ∴只有选项B 符合题意，当x ∈(π，2π)时，y ′>0恒成立.2.下列函数中，在(0，＋∞)上是增函数的是( ) A.y ＝sin x B.y ＝x e xC.y ＝x 3－x D.y ＝ln x －x答案 B解析 显然y ＝sin x 在(0，＋∞)上既有增又有减，故排除A ；对于函数y ＝x e x ，因为e x恒大于零，易知y ＝x e x在(0，＋∞)内为增函数； 对于C ，y ′＝3x 2－1＝3(x ＋33)(x －33)， 故函数在(－∞，－33)，(33，＋∞)上为增函数， 在(－33，33)上为减函数；对于D ，y ′＝1x－1 (x >0). 故函数在(1，＋∞)上为减函数，在(0，1)上为增函数.故选B.3.设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图像如图所示，则导函数f ′(x )的图像可能是( )答案 C解析 原函数的单调性是当x <0时，f (x )单调递增； 当x >0时，f (x )的单调性变化依次为增、减、增，故当x <0时，f ′(x )>0；当x >0时，f ′(x )的符号变化依次为＋，－，＋.故选C. 4.函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( ) A.a ≤0 B.a <1 C.a <2 D.a ≤13答案 A解析 f ′(x )＝3ax 2－1，由题意知，对∀x ∈R ， 3ax 2－1≤0，当a >0时，显然不合题意， 当a ≤0时，成立.故a ≤0.5.函数f (x )的导函数为f ′(x )，若y ＝f ′(x )的图像如图所示，则f (x )的解析式可能是( )A.y ＝x 2－2x B.y ＝13x 3＋x 2C.y ＝x 2＋2xD.y ＝13x 3－x 2答案 B解析 由题图知f ′(x )＝0时，x 1＝－2，x 2＝0，由此可知B 正确.6.已知函数f (x )在定义域R 上为增函数，且f (x )＜0，则g (x )＝x 2f (x )在(－∞，0)内的单调情况一定是( ) A.单调递减 B.单调递增 C.先增后减 D.先减后增答案 B解析 因为函数f (x )在定义域R 上为增函数， 所以f ′(x )≥0.又因为g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )， 所以当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )＞0恒成立， 所以g (x )＝x 2f (x )在(－∞，0)内单调递增.7.函数f (x )＝sin x ＋2xf ′(π3)，f ′(x )为f (x )的导函数，令a ＝－12，b ＝log 32，则下列关系正确的是( ) A.f (a )>f (b ) B.f (a )<f (b ) C.f (a )＝f (b ) D.f (|a |)<f (b )答案 A解析 ∵f ′(x )＝cos x ＋2f ′(π3)，∴f ′(π3)＝cos π3＋2f ′(π3)，解得f ′(π3)＝－12，∴f (x )＝sin x －x ，由f ′(x )＝cos x －1≤0知函数f (x )为减函数，而－12<log 32， 则f (－12)>f (log 32)，即f (a )>f (b ). 二、填空题8.已知函数f (x )＝k e x －1－x ＋12x 2(k 为常数)，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线与x 轴平行，则f (x )的单调递减区间为____________.答案 (－∞，0)解析 f ′(x )＝k e x －1－1＋x ，∵曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线与x 轴平行，∴f ′(0)＝k ·e －1－1＝0，解得k ＝e ，故f ′(x )＝e x ＋x －1.令f ′(x )<0，解得x <0，故f (x )的单调递减区间为(－∞，0).9.若函数f (x )＝2x 3－3mx 2＋6x 在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m 的取值范围为__________.答案 (－∞，52] 解析 ∵f ′(x )＝6x 2－6mx ＋6，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立，即x 2－mx ＋1≥0恒成立，∴m ≤x ＋1x恒成立. 令g (x )＝x ＋1x ，g ′(x )＝1－1x 2， ∴当x >2时，g ′(x )>0，即g (x )在(2，＋∞)上是增加的，∴m ≤2＋12＝52. 10.函数f (x )的图像如图所示，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则不等式f x x <0的解集为________.答案 (－3，－1)∪(0，1)解析 由题图知，当x ∈(－∞，－3)∪(－1，1)时，f ′(x )<0，当x ∈(－3，－1)∪(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故不等式f x x <0的解集为(－3，－1)∪(0，1).11.如果函数y ＝f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，那么实数k 的取值范围是________.答案 [1，32) 解析 y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x ＝x ＋x －x ，由f ′(x )>0，得x >12，f (x )的增区间是(12，＋∞)， 由f ′(x )<0，得0<x <12，f (x )的减区间是(0，12)， 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ k －1<12<k ＋1，k －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ k －1<12，k ＋1>12，k －1≥0，得1≤k <32. 三、解答题12.若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1，4)内为减函数，在区间(6，＋∞)内为增函数，试求实数a 的取值范围.解 f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1＝(x －1)[x －(a －1)]，令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝a －1.因为f (x )在(1，4)内为减函数，所以当x ∈(1，4)时，f ′(x )≤0；因为f (x )在(6，＋∞)内为增函数，所以当x ∈(6，＋∞)时，f ′(x )≥0.所以4≤a －1≤6，解得5≤a ≤7.所以实数a 的取值范围为[5，7].13.已知二次函数h (x )＝ax 2＋bx ＋2，其导函数y ＝h ′(x )的图像如图，f (x )＝6ln x ＋h (x ).(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数f (x )在区间(1，m ＋12)上是单调函数，求实数m 的取值范围.解 (1)由已知，h ′(x )＝2ax ＋b ，其图像为直线，且过(0，－8)，(4，0)两点， 把两点坐标代入h ′(x )＝2ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 8a ＋b ＝0，b ＝－8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－8，∴h (x )＝x 2－8x ＋2，h ′(x )＝2x －8， ∴f (x )＝6ln x ＋x 2－8x ＋2.(2)f ′(x )＝6x ＋2x －8＝x －x －x (x >0).当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴f (x )的单调递增区间为(0，1)和(3，＋∞)， f (x )的单调递减区间为(1，3).要使函数f (x )在区间(1，m ＋12)上是单调函数，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1<m ＋12，m ＋12≤3， 解得12<m ≤52.即实数m 的取值范围为(12，52].。
高中数学第四章导数应用4.1函数的单调性与极值4.1.1导数与函数的单调性导学案北师大版选修1-1
4.1.1 导数与函数单调性学习目标 1.理解导数与函数单调性关系.2.掌握利用导数判断(证明)函数单调性方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数单调区间.知识点一函数单调性与导函数正负关系思考观察以下各图，完成表格内容函数及其图像切线斜率k正负导数正负单调性正正[1，＋∞)上单调递增正正R上单调递增负负(0，＋∞)上单调递减负负(0，＋∞)上单调递减负负(－∞，0)上单调递减y f x a b(1)如果f′(x)>0，那么f(x)在该区间上是增加.(2)如果f′(x)<0，那么f(x)在该区间上是减少.导数值切线斜率倾斜角曲线变化趋势函数单调性思考我们知道导数符号反映函数y＝f(x)增减情况，怎样反映函数y ＝f(x)增减快慢呢？能否从导数角度解释变化快慢呢？答案如下图，函数y＝f(x)在(0，b)或(a，0)内导数绝对值较大，图像“陡峭〞，在(b，＋∞)或(－∞，a)内导数绝对值较小，图像“平缓〞.梳理一般地，如果一个函数在某一范围内导数绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数图像就比拟“陡峭〞(向上或向下)；反之，函数图像就“平缓〞一些.类型一原函数与导函数关系例1 函数y＝f(x)图像如下图，那么函数y＝f′(x)图像可能是图中( )答案C解析由函数y＝f(x)图像增减变化趋势判断函数y＝f′(x)正、负情况如下表：x轴下方；当x∈(b，a)时，函数图像在x轴上方；当x∈(a，1)时，函数图像在x轴下方.应选C.反思与感悟 (1)对于原函数图像，要看其在哪个区间内单调递增，那么在此区间内导数值大于零.在哪个区间内单调递减，那么在此区间内导数值小于零.根据导数值正负可判定导函数图像. (2)对于导函数图像可确定原函数增减区间及增减快慢.跟踪训练1 y ＝f ′(x )图像如下图，那么y ＝f (x )图像最有可能是如下图( ) 答案 C解析 由f ′(x )>0(f ′(xx 取值范围与f ′(x )正、负，f (x )增减变化情况如下表所示：x (－∞，0)(0，2) (2，＋∞)f ′(x ) ＋ － ＋ f (x )↗↘↗由表可知f (x )在(－∞，0)上是增加，在(0，2)上是减少，在(2，＋∞)上是增加，满足条件只有C ，应选C. 类型二 单调区间求解及单调性证明 命题角度1 求函数单调区间例2 求f (x )＝3x 2－2ln x 单调区间. 解 f (x )＝3x 2－2ln x 定义域为(0，＋∞). f ′(x )＝6x －2x ＝23x 2－1x＝23x －13x ＋1x，由x >0，解f ′(x )>0，得x >33.由x <0，解f ′(x )<0，得0<x <33.∴函数f (x )＝3x 2－2ln x 单调递增区间为(33，＋∞)，单调递减区间为(0，33).反思与感悟 求函数y ＝f (x )单调区间步骤 (1)确定函数y ＝f (x )定义域. (2)求导数y ′＝f ′(x ).(3)解不等式f ′(x )>0，函数在定义域内解集上为增函数. (4)解不等式f ′(x )<0，函数在定义域内解集上为减函数. 跟踪训练2 求函数f (x )＝e xx －2单调区间.解 函数f (x )定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞). f ′(x )＝e x x －2－e x x －22＝e x x －3x －22.因为x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以e x >0，(x －2)2>0. 由f ′(x )>0，得x >3，所以函数f (x )单调递增区间为(3，＋∞)； 由f ′(x )<0，得x <3.又函数f (x )定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以函数f (x )单调递减区间为(－∞，2)与(2，3).命题角度2 证明函数单调性 例3 证明函数f (x )＝ln xx在区间(0，2)上是单调递增函数. 证明 由题意，得f ′(x )＝1x·x －ln xx 2＝1－ln x x2. ∵0<x <2，∴ln x <ln 2<1，1－ln x >0， ∴f ′(x )＝1－ln xx2>0. 根据导数与函数单调性关系，可得函数f (x )＝ln x x在区间(0，2)上是单调递增函数.反思与感悟 利用导数证明不等式一般步骤 (1)构造函数：F (x )＝f (x )－g (x ). (2)求导：F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x ). (3)判断函数单调性.(4)假设F (x )在区间上最小值大于等于0，那么f (x )≥g (x )；假设F (x )在区间上最大值小于等于0，那么f (x )≤g (x ).跟踪训练3 证明：函数f (x )＝sin x x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π上是减少. 证明 f ′(x )＝x cos x －sin x x 2，又x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，π， 那么cos x <0，所以x cos x －sin x <0，所以f ′(x )<0，所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，π上是减少. 类型三 含参数函数单调性例4 假设函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上是增加，那么k 取值范围是________. 答案 [1，＋∞)解析 由于f ′(x )＝k －1x，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增⇔f ′(x )＝k －1x≥0在(1，＋∞)上恒成立.由于k ≥1x ，而0<1x<1，所以k ≥1.即k 取值范围为[1，＋∞). 引申探究试求函数f (x )＝kx －ln x 单调区间. 解 f (x )＝kx －ln x 定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝k －1x，当k ≤0时，函数单调递减区间为(0，＋∞)；当k >0时，函数单调递增区间为(1k ，＋∞)，单调递减区间为(0，1k).反思与感悟 (1)讨论含有参数函数单调性，通常归结为求含参数不等式解集问题，而对含有参数不等式要针对具体情况进展讨论，但始终注意定义域对单调性影响以及分类讨论标准.(2)利用导数法解决取值范围问题两个根本思路①将问题转化为不等式在某区间上恒成立问题，即f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，利用别离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝〞时是否满足题意；②先令f ′(x )>0(或f ′(x )<0)，求出参数取值范围后，再验证参数取“＝〞时f (x )是否满足题意. (3)恒成立问题重要思路①m ≥f (x )恒成立⇒m ≥f (x )max ； ②m ≤f (x )恒成立⇒m ≤f (x )min . 跟踪训练4 函数f (x )＝x 2＋2a ln x . (1)试讨论函数f (x )单调区间；(2)假设函数g (x )＝2x＋f (x )在[1，2]上是减函数，求实数a 取值范围.解 (1)f ′(x )＝2x ＋2a x ＝2x 2＋2ax，函数f (x )定义域为(0，＋∞).①当a ≥0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增区间为(0，＋∞)；②当a <0时，f ′(x )＝2x ＋－ax －－a x，当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：x (0，－a )－a (－a ，＋∞) f ′(x ) － 0＋ f (x )递减递增由上表可知，函数f (x )单调递减区间是(0，－a )； 单调递增区间是(－a ，＋∞).(2)由g (x )＝2x ＋x 2＋2a ln x ，得g ′(x )＝－2x 2＋2x ＋2a x，由函数g (x )为[1，2]上单调减函数， 那么g ′(x )≤0在[1，2]上恒成立， 即－2x 2＋2x ＋2ax≤0在[1，2]上恒成立，即a ≤1x－x 2在[1，2]上恒成立.令h (x )＝1x－x 2，那么h ′(x )＝－1x 2－2x ＝－(1x2＋2x )<0，x ∈[1，2]，所以h (x )在[1，2]上为减函数，h (x )min ＝h (2)＝－72，所以a ≤－72.故实数a 取值范围为{a |a ≤－72}.1.f (x )＝(x －3)e x 单调递增区间是( ) A.(－∞，2) B.(0，3) C.(1，4) D.(2，＋∞)答案 D解析 f ′(x )＝e x ＋(x －3)·e x ＝(x －2)e x >0， 解得x >2.∴f (x )单调递增区间是(2，＋∞).y ＝f (x )在定义域(－32，3)内可导，其图像如下图，记y ＝f (x )导函数为y ＝f ′(x )，那么不等式f ′(x )≤0解集是( )A.[－13，1]∪[2，3)B.[－1，12]∪[43，83]C.(－32，12)∪[1，2]D.(－32，－1)∪[12，43]∪[83，3]答案 A解析 求f ′(x )≤0解集，即求函数f (x )在(－32y ＝f (x )单调减区间为[－13，1]，[2，3). f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)上是增加，那么m 取值范围是( ) A.m ≥43B.m >43C.m ≤43D.m <43答案 A解析 ∵函数f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)上是增加，∴f ′(x )＝3x 2＋4x ＋m ≥0在R 上恒成立， 那么判别式Δ＝16－12m ≤0，即m ≥43.y ＝f (x )＝a (x 3－x )单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎪⎫－33，33，那么a 取值范围是________. 答案 (0，＋∞)解析 f ′(x )＝a (3x 2－1)＝3a (x ＋33)(x －33)，令f ′(x )<0，由得－33<x <33，故a >0.a >0且a ≠1，证明：函数y ＝a x －x ln a 在(－∞，0)上是减少.证明 y ′＝a x ln a －ln a ＝ln a (a x －1)， 当a >1时，因为ln a >0，a x <1，所以y ′<0，即y 在(－∞，0)上是减少； 当0<a <1时，因为ln a <0，a x >1， 所以y ′<0，即y 在(－∞，0)上是减少.综上，函数y ＝a x －x ln a 在(－∞，0)上是减少.1.导数符号反映了函数在某个区间上单调性，导数绝对值大小反映了函数在某个区间或某点附近变化快慢程度.f (x )单调区间一般步骤：(1)确定函数f (x )定义域；(2)求导数f ′(x )；(3)在函数f (x )定义域内解不等式f ′(x )>0与f ′(x )<0； (4)根据(3)结果确定函数f (x )单调区间.40分钟课时作业一、选择题y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( )A.(π2，3π2)B.(π，2π)C.(3π2，5π2)D.(2π，3π)答案 B解析 y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ， 假设y ＝f (x )在某区间内是增函数， 只需在此区间内y ′>0恒成立即可， ∴只有选项B 符合题意，当x ∈(π，2π)时，y ′>0恒成立.2.以下函数中，在(0，＋∞)上是增函数是( ) A.y ＝sin x B.y ＝x e x C.y ＝x 3－x D.y ＝ln x －x 答案 B解析 显然y ＝sin x 在(0，＋∞)上既有增又有减，故排除A ；对于函数y ＝x e x ，因为e x 恒大于零，易知y ＝x e x 在(0，＋∞)内为增函数；对于C ，y ′＝3x 2－1＝3(x ＋33)(x －33)，故函数在(－∞，－33)，(33，＋∞)上为增函数，在(－33，33)上为减函数；对于D ，y ′＝1x －1 (x >0).故函数在(1，＋∞)上为减函数，在(0，1)上为增函数.应选B.f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )图像如下图，那么导函数f ′(x )图像可能是( ) 答案 C解析 原函数单调性是当x <0时，f (x )单调递增； 当x >0时，f (x )单调性变化依次为增、减、增，故当x <0时，f ′(x )>0；当x >0时，f ′(x )符号变化依次为＋，－，＋.应选C.f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，那么( )A.a ≤0B.a <1C.a <2D.a ≤13答案 A解析 f ′(x )＝3ax 2－1，由题意知，对∀x ∈R ， 3ax 2－1≤0，当a >0时，显然不合题意， 当aa ≤0.f (x )导函数为f ′(x )，假设y ＝f ′(x )图像如下图，那么f (x )解析式可能是( ) A.y ＝x 2－2xB.y ＝13x 3＋x 2C.y ＝x 2＋2xD.y ＝13x 3－x 2答案 B解析 由题图知f ′(x )＝0时，x 1＝－2，x 2＝0，由此可知B 正确.f (x )在定义域R 上为增函数，且f (x )＜0，那么g (x )＝x 2f (x )在(－∞，0)内单调情况一定是( ) A.单调递减 C.先增后减答案 B解析 因为函数f (x )在定义域R 上为增函数， 所以f ′(x )≥0.又因为g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )，所以当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )＞0恒成立， 所以g (x )＝x 2f (x )在(－∞，0)内单调递增.f (x )＝sin x ＋2xf ′(π3)，f ′(x )为f (x )导函数，令a ＝－12，b ＝log 32，那么以下关系正确是( ) A.f (a )>f (b ) B.f (a )<f (b ) C.f (a )＝f (b ) D.f (|a |)<f (b )答案 A解析 ∵f ′(x )＝cos x ＋2f ′(π3)，∴f ′(π3)＝cos π3＋2f ′(π3)，解得f ′(π3)＝－12，∴f (x )＝sin x －x ，由f ′(x )＝cos x －1≤0知函数f (x )为减函数， 而－12<log 32，那么f (－12)>f (log 32)，即f (a )>f (b ).二、填空题f (x )＝k ex －1－x ＋12x 2(k 为常数)，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处切线与x轴平行，那么f (x )单调递减区间为____________. 答案 (－∞，0)解析 f ′(x )＝k e x －1－1＋x ，∵曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处切线与x 轴平行， ∴f ′(0)＝k ·e －1－1＝0，解得k ＝e ， 故f ′(x )＝e x ＋x －1. 令f ′(x )<0，解得x <0，故f (x )单调递减区间为(－∞，0).f (x )＝2x 3－3mx 2＋6x 在区间(2，＋∞)上为增函数，那么实数m 取值范围为__________. 答案 (－∞，52]解析 ∵f ′(x )＝6x 2－6mx ＋6， 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立，即x 2－mx ＋1≥0恒成立，∴m ≤x ＋1x恒成立.令g (x )＝x ＋1x ，g ′(x )＝1－1x2，∴当x >2时，g ′(x )>0，即g (x )在(2，＋∞)上是增加， ∴m ≤2＋12＝52.f (x )图像如下图，f ′(x )为函数f (x )导函数，那么不等式f ′xx<0解集为________.答案 (－3，－1)∪(0，1)解析 由题图知，当x ∈(－∞，－3)∪(－1，1)时，f ′(x )<0， 当x ∈(－3，－1)∪(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故不等式f ′xx<0解集为(－3，－1)∪(0，1).y ＝f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，那么实数k 取值范围是________. 答案 [1，32)解析 y ＝f (x )定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x ＝2x ＋12x －1x，由f ′(x )>0，得x >12，f (x )增区间是(12，＋∞)，由f ′(x )<0，得0<x <12，f (x )减区间是(0，12)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12，k ＋1>12，k －1≥0，得1≤k <32.三、解答题f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1，4)内为减函数，在区间(6，＋∞)内为增函数，试求实数a 取值范围.解 f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1＝(x －1)[x －(a －1)]， 令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝a －1. 因为f (x )在(1，4)内为减函数， 所以当x ∈(1，4)时，f ′(x )≤0； 因为f (x )在(6，＋∞)内为增函数， 所以当x ∈(6，＋∞)时，f ′(x )≥0.所以4≤a －1≤6，解得5≤a ≤7. 所以实数a 取值范围为[5，7].h (x )＝ax 2＋bx ＋2，其导函数y ＝h ′(x )图像如图，f (x )＝6ln x ＋h (x ).(1)求函数f (x )解析式；(2)假设函数f (x )在区间(1，m ＋12)上是单调函数，求实数m 取值范围.解 (1)由，h ′(x )＝2ax ＋b ，其图像为直线，且过(0，－8)，(4，0)两点， 把两点坐标代入h ′(x )＝2ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧8a ＋b ＝0，b ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－8，∴h (x )＝x 2－8x ＋2，h ′(x )＝2x －8， ∴f (x )＝6ln x ＋x 2－8x ＋2. (2)f ′(x )＝6x＋2x －8＝2x －1x －3x(x >0).当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：x (0，1) 1 (1，3) 3 (3，＋∞) f ′(x ) ＋ 0－ 0＋ f (x )↗↘↗∴f (x )f (x )单调递减区间为(1，3).要使函数f (x )在区间(1，m ＋12)上是单调函数，那么⎩⎪⎨⎪⎧1<m ＋12，m ＋12≤3， 解得12<m ≤52.即实数m 取值范围为(12，52].。
2021年高中数学第四章导数应用4.1.1导数与函数的单调性课件8北师大版选修1_1
求可导函数f(x)单调区间的步骤：
〔1〕确定函数的定义域；
〔2〕求导数；
〔3〕解不等式，解集在定义域内的局 部为增区间；
〔4〕解不等式，解集在定义域内的局 部为减区间．
课堂练习
请在5分钟内完成导学案中的当堂检测！
答案： B,C,D,B,A
知识小结：
一般地，函数y＝f〔x〕在某个区间内：
如果 f’(x)>0
当 f (x) 0 , 即x 1 17 或x 1 17 时, 函
数 f (x)单调递增;
2
2
当 f ( x) 0 , 即 1 17 x 1 17 时,函数
2
2
f (x)单调递减.
单调递增 -1 2区 1+7 ,间 +); 为 (,- - (1 21-7 );单调递-减 1 21-区 7 ,-1 2 间 1+7 )为
导数与函数的单调性
复习引入
我们判断一个函数的单调性主要有哪 些方法？
1.定义法 2.图象法
函数 y = f (x) 在给定区间 I 上，当 x 1、x 2 ∈I 且 x 1＜ x 2 时 1〕都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )，那么 f ( x ) 在I上是增函数； 2〕都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )，那么 f ( x ) 在I 上是减函数；
单调递增区间)为;单 (1调 ,+递减区间 ,1为 )
例2 判断以下函数的单调性, 并求出单调区间: (1) f ( x) x 3 3 x; (2) f ( x) x 2 2 x 3;
(3 )f(x) 2 x3 3 x2 2x4 1 .
(3) 因为 f (x) 6x2 6x 24, 所以
I=(a,b)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x 数为0.函数在该点单
调性发生改变.
上面是否可得下面一般性的结论: 如果在某区间上f’(x)>0,则f(x)为该区间上增函数;
如果在某区间上f’(x)<0,则f(x)为该区间上减函数.
K12课件
5
一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,则函数在
该区间有下面的结论: 如果在某区间上f’(x)>0,则f(x)为该区间上的增函数; 如果在某区间上f’(x)<0,则f(x)为该区间上的减函数.
证明
f′(x)＝xcos
x－sin x2
x，又
x∈2π，π，
则 cos x<0，∴xcos x－sin x<0，
∴f′(x)<0，∴f(x)在2π，π上是减函数．
K12课件
9
K12课件
7
总结：根据导数确定导数. 3.解不等式f’(x)>0,得函数单增区间;
解不等式f’(x)<0,得函数单减区间.
问题2：如果f(x)在某个区间上单调递增, 那么在该区间上必有f ’(x)>0吗?
K12课件
8
【变式 1】 试证明：函数 f(x)＝sinx x在区间π2，π上单调递减．
K12课件
1
如何确定函数y=x2－4x＋3的单调性？ 1.图像法:函y数y=x2－4x＋3的图象
02
x
递增区间：（２，+∞）.
递减区间：(－∞，２).
K12课件
2
2.定义法
2.由定义证明函数的单调性的一般步骤：
(1)设x1、x2是给定区间的任意两个 值，且x1< x2.
(2)作差f(x1)－f(x2)，并变形.
K12课件
6
例1：讨论函数y=x2－4x＋3的单调性.
方法3:导数法
解:函数的定义域为R, f’(x)=2x-4 令f ’(x)>0,解得x>2， 则f(x)的单增区间为（2，＋∞）. 再令f ’(x)<0,解得x<2, 则f(x)的单减区间(－∞,2).
练习:讨论下列函数的单调性
(1)y=x-x2 (2)y=x3-x2
(3)判断差的符号(与０比较)，从而 得函数的单调性.
K12课件
3
是否有更为简捷的方法呢？
K12课件
4
观察函数y=x2－4x＋3的图象上的点的切线：
y
0 ....2
. ..
总结:该函数在区间 （－∞，2）上递减,
切线斜率小于0,即其
导数为负,在区间（2，
+∞）上递增,切线斜
率大于0,即其
导数为正.而当x=2时