二次函数(第三课时)
北师大版九年级数学下册件 2.2 第3课时 二次函数y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2+k课
A．（-3，-2） B．（-2，0） C．（-5，0） D．（-3，0）
C
）
三、即学即练，应用知识
1
5.抛物线 y ( x 2)2 7 的对称轴是________
直线x=2，顶点坐标是________；
（2，7）
3
减小
当x＞2时，y随x的增大而_______；当x＜2时，y随x的增大而_______；
顶点(0,− ）
顶点(-3，− ）
二、自主合作，探究新知
议一议：二次函数y=a（x-h）2+k与y=ax2的图象有什么关系？
一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数y=a (x-h)2+k的
图象.因此，二次函数y=a (x-h)2+k的图象是一条抛物线，它的开口方
向、对称轴和顶点坐标与a，h， k的值有关.
北师大版 数学 九年级下册
第二章 二次函数
2
二次函数的图象与性质
第3课时
学习目标
1.能够画出函数y＝a(x－h)2和函数y＝a(x－h)2＋k的图象，并能
理解它们与y＝ax2的图象的关系，理解a，h和k对二次函数图象
的影响．(重点)2.能正确说出y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、
对称轴和顶点坐标．3.探索函数y＝a(x－h)2和函数y＝a(x－h)2
而减小；当x>0时，y
随x增大而增大.
最值
x=0时，y最小值=k
向下
y轴（直线x=0）
（0,k）
当x<0时，y随x增大
而增大；当x>0时，
y随x增大而减小.
x=0时，y最大值=k
一、创设情境，引入新知
人教版九上数学教学课件 第二十二章 二次函数 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
答：这个喷水池的直径 AB 是 20 m。
Thank you!
y
hO k
x
y=ax2
y=a(x-h)2+k
例4 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管， 在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池 中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离 池中心3m，水管应多长.
解：如图,以水管与地面交点为原点，原点
3
与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直
随堂测试
基础巩固 1.抛物线y＝(x＋2)2－1可以由抛物线y＝x2平移得到，下列平 移方法中正确的是( B ) A．先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度
3 4 m 处达到最高，高度为 6 m，之后落在水池边缘，求这个喷水池的直径 AB 的值．
解：设 y 轴右侧抛物线的解析式为 y＝a(x－4)2＋6，将(0，10 )代入得 3
16a＋6＝10 ，解得 a＝－1 ，∴抛物线的解析式为 y＝－1 (x－4)2＋6，令 y
3
6
6
＝0 得－1 6
(x－4)2＋6＝0，x1＝10，x2＝－2(舍) ∴AB＝10－(－10)＝20(m).
R·九年级上册
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图像和性质 22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
新课导入
问题：说说抛物线y=ax2的平移规律.
y=ax2
y=ax2+k
22.1.3 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质说课稿
22.1.3 第3课时二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质教学设计【典型例题】例1对二次函数y＝－5(x＋2)2－6的说法错误的是(C)A.开口向下B．最大值为－6C.顶点(2，－6) D．x＜－2时，y随x的增大而增大例2如何平移二次函数y＝4(x＋3)2－7的图象，可得到二次函数y＝4x2的图象？解：二次函数y＝4(x＋3)2－7的图象向右平移3个单位长度，向上平移7个单位长度即可得到二次函数y＝4x2的图象.例3要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心3 m，如图所示，水管应多长？解：水管应长2.25 m.教师为学生理解问题、顺利解答问题，进行分层次设问：(1)分析该题的突破口是什么？(2)如何建立平面直角坐标系？(3)你能求出该抛物线的函数解析式吗？(4)根据解析式你能求出水管的长度吗？学生思考讨论，小组合作探究，教师进行点拨指导，进行板书过程. 【变式训练】1.抛物线y＝a(x＋k)2＋k(k≠0)，当k取不同的值时，抛物线的顶点恒在(B)A.直线y＝x上B．直线y＝－x上C．x轴上 D．y轴上2.对于抛物线y＝－(x＋2)2＋3，下列结论中正确的有(A)【课堂检测】1.二次函数y ＝2(x －2)2－1的图象大致是(A)A B C D2.在平面直角坐标系中，对于二次函数y ＝(x －2)2＋1，下列说法中错误的是(C) A.y 的最小值为1B.图象顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x ＝2C.当x ＜2时，y 的值随x 值的增大而增大，当x ≥2时，y 的值随x 值的增大而减小D.当x ＜2时，y 的值随x 值的增大而减小，当x ≥2时，y 的值随x 值的增大而增大3.把二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后，得到二次函数y ＝12(x ＋1)2－1的图象.(1)试确定a ，h ，k 的值.(2)指出二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.解：(1)a ＝12，h ＝1，k ＝－5.(2)开口向上，对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为(1，－5). 学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.。
人教版初中数学22.3 实际问题与二次函数(第3课时) 课件
① 能够将实际距离准确 的转化为点的坐标；
② 选择运算简便的方法
课后作业
作业 内容
22.3 实际问题与二次函数/
教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习
2. 如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面
的高度y(米）关于水平距离x(米）的函数解析式
为y
1 8
x2
1 2
x
32，那么铅球运动过程中y
最高点离地面的距离为 2 米.
O
x
课堂检测
22.3 实际问题与二次函数/
3. 某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成
的，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢
的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护
栏需要不锈钢00m
C.160m
D.200m
课堂检测
22.3 实际问题与二次函数/
能力提升题
某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房．如图，板房一 面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为12m，抛物 线拱高为5.6m． （1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式．
81.5=a•4502+0.5.
y
解得
a
81 4502
1. 2500
故所求表达式为 y
1
x2 0.5(450 x 450).
2500
-450
O
450 x
课堂检测
22.3 实际问题与二次函数/
(2)计算距离桥两端主塔分别为100m,50m处垂直钢索的长.
y 1 3502 0.5 49.5(m).
2500
y
当x=450﹣50=400（m）时，得
5.2二次函数的图像和性质 第3课时 二次函数y=ax^2 bx c的图像和性质(教学课件)-初中数
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的性质
二次函数y=-x2-4x-5 的图像如图所示.
由图像可知， 当x=-2时， y的值最大， 最大值是-1.
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的图像
y＝
1 2
x2－6x＋21
y＝
1 2
(x2－12x)＋21
你知道是怎样配方的吗？ 1. “提”：提出二次项系数；
1 y＝ 2 (x2－12x＋36－36)＋21
y＝ 1 (x－6) 2＋21－18 2
2.“配”：括号内配成完全平方式；
a＜0时，抛物线开口向下，函数有最大值；
4ac － b2
函数在顶点处取得有最大（小）值 4a
.
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的图像
练一练：用配方法将二次函数y=x2-8x-9化为y=a(x-h)2+k的形式 为( B ) A.y=(x-4)2+7 B.y=(x-4)2-25 C.y=(x+4)2+7 D.y=(x+4)2-25
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的性质
例1 画出二次函数y=-x2-4x-5的图像，并指出它的开口方向、顶点坐 标、对称轴、最大值或最小值. 【分析】要画出二次函数y=-x2-4x-5的图像，可先将函数表达式变
人教版九年级数学上册课件 第二十二章 二次函数 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
13．有相同对称轴的两条抛物线的图象如图所示，则下列关系不正确的 是( C )
A.h＝m B．k＞n C．k＝n D．h＞0，k＞0
14．(2020·兰州)点A(－4，3)，B(0，k)在二次函数y＝－(x＋2)2＋h的图 象上，则k＝__3__．
15．(2020·广安)已知二次函数 y＝a(x－3)2＋c(a，c 为常数，a＜0)，当
自变量 x 分别取 5 ，0，4 时，所对应的函数值分别为 y1，y2，y3，则 y1， y2，y3 的大小关系为_y__2＜__y_3_＜__y_1____(用“＜”连接).
点坐标为(1，－5)
(3)当 x＜1 时，y 随 x 的增大而增大
9．(2020·哈尔滨)将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个 单位长度，所得到的拋物线为( D )
A．y＝(x＋3)2＋5 B．y＝(x－3)2＋5 C．y＝(x＋5)2＋3 D．y＝(x－5)2＋3
10．函数y＝3(x－1)2＋2是由函数y＝3x2的图象先向_右___平移1个单位， 再向__上__平移__2__个单位得到的．
3．抛物线 y＝－ 2 (x－5)2＋3 的开口向__下__，对称轴是直线__x_＝__5__．
4．对于抛物线y＝－(x＋1)2－3，下列结论错误的是( B ) A．抛物线的开口向下 B．对称轴为直线x＝1 C．顶点坐标为(－1，－3) D．x＞1时，y随x的增大而减小
5．(兰州中考)已知点A(1，y1)，B(2，y2)在抛物线y＝－(x＋1)2＋2上， 则下列结论正确的是( A )
【精】 《二次函数的图象和性质(第3课时)》精品教案
《二次函数（第3课时）》精品教案
（1）抛物线顶点坐标___________；
（2）对称轴为________；
（3）当x=____时，y有最大值是_____；
（4）当________时，y随着x得增大而增大．（5）当____________时，y＞0．
4.将函数y=3x+1的图象向______平行移动_____个单位，可使它经过点（1，-1）．
5.若将函数y=2x2的图象向右平行移动1个单位，再向上平移5个单位，可得到________________。
课堂小结通过本节课的内容，你有哪些收获？
（2）对称轴是x＝h．
（3）顶点是（h，k）．
（4）平移规律：h值正右移，负左移；k值正上移，负下移. 学会总结学
习收获，巩
固知识点，
理清知识间
的联系。
让学生
来谈本
节课的
收获，培
养学生
自我检
查、自我
小结的
良好习
惯，将知
识进行
整理并
系统化。
《二次函数的图象与性质(第3课时)》优秀课件
小结:
本节课主要运用了数形结合的思想方法,通过对
函数图象的讨论,分析归纳出 y a(x h)2 k
的性质:(1)a的符号决定抛物线的开口方向 (2)对称轴是直线x=h
(3)顶点坐标是(h,k)
抛物线
开口方向 对称轴 顶点坐标
y ax2 (a 0)
y ax 2 k(a 0) y a(x h)2 (a 0)
开口向上 开口向上 开口向上
直线X=0 直线X=0 直线X=h
(0,0) (0,k)
(h,0)
y a(x h)2 k(a 0) 开口向上 直线X=h (h,k)
2
直线x=-1
(- 1, 0)4，y2）（
1 4
，y3）为二次函数
y=(x-2)2图象上的三点，则y1 ，y2 ，y3的大小关系为
___y_3_＜__y_2_＜__y1____.
典例精析
例1 抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)， 求a的值和平移后的函数关系式．
解：设平移后的函数关系式为y＝a(x－3)2，
把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2， ，
∴
1 a=
4
∴平移后二次函数关系式为y＝ 1 (x－3)2.
4
小结
比较y=ax2 ， y=ax²+k ， y=a(x-h)²的图像的不同
y=ax2 y=ax²+k
对称轴 Y轴
Y轴
(直线x=0） (直线x=0）
2) 如何将抛物线y=2(x-1) 2+3经过平移得到 抛物线y=2x2
3) 将抛 物线y=2(x -1)2+3经过怎样的平移得 到抛物线y=2(x+2)2-1
4) 若抛物线y=2(x-1)2+3沿x轴方向平移后,经 过(3,5),求平移后的抛物线的解析式_______
初中数学 二次函数的图像和性质(第3课时)
··· －8 －4.5 －2
1 2
0
1 －2
2
···
y=－
1 2
－4 －2
﹙x+1﹚2
－2
－4
y 1 x2 2
－6
24
y=－
1 2
﹙x-1﹚2
－4 －2 －2
y=－
1 2
﹙x+1﹚2
－4
－6
24
y=－ 21﹙x-1﹚2
可以看出，抛物线 y 1 x 12 的开口向下，对称轴
2
是经过点（－1，0）且与x轴垂直的直线，我们把它记住
-1
y
2
1
4
(x
6
2)2
2个单位 2
-2
顶点(－2,0)
向左平移 2个单位
顶点(0,0)
向右平-3 移 2个单-4位
顶点(2,0)
直线x=－2
向左平移对称轴:y轴 向右平移 2个单位即直线: x=0 2个单位
直线x=2
一般地,抛物线y=a(x－h)2有如下特点:
(1)对称轴是x=h;
y
x
(2)顶点是(h,0).
y 1 x 2 y 1 (x 2)2
2
2
观察三条抛物线的
y 1 (x 2)2
2
6
5
相互关系,并分别指
y 1 x 22
4
2
出它们的开口方向,
3
对称轴及顶点.
2
1
y 1 x 22
y 1 x2 2
2
y 1 (x 2)2 向左平移-8
2
2个单位
-6
-4
y 1 x2
2
向右平移 -2 B
22.1.3 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
坐标及增减性等；
2．掌握二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象的平移规律． 课堂导入
一个运动员打高尔夫球，如果球的飞行高度 y(m)与水平距离 x(m)之间的函数
解析式为 y＝－510(x－25)2＋12，那么高尔夫球飞行过程中的最大高度是多少？
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第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
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第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
(3)当 y＝1.5 时，1.5＝－34(x－1)2＋3， 解得 x1＝1＋ 2，x2＝1－ 2， 故当 0<m<1＋ 2时，才不会淋湿衣裳．
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第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
8．[2018·湘潭]如图 22-1-16，点 P 为抛物线 y＝14x2 上的一动点．
后的铅球沿一段抛物线轨迹运行，当运行到最高 3 m 时，水平距离为 4 m.
(1)求这个二次函数的解析式． (2)该同学把铅球推出去多远？ 图 22-1-14
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第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
解：(1)设二次函数的解析式为 y＝a(x－4)2＋3， 把(0,0.6)代入，得 0.6＝a(0－4)2＋3，a＝－230， ∴y＝－230(x－4)2＋3. (2)当 y＝0 时，0＝－230(x－4)2＋3， 解得 x1＝4＋2 5，x2＝4－2 5(舍去)． 答：该同学把铅球推出去(4＋2 5) m.
2．[2017·金华]对于二次函数 y＝－(x－1)2＋2 的图象与性质，下列说法正确的 是( B )
A．对称轴是直线 x＝1，最小值是 2 B．对称轴是直线 x＝1，最大值是 2 C．对称轴是直线 x＝－1，最小值是 2 D．对称轴是直线 x＝－1，最大值是 2
二次函数图像和性质第三课时
欢迎来到第三课时，我们将探索二次函数的定义、性质以及图像的变换和解 析式的影响。让我们一起发现这个引人入胜的主题！
二次函数的定义和性质
定义
二次函数是一个数学函数的 形式，具有一次项和二次项， 表达式为y = ax²+ bx + c。
性质
二次函数的图像通常是一个 平滑的曲线，具有对称性和 特定的函数等于零的x值，它们对 应着图像与x轴的交点，也在实际问题中有重要的 解释。
二次函数的应用
物理问题中的二次函数应用
二次函数在物理问题中的应用非常广泛，例如描述 抛物线形状的拱桥。
抛体运动
二次函数被用来描述抛体运动，如抛射物的轨迹和 高度随时间的变化。
基本形态
二次函数的图像可以是上开 口、下开口或者是两个相同 的顶点。
二次函数图像的平移与缩放
1
平移变换
通过改变二次函数的解析式中的常数项，我们可以上下平移图像。
2
缩放变换
改变二次函数的解析式中的系数，我们可以垂直方向上对图像进行拉伸或压缩。
3
影响
平移和缩放变换会改变图像的位置、形状以及图像的开口方向。
二次函数的解析式
1 一般式和顶点式
2 参数的影响
二次函数可以用一般式 y = ax²+ bx + c 或顶点 式 y = a(x - h)²+ k 来表示。
二次函数的各个参数，如a、h、k和c，会对 图像的位置、形状和开口方向产生影响。
二次函数的最值和零点
最值
通过求解二次函数的最值，我们可以确定图像的最 高点或最低点，这在实际问题中具有重要意义。
人教版九年级数学上册《二次函数的图象和性质(第3课时)》示范教学课件
向上
观看动图，思考抛物线 y＝ax²＋k(a＞0)与抛物线 y＝ax²(a＞0)有什么关系？
归纳
开口方向
顶点坐标
最大（小）值
对称轴
增减性
二次函数 y＝ax2＋k(a＞0)的图象性质
向上
(0，k)
当 x＝0 时，y最小值＝k
y 轴
当 x＞0 时，பைடு நூலகம் 随 x 的增大而增大；当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小
4
－4
x
y
x
y
O
y＝－2x2－1
y＝－2x2＋1
2
－2
－4
－6
－8
－10
－2
2
4
－4
思考
（1）抛物线 y＝－2x²＋1，y＝－2x²－1 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？
函数
y＝－2x²＋1
y＝－2x²－1
开口方向
对称轴
顶点坐标
向下
y 轴
x
y
y＝－2x2＋1
O
y＝－2x2－1
2
－2
－4
－6
例2 在同一直角坐标系中，画出二次函数 y＝－2x²＋1， y＝－2x²－1 的图象．
解：先列表，然后描点，再分别画出它们的图象．
x
···
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
···
y＝－2x2＋1
y＝－2x2－1
O
2
－2
－4
－6
－8
－10
－2
2
4
－4
2
－2
－4
－6
第3课时 二次函数的对称性与增减性
第3课时 二次函数的对称性与增减性【知识概述】1. 抛物线2y ax bx c =++是以直线2bx a=-为对称轴的轴对称图形，由此可以进一步得到如下性质： (1)抛物线上纵坐标相同的两点是对称点（特例：如果抛物线交x 轴于两点，那么这两点是对称点）； (2)抛物线上对称两点的纵坐标相等；(3)抛物线线上有两点12x m x m （，），（，），则抛物线的对称轴方程为直线12+2x x x =，进一步可推得1212++22b ba x x x ax =-⇒=-； 2. 对于二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ， (1) a ＞0时，当2b x a ≥-，y 随x 的增大而增大；当2bx a ≤-时，y 随x 的增大而减小； (2) a ＜0时，当2b x a ≥-，y 随x 的增大而减小；当2bx a≤-时，y 随x 的增大而增大. 【例题精选】例1 抛物线c bx ax y ++=2上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应如下，从表可知：下列说法: ①抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0）；②函数的最大值为6 ；③抛物线的对称轴是直线12x =，④在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，正确的有____________________.(填序号) 思路点拨：根据表格先找出抛物线上的一对对称点，从而确定抛物线的对称轴位置.例2 已知二次函数2(2)y a x c =-+，图象过点（x 1， y 1），（x 2，y 2），若|x 1-2|＞|x 2-2|，则下列解析式中正确的是（ ）A ． y 1+y 2＞0B ． y 1-y 2＞0C ． a （y 1-y 2）＞0D ． a （y 1+y 2）＞0例3 二次函数221y x x =-+ 在3≤x ≤5范围内的最小值为________ .【配套练习】1. 若抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠ 0)过点A (2，m )， B (4，m )，则对称轴是直线 ．2. 已知二次函数的与的部分对应值如下表：则下列判断:①抛物线开口向上； ②抛物线与轴交于负半轴； ③当＝4时，＞0 ；④方程的正根在3与4之间. 其中判断正确的序号是___.3. 已知抛物线2222y ax ax a =+++（a 为常数）与x 轴交于点(-3，0)，那么该抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为 ．4. 已知二次函数215322y x x =---，设自变量的值分别为x 1，x 2，x 3，对应的函数值依次为123y y y ，，，当1233x x x -<<<时，123y y y ，，的大小关系是（ ）A ．321y y y >>B ．132 y y y >>C ．231y y y >>D ．321y y y <<5. 已知抛物线236y x x k =-+ （k 为常数）经过点A (0.85，y 1)，B (1.1，y 2), C (2，y 3),则有( ) A . y 1＜y 2＜y 3 B . y 1＞y 2＞y 3 C. y 3＞y 1＞y 2 D . y 1＞y 3＞y 26. 若二次函数2y ax bx c =++，当x 取x x x x ≠1212，（） 时，函数值相等，则当12+x x x =时，函数值为（ ） A ．a +c B ．a -c C ． -c D ．c7. 已知关于x 的二次函数 y =a （x -h ）2+k (a ，h ，k 为常数)的图象经过（0，5)，（8，8)两点．若 a ＜0，0＜h ＜8，则下列值中 h 可能取的值是（）A ．1B ．3C ． 4D ．58. 已知一个二次函数图象经过P 1（-3，y 1），P 2（-1，y 2），P 3（1，y 3），P 4（3，y 4）四点， 若y 3＜y 2＜y 4，则y 1，y 2，y 3，y 4的最值情况是（ ）A ．y 3最小，y 1最大B ．y 3最小，y 4最大C ．y 1最小，y 4最大D ．无法确定 9. 已知二次函数221y x mx =-+ （m 为常数），当自变量x 的值满足-1≤x ≤2时，与其对应的函数值y 的最小值为-2，则m 的值为 ． 10. 已知二次函数y ＝a （x +a ）（x +a -1）．（1）当a ＝2时，求该二次函数图象的对称轴．（2）当a ＜0时，判断该二次函数图象的顶点所在的象限，并说明理由． （3）当0＜x ＜3时，y 随着x 增大而增大，求a 的取值范围．c bx ax y ++=2y x y x y 02=++c bx ax第3课时 二次函数的对称性与增减性参考答案例1 ①③④例2 若a ＞0时，则二次函数图象开口向上，∵|x 1﹣2|＞|x 2﹣2|，∴y 1＞y 2，∴a （y 1﹣y 2）＞0，但无法确定y 1+y 2的正负情况；若a ＜0时，则二次函数图象开口向下，∵|x 1﹣2|＞|x 2﹣2|，∴y 1＜y 2，∴a （y 1﹣y 2）＞0，但无法确定y 1+y 2的正负情况，综上所述，解析式正确的是a （y 1﹣y 2）＞0，故选C ．例3 抛物线221y x x =-+开口向上，对称轴是直线x =1，故当3≤x ≤5时，y 随x 的增大而增大，x =3时，y 有最小值4． 【练习】1．x =3 2．④ 3．(1，0) 4．D 5．C 6．D 7．D 8．A 9．-2或 310．(1) 当a ＝2时，y ＝2（x +2）（x +1），∴二次函数的对称轴为直线x ＝-2-12＝－ 32(2) 由题知二次函数与x 轴的交点坐标为（﹣a ，0），（1﹣a ，0），∵a ＜0，∴﹣a ＞0，1﹣a ＞0，∴顶点横坐标112022a a a x -+--==>，当122a x -=时，=04a y >-，∴顶点坐标12)24a a--（，在第一象限． (3) 由(2) 知，二次函数的对称轴为直线x ＝1-2a2，∵当0＜x ＜3时，y 随着x 增大而增大， ∴当a ＞0时，1-2a 2≤0，a ≥12；当a ＜0时，1-2a 2≥3，a ≤－52． ∴a 的取值范围为a ≥12或a ≤－52．。
数学人教版九年级上册二次函数第三课时
对于二次函数 y ax
a>0时 顶点坐标 对称轴 位置
（ 0， 0）
y轴 在x轴的上方 （除顶点外） 向上
2
a< 0时
（ 0， 0）
y轴 在x轴的下方 （除顶点外） 向下
开口方向 当x=0时,y最小值=0。 当x=0时,y最大值=0 最值 增减性
④
y 2对称轴为
轴；
）．
3顶点坐标（０ k,
例2 在同一平面直角坐标系内 1 1 2 2 ) ) 与 y (x1 画出 y (x 1 2 2 的图象．
12 12 例 题 2 ： 参 照 下 表 画 出 函 数 y = ( x + 1 ) 与 y = ( x 1 ) 的 图 象 2 2
y随着x的增大而减小，当x= _____
它是由抛物线y= −2x2线怎样平移得到
的__________.
（2）抛物线 y= x² -5 的顶点坐标 是____，对称轴是____,在对称轴 的左侧，y随着x的 ；在 对称轴的右侧，y随着x的 ， 当x=____时，函数y的值最___， 最小值是 .
总结:
1 2 y ( x h ) 向及对称轴、顶点的位置.你能说出抛物线 2
的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？
试一试自己的能力
1、要从抛物线y= - 2x2的图象得到y= - 2x2-1的图象， 则抛物线y=-2x2必须（ B）. A．向上平移1个单位； B．向下平移1个单 位； C．向左平移1个单位； D．向右平移1个单 2.抛物线y= 2x2 向上平移5个单位,会得到哪条抛物 位． 线.向下平移3.4个单位呢? 3、把抛物线y= 2x2-4x+2化成y= a(x-h)2的形式,并指 出抛物线的开口方向,对称轴,顶点坐标;函数有最大 值还是最小值?是多少?
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(第三课时)
解得k≤1，
即k的取值范围是k≤1
（3）解：设方程的两个根分别是x1，x2，
根据题意，得(x1 -3)(x2 -3)＜ 0， 即 x1 x2 -3(x1 + x2 )+9 ＜ 0， ∵ x1 + x2 = 5-k， x1 x2 =1-k ∴ 1-k-3(5-k)+9＜0 解得k＜ ，
则k的最大整数值为2.
16.（2017•荆州调考）已知关于x的方程 （m-1）x2+（m-2）x-1=0． （1）求证：无论m为何实数，方程总有实数根； （2）m为何整数时，方程有两个不相等的整数根； （3）m 取不同的实数（m ≠1）,就对应不同的抛物线 y=（m-1）x2+（m-2）x-1，请证明当m（m ≠1） 变化时，所有这些不同的抛物线 y=（m-1）x2+（m-2）x-1有公共点，并求出它们 的公共点. （1）证明：当m=1时，方程为-x-1=0有唯一实数根x=1 当m ≠1时 △=(m﹣2)2+4（m﹣2） =m2 ≥0 ∴无论m为何实数，方程总有实数根.
y
O A x
y O B
y
y x O x
-1 0
x
x
O
C
D
7. 小明从左边的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象观察得出 下面的五条信息：① a＜0；② c＝0；③ 函数的最小 值为-3； ④当x＜0时，y＞0； ⑤当0＜x1＜x2＜2时， y1＞y2 你认为其中正确的个数有（ C ） A．2 B ．3 C．4 D．5 y y
看作是抛物线y=-
x2+bx+c的一部分，其中出球点B离地面O
点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m，那么这条抛物 线的解析式是 （ B ） A. C. B. D.
二次函数的图象和性质 (第3课时)人教数学九年级上册PPT课件
x
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探究新知
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
a>0
a<0
h>0 图象
h<0
开口方向 对称轴 顶点坐标
函数的增减性
最值
向上
向下
直线x=h （h,k）
直线x=h （h,k）
当x<h时，y随x增大而减小； 当x<h时，y随x增大而增大；
当x>h时，y随x增大而增大. 当x>h时，y随x增大而减小.
解：由函数顶点坐标是（1，-2）， 设二次函数的关系式为y=a(x-1)2-2. 因为图象过点(0，0)，则0=a(0-1)2-2， 解得a=2. 所以这个二次函数的关系式为y=2(x-1)2-2.
课堂检测
拓广探索题
某某在某次投篮中，球的运动线路是抛物线y= 1 x2+3.5的一
5
部分(如图)，若命中篮圈中心，则她与篮底的距离l是( B )
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的 图象和性质 （第3课时）
素养目标
3. 能说出抛物线y=a(x-h)2+k的开口方向、 对称轴、顶点.
2. 理解二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)与y=ax2 (a ≠0)之间的联系. 1. 能画出y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象.
y - 12（Oxy +1）2
-4 -2
2 4x
-2 -4
y
-
1 2
x2
-6
y - 12（x+1）2-1
y
-
1 2
《二次函数的图象与性质》二次函数PPT课件(第3课时)
13.抛物线y=a(x+2)2过点(1,-3). (1)求抛物线对应的函数表达式; (2)指出抛物线的对称轴、顶点坐标; (3)当x取何值时,y的值随x值的增大而减小?
解:(1)∵抛物线经过点(1,-3),∴-3=9a,a=-13. ∴抛物线的函数表达式为 y=-13(x+2)2. (2)对称轴为直线 x=-2,顶点坐标为(-2,0). (3)∵a=-13<0,∴当 x>-2 时,y 的值随 x 值的增大而减小.
15.如图,抛物线y=a(x-h)2+k与x轴的一个交点为A(3,0),与y轴的交点为B(0,3),其顶点为 C,对称轴为直线x=1.
(1)求抛物线对应的函数表达式; (2)M为y轴上的一个动点,当△ABM为等腰三角形时,求点M的坐标. 解:(1)抛物线对应的函数表达式为y=-(x-1)2+4. (2)①当MA=MB时,点M(0,0); ②当AB=AM时,点M(0,-3);
关系是 ( B )
A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3
C.y3>y1>y2 D.y3>y2>y1
【变式拓展】对于二次函数y=-
1 3
x2+2,当x为x1和x2时,对应的函数值分别为y1和y2.
假设x1>x2>0,那么y1和y2的大小关系是 ( B )
A.y1>y2 B.y1<y2
C.y1=y2 D.无法比较
《二次函数的图象与性 质》二次函数PPT课件(
第3课时)
第二章 二次函数
二次函数的图象与性质
第3课时
知识点1 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
1.对于函数y=-2(x-3)2,以下说法不正确的 ( D )
22.1.3 第3课时 二次函数 y=a(x-h)^2+k的图象和性质
第3课时二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质知识要点基础练知识点1二次函数y=a(x-h)2+k的图象1.二次函数y=2(x+2)2-1的图象大致是(C)2.抛物线y=(x+4)2-1可以由抛物线y=x2平移得到,下列平移方法中正确的是(B)A.先向左平移4个单位,再向上平移1个单位B.先向左平移4个单位,再向下平移1个单位C.先向右平移4个单位,再向上平移1个单位D.先向右平移4个单位,再向下平移1个单位3.对于二次函数y=(x-3)2+5的图象,下列说法正确的是(D)A.开口向下B.当x=3时,y有最大值是5C.对称轴是x=-3D.顶点坐标是(3,5)知识点2二次函数y=a(x-h)2+k的性质4.与抛物线y=3(x-3)2+4形状相同的抛物线是(B)A.y=(x-3)2B.y=3x2C.y=(2x-1)2+3D.y=(2x-3)2+45.若抛物线y=(x-m)2+(m+1)的顶点在第一象限,则m的取值范围为(B)A.m>1B.m>0C.m>-1D.-1<m<06.已知点A(4,y1),B(,y2),C(-2,y3)都在二次函数y=(x-2)2-1的图象上,则y1,y2,y3按从小到大的顺序排列为y2<y1<y3.综合能力提升练7.在平面直角坐标系中,如果抛物线y=4x2不动,把x轴向上、y轴向右平移3个单位,那么在新坐标系中抛物线的解析式是(B) A.y=4(x-3)2+3 B.y=4(x+3)2-3C.-y=4(x-3)2+3D.y=4(x+3)2+38.在下列二次函数中,其图象对称轴为x=-2的是(A)A.y=(x+2)2-3B.y=2x2-2C.y=-2x2-2D.y=2(x-2)29.已知二次函数y=a(x-1)2-c的图象如图所示,则一次函数y=ax+c的图象经过(A)A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限10.已知二次函数y=3(x+1)2+1,-2≤x≤1,那么函数y的值(D)A.最小值是1,最大值是5B.最小值是1,无最大值C.最小值是3,最大值是9D.最小值是1,最大值是1311.如图,点A是抛物线y=a(x-3)2+k与y轴的交点,AB∥x轴交抛物线于另一点B,点C为该抛物线的顶点,若△ABC为等边三角形,则a的值为(C)A. B. C. D.112.写出与y=-x2+3的图象形状相同,但开口方向不同,顶点坐标是(4,5)的抛物线的解析式y=(x-4)2+5.13.一条抛物线和y=-3x2的图象形状相同,并且顶点坐标是(-6,1),则此抛物线的函数解析式为y=-3(x+6)2+1或y=3(x+6)2+1.14.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=m(x+3)2+n与y=m(x-2)2+n+1交于点A.过点A作x 轴的平行线,分别交两条抛物线于点B,C(点B在点C左侧),则线段BC的长为10.15.如图,点A,B的坐标分别为(1,4)和(4,4),抛物线y=a(x-m)2+n的顶点在线段AB上运动,与x轴交于C,D两点(C在D的左侧),点C的横坐标的最小值为-3,则点D的横坐标的最大值为8.16.已知抛物线y=a(x-3)2+2经过点(1,-2).(1)求该抛物线的顶点坐标;(2)求a的值;(3)若点A(m,y1),B(n,y2)(m<n<3)都在该抛物线上,试比较y1与y2的大小.解:(1)该抛物线的顶点坐标是(3,2).(2)∵y=a(x-3)2+2经过点(1,-2),∴-2=a(1-3)2+2,解得a=-1,即a的值是-1.(3)y1<y2.17.如图,已知抛物线y=a(x-h)2+k与x轴的一个交点为A(3,0),与y轴的交点为B(0,3),其顶点为C,对称轴为直线x=1.(1)求抛物线对应的函数解析式;(2)已知点M为y轴上的一个动点,当△ABM为等腰三角形时,求点M的坐标.解:(1)y=-(x-1)2+4.(2)①当MA=MB时,M(0,0);②当AB=AM时,M(0,-3);③当AB=BM时,M(0,3+3)或M(0,3-3).综上可知,点M的坐标为(0,0)或(0,-3)或(0,3+3)或(0,3-3).拓展探究突破练18.在同一平面直角坐标系中,如果两个二次函数y1=a1(x+h1)2+k1与y2=a2(x+h2)2+k2的图象的形状相同,并且对称轴关于y轴对称,那么我们称这两个二次函数互为“梦函数”,例如:二次函数y=(x+1)2-1与y=(x-1)2+3互为“梦函数”.(1)写出二次函数y=(x+3)2+2的一个梦函数y=(x-3)2+2(答案不唯一);(2)任意一个二次函数的“梦函数”有无数个;(3)①一对“梦函数”中,a1与a2的关系为|a1|=|a2|,h1与h2的关系为互为相反数(或h1+h2=0);②若一对“梦函数”中,a1≠a2,h1=h2,且这对“梦函数”的图象无公共点,请探究k1与k2的关系.解:(2)提示:因为一对梦函数与k的大小无关,所以任意一个二次函数的“梦函数”有无数个. (3)②因为a1≠a2,所以a1与a2互为相反数.又因为h1=h2,h1与h2关于y轴对称,所以h1=h2=0.设y1=a1x2+k1,y2=-a1x2+k2(a≠0).令y1=y2,得a1x2+k1=-a1x2+k2,整理得2a1x2+k1-k2=0.因为y1与y2的图象无公共点,所以方程2a1x2+k1-k2=0无解,所以Δ=02-4×2a1(k1-k2)<0,所以8a1(k1-k2)>0,当a1>0时,k1>k2;当a1<0时,k1<k2.。
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一、知识回顾当k>0时，向上平移|k| 个单位长度当k<0时，向下平移|k| 个单位长度3．练习（1） 指出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，必要时画草图进行验证：5)3(22--=x y 2)1(5.0+-=x y1432--=x y 5)2(22+-=x y（2）对于二次函数2)21(3--=x y ，它的图象与二次函数23x y -=的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？（3） 怎样由22x y =的图象得到函数3)1(22+-=x y 的图象？当x 取哪些值时，y 的值随x 值的增大而增大？当x 取哪些值时，y 的值随x 值的增大而减小？（4）若抛物线y=-x 2向左平移2个单位,再向下平移4个单位所得抛物线的解析式是________（5）如何将抛物线y=2(x-1)2 +3经过平移得到抛物线y=2x 2？（6） 将抛 物线y=2(x -1) 2+3经过怎样的平移得到抛物线y=2(x+2) 2-1？（7）若抛物线y=2(x-1) 2+3沿x 轴方向平移后,经过(3,5),平移后的抛物线的解析式是______二、 探究 y = ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点坐标公式 1. 把下列函数用配方法配成顶点式二次函数。
2．求二次函数y=ax ²+bx+c （a ≠0）的对称轴和顶点坐标．3．想一想,函数y=ax 2+bx+c 和y=ax 2的图象之间的关系是什么？三、 巩固练习1. 二次函数y =ax 2+bx+c 的图象的形状 （ ）A ．只与a 有关B ．只与b 有关C ．只与a, b 有关D ．与 a , b ，c 都有关 2. 将二次函数向左平移3个单位后得到的函数图像解析式为（ ） A ．B ．C ．D ．3．若二次函数y=mx 2-3x+2m-m 2的图象经过原点，则m 的值是（ ） A ．1 B ．0 C ．2 D ．0或2 4．二次函数的图像上有点A （2013，a ）,B （2014，b ），关于a,b 的大小关系，下列正确的是（ ）A ．a>bB ．a<bC ．a=bD ．m 的取值不确定，无法确定a,b 的大小5．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，有下列结论：①a 、b 同号；②当x=1时和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x 的值只能取2；⑤当-1<x<5时，y<0 ；其中正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个()1312212+-=x x y ()31980522-+-=x x y()()()x x y -+=212346．函数y=kx与y=﹣kx 2+k （k ≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）7. 已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc ＜0②b ＜a+c ③4a+2b+c ＞0④2c ＜3b ⑤a+b ＞m （am+b ），（m ≠1的实数）其中正确的结论的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 8．当ab>0时，y ＝ax 2与y ＝ax ＋b 的图象大致是（ ）9．已知抛物线y=a （x-2）2+k （a ＞0，a ，k 为常数），A （-3，y 1）B （3，y 2）C （4，y 3）是抛物线上三点，则y 1，y 2，y 3由小到大依序排列为（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 2＜y 3＜y 1D ．y 3＜y 2＜y 1 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x 2经过平移得到抛物线y=12x 2-2x ，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是（ ）A ．2B ．4C ．8D ．1611．如图所示的抛物线是二次函数y=ax 2+5x+4﹣a 2的图象，那么a 的值是（ ）A ．2B ．﹣2C ．﹣52D ．±212．已知二次函数y=x 2+bx+c 的图象上有三个点（﹣1，y 1）、（1，y 2）、（3，y 3），若y 1=y 3，则（）A．y2＞c＞y1B．y2＜c＜y1C．c＞y1＞y2D．c＜y1＜y2 13．二次函数y=x2﹣x+m（m为常数）的图象如图所示，当x=a时，y＜0；那么当x=a﹣1时，函数值（）A．y＜0 B．0＜y＜m C．y＞m D．y=m 14．已知二次函数y=x2+2（a﹣1）x+2．如果x≤4时，y随x增大而减小，则常数a的取值范围是（）A．a≥﹣5 B．a≤﹣5 C．a≥﹣3 D．a≤﹣315．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）A．a＜0 B．b2﹣4ac＜0 C．当﹣1＜x＜3时，y＞0 D．-b2a=1 16．如果关于x的二次函数y=x2－2x＋k与x轴只有1个交点，则k＝_________。
17．函数y=-（x+5）2+7的图像的对称轴是直线。
18．抛物线y=ax2-bx+11（a≠0）与y轴的交点坐标是。
19．若将抛物线y=12x2先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是20．如图，抛物线的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P(4，0)在抛物线上，则的值_____________.二次函数（第四课时）A y=(x+1)2+4B y=(x+1)2+2C y=(x-1)2+4D y=(x-1)2+2 2.一、复习回顾1.二次函数表达式的一般形式是2.二次函数表达式的顶点式是3.若二次函数y=ax ²+bx+c(a ≠0)与x 轴两交点为(1x ,0),( 2x ,0)则其函数表达式可以表示成)x -x (x -x 21）（a y = (a ≠0).4.我们在用待定系数法确定一次函数y=kx+b (k,b 为常数，k ≠0)的关系式时，通常需要 个独立的条件；确定反比例函数xky =(k ≠0)的关系式时，通常只需要 个条件.5.如果要确定二次函数的关系式y=ax ²+bx+c (a,b,c 为常数,a ≠0)，通常又需要几个条件 ? 二、初步探究例1.图2-7是一名学生推铅球时，铅球行进高度y (m)与水平距离x (m)的图象，你能求出其表达式吗？小结：确定二次函数的关系式y=ax ²+bx+c (a,b,c 为常数,a ≠0)，通常需要3 个条件; 当知道顶点坐标（h,k ）和知道图象上的另一点坐标两个条件，用顶点式k h x a y +-=2)(可以确定二次函数的关系式.练习：已知二次函数y=ax2+c的图象经过点（2，3）和（－1，－3），求出这个二次函数的表达式.例2. 已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点（2，5）和（-2，13），求这个二次函数的表达式.小结：1.用顶点式k-(确定二次函数关系式，当知道顶点（h,k）坐标=2)y+hxa时，那么再知道图象上的另一点坐标，就可以确定这个二次函数的关系式.2. 用一般式y=ax²+bx+c确定二次函数时，如果系数a,b,c中有两个是未知的，知道图象上两个点的坐标，也可以确定二次函数的表达式.练习：1.已知二次函数的图象顶点是（-1，1），且经过点（1，-3），求这个二次函数的表达式.2. 已知二次函数y=x²+bx+c的图象经过点（1，1）与（2，3）两点.求这个二次函数的表达式.例3. 已知一个二次函数的图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标．思考练习：一个二次函数的图象经过点 A（0，1），B（1，2），C（2，1），你能确定这个二次函数的表达式吗？你有几种方法？小结：用待定系法确定二次函数关系式时，要灵活运用顶点式、交点式和一般式。
一般步骤是：1.求下列函数解析式(1) 图象经过点（－1，3），（1，3），（2，6）(2) 抛物线顶点坐标为（－1，9），并且与y轴交于（0，－8）(3) 抛物线的对称轴是直线x=2，与x轴的一个交点为（－2，0），与y轴交于点（0，12）2. 当x＝2时，函数的最大值是1，且图象与x轴两个交点之间的距离为2。
3.如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．求抛物线的解析式。
抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，3）它的对称轴是直线x=，求抛物线的解析式。
5．已知在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=，若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内，将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．求经过点O，C，A三点的抛物线的解析式．6．如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB=OC=3，OA=OD=1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点，直线AD与抛物线交于另一点M．（1）求这条抛物线的解析式；（2）P为抛物线上一动点，E为直线AD上一动点，是否存在点P，使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）请直接写出将该抛物线沿射线AD方向平移个单位后得到的抛物线的解析式．。