用放缩法证明不等式
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利用放缩法证明数列型不等式
一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用
1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题。裂项放缩法主要有两种类型：
（1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。
例1 设数列a的前n项的和
n
412
n1
S a2，n1,2,3,。设
n n
333
T
n
n
2
S
n
，n1,2,3,，证明：
i n
1
3
T。
i
2
证明：易得S
n
2
3
n1n
(21)(21),
n
32311
T()，
n n1n n n1
2(21)(21)22121
n n
3113111111 T()()
i i i11223n n1 22121221212121212 1 i1
i1
3113
=11
()
n
221212
点评：此题的关键是将
n
2
n1n
(21)(21)
裂项成
11
n n，然后再求和，即可达到目标。
1
2121
（2）先放缩通项，然后将其裂成n(n3)项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。
例 2 已知数列{a}和{b n}满足a12,a n1a n(a n11)，b n a n1，数列{b n}的前n和为S n，n
T S S；（I）求证：n2n n
S
T T；（II）求证：当n2时，2
n1n
n
7n11
12
。
证明：（I）T T
n1n
111111
() n2n32n2n1n22n
111 2n12n2n1
1
(2n1)(2n2)
0∴T n1T n．
（II）n2,S S S S S S S S
n n n n n
112211
22222T T T T S n n
12211 22
由（I）可知T递增，从而
n
17
T T T，又112
T,S1,T，
2n2n
122
212
717n11
S T T T T S211
(n1)T T S(n1)1 2n2n2n
12211
12212
即当n2时，S
n
27n11 12
。
点评：此题（II）充分利用（I）的结论，T递增，将
n S裂成
2n
S S S S S S S的2n2n2n2 n
112211
和，从而找到了解题的突破口。
2、迭乘放缩法：放缩法与迭乘法的结合，用放缩法构造迭乘形式，相乘时消去中间项。用于解决积式问题。
*
例3 已知数列a n的首项为a13,点a n,a n1在直线3x y0(n N)上。
若3*
c log a2(n N),证明对任意的
n3n
*
n N ，不等式
111
3
(1)(1+)(1+)3n1
c c c
12n
恒成立．
证明：c3n2，
n
13n13n13n3n13n1 33
(1+)()
c3n23n23n13n3n2
n
所以
111473n1
3
[(1)(1+)(1+)]3n1
c c c143n2
12n
即
111
3
(1)(1+)(1+)3n1
c c c
12n
。
点评：此题是证明积式大于根式，由于左边没有根式，右边是三次根式，立方后比较更容易处理。13n1
33
(1+)()
可以看成是三个假分式的乘积，保持其中一项不变，另两项假分数分子分母同时加1，加c3n2 n
2，则积变小，
3n13n13n3n13n1
3
()
3n23n23n13n3n2
，而通项式为
3n1
{}
3n2
的数列在迭乘时刚好相消，
从而达到目标。
3、迭代放缩法：通过放缩法构造递推不等关系，进行迭代，从而求解。
11
例4 已知数列{x}满足，11
x,x,n N*
n n
21x
n ，证明：
12
n1
|x x|()。
n1n
65
证明：当n1时，
1
|x x||x x|，结论成立。
n1n21
6
当n2时，易知0x1,1x2,x
n1n1n
11
1x2
n1
15 (1x)(1x)(1)(1x)2x
n n1n1n1
1x2
n1
11|x x|
n n1
|x x|||
n1n
1x1x(1x)(1x)
n n1n n122212
2n1n1 |x x|()|x x|()|x x|() n n1n n121
55565
点评：此题将目标式进行放缩得到递推不等关系，进行迭代，找到解题途径。
4、等比公式放缩法：先放缩构造成等比数列，再求和，最后二次放缩实现目标转化。