用放缩法证明不等式

利用放缩法证明数列型不等式

一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用

1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题。裂项放缩法主要有两种类型：

（1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。

例1 设数列a的前n项的和

n

412

n1

S a2，n1,2,3,。设

n n

333

T

n

n

2

S

n

，n1,2,3,，证明：

i n

1

3

T。

i

2

证明：易得S

n

2

3

n1n

(21)(21),

n

32311

T()，

n n1n n n1

2(21)(21)22121

n n

3113111111 T()()

i i i11223n n1 22121221212121212 1 i1

i1

3113

=11

()

n

221212

点评：此题的关键是将

n

2

n1n

(21)(21)

裂项成

11

n n，然后再求和，即可达到目标。

1

2121

（2）先放缩通项，然后将其裂成n(n3)项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。

例 2 已知数列{a}和{b n}满足a12,a n1a n(a n11)，b n a n1，数列{b n}的前n和为S n，n

T S S；（I）求证：n2n n

S

T T；（II）求证：当n2时，2

n1n

n

7n11

12

。

证明：（I）T T

n1n

111111

() n2n32n2n1n22n

111 2n12n2n1

1

(2n1)(2n2)

0∴T n1T n．

（II）n2,S S S S S S S S

n n n n n

112211

22222T T T T S n n

12211 22

由（I）可知T递增，从而

n

17

T T T，又112

T,S1,T，

2n2n

122

212

717n11

S T T T T S211

(n1)T T S(n1)1 2n2n2n

12211

12212

即当n2时，S

n

27n11 12

。

点评：此题（II）充分利用（I）的结论，T递增，将

n S裂成

2n

S S S S S S S的2n2n2n2 n

112211

和，从而找到了解题的突破口。

2、迭乘放缩法：放缩法与迭乘法的结合，用放缩法构造迭乘形式，相乘时消去中间项。用于解决积式问题。

*

例3 已知数列a n的首项为a13,点a n,a n1在直线3x y0(n N)上。

若3*

c log a2(n N),证明对任意的

n3n

*

n N ，不等式

111

3

(1)(1+)(1+)3n1

c c c

12n

恒成立．

证明：c3n2，

n

13n13n13n3n13n1 33

(1+)()

c3n23n23n13n3n2

n

所以

111473n1

3

[(1)(1+)(1+)]3n1

c c c143n2

12n

即

111

3

(1)(1+)(1+)3n1

c c c

12n

。

点评：此题是证明积式大于根式，由于左边没有根式，右边是三次根式，立方后比较更容易处理。13n1

33

(1+)()

可以看成是三个假分式的乘积，保持其中一项不变，另两项假分数分子分母同时加1，加c3n2 n

2，则积变小，

3n13n13n3n13n1

3

()

3n23n23n13n3n2

，而通项式为

3n1

{}

3n2

的数列在迭乘时刚好相消，

从而达到目标。

3、迭代放缩法：通过放缩法构造递推不等关系，进行迭代，从而求解。

11

例4 已知数列{x}满足，11

x,x,n N*

n n

21x

n ，证明：

12

n1

|x x|()。

n1n

65

证明：当n1时，

1

|x x||x x|，结论成立。

n1n21

6

当n2时，易知0x1,1x2,x

n1n1n

11

1x2

n1

15 (1x)(1x)(1)(1x)2x

n n1n1n1

1x2

n1

11|x x|

n n1

|x x|||

n1n

1x1x(1x)(1x)

n n1n n122212

2n1n1 |x x|()|x x|()|x x|() n n1n n121

55565

点评：此题将目标式进行放缩得到递推不等关系，进行迭代，找到解题途径。

4、等比公式放缩法：先放缩构造成等比数列，再求和，最后二次放缩实现目标转化。