不等式放缩法

利用放缩法证明数列型不等式

一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用

1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式

问题。裂项放缩法主要有两种类型：

（1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。

例1设数列{}n a 的前n 项的和1412

2333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,

n =。设2n

n n

T S =，

1,2,3,

n =，证明：

1

32

n

i i T =<

∑。

点评： 关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1

11

2121

n n +---，然后再求和，即可达到目标。

（2）先放缩通项，然后将其裂成(3)n n ≥项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。

例2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的

前n 和为n S ，2n n n T S S =-； （I ）求证：1n n T T +>； （II ）求证：当2n ≥时，2n S 711

12

n +≥

。

点评：此题（II ）充分利用（I ）的结论，n T 递增，将2n S 裂成

1122112222n n n n S S S S S S S ----+-+

+-+的和，从而找到了解题的突破口。

2、迭乘放缩法：放缩法与迭乘法的结合，用放缩法构造迭乘形式，相乘时消去中间项。用于解决积式问题。

例3 已知数列{}n a 的首项为13,a =点()1,+n n a a 在直线)(03*

N n y x ∈=-上。

若

3

*3log 2(),n n c a n N =-∈证明对任意的*n ∈N

，不等

式

12111

(1)(1+)(1+)n

c c c +⋅⋅>

点评：此题是证明积式大于根式，由于左边没有根式，右边是三次根式，立方后比较更容易处理。33

131(1+

)()32

n n c n -=-可以看成是三个假分式的乘积，保持其中一项不变，另两项假分数分子分母同时加1，加2，则积变小，3313133131

()323231332

n n n n n n n n n n --++>⋅⋅=

----，而通项式为31

{

}32

n n +-的数列在迭乘时刚好相消，从而达到目标。

3、迭代放缩法：通过放缩法构造递推不等关系，进行迭代，从而求解。

例4 已知数列{}n x 满足，1111,,*21n n x x n N x +=

=∈+，证明：1112||()65

n n n x x -+-≤⋅。

点评：此题将目标式进行放缩得到递推不等关系，进行迭代，找到解题途径。

4、等比公式放缩法：先放缩构造成等比数列，再求和，最后二次放缩实现目标转化。

例5已知数列{}n a 的各项均为正数，且满足111

122,

(),1n n

n n a a a n N a a *++-==∈-记

2n n n b a a =-，数列{}n b 的前n 项和为n x ，且1

()2

n n f x x =

． （I ）数列{}n b 和{}n a 的通项公式； （II ）求证：

12231()()()

1()2()()

()2

n n f x f x f x n n

n N f x f x f x *+-<+++

<∈．

反思：右边是2n ，感觉是n 个1

2

的和，而中间刚好是n 项，所以利用1

211212n n +-<-；左边是

12n -不能用同样的方式来实现，想到11

(())(()0)222

n n f n f n -=-+>，试着考虑将12121n n +--缩小成1({}2

n n c c -是等比数列）

，从而找到了此题的突破口。

5.放缩后转化为等比数列。

例. {}n b 满足：2111,(2)3n n n b b b n b +≥=--+ （1） 用数学归纳法证明：n b n ≥ （2） 1231111

...3333n n

T b b b b =

++++

++++，求证：12n T <

点评：把握“3n b +”这一特征对“21(2)3n n n b b n b +=--+”进行变形，然后去掉一个正项，这是不等式证明放缩的常用手法。这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法，似乎是不可能的,为什么？值得体味！

5、比较放缩法：比较法与放缩法的结合，先进行比较（作差或作商），再进行放缩。

例6在单调递增数列}{n a 中，11=a ，22=a ，且12212,,+-n n n a a a 成等差数列，

22122,,++n n n a a a 成等比数列， ,3,2,1=n ．

（I ）分别计算3a ，5a 和4a ，6a 的值；

（II ）求数列}{n a 的通项公式（将n a 用n 表示）； （III ）设数列}1{

n a 的前n 项和为n S ，证明：2

4+<

n n

S n ，*n N ∈．

点评： 此题在作差比较中实施裂项放缩，进而得到最后结果小于0，从而得证。