不等式放缩法

利用放缩法证明数列型不等式一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题。

裂项放缩法主要有两种类型：（1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。

例1设数列{}n a 的前n 项的和14122333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n =。

设2nn nT S =，1,2,3,n =，证明：132ni i T =<∑。

点评： 关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1112121n n +---，然后再求和，即可达到目标。

（2）先放缩通项，然后将其裂成(3)n n ≥项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。

例2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的前n 和为n S ，2n n n T S S =-； （I ）求证：1n n T T +>； （II ）求证：当2n ≥时，2n S 71112n +≥。

点评：此题（II ）充分利用（I ）的结论，n T 递增，将2n S 裂成1122112222n n n n S S S S S S S ----+-++-+的和，从而找到了解题的突破口。

2、迭乘放缩法：放缩法与迭乘法的结合，用放缩法构造迭乘形式，相乘时消去中间项。

用于解决积式问题。

例3 已知数列{}n a 的首项为13,a =点()1,+n n a a 在直线)(03*N n y x ∈=-上。

若3*3log 2(),n n c a n N =-∈证明对任意的*n ∈N，不等式12111(1)(1+)(1+)nc c c +⋅⋅>点评：此题是证明积式大于根式，由于左边没有根式，右边是三次根式，立方后比较更容易处理。

33131(1+)()32n n c n -=-可以看成是三个假分式的乘积，保持其中一项不变，另两项假分数分子分母同时加1，加2，则积变小，3313133131()323231332n n n n n n n n n n --++>⋅⋅=----，而通项式为31{}32n n +-的数列在迭乘时刚好相消，从而达到目标。

3、迭代放缩法：通过放缩法构造递推不等关系，进行迭代，从而求解。

例4 已知数列{}n x 满足，1111,,*21n n x x n N x +==∈+，证明：1112||()65n n n x x -+-≤⋅。

点评：此题将目标式进行放缩得到递推不等关系，进行迭代，找到解题途径。

4、等比公式放缩法：先放缩构造成等比数列，再求和，最后二次放缩实现目标转化。

例5已知数列{}n a 的各项均为正数，且满足111122,(),1n nn n a a a n N a a *++-==∈-记2n n n b a a =-，数列{}n b 的前n 项和为n x ，且1()2n n f x x =． （I ）数列{}n b 和{}n a 的通项公式； （II ）求证：12231()()()1()2()()()2n n f x f x f x n nn N f x f x f x *+-<+++<∈．反思：右边是2n ，感觉是n 个12的和，而中间刚好是n 项，所以利用1211212n n +-<-；左边是12n -不能用同样的方式来实现，想到11(())(()0)222n n f n f n -=-+>，试着考虑将12121n n +--缩小成1({}2n n c c -是等比数列），从而找到了此题的突破口。

5.放缩后转化为等比数列。

例. {}n b 满足：2111,(2)3n n n b b b n b +≥=--+ （1） 用数学归纳法证明：n b n ≥ （2） 1231111...3333n nT b b b b =++++++++，求证：12n T <点评：把握“3n b +”这一特征对“21(2)3n n n b b n b +=--+”进行变形，然后去掉一个正项，这是不等式证明放缩的常用手法。

这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法，似乎是不可能的,为什么？值得体味！5、比较放缩法：比较法与放缩法的结合，先进行比较（作差或作商），再进行放缩。

例6在单调递增数列}{n a 中，11=a ，22=a ，且12212,,+-n n n a a a 成等差数列，22122,,++n n n a a a 成等比数列， ,3,2,1=n ．（I ）分别计算3a ，5a 和4a ，6a 的值；（II ）求数列}{n a 的通项公式（将n a 用n 表示）； （III ）设数列}1{n a 的前n 项和为n S ，证明：24+<n nS n ，*n N ∈．点评： 此题在作差比较中实施裂项放缩，进而得到最后结果小于0，从而得证。

6、单调函数放缩法：根据题目特征，构造特殊的单调函数，再进行放缩求解。

例8设函数2()ln(1)f x x b x =++，其中0b ≠．证明对任意的正整数n ，不等式23111ln 1n n n⎛⎫+>- ⎪⎝⎭都成立． 分析：欲证上述结论，直接作差比较23111ln 1()n n n⎛⎫+--⎪⎝⎭，无从下手；接着想到令23111()ln 1()g n n nn ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，判断函数()(*)g n n N ∈的单调性，由于定义域为正整数，不能用导数，只能计算(1)()g n g n +-，其结果还是很难处理；联想到数列是一种特殊的函数，将命题加强，令1(0)x n=∈+∞，，判断函数32()[ln(1)](0)h x x x x x =--+>的单调性，如果在(0,)+∞单调，则函数()g n 也单调。

7、二项式定理放缩法：在证明与指数有关的数列型不等式时，用二项式定理放缩特别有效。

二项式定理放缩法有两种常见类型：（1）部分二项式定理放缩法：即只在式子的某一部分用二项式定理放缩。

例6已知数列{}n a 满足a a =1(2)a ≠-，1(46)41021n n n a n a n ++++=+（n *∈N ）．（Ⅰ）证明数列221n a n +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等比数列，并求出通项n a ；（Ⅱ）如果1a =时，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，试求出n S ，并证明当3n ≥时，有34111110n S S S +++<．反思：为什么会想到将11(21)(21)nn S n =--放缩成1(21)(21)n n -+？联想到1111111223(1)1n n n ++=-<⋅⋅⋅++，因为要证明110<，而34111nS S S +++是一个数列前n 项的和，最后通过放缩很可能变成1()(()0)10f n f n ->的形式，而110应是由31137S =⋅放缩后裂项而成，311111()35235S <=-⋅，111(21)(21)(21)(21)n n S n n n =≤---+111()22121n n =--+，此时刚好得到341111111()252110n S S S n +++≤-<+，接下来就要处理1212+≥-n n ，想到用二项式定理。

（2）完全二项式定理放缩法：整个式子的证明主要借助于二项式定理。

例7设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*n N ∈，都有30,n n n a S a >=++.(I)求12,a a 的值；（II ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（III ）证明：21221n n nn n n a a a +-≥+。

点评：利用二项式定理结合放缩法证明不等式时，一定要紧密结合二项式展开式的特点，联系需证不等式的结构，通过化简、变形、换元等手段使问题得以解决。

二、放缩法的注意问题以及解题策略1、明确放缩的方向：即是放大还是缩小，看证明的结论，是小于某项，则放大，是大于某个项，则缩小。

2、放缩的项数：有时从第一项开始，有时从第三项，有时第三项，等等，即不一定是对全部项进行放缩。

3、放缩法的常见技巧及常见的放缩式：（1）根式的放缩：<<（2）在分式中放大或缩小分子或分母：2111(2)(1)(1)k k k k k k <<≥+-；真分数分子分母同时减一个正数，则变大；，11n n n n -<+； 假分数分子分母同时减一个正数，则变小，如212221n nn n +>-；（3）应用基本不等式放缩：222n n n n ++>=+； （4）二项式定理放缩：如2121(3)nn n -≥+≥；（5）舍掉（或加进）一些项，如：121321||||||||(2)n n n a a a a a a a a n --≤-+-++-≥。

4、把握放缩的尺度：如何确定放缩的尺度，不能过当，是应用放缩法证明中最关键、最难把握的问题。

这需要勤于观察和思考，抓住欲证命题的特点，只有这样，才能使问题迎刃而解。

再看例2，若构造函数2111711()(1)1(*)223212n n n n f n S n N +=-+=++++-∈，则(1)()f n f n +-=1111718(1)23212n n ++++++--111711(1)23212n n +++++-11112122222n n n n =+++-+++1717120221221212n n n >⋅-=-=-<+ 前后不等号不一致，不能确定()f n 的单调性，此时放缩过当，此题不适宜用单调函数放缩法。

若要证明2(1)2n n S ≥+，则(1)()f n f n +-=11113(1)2322n n ++++++-1112(1)2322n n +-++++-11112122222n n n n=+++-+++ 11112022222nn n>⋅-=-=+，所以(1)()f n f n +>，从而()(*)f n n N ∈递增，13()(1)1022f n f ≥=+-=，所以2(1)2n nS ≥+成立，此时用单调函数放缩法可行。

同样的题干，稍有调整，我们所用的方法便有不同。

5、放缩法的策略以及精度的控制例10已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足111,20(2)2n n n a a S S n -=+=≥。

（I ）数列1{}nS 是否为等差数列？并证明你的结论； （II ）求n S 和n a ； （III ）求证：222212312n S S S S ++++<。

简解：（1）（2）1(1)12,12(2)2(1)n n n S a n n n n ⎧=⎪⎪==⎨⎪-≥-⎪⎩； （3）证法一：当1n =时，211142S =<成立；当2211112,()441n n S n n n≥=<--， 2222123111111111111[](1)441223(1)442231n S S S S n n n n++++<++++=+-+-++-⨯⨯-⨯-=111111(1)4422n n +-=-< 综上所述，222212312n S S S S ++++<。