2021高考数学一轮提高复习《第24讲 课时1 正弦定理、余弦定理与解三角形》
高中数学一轮复习 4.7 正弦定理和余弦定理
第七节 正弦定理和余弦定理1.正弦定理 2.余弦定理 3.三角形的面积公式第一课时 正弦定理和余弦定理(一) 考点一 利用正、余弦定理解三角形考法(一) 正弦定理解三角形[典例] (1)在△ABC 中,a =3,b =2,A =30°,则cos B =________.(2)设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若a =3,sin B =12,C =π6,则b =________.考法(二) 余弦定理解三角形[典例] (1)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若b cos A +a cos B =c 2,a =b =2,则△ABC 的周长为( ) A .7.5 B .7 C .6 D .5(2)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且c -b 2c -a =sin Asin B +sin C,则角B =________. [题组训练]1.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若b 2=ac ,c =2a ,则cos C =( ) A.24 B .-24 C.34 D .-342.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知sin B +sin A (sin C -cos C )=0,a =2,c =2,则C =( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π33.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知sin 2B +sin 2C =sin 2A +sin B sin C . (1)求角A 的大小;(2)若cos B =13,a =3,求c 的值.考点二 判定三角形的形状[典例] (1)设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若b cos C +c cos B =a sin A ,则△ABC 的形状为( )A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .不确定(2)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若sin A sin B =a c ,(b +c +a )(b +c -a )=3bc ,则△ABC 的形状为( ) A .直角三角形B .等腰非等边三角形C .等边三角形D .钝角三角形[变透练清]1.(变条件)若本例(1)条件改为“a sin A +b sin B <c sin C ”,那么△ABC 的形状为________.2.(变条件)若本例(1)条件改为“c -a cos B =(2a -b )cos A ”,那么△ABC 的形状为________.3.(变条件)若本例(2)条件改为“cos A cos B =ba=2”,那么△ABC 的形状为________.[课时跟踪检测]1.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若sin A a =cos Bb ,则B 的大小为( )A .30°B .45°C .60°D .90°2.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知b =40,c =20,C =60°,则此三角形的解的情况是( )A .有一解B .有两解C .无解D .有解但解的个数不确定3.在△ABC 中,cos B =ac (a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边),则△ABC 的形状为( )A .直角三角形B .等边三角形C .等腰三角形D .等腰三角形或直角三角形4.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是内角A ,B ,C 的对边.若b sin A =3c sin B ,a =3,cos B =23,则b=( )A .14B .6 C.14 D. 65.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a sin B cos C +c sin B cos A =12b ,且a >b ,则B =( )A.π6B.π3C.2π3D.5π66.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若2(b cos A +a cos B )=c 2,b =3,3cos A =1,则a =( )A. 5 B .3 C.10 D .47.在△ABC 中,AB =6,A =75°,B =45°,则AC =________.8.设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a =2,cos C =-14,3sin A =2sin B ,则c=________.9.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若a =7,b =2,A =60°,则sin B =________,c =________.10.在△ABC 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 所对的边,sin A ,sin B ,sin C 成等差数列,且a =2c ,则cos A =________.11.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且A =2B . (1)求证:a =2b cos B ; (2)若b =2,c =4,求B 的值.12.在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,且2a sin A =(2b +c )sin B +(2c +b )sin C . (1)求A 的大小; (2)若sin B +sin C =1,试判断△ABC 的形状.第二课时 正弦定理和余弦定理(二)考点一 有关三角形面积的计算[典例] (1)△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知b =7,c =4,cos B =34,则△ABC 的面积等于( ) A .37 B.372 C .9 D.92(2)△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若△ABC 的面积为34(a 2+c 2-b 2),则B =______. [变透练清]1.(变条件)本例(1)的条件变为:若c =4,sin C =2sin A ,sin B =154,则S △ABC =________. 2.(变结论)本例(2)的条件不变,则C 为钝角时,ca 的取值范围是________.3.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,(2b -a )cos C =c cos A . (1)求角C 的大小;(2)若c =3,△ABC 的面积S =433,求△ABC 的周长.考点二 平面图形中的计算问题[典例] 如图,在平面四边形ABCD 中,∠ABC =3π4,AB ⊥AD ,AB =1.(1)若AC =5,求△ABC 的面积; (2)若∠ADC =π6,CD =4,求sin ∠CAD .[题组训练]1.如图,在△ABC 中,D 是边AC 上的点,且AB =AD,2AB =3BD ,BC =2BD ,则sin C 的值为________.2.如图,在平面四边形ABCD 中,DA ⊥AB ,DE =1,EC =7,EA =2,∠ADC =2π3,且∠CBE ,∠BEC ,∠BCE 成等差数列.(1)求sin ∠CED ;(2)求BE 的长.考点三 三角形中的最值、范围问题[典例] (1)在△ABC 中,内角A ,B ,C 对应的边分别为a ,b ,c ,A ≠π2,sin C +sin(B -A )=2sin 2A ,则角A 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤0,π6B.⎝⎛⎦⎤0,π4C.⎣⎡⎦⎤π6,π4D.⎣⎡⎦⎤π6,π3 (2)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且cos 2A +cos 2B =2cos 2C ,则cos C 的最小值为( )A.32 B.22 C.12 D .-12[题组训练]1.在钝角△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,B 为钝角,若a cos A =b sin A ,则sin A +sin C 的最大值为( ) A. 2 B.98 C .1 D.782.在△ABC 中,已知c =2,若sin 2A +sin 2B -sin A sin B =sin 2C ,则a +b 的取值范围为________. 3.已知在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且cos B b +cos C c =sin A3sin C .(1)求b 的值;(2)若cos B +3sin B =2,求△ABC 面积的最大值.考点四 解三角形与三角函数的综合应用考法(一) 正、余弦定理与三角恒等变换[典例] 在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知 b sin A =ac os ⎝⎛⎭⎫B -π6. (1)求角B 的大小;(2)设a =2,c =3,求b 和sin(2A -B )的值.考法(二) 正、余弦定理与三角函数的性质[典例] 已知函数f (x )=c os 2x +3sin(π-x )c os(π+x )-12.(1)求函数f (x )在[0,π]上的单调递减区间;(2)在锐角△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知f (A )=-1,a =2,b sin C =a sin A ,求△ABC 的面积.[对点训练]在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,(2a -c )cos B -b cos C =0. (1)求角B 的大小;(2)设函数f (x )=2sin x cos x cos B -32cos 2x ,求函数f (x )的最大值及当f (x )取得最大值时x 的值. [课时跟踪检测]1.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,cos 2A =sin A ,bc =2,则△ABC 的面积为( ) A.12 B.14C .1D .22.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 所对的边,若(2a +c )cos B +b cos C =0,则角B 的大小为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π63.在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若sin A =223,a =3, S △ABC =22,则b 的值为( ) A .6 B .3 C .2 D .2或34.在△ABC 中,已知AB =2,AC =5,t a n ∠BAC =-3,则BC 边上的高等于( ) A .1 B. 2 C. 3 D .25.已知a ,b ,c 分别是△ABC 的内角A ,B ,C 的对边,且a sin B =3b cos A ,当b +c =4时,△ABC 面积的最大值为( )A.33 B.32C. 3 D .2 3 6.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若bc =1,b +2c cos A =0,则当角B 取得最大值时,△ABC 的周长为( )A .2+ 3B .2+ 2C .3D .3+ 27.在△ABC 中,B =120°,AC =7,AB =5,则△ABC 的面积为________.8.在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若 12b cos A =sin B ,且a =23,b +c =6,则△ABC 的面积为________.9.已知在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,∠BAC =π2,点D 在边BC 上,AD =1,且BD =2DC ,∠BAD =2∠DAC ,则sin Bsin C=________.10.如图所示,在△ABC 中,C =π3,BC =4,点D 在边AC 上,AD =DB ,DE ⊥AB ,E为垂足,若DE =22,则cos A =________.11.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知c (1+cos B )=b (2-cos C ). (1)求证:2b =a +c ;(2)若B =π3,△ABC 的面积为43,求b .12.在△ABC 中,AC =6,cos B =45,C =π4.(1)求AB 的长;(2)求c os ⎝⎛⎭⎫A -π6的值.。
专题4.5正弦定理和余弦定理的应用(2021年高考数学一轮复习专题)
专题 正弦定理和余弦定理的应用一、题型全归纳题型一 利用正弦、余弦定理解三角形【题型要点】(1)正、余弦定理的选用①利用正弦定理可解决两类三角形问题:一是已知两角和一角的对边,求其他边或角;二是已知两边和一边的对角,求其他边或角;①利用余弦定理可解决两类三角形问题:一是已知两边和它们的夹角,求其他边或角;二是已知三边求角.由于这两种情形下的三角形是唯一确定的,所以其解也是唯一的. (2)三角形解的个数的判断已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.【例1】 (2020·广西五市联考)在①ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知a =1,b =3,A =30°,B 为锐角,那么A ①B ①C 为( ) A .1①1①3 B .1①2①3 C .1①3①2D .1①4①1【解析】:法一:由正弦定理a sin A =b sin B ,得sin B =b sin A a =32.因为B 为锐角,所以B =60°,则C =90°,故A ①B ①C =1①2①3,选B.法二:由a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,得c 2-3c +2=0,解得c =1或c =2.当c =1时,①ABC 为等腰三角形,B =120°,与已知矛盾,当c =2时,a <b <c ,则A <B <C ,排除选项A ,C ,D ,故选B.【例2】(2019·高考全国卷Ⅰ)①ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知a sin A -b sin B =4c sin C ,cos A =-14,则bc =( )A .6B .5C .4D .3【解析】选A.由题意及正弦定理得,b 2-a 2=-4c 2,所以由余弦定理得,cos A =b 2+c 2-a 22bc =-3c 22bc =-14,得bc=6.故选A. 【例3】(2020·济南市学习质量评估)已知①ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且2c +a =2b cos A . ①求角B 的大小;①若a =5,c =3,边AC 的中点为D ,求BD 的长.【解析】 (1)选A.由题意及正弦定理得,b 2-a 2=-4c 2,所以由余弦定理得,cos A =b 2+c 2-a 22bc =-3c 22bc=-14,得bc=6.故选A. (2)①由2c +a =2b cos A 及正弦定理,得2sin C +sin A =2sin B cos A , 又sin C =sin(A +B )=sin A cos B +cos A sin B ,所以2sin A cos B +sin A =0, 因为sin A ≠0,所以cos B =-12,因为0<B <π,所以B =2π3.①由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2a ·c cos①ABC =52+32+5×3=49,所以b =7,所以AD =72.因为cos①BAC =b 2+c 2-a 22bc =49+9-252×7×3=1114,所以BD 2=AB 2+AD 2-2·AB ·AD cos①BAC =9+494-2×3×72×1114=194,所以BD =192.题型二 判断三角形的形状【题型要点】判定三角形形状的两种常用途径【易错提醒】“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系;“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系.【例1】(2020·蓉城名校第一次联考)设①ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若b cos C +c cos B=a sin A ,则①ABC 的形状为( ) A .直角三角形 B .锐角三角形 C .钝角三角形D .不确定【解析】 (1)法一:因为b cos C +c cos B =b ·a 2+b 2-c 22ab +c ·a 2+c 2-b 22ac =2a 22a =a ,所以a sin A =a 即sin A =1,故A =π2,因此①ABC 是直角三角形.法二:因为b cos C +c cos B =a sin A ,所以sin B cos C +sin C cos B =sin 2 A ,即sin(B +C )=sin 2 A ,所以sin A =sin 2 A ,故sin A =1,即A =π2,因此①ABC 是直角三角形.【例2】在①ABC 中,若c -a cos B =(2a -b )cos A ,则①ABC 的形状为 .【解析】因为c -a cos B =(2a -b )cos A ,所以由正弦定理得sin C -sin A cos B =2sin A cos A -sin B cos A , 所以sin(A +B )-sin A cos B =2sin A cos A -sin B cos A ,故cos A (sin B -sin A )=0, 所以cos A =0或sin A =sin B ,A =π2或A =B ,故①ABC 为等腰或直角三角形.题型三 与三角形面积有关的问题命题角度一 计算三角形的面积【题型要点】1.①ABC 的面积公式(1)S ①ABC =12a ·h (h 表示边a 上的高).(2)S ①ABC =12ab sin C =12ac sin B =12bc sin A .(3)S ①ABC =12r (a +b +c )(r 为内切圆半径).2.求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值),结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积,代入公式求面积;(2)若已知三角形的三边,可先求其中一个角的余弦值,再求其正弦值,代入公式求面积,总之,结合图形恰当选择面积公式是解题的关键.【例1】(2019·高考全国卷Ⅰ)①ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若b =6,a =2c ,B =π3,则①ABC的面积为 .【解析】 (1)法一:因为a =2c ,b =6,B =π3,所以由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得62=(2c )2+c 2-2×2c ×c cos π3,得c =23,所以a =43,所以①ABC 的面积S =12ac sin B =12×43×23×sin π3=6 3.法二:因为a =2c ,b =6,B =π3,所以由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得62=(2c )2+c 2-2×2c ×c cos π3,得c =23,所以a =43,所以a 2=b 2+c 2,所以A =π2,所以①ABC 的面积S =12×23×6=6 3.【例2】(2020·福建五校第二次联考)在①ABC 中,A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知a 2+b 2-c 2=3ab ,且ac sin B =23sin C ,则①ABC 的面积为 .【解析】因为a 2+b 2-c 2=3ab ,所以由余弦定理得cos C =a 2+b 2-c 22ab =3ab 2ab =32,又0<C <π,所以C =π6.因为ac sin B =23sin C ,所以结合正弦定理可得abc =23c ,所以ab =2 3.故S ①ABC =12ab sin C=12×23sin π6=32. 命题角度二 已知三角形的面积解三角形【题型要点】已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角,就寻求这个角的两边的关系,利用面积公式列方程求解; (2)若求边,就寻求与该边(或两边)有关联的角,利用面积公式列方程求解.【提示】正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中,要注意三角函数公式的工具性作用. 【例3】(2020·湖南五市十校共同体联考改编)已知a ,b ,c 分别为①ABC 的内角A ,B ,C 的对边,(3b -a )cos C =c cos A ,c 是a ,b 的等比中项,且①ABC 的面积为32,则ab = ,a +b = . 【解析】 因为(3b -a )cos C =c cos A ,所以利用正弦定理可得3sin B cos C =sin A cos C +sin C cos A =sin(A +C )=sinB .又因为sin B ≠0,所以cos C =13,则C 为锐角,所以sin C =223.由①ABC 的面积为32,可得12ab sin C =32,所以ab =9.由c 是a ,b 的等比中项可得c 2=ab ,由余弦定理可得c 2=a 2+b 2-2ab cos C ,所以(a +b )2=113ab =33,所以a +b =33.【例4】(2020·长沙市统一模拟考试)已知①ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a sin(A +B )=c sin B +C2.(1)求A ;(2)若①ABC 的面积为3,周长为8,求a .【解析】:(1)由题设得a sin C =c cos A 2,由正弦定理得sin A sin C =sin C cos A 2,所以sin A =cos A2,所以2sin A 2cos A 2=cos A 2,所以sin A 2=12,所以A =60°.(2)由题设得12bc sin A =3,从而bc =4.由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,得a 2=(b +c )2-12.又a +b +c =8,所以a 2=(8-a )2-12,解得a =134.题型四 三角形面积或周长的最值(范围)问题【题型要点】求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题在解决求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题时,一般将其转化为一个角的一个三角函数,利用三角函数的有界性求解,或利用余弦定理转化为边的关系,再应用基本不等式求解.【例1】(2020·福州市质量检测)①ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若角A ,B ,C 成等差数列,且b =32. (1)求①ABC 外接圆的直径;(2)求a +c 的取值范围.【解析】:(1)因为角A ,B ,C 成等差数列,所以2B =A +C ,又因为A +B +C =π,所以B =π3.根据正弦定理得,①ABC 的外接圆直径2R =bsin B =32sin π3=1.(2)法一:由B =π3,知A +C =2π3,可得0<A <2π3.由(1)知①ABC 的外接圆直径为1,根据正弦定理得,a sin A =b sin B =c sin C=1, 所以a +c =sin A +sin C =sin A +sin ⎪⎭⎫⎝⎛A -32π=3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+A A cos 21sin 23=3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πA . 因为0<A <2π3,所以π6<A +π6<5π6.所以12<sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πA ≤1,从而32<3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πA ≤3,所以a +c 的取值范围是⎥⎦⎤⎝⎛323, 法二:由(1)知,B =π3,b 2=a 2+c 2-2ac cos B =(a +c )2-3ac ≥(a +c )2-322⎪⎭⎫ ⎝⎛+c a =14(a +c )2(当且仅当a =c 时,取等号),因为b =32,所以(a +c )2≤3,即a +c ≤3,又三角形两边之和大于第三边,所以32<a +c ≤3, 所以a +c 的取值范围是⎥⎦⎤⎝⎛323, 题型五 解三角形与三角函数的综合应用【题型要点】标注条件,合理建模解决三角函数的应用问题,无论是实际应用问题还是三角函数与解三角形相结合的问题,关键是准确找出题中的条件并在三角形中进行准确标注,然后根据条件和所求建立相应的数学模型,转化为可利用正弦定理或余弦定理解决的问题.【例1】 (2020·湖南省五市十校联考)已知向量m =(cos x ,sin x ),n =(cos x ,3cos x ),x ①R ,设函数f (x )=m ·n +12.(1)求函数f (x )的解析式及单调递增区间;(2)设a ,b ,c 分别为①ABC 的内角A ,B ,C 的对边,若f (A )=2,b +c =22,①ABC 的面积为12,求a 的值.【解析】 (1)由题意知,f (x )=cos 2x +3sin x cos x +12=sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx +1.令2x +π6①⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 22,22-,k ①Z ,解得x ①⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 6,3-,k ①Z ,所以函数f (x )的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 6,3-,k ①Z .(2)因为f (A )=sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πA +1=2,所以sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πA =1. 因为0<A <π,所以π6<2A +π6<13π6,所以2A +π6=π2,即A =π6.由①ABC 的面积S =12bc sin A =12,得bc =2,又b +c =22,所以a 2=b 2+c 2-2bc cos A =(b +c )2-2bc (1+cos A ),解得a =3-1. 【例2】①ABC 中的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b =2a -2c cos B . (1)求角C 的大小;(2)求3cos A +sin ⎪⎭⎫⎝⎛+3πB 的最大值,并求出取得最大值时角A ,B 的值. 【解析】:(1)法一:在①ABC 中,由正弦定理可知sin B =2sin A -2sin C cos B ,又A +B +C =π,则sin A =sin(π-(B +C ))=sin(B +C ),于是有sin B =2sin(B +C )-2sin C cos B =2sin B cos C +2cos B sin C -2sin C cos B ,整理得sin B =2sin B cos C ,又sin B ≠0,则cos C =12,因为0<C <π,则C =π3.法二:由题可得b =2a -2c ·a 2+c 2-b 22ac ,整理得a 2+b 2-c 2=ab ,即cos C =12,因为0<C <π,则C =π3.(2)由(1)知C =π3,则B +π3=π-A ,3cos A +sin ⎪⎭⎫⎝⎛+3πB =3cos A +sin(π-A )=3cos A +sin A =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+3πA , 因为A =2π3-B ,所以0<A <2π3,所以π3<A +π3<π,故当A =π6时,2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πA 的最大值为2,此时B =π2.二、高效训练突破 一、选择题1.(2020·广西桂林阳朔三校调研)在①ABC 中,a ①b ①c =3①5①7,那么①ABC 是( ) A .直角三角形 B .钝角三角形 C .锐角三角形D .非钝角三角形【解析】:因为a ①b ①c =3①5①7,所以可设a =3t ,b =5t ,c =7t ,由余弦定理可得cos C =9t 2+25t 2-49t 22×3t ×5t =-12,所以C =120°,①ABC 是钝角三角形,故选B. 2.(2020·河北衡水中学三调)在①ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且b 2+c 2=a 2+bc ,若sin B sin C =sin 2A ,则①ABC 的形状是( ) A .等腰三角形 B .直角三角形 C .等边三角形D .等腰直角三角形【解析】:在①ABC 中,因为b 2+c 2=a 2+bc ,所以cos A =b 2+c 2-a 22bc =bc 2bc =12,因为A ①(0,π),所以A =π3,因为sin B sin C =sin 2A ,所以bc =a 2,代入b 2+c 2=a 2+bc ,得(b -c )2=0,解得b =c ,所以①ABC 的形状是等边三角形,故选C.3.(2020·河南南阳四校联考)在①ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若b =8,c =3,A =60°,则此三角形外接圆的半径R =( ) A.823 B.1433 C.73D .733【解析】:因为b =8,c =3,A =60°,所以a 2=b 2+c 2-2bc cos A =64+9-2×8×3×12=49,所以a =7,所以此三角形外接圆的直径2R =a sin A =732=1433,所以R =733,故选D. 4.(2020·湖南省湘东六校联考)在①ABC 中,A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,其中b 2=ac ,且sin C =2sinB ,则其最小内角的余弦值为( )A .-24 B.24 C.528D .34【解析】:由sin C =2sin B 及正弦定理,得c =2b .又b 2=ac ,所以b =2a ,所以c =2a ,所以A 为①ABC 的最小内角.由余弦定理,知cos A =b 2+c 2-a 22bc =(2a )2+(2a )2-a 22·2a ·2a=528,故选C.5.(2020·长春市质量监测(一))在①ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若b =a cos C +12c ,则角A 等于( ) A .60°B .120°C .45°D .135°【解析】:法一:由b =a cos C +12c 及正弦定理,可得sin B =sin A cos C +12sin C ,即sin(A +C )=sin A cos C+12sin C ,即sin A cos C +cos A sin C =sin A cos C +12sin C ,所以cos A sin C =12sin C ,又在①ABC 中,sin C ≠0,所以cos A =12,所以A =60°,故选A.法二:由b =a cos C +12c 及余弦定理,可得b =a ·b 2+a 2-c 22ab +12c ,即2b 2=b 2+a 2-c 2+bc ,整理得b 2+c 2-a 2=bc ,于是cos A =b 2+c 2-a 22bc =12,所以A =60°,故选A.6.(2020·河南三市联考)已知a ,b ,c 分别为①ABC 三个内角A ,B ,C 的对边,sin A ①sin B =1①3,c =2cos C =3,则①ABC 的周长为( ) A .3+3 3 B .23 C .3+2 3D .3+3【解析】:因为sin A ①sin B =1①3,所以b =3a , 由余弦定理得cos C =a 2+b 2-c 22ab =a 2+(3a )2-c 22a ×3a=32,又c =3,所以a =3,b =3,所以①ABC 的周长为3+23,故选C.7.(2020·湖南师大附中4月模拟)若①ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且b =2,c =5,①ABC的面积S =52cos A ,则a =( ) A .1 B.5 C.13D .17【解析】:因为b =2,c =5,S =52cos A =12bc sin A =5sin A ,所以sin A =12cos A . 所以sin 2A +cos 2A =14cos 2A +cos 2A =54cos 2A =1.易得cos A =255.所以a 2=b 2+c 2-2bc cos A =4+5-2×2×5×255=9-8=1,所以a =1.故选A. 8.(2020·开封市定位考试)已知①ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,①ABC 的面积为43,且2b cos A +a =2c ,a +c =8,则其周长为( ) A .10 B .12 C .8+ 3D .8+23【解析】:因为①ABC 的面积为43,所以12ac sin B =4 3.因为2b cos A +a =2c ,所以由正弦定理得2sin B cosA +sin A =2sin C ,又A +B +C =π,所以2sin B cos A +sin A =2sin A cos B +2cos A sin B ,所以sin A =2cos B ·sin A ,因为sin A ≠0,所以cos B =12,因为0<B <π,所以B =π3,所以ac =16,又a +c =8,所以a =c =4,所以①ABC 为正三角形,所以①ABC 的周长为3×4=12.故选B.9.(2020·昆明市诊断测试)在平面四边形ABCD 中,①D =90°,①BAD =120°,AD =1,AC =2,AB =3,则BC =( )A. 5B.6C.7D .22【解析】:如图,在①ACD 中,①D =90°,AD =1,AC =2,所以①CAD =60°.又①BAD =120°,所以①BAC =①BAD -①CAD =60°.在①ABC 中,由余弦定理得BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC cos①BAC =7,所以BC =7.故选C.10.(2020·广州市调研测试)已知①ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且sin 2A +sin 2B -sin 2Cc =sin A sin Ba cos B +b cos A ,若a +b =4,则c 的取值范围为( )A .(0,4)B .[2,4)C .[1,4)D .(2,4]【解析】:根据正弦定理可得sin 2A +sin 2B -sin 2C sin C =sin A sin Bsin A cos B +cos A sin B ,即sin 2A +sin 2B -sin 2C sin C =sin A sin Bsin (A +B ),由三角形内角和定理可得sin(A +B )=sin C ,所以sin 2A +sin 2B -sin 2C =sin A sin B ,再根据正弦定理可得a 2+b 2-c 2=ab .因为a +b =4,a +b ≥2ab ,所以ab ≤4,(a +b )2=16,得a 2+b 2=16-2ab ,所以16-2ab -c 2=ab ,所以16-c 2=3ab ,故16-c 2≤12,c 2≥4,c ≥2,故2≤c <4,故选B.二、填空题1.在①ABC 中,角A ,B ,C 满足sin A cos C -sin B cos C =0,则三角形的形状为 . 【解析】:由已知得cos C (sin A -sin B )=0,所以有cos C =0或sin A =sin B ,解得C =90°或A =B . 2.(2020·天津模拟)在①ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知b +c =2a ,3c sin B =4a sin C ,则cos B = .【解析】:在①ABC 中,由正弦定理b sin B =c sin C ,得b sin C =c sin B ,又由3c sin B =4a sin C ,得3b sin C =4a sinC ,即3b =4a .因为b +c =2a ,得到b =43a ,c =23a .由余弦定理可得cos B =a 2+c 2-b 22ac =a 2+49a 2-169a 22·a ·23a=-14.3.(2020·河南期末改编)在①ABC 中,B =π3,AC =3,且cos 2C -cos 2A -sin 2B =-2sin B sin C ,则C = ,BC = .【解析】:由cos 2C -cos 2A -sin 2B =-2sin B sin C ,可得1-sin 2C -(1-sin 2A )-sin 2B =-2sin B sin C ,即sin 2A -sin 2C -sin 2B =-2sin B sin C .结合正弦定理得BC 2-AB 2-AC 2=-2·AC ·AB ,所以cos A =22,A =π4,则C =π-A -B =5π12.由AC sin B =BC sin A,解得BC = 2.4.在①ABC 中,A =π4,b 2sin C =42sin B ,则①ABC 的面积为 .【解析】:因为b 2sin C =42sin B ,所以b 2c =42b ,所以bc =42,S ①ABC =12bc sin A =12×42×22=2.5.(2020·江西赣州五校协作体期中改编)在①ABC 中,A =π3,b =4,a =23,则B = ,①ABC 的面积等于 .【解析】:①ABC 中,由正弦定理得sin B =b sin A a =4×sinπ323=1.又B 为三角形的内角,所以B =π2,所以c =b 2-a 2=42-(23)2=2,所以S ①ABC =12×2×23=2 3.6.在①ABC 中,a ,b ,c 分别是内角A ,B ,C 的对边,且B 为锐角,若sin A sin B =5c 2b ,sin B =74,S ①ABC =574,则b 的值为 .【解析】:由sin A sin B =5c 2b ①a b =5c 2b ①a =52c ,①由S ①ABC =12ac sin B =574且sin B =74得12ac =5,①联立①,①得a =5,且c =2.由sin B =74且B 为锐角知cos B =34, 由余弦定理知b 2=25+4-2×5×2×34=14,b =14.三 解答题1.(2020·兰州模拟)已知在①ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a sin B +b cos A =0. (1)求角A 的大小;(2)若a =25,b =2,求边c 的长.【解析】:(1)因为a sin B +b cos A =0,所以sin A sin B +sin B cos A =0,即sin B (sin A +cos A )=0,由于B 为三角形的内角,所以sin A +cos A =0,所以2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+4πA =0,而A 为三角形的内角,所以A =3π4. (2)在①ABC 中,a 2=c 2+b 2-2cb cos A ,即20=c 2+4-4c ⎪⎪⎭⎫⎝⎛22-,解得c =-42(舍去)或c =2 2. 2.在①ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .(1)若a =3c ,b =2,cos B =23,求c 的值;(2)若sin A a =cos B2b ,求cos B 的值.【解析】:(1)因为a =3c ,b =2,cos B =23,由余弦定理cos B =a 2+c 2-b 22ac ,得23=(3c )2+c 2-(2)22×3c ×c ,即c 2=13.所以c =33.(2)因为sin A a =cos B 2b ,由正弦定理a sin A =b sin B ,得cos B 2b =sin Bb ,所以cos B =2sin B .从而cos 2B =(2sin B )2,即cos 2B =4(1-cos 2B ),故cos 2B =45.因为sin B >0,所以cos B =2sin B >0,从而cos B =255.3.(2020·福建五校第二次联考)在①ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且3a cos C =(2b -3c )cos A . (1)求角A 的大小;(2)若a =2,求①ABC 面积的最大值.【解析】:(1)由正弦定理可得,3sin A cos C =2sin B cos A -3sin C cos A , 从而3sin(A +C )=2sin B cos A ,即3sin B =2sin B cos A .又B 为三角形的内角,所以sin B ≠0,于是cos A =32,又A 为三角形的内角,所以A =π6. (2)由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,得4=b 2+c 2-2bc ×32≥2bc -3bc , 所以bc ≤4(2+3),所以S ①ABC =12bc sin A ≤2+3,故①ABC 面积的最大值为2+ 3.4.(2020·广东佛山顺德第二次质检)在①ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,2b sin C cos A +a sin A =2c sin B .(1)证明:①ABC 为等腰三角形;(2)若D 为BC 边上的点,BD =2DC ,且①ADB =2①ACD ,a =3,求b 的值.【解析】:(1)证明:因为2b sin C cos A +a sin A =2c sin B ,所以由正弦定理得2bc cos A +a 2=2cb ,由余弦定理得2bc ·b 2+c 2-a 22bc +a 2=2bc ,化简得b 2+c 2=2bc ,所以(b -c )2=0,即b =c .故①ABC 为等腰三角形.(2)法一:由已知得BD =2,DC =1,因为①ADB =2①ACD =①ACD +①DAC , 所以①ACD =①DAC ,所以AD =CD =1.又因为cos①ADB =-cos①ADC ,所以AD 2+BD 2-AB 22AD ·BD =-AD 2+CD 2-AC 22AD ·CD ,即12+22-c 22×1×2=-12+12-b 22×1×1,得2b 2+c 2=9,由(1)可知b =c ,得b = 3.法二:由已知可得CD =13a =1,由(1)知,AB =AC ,所以①B =①C ,又因为①DAC =①ADB -①C =2①C -①C =①C =①B , 所以①CAB ①①CDA ,所以CB CA =CA CD ,即3b =b1,所以b = 3.5.(2020·重庆市学业质量调研)①ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知①ABC 的面积为32ac cos B ,且sin A =3sin C .(1)求角B 的大小;(2)若c =2,AC 的中点为D ,求BD 的长.【解析】:(1)因为S ①ABC =12ac sin B =32ac cos B ,所以tan B = 3.又0<B <π,所以B =π3.(2)sin A =3sin C ,由正弦定理得,a =3c ,所以a =6.由余弦定理得,b 2=62+22-2×2×6×cos 60°=28,所以b =27. 所以cos A =b 2+c 2-a 22bc =(27)2+22-622×2×27=-714.因为D 是AC 的中点,所以AD =7.所以BD 2=AB 2+AD 2-2AB ·AD cos A =22+(7)2-2×2×7×⎪⎪⎭⎫⎝⎛147-=13.所以BD =13.。
2025高考数学一轮复习-正弦定理与余弦定理【课件】
cos B=____2_a_c____; a2+b2-c2
cos C=_____2_a_b_____
④a sin B=b sin A,b sin C=c sin B,a sin C=c sin A
解斜
①已知三边,求各角;
三角 ①已知两角和任一边,求另一角和其他两条边;
②已知两边和它们的夹
形的 ②已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角 角,求第三边和其他两
第四章 三角函数与解三角形
第22讲 解三角形
激活思维
1.在△ABC中,已知a=7,b=5,c=3,则角A的大小为
(
A)
A.120°
B.90°
【解析C】.由60余°弦定理知 cos A=b2+2cb2c-a2D=.-4125,°所以 A=120°.
2.在△ABC 中,设 b=5,c=5 3,A=30°,则 a=
问题
个角
2.三角形常用面积公式
(1) S=12a·ha(ha 表示边 a 上的高); (2) S=12ab sin C=12ac sin B=12bc sin A.
3.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式 解的个数
a=b sin A __一__解____
b sin A<a<b ___两__解___
6+ 2
则由正弦定理sinb B=sinc C,得 c=bssininBC=2ssiinn6705°°=2×
4 3
=
2+
6 3.
2
6
3 A=4,B=π,b= 3,则 a=5______,c=____5________.
53
【解析】由 cos A=45,可知 A 为锐角,所以 sin A= 1-cos2A=35.由正弦定理,得 a=
正弦定理与余弦定理课件-2024届高考数学一轮复习
由正弦定理,得
=
,则 AC =
h ,所以 AB ·h = AB ·AC ·sin A .
×
=2 .设 AB 边上的高为
所以 h = AC ·sin A =2
×
=6.
返回目录
考向2 三角形的解的个数问题
例2 已知△ ABC 的内角 A , B , C 的对边长分别为 a , b , c .若 a =
sin A =
=
.
返回目录
(2) 若 AB =5,求 AB 边上的高.
解:(2) 由(1)知, cos A =
= sin A cos C + cos A sin C =
=
,所以
sin B = sin ( A + C )
×(
+
)=
.在△ ABC 中,
D. (1,2)
C
)
总结提炼
可以用数形结合的方法确定三角形的解的个数.
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考点二
判断三角形的形状
例3 (多选)在△ ABC 中,内角 A , B , C 的对边长分别为 a , b , c .
sin
sin
sin
若
=
=
( m ∈N*),则当 m 取不同的值时,关于△ ABC 的
6
8
形状,下列说法正确的是(
(1) 在△ ABD 中,由余弦定理,得 cos ∠ ABD =
AB ∥ CD ,所以∠ BDC =∠ ABD . 所以 cos
高三第一轮复习正弦定理、余弦定理与三角形面积公式
解斜三角形正弦定理、余弦定理与三角形面积公式【提纲挈领】主干知识归纳ABC ∆的6个基本元素:C B A c b a ,,,,,.其中三内角C B A ,,所对边边长分别为c b a ,,.1.正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===(其中R 是ABC ∆的外接圆的半径)变式:C R c B R b A R asin 2,sin 2,sin 2===2.余弦定理A bc c b a cos 2222-+=,B ca a c b cos 2222-+=,C ab b a c cos 2222-+=. 变式:abc a b C ac b a c B bc a c b A 2cos ,2cos ,2cos 222222222-+=-+=-+=.3.三角形面积公式 (1).sin sin sin 2sin 21sin 21sin 212C B A R B ac A bc C ab S ABC====∆ (2)秦九韶—海伦公式:,))()((c p b p a p p S ABC ---=∆其中2cb a p ++=. 方法规律总结1.基本量观念:ABC ∆的6个基本元素:C B A c b a ,,,,,.已知三个基本量(至少一个为边)确定一个三角形,正余弦定理是“量化”依据,是初中全等三角形判定定理由定性向定量的转换.2.方程观念:正余弦定理和面积公式是方程的粗坯,是解三角形的依据,从三角形6个基本元素来说是“知三求三”.有两条主线:一是统一为边(消角)的关系,归结为边为元的代数方程;二是统一为角(消边)的关系,归结为三角方程. 解三角形时,有时可用正弦定理,有时也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷.如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.3.转化思想:利用正余弦定理实现边角间的相互转化.4.利用正弦定理解三角形主要是以下两类:(1)已知两边和一对角;(2)已知两角和一边. 利用余弦定理解三角形主要是以下两类:(1)已知三边;(2)已知两边及其夹角. 对于复杂问题需综合利用正余弦定理实现边角关系向统一转化.【指点迷津】【类型一】定理的推导与证明 【例1】(2011陕西理18)叙述并证明余弦定理.【解析】: 余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积的两倍.或:在∆ABC 中,a,b,c 为A,B,C 的对边,有2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+-证法一 如图2a BC BC =•u u u v u u u v()()AC AB AC AB =-•-u u u v u u u v u u u v u u u v222AC AC AB AB =-•+u u u v u u u v u u u v u u u v222cos b bc A c =-+即2222cos ab c bc A =+-同理可证2222cos b a c ac B =+-2222cos c a b ab C =+-证法二 已知∆ABC 中A,B,C 所对边分别为a,b,c,以A 为原点,AB 所在直线为x 轴,建立直角坐标系,则(cos ,sin),(,0)C b A b A B c ,2222(cos )(sin )a BC b A c b A ∴==-+22222cos 2cos sin b A bc A c b A =-++ 2222cos b a c ac B =+-同理可证2222222cos ,2cos .b c a ca B c a b ab C =+-=+-【类型二】解三角形【例1】【2015湖南,文17】设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =.(I )证明:sin cos B A =;(II) 若3sin sincos 4C A B -=,且B 为钝角,求,,A B C . 【解析】:(I )由题根据正弦定理结合所给已知条件可得sin sin cos sin A AA B=,所以sin cos B A = ;(II)222AC AC AB COSA AB=-•+u u u v u u u v u u u v u u u v根据两角和公式化简所给条件可得3sin sin cos cos sin 4C A B A B -==,可得23sin 4B =,结合所给角B 的范围可得角B,进而可得角A,由三角形内角和可得角C.【答案】(I )略;(II)30,120,30.A B C ===o o o【例2】[2014·辽宁卷] 在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a >c .已知BA →·BC →=2,cos B =13,b =3.求: (1)a 和c 的值; (2)cos(B -C )的值.[解析]:(1)由BA →·BC →=2得c ·a ·cos B =2,又cos B =13,所以ac =6.由余弦定理,得a 2+c 2=b 2+2ac cos B ,又b =3,所以a 2+c 2=9+2×2=13. 解⎩⎨⎧ac =6,a 2+c 2=13,得⎩⎨⎧a =2,c =3或⎩⎨⎧a =3,c =2. 因为a >c ,所以a =3,c =2.(2)在△ABC 中,sin B =1-cos 2B =1-()132=223.由正弦定理,得sin C =c b sin B =23·2 23= 4 29.因为a =b >c ,所以C 为锐角,因此cos C =1-sin 2C =1-⎝⎛⎭⎫4 292=79.所以cos(B -C )=cos B cos C +sin B sin C =13×79+2 23×4 29=2327.[答案](1)a =3,c =2.(2)2327. 【例3】【2015安徽,理16】在ABC ∆中,3,6,324A AB AC π===点D 在BC 边上,AD BD =,求AD 的长.【答案】10【类型三】三角形的面积【例1】(2013年课标Ⅱ卷(文))△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC的面积为 ( )A .2+2B .+1C .2-2D .-1【解析】:由正弦定理有224sin6sin2=⇒=c c ππ,又462)]46(sin[sin +=+-=πππA ,所以1346222221sin 21+=+⨯⨯⨯==∆A bc S ABC . 答案:B【例2】【2015天津,理13】在ABC ∆ 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知ABC ∆的面积为315 ,12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 .【答案】8【例3】[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知a ,b ,c 分别为△ABC 三个内角A ,B ,C 的对边,a =2,且(2+b )·(sinA -sinB )=(c -b )sinC ,则△ABC 面积的最大值为________.[解析]: 根据正弦定理和a =2可得(a +b )(a -b )=(c -b )c ,故得b 2+c 2-a 2=bc ,根据余弦定理得cos A =b 2+c 2-a 22bc =12,所以A =π3.根据b 2+c 2-a 2=bc 及基本不等式得bc ≥2bc -a 2,即bc ≤4,所以△ABC 面积的最大值为12×4×32= 3.答案:3【同步训练】【一级目标】基础巩固组 一、选择题1设C ∆AB 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若2a =,23c =,3cos A =b c <,则b =( )A 3B .2C .22D .3【解析】由余弦定理得:2222cos a b c bc =+-A ,所以(2223223223b b =+-⨯⨯即2680bb -+=,解得:2b =或4b =,因为bc <,所以2b =,故选B .【答案】B2.[2014·江西卷] 在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .若c 2=(a -b )2+6,C =π3,则△ABC的面积是( )A .3 B.9 32 C.3 32D .3 3【解析】:由余弦定理得,cos C =a 2+b 2-c 22ab =2ab -62ab =12,所以ab =6,所以S △ABC =12ab sin C =3 32.答案:C3. 在△ABC 中,角A 、B 、C 所对应的边为c b a ,,,若c b A3,31cos ==,则C sin 的值为( )A .31 B .32C .322 D.33【解析】:由.,cos 23,31cos 222222c b a A bc c b a c b A -=-+===得及 故△ABC 是直角三角形,且,2π=B 所以31cos sin ==A C .答案:A4.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 钝角三角形ABC 的面积是12,AB =1,BC =2,则AC =( )A .5 B. 5 C .2 D .1【解析】:根据三角形面积公式,得12BA ·BC ·sin B =12,即12×1×2×sin B =12,得sin B =22,其中C <A .若B 为锐角,则B =π4,所以AC =1+2-2×1×2×22=1=AB ,易知A 为直角,此时△ABC 为直角三角形,所以B 为钝角,即B =3π4,所以AC =1+2-2×1×2×⎝⎛⎭⎫-22= 5. 答案:B5.在OAB ∆中,)sin 5,cos 5(),sin 2,cos 2(ββαα==OB OA ,若5-=⋅OB OA ,则OAB∆的面积为( )A .3 B .23C .35 D.235【解析】:由条件知,21cos ,5,2-=∠==AOB OB OA 所以235235221=⨯⨯⨯=∆OAB S .答案:D 二、填空题6.【2015福建,理12】若锐角ABC ∆的面积为103 ,且5,8AB AC == ,则BC 等于________.【答案】77.【2015北京,理12】在ABC △中,4a =,5b =,6c =,则sin 2sin AC= .【答案】18.[2014·山东卷] 在△ABC 中,已知AB →·AC →=tan A ,当A =π6时,△ABC 的面积为______.【解析】:因为AB ·AC =|AB →|·|AC →|cos A =tan A ,且A =π6,所以|AB →|·|AC →|=23,所以△ABC 的面积S=12|AB →|·|AC →|sin A =12×23×sin π6=16. 答案:16三、解答题9.【2015新课标1,文17】已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边,2sin 2sin sin B A C =.(I )若ab =,求cos ;B(II )若90B=o ,且a = 求ABC ∆的面积.【解析】:(I )先由正弦定理将2sin 2sin sin B A C =化为变得关系,结合条件a b =,用其中一边把另外两边表示出来,再用余弦定理即可求出角B 的余弦值;(II )由(I )知22b ac =,根据勾股定理和即可求出c ,从而求出ABC ∆的面积. 试题解析:(I )由题设及正弦定理可得22b ac =.又ab =,可得2bc =,2a c =,由余弦定理可得2221cos 24a cb B ac +-==. (II )由(1)知22b ac =.因为B =90°,由勾股定理得222a c b +=.故222ac ac +=,得c a ==所以D ABC 的面积为1. 【答案】(I )14(II )1 10. 【2015浙江,文16】在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别为,,a b c .已知tan(A)24π+=.(1)求2sin 2sin 2cos AA A+的值; (2)若B ,34a π==,求ABC ∆的面积.【解析】(1)利用两角和与差的正切公式,得到1tan3A =,利用同角三角函数基本函数关系式得到结论;(2)利用正弦定理得到边b 的值,根据三角形,两边一夹角的面积公式计算得到三角形的面积.试题解析:(1)由tan(A)24π+=,得1tan 3A =, 所以22sin 22sin cos 2tan 2sin 2cos 2sin cos cos 2tan 15A A A A A A A A A A ===+++.(2)由1tan3A =可得,sin A A ==3,4a B π==,由正弦定理知:b =又sin sin()sin cos cos sin CA B A B A B =+=+=,所以11sin 3922ABCS ab C ∆==⨯⨯=. 【答案】(1)25;(2)9【二级目标】能力提升题组一、选择题1.在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ,若22ab -=,sin C B =,则A=(A )030 (B )060 (C )0120 (D )0150【解析】由由正弦定理得2c c R =⇒=,所以cosA=222+c -a 2b bc ==A=300答案:A2.[2014·重庆卷] 已知△ABC 的内角A ,B ,C 满足sin 2A +sin(A -B +C )=sin(C -A -B )+12,面积S 满足1≤S ≤2,记a ,b ,c 分别为A ,B ,C 所对的边,则下列不等式一定成立的是( )A .bc (b +c )>8B .ab (a +b )>16 2C .6≤abc ≤12D .12≤abc ≤24[解析]: 因为A +B +C =π,所以A +C =π-B ,C =π-(A +B ),所以由已知等式可得sin 2A +sin(π-2B )=sin[π-2(A +B )]+12,即sin 2A +sin 2B =sin 2(A +B )+12,所以sin[(A +B )+(A -B )]+sin[(A +B )-(A -B )]=sin 2(A +B )+12,所以2 sin(A +B )cos(A -B )=2sin(A +B )cos(A +B )+12,所以2sin(A +B )[cos(A -B )-cos(A +B )]=12,所以sin A sin B sin C =18.由1≤S ≤2,得1≤12bc sin A ≤2.由正弦定理得a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C ,所以1≤2R 2·sinA sinB sinC ≤2,所以1≤R 24≤2,即2≤R ≤2 2,所以bc (b +c )>abc =8R 3sin A sin B sin C =R 3≥8.答案:A 二、填空题3.【2015广东,理11】设ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若3a =,1sin 2B =,6C =π,则b = .【答案】1. 三、解答题4. 【2015山东,文17】ABC ∆中,角A B C ,,所对的边分别为,,a b c .已知36cos ()23B A B ac =+==求sin A 和c 的值. 【解析】在ABC ∆中,由3cos B =6sin B =因为A B C π++=,所以6sin sin()9C A B =+=,因为sin sin C B <,所以C B <,C 为锐角,3cos 9C =, 因此sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+65336223=+=.由,sin sin a cA C =可得22sin 323sin 6cc A a c C ===,又23ac =1c =. 22【高考链接】1. (2016年全国II 理13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若135cos ,54cos ==C A ,a =1,则b = .【解析】:由余弦定理有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=b c b bcc b 2113521542222,解得1321=b . 【答案】1321=b2. 【2015浙江,理16】在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知4A π=,22b a -=122c . (1)求tan C 的值;(2)若ABC ∆的面积为7,求b 的值.【答案】(1)2;(2)3b=.3.【2015江苏,15】在ABC ∆中,已知ο60,3,2===A AC AB.(1)求BC 的长; (2)求C 2sin 的值.因此212743sin 2C 2sin Ccos C 27==⨯⨯=. 【答案】(1)7;(2)43 4. 【2015新课标2,理17】ABC ∆中,D 是BC 上的点,AD 平分BAC ∠,ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍.(Ⅰ) 求sin sin B C∠∠; (Ⅱ)若1AD =,2DC =,求BD 和AC 的长.【答案】(Ⅰ)12;(Ⅱ)1,2==AC BD .。
第24讲解三角形
一、基础知识考点1正弦定理与余弦定理1.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即Cc B b A a sin sin sin ==.2.余弦定理:三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
即: 考点2射影定理与面积公式1.射影定理:B c C b a cos cos +=A c C a b cos cos +=A bB a c cos cos +=2.三角形的面积公式:(1)(表示边上的高); (2); (3);(4); 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎫=+-⎪=+-⎬⎪=+-⎭⇒222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩12a S a h =⋅a h a 111sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===22sin sin sin S R A B C =4abc S R=(5)考点3实际问题中的角1. 仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫仰角,目标视线在水平视线下方时叫俯角,如图所示.2.方位角:一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角.方位角的取值范围为0°~360°.如图,点的方位角是.3. 坡角和坡度坡面与地平面所成的角度,叫做坡角;坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度或者坡比,常用字母i 表示.坡比是坡角的正切值.二、例题精析【例题1】在ABC ∆中,AB =2,AC =3,,则BC =( )A.B. C . D.【例题2】在ABC ∆中,,,求ABC S ∆,.1()()().()2S p p a p b p c p a b c =---=++B 0135α=1AB BC ⋅=3722232a =b 22=15C =︒A【例题3】 已知)1,sin 32cos 2(x x m +=,),(cos y x n -=,且m n ⊥.(1)将y 表示为x 的函数)(x f ,并求)(x f 的单调增区间;(2)已知c b a ,,分别为ABC ∆的三个内角C B A ,,对应的边长,若()32Af =,且2=a ,4b c +=,求ABC ∆的面积.【例题4】ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,.向量()m a =与(cos ,sin )n A B =平行.(Ⅰ)求A ;(Ⅱ)若a =2b =,求C ∆AB 的面积.【例题5】在ABC ∆中,C B A ,,的对边分别是c b a ,,,已知3cos cos cos a A c B b C =+.(1)求A cos 的值;(2)若1a =,cos cos B C +求边c 的值. 三、课堂运用【基础】1.已知ABC ∆的内角C B A ,,所对应边分别为c b a ,,,若03323222=-++c b ab a ,则C cos = ___________2.已知函数2()sin cos f x x x x =.(Ⅰ)求()f x 的最小正周期;(Ⅱ)若()f x 在区间[,]3m π-上的最大值为32,求m 的最小值.【巩固】3.设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,若三边的长为连续的三个正整数,且A B C >>,A a b cos 203=,则C B A sin sin sin ::为( )A .4∶3∶2B .5∶6∶7C .5∶4∶3D .6∶5∶4【拔高】4.设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边为c b a ,,,且C A C A A B sin cos cos sin cos sin 2+=(Ⅰ)求角A 的大小;(II) 若2b =,1c =,D 为BC 的中点,求AD 的长.四、课程小结解三角形常见题型(1)已知两角一边可求第三角,解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可.(2)已知两边和一边对角,解三角形时,利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角,这是解题的难点,应引起注意.(3)熟练运用余弦定理及其推论,同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用. 依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时,主要有如下两种方法:(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状;(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A +B +C =π这个结论.五、课后作业【基础】1.ABC ∆的内角C B A ,,所对的边为c b a ,,,若222sin A sin C sin B AsinC +-=,则角B =( )A .6πB .3πC .23πD .56π2.已知函数()222cos sin 2f x x x =-+,则( )A .()f x 的最小正周期为π,最大值为3B .()f x 的最小正周期为π,最大值为4C .()f x 的最小正周期为2π,最大值为3D .()f x 的最小正周期为2π,最大值为43.ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.若ABC ∆的面积为2224a b c +-,则C =( )A .2πB .3πC .4πD .6π 4.在ABC ∆中, C B A ,,为内角,且sin cos sin cos A A B B =,则∆ABC 是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形5.在ABC ∆中,若21,3b c C π==∠=,则=∆ABC S . A .23 B .43 C .3 D .32 【巩固】1.在ABC ∆中,内角C B A ,,所对的边为c b a ,,,若,,则角B =________.cos cos sin a B b A c C +=222b c a +-=2.在ABC ∆,内角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,1sin cos sin cos ,2a B C c B A b += 且b a >,则=B ( ) A .6π B .3π C .23π D .56π3.在ABC ∆中,内角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,,且满足.(1)求角的值;(2)若,求的值.4.在ABC ∆中,内角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,,已知)6cos(sin π-=B a A b . (Ⅰ)求教B 的大小; (Ⅱ)设2=a ,3=c ,求b 的值.5.ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,若cos A =45,cos C =513,a =1, 则b =________.【拔高】1.已知三个向量)2cos ,(Aa =,)2cos ,(Bb =,)2cos ,(C c =共线,其中C B A c b a ,,,,,分别是ABC ∆的三条边和三个角,则ABC ∆的形状是( )A .等腰三角形B .等边三角形C .直角三角形D .等腰直角三角形 2.已知向量记. (Ⅰ)若,求的值; (Ⅱ)在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,且满足,sin cos b A B =B 25cos25A =sin C 2(3sin ,1),(cos ,cos ).444x x x m n ==()f x m n =⋅3()2f α=2cos()3πα-(2)cos cos a c B b C -=若,试判断ABC ∆的形状. 3.在①3=ac ,②3sin =A c , ③b c 3=这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c 的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.问题:是否存在ABC ∆,它的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,且6sin 3sin π==C B A ,, ? 4.在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,.已知5,a b c ===(Ⅰ)求角C 的大小;(Ⅱ)求A sin 的值;(Ⅲ)求πsin(2)4A +的值. 5.在ABC ∆中,11=+b a , 再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求:(I) a 的值;(II) C sin 和ABC ∆的面积.条件①: 7=c , 71cos -=A ;条件②: 81cos =A ,169cos =B .注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.课后作业参考答案【基础】1. A2. B3. C4. D5. B【巩固】1()2f A =1. 3π2. A3. (1)3π,(2)10334+ 4. (1)3π, (2)7D 5. 1321【拔高】1. B解析:由三个向量)2cos ,(A a =,)2cos,(B b =,)2cos ,(C c =共线, 得 2cos 2cos A b B a =,2cos 2cos A c C a ⋅=⋅, 即 2cos 2cos A b B a =,2cos 2cos A c C a ⋅=⋅, 所以C B A ==,ABC ∆为等边三角形.2. (1)1,(2) 等边三角形3. 解析:若选①3=ac ,则有 63π==C b a ,, 于是c a c b 31==,, 324323123cos 42222c c c c c C -=-+==,所以满足条件的ABC ∆存在,且1=c . 若选②3sin =A c ,则有 63π==C b a ,, 由32sin sin ===a C a A c , 所以326==b a ,,由12361236cos 2222=-+=-+=C ab b a c ,得32=c . 所以满足条件的ABC ∆存在,且32=c .若选③b c 3=,则有 63π==C b a ,, 所以33c b c a ==,, 2332133232cos 22222≠==-+=c c ab c b a C ,所以满足条件的ABC ∆不存在.4. 解析:(Ⅰ)由余弦定理,22220132582cos 222=-+=-+=ab c b a C , 所以4π=C ; (Ⅱ)由4π=C 可得22sin =C ,由正弦定理,得 13132132222sin sin =⨯==cC a A ; (Ⅲ)因为最大角为B ,所以13133cos =A ,于是 A A A 2cos 222sin 22)42sin(+=π+ 22cos 2cos sin 22-+=A A A 26217=. 5. 解析:若选①7=c ,71cos -=A ,则有 (I) 由 A bc c b a cos 2222-+=,得)71(7)11(249)11(22-⨯⨯--+-=a a a ,所以8=a ; (II)由71cos -=A 得734sin =A , 所以2387347sin sin =⨯==aA c C , ABC ∆的面积为3623)811(821sin 21=⨯-⨯⨯=C ab . 若选② 81cos =A ,169cos =B ,则有 873sin =A ,1675sin =B .(I) 由正弦定理B b A a sin sin = ,得75)11(16738a a -= 所以6=a ;(II)由B A B A B A C sin cos cos sin )sin(sin +=+=47167581169873=⨯+⨯=. ABC ∆的面积为471547)611(621sin 21=⨯-⨯⨯=C ab .。
高考数学一轮总复习 第24讲 正弦定理与余弦定理课件 文 新课标
π 由 b<a 知 B<A,所以 B 不是最大角,B<2, 2 从而 cosB= 1-sin B= 2 .
2
2 3 1 由上述结果知 sinC=sin(A+B)= 2 ( 2 +2). 3+1 设边 BC 上的高为 h,则有 h=bsinC= 2 .
【点评】(1)正、余弦定理往往在一道题中交叉使用, 以达到“知三求三”的目的; (2)正、 余弦定理关键是实现边角互化, 注意因题而异, 巧妙选择,简化运算; (3)在平面几何中应画出草图,理清思路,重点研究直 角三角形,条件较集中的三角形,寻找突破口.
a2+c2-b2 b2+c2-a2 ⇔(a2+b2)( - )=(a2-b2)c 2c 2c ⇔(a2+b2)(a2-b2)=(a2-b2)c2 ⇔a2+b2=c2 或 a=b. 故△ABC 的形状为直角三角形或等腰三角形.
【点评】 依据已知条件中的边角关系判断三角形形 状时,主要有如下两条途径: (1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系, 通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三 角形的形状; (2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角 函数间的关系,通过三角恒等变形,得出内角的关系, 从而判断三角形的形状.此时要注意应用 A+B+C=π 这个结论.
2 1 b c 【解析】(1)由正弦定理知sinB=sinC,所以sin45° sinC, = 1 所以 sinC=2. 由于 b>c,所以 B>C,而 B=45° ,所以 C=30° .
从而 A=180° -B-C=105° , 2 a 再由正弦定理可得sin105° sin45° = , 6+ 2 所以 a=2sin105° =2sin(60° +45° )= 2 .
【解析】因为 a、b、c 成等比数列,所以 b2=ac. 又 c=2a,所以 b2=2a2, a2+c2-b2 a2+4a2-2a2 3 所以 cosB= 2ac = =4. 2 4a
高考数学一轮总复习教学课件第四章 三角函数、解三角形第一课时 余弦定理和正弦定理
,
= =c=csin C,
判断三角形形状的两种途径
[针对训练] (2020·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为
2
a,b,c,已知 cos (+A)+cos A=.
(1)求A;
2
(1)解:由已知得 sin A+cos A=,
2
即 cos A-cos A+=0,
sin B=2× = ,
2
由余弦定理 a =b +c -2bccos A,
2
2
得 2= +c -2× c· ,即 2c -2c-3=0,解得 c=
+
综上,b= ,c=
+
.
或 c=
-
(舍去).
(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下
所以 sin B=
×
=
=
.
- = ,
(3)求sin(2A-B)的值.
解:(3)因为 cos A=- ,所以 <A<π,故 0<B< ,又 sin A=
2sin Acos A=2×
(-
,所以 c;
2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况
项目
A为锐角
A为钝角或直角
图形
高考数学(理,北师大版)一轮复习课件第24讲 正弦定理和余弦定理的应用(37张PPT)
甲行走了(100+50t)m,乙距离 A 处 130tm,所以由余弦定
点 理得
面 讲 考
d2
=
(100
+
50t)2
+
(130t)2
-
2×130t×(100
+
12 50t)×13
=
向 200(37t2-70t+50).
因为 0≤t≤1103400,即 0≤t≤8,
故当 t=3357(min)时,甲、乙两游客距离最短.
=153×35+1123×45=6635.
由正弦定理siAnBC=sAinCB,得
AB=sAinCB·sin C=126630×45=1040(m). 65
所以索道 AB 的长为 1040 m.
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第24讲 正弦定理和余弦定理的应用
(2)假设乙出发 tmin 后,甲、乙两游客距离为 d,此时,
点 面
在的三角形.若其他量已知则直接求解;若有未知量,
讲 则把未知量放在另一确定三角形中求解.
考 向
(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就
选择更便于计算的定理.
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第24讲 正弦定理和余弦定理的应用
► 例探究2 点[20二13·海南测文量昌模高拟度] 某问兴题趣小组测量电视塔
点
AE 的高度 H(单位:m),如图 3-24-3 所示,垂直放置的
双
向
—— 链接教材 ——
固
基
础
1.[教材改编] 海上有A,B,C三个小岛,A,B相距5 3
海里, 从A岛望去,C和B成45°视角,从B岛望去,C和A成75°视
角,则B,C两岛间的距离是________海里.
[答案=60°,由正弦定理得
高考数学一轮复习 正弦定理、余弦定理及其应用
(3)若三角形三边 a,b,c 成等差数列,则 2b=____________
⇔
2sinB
=
____________
⇔
2sin
B 2
=
cos
A-C 2
解:由正弦定理得ab=ssiinnAB,所以
sinB=
2× 7
sinπ3=
721,
由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA,所以 7= 4+c2-2c,所
以 c=3(负值舍去).故填 721;3.
(2018·全国卷Ⅰ) △ABC 的内角 A,B,C 的对边 分别为 a,b,c,已知 bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2
-a2=8,则△ABC 的面积为________.
解:根据题意,结合正弦定理
可得 sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC,即 sinA=12, 结合余弦定理可得 b2+c2-a2=2bccosA=8,
所以 A 为锐角,且 cosA= 23,从而求得 bc=8 3 3,
所以△ABC 的面积为 S=12bcsinA=12×8 3 3×
所 以 AB2 = BC2 + AC2 - 2BC·AC·cosC = 1 + 25 -
2×1×5×-35=32,所以 AB=4 2.故选 A.
(2017·山东)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分
别为 a,b,c.若△ABC 为锐角三角形,且满足 sinB(1+2cosC)
=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是( )
2021高考数学一轮提高复习《第24讲 正弦定理与余弦定理》
3. 在△ABC 中,A=60°,a=4 3,b=4 2,则 B 等于( C )
A. 45°或 135°
B. 135°
C. 45°
D. 60°
【解析】 由正弦定理sianA=sibnB,得 sinB=bsainA= 22,注意到内角和为 180°,且
a>b,所以 B=45°.
4. 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若(a2+b2-c2)tanC=ab,
则角 C 的大小为( A )
A. π6或56π
B. π3或23π
π
2π
C. 6
D. 3
【解析】 由题意知a2+2ba2b-c2=2ta1nC⇒cosC=2csoisnCC,sinC=12,又 C∈(0,π),所
以 C=π6或56π,故选 A.
5.
在△ABC
中,若
a=2,A=π4,C=51π2,则△ABC
2. (多选)在△ABC 中,下列结论错误的有( BCD ) A. 若 a2>b2+c2,则△ABC 为钝角三角形 B. 若 a2=b2+c2+ 2bc,则 A=45° C. 若 a2+b2>c2,则△ABC 为锐角三角形 D. 若 A∶B∶C=1∶2∶3,则 a∶b∶c=1∶2∶3
【解析】 对于 A,若 a2>b2+c2,则 b2+c2-a2<0,即有 cosA=b2+2cb2c-a2<0, 即 A 为钝角,故 A 正确;对于 B,若 a2=b2+c2+ 2bc,即 b2+c2-a2=- 2bc,则 cosA=b2+2cb2c-a2=- 22,即 A=135°,故 B 错误;对于 C,若 a2+b2>c2,则 a2+b2 -c2>0,即 cosC>0,即 C 为锐角,不能说明 A,B 也是锐角,故 C 错误;对于 D, 若 A∶B∶C=1∶2∶3,则 A=30°,B=60°,C=90°,故 a∶b∶c=sin30°∶sin60°∶sin90° =1∶ 3∶2,故 D 错误.故选 BCD.
高考数学一轮复习正弦定理、余弦定理及解三角形课件文44页PPT
END
16、业余生活要有意义,不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰,也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人,而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着,就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书,莫被书掌握;要为生而读,莫为读而生。——布尔沃
高考数学一轮复习正弦定理、余弦定理 及解三角形课件文
56、死去何所道,托体同山阿。 57、春秋多佳日,登高赋新诗。 58、种豆南山下,草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ,带月 荷锄归 。道狭 草木长 ,夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ,但使 愿无违 。 59、相见无杂言,但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕,亭亭月将圆。
【学海导航】高考数学一轮总复习 第24讲 正弦定理与余弦定理课件 文 新人教A
•11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信,人不欺我;对事以诚信,事无不成。 •12、首先是教师品格的陶冶,行为的教育,然后才是专门知识和技能的训练。 •13、在教师手里操着幼年人的命运,便操着民族和人类的命运。2022/1/162022/1/16January 16, 2022 •14、孩子在快乐的时候,他学习任何东西都比较容易。 •15、纪律是集体的面貌,集体的声音,集体的动作,集体的表情,集体的信念。 •16、一个人所受的教育超过了自己的智力,这样的人才有学问。 •17、好奇是儿童的原始本性,感知会使儿童心灵升华,为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/162022/1/162022/1/161/16/2022 •18、人自身有一种力量,用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量,一旦他这样做,就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/162022/1/16
在△ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c, 已知 c=2,C=π3.
(1)若△ABC 的面积等于 3,求 a,b; (2)若 sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC 的面积.
三 用正、余弦定理求解综合问题
【例 3】(2011·安徽卷)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边长,a= 3,b= 2,1+2cos(B+C) =0,求边 BC 上的高.
备选例题
如图,已知△ABC 是边长为 1 的正三角形,M、N 分 别是边 AB、GA=α(π3≤α≤23π).
(1)试将△AGM、△AGN 的面积(分别记为 S1 与 S2)表 示为 α 的函数;
(2)求 y=S121+S122的最大值与最小值.
第24讲 正弦定理与余弦定理
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所以
sinA=sin34π-2B=sin34πcos2B-cos34π·sin2B=
c·b2+2cb2c-a2,整理得 a2+c2-b2=ac,所以 2accosB=ac>0,cosB=12.又 0<B<π,所
以 B=π3.
余弦定理揭示的是三角形的三条边与其中一个角之间的关系,若式子中含有角的 余弦或边的二次式,则考虑用余弦定理;若以上特征都不明显,则要考虑正、余弦两 个定理都有可能用到.
第四章 三角函数、解三角形
第24讲 正弦定理与余弦定理 课时1 正弦定理、余弦定理与解三角形
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目
研题型 ·技法通关
导
航
研题型 ·技法通关
分类解析
目标 1 正弦定理与解三角形
(1) (2019·河南安阳质检)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.
若 asinBcosC+csinBcosA=12b,且 a>b,则 B 等于( A )
(2) (2019·江苏海安中学)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 a= 3, sinB=12,C=π6,则 b=____1____.
【解析】 在△ABC 中,因为 sinB=12,0<B<π,所以 B=π6或 B=56π.又因为 B+C<π, C=π6,所以 B=π6,所以 A=π-π6-π6=23π.因为sianA=sibnB,所以 b=assiinnAB=1.
解三角形时,一般是根据正弦定理求边或列等式,若式子中含有角的正弦或边的 一次式时,则考虑用正弦定理.
(1) (2019·石家庄质检)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若
a= 26b,A=2B,则 cosB 等于( C )
6 A. 6
6 B. 5
6
6
C. 4
D. 3
6
6
【解析】 因为 a= 26b,A=2B,所以由正弦定理可得si2n2bB=sibnB,所以2sinB2cosB
(2) 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,cosB=45.若 c=2a,则ssiinnCB
35 的值为___1_0____;若
C-B=π4,则
sinA
31 2 的值为___5_0____.
【解析】在△ABC 中,因为 cosB=45,所以a2+2ca2c-b2=45.因为 c=2a,所以c42+cc22-b2
=si1nB,所以 cosB= 46.
(2) 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 3a=2b,则2sin2sBin-2Asin2A
的值为( D )
A. -19
B.
1 3
C. 1
D.
7 2
【解析】 由正弦定理可得2sin2sBin-2Asin2A=2ssiinnBA2-1=2ba2-1,因为 3a=2b,所 以ba=32,所以2sin2sBin-2Asin2A=2×322-1=72.
(1) 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,面积为 S,若 S+
a2=(b+c)2,则 cosA 等于( D )
A.
4 5
B. -45
C.
15 17
D. -1157
【解析】 由 S+a2=(b+c)2,得 a2=b2+c2-2bc·14sinA-1,由余弦定理可得14sinA
A.
π 6
B.
π 3
2π C. 3
5π D. 6
【解析】 利用正弦定理的变形,得 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入 asinBcosC+csinBcosA=12b 中,得 2RsinAsinBcosC+2RsinCsinBcosA=12×2RsinB,所以 sinAcosC+sinCcosA=12,即 sin(A+C)=sinB=12.因为 a>b,所以 B 不是最大角,所以 B =π6.
目标 2 余弦定理与解三角形 (1) 已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 b2=ac,c=2a,
则 cosC 等于( B )
A.
2 4
B.
-
2 4
C.
3 4ห้องสมุดไป่ตู้
D. -34
【解析】 由题意得 b2=ac=2a2,即 b= 2a,所以 cosC=a2+2ba2b-c2=a2+2a2×a2-2a4a2
目标 3 正、余弦定理的结合运用
(1) (2019·芜湖质检)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若ssiinnAB
=ac,(b+c+a)(b+c-a)=3bc,则△ABC 的形状为( C )
A. 直角三角形
B. 等腰非等边三角形
C. 等边三角形
D. 钝角三角形
【解析】 因为ssiinnAB=ac,所以ab=ac,所以 b=c.又(b+c+a)(b+c-a)=3bc,所以 b2+c2-a2=bc,所以 cosA=b2+2cb2c-a2=2bbcc=12.因为 A∈(0,π),所以 A=π3,所以 △ABC 是等边三角形.
=-
2 4.
(2) (2019·江苏新海中学)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 2bcosB π
=acosC+ccosA,则 B=____3_____. 【解析】 由 2bcosB=acosC+ccosA 及余弦定理,得 2b·a2+2ca2c-b2=a·a2+2ba2b-c2+
=45,即bc22=290,所以bc=3105.又由正弦定理得ssiinnCB=bc,所以ssiinnCB=3105.因为 cosB=45,
所以 cos2B=2cos2B-1=275.又 0<B<π,所以 sinB= 1-cos2B=35,所以 sin2B=
2sinBcosB=2×35×45=2245.因为 C-B=π4,即 C=B+π4,所以 A=π-(B+C)=34π-2B,
-1=cosA,结合 sin2A+cos2A=1,可得 cosA=-1157或 cosA=-1(舍去).
(2) (2019·东北四校联考)已知△ABC 三边 a,b,c 上的高分别为12, 22,1,则 cosA 等于( C )
A.
3 2
B.
-
2 2
C.
-
2 4
D.
-
3 4
【解析】 设△ABC 的面积为 S,则 a=4S,b=2 2S,c=2S,因此 cosA= 22×222+22×2-242=- 42.故选 C.