第二讲函数的概念
02 复合函数、反函数、初等函数
y ax
(a 1)
• (0,1)
11
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3. 对数函数 y loga x (a 0,a 1)
y ln x
y loga x
(1,0)
•
(a 1)
y log 1 x
a
12
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4. 三角函数
正弦函数 y sin x
y sin x
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幂函数 指 对数 数函 函数 数 三角函数 反三角函数
23
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幂函数 y = x α （∈R），
指数函数 y = a x （a ＞0,且 a ≠1） 对数函数 y = log a x (a＞0,且a≠1) 三角函数 y = sin x , y = cos x
y = tan x , y = cot x 反三角函数 y = arcsin x , y = arccos x
例 如 y x3 , x R是 单 射 ， 其反函数为x 3 y, y R 通常写作y 3 x, x R
7
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y 反函数y ( x)
Q(b, a )
直接函数y f ( x)
o
P(a, b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y x对称.
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三、初等函数
余割函数 y csc x 1
sin x
y csc x
18
【(2020-2022)三年真题分项汇编】第2讲 函数的概念与基本初等函数Ⅰ(新高考)(原卷版)
【（2020-2022）三年真题分项汇编】第2讲函数的概念与基本初等函数Ⅰ1．【2022年新高考2卷】已知函数f(x)的定义域为R ，且f(x +y)+f(x −y)=f(x)f(y),f(1)=1，则∑f(k)22k=1=（ ）A ．−3B ．−2C ．0D ．12．【2021年新高考2卷】已知5log 2a =，8log 3b =，12c =，则下列判断正确的是（ ） A ．c b a << B ．b a c << C ．a c b << D ．a b c << 3．【2021年新高考2卷】已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则（ ）A ．102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．()10f -=C ．()20f =D ．()40f = 4．【2020年新高考1卷（山东卷）】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天5．【2020年新高考1卷（山东卷）】若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃6．【2020年新高考2卷（海南卷）】已知函数2()lg(45)f x x x =--在(,)a +∞上单调递增，则a的取值范围是（ ）A ．(2,)+∞B ．[2,)+∞C ．(5,)+∞D ．[5,)+∞ 7．【2022年新高考1卷】已知函数f(x)及其导函数f ′(x)的定义域均为R ，记g(x)=f ′(x)，若f (32−2x)，g(2+x)均为偶函数，则（ ）A ．f(0)=0B ．g (−12)=0C ．f(−1)=f(4)D ．g(−1)=g(2)8．【2021年新高考2卷】设正整数010112222k k k k n a a a a --=⋅+⋅++⋅+⋅，其中{}0,1i a ∈，记()01k n a a a ω=+++．则（ ） A ．()()2n n ωω= B ．()()231n n ωω+=+C ．()()8543n n ωω+=+D ．()21n n ω-= 9．【2021年新高考1卷】已知函数()()322x x x a f x -=⋅-是偶函数，则=a ______.10．【2021年新高考1卷】函数()212ln f x x x =--的最小值为______.11．【2021年新高考2卷】写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x _______． ①()()()1212f x x f x f x =；②当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>；③()'f x 是奇函数。
02初等函数及数列极限的概念
通常所说的反双曲余弦函数即指此主支。
类似于上面的作法, 可以得到 arth x , arcth x , arsech x , arcsch x 的表达式.
第二章 极限
本章学习要求：
了解数列极限的概念， 会用《 N》语言描述数列的 极限。正确理解 和 N 的含义。
双曲余弦函数的 定义域为 (, )
双曲余弦函数 在(, 0)内单调减少 在[0, )内单调增加
双曲余弦函数是偶函数
y
y = cth x
1
O y = th x
x
1
双曲正切、双曲余切的图形
双曲正切函数 定义域为 (, )
双曲正切函数 是单调增加的且有界
| th x | 1
4
x1 x
1 2
1 2n
,
有界 (可取 M 1 ). 2
(2) { (1)n1}: 1, 1, 1, 1,, (1)n1,
x2n
–1
0
x 2 n 1
x
1
{(1)n1}不单调, 但有界 (可取 M 1 ).
(3)
1
(1)n n
:
x3
••
•
(••x•2n•-•1••(•••
*
•••)•
x2n
••• •••)•
•
x4
•
1 103
1 102n
1
0
1
1
102n
y y f (x) M
yM
I (
O
) x
M y M
数列的有界性的定义
若 M 0, 使得 | xn | M , n N 成立, 则称数列{xn} 有界. 否则称{xn} 是无界的.
第二章 第二讲 函数的定义域、值域
第二讲 函数的定义域、值域知识梳理·双基自测ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知识梳理知识点一 函数的定义域 函数y ＝f (x )的定义域1．求定义域的步骤：(1)写出使函数式有意义的不等式(组)； (2)解不等式(组)；(3)写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出) 2．求函数定义域的主要依据 (1)整式函数的定义域为R . (2)分式函数中分母不等于0．(3)偶次根式函数被开方式大于或等于0． (4)一次函数、二次函数的定义域均为R ． (5)函数f (x )＝x 0的定义域为{x |x ≠0}． (6)指数函数的定义域为R ． (7)对数函数的定义域为(0，＋∞)． 知识点二 函数的值域 基本初等函数的值域： 1．y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R ． 2．y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为⎩⎨⎧y ⎪⎪⎭⎬⎫y ≥4ac －b 24a ；当a <0时，值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ≤4ac －b 24a ． 3．y ＝kx(k ≠0)的值域是{y |y ≠0}．4．y ＝a x (a >0且a ≠1)的值域是(0，＋∞)． 5．y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是R ．重要结论1．定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集．3．函数f (x )与f (x ＋a )(a 为常数a ≠0)的值域相同．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( × ) (2)函数y ＝xx －1定义域为x >1.( × ) (3)函数y ＝f (x )定义域为[－1，2]，则y ＝f (x )＋f (－x )定义域为[－1，1]．( √ ) (4)函数y ＝log 2(x 2＋x ＋a )的值域为R ，则a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，14.( √ ) (5)求函数y ＝x 2＋3x 2＋2的值域时有以下四种解法．判断哪种解法是正确的．[解法一](不等式法)：y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2，∴值域为[2，＋∞)．( × )[解法二](判别式法)：设x 2＋2＝t (t ≥2)，则y ＝t ＋1t ，即t 2－ty ＋1＝0，∵t ∈R ，∴Δ＝y 2－4≥0，∴y ≥2或y≤－2(舍去)．( × )[解法三](配方法)：令x 2＋2＝t (t ≥2)，则y ＝t ＋1t ＝⎝⎛⎭⎫t －1t 2＋2≥2.( × )[解法四](单调性法)：易证y ＝t ＋1t 在t ≥2时是增函数，所以t ＝2时，y min ＝322，故y ∈⎣⎡⎭⎫322，＋∞.( √ ) [解析] (4)y ＝log 2(x 2＋x ＋a )值域为R 应满足Δ≥0，即1－4a ≥0，∴a ≤14.题组二 走进教材2．(必修1P 17例1改编)函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( C )A ．[0，2)B ．(2，＋∞)C ．[0，2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)[解析] 使函数有意义满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0x －2≠0，解得x ≥0且x ≠2，故选C ．3．(必修1P 32T5改编)函数f (x )的图象如图，则其最大值、最小值分别为( B )A ．f ⎝⎛⎭⎫32，f ⎝⎛⎭⎫－32 B ．f (0)，f ⎝⎛⎭⎫32 C ．f ⎝⎛⎭⎫－32，f (0) D ．f (0)，f (3)4．(必修1P 39BT1改编)已知函数f (x )＝x ＋9x，x ∈[2，4]的值域为⎣⎡⎦⎤6，132．[解析] 当x ＝3时取得最小值6，当x ＝2取得最大值132，值域为⎣⎡⎦⎤6，132. 题组三 走向高考5．(2020·北京，11，5分)函数f (x )＝1x ＋1＋ln x 的定义域是(0，＋∞)．[解析] 要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，x >0，故x >0，因此函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．6．(2016·北京，5分)函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为2． [解析] 解法一：(分离常数法)f (x )＝x x －1＝x －1＋1x －1＝1＋1x －1，∴x ≥2，∴x －1≥1，0<1x －1≤1，∴1＋1x －1∈(1，2]，故当x ＝2时，函数f (x )＝xx －1取得最大值2.解法二：(反解法)令y ＝x x －1，∴xy －y ＝x ，∴x ＝y y －1.∵x ≥2，∴y y －1≥2，∴yy －1－2＝2－y y －1≥0，解得1<y ≤2，故函数f (x )的最大值为2.解法三：(导数法)∵f (x )＝xx －1，∴f ′(x )＝x －1－x （x －1）2＝－1（x －1）2<0，∴函数f (x )在[2，＋∞)上单调递减，故当x＝2时，函数f (x )＝xx －1取得最大值2.考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点一 求函数的定义域——多维探究 角度1 求具体函数的定义域例1 (1)(2021·长春质检)函数y ＝ln （1－x ）x ＋1＋1x 的定义域是( D )A ．[－1，0)∪(0，1)B ．[－1，0)∪(0，1]C ．(－1，0)∪(0，1]D ．(－1，0)∪(0，1)(2)(2021·宣城八校联考期末)函数y ＝－x 2＋2x ＋3lg （x ＋1）的定义域为( B )A ．(－1，3]B ．(－1，0)∪(0，3]C ．[－1，3]D ．[－1，0)∪(0，3][解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋1>0，x ≠0，解得－1<x <0或0<x <1.所以原函数的定义域为(－1，0)∪(0，1)．(2)要使函数有意义，x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3≥0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0或0<x ≤3，所以函数的定义域为(－1，0)∪(0，3]． 角度2 求抽象函数的定义域例2 已知函数f (x )的定义域为(－1，0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( B ) A ．(－1，1) B ．⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1，0)D ．⎝⎛⎭⎫12，1[解析] 由函数f (x )的定义域为(－1，0)，则使函数f (2x ＋1)有意义，需满足－1<2x ＋1<0，解得－1<x <－12，即所求函数的定义域为⎝⎛⎭⎫－1，－12. [引申1]若将本例中f (x )与f (2x ＋1)互换，结果如何？ [解析] f (2x ＋1)的定义域为(－1，0)，即－1<x <0， ∴－1<2x ＋1<1，∴f (x )的定义域为(－1，1)．[引申2]若将本例中f (x )改为f (2x －1)定义域改为[0，1]，求y ＝f (2x ＋1)的定义域，又该怎么办？ [解析] ∵y ＝f (2x －1)定义域为[0，1]．∴－1≤2x －1≤1，要使y ＝f (2x ＋1)有意义应满足－1≤2x ＋1≤1，解得－1≤x ≤0， 因此y ＝f (2x ＋1)定义域为[－1，0]． 名师点拨 MING SHI DIAN BO函数定义域的求解策略(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f [g (x )]的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出； ②若已知函数f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． 〔变式训练1〕 (1)(角度1)函数f (x )＝1ln （x ＋1）＋4－x 2的定义域为( B )A ．[－2，0)∪(0，2]B ．(－1，0)∪(0，2]C ．[－2，2]D ．(－1，2](2)(角度1)(2021·安徽芜湖检测)如果函数f (x )＝ln(－2x ＋a )的定义域为(－∞，1)，那么实数a 的值为( D ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2(3)(角度2)已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为[－1，2]． [解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，ln （x ＋1）≠0，4－x 2≥0，得－1<x ≤2，且x ≠0.故选B ．(2)因为－2x ＋a >0，所以x <a 2，所以a2＝1，得a ＝2.故选D ．(3)因为y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，所以x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1，2]，所以y ＝f (x )的定义域为[－1，2]．考点二,求函数的值域——师生共研例3 求下列函数的值域． (1)y ＝1－|x |1＋|x |；(2)y ＝－2x 2＋x ＋3； (3)y ＝x 2＋x ＋1x ；(4)y ＝x －1－2x ； (5)y ＝x ＋1－x 2； (6)y ＝|x ＋1|＋|x －2|.[解析] (1)解法一：分离常数法： y ＝1－|x |1＋|x |＝－1＋21＋|x |， ∵|x |≥0，∴|x |＋1≥1，∴0<2|x |＋1≤2.∴－1<－1＋21＋|x |≤1.即函数值域为(－1，1]．解法二：反解法：由y ＝1－|x |1＋|x |，得|x |＝1－y 1＋y .∵|x |≥0，∴1－y1＋y≥0，∴－1<y ≤1，即函数值域(－1，1]． (2)解法一：配方法：y ＝－2⎝⎛⎭⎫x －142＋258， ∴0≤y ≤524，∴值域为⎣⎡⎦⎤0，524.解法二：复合函数法： y ＝t ，t ＝－2x 2＋x ＋3， 由t ＝－2x 2＋x ＋3，解得t ≤258， 又∵y ＝t 有意义，∴0≤t ≤258，∴0≤y ≤524，∴值域为⎣⎡⎦⎤0，524.(3)y ＝x 2＋x ＋1x ＝x ＋1x ＋1解法一：基本不等式法由y ＝x ＋1x ＋1(x ≠0)，得y －1＝x ＋1x .∵⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x |＋⎪⎪⎪⎪1x ≥2|x |·⎪⎪⎪⎪1x ＝2，∴|y －1|≥2，即y ≤－1或y ≥3.即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞) 解法二：判别式法由y ＝x 2＋x ＋1x ，得x 2＋(1－y )x ＋1＝0.∵方程有实根，∴Δ＝(1－y )2－4≥0. 即(y －1)2≥4，∴y －1≤－2或y －1≥2.得y ≤－1或y ≥3.即函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 解法三：导数法(单调性法)令y ′＝1－1x 2＝（x ＋1）（x －1）x 2<0，得－1<x <0或0<x <1.∴函数在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，此时y ≥3； 函数在(－1，0)上递减，在(－∞，－1)上递增，此时y ≤－1. ∴y ≤－1或y ≥3.即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． (4)解法一：换元法设1－2x ＝t (t ≥0)，得x ＝1－t 22，∴y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1≤12(t ≥0)，∴y ∈⎝⎛⎦⎤－∞，12.即函数的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，12. 解法二：单调性法∵1－2x ≥0，∴x ≤12，∴定义域为⎝⎛⎦⎤－∞，12.又∵函数y ＝x ，y ＝－1－2x 在⎝⎛⎭⎫－∞，12上均单调递增，∴y ≤12－1－2×12＝12，∴y ∈⎝⎛⎦⎤－∞，12. (5)三角换元法：设x ＝sin θ，θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，y ＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，∵θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，∴θ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，∴sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，∴y ∈[－1，2]．(6)解法一：绝对值不等式法：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3， 所以函数值域为[3，＋∞)．解法二：数形结合法： y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1（x <－1），3（－1≤x ≤2），2x －1（x >2）.画出此分段函数的图象如图，可知值域为[3，＋∞)． 名师点拨 MING SHI DIAN BO求函数值域的一般方法(1)分离常数法：形如y ＝cx ＋d ax ＋b(a ≠0)的函数；如例3(1)．(2)反解法：形如y ＝cf （x ）＋daf （x ）＋b (a ≠0，f (x )值域易求)的函数；如例3(1)．(3)配方法：形如y ＝af 2(x )＋bf (x )＋c (a ≠0)的函数；如例3(2)． (4)不等式法；如例3(3)．(5)单调性法：通过研究函数单调性，求出最值，进而确定值域．(6)换元法：形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d (c ≠0)的函数；如例3(4)；形如y ＝ax ＋b ±c 2－x 2(c ≠0)的函数采用三角换元，如例3(5)．(7)数形结合法：借助函数图象确定函数的值域，如例3(6)． (8)导数法． 〔变式训练2〕 求下列函数的值域： (1)y ＝1－x 21＋x 2；(2)y ＝x ＋41－x ； (3)y ＝2x 2－x ＋12x －1⎝⎛⎭⎫x >12. [解析] (1)解法一：y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x 2，因为x 2≥0，所以x 2＋1≥1，所以0<21＋x 2≤2.所以－1<－1＋21＋x 2≤1.即函数的值域为(－1，1]． 解法二：由y ＝1－x 21＋x 2，得x 2＝1－y 1＋y . 因为x 2≥0，所以1－y1＋y≥0.所以－1<y ≤1，即函数的值域为(－1，1]． (2)设t ＝1－x ，t ≥0，则x ＝1－t 2，所以原函数可化为y ＝1－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋5(t ≥0)， 所以y ≤5，所以原函数的值域为(－∞，5]． (3)y ＝2x 2－x ＋12x －1＝x （2x －1）＋12x －1＝x ＋12x －1＝x －12＋12x －12＋12，因为x >12，所以x －12>0，所以x －12＋12x －12≥2⎝⎛⎭⎫x －12·12⎝⎛⎭⎫x －12＝2，当且仅当x －12＝12x －12，即x ＝1＋22时取等号．所以y ≥2＋12，即原函数的值域为⎣⎡⎭⎫2＋12，＋∞.导数法：y ′＝4x 2－4x ＋1（2x －1）2，∴y 在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1＋22递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22，＋∞递增，∴y ≥2＋12.名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG 已知函数的定义域或值域求参数的取值范围例4 已知函数f (x )＝lg [(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1]． (1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的值域为R ，求实数a 的取值范围．[分析] (1)由f (x )的定义域为R 知(a 2－1)x 2＋(a ＋1)·x ＋1>0的解集为R ，即(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1>0恒成立； (2)由f (x )的值域为R 知(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1能取所有正数，即y ＝(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1图象的开口向上且与x 轴必有交点．[解析] (1)依题意(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1>0，对一切x ∈R 恒成立，当a 2－1≠0时，其充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，Δ＝（a ＋1）2－4（a 2－1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1或a <－1，a >53或a <－1. ∴a <－1或a >53.又a ＝－1时，f (x )＝1>0，满足题意．∴a ≤－1或a >53.(2)依题意，只要t ＝(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1能取到(0，＋∞)上的任何值，则f (x )的值域为R ，故有a 2－1>0，Δ≥0，解得－1≤a ≤53，又当a 2－1＝0，即a ＝1时，t ＝2x ＋1符合题意；a ＝－1时不合题意，∴－1<a ≤53.名师点拨 MING SHI DIAN BO已知函数的定义域，等于是知道了x 的范围，(1)当定义域不是R 时，往往转化为解集问题，进而转化为与之对应的方程解的问题，此时常利用代入法或待定系数法求解；(2)当定义域为R 时，往往转化为恒成立的问题，常常结合图形或利用最值求解．〔变式训练3〕(1)已知函数y ＝mx 2－6mx ＋m ＋8的定义域为R ，则实数m 的取值范围为[0，1]．(2)(2021·甘肃天水三中阶段测试)若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎡⎦⎤－254，－4，则实数m 的取值范围是( C )A ．(0，4]B ．⎣⎡⎦⎤32，4 C ．⎣⎡⎦⎤32，3D ．⎣⎡⎭⎫32，＋∞[解析] (1)①当m ＝0时，y ＝8，其定义域为R . ②当m ≠0时，由定义域为R 可知， mx 2－6mx ＋m ＋8≥0对一切实数x 均成立，于是有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝（－6m ）2－4m （m ＋8）≤0，解得0<m ≤1，∴m 的取值范围是[0，1]．(2)由x 2－3x －4＝－254得x ＝32；由x 2－3x －4＝－4，得x ＝0或x ＝3，又函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎡⎦⎤－254，－4，∴32≤m ≤3. 另：由y ＝x 2－3x －4＝⎝⎛⎭⎫x －322－254，∴32≤m ≤3.。
第2章 第2讲 函数的单调性与最值
(4)有界性法：利用代数式的有界性(如 x2≥0， x≥0，2x>0，－1≤sinx≤1 等)确定函数的值域．如举例说明 4 可用此法．
(5)分离常数法：形如求 y＝acxx＋＋db(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离 常数法求解．如举例说明 4 可用此法．
(2)图象法：如果 f(x)是以图象形式给出的，或者 f(x)的图象易作出，则 可由图象的直观性确定它的单调性．如举例说明 2.
(3)导数法：利用导数取值的正负确定函数的Βιβλιοθήκη 调性．如举例说明 3 可 用此法.
2.熟记函数单调性的三个常用结论 (1)若 f(x)，g(x)均是区间 A 上的增(减)函数，则 f(x)＋g(x)也是区间 A 上 的增(减)函数； (2)若 k>0，则 kf(x)与 f(x)单调性相同；若 k<0，则 kf(x)与 f(x)单调性相 反； (3)复合函数单调性的确定方法：若两个简单函数的单调性相同，则这 两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个 函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”．如举例说明 1.
fxx11－－fx2x2>0⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0.(
)
(3)若函数 y＝f(x)，x∈D 的最大值为 M，最小值为 m(M＞m)，则此函数
的值域为[m，M]．( )
(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√
答案
2.小题热身 (1)设定义在[－1,7]上的函数 y＝f(x)的图象如图所示，则函数 y＝f(x)的 增区间为__[－__1_,_1_]_，__[5_,_7_]___． 解析 由图可知函数的单调递增区间为[－1,1]和[5,7]．
高中数学第2讲 函数概念与表示(教案)新人教版必修1
函数概念与表示教学目标：掌握函数的基本概念〔高考要求 B 〕教学重难点：了解函数的定义方法，掌握函数“三要素〞及其求法。
教学过程： 一、知识要点：1．函数的“三要素〞： 定义域、对应关系 、值域。
2.常用的函数表示法：〔1〕列表法：〔2〕图象法：〔3〕解析法〔分段函数〕：〔4〕复合函数： 〔1〕求函数定义域一般方法：①给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；②实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义； ③复合函数定义域：()f x 的定义域[],a b ，其复合函数[]()f g x 的定义域。
由()a g x b ≤≤解出。
[()]f g x 的定义域[],a b ，求()f x 的定义域。
是()g x 在[],a b 上的值域〔2〕求函数解析式的方法：①函数类型，求函数的解析式：待定系数法；②复合关系，求函数的解析式：换元法、配凑法； ③函数图像，求函数解析式；数形结合法； 〔3〕求函数值域的类型与求法：类型：①求常见函数值域；②复合函数的值域；③组合函数的值域。
求法：①直接法、②配方法、 ③离常数法、④换元法、⑤逆求法、⑥叛别式法、⑦数形结合。
二、基础练习：1、下各组函数中表示同一函数的有〔4〕〔1〕f 〔x 〕=2x ，g 〔x 〕=33x ； 〔2〕f 〔x 〕=x x ||，g 〔x 〕=⎩⎨⎧<-≥;01,01x x〔3〕f 〔x 〕=x1+x ，g 〔x 〕=x x +2； 〔4〕f 〔x 〕=x 2－2x －1，g 〔t 〕=t 2－2t －1。
2、〔2008·全国Ⅰ理，1〕函数y=x x x +-)1(的定义域为 {x|x ≥1}∪{0}3、函数()f x 定义域为(0，2)，求2()23f x +定义域；解：〔1〕由0＜x 2＜2，得4、函数2()42f x x x =-+，(0,3)x ∈的值域是[)2,2-5、〔07某某文13〕设函数1()f x =112223()(),x f x x f x x -==，，那么123(((2007)))f f f =1/2007． 三、例题精讲：题型1：函数关系式 例1．〔1〕设函数).89(,)100()]5([)100(3)(f x x f f x x x f 求⎩⎨⎧<+≥-=解：〔1〕这是分段函数与复合函数式的变换问题，需要反复进行数值代换，)))101((())))104(((()))99((())94(()89(f f f f f f f f f f f f f =====)99())102(()97())100(()))103((())98((f f f f f f f f f f f ===== =.98)101())104((==f f f变式1：〔07文14〕函数()f x ，()g x 分别由下表给出[(1)]f g 的值为那么1当[()]2g f x =；时，x =1 ．变式2：函数f(x)=2,0,1,0,1,0.x x x x x⎧⎪>⎪=⎨⎪⎪-<⎩ 〔1〕画出函数的图象；〔2〕求f(1)，f(-1),f [])1(-f 的值. 解 〔1〕分别作出f(x)在x ＞0,x=0,x ＜0段上的图象，如下图，作法略.〔2〕f(1)=12=1,f(-1)=-,111=-f [])1(-f =f(1)=1. 题型2：求函数解析式例2.〔1〕f(x +1)=x+2x ;求f(x)(2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出f(x)的解析式. 〔3〕()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x 。
高等数学：第二讲 导函数的定义
即
y (x2 ) 2x.
常用的导函数
(C) = 0. (xμ) = μxμ-1 （μ≠0） . (sin x) = cos x. (cos x) = sin x.
(ln x) 1 .
x
(log a
x)
1 x ln
. a
(ex) = e数的定义
为什么有的时候看到 导数是一个数，有的时候
却是一个函数呢？
那你得先要弄清楚 导函数的概念咯！
导函数存在的前提条件
如果函数 f (x) 在开区间 (a, b) 内每一点可导， 则称 f (x) 在开区间 (a, b)内可导.
导函数的定义
对于区间(a, b)内的任意一个x，均对应着一个确定的导数值， 这样就确定了一个新的函数，此函数便称为原来函数 f (x) 的导函数(简称导数).
自变量x
0
1
2 = (x 3+ x)24 - x2 5= 2x1x0 + (…x) 2.
y第=函f (数二x)值=步x2 算比0值：1
y x
2xx (x)2
4
9
16
x
2x25 x.
100
…
y 第=导f 数三(x值)=步2x 取极0限：2 lim
4y
6
8
lim (2x x)
10
2x.
20
…
x0 x x0
记作 f（ x）, 或 y, 或 dy . dx
即 f (x) lim f (x x) f (x) .
x0
x
显然， f (x0)就是f (x)在x =x0处的函数值.
例题：
求函数y = x2 在任意点 x( , )处的导数.
解 第一步求增量 y： y = f (x + x) - f (x)
第二讲函数概念及其性质
第二讲函数概念及其性质考点分布1 函数的概念2 函数的三个要素3 判断两个函数是否为同一函数4 函数的定义域及其求法5 函数的值域6 函数解析式的求解及其常用方法7 区间与无穷的概念8 函数的表示方法9 函数的对应法则 10 映射11 函数的单调性及单调区间 12 函数的单调性的判断与证明 13 函数单调性的性质 14 复合函数的单调性15 函数的最值及其几何意义 16 奇函数 17 偶函数18 函数奇偶性的判断 19 函数奇偶性的性质20 奇偶函数图像的对称性 21 奇偶性与单调性的综合 22 函数图像23 抽象函数及其应用 24 函数的周期性 25 函数恒成立问题 26 函数的连续性 27 函数的值基础自测1、函数)1lg()(-=x x f 的定义域是（ ） A 、),2(+∞ B 、),1(+∞ C 、[)+∞,1 D 、[)+∞,22、函数⎩⎨⎧<-≥-=0),4(0,12)(x x x x x x f 则f(f(-1))= ( )A 、5B 、9C 、-5D 、-33、设函数⎩⎨⎧<--≥-=1,221,32)(2x x x x x x f 若f(x 0)=1，则x 0 =( )A 、-1或3B 、2或3C 、-1或2D 、-1或2或3 探究突破类型一：函数概念4、已知函数f(x)的定义域为[]3,1-，在同一坐标系下，函数y=f(x)的图像与直线x=1的交点个数为 （ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、0或1 类型二、函数的定义域 类型一;具体函数5、)34(log 12-=x y6、 23843-+=x x y7、 xx x y -+=||)1(0类型二：抽象函数8、已知函数)(x f 的定义域为)1,0(，求)(2x f 的定义域9、已知函数)12(+x f 的定义域为)1,0(，求函数)(x f 的定义域要素二：求函数解析式 类型一：换元法10、已知函数x x x f 2)1(+=+，求)(x f 的解析式。
2.2函数的定义域和值域
【自主解答】(1)(换元法)令 t＝ 1－2x(t≥0)，则 x＝1－2 t2. ∵y＝－t2＋t＋1＝－(t－12)2＋54， ∴当 t＝12，即 x＝38时 ymax＝54，无最小值． ∴函数的值域为(－∞，54]．
(2)(三角代换法)函数的定义域是{x|－1≤x≤1}．
设x＝sin t，－π2≤t≤π2，则 y＝x＋ 1－x2化为y＝sin t＋cos t ＝ 2 sint＋π4. ∵－π2≤t≤2π，∴－π4≤t＋4π≤34π，
号内大的于式或子等于零
的实数的集合．
(4)如果f(x)是由几个部分的函数式子构成的，那么 函数的定义域是使各部分式子同时有意义的实数 的集合．
求函数的定义域往往归结为解不等式或不等式组
的问题．可以借助数轴求交集，特别要注意区间
端点是实点还是虚点．
集合 区间
求定义域时需注意最终结果一定要写成 的形式．
4sin (4)(图象法)y＝2cos
xx＋－142＝2·sincoxs－x－－214，
上式可看作单位圆外一点 P(2，－14)与圆 x2＋y2＝1 的点
(cos x，sin x)所连线段的斜率的 2 倍．
由图可知 2kPQ≤y≤2kPT.
设过 P 点的直线方程为 y＋14＝k(x－
2)，
【题后总结】在解题中，容易忽视了复合函数f(x) 的定义域，误认为函数y＝f(x2)＋f2(x)的定义域是 f(x)的定义域，而导致出错，在解题中，应注意隐 含条件的挖掘与应用，避免错误的发生．
第2讲 函数与映射的概念,定义域,值域
第2讲 函数与映射的概念★知识梳理1．函数的概念设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为A x x f y ∈=),((2)函数的定义域、值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则2．映射的概念设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，记为B A f →: ★重、难点突破重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域重难点：1．关于抽象函数的定义域求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误问题1：已知函数)(x f y =的定义域为][b a ，，求)2(+=x f y 的定义域[误解]因为函数)(x f y =的定义域为][b a ，，所以b x a ≤≤，从而222+≤+≤+b x a 故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[++b a[正解]因为)(x f y =的定义域为][b a ，，所以在函数)2(+=x f y 中，b x a ≤+≤2， 从而22-≤≤-b x a ，故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[--b a即本题的实质是求b x a ≤+≤2中x 的范围问题2：已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义域[误解]因为函数)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，所以得到b x a ≤+≤2，从而22-≤≤-b x a ，所以函数)(x f y =的定义域是]2,2[--b a[正解]因为函数)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，则b x a ≤≤，从而222+≤+≤+b x a 所以函数)(x f y =的定义域是]2,2[++b a即本题的实质是由b x a ≤≤求2+x 的范围即)(x f 与)2(+x f 中x 含义不同1． 求值域的几种常用方法（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数4cos 2sin 2+--=x x y ，可变为2)1(cos 4cos 2sin 22+-=+--=x x x y 解决（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数)32(log 221++-=x x y 就是利用函数u y 21log =和322++-=x x u 的值域来求。
第二讲：连续,导数、微分
o
1
x
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点 函数在点 x0处的左、右极限都存在 . 处的左、
处的左、 3.第二类间断点 如果 f ( x )在点 x0处的左、 第二类间断点 右极限至少有一个不存 在, 则称点 x0为函数 f ( x )的第二类间断点 . 1 例6 讨论函数 f ( x ) = x , x > 0,在x = 0处的连续性 . x , x ≤ 0, y
如果函数在开区间 (a , b )内连续 , 并且在左端点 x = a处右连续 , 在右端点 x = b处左连续 , 则称 函数 f ( x )在闭区间 [a , b]上连续 .
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线 例如, 例如 有理函数在区间 ( ∞ ,+∞ )内是连续的 .
三、小结
1.函数在一点连续必须满足的三个条件 函数在一点连续必须满足的三个条件; 函数在一点连续必须满足的三个条件 2.区间上的连续函数 区间上的连续函数; 区间上的连续函数 3.间断点的分类与判别 间断点的分类与判别; 间断点的分类与判别
第一类间断点:可去型 跳跃型 第一类间断点 可去型,跳跃型 可去型 跳跃型. 间断点 第二类间断点:无穷型 振荡型 第二类间断点 无穷型,振荡型 无穷型 振荡型.
二、函数的间断点
函数 f ( x)在点x0处连续必须满足的三个 条件:
(1) f ( x )在点 0处有定义; 在点x
( 2) lim f ( x )存在;
x → x0
( 3) lim f ( x ) = f ( x 0 ).
x → x0
如果上述三个条件中只 要有一个不满足 , 则称 函数 f ( x )在点 x0处不连续 (或间断 ), 并称点 x0为 f ( x )的不连续点(或间断点).
第二讲 函数的定义域及表示方法
第二讲 函数的定义域及表示方法【本课重点】1．会求常见函数的定义域2、掌握函数的三种表示方法，并会用解析法研究两个变量的函数关系。
3、掌握分段函数的概念及表示方法。
【知识梳理】1.设B A ,是两个______的___集，如果按照某种____的对应关系f ， 对于集合A 中的_______数x ，在集合B 中都有______的数)(x f 和它对应，那么就称________为从集合A 到集合B 的一个函数，记作_________,其中，x 叫做_____,x 的取值范围叫做________; 与x 对应的y 值叫做_____, 函数值的取值范围叫做________，显然_____是______的子集.2.函数的定义域、值域（1）一次函数)0(≠+=a b ax y 的定义域是________，值域是________.(2)二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的定义域是________，0>a 时，值域是________. '0〈a 时，值域是________.（3）反比例函数y=xk (k 0≠)的定义域是______________，值域是______________. 3.区间的概念设b a ,是两个实数，而且b a <，我们规定：（1）满足不等式b x a ≤≤的实数x 的集合叫做________，表示为________，数轴表示为______.（2）满足不等式b x a <<的实数x 的集合叫做________，表示为________,数轴表示为______.（3）满足不等式b x a <≤或b x a ≤<的实数x 的集合叫做________，分别表示为__________,数轴分别表示为________________,这里，实数b a ,叫做区间的端点.(4) “∞”读作________,“∞-”读作________,“∞+”读作________,实数集R 区间表示为__________.(5)集合{}a x x ≥|区间表示为________,集合{}b x x <|区间表示为________.4.求函数解析式的方法：直接法、配凑法、换元法、方程组法、待定系数法、赋值法 <【开心自测】1.已知函数2()1x f x x =-,则f(x 2)为 ( ) A.221x x - B. 241x x - C. 441x x - D. 21x x - 2.已知函数1()(1)1x f x x x +=≠±-且,则函数f(-x)为 ( ) A.1()f x (x) C. 1()f x - (x) 3.已知221()(2)m m f x m m x +-=+⋅,当m= ________时,f(x)为正比例函数; 当m= ________时,f(x)为反比例函数; 当m= ________时,f(x)二次函数.4.已知一次函数f(x)=ax+b,满足f(2)=0,f(-2)=1,则f(x)=______________【典例练讲】!例1已知函数213)(+++=x x x f (1)求函数的定义域 ；(2) 求)32(),3(f f -的值； (3) 当0>a 时，求)1(),(-a f a f 的值.例2.(1)已知一次函数f(x)满足f[f(x)]=4x+3,求f(x).(2)已知二次函数f(x)满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x+2,求f(x).&例3.(1)已知函数f(x)满足2(23)2f x x x -=-+,求f(x).(2)已知函数f(x)满足2211()f x x x x -=+,求f(x). >例4（1）已知函数()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=0,00,0,1x x x x x f π ，求（1）()()()1-f f f 的值，$（2）根据下图写出解析式（图是直线的一部分与抛物线的一部分组成）例5（备选题）（1）设f(x)是R 上的函数，且满足f(0)=1，并且对任意实数x 、y 有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，求f(x)的解析式（2）已知函数f(x)的定义域为{|1}x x o x ≠≠且,且满足1()2()1f x f x x-=-,求f(x)的解析式.练习（1）已知3f(x)-2f(-x)=-2x+1,求f(x).（2）已知对任意实数x,y 都有f(x+y)=2f(y)+x 2+2xy-y 2+3x-3y,求f(x)的解析式【能力提升】1.已知函数()1x f x x =-,函数g(x)=f[f(x)],下列命题中正确的是 ( ) , A.()1x g x x =- B.1()12x g x x -=- C. ()12x g x x=- D.以上三个均不正确 2.已知函数g(x)=1-2x,221[()]x f g x x -=,则1()2f 的值是 ( )3.已知f(x)=11x+则f(f(x))的定义域为 ( ) A.{x|x ≠-1,x ∈R} B. {x|x ≠-1且x ≠0, x ∈R}C.{x|x ≠0,x ∈R}D. {x|x ≠-1且x ≠-2, x ∈R}4.函数f(x) 满足f(ab)=f(a)+f(b),且f(2)=m,f(3)=n,则f(72)的值为____5.已知函数2(1)()2(11)(1)x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩,则1{[()]}2f f f -=_______ 6、（1）已知二次函数()x f y =的最大值等于13，且()()513=-=f f ，求()x f 的解析式。
初等函数第二讲(函数的性质)
统一备课纸
[例7]若f(x)=
21++x ax 在区间（－2，＋∞）上是增函数，求a 的取值范围
[例8] 已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (
21)=－1,当且仅当0<x <1时f (x )<0,且对任意x 、y ∈(－1,1)都有f (x )+f (y )=f (xy
y x ++1),试证明： (1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－1，1)上单调递减
四、典型习题导练
1.某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中y 轴表示离学校的距离，x 轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是( )
2. 若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在 ]0,(-∞上是减函数，且(2)0f = ，则使得x x f 的0)(<的取值范围是
（ ） A.)2,(-∞ B. ),2(+∞ C . ),2()2,(+∞--∞ D.（－2，2）
3. 若函数)2(log )(22a x x x f n ++=是奇函数，则a = .
4. 已知)(x f y =是定义在R 上的单调函数，实数21x x ≠，
,1,121λλλ++=
-≠x x a λλβ++=112x x ，若|)()(||)()(|21βαf f x f x f -<-，则（ ） A.0<λ
B.0=λ
C.10<<λ
D.1≥λ.。
第二讲：函数(2)函数、映射的定义,定义域、值域,解析式(2)
第二讲：函数的定义，定义域、值域（2）
题型一、二次函数的值域
例1、求下列函数的值域
（1）2()41f x x x =-+
（2）2()41,[1,2]f x x x x =-+∈
变式：求下列函数的值域
（1）2()41,[,1]f x x x x a a =-+∈+ （2）2()21,[0,1]f x x ax x =-+∈
（3）x x y -+=2； （4）242x x y --=
题型二、分式型函数
例2、求下列函数的值域
（1）()2x f x x =+ （2）1()2f x x x
=+
变式：求下列函数的值域
（1）172
n n a n -=-数列，求{}n a 的最大值和最小值（2）求2()(1)1x f x x x =>-+的值域
（3）求21()()23
x f x x R x x +=∈++
题型三、分段函数的值域
例3、求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.
变式1：不等式|x+1|+|x-2|≥a 的解集为R ，求a 的取值范围
变式2：存在实数x 使得不等式|x+1|+|x-2|a ≤成立，求a 的取值范围。
达标检测
1、已知函数f(x)＝2+log 3x,x ∈［1,9］,则函数y ＝［f(x)］2+f(x 2)的值域为___________.
2、规定记号“Δ”表示一种运算,即b a ab b a ++=∆,a 、b ∈R +.若1Δk ＝3,则函数f(x)＝k Δx 的值域是__________.
3、不等式2210x ax -+≥对任意的(0,)x ∈+∞都成立，求a 的取值范围。
4、不等式|1||1|x x a x R +--≤∈对恒成立，求a 的求值范围。
第二讲 函数的概念及其表示
第二讲 函数的概念及其表示一、知识讲解考点1函数的概念：设集合A 是一个非空的数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数．记作 )(x f y =，A x ∈．注意：)(x f y =是函数的简写，并不表示“y ＝f 与x 的乘积”； 考点2函数的定义域与值域：函数的定义中，自变量x 取值的范围叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合{}A x x f y y ∈=),(叫做这个函数的值域．确定一个函数的两个要素：定义域，对应法则．求函数的解析式的一般方法：配凑法、换元法、待定系数法求函数的定义域的一般原则：分母不为零；偶次根下不为负；零的零次幂没意义等等 求函数的值域的常见方法：直接法、配方法、换元法、判别式法、数形结合法． 注意：①构成函数的三要素：定义域、值域和对应法则；②判断两个函数是否相对，只需看函数的三要素是否相同．考点3映射的概念：设A ，B 是两个非空的集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在B 中有一个且仅有一个元素y 与x 对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射．这时，称y 是x 在映射f 作用下的象，记作)(x f ，于是y ＝)(x f ，x 称作 y 的原象． 映射f 也可记为 B A f →: )(x f x →其中A 叫做映射f 的定义域，由所有象)(x f 构成的集合叫做映射f 的值域．①判断某“对应法则”是否为A→B 的映射，主要看是否为“一对一”及“多对一”的两种特殊对应；应特别注意；② A 中任一元素在B 中应有象，且象唯一；② B 中可以有空闲元素，即B 中可以有元素没有原象． 考点4函数的表示法： 列表法；图象法．如果Ｆ是函数)(x f y =的图象，则图象上任一点的坐标),(y x 都满足函数关系)(x f y =；反之，满足函数关系)(x f y =的点),(y x 都在图象Ｆ上；解析法．如果在函数)(x f y =)∈(A x 中，)(x f 是用代数式（或解析式）来表示的，则这种表示函数的方法叫做解析法．（也称为公式法）．二、例题精析【例题1】判断下列各组中的函数是否为同一函数，并说明理由．(1)表示炮弹飞行高度h 与时间t 关系的函数2__5130=t t h 和函数2__5130=x x y )0≥(x ；(2)1=)(x f 和0=)(x x g ．【又例】下列函数中那个与函数x y =相等？⑴ y ＝(x )2；⑵y ＝33x ；⑶y ＝2x ；⑷y ＝23x x ．【例题2】已知函数)(x f ＝3+x ＋21+x ． (1) 求函数)(x f 的定义域；(2) 求)3(__f 和)32(f 的值；(3) 当0>a 时，求)(a f ，)1(__a f 的值； (4) 求）－12x (f 及其定义域．【又例】设函数f x ()的定义域为[]01，，（1）求函数f x ()2的定义域；（2）求函数f x ()-2的定义域．【例题3】（1）已知x x x f 2)1(+=+，求)(x f ；（2）已知函数()f x 满足43)()(2+=-+x x f x f ，求)(x f 的解析式．【例题4】求下列函数的定义域：（1）14)(2--=x x f ， （2） =)(x f x11111++，（3）xx x x f -+=0)1()(， （4）373132+++-=x x y ．【例题５】求下列函数的值域． (1)216x y -=； (2)[]3,1x ；]2，2[，2∈-∈+-=x x x y ；（3）x x y 41332-+-=（4）66522-++-=x x x x y （5）11-++=x x y【例题６】以下给出的对应是不是从集合A 到B 的映射？⑴集合A ＝{P |P 是数轴上的点}，集合B ＝R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的的实数对应；⑵集合A ＝{P |P 是平面直角坐标系中的点}，集合B ＝{(x ,y )|x ∈R ,y ∈R },对应关系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；⑶集合A ＝{x |x 是三角形},集合B ＝{x |x 是圆}，对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆；⑷集合A ＝{x |x 是实验中学的班级}，集合B ＝{x |x 是实验中学的学生}，对应关系f ：每一个班级都对应班里的学生.【又例】已知(x ，y )的映射f 作用下的象是(x ＋y ，xy )．(1)求(－2，3)在f 作用下的象；(2)若在f 作用下的象是(2，－3)，求它的原象．【例题７】某种笔记本的单价是5元，买x (x ∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y 元．试用函数的三种方法表示函数y ＝)(x f ．三、课堂运用【基础】 1. 函数1x y x+=的定义域为__________. 2．设)(x f ＝2211xx -+，则)21(f ＋)31(f ＋)2(-f ＋)3(-f ＝ ( ) A.3512 B ．－3512C ．1D ．03.已知函数)(x f ＝2211x x -+，求证：)1(x f ＋)(x f ＝0．【巩固】1．函数f x ()的定义域是 )1,1[-，则函数)1()1()(2x f x f x F -+-=的定义域是 .2. 已知函数()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域（ ） A ．(1,1)- B ．1(1,)2-- C ．(1,0)- D ．1(,1)2【拔高】 1． 求函数x x y 27-=， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,31x 的值域 ． 2．设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f ：A →B ，把集合A 中的元素n 映射到集合B 中元素n 3＋n ，则在映射f 下象68的原象是 ( )A ．2B ．3C ．4D ．5课后作业【基础】1.下列函数中，定义域不是R 的是（ ） A ．y ＝kx ＋b B ．y ＝1+x k C ．y ＝x 2＋bx －c D ．y ＝112++x x 2.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．xxy y ==,1 B ．1,112-=+⨯-=x y x x yC ．33,x y x y ==D ．2)(|,|x y x y ==3.已知函数①1y x =-；②21y x =-；③21y x =-；④xy 5=，其中定义域和值域相同的函数有（ ）A ．①④B ．③④C ．①②D ． ②③4.设⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=)0(,0)0(,)0(,1)(x x x x x f π，则=-)]}1([{f f f （ ）A ． 1+πB ． 0C ．π D ． 1-6. 函数y ＝|x －1|，x ∈［－1，2］的值域是（ ）.A.［－1，1］B.［0，1］C.［0，2］D.［1，2］7．对于集合A ＝{a ，b ，c }和集合B ＝R ，以下对应关系中，一定是集合A 到集合B 的映射的是（ ）A.对集合A 中的数开平方B. 对集合A 中的数取倒数 C ．对集合A 中的数取算术平方根 D.对集合A 中的数取立方8.设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f ：A→B ，把集合A 中的元素n 映射到集合B 中元素n 3＋n ，则在映射f 下象68的原象是 ( )A ．2B ．3C ．4D ．5【巩固】1.已知f 满足)(ab f ＝)(a f ＋)(b f ，且)2(f ＝p ，q f =)3(那么)72(f 等于（ ）A ．q p +B ．q p 23+C ．q p 32+D ．23q p +2.设函数x x xf =+-)11(，则)(x f 的表达式为（ ） A ．x x -+11 B ． 11-+x x C ．x x +-11 D ．12+x x3.设)(x f 的定义域是[－3，2]，求函数)2(-x f 的定义域．4. 求函数x x y 27-=， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,31x 的值域．5.已知31=)1+1(__2xx f ，求函数()1-x f 的解析式.6.如图，把截面半径为25cm 的圆形木头锯成长方形木料，如果截面矩形的一边长为x ，面积为y ，把y 表示为x 的函数．【拔高】1．已知函数()21,01,0x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩，则满足不等式()()22f x f x ->的x 的取值范围是 .2．函数()|2011||2012||2013|()f x x x x x R =-+-+-∈的最小值为 ．3．已知函数)(x f ，)(x g 分别由下表给出则[(1)]f g 的值为 ；满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是 .4. 已知)(x f ＋2)1(xf ＝3x ，求)(x f 的解析式为 ． 5.已知函数3+=)1+2(x x f ，求)1+2(x f 和)(x f 的定义域．6. 已知函数)(x f ＝()()⎩⎨⎧><-≤≤103101x x x x 或，则使等式)]([x f f ＝1成立的x 值的范围是 .x1 2 3x1 2 3 ()f x131()g x321x 25cm。
2020届三轮冲刺 上海高考数学基础知识回顾辅导讲义：第二讲函数(一)教师版
2020上海高考数学基础知识回顾：第二讲函数一一、函数的有关概念★1、函数的定义：在某个变化过程中有两个变量y x 、，如果对于x 在某个实数集合D 内的每一个确定的值，按照某个对应法则f ，y 都有唯一确定的实数值与它对应，那么y 就是x 的函数．．，记作)(x f y =（D x ∈）.2、函数的三要素：函数的定义含有三个要素，即定义域．．．、值域．．和对应法则．．．．． ★（1）函数的定义域的常用求法：①分式的分母不等于零；②偶次方根的被开方数大于等于零；③对数的真数大于零；④指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；⑤三角函数正切函数tan y x =中()2x k k Z ππ≠+∈；⑥如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围. ★（2）函数的解析式的常用求法：①定义法；②换元法；③待定系数法；④函数方程法；⑤参数法；⑥配方法. ★★（3）函数的值域的常用求法：①换元法；②配方法；③判别式法；④几何法；⑤不等式法；⑥单调性法；⑦直接法. ★★（4）函数的最值的常用求法：①配方法；②换元法；③不等式法；④几何法；⑤单调性法. 二、二次函数、幂指对函数1、二次函数：★（1）二次函数的解析式的三种形式:① 一般式 =++≠2()(0)f x ax bx c a ；② 顶点式 =-+≠2()()(0)f x a x h k a ；③ 零点式、两根式 =--≠12()()()(0)f x a x x x x a .★（2）二次函数-⎛⎫=++=++≠ ⎪⎝⎭2224(0)24b ac b y ax bx c a x a a a 的图像是抛物线，顶点坐标基础知识⎛⎫-- ⎪⎝⎭24,24b ac b a a . 2、幂函数：★（1）定义：形如ax y =的函数； ★★（2）幂函数的图像和性质：①0>α时，幂函数的图像通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图像下凸；当10<<α时，幂函数的图像上凸；②0<α时，幂函数的图像在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图像在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图像在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 3、指数函数：★（1）定义：一般地，函数(01)xy a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R ．★（2）指数函数的图像和性质：定义域为R ，值域为()+∞,0．当10<<a 时，单调递减；当1>a 时单调递增． 4、对数和对数函数：★（1）对数的定义：如果=ba N （>0a ，1a ≠），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作=a log N b ．读作“以a 为底N 的对数”，其中a 叫做底数，N 叫做真数．必须注意真数0N >，即零与负数没有对数．由对数定义可知=b a N ⇔=a log N b （>0a ，1a ≠，0N >）． ★★（2）对数的性质：① log a N 中0(0,1)N a a >>≠，零和负数没有对数，即0N >；② 底数的对数等于1，即log =1a a ，log a Na N =，()0,1,0a a N >≠>③ 1的对数0，即log 1=0a ．★★（3）对数的运算性质：① ()=+a a a log MN log M log N （0M >，0N >，>0a ，1a ≠）； ② =aa a Mlog log M log N N-（0M >，0N >，>0a ，1a ≠）③ =n a a log M nlog M ；log a NaN =（0M >，0N >，>0a ，1a ≠）④ 对数换底公式：log =log a b a Nlog N b（>0a ，1a ≠，>0b ，1b ≠，0N >）★★（4）对数函数：①定义：一般地，函数x y a log =（0>a 且1≠a ）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R ．②对数函数的图像和性质：定义域为()+∞,0，值域为R ．当10<<a 时，单调递减；当1>a 时单调递增． 5、反函数：★（1）反函数的概念：一般地，对于函数)(x f y =，设它的定义域为D ，值域为A ．如果对于A 中任意一个值y ，在D 中总有唯一确定的x 值与它对应（即一一对应），且满足)(x f y =，这样得到的x 关于y 的函数叫做)(x f y =的反函数，记作)(1y f x -=．在习惯上，自变量常用x 表示，而函数用y 表示，所以把它改写为))((1A x x f y ∈=-．★★（2）反函数的性质：① 互为反函数的两个函数具有相同的单调性，它们的图像关于y x =对称； ② 定义域上的单调函数必有反函数；③ 奇函数若存在反函数，则其反函数也是奇函数； ④ 定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数； ⑤ 周期函数在整个定义域内不存在反函数；⑥ 原函数图像过点()a b ，，则它的反函数图像过点()b a ，. ★（3）求反函数的一般步骤： ① 求原函数的值域；② 反解，由()y f x =解出1()x fy -=；③ 写出反函数的解析式（互换,x y ），并注明反函数的定义域（即原函数的值域）. 6、指对方程：★（1）简单的指数方程：①b a x f =)((0>a 且0,1>≠b a )，解法是b x f a log )(=； ②)()(x g x f a a= (0>a 且1≠a )， 解法是)()(x g x f =；③02=+⋅+⋅C a B aA x x(0>a 且1≠a )，解法是转化成关于x a 的二次方程．★★（2）简单的对数方程：①b x f a =)(log (0>a 且1≠a )，解法是ba x f =)(；②)(log )(log x g x f a a = (0>a 且1≠a )，解法是0)()(>=x g x f ； ③0log log2=++C x B x A a a(0>a 且1≠a )，解法是转化成关于x a log 的二次方程，要特别注意真数大于0．三、函数零点★1、定义：一般地，对于函数))((D x x f y ∈=，如果存在实数)(D c c ∈，当c x =时，0)(=c f ，那么就把c x =叫做函数))((D x x f y ∈=的零点． ★★2、二分法:一般地，对于函数()()y f x x D =∈，如果存在实数()c c D ∈，当x c =时，()0f c =，那么就把x c =叫做函数 ()()y f x x D =∈的零点；将“通过每次把()y f x =的零点所在的小区间收缩一半，使区间的两个端点逐步逼近函数的零点，以求得零点的近似值”的这种方法称作二分法．★★★3、零点存在定理：一般地，如果函数()y f x =在定义区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b ⋅<，那么在区间(,)a b 内至少存在一个实数c ，使得()0f c =，也就是在(,)a b 内，函数()y f x =至少有一个零点；若函数在[,]a b 单调，则存在唯一一个零点． 四、一元二次方程根的分步设q px x x f ++=2)(，则★★1、方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩；★★2、方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩；★★3、方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .五、常见的抽象函数模型★★★1、正比例函数模型：()0,≠=k kx x f ┄┄┄()()()y f x f y x f ±=± . ★★★2、幂函数模型：()2x x f =┄┄┄()()()y f x f xy f ⋅=；()()y f x f y x f =⎪⎪⎭⎫⎝⎛ .★★★3、指数函数模型：()xa x f =┄┄┄()()()y f x f y x f ⋅=+；()()()y f x f y x f =- . ★★★4、对数函数模型：()x x f a log =┄┄()()()y f x f xy f +=；()()y f x f y x f -=⎪⎪⎭⎫⎝⎛ .★★★5、三角函数模型：()x x f tan =┄┄┄()()()()()y f x f y f x f y x f ⋅-+=+1 .一、函数的相关概念函数的定义中涉及两个非空数集和一个对应法则.在处理问题时，讨论函数的定义域、函数值的取值集合、对应的解析式是尤为重要和关键，要求掌握求相关的方法如（直接法、换元法、数形结合法等）.【例1】函数20.5log (43)y x x =-的定义域为 ． 【难度】★ 【答案】⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,430,41Y【例2】设{}20≤≤=x x M ，{}30≤≤=y x N ，给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的是 ．（只填写正确图形的序号）题型与方法【难度】★ 【答案】②③【例3】将函数[]()2,03322∈-++-=x x x y 的图像绕坐标原点逆时针选择转θ（θ为锐角），若所得曲线仍是一个函数的图像，则θ的最大值为 ． 【难度】★★ 【答案】3π 【解析】如图，当圆弧所表示的函数图像旋转到与圆相切时，是极限状态．【例4】下列各组函数中表示相同函数的是 （）A 、()2x x f =，()33x x g =B 、()1+=x x x f ，()x x x g +=2、()xx x f =，()()()⎩⎨⎧<-≥=0101x x x g D 、()122--=x x x f ，()122--=t t t g【难度】★★ 【答案】D【例5】若一次函数()x f 满足()[]{}78+=x x f f f ，则()=2f ． 【难度】★★ 【答案】5【例6】记[]x 为不超过实数x 的最大整数，设()[]x x x f +=，[)2,1-∈x ，则函数()x f 的值域是 ． 【难度】★★【答案】[)[)[)3,20,11,2Y Y --【例7】函数⎪⎭⎫⎝⎛++=45lg 2kx x y 的定义域为R ，则实数k 的取值范围是 ． 【难度】★★【答案】()5,5-【巩固训练】1．已知函数()y f x =的定义域为[2,3]-，则函数(21)y f x =+的定义域是_______． 【难度】★ 【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,232．若函数f ：{}{}2121，，→满足()[]1>x f f ，则这样的函数共有_____个． 【难度】★★ 【答案】13．将函数[]()4,02442∈--+=x x x y 的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ()αθ≤≤0，得到曲线C ．若对于每一个旋转角θ，曲线C 都是一个函数的图象，则α的最大值为_____． 【难度】★★ 【答案】4π 4．下列各组函数中，表示同一函数的是 （）A 、55x y =，2x y =B 、x e y ln =，x e y ln =C 、()()131-+-=x x x y ，3+=x yD 、0x y =，01x y =【难度】★★ 【答案】D5．若函数()x f ，()x g 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()xe x g xf =-，则()0g ，()2f ，()f 的大小关系是 ．【难度】★★【答案】()()()320f f g <<6．已知函数122+++-=x x b x ax y 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡331，，则=+b a ．【难度】★★ 【答案】27．函数862++-=k x kx y 的值域为[)+∞,0，则实数k 的取值范围是 ． 【难度】★★【答案】[]10，二、二次函数、幂指对函数一元二次方程根的分步、一元二次不等式的解、二次曲线交点都可以利用二次函数作为突破点来解决；幂指对函数是高中的基本函数，从定义→图像→性质→应用的分析是解决这类题型的基本方法．【例8】已知二次函数()()R c b c bx x x f ∈≥++=,02，若()x f 的定义域为[]0,1-，值域也是[]0,1-，符合上述条件的函数()x f 的解析式为 ． 【难度】★★【答案】()12-=x x f 或()x x x f 22+=【例9】方程()0112=+--x m mx 在()1,0内有两个不同的实数根，则m 的取值范围为 ．【难度】★★ 【答案】223+>m【例10】幂函数()()5237321t t x t t x f -++-=是偶函数，且在()∞+，0上为增函数，则函数解析式为 ． 【难度】★★【答案】()52x x f =或()58x x f =【例11】若20≤≤x ，则函数523421+⋅-=-x x y 的值域是 ．【难度】★★【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡2521，【例12】若函数()()R a x f ax ∈=-2满足()()x f x f -=+11，且()x f 在[)+∞,m 上单调递增，则实数m 的最小值等于 ． 【难度】★★ 【答案】1【例13】已知函数()x m x f a log +=（0>a 且1≠a ）的图像过点()28，，点()13-，P 关于直线2=x 的对称点Q 在()x f 的图像上，则()=x f ． 【难度】★★ 【答案】1log 2-x【巩固训练】1．已知函数31++-=x x y 的最大值为M ，最小值为m ，则Mm的值为 ． 【难度】★★ 【答案】22 2．若函数()a x x x f +-=32在()3,1内有零点，则实数a 的取值范围为 ． 【难度】★★ 【答案】⎥⎦⎤ ⎝⎛490，3．幂函数942--=a a x y 是偶函数，且在()+∞,0是减函数，则整数a 的值是 ．【难度】★★ 【答案】-1，1，3，54．已知()xxa x f 421⋅++=，若()0>x f 在(]1，∞-上恒成立，则a 的取值范围为 ． 【难度】★★【答案】⎥⎦⎤⎝⎛-∞-43，5．已知函数()x f 为偶函数且()()4-=x f x f ，又()⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤+--=-2122105232x x x x x f xx ，，，函数()a x g x+⎪⎭⎫⎝⎛=21，若()()()x g x f x F -=恰好有4个零点，则a 的取值范围是 ．【难度】★★★ 【答案】⎪⎭⎫ ⎝⎛82，6．函数()11log +-=x y a （0>a 且1≠a ）的图像恒过定点A ，若点A 在一次函数n mx y +=的图像上，其中m ，0>n ，则nm 21+的最小值为 ． 【难度】★★ 【答案】8三、指对方程指数方程的常见解法是利用换元思想变成一次或二次方程的模型来进行计算，有时也可以利用两边取对数来降低次数化为对数方程来解决；对数方程可以利用换元或是利用对数与指数的互逆运算来计算．【例14】解下列指数方程：（1）12492800x x ++-⋅+=；（2）()()107222440x x x x ---+++=．【难度】★★【答案】（1）2或2log 5；（2）0（令xxt -+=22）．【例15】解下列方程： （1）()()2lg 426lg 31x x x +---=； （2）()()122log 44log 23x x x ++=+-；（3）21log (235)2x x x ++-=；（4）242(log )log 30x x --=【难度】★★【答案】（1）8x =；（2）2x =；（3）2x =；（4）16464x x ==或【例16】若关于x 的方程229430x x a -----⋅-=有解，求实数a 的取值范围．【难度】★★ 【答案】30a -≤<【巩固训练】1．解下列指数方程：（1）4669x x x +=⋅；（2）2212=-xx．【难度】★★【答案】（1）23log 2x =；（2）()2log 12x =+．2．解下列对数方程：（1）()()2lg 2lg 2610x x x +-+-+=； （2）()()2212lg 1lg 6lg 1lg 62x x x -+--+=； （3）()()122log 44log 23x x x ++=+-． 【难度】★★ 【答案】（1）132x =；（2）7x =或3x =或4x =；（3）2x =．3．22log 12log ()x x a +=-有且只有一解，求a 的取值范围． 【难度】★★★ 【答案】0a ≥或12a =-四、复合函数解决复合函数问题一般是将其拆解成内外两个函数，根据内函数和外函数的图像和性质来进行求解．【例17】已知函数2()|2|f x x ax a =-+（x ∈R ），给出下列四个命题： ① 当且仅当0a =时，()f x 是偶函数； ② 函数()f x 一定存在零点； ③ 函数在区间(,]a -∞上单调递减；④ 当01a <<时，函数()f x 的最小值为2a a -。
高一数学 第二讲 函数概念练习题
高一数学 第二讲 函数概念练习题一、函数的概念与表示函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域．构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域两个函数是同一个函数的条件：1.化简后的解析式相同，2.定义域相同1. 下列各题中两个函数是否表示同一函数?(1)1)(=x f ,0)(x x g = ( ) （2）24)(2--=x x x f ,2)(+=x x g ( ) （3）x x x f 2)(2-=,t t t g 2)(2-= ( )（4）|1|)(-=x x f ,⎩⎨⎧<-≥-=)1(1)1(1)(x x x x x g ( ) （5） v v v g u u u f -+=-+=11)(,11)( （ ） （6） f （x ）=x ，2)(x x f = （ ）2、判断下列图象能表示函数图象的是（ ）二、函数的定义域：定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。
题型一：基本初等函数求定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；零取零次方没有意义；(3)对数式的真数必须大于零；(4)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.（5）对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出． 1. _____________11_,__________12的定义域为的定义域为-⋅+=-=x x y x y2.函数y x =的定义域为___________________ 3. _____________)3(0的定义域为xx x y -+=，2|1|42-+-=x x y 的定义域为__________ (A)4.函数y ＝x ＋1＋12－x 的定义域________________11122--+-=x x x y 定义域________________5.函数422--=x x y 的定义域 ()1f x x =+的定义域为_______________________题型二：复合函数，抽象函数定义域：1.()x 已知f 的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。