高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程课件5 新人教B版选修1-1
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高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程课件新人教A版选修1_1
图形
焦点坐标 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c)
a，b，c 的 关系
a2＝b2＋c2
核心要点探究
知识点一 椭圆的定义
探究1：通过探讨以下几个问题，初步形成对 椭圆的认识．
(1)将一条细绳的两端用图钉分别固定在平面 内的两个定点F1，F2上，用笔尖将细绳拉紧并 运动，在纸上能得到怎样的图形？
典题示例
例1 若方程xm2＋2my－2 1＝1 表示椭圆，则 m 满足的条
件是解__析____由__方．程xm2＋2my－2 1＝1 表示椭圆，
知2mm>－0，1>0， 解得 m≠2m－1，
m>12且
m≠1.
答案 mm>12且m≠1
[易错防范]
1．遗漏条件
m≠2m－1，易得出错误答案
(1)两个焦点的坐标分别为(－4，0)和(4，0)，且椭圆 经过点(5，0)；
(2)焦点在 y 轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)； (3)经过点 A( 3，－2)和点 B(－2 3，1)．
【自主解答】 (1)由于椭圆的焦点在 x 轴上，所 以设它的标准方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)．
(2)写出适合条件_P_(m_)_；
(3)用坐标表示条件____，列出方程；
探究2：推导椭圆的标准方程过程中，对含有 的两个根式是怎样处理的？
提示 将两个根号分开即移项，先变成 （x＋c）2＋y2＝2a－ （x－c）2＋y2，再两边平方(可 消去很多项，简单了很多)．
探究3：通过下列问题的探讨，进一步认识椭 圆的标准方程．
提示 得到一个椭圆．
(2)如果调整细绳两端点F1，F2的相对位置， 细绳的长度不变，猜想椭圆会发生怎样的变化？
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程-1公开课PPT课件
(0，－c)，(0，c)
a，b，c 的关系
b2＝________
【答案】 ax22＋by22＝1(a>b>0) ay22＋bx22＝1(a>b>0) a2－c2
求椭圆的标准方程
[小组合作型]
写出适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)a＝4，c＝3，焦点在 y 轴上； (2)a＋b＝8，c＝4； (3)经过点 A( 3，－2)和点 B(－2 3，1).
25＝100－3|PF1||PF2|.
∴|PF1||PF2|＝25.
∴S△F1PF2＝12|PF1||PF2|sin
60°＝12×25×
23＝254
3 .
1．椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点 F1，F2 构成的△F1PF2 称为焦点三角形， 解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义．
2．对于求焦点三角形的面积，若已知∠F1PF2，可利用 S＝12absin C，把 |PF1|·|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及 余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量．
[再练一题] 1．求适合下列条件的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是(－3,0)，(3,0)，椭圆经过点(5,0)； (2)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，－5)，椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和 为 26.
【解】 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为ax22＋by22＝ 1(a>b>0)．
[再练一题] 2.已知椭圆的方程为x42＋y32＝1，椭圆上有一点 P 满足∠PF1F2＝90°(如图 2-1-1)．求△PF1F2 的面积．
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程课件1 新人教A版选修1-1.ppt
所以 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a.
移项，再平方
(x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2 (x c)2 y2,
a2cxa(xc)2y2,
15
两边再平方，得
a4 2a2cx c2 x2 a2 x2 2a2cx a2c2 a2 y2 ,
8
椭圆定义： 我们把平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数 （大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点. 两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距.
9
【总结提升】
思考：在平面内动点M到两个定点F1，F2的距离之 和等于定值2a的点的轨迹是否一定为椭圆？
|MF1|+ |MF2|＞|F1F2| |MF1|+ |MF2|=|F1F2| |MF1|+ |MF2|＜|F1F2|
设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的 焦距为2c(c>0)，M与F1和F2的距离的 和等于正常数2a (2a>2c)，则F1，F2 的坐标分别是(c,0)、(c,0).
y M
F1 O F2 x
14
由椭圆的定义得 |M F1||M F2|2a.
因为 | MF1 | ( x c )2 y 2 ,| MF2 | ( x c )2 y 2 ,
y F1 O
M F2 x
y
F2 M
O
x
F1
方案一
方案二
12
设M(x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的两个焦 点分别为F1和F2，椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1和 F2 的距离的和等于2a(2a>2c>0). 请同学们自己完成剩下的步骤，求出椭圆的方程.
13
移项，再平方
(x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2 (x c)2 y2,
a2cxa(xc)2y2,
15
两边再平方，得
a4 2a2cx c2 x2 a2 x2 2a2cx a2c2 a2 y2 ,
8
椭圆定义： 我们把平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数 （大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点. 两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距.
9
【总结提升】
思考：在平面内动点M到两个定点F1，F2的距离之 和等于定值2a的点的轨迹是否一定为椭圆？
|MF1|+ |MF2|＞|F1F2| |MF1|+ |MF2|=|F1F2| |MF1|+ |MF2|＜|F1F2|
设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的 焦距为2c(c>0)，M与F1和F2的距离的 和等于正常数2a (2a>2c)，则F1，F2 的坐标分别是(c,0)、(c,0).
y M
F1 O F2 x
14
由椭圆的定义得 |M F1||M F2|2a.
因为 | MF1 | ( x c )2 y 2 ,| MF2 | ( x c )2 y 2 ,
y F1 O
M F2 x
y
F2 M
O
x
F1
方案一
方案二
12
设M(x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的两个焦 点分别为F1和F2，椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1和 F2 的距离的和等于2a(2a>2c>0). 请同学们自己完成剩下的步骤，求出椭圆的方程.
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高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程课件3 新人教A版选修1-1.ppt
x b
2 2
＝1
表示焦点在y轴上的椭圆，即焦点在哪个轴上相应的那个项的分母就
大．
17
【过关小练】 1.已知焦点坐标为(0,-4),(0,4),且a=6的椭圆方程是( )
x2 A.
y2
1
36 20
x2 y2 C. 1
36 16
x2 B.
y2
1
20 36
x2 y2 D. 1
16 36
【解析】选B.由条件知,椭圆的焦点在y轴上,且c=4,a=6,
13
➡根据以上探究过程，试着写出椭圆的标准方程：
1.焦点在x轴上：_xa_22___by_22__1__(a>b>0). 2.焦点在y轴上：__ay_22 __xb_22___1_(a>b>0).
14
【合作探究】 1.在推导椭圆方程时，为何要设|F1F2|=2c，常数为2a？为何令a2c2=b2？ 提示：在求方程时，设椭圆的焦距为2c(c>0)，椭圆上任意一点到两 个焦点的距离的和为2a(a>0)，这是为了使焦点及长轴两个端点的坐 标不出现分数形式，以便使推导出的椭圆的方程形式简单.令a2-c2=b2 是为了使方程的形式整齐而便于记忆.
8
【过关小练】 1.已知命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a，其中 a为大于0的常数；命题乙：P点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的
() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
9
【解析】选B.若P点轨迹是椭圆，则一定有|PA|+|PB|=2a(a>0，为常 数).所以甲是乙的必要条件.反过来，若|PA|+|PB|=2a(a>0，为常数)， 当2a>|AB|时，P点轨迹是椭圆；当2a=|AB|时，P点轨迹是线段AB；当 2a<|AB|时，P点的轨迹不存在，所以甲不是乙的充分条件.综上，甲 是乙的必要不充分条件.
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.1椭圆的标准方程课件新人教b选修1_1
由已知条件得a42＋b22＝1， a12＋41b42＝1，
解得a12＝18， b12＝14.
所以所求椭圆的标准方程为x82＋y42＝1.
同理可得：焦点在 y 轴上的椭圆不存在．
综上，所求椭圆的标准方程为x82＋y42＝1.
[精解详析] (1)法一：因为椭圆的焦点在 y 轴上，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ所以可设它的标准方程为ay22＋xb22＝1(a＞b＞0)． 由 椭 圆 的 定 义 知 2a ＝ 4－02＋3 2＋22 ＋ 4－02＋3 2－22＝12， 所以 a＝6. 又 c＝2，所以 b＝ a2－c2＝4 2. 所以椭圆的标准方程为3y62 ＋3x22＝1.
2.1.
1
第 2.1
二
椭
椭圆 的标
章 圆 准方
程
理解教材 新知
把握热点 考向
应用创新 演练
知识点一 知识点二
考点一 考点二 考点三
2.1
椭圆
2．1.1 椭圆的标准方程
椭圆的定义
取一条定长的无弹性的细绳，把它的两端分别固定在图板的两 点 F1、F2 处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖．
问题 1：若绳长等于两点 F1、F2 的距离，画出的轨迹是什么曲 线？
提示：线段 F1F2. 问题 2：若绳长 L 大于两点 F1、F2 的距离，移动笔尖(动点 M)满足的几何条件是什么？ 提示：|MF1|＋|MF2|＝L.
椭圆的定义
平面内与两个定点 F1，F2 的 距离的和等于常数(大于|F1F2|)的 点的轨迹(或集合)叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的 焦点 ，两焦 点的距离 叫做椭圆的焦距.
N 是 MF 的中点，O 为坐标原点，那么线段 ON 的长是 ( )
A．2
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程课件新人教A版选修1_1
迹是( B )
A．一个椭圆
B．线段AB
C．线段AB的垂直平分线
D．直线AB
[解析] ∵|MA|＋|MB|＝2＝|AB|，
∴点M在线 的值是( C )
A．5
B．3 或 8
C．3 或 5
D．20
[解析] 2c＝2，c＝1，故有m－4＝1或4－m＝1， ∴m＝5或m＝3，故选C．
_____a_x22_＋__by_22_＝__1_(a_>__b_>_0_) __
图形
焦点在 y 轴上 ____ay_22＋__bx_22_＝__1_(_a_>_b_>_0_)____
焦点坐标 _____F__1(_－__c_,0_)_、__F_2_(_c_,0_)______ _____F_1_(_0_，__－__c_)、__F__2(_0_，__c_)___
[思路分析] 根据题意画出图形，利用中位线及椭圆的定义求解．
[解析] 如图，OM 是△F1F2P 的中位线， 由|OM|＝1 得|PF2|＝2. 由椭圆x92＋y42＝1 得 a2＝9，即 a＝3， 又|PF2|＋|PF1|＝2a＝6. ∴|PF1|＝4.
『规律方法』 当问题中涉及椭圆上的点到焦点距离时，注意考虑利用椭 圆的定义求解．
[思路分析] (1)由已知可得a、c的值，由b2＝a2－c2可求出b，再根据焦点位 置写出椭圆的方程．
(2)利用两点间的距离公式求出2a，再写方程；也可用待定系数法． (3)利用待定系数法，但需讨论焦点的位置．也可利用椭圆的一般方程Ax2＋ By2＝1(A>0，B>0，A≠B)直接求A，B的方程．
1．我们已知平面内到两定点距离相等的点的轨迹为__连__接__这__两__点__的__线__段__的__ _垂__直__平__分__线___.也曾讨论过到两定点距离之比为某个常数的点的轨迹的情形．那
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程课件4 新人教B版选修1-1
例2：已知椭圆的焦点在x轴上，焦距为2，且椭圆经过点P（2,0）
求椭圆的标准方程。
解：因为椭圆的焦点在x轴上，x2 y2 所以设椭圆的标准方程是 a2 + b2
=1
(a > b > 0)
待定系数法
又因为焦距是2，所以2c=2，即c=1
所以 a2 - b2 = c2 = 1
因为椭圆经过点P（2,0）
由题可知，焦点在x轴上，
因此焦点为 F1(-6,0), F2 (6,0) 焦距为12
K12课件
12
强化训练
1.判定下列椭圆的焦点在 哪个轴上，写出焦点坐标。
1） x 2 25
+
y2 16
= 1 答:在 x 轴上，(-3,0)和(3,0）
2） x 2 + y 2 = 1 答:在 y 轴上，(0,-5)和(0,5） 144 169
14
2.椭圆的两个焦点的坐标分别是(－4, 0 )、( 4 , 0 )， 椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10 ,求椭圆的标准 方程。
3.两个焦点的坐标分别是（0，-2）、（0，2） 并且椭圆经过点（-3/2，5/2）,求椭圆的方程。
K12课件
15
2、椭圆的两个焦点的坐标分别是(－4, 0 )、( 4 , 0 )， 椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10 ,求椭圆的标准方程。
4
椭圆的定义： 焦点
2a
平面上与两个定点F1，F2距离之和是常数
（大于| F1F2 |)的点的轨迹叫做椭圆。
焦距 2c
K12课件
5
• (1)改变两图钉之间的距离， 使其与绳长相等，画出的图形 还是椭圆吗？
(2)绳长能小于两图钉之间的距离吗？
高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆及其标准方程课件新人教A版选修2_1
(3)法一：①当焦点在x轴上时， 设椭圆的标准方程为ax22＋by22＝1(a＞b＞0)．
依题意有－a322a22＋32－＋b22b122＝＝11，，
a2＝15， 解得b2＝5.
故所求椭圆的标准方程为1x52 ＋y52＝1．
②当焦点在y轴上时， 设椭圆的标准方程为ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)．
第二章 圆锥曲线与方程
2.2 椭圆 2.2.1 椭圆及其标准方程
学习目标
核心素养
1．理解椭圆的定义及椭圆的标准 1．通过椭圆标准方程及椭
方程．(重点)
圆焦点三角形的有关问题学
2．掌握用定义法和待定系数法求 习，培养学生的数学运算素
椭圆的标准方程．(重点)
养．
3．理解椭圆标准方程的推导过 2．借助轨迹方程的学习，
x2 100
＋yΒιβλιοθήκη 36＝1的右焦点F2作直线AB，交椭圆于
A，B两点，F1是椭圆的左焦点，则△AF1B的周长为________．
40 [由已知得a＝10， △AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝ 4a＝40．]
4．椭圆8k2x2－ky2＝8的一个焦点坐标为(0， 7 )，则k的值为 ________．
－1或－17 [原方程可化为xk122＋－y28k＝1．
－8k＞0， 依题意，得－8k＞k12，
－8k－k12＝7，
k＜0， 即k＜－18，
k＝－1或k＝－17.
所以k的值为－1或－17．]
合作 探究 释疑 难
求椭圆的标准方程
【例1】 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (3)经过点A( 3，－2)和点B(－2 3，1)．
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程备课省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
【解析】|PF1|+|PF2|=2a=20,又|F1F2|=2c=12.由余 弦
定理知:(2c)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos 60°, 256
即144=(|PF1|+|PF23|)2-3|PF1|·|PF2|.
所以|SPFF1P1F2|·1|2PF2|= , 所以 = |PF1|·|PF2|·sin 60°=
②-①,得(2+ 3)|PF1|·|PF2|=75,
所以|PF1|·|PF2|=75(2- 3),
所以
S
=
F1PF2
|P1F1|·|PF2|·sin 30°= 2
(2-75 ). 4
3
39/66
2.将典例中椭圆方程改为“ 不变,求△F1PF2面积.
x2 ＋ y=21”,其余条件 100 64
40/66
M N =1.
1， 1. 4
4
31/66
类型二 椭圆定义及应用
【典例】(·潍坊高二检测)设P是椭圆
x2 ＋=1y2 25 75
4 上一点,F1,F2是椭圆焦点,若∠F1PF2=60°,求△F1PF2
面积.
32/66
【解题探究】(1)你能写出|PF1|+|PF2|与|F1F2|大小吗? 提醒:(1)依据椭圆定义即可写出.
43/66
【赔偿训练】如图所表示,已知椭圆方程为 x2 ＋y2 =1,若点P是椭圆上第二象限内点,且∠PF1F2=4120°3 , 求△PF1F2面积.
44/66
【解题指南】由椭圆定义和余弦定理可求得三角形边 长. 【解析】由已知a=2,b= 3 ,所以c= a2 b2＝=41,3 |F1F2|=2c=2,
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程省公开课一等奖新优质课获奖课件
2 = 2 + 4,
2
所以椭圆的标准方程为
36
2
2=1(a>b>0).
2 = 36,
2 = 32.
2
+ =1.
32
18/36
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(3)若椭圆的焦点在 x 轴上,
2
2
设椭圆的标准方程为 2 + 2 =1(a>b>0).
4
2
1
1
+
=
1,
=
,
2
2
2
8
由已知条件得 1
在详细问题中做出适当判断.
4/36
【做一做1】 (1)命题甲:动点P到两个定点A,B距离之和
|PA|+|PB|=2a(a>0,且a为常数);命题乙:点P轨迹是椭圆,且A,B是焦
点,则命题乙是命题甲(
)
A.充要条件
B.充分无须要条件
C.既不充分也无须要条件
D.必要不充分条件
(2)已知F1,F2是定点,|F1F2|=8,动点M满足|MF1|+|MF2|=8,则动点
解得 1 1
14
+ 2 = 1,
2 = 4.
2
4
2
所以所求椭圆的标准方程为 8
2
+ 4 =1.
同理可得:焦点在 y 轴上的椭圆不存在.
2
2
综上,所求椭圆的标准方程为 + =1.
8
4
19/36
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟求椭圆标准方程步骤:
高中数学第2章圆锥曲线与方程211椭圆及其标准方程课件新人教A版选修1
解：设 P 点的坐标为(x，y)，M 点的坐标为(x0，y0)， ∵点 M 在椭圆上， ∴3x620 ＋y920＝1. ∵M 是线段 PP′的中点，
x0＝x， ∴y0＝2y，
代入3x620 ＋y920＝1，得3x62 ＋3y62 ＝1，
即 x2＋y2＝36. ∴P 点的轨迹方程为 x2＋y2＝36.
题型四 与椭圆有关的轨迹问题
平面内一动点到直线 x＝3 的距离与它到点 A(1,0)
的距离之比为 3，则动点的轨迹方程为( )
A.x32＋y22＝1
B．x32－y22＝1
C.x＋312＋y22＝1
D．x22＋y32＝1
【思路探索】 设动点坐标为(x，y)，利用条件建立 x，y
的关系式，可求出轨迹方程．
复习课件
高中数学第2章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程课件新人教A版选修 1
2021/4/17
高中数学第2章圆锥曲线与方程211椭圆及其标准方程课件 新人教A版选修1
第二章 圆锥曲线与方程
2．1 椭 圆 2．1.1 椭圆及其标准方程
自主学习导航
梳理知识 夯实基础
目标导学
1．了解椭圆的实际背景、体验从具体情境中抽象出椭圆的 过程．
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对 哦~
【解析】 若方程xm2＋2－y2m＝1 表示椭圆，
则m2－>0m，>0， m≠2－m，
∴0<m<1 或 1<m<2，
∴“0<m<2”是“方程xm2＋2－y2m＝1 表示椭圆”的必要不充分
条件，故选 C.
【答案】 C
[名 师 点 拨]
方程xm2＋yn2＝1
(2)由于椭圆焦点的位置不确定，故可分焦点在 x 轴上和在 y 轴上两种情况求解，也可利用椭圆的一般方程求解．
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.1椭圆及其标
1.如图所示，点 P 是椭圆x52＋y42＝1 上的一点，F1 和 F2 是焦 点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2 的面积．
解析：在椭圆x52＋y42＝1 中，a＝ 5，b＝2，
∴c＝ a2－b2＝1.
又∵P 在椭圆上，
∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝2 5，
①
由余弦定理知：
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 30°
解析：由方程知 a2＝25，b2＝16，
∴c2＝9，故焦点坐标为(0，±3)．
答案：D
2．已知椭圆xm2＋1y62 ＝1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距
离为 3，到另一焦点距离为 7，则 m 等于( )
A．10
B．5
C．15
D．25
解析：由定义知 3＋7＝2a，∴a＝5，∴m＝a2＝25.
答案：D
∴a42＋b02＝1， a02＋b12＝1，
⇒ab22＝＝41，.
故所求椭圆的标准方程为y42＋x2＝1.
(3)法一 ①当焦点在 x 轴上时， 设椭圆的标准方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)．
依题意有－a322a22＋32－＋b22b122＝＝11，，
2．2 椭 圆 2．2.1 椭圆及其标准方程
考纲定位
重难突破
1.了解椭圆的实际背景，经历从具体 重点：能够根据条件熟练求出椭
情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准 圆的标准方程．
方程的推导与化简过程． 难点：掌握椭圆的定义与椭圆的
2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何 标准方程.
图形.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
∴b2＝36，故方程为1y020＋3x62 ＝1.
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程课件新人教B版选修11
焦距.
名师点拨在椭圆的定义中 ,当定长等于(děngyú)|F1F2|时,动点的轨迹是线段
F1F2;当定长小于|F1F2|时,动点的轨迹不存在.
第三页，共18页。
【做一做1-1】 到两定点F1(-5,0)和F2(5,0)的距离之和为10的点M的
轨迹是(
)
A.椭圆
B.线段
C.圆
D.以上答案(dá àn)都不正确
5- > 0,
< 5,
正解由题意,得 -3 > 0, ⇒ > 3,
≠ 4.
5- ≠ -3
所以 k 的取值范围是 3<k<4 或 4<k<5.
第十四页，共18页。
题型一
题型二
题型三
反思求解椭圆的标准方程及相关问题时,需要注意:
①不要忽略定义中的条件(tiáojiàn)2a>|F1F2|;
所以 a>b,a>c,且 a2=c2+b2,其中 c 是焦距的一半,叫做半焦距.
第七页，共18页。
名师点拨方程 Ax +By =C(A,B,C 均不为
2
2
+
2
2
2
0)可化为
2
+
=1,即
=1.
只有当 A,B,C 同号,且 A≠B 时,方程表示椭圆.当 > 时,椭圆的
焦点在 x
2
的标准方程为 2
+
2
2
= 1(a>b>0),焦点为 F1(0,-c),F2(0,c),
且 a,b,c 满足 a2=c2+b2(当且仅当椭圆的两个焦点都在坐标轴上,
名师点拨在椭圆的定义中 ,当定长等于(děngyú)|F1F2|时,动点的轨迹是线段
F1F2;当定长小于|F1F2|时,动点的轨迹不存在.
第三页，共18页。
【做一做1-1】 到两定点F1(-5,0)和F2(5,0)的距离之和为10的点M的
轨迹是(
)
A.椭圆
B.线段
C.圆
D.以上答案(dá àn)都不正确
5- > 0,
< 5,
正解由题意,得 -3 > 0, ⇒ > 3,
≠ 4.
5- ≠ -3
所以 k 的取值范围是 3<k<4 或 4<k<5.
第十四页，共18页。
题型一
题型二
题型三
反思求解椭圆的标准方程及相关问题时,需要注意:
①不要忽略定义中的条件(tiáojiàn)2a>|F1F2|;
所以 a>b,a>c,且 a2=c2+b2,其中 c 是焦距的一半,叫做半焦距.
第七页，共18页。
名师点拨方程 Ax +By =C(A,B,C 均不为
2
2
+
2
2
2
0)可化为
2
+
=1,即
=1.
只有当 A,B,C 同号,且 A≠B 时,方程表示椭圆.当 > 时,椭圆的
焦点在 x
2
的标准方程为 2
+
2
2
= 1(a>b>0),焦点为 F1(0,-c),F2(0,c),
且 a,b,c 满足 a2=c2+b2(当且仅当椭圆的两个焦点都在坐标轴上,
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆及其标准方程课件新人教A版选修210830397
径(bànjìng)r1=8,r2=2,
则|MC1|=8-r,|MC2|=r+2.
即|MC1|+|MC2|=(8-r)+(r+2)=10.
∵|C1C2|=6,∴动圆圆心的轨迹是椭圆,且焦点为C1(0,3),C2(0,-3),且2a=10.
∴a=5,c=3,∴b2=a2-c2=25-9=16.
∴动圆圆心 M
1
,
2
3 ,
0 × + 4 = 1,
= 1,
1
∴ 1
解得
+ 3 = 1,
= .
∵椭圆经过两点 A(0,2),
4
∴所求椭圆方程为 x2+
2
4
4
= 1.
第十六页，共24页。
题型一
题型二
题型三
题型四
利用(lìyòng)椭圆的定义求轨迹方程
【例2】 已知B,C是两定点,|BC|=8,且△ABC的周长等于18,求这个三角形
看其是否符合(fúhé)椭圆的定义,若符合(fúhé),再利用待定系数法求
椭圆的方程.
第十八页，共24页。
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】 设动圆M和定圆C1:x2+(y-3)2=64内切,而和定圆
C2:x2+(y+3)2=4外切,求动圆圆心M的轨迹方程.
解:设动圆M的半径(bànjìng)为r,圆心M(x,y),两定圆圆心C1(0,3),C2(0,-3),半
2
2
+
解法一:设椭圆的方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
由点( 3, −2)和(-2 3, 1)都在椭圆上,
则|MC1|=8-r,|MC2|=r+2.
即|MC1|+|MC2|=(8-r)+(r+2)=10.
∵|C1C2|=6,∴动圆圆心的轨迹是椭圆,且焦点为C1(0,3),C2(0,-3),且2a=10.
∴a=5,c=3,∴b2=a2-c2=25-9=16.
∴动圆圆心 M
1
,
2
3 ,
0 × + 4 = 1,
= 1,
1
∴ 1
解得
+ 3 = 1,
= .
∵椭圆经过两点 A(0,2),
4
∴所求椭圆方程为 x2+
2
4
4
= 1.
第十六页，共24页。
题型一
题型二
题型三
题型四
利用(lìyòng)椭圆的定义求轨迹方程
【例2】 已知B,C是两定点,|BC|=8,且△ABC的周长等于18,求这个三角形
看其是否符合(fúhé)椭圆的定义,若符合(fúhé),再利用待定系数法求
椭圆的方程.
第十八页，共24页。
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】 设动圆M和定圆C1:x2+(y-3)2=64内切,而和定圆
C2:x2+(y+3)2=4外切,求动圆圆心M的轨迹方程.
解:设动圆M的半径(bànjìng)为r,圆心M(x,y),两定圆圆心C1(0,3),C2(0,-3),半
2
2
+
解法一:设椭圆的方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
由点( 3, −2)和(-2 3, 1)都在椭圆上,
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程课件3新人教A版选修11
当a+ 9>6时，点P的轨迹为椭圆，当9 a+ =96时，点P的轨迹是线段.
a
aa
第二十六页，共62页。
2.(2015·德州高二检测)已知M为椭圆
x2 上 y一2 点＝1，F1为椭圆的
一个焦点且|MF1|＝2，N为MF1中点(zhōnɡ diǎ2n5)，O9为坐标原点，ON长为( )
A.2
B.4
C.6
x2 y2 ＝1. 25 16
第三十二页，共62页。
【延伸探究】典例中条件改为已知圆A：(x+3)2+y2=100， 圆B：(x-3)2+y2=4，圆P与圆A内切，与圆B外切，求圆心P的轨迹(guǐjì)方程.
第三十三页，共62页。
【解析】设圆P的半径为r，
则 PA 10 r,
所以(PsBuǒy2ǐ)|Pr,A|+|PB|=12＞6=|AB|,
第二十二页，共62页。
【解题指南】(1)根据椭圆方程求出a，利用椭圆定义求点M到另一个焦点 的距离. (2)利用线段(xiànduàn)的垂直平分线的性质，可以判断点P到点A和点F 的距离的和为常数.
第二十三页，共62页。
【解析(jiě xī)】(1)选B.设椭圆x2 y2 的左、右焦点分别为F1，F2，不妨令
第二十五页，共62页。
【巩固(gǒnggù)训练】1.(2015·衡阳高二检测)设定点F1(0，-3)，F2(0，3),
动点P满足条件|PF1|+|PF2|=a+ 9(a>0)，则点P的轨迹是 ( )
A.椭圆
a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱB.线段
C.不存在
D.椭圆或线段
【解析】选D.因为a>0，所以a+ ≥6，又F1，F2间的距离为6，所以
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K12课件
16
例1 、已知椭圆两个焦点的坐标分别是 0， 2
0， 2 并且经过点
3 ，5 22
,求它的标准方程.
解2:设所求的标准方程为
y2 a2
x2 b2
1
a b 0
依题意得
5 2
2 a2
．
3
2
2
b2
令 b2 a2 c2，得
b2 x2 a2 y2 a2b2
两边同时除以 a2b，2 得
x2 a2
y2 b2
1
a
b
0
K12课件
返12 回
椭圆的标准方程 y
y M
F1 O F2 x
F1 0
F2 x
F1(-c,0)、F2(c,0) F1(0 ,-c)、F2(0, c)
x2 a2
椭圆的焦点在y轴上 项的分母较大．
椭圆标准方程中x2 椭圆标准方程中y2
K12课件
14
填空：
x2 y2 (1) 在椭圆 1中, a=_3__,b=_2__,
94
焦点位于__x__轴上，焦点坐标是(___5_,0_)_, (__5_,0_).
(2) 在椭圆16x2 7 y2 112 中，a=_4__, b=__7_,
a
①2 ②2，得：
x2 y2 c2 a2 d2 ④
将③代入④式，得
x2
y2
c2
a2
c2x2 a2
整理，得 a2 c2 x2 a2 y2 a2 a2 c2
K12课件
化1标1 准
a2 c2 x2 a2 y2 a2 a2 c2 联想图形
y2 a2
x2 b2
1 a b 0
由椭圆的定义知：
2a
3 2
5
22
3
2
5
2
2
2
10
2 2 2 2
∴ a 10 ，又 c 2 ， ∴ b2 a2 c2 6
所以所求椭圆的标准方程为： y2 x2 1 10 6
整理得 a2 cx a ( x c)2 y2
上式两边再平方，得
a4 2a2cx c2 x2 a2 x2 2a2cx a2c2 a2 y2
整理得 (a2 c2 )x2 a2 y2 a2 (a2 c2 ) 化标准
K12课件
9பைடு நூலகம்
( x c)2 y2 ( x c)2 y2 2a
1
解得:
a2 b2 4
a2 10
b
2
6
所以所求椭圆的标准方程为:
y2 x2 1
10 6
K12课件
17
例2 ：将圆 x 2 y 2= 4上的点的横坐标保持不变y ，
纵坐标变为原来的一半，求所的曲线的方程，
并说明它是什么曲线？
解：设所的曲线上任一点的坐标为（x，
y）,圆
y
P(x, y)
r
OP r x2 y2 r
O
x 两边平方，得
x2 y2 r2
求曲线方程的一般步骤：
1.建系 2.设坐标 3.列等式 4.代坐标 5.化简方程
K12课件
7
[1] 建系: 以过焦点F1，F2的直线为x轴，线段F 1F 2 的
垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则
m,p,n成等差数列 m+n=2p
ad
ad
知 ( x c)2 y2，a，( x c)2 y2 成等差数列，
三个数成等差数列的表示方法“x-d,x,x+d”
K12课件
10
设
x c2 y2 a d
①
x c2 y2 a d
②
①2 ②2，得：4cx 4ad ，即 d cx ③
焦点位于__y__轴上，焦点坐标是_(_0,__3_),_(0_,_3_) _.
x2 y2 1 7 16
K12课件
15
例1 、已知椭圆两个焦点的坐标分别是 0， 2、
0， 2 并且经过点
3 ，5 22
,求它的标准方程.
解： 因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为
两焦点间的距离叫做椭圆的焦距2c
小结：满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？
[1]平面上----这是大前提
[2]动点 M 到两个定点 F1、F2 的距离之和 是常数 2a
[3]常数
2a
要大于焦距 K12课件
2c
4
星系中的椭圆
——仙女座星系
K12课件
5
K12课件
6
以圆心O为原点，建立直角坐标系
设圆上任意一点P(x，y)
x2＝４y上2 的对应点的
坐标为（x’，y’），由题意可得：
o
x
因为 所以
即
x x
y
2
y
x2 y2＝４
x2 4y2 4 x2 y2 1 4
K12课件
F1 0
F2
x
8
椭圆上点 M 的集合为 P M MF1 MF2 2a
y
( x c)2 y2 ( x c)2 y2 2a M
移项平方，得
F1 0 F x
2
( x c)2 y2 4a2 4a ( x c)2 y2 ( x c)2 y2
F 1(c,0), F 2(c,0)
[2] 设坐标: 设 M(x,y) 为椭圆上的任意一点
[3]列等式: M与F1,F2 距离 之和 等于2a (2a>2cy),
所以有 MF1+ MF2=2a
M
[4] 代坐标: ( x c)2 y2 ( x c)2 y2 2a
[5] 化简:
北京时间2007年10月26日 05:31 中国 首颗探月卫星“嫦娥一号”，在西昌卫星发 射中心发射升空。
K12课件
1
K12课件
2
课题：椭圆及其标准方程（一）
K12课件
3
画椭圆
椭圆的定义:平面内与两个定点F1、F2的距离之
和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆
思考：常数等于和小于|F1F2|分别表示什么图形? 两个定点叫做椭圆的焦点
y2 b2
1
(a
b
0)
y2 a2
x2 b2
1
(a
b
0)
a2 c2 b2
如何根据标准方程判断焦点在哪个坐标轴上？
K12课件
13
两种形式的标准方程的比较：
x2 a2
y2 b2
1a
b
0
与
y2 a2
x2 b2
1a b 0
椭圆的焦点在x轴上 项的分母较大；