高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程课件5 新人教B版选修1-1

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高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程课件新人教A版选修1_1

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程课件新人教A版选修1_1

图形
焦点坐标 (-c,0),(c,0) (0,-c),(0,c)
a,b,c 的 关系
a2=b2+c2
核心要点探究
知识点一 椭圆的定义
探究1:通过探讨以下几个问题,初步形成对 椭圆的认识.
(1)将一条细绳的两端用图钉分别固定在平面 内的两个定点F1,F2上,用笔尖将细绳拉紧并 运动,在纸上能得到怎样的图形?
典题示例
例1 若方程xm2+2my-2 1=1 表示椭圆,则 m 满足的条
件是解__析____由__方.程xm2+2my-2 1=1 表示椭圆,
知2mm>-0,1>0, 解得 m≠2m-1,
m>12且
m≠1.
答案 mm>12且m≠1
[易错防范]
1.遗漏条件
m≠2m-1,易得出错误答案
(1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆 经过点(5,0);
(2)焦点在 y 轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0); (3)经过点 A( 3,-2)和点 B(-2 3,1).
【自主解答】 (1)由于椭圆的焦点在 x 轴上,所 以设它的标准方程为xa22+by22=1(a>b>0).
(2)写出适合条件_P_(m_)_;
(3)用坐标表示条件____,列出方程;
探究2:推导椭圆的标准方程过程中,对含有 的两个根式是怎样处理的?
提示 将两个根号分开即移项,先变成 (x+c)2+y2=2a- (x-c)2+y2,再两边平方(可 消去很多项,简单了很多).
探究3:通过下列问题的探讨,进一步认识椭 圆的标准方程.
提示 得到一个椭圆.
(2)如果调整细绳两端点F1,F2的相对位置, 细绳的长度不变,猜想椭圆会发生怎样的变化?

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程-1公开课PPT课件

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(0,-c),(0,c)
a,b,c 的关系
b2=________
【答案】 ax22+by22=1(a>b>0) ay22+bx22=1(a>b>0) a2-c2
求椭圆的标准方程
[小组合作型]
写出适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)a=4,c=3,焦点在 y 轴上; (2)a+b=8,c=4; (3)经过点 A( 3,-2)和点 B(-2 3,1).
25=100-3|PF1||PF2|.
∴|PF1||PF2|=25.
∴S△F1PF2=12|PF1||PF2|sin
60°=12×25×
23=254
3 .
1.椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点 F1,F2 构成的△F1PF2 称为焦点三角形, 解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义.
2.对于求焦点三角形的面积,若已知∠F1PF2,可利用 S=12absin C,把 |PF1|·|PF2|看成一个整体,运用公式|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|及 余弦定理求出|PF1|·|PF2|,而无需单独求出,这样可以减少运算量.
[再练一题] 1.求适合下列条件的标准方程: (1)两个焦点坐标分别是(-3,0),(3,0),椭圆经过点(5,0); (2)两个焦点坐标分别是(0,5),(0,-5),椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和 为 26.
【解】 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上,所以设它的标准方程为ax22+by22= 1(a>b>0).
[再练一题] 2.已知椭圆的方程为x42+y32=1,椭圆上有一点 P 满足∠PF1F2=90°(如图 2-1-1).求△PF1F2 的面积.

高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程课件1 新人教A版选修1-1.ppt

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所以 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a.
移项,再平方
(x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2 (x c)2 y2,
a2cxa(xc)2y2,
15
两边再平方,得
a4 2a2cx c2 x2 a2 x2 2a2cx a2c2 a2 y2 ,
8
椭圆定义: 我们把平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点. 两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距.
9
【总结提升】
思考:在平面内动点M到两个定点F1,F2的距离之 和等于定值2a的点的轨迹是否一定为椭圆?
|MF1|+ |MF2|>|F1F2| |MF1|+ |MF2|=|F1F2| |MF1|+ |MF2|<|F1F2|
设M(x,y)是椭圆上任意一点,椭圆的 焦距为2c(c>0),M与F1和F2的距离的 和等于正常数2a (2a>2c),则F1,F2 的坐标分别是(c,0)、(c,0).
y M
F1 O F2 x
14
由椭圆的定义得 |M F1||M F2|2a.
因为 | MF1 | ( x c )2 y 2 ,| MF2 | ( x c )2 y 2 ,
y F1 O
M F2 x
y
F2 M
O
x
F1
方案一
方案二
12
设M(x, y)是椭圆上任意一点,椭圆的两个焦 点分别为F1和F2,椭圆的焦距为2c(c>0),M与F1和 F2 的距离的和等于2a(2a>2c>0). 请同学们自己完成剩下的步骤,求出椭圆的方程.
13

高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程课件3 新人教A版选修1-1.ppt

高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程课件3 新人教A版选修1-1.ppt

x b
2 2
=1
表示焦点在y轴上的椭圆,即焦点在哪个轴上相应的那个项的分母就
大.
17
【过关小练】 1.已知焦点坐标为(0,-4),(0,4),且a=6的椭圆方程是( )
x2 A.
y2
1
36 20
x2 y2 C. 1
36 16
x2 B.
y2
1
20 36
x2 y2 D. 1
16 36
【解析】选B.由条件知,椭圆的焦点在y轴上,且c=4,a=6,
13
➡根据以上探究过程,试着写出椭圆的标准方程:
1.焦点在x轴上:_xa_22___by_22__1__(a>b>0). 2.焦点在y轴上:__ay_22 __xb_22___1_(a>b>0).
14
【合作探究】 1.在推导椭圆方程时,为何要设|F1F2|=2c,常数为2a?为何令a2c2=b2? 提示:在求方程时,设椭圆的焦距为2c(c>0),椭圆上任意一点到两 个焦点的距离的和为2a(a>0),这是为了使焦点及长轴两个端点的坐 标不出现分数形式,以便使推导出的椭圆的方程形式简单.令a2-c2=b2 是为了使方程的形式整齐而便于记忆.
8
【过关小练】 1.已知命题甲:动点P到两定点A,B的距离之和|PA|+|PB|=2a,其中 a为大于0的常数;命题乙:P点轨迹是椭圆,则命题甲是命题乙的
() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
9
【解析】选B.若P点轨迹是椭圆,则一定有|PA|+|PB|=2a(a>0,为常 数).所以甲是乙的必要条件.反过来,若|PA|+|PB|=2a(a>0,为常数), 当2a>|AB|时,P点轨迹是椭圆;当2a=|AB|时,P点轨迹是线段AB;当 2a<|AB|时,P点的轨迹不存在,所以甲不是乙的充分条件.综上,甲 是乙的必要不充分条件.

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.1椭圆的标准方程课件新人教b选修1_1

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.1椭圆的标准方程课件新人教b选修1_1

由已知条件得a42+b22=1, a12+41b42=1,
解得a12=18, b12=14.
所以所求椭圆的标准方程为x82+y42=1.
同理可得:焦点在 y 轴上的椭圆不存在.
综上,所求椭圆的标准方程为x82+y42=1.
[精解详析] (1)法一:因为椭圆的焦点在 y 轴上,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ所以可设它的标准方程为ay22+xb22=1(a>b>0). 由 椭 圆 的 定 义 知 2a = 4-02+3 2+22 + 4-02+3 2-22=12, 所以 a=6. 又 c=2,所以 b= a2-c2=4 2. 所以椭圆的标准方程为3y62 +3x22=1.
2.1.
1
第 2.1


椭圆 的标
章 圆 准方

理解教材 新知
把握热点 考向
应用创新 演练
知识点一 知识点二
考点一 考点二 考点三
2.1
椭圆
2.1.1 椭圆的标准方程
椭圆的定义
取一条定长的无弹性的细绳,把它的两端分别固定在图板的两 点 F1、F2 处,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖.
问题 1:若绳长等于两点 F1、F2 的距离,画出的轨迹是什么曲 线?
提示:线段 F1F2. 问题 2:若绳长 L 大于两点 F1、F2 的距离,移动笔尖(动点 M)满足的几何条件是什么? 提示:|MF1|+|MF2|=L.
椭圆的定义
平面内与两个定点 F1,F2 的 距离的和等于常数(大于|F1F2|)的 点的轨迹(或集合)叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的 焦点 ,两焦 点的距离 叫做椭圆的焦距.
N 是 MF 的中点,O 为坐标原点,那么线段 ON 的长是 ( )
A.2

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程课件新人教A版选修1_1

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迹是( B )
A.一个椭圆
B.线段AB
C.线段AB的垂直平分线
D.直线AB
[解析] ∵|MA|+|MB|=2=|AB|,
∴点M在线 的值是( C )
A.5
B.3 或 8
C.3 或 5
D.20
[解析] 2c=2,c=1,故有m-4=1或4-m=1, ∴m=5或m=3,故选C.
_____a_x22_+__by_22_=__1_(a_>__b_>_0_) __
图形
焦点在 y 轴上 ____ay_22+__bx_22_=__1_(_a_>_b_>_0_)____
焦点坐标 _____F__1(_-__c_,0_)_、__F_2_(_c_,0_)______ _____F_1_(_0_,__-__c_)、__F__2(_0_,__c_)___
[思路分析] 根据题意画出图形,利用中位线及椭圆的定义求解.
[解析] 如图,OM 是△F1F2P 的中位线, 由|OM|=1 得|PF2|=2. 由椭圆x92+y42=1 得 a2=9,即 a=3, 又|PF2|+|PF1|=2a=6. ∴|PF1|=4.
『规律方法』 当问题中涉及椭圆上的点到焦点距离时,注意考虑利用椭 圆的定义求解.
[思路分析] (1)由已知可得a、c的值,由b2=a2-c2可求出b,再根据焦点位 置写出椭圆的方程.
(2)利用两点间的距离公式求出2a,再写方程;也可用待定系数法. (3)利用待定系数法,但需讨论焦点的位置.也可利用椭圆的一般方程Ax2+ By2=1(A>0,B>0,A≠B)直接求A,B的方程.
1.我们已知平面内到两定点距离相等的点的轨迹为__连__接__这__两__点__的__线__段__的__ _垂__直__平__分__线___.也曾讨论过到两定点距离之比为某个常数的点的轨迹的情形.那

高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程课件4 新人教B版选修1-1

高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程课件4 新人教B版选修1-1

例2:已知椭圆的焦点在x轴上,焦距为2,且椭圆经过点P(2,0)
求椭圆的标准方程。
解:因为椭圆的焦点在x轴上,x2 y2 所以设椭圆的标准方程是 a2 + b2
=1
(a > b > 0)
待定系数法
又因为焦距是2,所以2c=2,即c=1
所以 a2 - b2 = c2 = 1
因为椭圆经过点P(2,0)
由题可知,焦点在x轴上,
因此焦点为 F1(-6,0), F2 (6,0) 焦距为12
K12课件
12
强化训练
1.判定下列椭圆的焦点在 哪个轴上,写出焦点坐标。
1) x 2 25
+
y2 16
= 1 答:在 x 轴上,(-3,0)和(3,0)
2) x 2 + y 2 = 1 答:在 y 轴上,(0,-5)和(0,5) 144 169
14
2.椭圆的两个焦点的坐标分别是(-4, 0 )、( 4 , 0 ), 椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10 ,求椭圆的标准 方程。
3.两个焦点的坐标分别是(0,-2)、(0,2) 并且椭圆经过点(-3/2,5/2),求椭圆的方程。
K12课件
15
2、椭圆的两个焦点的坐标分别是(-4, 0 )、( 4 , 0 ), 椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10 ,求椭圆的标准方程。
4
椭圆的定义: 焦点
2a
平面上与两个定点F1,F2距离之和是常数
(大于| F1F2 |)的点的轨迹叫做椭圆。
焦距 2c
K12课件
5
• (1)改变两图钉之间的距离, 使其与绳长相等,画出的图形 还是椭圆吗?
(2)绳长能小于两图钉之间的距离吗?

高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆及其标准方程课件新人教A版选修2_1

高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆及其标准方程课件新人教A版选修2_1

(3)法一:①当焦点在x轴上时, 设椭圆的标准方程为ax22+by22=1(a>b>0).
依题意有-a322a22+32-+b22b122==11,,
a2=15, 解得b2=5.
故所求椭圆的标准方程为1x52 +y52=1.
②当焦点在y轴上时, 设椭圆的标准方程为ay22+bx22=1(a>b>0).
第二章 圆锥曲线与方程
2.2 椭圆 2.2.1 椭圆及其标准方程
学习目标
核心素养
1.理解椭圆的定义及椭圆的标准 1.通过椭圆标准方程及椭
方程.(重点)
圆焦点三角形的有关问题学
2.掌握用定义法和待定系数法求 习,培养学生的数学运算素
椭圆的标准方程.(重点)
养.
3.理解椭圆标准方程的推导过 2.借助轨迹方程的学习,
x2 100
+yΒιβλιοθήκη 36=1的右焦点F2作直线AB,交椭圆于
A,B两点,F1是椭圆的左焦点,则△AF1B的周长为________.
40 [由已知得a=10, △AF1B的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|= 4a=40.]
4.椭圆8k2x2-ky2=8的一个焦点坐标为(0, 7 ),则k的值为 ________.
-1或-17 [原方程可化为xk122+-y28k=1.
-8k>0, 依题意,得-8k>k12,
-8k-k12=7,
k<0, 即k<-18,
k=-1或k=-17.
所以k的值为-1或-17.]
合作 探究 释疑 难
求椭圆的标准方程
【例1】 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0); (2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0); (3)经过点A( 3,-2)和点B(-2 3,1).

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程备课省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件

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【解析】|PF1|+|PF2|=2a=20,又|F1F2|=2c=12.由余 弦
定理知:(2c)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos 60°, 256
即144=(|PF1|+|PF23|)2-3|PF1|·|PF2|.
所以|SPFF1P1F2|·1|2PF2|= , 所以 = |PF1|·|PF2|·sin 60°=
②-①,得(2+ 3)|PF1|·|PF2|=75,
所以|PF1|·|PF2|=75(2- 3),
所以
S
=
F1PF2
|P1F1|·|PF2|·sin 30°= 2
(2-75 ). 4
3
39/66
2.将典例中椭圆方程改为“ 不变,求△F1PF2面积.
x2 + y=21”,其余条件 100 64
40/66
M N =1.
1, 1. 4
4
31/66
类型二 椭圆定义及应用
【典例】(·潍坊高二检测)设P是椭圆
x2 +=1y2 25 75
4 上一点,F1,F2是椭圆焦点,若∠F1PF2=60°,求△F1PF2
面积.
32/66
【解题探究】(1)你能写出|PF1|+|PF2|与|F1F2|大小吗? 提醒:(1)依据椭圆定义即可写出.
43/66
【赔偿训练】如图所表示,已知椭圆方程为 x2 +y2 =1,若点P是椭圆上第二象限内点,且∠PF1F2=4120°3 , 求△PF1F2面积.
44/66
【解题指南】由椭圆定义和余弦定理可求得三角形边 长. 【解析】由已知a=2,b= 3 ,所以c= a2 b2==41,3 |F1F2|=2c=2,

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2 = 2 + 4,
2
所以椭圆的标准方程为
36
2

2=1(a>b>0).
2 = 36,
2 = 32.
2
+ =1.
32
18/36
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(3)若椭圆的焦点在 x 轴上,
2
2
设椭圆的标准方程为 2 + 2 =1(a>b>0).


4
2
1
1
+
=
1,
=
,
2
2
2
8

由已知条件得 1
在详细问题中做出适当判断.
4/36
【做一做1】 (1)命题甲:动点P到两个定点A,B距离之和
|PA|+|PB|=2a(a>0,且a为常数);命题乙:点P轨迹是椭圆,且A,B是焦
点,则命题乙是命题甲(
)
A.充要条件
B.充分无须要条件
C.既不充分也无须要条件
D.必要不充分条件
(2)已知F1,F2是定点,|F1F2|=8,动点M满足|MF1|+|MF2|=8,则动点
解得 1 1
14
+ 2 = 1,
2 = 4.
2

4
2
所以所求椭圆的标准方程为 8
2
+ 4 =1.
同理可得:焦点在 y 轴上的椭圆不存在.
2
2
综上,所求椭圆的标准方程为 + =1.
8
4
19/36
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟求椭圆标准方程步骤:

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解:设 P 点的坐标为(x,y),M 点的坐标为(x0,y0), ∵点 M 在椭圆上, ∴3x620 +y920=1. ∵M 是线段 PP′的中点,
x0=x, ∴y0=2y,
代入3x620 +y920=1,得3x62 +3y62 =1,
即 x2+y2=36. ∴P 点的轨迹方程为 x2+y2=36.
题型四 与椭圆有关的轨迹问题
平面内一动点到直线 x=3 的距离与它到点 A(1,0)
的距离之比为 3,则动点的轨迹方程为( )
A.x32+y22=1
B.x32-y22=1
C.x+312+y22=1
D.x22+y32=1
【思路探索】 设动点坐标为(x,y),利用条件建立 x,y
的关系式,可求出轨迹方程.
复习课件
高中数学第2章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程课件新人教A版选修 1
2021/4/17
高中数学第2章圆锥曲线与方程211椭圆及其标准方程课件 新人教A版选修1
第二章 圆锥曲线与方程
2.1 椭 圆 2.1.1 椭圆及其标准方程
自主学习导航
梳理知识 夯实基础
目标导学
1.了解椭圆的实际背景、体验从具体情境中抽象出椭圆的 过程.
看看远处,要保护好眼睛哦~站起来动一动,久坐对 哦~
【解析】 若方程xm2+2-y2m=1 表示椭圆,
则m2->0m,>0, m≠2-m,
∴0<m<1 或 1<m<2,
∴“0<m<2”是“方程xm2+2-y2m=1 表示椭圆”的必要不充分
条件,故选 C.
【答案】 C
[名 师 点 拨]
方程xm2+yn2=1
(2)由于椭圆焦点的位置不确定,故可分焦点在 x 轴上和在 y 轴上两种情况求解,也可利用椭圆的一般方程求解.

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.1椭圆及其标

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.1椭圆及其标

1.如图所示,点 P 是椭圆x52+y42=1 上的一点,F1 和 F2 是焦 点,且∠F1PF2=30°,求△F1PF2 的面积.
解析:在椭圆x52+y42=1 中,a= 5,b=2,
∴c= a2-b2=1.
又∵P 在椭圆上,
∴|PF1|+|PF2|=2a=2 5,

由余弦定理知:
|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos 30°
解析:由方程知 a2=25,b2=16,
∴c2=9,故焦点坐标为(0,±3).
答案:D
2.已知椭圆xm2+1y62 =1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距
离为 3,到另一焦点距离为 7,则 m 等于( )
A.10
B.5
C.15
D.25
解析:由定义知 3+7=2a,∴a=5,∴m=a2=25.
答案:D
∴a42+b02=1, a02+b12=1,
⇒ab22==41,.
故所求椭圆的标准方程为y42+x2=1.
(3)法一 ①当焦点在 x 轴上时, 设椭圆的标准方程为xa22+by22=1(a>b>0).
依题意有-a322a22+32-+b22b122==11,,
2.2 椭 圆 2.2.1 椭圆及其标准方程
考纲定位
重难突破
1.了解椭圆的实际背景,经历从具体 重点:能够根据条件熟练求出椭
情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准 圆的标准方程.
方程的推导与化简过程. 难点:掌握椭圆的定义与椭圆的
2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何 标准方程.
图形.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
∴b2=36,故方程为1y020+3x62 =1.

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程课件新人教B版选修11

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程课件新人教B版选修11
焦距.
名师点拨在椭圆的定义中 ,当定长等于(děngyú)|F1F2|时,动点的轨迹是线段
F1F2;当定长小于|F1F2|时,动点的轨迹不存在.
第三页,共18页。
【做一做1-1】 到两定点F1(-5,0)和F2(5,0)的距离之和为10的点M的
轨迹是(
)
A.椭圆
B.线段
C.圆
D.以上答案(dá àn)都不正确
5- > 0,
< 5,
正解由题意,得 -3 > 0, ⇒ > 3,
≠ 4.
5- ≠ -3
所以 k 的取值范围是 3<k<4 或 4<k<5.
第十四页,共18页。
题型一
题型二
题型三
反思求解椭圆的标准方程及相关问题时,需要注意:
①不要忽略定义中的条件(tiáojiàn)2a>|F1F2|;
所以 a>b,a>c,且 a2=c2+b2,其中 c 是焦距的一半,叫做半焦距.
第七页,共18页。
名师点拨方程 Ax +By =C(A,B,C 均不为
2
2


+
2


2
2
0)可化为

2
+
=1,即

=1.




只有当 A,B,C 同号,且 A≠B 时,方程表示椭圆.当 > 时,椭圆的
焦点在 x
2
的标准方程为 2

+
2

2
= 1(a>b>0),焦点为 F1(0,-c),F2(0,c),
且 a,b,c 满足 a2=c2+b2(当且仅当椭圆的两个焦点都在坐标轴上,

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆及其标准方程课件新人教A版选修210830397

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆及其标准方程课件新人教A版选修210830397
径(bànjìng)r1=8,r2=2,
则|MC1|=8-r,|MC2|=r+2.
即|MC1|+|MC2|=(8-r)+(r+2)=10.
∵|C1C2|=6,∴动圆圆心的轨迹是椭圆,且焦点为C1(0,3),C2(0,-3),且2a=10.
∴a=5,c=3,∴b2=a2-c2=25-9=16.
∴动圆圆心 M
1
,
2
3 ,
0 × + 4 = 1,
= 1,
1
∴ 1
解得
+ 3 = 1,
= .
∵椭圆经过两点 A(0,2),
4
∴所求椭圆方程为 x2+
2
4
4
= 1.
第十六页,共24页。
题型一
题型二
题型三
题型四
利用(lìyòng)椭圆的定义求轨迹方程
【例2】 已知B,C是两定点,|BC|=8,且△ABC的周长等于18,求这个三角形
看其是否符合(fúhé)椭圆的定义,若符合(fúhé),再利用待定系数法求
椭圆的方程.
第十八页,共24页。
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】 设动圆M和定圆C1:x2+(y-3)2=64内切,而和定圆
C2:x2+(y+3)2=4外切,求动圆圆心M的轨迹方程.
解:设动圆M的半径(bànjìng)为r,圆心M(x,y),两定圆圆心C1(0,3),C2(0,-3),半


2
2
+
解法一:设椭圆的方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
由点( 3, −2)和(-2 3, 1)都在椭圆上,

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程课件3新人教A版选修11

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程课件3新人教A版选修11

当a+ 9>6时,点P的轨迹为椭圆,当9 a+ =96时,点P的轨迹是线段.
a
aa
第二十六页,共62页。
2.(2015·德州高二检测)已知M为椭圆
x2 上 y一2 点=1,F1为椭圆的
一个焦点且|MF1|=2,N为MF1中点(zhōnɡ diǎ2n5),O9为坐标原点,ON长为( )
A.2
B.4
C.6
x2 y2 =1. 25 16
第三十二页,共62页。
【延伸探究】典例中条件改为已知圆A:(x+3)2+y2=100, 圆B:(x-3)2+y2=4,圆P与圆A内切,与圆B外切,求圆心P的轨迹(guǐjì)方程.
第三十三页,共62页。
【解析】设圆P的半径为r,
则 PA 10 r,
所以(PsBuǒy2ǐ)|Pr,A|+|PB|=12>6=|AB|,
第二十二页,共62页。
【解题指南】(1)根据椭圆方程求出a,利用椭圆定义求点M到另一个焦点 的距离. (2)利用线段(xiànduàn)的垂直平分线的性质,可以判断点P到点A和点F 的距离的和为常数.
第二十三页,共62页。
【解析(jiě xī)】(1)选B.设椭圆x2 y2 的左、右焦点分别为F1,F2,不妨令
第二十五页,共62页。
【巩固(gǒnggù)训练】1.(2015·衡阳高二检测)设定点F1(0,-3),F2(0,3),
动点P满足条件|PF1|+|PF2|=a+ 9(a>0),则点P的轨迹是 ( )
A.椭圆
a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱB.线段
C.不存在
D.椭圆或线段
【解析】选D.因为a>0,所以a+ ≥6,又F1,F2间的距离为6,所以
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K12课件
16
例1 、已知椭圆两个焦点的坐标分别是 0, 2
0, 2 并且经过点

3 ,5 22
,求它的标准方程.

解2:设所求的标准方程为
y2 a2

x2 b2
1
a b 0
依题意得
5 2


2 a2




3
2

2
b2
令 b2 a2 c2,得
b2 x2 a2 y2 a2b2
两边同时除以 a2b,2 得
x2 a2

y2 b2
1
a

b

0
K12课件
返12 回
椭圆的标准方程 y
y M
F1 O F2 x
F1 0
F2 x
F1(-c,0)、F2(c,0) F1(0 ,-c)、F2(0, c)
x2 a2
椭圆的焦点在y轴上 项的分母较大.
椭圆标准方程中x2 椭圆标准方程中y2
K12课件
14
填空:
x2 y2 (1) 在椭圆 1中, a=_3__,b=_2__,
94
焦点位于__x__轴上,焦点坐标是(___5_,0_)_, (__5_,0_).
(2) 在椭圆16x2 7 y2 112 中,a=_4__, b=__7_,
a
①2 ②2,得:
x2 y2 c2 a2 d2 ④
将③代入④式,得
x2

y2

c2

a2

c2x2 a2
整理,得 a2 c2 x2 a2 y2 a2 a2 c2
K12课件
化1标1 准
a2 c2 x2 a2 y2 a2 a2 c2 联想图形
y2 a2

x2 b2
1 a b 0
由椭圆的定义知:
2a

3 2

5

22



3
2


5

2
2
2
10
2 2 2 2
∴ a 10 ,又 c 2 , ∴ b2 a2 c2 6
所以所求椭圆的标准方程为: y2 x2 1 10 6
整理得 a2 cx a ( x c)2 y2
上式两边再平方,得
a4 2a2cx c2 x2 a2 x2 2a2cx a2c2 a2 y2
整理得 (a2 c2 )x2 a2 y2 a2 (a2 c2 ) 化标准
K12课件
9பைடு நூலகம்
( x c)2 y2 ( x c)2 y2 2a
1
解得:
a2 b2 4
a2 10
b
2

6
所以所求椭圆的标准方程为:
y2 x2 1
10 6
K12课件
17
例2 :将圆 x 2 y 2= 4上的点的横坐标保持不变y ,
纵坐标变为原来的一半,求所的曲线的方程,
并说明它是什么曲线?
解:设所的曲线上任一点的坐标为(x,
y),圆
y
P(x, y)

r
OP r x2 y2 r

O
x 两边平方,得
x2 y2 r2
求曲线方程的一般步骤:
1.建系 2.设坐标 3.列等式 4.代坐标 5.化简方程
K12课件
7
[1] 建系: 以过焦点F1,F2的直线为x轴,线段F 1F 2 的
垂直平分线为y 轴,建立直角坐标系,则
m,p,n成等差数列 m+n=2p
ad
ad
知 ( x c)2 y2,a,( x c)2 y2 成等差数列,
三个数成等差数列的表示方法“x-d,x,x+d”
K12课件
10

x c2 y2 a d


x c2 y2 a d

①2 ②2,得:4cx 4ad ,即 d cx ③
焦点位于__y__轴上,焦点坐标是_(_0,__3_),_(0_,_3_) _.
x2 y2 1 7 16
K12课件
15
例1 、已知椭圆两个焦点的坐标分别是 0, 2、
0, 2 并且经过点

3 ,5 22
,求它的标准方程.

解: 因为椭圆的焦点在 y 轴上,所以设它的标准方程为
两焦点间的距离叫做椭圆的焦距2c
小结:满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆?
[1]平面上----这是大前提
[2]动点 M 到两个定点 F1、F2 的距离之和 是常数 2a
[3]常数
2a
要大于焦距 K12课件
2c
4
星系中的椭圆
——仙女座星系
K12课件
5
K12课件
6
以圆心O为原点,建立直角坐标系
设圆上任意一点P(x,y)
x2=4y上2 的对应点的
坐标为(x’,y’),由题意可得:
o
x
因为 所以

x x

y

2
y
x2 y2=4
x2 4y2 4 x2 y2 1 4
K12课件
F1 0
F2
x
8
椭圆上点 M 的集合为 P M MF1 MF2 2a
y
( x c)2 y2 ( x c)2 y2 2a M
移项平方,得
F1 0 F x
2
( x c)2 y2 4a2 4a ( x c)2 y2 ( x c)2 y2
F 1(c,0), F 2(c,0)
[2] 设坐标: 设 M(x,y) 为椭圆上的任意一点
[3]列等式: M与F1,F2 距离 之和 等于2a (2a>2cy),
所以有 MF1+ MF2=2a
M
[4] 代坐标: ( x c)2 y2 ( x c)2 y2 2a
[5] 化简:
北京时间2007年10月26日 05:31 中国 首颗探月卫星“嫦娥一号”,在西昌卫星发 射中心发射升空。
K12课件
1
K12课件
2
课题:椭圆及其标准方程(一)
K12课件
3
画椭圆
椭圆的定义:平面内与两个定点F1、F2的距离之
和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆
思考:常数等于和小于|F1F2|分别表示什么图形? 两个定点叫做椭圆的焦点

y2 b2
1
(a

b
0)
y2 a2

x2 b2
1
(a

b
0)
a2 c2 b2
如何根据标准方程判断焦点在哪个坐标轴上?
K12课件
13
两种形式的标准方程的比较:
x2 a2

y2 b2
1a

b
0

y2 a2

x2 b2
1a b 0
椭圆的焦点在x轴上 项的分母较大;
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