相互独立事件1

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高考数学一轮复习事件的相互独立性与条件概率全概率公式

教材改编题
2.在8件同一型号的产品中，有3件次品，5件合格品，现不放回地从中依次抽取2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是
A.218
B.110
C.19
√D.27
当第一次抽到次品后，还剩余2件次品，5件合格品，所以第二次抽到次品的概率为27.
教材改编题
3.智能化的社区食堂悄然出现，某社区有智能食堂A，人工食堂B，居民甲第一天随机地选择一食堂用餐，如果第一天去A食堂，那么第二天去A 食堂的概率为0.6；如果第一天去B食堂，那么第二天去A食堂的概率为 0.5，则居民甲第二天去A食堂用餐的概率为_0_._5_5_.
B⊆Ω，P(B)>0，有
P(Ai|B)＝PAPiPBB |Ai＝
PAiPB|Ai
n
，i＝1,2，…，n.
PAkPB|Ak
k＝1
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立.( × ) (2)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B).( √ )
(2)在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，
发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知当发送信号0时，被接
收为0和1的概率分别为0.93和0.07；当发送信号1时，被接收为1和0的概
率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，则接收的信号为1的
概率为
A.0.48
记两人又打了X个球后结束比赛，设双方10∶10平后的第k个球甲获胜为事件Ak(k＝1,2,3…)，则 P(X＝2)＝P(A1A2)＋P( A 1 A 2)＝P(A1)P(A2)＋P( A 1)P( A 2) ＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5. 由乙先发球，得 P(X＝4 且甲获胜)＝P(A1 A 2A3A4)＋P( A 1A2A3A4) ＝P(A1)P( A 2)P(A3)P(A4)＋P( A 1)P(A2)P(A3)·P(A4)＝0.4×0.5×0.4×0.5 ＋0.6×0.5×0.4×0.5＝0.1.

事件的相互独立性

P( A • B • C)
(2)A不发生且B不发生且C (2)A不发生且B不发生且C不发生不发生且
P( A• B • C)
练一练:已知A 练一练:已知A、B、C相互独立，试用数学相互独立，符号语言表示下列关系同时发生概率； ① A、B、C同时发生概率；都不发生的概率； ② A、B、C都不发生的概率； ③ A、B、C中恰有一个发生的概率；中恰有一个发生的概率；中恰有两个发生的概率； ④ A、B、C中恰有两个发生的概率；中至少有一个发生的概率； ⑤A、B 、C中至少有一个发生的概率；
你认同以上的观点吗？
引例的解决
明确问题：明确问题：
已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠 0.8, 老大解出问题的概率为0.5,老二为0.45, 0.5,老二为0.45,老三老大解出问题的概率为0.5,老二为0.45,老三为0.4,且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠 0.4,且每个人必须独立解题，且每个人必须独立解题中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？比较，谁大？
答:事件的发生会影响事件发生的概率事件A的发生会影响事件事件的发生会影响事件B发生的概率
n( AB) P( AB) 1 P ( B A) = = = n( A) P ( A) 2
思考与探究
思考2 思考2：三张奖券有一张可以中奖。现由三名同学依次有放回地抽取，问：最后一名去抽的同学的中奖概率会受到第一位同学是否中奖的影响吗？设A为事件“第一位同学没有中奖”。表示事件“ 同学中奖” B表示事件“最后一名同学中奖”
答：事件A的发生不会影响事件B发生的概率。
P( B | A) = P( B)

事件的相互独立性课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

第十章概率
10.2事件的相互独立性
事件的相互独立性
新知探究
探究一：相互独立事件的概念
情境设置
一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异.采用有放
回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”，B=“第二
次摸到球的标号小于3”
问题：分别计算(), (), ()，你有什么发现？
1
4
，
反思感悟
方法总结
判断事件是否相互独立的常用方法是定义法和利用相互独立的性质：
事件，相互独立 ⇔()=()().
新知运用
跟踪训练1 (1)在一次试验中，随机事件A,B满足 P A = P B =
2
3
，则( B) .
A.事件，一定互斥
B.事件，一定不互斥
事件 A 与 B 能同时发生，故事件 A与 B 既不是互斥事件，也不是对立事件，故A，B错误；
3
6
1
2
3
6
1
2
P A = = ， P B = = ， P AB =
9
36
1
4
因为 P A ⋅ P B = P AB ，所以 A 与 B 独立，故C正确；
事件 A 与 B不相等，故D错误.
1
2
1
2
= ，P A ⋅P B = × =
件发生的概率没有影响
事件 A 与 B相互独立等价于
概率公式
P AB = P A P B
互斥事件
两个事件不可能同时发生，即
A∩B=⌀
事件 A 与 B互斥，则
P A∪B =P A +P B
新知生成
知识点一相互独立事件的概念

相互独立事件

这就是说，事件 A（或 B）是否发生对事件 B（或 A）发生的概率没有影响，这样的两
个事件叫做相互独立事件．
趣味思考：
三个臭皮匠能否抵过诸葛亮？
比赛双方：诸葛亮和臭皮匠团队
比赛规则：各位选手必须独立解题，团队中有一人解出即为获胜。
已知诸葛亮想出计谋的概率为0.8，三个臭皮匠甲、乙、丙各自想出计谋的概率各为0.6、0.5、0.4.问这三个臭皮匠能胜过诸葛亮吗？
例2 在某段时间内，甲地下雨的概率是 0.2，乙地下雨的概率是0.3。假定在这段时间内两地是否下雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：
（1）甲、乙两地都下雨的概率；
（2）甲、乙两地都不下雨的概率；
（3）其中至少有一个地方下雨的概率。
(1)0.2*0.3=0.6 (2)(1-0.2) ·(10.3)=0.56 (3)1-0.56=0.44
一、复习提问:
1、互斥事件的定义？ 2、对立事件的定义？ 3、互斥事件中有一个发生的概率公式？ 4、对立事件中有一个发生的概率公式？
（1）一个坛子里有6个白球，3个黑球，l个红球，
设摸到一个球是白球的事件为 A ，摸到一个球是黑球的事件为B ，问 A与 B是互斥事件呢，还是对立事件？
（2）甲坛子里有3个白球，2个黑球；乙坛子里有2 个白球，2个黑球．设从甲坛子里摸出一个球，得到白
如何求一些事件的概率： ① 分清事件类型 ② 分解复杂问题为基本的互斥事件与相互独立事件.
诸葛亮与臭皮匠答案分析：至少一个臭皮匠想出计谋即可。可用间接法。
集体的力量大于个人！
作业：习题三2、3、6
（3）事件A：在一次考试中，张三的成绩及格与事件B：在这次考试中李四的成绩不及格。
（4）一个口袋内装有2个白球和2个黑球,把 “从中任意摸出1个球,得到白球”记作事件A, 把“从剩下的3个球中任意摸出1个球,得到白球”记作事件B。

【新教材教案】10.2 事件的相互独立性教学设计(1)-人教A版高中数学必修第二册

10.2 事件的相互独立性本节《普通高中课程标准数学教科书-必修二（人教A版）第十章《10.2 事件的相互独立性》，本节课主要事在已学互斥事件和对立事件基础上进一步了解事件之间的关系，相互独立性是另一种重要的事件关系，注意对概率思想方法的理解。

发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。

课程目标学科素养A.理解两个事件相互独立的概念．B．能进行一些与事件独立有关的概念的计算．C. 通过对实例的分析，会进行简单的应用.1.数学建模：相互独立事件的判定2.逻辑推理：相互独立事件与互斥事件的关系3.数学运算：相互独立事件概率的计算4.数据抽象：相互独立事件的概念1.教学重点：理解两个事件相互独立的概念2.教学难点：事件独立有关的概念的计算多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、探究新知前面我们研究过互斥事件，对立事件的概率性质，还研究过和事件的概率计算方法，对于积事件的概率，你能提出什么值得研究的问题吗？我们知道积事件AB就是事件A与事件B同时发生，因此，积由知识回顾，提()A A B B AB AB()()()P A P AB P AB[]()()()(()1()P AB P A P AB P P A P B P ∴=-==-=AB根据概率的加法公式和事件独立性定义,得)AB AB)()P B P⋅++⨯0.10.2AB AB+AB P ABAB AB)()()+0.72P AB AB=：由于事件“至少有一人中靶根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶=0.020.98甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性，与B 独立,进而.独立CABAB ，()1()P C P C1()()1[1()][1()]P A P B P A P B 1(10.6)(10.5)0.8三、达标检测1.两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为23和34,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A.12 B.512C.14D.16答案:B解析:恰有一个一等品即有一个是一等品、一个不是一等品,故所求概率为23×1-34+1-23×34=23×14+13×34=212+312=512,故选B . 2.甲、乙两人各进行1次射击,如果两人击中目标的概率都是0.7,则其中恰有1人击中目标的概率是( ) A.0.49 B.0.42C.0.7D.0.91解析:记甲击中目标为事件A ,乙击中目标为事件B ,且A ,B 相互独立.则恰有1人击中目标为A B 或A B ,所以只有1人击中目标的概率P=P (A B )+P (A B )=0.7×0.3+0.3×0.7=0.42. 答案:B3.一件产品要经过2道独立的加工程序,第一道工序的次品率为a ,第二道工序的次品率为b ,则产品的正品率为( ) A.1-a-b B.1-ab C.(1-a )(1-b ) D.1-(1-a )(1-b )答案:C解析:设A 表示“第一道工序的产品为正品”,B 表示“第二道工序的产品为正品”,且P (AB )=P (A )P (B )=(1-a )(1-b ).4.已知A ,B 相互独立,且P (A )=14,P (B )=23,则P (A B )= . 答案:112解析:根据题意得,P (A B )=P (A )P (B )=P (A )(1-P (B ))=14×1-23=112. 5.某天上午,李明要参加“青年文明号”活动.为了准时起床,他用甲、乙两个闹钟叫醒自己.假设甲闹钟准时响的概率是0.80,乙闹钟准时响的概率是0.90,则两个闹钟至少有一个准时响的概率是 . 答案:0.98解析:至少有一个准时响的概率为1-(1-0.90)×(1-0.80)=1-0.10×0.20=0.98.6.已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠老大解出问题的概率为0.5,老二为0.45,老三为0.4,且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？略解: 三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为1()10.50.550.60.835P A B C -⋅⋅=-⨯⨯=0.8()P D >=所以，合三个臭皮匠之力就解出的概率大过诸葛亮.()()AB AB AB AB “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码可以用表示。

高考数学(学案)事件的相互独立性

事件的相互独立性二、合作探究1．相互独立事件的判断一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性：（1）家庭中有两个小孩；（2）家庭中有三个小孩．【解】（1）有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个基本事件，由等可能性知概率都为1 4.这时A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}，于是P（A）＝12，P（B）＝34，P(AB)＝12.由此可知P(AB)≠P（A）P（B），所以事件A，B不相互独立．（2）有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．由等可能性知这8个基本事件的概率均为18，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件．于是P（A）＝68＝34，P（B）＝48＝12，P(AB)＝38，显然有P(AB)＝38＝P（A）P（B）成立．从而事件A与B是相互独立的．王敏某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率．【解】用A ，B ，C 分别表示这三列火车正点到达的事件．则P （A ）＝0.8，P （B ）＝0.7，P （C ）＝0.9，所以P (A －)＝0.2，P (B －)＝0.3，P (C －)＝0.1．（1）由题意得A ，B ，C 之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为P 1＝P (A －BC )＋P (A B －C )＋P (AB C －)＝P (A －)P （B ）P （C ）＋P （A ）P (B －)P （C ）＋P （A ）P （B ）P (C －)＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398．（2）三列火车至少有一列正点到达的概率为P 2＝1－P (A －B －C －)＝1－P (A －)P (B －)P (C －)＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994．（1）[变问法]在本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率．解：恰有一列火车正点到达的概率为P 3＝P (A B －C －)＋P (A －B C －)＋P (A －B －C )＝P （A ）P (B －)P (C －)＋P (A －)P （B ）P (C －)＋P (A －)P (B －)P（C ）＝0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9＝0.092．（2）[变条件]若一列火车正点到达记10分，用ξ表示三列火车的总得分，求P (ξ≤20)．解：事件“ξ≤20”表示“至多两列火车正点到达”，其对立事件为“三列火车都正点到达”，所以P (ξ≤20)＝1－P (ABC )＝1－P （A ）P （B ）P （C ）＝1－0.8×0.7×0.9＝0.496．3．相互独立事件的综合应用本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租用时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12，超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为12，14，两人租车时间都不会超过四小时．（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（2）设ξ为甲、乙两人所付的租车费用之和，求P (ξ＝4)和P (ξ＝6)的值．【解】（1）由题意可得甲、乙两人超过三小时但不超过四小时还车的概率分别为14，14.记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A ，则P （A ）＝14×12＋12×14＋14×14＝516.所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为516.（2）P (ξ＝4)＝14×14＋12×14＋12×14＝516，P (ξ＝6)＝14×14＋12×14＝316.【学习小结】1．相互独立的概念设A ，B 为两个事件，若P (AB )＝P （A ）P （B ），则称事件A 与事件B 相互独立．2．相互独立的性质若事件A 与B 相互独立，那么A 与B －，A －与B ，A －与B －也都相互独立．【精炼反馈】1．如图，在两个圆盘中，指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )A ．49B ．29C ．23D ．13解析：选A ．左边圆盘指针落在奇数区域的概率为46＝23，右边圆盘指针落在奇数区域的概率也为23，所以两个指针同时落在奇数区域的概率为23×23＝49.2．已知A ，B 是相互独立事件，且P （A ）＝12，P （B ）＝23，则P (A B －)＝________；P (A － B －)＝________．解析：因为P （A ）＝12，P （B ）＝23.所以P (A －)＝12，P (B －)＝13.所以P (A B －)＝P （A ）P (B －)＝12×13＝16，P (A － B －)＝P (A －)P (B －)＝12×13＝16.答案：16 163．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：（1）第3次拨号才接通电话；（2）拨号不超过3次而接通电话．解：设A i ＝{第i 次拨号接通电话}，i ＝1，2，3．（1）第3次才接通电话可表示为A 1－A 2－ A 3，于是所求概率为P (A 1－A 2－A 3)＝910×89×18＝110.（2）拨号不超过3次而接通电话可表示为A 1＋A 1－ A 2＋A 1－A 2－A 3，于是所求概率为P (A 1＋A 1－A 2＋A 1－A 2－A 3)＝P (A 1)＋P (A 1－A 2)＋P (A 1－A 2－A 3)＝110＋910×19＋910×89×18＝310.。

1相互独立事件

相互独立事件的定义：事件 A( 或 B) 是否发生对事件 B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件.
§1.1.1相互独立事件
判断：下列事件是否为相互独立事件:
① 篮球比赛的“罚球两次”中，事件A：第一次罚球，球进了. 事件B：第二次罚球，球进了. ② 在三月份的月考较量中，事件A：同学甲获得第一名. 事件B：同学乙获得第一名.
变式1 只有女排夺冠的概率有多大？
变式2 只有一队夺冠的概率有多大？
明确问题：
已知诸葛亮解出问题的概率为0.8, 臭皮匠老大解出问题的概率为0.5,老二为0.45,老三为0.4,且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？略解: 三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为
常言道：
“三个臭皮匠抵得过诸葛亮！”
诸葛亮 PK 臭皮匠团队
比赛规则：团队成员必须每人独立完成问题，团队中有一人获胜即为团队获胜。实力分析：诸葛亮解出的概率为80%，臭皮匠老大解出的概率为50%，臭皮匠老二解出的概率为45%，臭皮匠老三解出的概率为40%。
诸葛亮 PK 臭皮匠团队
比赛规则：团队成员必须每人独立完成问题，团队中有一人获胜即为团队获胜。实力分析：诸葛亮解出的概率为80%，臭皮匠老大解出的概率为50%，臭皮匠老二解出的概率为45%，臭皮匠老三解出的概率为40%。
③A· C ＋ A· C ＋ A· C B· B· B·
④ 1－P( A· C ) B· B· B· B· B· ⑤ A· C ＋ A· C ＋ A· C ＋ A· C
例题广州亚运会将于2010年11月12日举行，凭借天时，地利，人和，男排夺冠的的概率为 0.6，女排夺冠的概率为0.9，那么，男女排双双夺冠的概率有多大？

事件的相互独立性课件高中数学新人教A版必修第二册 (1)

P(BC)＝P(B)P(C)成立即可.
利用古典概型概率公式计算可得P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(AB)＝0.25，
P(AC)＝0.25，P(BC)＝0.25.
可以验证P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C).
所以根据事件相互独立的定义，事件A与B相互独立，事件B与C相互独立，事件A与C
简称独立.
知识点二相互独立事件的性质
如果事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与 B ， A 与 B， A 与 B 也都相互独立.
思考辨析判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.不可能事件与任何一个事件相互独立.( √ )
2.必然事件与任何一个事件相互独立.( √ )
4 3 2
乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为5，4，3，在实际操作考试中“合格”的
1 2 5
概率依次为2，3，6，所有考试是否合格相互之间没有影响.
(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能
性最大？
解
记“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格

1 15 15
所以整个电路不发生故障的概率为 P＝P(A)×P1＝2×16＝32.
核心素养之数学抽象
HE XIN SU YANG ZHI SHU XUE CHOU XIANG
方程思想在相互独立事件概率中的应用
典例甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一
1
等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为 4，乙机床加工的零件是一等品而丙机

相互独立事件同时发生的概

第七节相互独立事件同时发生的概率一、基本知识概要：1.相互独立事件：如果事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，那么称事件A ，B 为相互独立事件。

注：如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也是相互独立的。

两个相互独立事件A 、B 同时发生的概率为：P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）；如果事件A 1，A 2，…n A 彼此独立，则P （A 1·A 2·…n A ）=P （A 1）·P （A 2）·…P （n A ）；2.事件的积：设事件A 、B 是两个事件，A 与B 同时发生的事件叫做事件的积，记作A ·B 。

（此概念可推广到有限多个的情形）3.独立重复试验（又叫贝努里试验）：在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验。

n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率记为P n （k ），设在一次试验中事件A 发生的概率为P ，则P n （k ）=k n k k n P P C --)1(。

二、重点难点: 对相互独立事件、独立重复试验的概念的理解及公式的运用是重点与难点。

三、思维方式: 分类讨论，逆向思维（即利用P （A ）=1－P （A ））四、特别注意：1.事件A 与B(不一定互斥)中至少有一个发生的概率可按下式计算：P(A+B)＝P(A)+P(B)-P(AB)。

特别地，当事件A 与B 互斥时，P(AB)＝0，于是上式变为P(A+B)＝P(A)+P(B)2.事件间的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念：两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响.五、例题：例1.（2004年广州模拟题）某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票6张，排球票4张；第二小组有足球票4张，排球票6张。

高中数学课件 1.相互独立事件及其同时发生的概率

2.独立事件同时发生的概率的计算公式如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时
发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即：
P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)
例2.生产一种零件，甲车间的合格率是96%,乙车间的合格率是 97％,从它们生产的零件中各抽取1件，求两次都抽到合格品的概率。
解：分别记这段时间内开关JA、JB、JC能够闭合 JA 为事件A,B,C. 由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互 JB 之间没有影响。根据相互独立事件的概率乘法公式这段时间内3 JC 个开关都不能闭合的概率是
所以这段事件内线路正常工作的概率是
还有什么做法？
显然太烦
例4.在一段时间内，甲地下雨的概率是0.2，乙地下雨的概率是 0.3，假定在这段时间内两地是否下雨相互之间没有影响，计算在这段时间内： (1)甲、乙两地都下雨的概率； P=0.2×0.3＝0.06 (2)甲、乙两地都不下雨的概率 P=(10.2)×(10.3)=0.56 (3)其中至少有1个地方下雨的概率
解法一：设P(乙答错）= x，则由题意，得 P(甲答错且乙答错）=0.2，
∴P(由乙答出）P(甲答错且乙答对）
解法二：P(由乙答出）=1-P(由甲答出）-P(两人都未答出） =1- 0.4- 0.2=0.4
两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的．
P(D)=1-P(A·B·C)
又由于三台车床在1小时内不需要工人照管的事件是相互独立的，所以
P(D)=1-P(A)·P(B)·P(C) =1- 0.9×0.8×0.7=0.496

1事件的相互独立性

（1）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；
（2）求这三人该课程考核都合格的概率。（结果保留三位小数）
学习小结:
(1)列表比较
定义
互斥事件不可能同时发
生的两个事件
相互独立事件事件A是否发生对事件B 发生的概率没有影响
概率公式 P(A+B)=P(A)+P(B) P( A B) P( A) P(B)
① A 与 B；② A 与 B； ③ A 与 B.
例如证① A A A(B B) AB AB P( A) P( AB) P( AB)
P( AB) P( A) P( AB) P( A) P( A)P(B)
P( A)1 P(B) P( A)P(B)
练习1.判断下列事件是否为相互独立事件.
若A、B、C为相互独立事件，则 ① A、B、C同时发生； ①A·B·C ② A、B、C都不发生； ② A·B·C ③ A、B、C中恰有一个发生；③A·B·C＋A·B·C＋A·B·C ④ A、B、C中至少有一个发生的概率；④1－P( A·B·C ) ⑤ A、B、C中至多有一个发生.
⑤A·B·C ＋ A·B·C ＋ A·B·＋C A·B·C
JB
根据相互独立事件的概率乘法公式，这段
时间内3个开关都不能闭合的概率是
JC
P( A B C) P( A) P(B) P(C)
1 P( A) 1 P(B) 1 P(C)
(1 0.7) (1 0.7) (1 0.7) 0.027
∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，从而使线路能
P=0.2×0.3＝0.06
（2）甲、乙两地都不下雨的概率；
P=(1-0.2)×(1-0.3)=0.56
（3）其中至少有一方下雨的概率.

相互独立事件有一个发生的概率

则
P(A B) P(A B).
独立事件与互斥事件
对事件A，B，有： P( A B) P( A) P(B) P( A) P(B)
特别地，若 A，B互斥，有： P( A) P(B) 0 P( A B) P( A) P(B)
独立事件必不互斥；互斥事件必不独立
20.
袋中有r个红球与b个黑球，现有放回地任意摸球，直到累计摸到i个红球为止，求恰好摸k 次的概率.
求
系统正常工作的概率.
作业1：.
如图:已知电路中5个开关闭合的概率都是0.7,且是相互独立的,求灯亮的概率.
作业2：
如图所示的电路，该系统是由四个二极管（串联，并联）连接而成。已知每个二极管的可靠度为0.8，若要求系统的可靠度大于0.85，请你设计二极管的连接方式，并加以说明
10.
一个学生通过某种英语听力测试的概率是0.5，他连续测试两次，那么其中有一次通过的概率是多少？
11.
在一段时间内，甲去某地的概率0.25,为乙去某地的概率为0.2; 假定两人的行动之间没有影响，那么这段时间内至少有一人去此地的概率是多少？
12.
某射手每5发子弹平均有3发能射中： (1)试求射击n发子弹时每发都
有关等待首次成功时间（非重复试验次数）的模型：当且仅当前k-1次非重复试验全失败时，第k次成功的概率.
24.现请用概率的想法证明：
式子右边的一串加号…？
A a
1
Aa A 1
A A
aA a 1 1A 2
...
A aA a 1 2 A 1 (a 1) a
1
加号间的每
一项你熟悉
么？
25.等待首次成功模型之二
1.

相互独立事件知识点总结

相互独立事件知识点总结一、相互独立事件的定义相互独立事件指的是两个或多个事件之间不会相互影响，即一个事件的发生与否对另一个事件的发生概率没有影响。

具体而言，如果事件A和事件B的发生与否互不影响，那么这两个事件就是相互独立的。

数学上可以用条件概率来表示相互独立事件，即P(A|B) = P(A)，P(B|A) = P(B)。

二、相互独立事件的性质1. 如果事件A和事件B是相互独立的，那么它们的补事件也是相互独立的。

即P(¬A|B) = P(¬A)，P(¬B|A) = P(¬B)。

2. 如果事件A和事件B是相互独立的，那么它们的交集事件也是相互独立的。

即P(A∩B) = P(A) * P(B)。

3. 如果事件A和事件B是相互独立的，那么它们的并集事件也是相互独立的。

即P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A) * P(B)。

4. 如果事件A、B和C是相互独立的，那么它们的任意子集事件也是相互独立的。

5. 如果事件A和事件B是相互独立的，那么它们的倍数事件也是相互独立的。

即P(A^2) = P(A) * P(A)，P(B^3) = P(B) * P(B) * P(B)。

6. 如果事件A和事件B是相互独立的，那么它们的加、减、乘、除运算后的事件也是相互独立的。

7. 如果事件A和事件B是相互独立的，那么它们的复合事件也是相互独立的。

即P(A∘B) = P(A) * P(B)。

三、相互独立事件性质的应用相互独立事件的性质在概率论的应用中非常有用，特别是在组合问题、概率计算和风险评估等方面。

例如，在生产线上，相互独立事件的性质可以用来计算产品的合格率；在投资理财中，相互独立事件的性质可以用来评估资产的风险；在医学研究中，相互独立事件的性质可以用来评估疾病的发生风险。

四、独立事件的例子1. 投掷硬币：投掷一枚硬币的正面朝上和反面朝上是相互独立事件。

2. 投掷骰子：投掷一颗骰子的点数是相互独立事件。

专题18 事件的相互独立性

事件的相互独立性知识点一相互独立事件的概念对任意两个事件A 与B ，如果P (AB )＝P (A )P (B )成立，则称事件A 与事件B 相互独立，简称独立. 知识点二相互独立事件的性质如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立. 【例1】判断下列事件是否为相互独立事件.(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”.(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”.【例2】（2022•秀屿区月考）下列说法正确的个数有( )（1）掷一枚质地均匀的骰子一次，事件M = “出现偶数点”， N = “出现3点或6点”．则M 和N 相互独立；（2）袋中有大小质地相同的3个白球和1个红球．依次不放回取出2个球，则“两球同色”的概率是13；（3）甲乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶率为0.8，乙的中标率为0.9，则“至少一人中靶”的概率为0.98；（4）柜子里有三双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，那么“取出地鞋不成双”的概率是45． A ．1B ．2C ．3D ．4【例3】（2021•新高考Ⅰ）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( ) A ．甲与丙相互独立 B ．甲与丁相互独立 C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立【例4】（2022•乙卷）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为1p ，2p ，3p ，且3210p p p >>>．记该棋手连胜两盘的概率为p ，则( ) A ．p 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B ．该棋手在第二盘与甲比赛，p 最大C ．该棋手在第二盘与乙比赛，p 最大D ．该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大【例5】（2022•南海区月考）电路从A 到B 上共连接了6个开关，每个开关闭合的概率为23．若每个开关是否闭合相互之间没有影响，则从A 到B 连通的概率是( )A ．1027B ．100243C ．448729D ．4081【例6】（2022•东莞市月考）甲乙两名选手进行一场羽毛球比赛，采用三局二胜制，先胜两局者赢得比赛，比赛随即结束，已知任一局甲胜的概率为p ，若甲赢得比赛的概率为q ，则q p -取得最大值时(p = )A ．12B C D 【例7】（2022•多选•麒麟区期末）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，A 表示事件“两次掷出的点数之和是4”， B 表示事件“第二次掷出的点数是偶数”， C 表示事件“两次掷出的点数相同”， D 表示事件“至少出现一个奇数点”，则( ) A ．A 与C 互斥B ．3()4P D =C ．B 与D 对立 D ．B 与C 相互独立【例8】（2022•多选•南关区月考）抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果；记A = “Ⅰ号最子出现的点数为1”； B = “Ⅱ号骰子出现的点数为2”； C = “两个点数之和为8”； D = “两个点数之和为7”，则以下判断不正确的是( )A ．A 与B 相互独立 B ．A 与D 相互独立C ．B 与C 相互独立D ．C 与D 相互独立【例9】（2022•多选•萨尔图区月考）下列关于概率的命题，正确的有( ) A ．若事件A ，B 满足12(),()33P A P B ==，则A ，B 为对立事件B ．若事件A ，B 满足122(),(),()339P A P B P AB ===，则A ，B 相互独立C ．若对于事件11,,,()()(),()28A B C P A P B P C P ABC ====，则A ，B ，C 两两独立D ．若对于事件A ，B ，A 与B 相互独立，且P （A ）0.7=，P （B ）0.6=，则()0.42,()0.88P AB P A B ==【例10】（2022•多选•福州期末）在某社区兴办的“环保我参与”有奖问答比赛活动中，甲、乙、丙3个家庭同时回答一道有关环保知识的问题，已知甲家庭回答对这道题的概率是34，甲、丙2个家庭都回答错的溉率是112，乙、丙2个家庭都回答对的概率是14，若各家庭回答是否正确互不影响，则下列说法正确的是( )A．乙家庭回答对这道题的概率为38B．丙家庭回答对这道题的概摔为78C．有0个家庭回答对的概率为596D．有1个家庭回答对的概率为712【例11】（2020•新课标Ⅰ）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为12．（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率．【例12】（2019•新课标Ⅱ）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．（1）求(2)P X=；（2）求事件“4X=且甲获胜”的概率．同步训练1.（2021•天津）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为56和15，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为23；3次活动中，甲至少获胜2次的概率为．2.（2020•天津）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为16；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为．3．（2019•新课标Ⅰ）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是0.18．4.（2022•昆山市期中）甲乙两运动员打乒乓球比赛，采用7局4胜．在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方．在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为23，乙发球时甲得分的概率为12，各球的结果相互独立在某局双方10:10平后，乙先发球，则甲以13:11赢下此局的概率为()A．29B．19C．16D．1185.（2022•东城区月考）射击运动员甲、乙分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9．两人中恰有一人射中目标的概率是()A．0.06B．0.16C．0.26D．0.726.（2022•保定月考）甲、乙两名同学进行投篮训练，已知甲同学每次投篮命中的概率为13，乙同学每次投篮命中的概率为12，两名同学每次投篮是否命中相互独立．若甲、乙分别进行2次投篮，则他们命中的次数之和不少于2的概率为()A．12B．59C．23D．347.（2022•多选•汶上县月考）某社区开展“防疫知识竞赛”，甲、乙两人荣获一等奖的概率分别为p和q，两人是否获得一等奖相互独立，则这两人中至少有一人获得一等奖的概率为()A．(1)(1)p q q p pq-+-+B．p q+C．pq D．1(1)(1)p q---8．（2022•多选•长清区月考）从甲袋中摸出一个红球的概率是14，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是( ) A ．2个球都是红球的概率为18B ．2个球中恰有一个红球的概率为12C ．至少有1个红球的概率为38D ．2个球不都是红球的概率为789.（2022•多选•鲤城区期中）某高中多媒体制作社团制作了m 个视频，n 张图片(m ，*n N ∈，1)m n >>，从中随机选出一个视频和一张图片，记“视频甲和图片乙入选”为事件A ，“视频甲入选”为事件B ，“图片乙入选”为事件C ，下列判断正确的是( ) A ．P （A ）P =（B ）P +（C ） B ．P （A ）P =（B ）P ⋅（C ）C ．()()()P A P BC P BC =+D ．()()P BC P BC >10.（2022•多选•广州期末）已知某随机试验的两个随机事件A ，B 概率满足P （A ）0>，P （B ）0>，事件C = “事件A 与事件B 恰有一个发生”，则下列命题正确的有( )A ．若B A =，则A ，B 是互斥事件 B ．若A ，B 是互为独立事件，则A ，B 不可能是互斥事件C ．()P AB P >（C ）D ．()P AB P <（C ）11.（2015•北京）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“⨯”表示未购买．（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？12.（2022•邹城市期中）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为35，25，15，且各轮问题能否正确回答互不影响．（1）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；（2）求该选手至多进入第二轮考核的概率．。

相互独立事件的概念

相互独立事件的概念相互独立事件是概率论中一个重要的概念，它描述了两个或多个事件之间的统计独立性。

在概率论中，事件的相互独立性是指事件A和事件B的发生与否互不影响或者说彼此独立，即事件A发生的概率与事件B发生的概率无关。

相互独立事件的概念可以通过以下性质进行说明：1. 乘法规则：两个独立事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积。

设A和B是两个独立事件，则有P(A ∩ B) = P(A) × P(B)。

2. 加法规则：两个独立事件至少有一个发生的概率等于它们各自发生概率之和减去它们同时发生的概率。

设A和B是两个独立事件，则有P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)。

3. 依概率的性质：对于相互独立的事件A和B，事件A的发生概率与事件B的发生概率的比值等于事件A的发生概率与全样本空间的概率之比。

即P(A|B) = P(A) × P(B)。

4. 独立事件的补事件也是独立事件：如果事件A和事件B是独立事件，则事件A的补事件和事件B的补事件也是独立事件。

相互独立事件的概念在实际问题的解决中有着广泛的应用，例如:1. 投硬币的实验：投掷一枚硬币是一个相互独立的事件，每次投掷硬币都不会受前一次的投掷结果的影响。

2. 掷骰子的实验：掷一个骰子是一个相互独立的事件，每次掷骰子都不会受前一次的掷骰子结果的影响。

3. 独立抽样：在统计学中，独立抽样是指在一次抽样中，每次抽取的样本独立且与之前的抽样无关。

4. 检验流程的相互独立性：在某些工业生产过程中，不同的检验过程可能是相互独立的，即前一道工序的检验结果不会对后一道工序的检验结果产生影响。

相互独立事件的概念是概率论中的一个基础概念，它使得我们能够对复杂的概率问题进行简化和计算。

通过理解相互独立事件的性质和应用，我们可以更好地应用概率论解决各种实际问题。

证明两个事件相互独立的方法

证明两个事件相互独立的方法
1. 直观判断呀！就像你看到红色和蓝色，它们很明显没啥关联呀！比如说扔骰子，出现奇数点和偶数点，这两者就是相互独立的嘛！
2. 通过概率计算哟！如果两个事件概率怎么算都不会互相影响，那肯定独立啦！好比抽奖，先抽和后抽中大奖的概率互不干扰，这不就是独立嘛！
3. 观察它们的发生机制呀！要是它们之间没有内在联系，不就独立了？比如你早上吃面包还是喝粥，和天上会不会下雨，根本没关系呀！
4. 看在不同情况下的表现咯！如果在各种条件下都互不影响，那就是独立的呀！像选衣服穿和今天股市的涨跌，完全不搭边嘛！
5. 尝试设想关联情况呀！要是绞尽脑汁也想不出它们有啥联系，那就是独立呗！比如你看电影选喜剧片还是科幻片，和隔壁邻居出门时间有啥关系嘞？
6. 从时间顺序上考量呀！如果先后顺序对它们的独立性没啥影响，那就对啦！就跟你先刷牙还是先洗脸，对出门坐公交没影响一样呀！
7. 分析它们涉及的因素呀！要是因素都不一样，咋会不独立呢？好比你喜欢的音乐类型和你擅长的运动项目，根本不相关嘛！
8. 研究相关的条件变化呀！条件变来变去都不影响它们的关系，必然独立呀！像你心情好或者不好，和太阳从东边升起会有关系吗？
9. 观察在不同群体中的情况呀！如果在不同人群中都一样独立，那肯定错不了呀！比如年轻人喜欢玩游戏，和老年人喜欢跳广场舞，两者毫无关联嘛！
总之呢，通过这些方法就能很好地证明两个事件是不是相互独立啦！。

A新高考数学第四节事件的相互独立性与条件概率

应用全概率公式求概率的步骤 (1)根据题意找出完备事件组，即满足全概率公式的 Ω 的一个划分 A1，A2， A3，…，An；
(2)用 Ai(i＝1,2,3，…，n)来表示待求的事件； (3)代入全概率公式求解．
两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是 0．03，第二台出现废品的概率是 0．02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍． (1)求任意取出的零件是合格品的概率； (2)如果任意取出的零件是废品，求它是面体，四个面分别标有数字 1,2,3,4，拋掷这个正四面体
一次，观察它与地面接触的面上的数字得到样本空间 Ω＝{1,2,3,4}，设事件 E＝
{1,2}，事件 F＝{1,3}，事件 G＝{2,4}，则
()
A．E 与 F 不是互斥事件
B．F 与 G 是对立事件
C．E 与 F 是独立事件
(3,1)共 2 个，所以 P(B|A)＝29．答案：C
2．(2022·玉溪期末)某气象台统计，该地区下雨的概率为145，既刮四级以上的风
又下雨的概率为110．设事件 A 为该地区下雨，事件 B 为该地区刮四级以上的
风，则 P(B|A)＝__________． 1
解析：由题意知 P(A)＝145，P(AB)＝110，故 P(B|A)＝PPAAB＝140＝38． 15
解：设 Ai 表示“第 i 台机床加工的零件”(i＝1,2)，B 表示“出现废品”，C 表示“出现合格品”． (1)P(C)＝P(A1C∪A2C)＝P(A1C)＋P(A2C)＝P(A1)P(C|A1)＋P(A2)P(C|A2) ＝23×(1－0．03)＋13×(1－0．02)≈0．973． (2)P(A2|B)＝PPAB2B ＝PA1PPB|AA12＋PBP|AA22PB|A2＝23×0.130×3＋0.130×2 0.02＝0．25．

高考数学科学复习创新方案：事件的相互独立性、条件概率与全概率公式

事件的相互独立性、条件概率与全概率公式[课程标准]1.结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义．结合古典概型，利用独立性计算概率.2.了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率.3.结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系.4.会利用乘法公式和全概率公式计算概率．1．相互独立事件(1)定义：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝01P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立．(2)性质：如果事件A与B相互独立，那么A与B－，A－与B，A－与B－也都02相互独立．2．条件概率设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝03P（AB）为在事件AP（A）发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．3．乘法公式对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝04P(A)P(B|A)．4．条件概率的性质设P(A)>0，则(1)P(Ω|A)＝051；(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝06P(B|A)＋P(C|A)；(3)如果B－与B互为对立事件，则P(B－|A)＝071－P(B|A)．5．全概率公式设A1，A2，…，A n是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪A n＝Ω，且P(A i)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝错误!．1．事件间的关系及表示(1)A，B中至少有一个发生的事件为A∪B.(2)A，B都发生的事件为AB.(3)A，B都不发生的事件为A－B－.(4)A，B恰有一个发生的事件为(A B－)∪(A－B)．(5)A，B至多有一个发生的事件为(AB)∪(A－B)∪(A－B－)．2．条件概率的计算常采用缩小样本空间法求解．3．乘法公式可以推广为P(A1A2A3)＝P(A1)·P(A2|A1)P(A3|A1A2)，其中P(A1)>0，P(A1A2)>0.4．贝叶斯公式设A1，A2，…，A n是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪A n＝Ω，且P(A i)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(A i|B)＝P（A i）P（B|A i）P（B）＝错误!，i＝1，2，…，n.1．(人教A必修第二册习题10.2T2改编)若P(AB)＝19，P(A－)＝23，P(B)＝13，则事件A与B的关系是()A．事件A与B互斥B．事件A与B对立C．事件A与B相互独立D．事件A与B既互斥又相互独立答案C解析∵P (A )＝1－P (A －)＝1－23＝13，∴P (AB )＝P (A )P (B )＝19≠0，∴事件A 与B 相互独立、事件A 与B 不互斥，故不对立．故选C.2．(2023·舟山模拟)甲、乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售A ，B ，C 三种医用外科口罩，甲、乙购买A ，B ，C 三种医用口罩的概率分别如下：购买A 种医用外科口罩购买B 种医用外科口罩购买C 种医用外科口罩甲0.20.4乙0.30.3则甲、乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为()A ．0.44B ．0.40C ．0.36D ．0.32答案D解析由表可知，甲购买A 种医用外科口罩的概率为0.4，乙购买B 种医用外科口罩的概率为0.4，所以甲、乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为P ＝0.4×0.3＋0.2×0.4＋0.4×0.3＝0.32.故选D.3．(人教A 必修第二册10.2例2改编)甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为()A ．0.12B ．0.42C ．0.46D ．0.88答案D解析设“甲被录取”记为事件A ，“乙被录取”记为事件B ，则两人至少有一人被录取的概率P ＝1－P (A －B －)＝1－[1－P (A )][1－P (B )]＝1－0.4×0.3＝0.88.故选D.4．(多选)某气象台统计，该地区下雨的概率为415，刮四级以上风的概率为215，既刮四级以上的风又下雨的概率为110，设A 为下雨，B 为刮四级以上的风，则()A ．P (B |A )＝13B ．P (B |A )＝38C ．P (A |B )＝34D ．P (A |B )＝35答案BC解析由题意知P (A )＝415，P (B )＝215，P (AB )＝110，∴P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝110415＝38，P (A |B )＝P （AB ）P （B ）＝34.故选BC.5．(人教A 必修第二册习题10.1T 16改编)从1～100共100个正整数中，任取一数，已知取出的这个数不大于50，则此数是2或3的倍数的概率为________．答案3350解析设事件C 为“取出的数不大于50”，事件A 为“取出的数是2的倍数”，事件B 为“取出的数是3的倍数”．则P (C )＝12，且所求概率为P (A ∪B |C )＝P (A |C )＋P (B |C )－P (AB |C )＝P （AC ）P （C ）＋P （BC ）P （C ）－P （ABC ）P （C ）＝2＋16100－3350.多角度探究突破角度事件独立性的判定例1(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则() A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立答案B解析设甲、乙、丙、丁事件发生的概率分别为P(A)，P(B)，P(C)，P(D)，则P(A)＝P(B)＝16，P(C)＝56×6＝536，P(D)＝66×6＝16.对于A，甲、丙同时发生的概率P(AC)＝0≠P(A)P(C)；对于B，甲、丁同时发生的概率P(AD)＝16×6＝1 36＝P(A)P(D)；对于C，乙、丙同时发生的概率P(BC)＝16×6＝136≠P(B)P(C)；对于D，丙、丁同时发生的概率P(CD)＝0≠P(C)P(D)．若两事件X，Y相互独立，则P(XY)＝P(X)P(Y)，因此B正确．故选B.角度相互独立事件的概率例2(2023·河北省级联考)甲、乙、丙三人进行网球比赛，约定赛制如下：累计负两场被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两个人，另一个人当裁判，没有平局；每场比赛结束时，负的一方在下一场当裁判；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获得冠军，比赛结束．已知在每场比赛中，双方获胜的概率都为12，各局比赛的结果相互独立，经抽签，第一场比赛甲当裁判．(1)求前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率；(2)求只需四场比赛就决出冠军的概率．解(1)设事件A为“甲胜乙”，则P(A)＝12，P(A－)＝1－12＝12，设事件B为“甲胜丙”，则P(B)＝12，P(B－)＝1－12＝12，设事件C为“乙胜丙”，则P(C)＝12，P(C－)＝1－12＝12，前三场比赛结束后，丙被淘汰可用事件C A－C∪CAB来表示，所以前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率为P1＝P(C A－C)＋P(CAB)＝12×12×12＋12×12×12＝14.(2)若最终的冠军为甲，则只需四场比赛就决出冠军可用事件CABA∪C－BAB 来表示，P(CABA∪C－BAB)＝P(CABA)＋P(C－BAB)＝P(C)P(A)P(B)P(A)＋P(C－)P(B)P(A)P(B)＝1 2×12×12×12＋12×12×12×12＝18.若最终的冠军为乙，则只需四场比赛就决出冠军可用事件C A－C A－来表示，P(C A－C A－)＝P(C)P(A－)P(C)P(A－)＝12×12×12×12＝116.若最终的冠军为丙，则只需四场比赛就决出冠军可用事件C－B－C－B－来表示，P(C－B－C－B－)＝P(C－)P(B－)P(C－)P(B－)＝12×12×12×12＝116.所以只需四场比赛就决出冠军的概率为P2＝18＋116＋116＝14.1．两个事件相互独立的判断方法(1)定义法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．(2)充要条件法：事件A，B相互独立的充要条件是P(AB)＝P(A)P(B)．2．求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积．(2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算．1.(2023·益阳期末)在一个质地均匀的正八面体中，八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字．记事件A＝“与地面接触的数字为奇数”，事件B＝“与地面接触的数字不大于4”，事件C＝“与地面接触的数字为1或5或7或8”．(1)判断事件A，B是否独立并证明；(2)证明事件A，B，C满足P(ABC)＝P(A)·P(B)P(C)，但不满足A，B，C两两独立．解(1)由已知，得样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以A＝{1，3，5，7}，B＝{1，2，3，4}，C＝{1，5，7，8}，A∩B＝{1，3}，B∩C＝{1}，A∩C＝{1，5，7}，A∩B∩C＝{1}，因为P(A)＝12，P(B)＝12，P(AB)＝14＝P(A)P(B)，所以事件A，B相互独立．(2)证明：因为P(A)＝P(B)＝P(C)＝12，P(ABC)＝18，P(BC)＝18，P(AC)＝38，所以P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)，但是P(BC)≠P(B)P(C)，且P(AC)≠P(A)P(C)，所以事件A，B，C满足P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)，但不满足A，B，C两两独立．2．(2024·黄冈模拟)为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为q(p>q)，且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙两人同时答对的概率为12，恰有一人答对的概率为512.(1)求p和q的值；(2)求甲、乙两人共答对3道题的概率．解(1)设事件A：“甲同学答对第一题”，事件B：“乙同学答对第一题”，则P(A)＝p，P(B)＝q.设事件C：“甲、乙两人均答对第一题”，事件D：“甲、乙两人恰有一人答对第一题”，则C＝A∩B，D＝(A∩B－)∪(A－∩B)．∵甲、乙两人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，∴A与B相互独立，A∩B－与A－∩B互斥，∴P(C)＝P(A∩B)＝P(A)P(B)＝pq，P(D)＝P(A∩B－)＋P(A－∩B)＝P(A)[1－P(B)]＋[1－P(A)]P(B)．由题意，得pq＝12，p（1－q）＋q（1－p）＝512，解得p＝34，q＝23或p＝23，q＝34.∵p>q，∴p＝34，q＝23.(2)设事件A i：“甲同学答对了i道题”，事件B i：“乙同学答对了i道题”，i＝0，1，2.由题意，得P(A1)＝14×34＋34×14＝38，P(A2)＝34×34＝916，P(B1)＝23×13＋13×23＝49，P(B2)＝23×23＝49.设事件E：“甲、乙两人共答对3道题”，则E＝(A1∩B2)∪(A2∩B1)，∴P(E)＝P(A1∩B2)＋P(A2∩B1)＝38×49＋916×49＝512，∴甲、乙两人共答对3道题的概率为512.考向二条件概率例3(1)(2023·贵州师大附中模拟)某市卫健委为调查研究某种流行病患者的年龄分布情况，随机调查了大量该病患者，年龄分布如图．已知该市此种流行病的患病率为0.1%，该市年龄位于区间[40，60)的人口占总人口的28%.若从该市居民中任选一人，此人年龄位于区间[40，60)，则此人患这种流行病的概率为(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者年龄位于该区间的概率)()A ．0.28B ．0.00054C.713500D.2714000答案D解析设“该居民年龄位于区间[40，60)”为事件A ，“该居民患这种流行病”为事件B ，由题意知，P (A )＝0.28，P (B )＝0.001，P (A |B )＝0.54.因为P (A |B )＝P （AB ）P （B ），所以P (AB )＝P (A |B )P (B )＝0.54×0.001＝0.00054，所以P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝0.000540.28＝2714000.故选D.(2)在100件产品中有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为________．答案499解析解法一(应用条件概率公式求解)：设事件A 为“第一次取到不合格品”，事件B 为“第二次取到不合格品”，则所求的概率为P (B |A )，因为P (AB )＝A 25A 2100＝1495，P (A )＝C 15C 1100＝120，所以P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1495120＝499.解法二(缩小样本空间求解)：第一次取到不合格品后，也就是在第二次取之前，还有99件产品，其中有4件不合格品，因此第二次取到不合格品的概率为499.(3)在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率．解设“摸出第一个球是红球”为事件A ，“摸出第二个球是黄球”为事件B ，“摸出第二个球是黑球”为事件C .则P(A)＝110，P(AB)＝1×210×9＝145，P(AC)＝1×310×9＝130.所以P(B|A)＝P（AB）P（A）＝145÷110＝29，P(C|A)＝P（AC）P（A）＝130÷110＝13.所以P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝29＋13＝59.所以所求概率为59.条件概率的三种求法定义法先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝P（AB）P（A）求P(B|A)样本点法借助古典概型概率公式，先求事件A包含的样本点数n(A)，再求事件AB所包含的样本点数n(AB)，得P(B|A)＝n（AB）n（A）缩样法缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简1.(2023·全国甲卷)有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为()A．0.8B．0.4C．0.2D．0.1答案A解析报名两个俱乐部的人数为50＋60－70＝40，记“某人报足球俱乐部”为事件A，“某人报乒乓球俱乐部”为事件B，则P(A)＝5070＝57，P(AB)＝4070＝47，所以P(B|A)＝P（AB）P（A）＝4757＝0.8.故选A.2．质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施两次击打，若没有受损，则认为该构件通过质检．若第一次击打后该构件没有受损的概率为0.85，当第一次没有受损时第二次在实施击打也没有受损的概率为0.80，则该构件通过质检的概率为()A．0.4B．0.16C．0.68D．0.17答案C解析设A i表示第i次击打后该构件没有受损，i＝1，2，则由已知可得P(A1)＝0.85，P(A2|A1)＝0.80，因此由乘法公式可得P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝0.85×0.80＝0.68，即该构件通过质检的概率为0.68.故选C.3．52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为________；已知第一次抽到的是A，则第二次抽到A的概率为________．答案12211 17解析由题意，设第一次抽到A的事件为B，第二次抽到A的事件为C，则P(B)＝452＝113，P(BC)＝452×351＝1221，∴P(C|B)＝P（BC）P（B）＝1221113＝117.例4(2023·韶关模拟)作为一种益智游戏，中国象棋具有悠久的历史，中国象棋的背后，体现的是博大精深的中华文化．为了推广中国象棋，某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，小明作为选手参加．除小明以外的其他参赛选手中，50%是一类棋手，25%是二类棋手，其余的是三类棋手．小明与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别是0.3，0.4和0.5.(1)从参赛选手中随机选取一位棋手与小明比赛，求小明获胜的概率；(2)如果小明获胜，求与小明比赛的棋手为一类棋手的概率．解(1)设事件A i＝“小明与i(i＝1，2，3)类棋手相遇”，根据题意P(A1)＝0.5，P(A2)＝0.25，P(A3)＝0.25，记事件B＝“小明获胜”，则有P(B|A1)＝0.3，P(B|A2)＝0.4，P(B|A3)＝0.5，由全概率公式得，小明在比赛中获胜的概率为P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.5×0.3＋0.25×0.4＋0.25×0.5＝0.375，所以小明获胜的概率为0.375.(2)小明获胜时，与小明比赛的棋手为一类棋手的概率为P(A1|B)＝P（A1B）P（B）＝P（A1）P（B|A1）P（B）＝0.5×0.30.375＝0.4.“化整为零”求多事件的全概率问题(1)如图，P(B)＝错误!(A i)P(B|A i)．(2)已知事件B的发生有各种可能的情形A i(i＝1，2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形A i发生的可能性与已知在A i发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和．(2023·南平高级中学期中)某学校为了迎接党的二十大召开，增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛．现有两组党史题目放在甲、乙两个纸箱中，甲箱中有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答．每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中．(1)如果第一支部从乙箱中抽取了2个题目，求第二题抽到的是填空题的概率；(2)若第二支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目．已知第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题，求第二支部从甲箱中取出的是2个选择题的概率．解(1)设事件A i表示“第i次从乙箱中取到填空题”，i＝1，2，P(A1)＝37，P(A2|A1)＝26＝13，P(A2|A－1)＝36＝12.由全概率公式得，第2次抽到填空题的概率为P (A 2)＝P (A 1)P (A 2|A 1)＋P (A －1)P (A 2|A －1)＝37×26＋47×36＝37.(2)设事件A 为“第三支部从乙箱中取出1个选择题”，事件B 1为“第二支部从甲箱中取出2个题都是选择题”，事件B 2为“第二支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题”，事件B 3为“第二支部从甲箱中取出2个题都是填空题”，则B 1，B 2，B 3彼此互斥，且B 1∪B 2∪B 3＝Ω，P (B 1)＝C 25C 28＝514，P (B 2)＝C 15C 13C 28＝1528，P (B 3)＝C 23C 28＝328，P (A |B 1)＝69，P (A |B 2)＝59，P (A |B 3)＝49，P (A )＝P (B 1)P (A |B 1)＋P (B 2)P (A |B 2)＋P (B 3)P (A |B 3)＝514×69＋1528×59＋328×49＝712.所求概率即是A 发生的条件下B 1发生的概率P (B 1|A )＝P （B 1A ）P （A ）＝P （B 1）P （A |B 1）P （A ）＝514×69712＝2049.课时作业一、单项选择题1．从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为13，视力合格的概率为16，其他几项标准合格的概率为15，从中任选一名学生，则该生各项均合格的概率为(假设各项标准互不影响)()A.49B.190C.45D.59答案B解析该生各项均合格的概率为13×16×15＝190.2．某机场某时降雨的概率为15，在降雨的情况下飞机准点的概率为110，则某时降雨且飞机准点的概率为()A.1 2B.1 4C.1 25D.1 50答案D解析记事件A＝“飞机准点”，事件B＝“某时降雨”．根据题意，P(B)＝15，在降雨的情况下飞机准点的概率为P(A|B)＝110，所以某时降雨且飞机准点的概率为P(AB)＝P(B)P(A|B)＝15×110＝150.故选D.3．(2023·武汉三模)已知P(B)＝0.4，P(B|A)＝0.8，P(B|A－)＝0.3，则P(A)＝()A.3 4B.3 8C.1 3D.1 5答案D解析P(B)＝P(AB∪A－B)＝P(A)P(B|A)＋P(A－)P(B|A－)，即0.4＝0.8P(A)＋0.3[1－P(A)]，解得P(A)＝0.2＝15.故选D.4．(2024·南京模拟)现有甲、乙、丙、丁四位同学到夫子庙、总统府、中山陵、南京博物馆4处景点旅游，每人只去一处景点，设事件A为“4个人去的景点各不相同”，事件B为“只有甲去了中山陵”，则P(A|B)＝()A.3 128B.27 256C.1 128D.2 9答案D解析甲、乙、丙、丁四位同学到夫子庙、总统府、中山陵、南京博物馆4处景点旅游，共有44＝256(种)不同的方案，事件A“4个人去的景点各不相同”的方案有A44＝24(种)，事件B“只有甲去了中山陵”的方案有33＝27(种)，事件AB同时发生的方案有A33＝6(种)，P(AB)＝6256＝3128，P(B)＝27256，所以P(A|B)＝P（AB）P（B）＝6 27＝29.故选D.5．(2023·昆明模拟)已知事件A，B，C满足A，B是互斥事件，且P(A∪B|C)＝1 2，P(BC)＝112，P(C)＝14，则P(A|C)＝()A.16B.112C.14D.13答案A解析由题意，得P(B|C)＝P（BC）P（C）＝13，由A，B是互斥事件知，P(A∪B|C)＝P(A|C)＋P(B|C)，所以P(A|C)＝P(A∪B|C)－P(B|C)＝12－13＝16.故选A.6．(2023·深圳模拟)在A，B，C三个地区爆发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感，假设这三个地区的人口数之比为5∶6∶9，现从这三个地区中任意选取一人，则此人是流感患者的概率为()A．0.032B．0.048C．0.05D．0.15答案B解析设事件D为“此人是流感患者”，事件A1，A2，A3分别表示此人来自A，B，C三个地区，由已知可得P(A1)＝55＋6＋9＝0.25，P(A2)＝65＋6＋9＝0.3，P(A3)＝95＋6＋9＝0.45，P (D |A 1)＝0.06，P (D |A 2)＝0.05，P (D |A 3)＝0.04，由全概率公式，得P (D )＝P (A 1)P (D |A 1)＋P (A 2)P (D |A 2)＋P (A 3)P (D |A 3)＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.04＝0.048.故选B.7．(2023·锦州二模)如图，用K ，A 1，A 2三类不同的元件连接成一个系统，当K 正常工作且A 1，A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K ，A 1，A 2正常工作的概率依次是12，23，23，在系统正常工作的前提下，只有K 和A 1正常工作的概率是()A.49B.34C.14D.19答案C解析设事件A 为“系统正常工作”，事件B 为“只有K 和A 1正常工作”，因为并联元件A 1，A 2能正常工作的概率为1＝89，所以P (A )＝12×89＝49，又因为P (AB )＝P (B )＝12×23×＝19，所以P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝14.故选C.8．某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响．假设这名射手射击5次，则有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率为()A.89B.7381C.881D.19答案C解析因为该射手每次射击击中目标的概率是23，所以每次射击未击中目标的概率为13，设“第i 次射击击中目标”为事件A i (i ＝1，2，3，4，5)，“该射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A ，则P (A )＝P (A 1A 2A 3A －4A －5)＋P (A －1A 2A 3A 4A －5)＋P (A －1A －2A 3A 4A 5)＋13×13＋＝881.故选C.二、多项选择题9．有一道数学难题，学生甲解出的概率为12，学生乙解出的概率为13，学生丙解出的概率为14.若甲、乙、丙三人独立去解答此题，则()A ．恰有一人解出的概率为1124B ．没有人能解出的概率为124C ．至多一人解出的概率为1724D ．至少两人解出的概率为2324答案AC解析对于A ，恰有一人解出的概率为12××13×××14＝1124，A 正确；对于B ，没有人能解出的概率为＝14，B 错误；对于C ，由A ，B 知，至多一人解出的概率为1124＋14＝1724，C 正确；对于D ，至少两人解出与至多一人解出是对立事件，所以至少两人解出的概率为1－1724＝724，D 错误．故选AC.10．(2024·镇江开学考试)一质地均匀的正四面体四个表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件A 为“第二次向下的数字为奇数”，事件B为“两次向下的数字之积为偶数”，则下列说法正确的是()A．事件A与事件B是对立事件B．P(AB)＝14C．P(A|B)＝13D．事件A与事件B不相互独立答案BCD解析因为抛掷该正四面体两次的基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16种，其中事件A有(1，1)，(1，3)，(2，1)，(2，3)，(3，1)，(3，3)，(4，1)，(4，3)，共8种，事件B有(1，2)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共12种，事件AB有(2，1)，(2，3)，(4，1)，(4，3)，共4种，所以A与B可同时发生，则事件A与事件B不是对立事件，故A错误；P(AB)＝416＝14，故B正确；P(B)＝12 16＝34，则P(A|B)＝P（AB）P（B）＝1434＝13，故C正确；因为P(A)＝816＝12，则P(AB)≠P(A)P(B)，所以A，B不相互独立，故D正确．故选BCD.11．(2023·湖北直辖县级单位统考模拟)有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为5%，第2，3台加工的次品率均为3%，加工出来的零件混放在一起，第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的15%，25%，60%.随机取一个零件，记A＝“零件为次品”，B i＝“零件为第i台车床加工的”(i＝1，2，3)，下列结论正确的是()A．P(A)＝0.03B.C.P（B1|A）＝P（B2|A）D.P（B1|A）＋P（B2|A）＝P（B3|A）答案BC解析对于A ，因为P （A ）＝0.05×0.15＋0.03×0.25＋0.03×0.60＝0.033，故A 错误；对于B ，(B i )＝0.15＋0.25＋0.60＝1，故B 正确；对于C ，因为P (B 1|A )＝P （B 1）P （A |B 1）P （A ）＝0.15×0.050.033＝522，P (B 2|A )＝P （B 2）P （A |B 2）P （A ）＝0.25×0.030.033＝522，所以P (B 1|A )＝P (B 2|A )，故C 正确；对于D ，由C 项分析可得P (B 1|A )＋P (B 2|A )＝511，又因为P (B 3|A )＝P （B 3）P （A |B 3）P （A ）＝0.60×0.030.033＝611，故D 错误．故选BC.三、填空题12．(2023·合肥一模)接种流感疫苗能有效降低流行感冒的感染率，某学校25的学生接种了流感疫苗，已知在流感高发时期，未接种疫苗的感染率为14，而接种了疫苗的感染率为110.现有一名学生确诊了流感，则该名学生未接种疫苗的概率为________．答案1519解析设事件A ＝“感染流行感冒”，事件B ＝“未接种疫苗”，则P (A )＝35×14＋25×110＝19100，P (AB )＝35×14＝320，故P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1519.13．(2023·东莞三模)在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为DD ，Dd ，dd ，其中D 为显性基因，d 为隐性基因，且这三种基因型的比为1∶2∶1，如果在子二代中任意选取两株豌豆进行杂交实验，那么子三代中基因型为dd 的概率是________．答案14解析由题意，子二代作杂交试验的基因配型有6种可能，分别设为A i (i ＝1，2，3，4，5，6)，设事件B 为“子三代的基因型为dd ”，则事件A 1A 2A 3A 4A 5A 6配型DD ×DD DD ×Dd Dd ×Dd Dd ×dd DD ×dd dd ×dd P (A i )11614141418116P (B |A i )14121由全概率公式得P (B )＝∑6i ＝1P (A i )P (B |A i )＝14×14＋14×12＋116×1＝14.14．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．答案0.18解析甲队以4∶1获胜，甲队在第5场(主场)获胜，前4场中有一场输．若在主场输一场，则概率为2×0.6×0.4×0.5×0.5×0.6；若在客场输一场，则概率为2×0.6×0.6×0.5×0.5×0.6.∴甲队以4∶1获胜的概率P ＝2×0.6×0.5×0.5×0.6×(0.6＋0.4)＝0.18.四、解答题15．(2023·聊城期末)某学校在元宵节前夕举行“灯谜竞猜”活动，活动分一、二两关，分别竞猜5道、20道灯谜．现有甲、乙两位选手独立参加竞猜，在第一关中，甲、乙都猜对了4道，在第二关中，甲、乙分别猜对12道、15道．假设猜对每道灯谜都是等可能的．(1)从第一关的5道灯谜中任选2道，求甲都猜对的概率；(2)从第二关的20道灯谜中任选一道，求甲、乙两人恰有一个人猜对的概率．解(1)设事件A ＝“任选2道灯谜，甲都猜对”，用1，2，3，4，5表示第一关的5道灯谜，其中1，2，3，4表示甲猜对的4道，则样本空间为Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)}，A ＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}，所以n (Ω)＝10，n (A )＝6，根据古典概型的计算公式，得P (A )＝n （A ）n （Ω）＝35.(2)设事件B ＝“任选一道灯谜，甲猜对”，事件C ＝“任选一道灯谜，乙猜对”，事件D ＝“任选一道灯谜，甲、乙两人恰有一个人猜对”，根据题意可得，P (B )＝1220，P (B －)＝820，P (C )＝1520，P (C －)＝520.因为D ＝B －C ∪B C －，且B －C ，B C －互斥，又甲、乙两位选手独立参加竞猜，所以B ，C 相互独立，从而B －，C ，B ，C －也相互独立．所以P (D )＝P (B －C ∪B C －)＝P (B －C )＋P (B C －)＝P (B －)P (C )＋P (B )P (C －)＝820×1520＋1220×520＝920.即甲、乙两人恰有一个人猜对的概率为920.16．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响.(1)求甲、乙两球都落入盒子的概率；(2)求甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率．解(1)因为两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙两球都落入盒子的概率为12×13＝16.(2)＝13，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1－13＝23.17．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为12.(1)求甲连胜四场的概率；(2)求需要进行第五场比赛的概率；(3)求丙最终获胜的概率．解(1)记事件S：甲连胜四场，则P(S)＝116.(2)记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输，则四局内结束比赛的概率为P′＝P(ABAB)＋P(ACAC)＋P(BCBC)＋P(BABA)＝＝14，所以需要进行第五场比赛的概率为P＝1－P′＝34.(3)记事件M为甲最终获胜，记事件N为丙最终获胜．则甲最终获胜的样本点包括BCBC，ABCBC，ACBCB，BABCC，BACBC，BCACB，BCABC，BCBAC，所以甲最终获胜的概率为P(M)＋＝932.由对称性可知，乙最终获胜的概率和甲最终获胜的概率相等，所以丙最终获胜的概率为P(N)＝1－2×932＝7 16.18．已知某电器市场由甲、乙、丙三家企业占有，其中甲厂产品的市场占有率为40%，乙厂产品的市场占有率为36%，丙厂产品的市场占有率为24%，甲、乙、丙三厂产品的合格率分别为45，23，34.(1)现从三家企业的产品中各取一件抽检，求这三件产品中恰有两件合格的概率；(2)现从市场中随机购买一台电器，求买到的是合格品的概率．解(1)记甲、乙、丙三家企业的一件产品，产品合格分别为事件B1，B2，B3，则三个事件相互独立，恰有两件产品合格为事件D，则D＝B1B2B－3＋B1B－2B3＋B－1B2B3，P(D)＝P(B1B2B－3)＋P(B1B－2B3)＋P(B－1B2B3)＝45×23×14＋45×13×34＋15×23×34＝1330.故从三家企业的产品中各取一件抽检，则这三件产品中恰有两件合格的概率是1330.(2)记事件B为购买的电器合格，记随机买一件产品，买到的产品为甲、乙、丙三个品牌分别为事件A1，A2，A3，P(A1)＝25，P(A2)＝925，P(A3)＝625，P(B|A1)＝45，P(B|A2)＝23，P(B|A3)＝34，P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝25×45＋925×23＋625×34＝3750.故从市场中随机购买一台电器，买到的是合格品的概率为3750.19．(2023·南京、盐城一模)人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子里有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为12(先验概率)．(1)求首次试验结束的概率；(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率(先验概率)进行调整．①求选到的袋子为甲袋的概率；②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大．解设试验一次，“取到甲袋”为事件A1，“取到乙袋”为事件A2，“试验结果为红球”为事件B1，“试验结果为白球”为事件B2.(1)P(B1)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B1|A2)＝12×910＋12×210＝1120.所以首次试验结束的概率为1120.(2)①因为B1，B2是对立事件，P(B2)＝1－P(B1)＝920所以P(A1|B2)＝P（A1B2）P（B2）＝P（B2|A1）P（A1）P（B2）＝110×12920＝19，所以选到的袋子为甲袋的概率为19.②由①，得P(A2|B2)＝1－P(A1|B2)＝1－19＝8 9，所以方案一取到红球的概率为P1＝P(A1|B2)P(B1|A1)＋P(A2|B2)P(B1|A2)＝19×910＋89×210＝518，方案二取到红球的概率为P2＝P(A2|B2)P(B1|A1)＋P(A1|B2)P(B1|A2)＝89×9 10＋1 9×210＝3745，因为3745>518，所以方案二取到红球的概率更大．即选择方案二，第二次试验结束的概率更大．。

相互独立事件

相互独立事件
事件间两两独立不可推出事件间相互独立，而事件相互独立可推出事
件间两两独立
例子：从2、3、5、30中有放回随机抽取一个数字
用A、B、C分别表示事件抽到的数是2、3、5的倍数，则P(A)=1/2、P(B)=1/2、P(C)=1/2
P(AB)=1/4，即P(AB)=P(A)*P(B)
P(AC)=1/4，即P(AC)=P(A)*P(C)
P(BC)=1/4，即P(BC)=P(B)*P(C)
即事件A、B、C之间两两独立
而P(ABC)=1/4，不等于P(A)*P(B)*P(C)
即事件A、B、C并不相互独立，因为事件A、B或A、C或B、C同时
发生时，只会抽到30，那一定同时是2、3、5的倍数，即剩余的事件C、B、A一定会发生，即A、B、C不相互独立。

此类事件属于两两成立另一个一定成立
还有一类是两两成立则另一个一定不成立
例如：抽球模型。

相互独立事件1

高考数学一轮复习事件的相互独立性与条件概率全概率公式

事件的相互独立性

事件的相互独立性课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

相互独立事件

【新教材教案】10.2 事件的相互独立性 教学设计(1)-人教A版高中数学必修第二册

高考数学(学案)事件的相互独立性

1相互独立事件

事件的相互独立性 课件 高中数学新人教A版必修第二册 (1)

相互独立事件同时发生的概

高中数学课件 1.相互独立事件及其同时发生的概率

1事件的相互独立性

相互独立事件有一个发生的概率

相互独立事件知识点总结

专题18 事件的相互独立性

相互独立事件的概念

证明两个事件相互独立的方法

A新高考数学 第四节 事件的相互独立性与条件概率

高考数学科学复习创新方案：事件的相互独立性、条件概率与全概率公式

相互独立事件

【新教材教案】10.2 事件的相互独立性教学设计(1)-人教A版高中数学必修第二册

事件的相互独立性课件高中数学新人教A版必修第二册 (1)

A新高考数学第四节事件的相互独立性与条件概率