第4讲—因式分解—十字相乘法2

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(完整版)十字相乘法因式分解讲义2

课题因式分解十字相乘法1、认识因式分解的意义。

教课目的2、娴熟运用适合的方法进行因式分解。

要点：因式分解的观点以及运用提取公因式法和公式法分解因式。

要点、难点难点：运用因式分解进行多项式的除法以及解简单的一元二次方程。

教课内容一、概括定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这类变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。

意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被宽泛地应用于初等数学之中，是我们解决很多半学问题的有力工具。

因式分解方法灵巧，技巧性强，学习这些方法与技巧，不单是掌握因式分解内容所必要的，并且对于培育学生的解题技术，发展学生的思想能力，都有着十分独到的作用。

学习它，既能够复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既能够培育学生的察看、注意、运算能力，又能够提升学生综合剖析和解决问题的能力。

分解因式与整式乘法互为逆变形。

二、因式分解的方法因式分解没有广泛的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。

而在比赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。

注意三原则1分解要完全2最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（比如：-3 x2+x=-x(3x-1)）十字相乘法分解因式1．二次三项式（ 1）多项式ax2bx c ，称为字母的二次三项式，此中称为二次项，为一次项，为常数项．比如： x22x 3 和 x25x 6 都是对于x的二次三项式．（ 2）在多项式x26xy 8y2中，假如把看作常数，就是对于的二次三项式；假如把看作常数，就是对于的二次三项式．（ 3）在多项式2a2b27ab3中，把看作一个整体，即，就是对于的二次三项式．同样，多项式 (x ) 27()12，把看作一个整体，就是对于的二次三项式．y x y2．十字相乘法的依照和详细内容(1) 对于二次项系数为 1 的二次三项式x2(a b)x ab (x a)(x b)方法的特点是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号同样；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，此中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号同样．(2) 对于二次项系数不是 1 的二次三项式ax 2bx c a1 a2 x2( a1c2a2c1 ) x c1c2(a1x c1 )(a2 x c2 )它的特点是“ 拆两端，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，而后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号同样；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号同样注意：用十字相乘法分解因式，还要注意防止以下两种错误出现：一是没有仔细地考证交错相乘的两个积的和能否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．二、典型例题例 1把以下各式分解因式：(1) x22x 15 ；(2) x25xy 6y 2．例 2把以下各式分解因式：(1) 2x25x 3；(2) 3x28x 3 ．例 3把以下各式分解因式：1）x410x29 ；(2) 7( x y) 35( x y) 22( x y) ；(3) ( a28a) 222(a28a)120 ．例 4分解因式：(x22x 3)( x22x 24)90 ．例 5分解因式6x45x338 x25x6．例 6分解因式x22xy y25x 5y 6．例 7 分解因式： ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－ b)．试一试：把以下各式分解因式：(1) 2x215x 7(2)3a28a 4(3)5x27x 6(4) 6 y211y 10 (5)5a2b223ab 10(6)3a2 b217abxy 10 x2 y2(7)x27xy12 y2 (8)x47x218(9)4m28mn 3n2(10)5x515x3 y20xy2课后练习一、选择题1．假如x2px q( x a)( x b)，那么p 等于()A ． ab B． a＋ b C．－ ab D ．－ (a＋ b)2．假如x2(a b) x 5b x2x 30 ，则b为( )A ． 5B．－ 6C．－ 5 D ． 63．多项式x23x a 可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值分别为( ) A．10和－2B．－10和2C．10 和 2D．－10 和－ 24．不可以用十字相乘法分解的是()A ．x2x2B ．3x210x23x C． 4x 2x 2D．5x26xy 8y2 5．分解结果等于 (x＋ y－ 4)(2x＋ 2y－ 5)的多项式是()A ．2( x y)213(x y)20B．( 2x 2 y)213(x y)20C．2( x y)213( x y)20D．2( x y) 29( x y)206．将下述多项式分解后，有同样因式x－1 的多项式有()① x27x 6 ；② 3x22x 1 ；③ x 25x 6 ；④ 4x25x9；⑤ 15x223x 8；⑥ x 411x212A．2个B．3 个C．4 个D．5 个二、填空题7．x23x 10 8．m25m6__________．(m＋ a)(m＋b)． a＝ __________，b＝ __________ ．9．2x25x 3(x－ 3)(__________) ．10． x2____2y2(x－ y)(__________) ．11．a2n a(_____)(________) 2．m12．当 k＝ ______时，多项式3x27x k 有一个因式为(__________)．13．若 x－ y＝ 6，xy17，则代数式 x3 y2x2 y2xy3的值为__________．36三、解答题14．把以下各式分解因式：(1) x47x2 6 ；(2) x45x236 ；(3) 4x465x 2 y 216 y 4；(4) a67a3b38b6；(5) 6a45a34a2；(6) 4a637a4 b29a2 b4．15．把以下各式分解因式：(1) ( x23)24x2；(2) x2( x 2)29 ；(3) (3x22x 1)2(2x 23x 3)2；(4) ( x2x)217( x2x) 60 ；(5) ( x22x) 27( x22x) 8 ；．16．已知 x＋ y＝ 2， xy＝ a＋4，x3y326 ，求a的值．。

因式分解——十字相乘法

因式分解——十字相乘法（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。

特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

思考：十字相乘有什么基本规律？例1.已知0＜a ≤5，且a 为整数，若223x x a ++能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a .解析：凡是能十字相乘的二次三项式ax 2+bx+c ，都要求24b ac ∆=- >0而且是一个完全平方数。

于是98a ∆=-为完全平方数，1a =例2、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。

1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3=)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。

例3、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习1、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a(3)542-+x x练习2、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y(3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b += 分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++ 例7、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x 练习3、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：221288b ab a -- 分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。

因式分解题型(提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法) (2)

14.3因式分解1.因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。

2．常用的因式分解方法：（1）提公因式法：对于ma mb mc ++，叫做公因式，叫做提公因式法。

①多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。

②公因式的构成：系数：各项系数的；字母：各项都含有的相同字母；指数：相同字母的最低次幂。

（2）公式法：①常用公式平方差：完全平方：立方和：3322a b (a+b)(a -ab+b )+= 立方差：②常见的两个二项式幂的变号规律：22()()n n a b b a -=-；2121()()n n a b b a ---=--．（n 为正整数）（3）十字相乘法①二次项系数为1的二次三项式q px x ++2中，如果能把常数项q 分解成两个因式b a ,的积，并且b a +等于一次项系数中p ，那么它就可以分解成②二次项系数不为1的二次三项式c bx ax ++2中，如果能把二次项系数a 分解成两个因数21,aa 的积，把常数项c 分解成两个因数21,c c 的积，并且1221c a c a +等于一次项系数b ，那么它就可以分解成：()=+++=++2112212212c c x c a c a x a a c bx ax ()()221c x a a x a ++。

（4）分组分解法①定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22a b a b -+-没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。

再提公因式或利用公式法，即可达到分解因式的目的。

例如22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++，这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。

初二-第04讲-因式分解(提高)-教案

第04讲因式分解温故知新回忆：因式分解的一般方法：1、提公因式法2、公式法3、十字相乘法智慧乐园课题扩展：因式分解是初中代数中一种重要的恒等变形，也是处理数学问题的重要手段和工具，学习因式分解，除了掌握提公因式法、公式法、分组分解法等基本方法外，还要熟悉一些特殊的方法和技巧。

一、巧拆项在某些多项式的因式分解过程中，若将多项式的某一项（或某几项）适当拆成几项的代数和，再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解。

二、巧添项在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解，也可使问题化难为易。

三、巧换元在某些多项式的因式分解过程中，通过换元，可把形式复杂的多项式变形为形式简单、易于分解的多项式，从而使问题化繁为简，迅速获解。

四、展开巧组合若一个多项式的某些项是积的形式，直接分解比较困难，则可展开重新组合，然后再用基本方法分解。

五、巧用主元对于含有两个或两个以上字母的多项式，若无法直接分解，可以其中一个字母为主元进行变形整理。

知识要点一因式分解1、因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。

2、因式分解与整式乘法的关系如果把整式乘法看成一个变形过程，那么多项式的因式分解就是整式乘法的逆过程；如果把多项式的因式分解看成一个变形过程，那么整式乘法又是多项式的因式分解的逆过程。

3、公因式的定义：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。

4、确定公因式的方法：确定公因式的一般步骤：（1）如果多项式的第一项系数是负数，应把公因式的符号取“—”；（2）确定公因式的数字因数：当各项系数都是整数时，取多项式各项系数的最大公约数为公因式的系数；（3）确定公因式的字母及其指数：取多项式各项都含有的相同字母（或因式），其指数取最低次。

5、提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。

因式分解专题4_用十字相乘法(含答案)

4、用十字相乘法把二次三项式分解因式【知识精读】对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式2x （a b ）x ab h[x • a X • b 进行因式分解。

掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。

对于二次三项ax 2 bx c （ a 、b 、c 都是整数，且a 0 ）来说，如果存在四个整数 a 1， c ，a 2， c 2 满足 a 1a^ a ， qq = c ，并且 a 1c 2 - a 2C | = b ，那么二次三项式 2 2ax bx c 即 a 1a 2x - a 1c 2 - a 2c 1 x - c 1c 2 可以分解为 a 1x - c 1 a 2x - c 2。

这里要确定四个常数a 1，c 1，a 2，q ，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。

下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。

【分类解析】1.在方程、不等式中的应用2例1.已知：x - 11x 24 0，求x 的取值范围。

分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。

解： x 2 -11x 24 0.x -3 x -8 0 将它与原式的各项系数进行对比，得：a b--1, m=1, 2a-b - -2m解得：a - -1, b =0, m =12 2此时，原式二x 2 x -x-1(2)设原式分解为 x 2 • cx -2 x 2 dx 1，其中c 、d 为整数，去括号，得:x 4 亠［c d x ‘ - x 2 亠［c - 2d x - 2x - 3 0 l x —8 - 0 或 x - 3 ” 0 x - 8 ：： 0将它与原式的各项系数进行对比，得：c d - -1，m - -1，c-2d - -2m解得：c=0， d = -1，m=-12 2此时，原式二x -2 x -x 12.在几何学中的应用例.已知：长方形的长、宽为x 、y ,周长为16cm ，且满足2 -2xy - y *2=0，求长方形的面积。

如何利用十字相乘法分解因式

数学篇学思导引所谓的“十字相乘法”就是借助画十字交叉线分解系数，从而把二次三项式ax 2+bx +c 分解因式的方法.十字相乘法在因式分解中经常用到，它可以解答很多公式法、配方法等不能解答的问题.在运用十字相乘法分解因式时需要拆分常数项或二次项系数，并逐一核验对角线乘积的和是否等于一次项系数，若相等，则拆分成功，否则拆分不成功，需要舍弃，最后将拆分后的项按照乘积的形式书写出来，即可完成因式分解.一、二次项系数为“1”时，拆常数项，凑一次项对于二次三项式x 2+bx +c ，当二次项系数为1时，采用十字相乘法分解因式通常是“拆常数项，凑一次项”.即将常数项c 拆分成两个因数c 1和c 2,使这两个因数c 1和c 2的乘积结果刚好是常数项c ,同时c 1和c 2的和刚好是一次项系数b .如图1所示:只要能满足c =c 1c 2,b =c 1+c 2,则x 2+bx +c =x 2+(c 1+c 2)x +c 1c 2=(x +c 1)(x +c 2).图1例1分解因式y 2-8y +15.分析：此二项式的二次项系数为“1”，直接拆分常数项15即可.常数项15=1×15=-1×图2解：y 2-8y +15=(y -3)(y -5).例2分解因式x 2-2x -15.分析：此题可直接拆分常数项-15，因为常数项是负数，所以拆分的因数中需要安排一个负号，这就需要核验一次项系数后确定.-15=-1×15=1×（-15）=-3×5=3×（-5），-1×15和1×（-15）的情形很容易看出不符合要求，另外两种情形如图3、图4所示；拆分为图3核验结果为1×5+1×（-3）=2，不等于一次项系数-2，舍弃；图4验核结果为1×（-5）+1×3=-2，等于一次项系数-2，核验正确.图3图4解：x 2-2x -15=（x +3）（x -5）.评注：从以上的解题过程可以发现:当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，每个因数的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同.二、二次项系数不为“1”时，拆两头，凑中间如何利用十字相乘法分解因式盐城市初级中学陈爱荣数学篇学思导引“拆两头，凑中间”，即分别把二次项系数a 和常数项c 各自拆分成两个因数a 1和a 2、c 1和c 2,使a 1和a 2的乘积结果等于二次项系数a ，c 1和c 2的乘积结果等于常数项c ,并使a 1c 2+a 2c 1正好等于一次项系数b ，如图5所示，则ax 2+bx +c =a 1a 2x 2+（a 1c 2+a 2c 1）x +c 1c 2=(a 1x +c 1)(a 2x +c 2),a x1c 1a x 2c 2a x 1a 22c 1c 2(a +1c a c x 221)图5例3分解因式5x 2+7x -6.分析：此题中二次项系数不为“1”，需要拆分二次项系数和常数项系数，即5=1×5，-6=-1×6=1×（-6）=-2×3=2×（-3），如下图6-1至6-8所示，然后逐一核对对角线乘积和与一次项系数是否一致，由表1可知，图6-6的分解符合题意.图6-1图6-2图6-3图6-4图6-5图6-6图6-7图6-8表1十字相乘法数据核验表序号12345678图示6-16-26-36-46-56-66-76-8数据验核1×6+5×（-1）=11×（-6）+5×1=-11×1+5×（-6）=-291×（-1）+5×6=291×3+5×（-2）=-71×（-3）+5×2=71×2+5×（-3）=-131×（-2）+5×3=13取舍情况舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×正确，√舍弃，×舍弃，×解：5x 2+7x -6=(5x -3)(x +2).例4分解因式9+5x -4x 2.分析：此题二次项系数为负数，如果提取负号则可以转化为二次项系数为正数的情形，即9+5x -4x 2=-（4x 2-5x -9）.然后求解出4x 2-5x -9的因式分解结果即可.二次项系数可拆分为4=1×4=2×2，常数项可拆分为-9=-1×9=1×（-9）=-3×3，如下图7-1至7-9所示，然后逐一核对对角线乘积和转化后的一次项系数（-5）是否一致.由表2可知，图7-2的分解符合题意.图7-1图7-2图7-3图7-4图7-5图7-6图7-7图7-8图7-9表2十字相乘法数据核验表（转化后）序号123456789图示7-17-27-37-47-57-67-77-87-9数据验核1×9+4×（-1）=51×（-9）+4×1=-51×1+4×（-9）=-351×（-1）+4×9=351×3+4×（-3）=-91×（-3）+4×3=92×9+2×（-1）=162×（-9）+2×1=-162×（-3）+2×3=0取舍情况舍弃，×正确，√舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×解：9+5x -4x 2=-（4x 2-5x -9）=-（x +1）（4x -9）.评注：当二次项系数和常数项系数有多种拆分情况时，同学们需要逐一核验拆分后对角线乘积的和是否与一次项系数一致，然后舍弃所有不符合的情况，保留正确的拆分情况.此外，如果二次项系数是负数，则应先将负号提到括号外面，使二次项系数为正数，然后再进行因式分解.27。

【初一数学下学期课件】第4讲：双十字相乘法分解因式

-22y2+35y-3=-(11y-1)(2y-3) +35y-3=-(11y-1)(2y(11y-1)(2y然后对2x2-(7y+5)x-(11y-1)(2y-3)用
十字相乘法分解因式: 十字相乘法分解因式: 原式= 2x-(11y-1)][x+(2y原式= [2x-(11y-1)][x+(2y-3)] (2x-11y+1)(x+2y= (2x-11y+1)(x+2y-3)
以一个例子说明因式分解的想法
上述过程,实施了两次十字相乘法, 上述过程,实施了两次十字相乘法, 若把两步十字相乘法结合在一起: 若把两步十字相乘法结合在一起: 2x -11y 1 x 2y -3
将一个二元二次六项式利用上述思想分解因式的方法称为双十字相乘法双十字相乘法. 解因式的方法称为双十字相乘法.
第4讲-双十字相乘法因式分解讲双十字相乘法因式分解
2010-2-26
对形如a x+c xy+c 对形如ax2+bx+c或ax2+bxy+cy2的二次三项式可以用十字相乘法因式分解; 三项式可以用十字相乘法因式分解; 对某些二元二次六项式: 对某些二元二次六项式:
2+bxy+cy2+dx+ey+f x+ey+f ax xy+c
题答案
1,(x+2y-1)(x-5y+2); (x+2y-1)(x-5y+2); 2,(x+y+1)(x-y+4); (x+y+1)(x-y+4); (y+1)(x+y-2); 3,(y+1)(x+y-2); (2x-3y+z)(3x+y-2z); 4,(2x-3y+z)(3x+y-2z); (2a+3b+2)(3a+b5,(2a+3b+2)(3a+b-1).

十字相乘法因式分解2

2. 分解因式
（1）10(x ＋2)2 －29(x＋2) ＋
10
＝(2x－1)(5x＋8)
（2）7(x+y)3+5(x+y)2-2(x+y) =(x+y)(x+y+1)(7x+7y-2)
思考题
不解方程组
x

y

2 15
求3x2+12xy+9y2的值
x 3y 5
例5.分解下列因式
1.x2 2k 2x 2k 1
拆项添项法
回顾例题：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。另解：原式 = (x5+x4)+(x3+x2)+(x+1) = (x+1)(x4+x2+1) = (x+1)(x4+2x2+1–x2) = (x+1)[(x2+1)2–x2] = (x+1)(x2+x+1)(x2–x+1)
例因式分解
2.用十字相乘法分解下列因式
4)、(2+a)2+5(2+a)-36
解：原式=（2+a+9)(2+a-4) =（a+11)(a-2)
5)、x4-2x3-48x2 解：原式=x2（x2-2x-48）
= x2 (x-8) (x+6)
例1 分解因式 3x2 －10x＋3
例1 分解因式 3x2 －10x＋3
5)、x4-2x3-48x2
2.用十字相乘法分解下列因式
1)、x4-13x2+36
解：原式=(x2-9)(x2-4) =(x+3)(x-3) (x+2)(x-2)

十字相乘法因式分解讲义

整式乘法中，有
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
(4) (x-3)(x-4)
2、提问：你有什么快速计算类似以上多项式的方法吗？
整个二次三项式
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
反过来，得
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
一个二次三项式
将下列各式用十字相乘法进行因式分解
(1)x2-7x+12 (2)x2-4x-12 (3)x2+8x+12 (4)x2-11x-12 (5)x2+13x+12 (6)x2-x-12
达标测验
将下列多项式因式分解
(1)x2+3x-4 (2)x2-3x-43 (3)x2+6xy-16y2 (4)x2-11xy+24y2 (5)x2y2-7xy-18 (6)x4+13x2+36
(2)由于把x2 + px + q中的q分解成两个因数有多种情况，
怎样才能找到两个合适的数，通常要经过多次的尝试才
能确定采用哪种情况来进行因式分解.
课下作业
课本121页（1）（2）（3）（4）
两个一次二项式相乘的积
因式分解
如果二次三项式x2+px+q中的常数项系数 q能分解成两个因数a、b的积，而且一次项系数p又恰好是a+b，那么x2+px+q就可以进行如上的因式分解。
试一试：把x2+3x+2分解因式
分析∵ (+1) ×(+2)＝＋2

因式分解-十字相乘法

因式分解-十字相乘法一、十字相乘法分解因式十字相乘法：有些二次三项式，可以把第一项和第三项的系数分别分解为两个数之积，然后借助画十字交叉线的方法，把二次三项式进行因式分解，这种方法叫十字相乘法。

简单的说十字相乘法就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

注意：十字相乘法不是适合所有二次三项式，只有在一次项系数和二次项系数以及常数项存在一种特殊关系时才能用，这个特殊关系我们通过例题来说明：1、首项系数是1的二次三项式的因式分解，我们学习了多项式的乘法，即()()()x a x b x a b x a b ++=+++2将上式反过来，()()()x a b x ab x a x b 2+++=++得到了因式分解的一种方法——十字相乘法，用这种方法来分解因式的关键在于确定上式中的a 和b ，例如，为了分解因式x px q 2++，就需要找到满足下列条件的a 、b ；a b p ab q +==⎧⎨⎩如把762-+x x 分解因式，首先要把二次项系数2x 分成x x ⨯，常数项-7分成)1(7-⨯，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项，右边两个数的积为常数项。

交叉相乘的和为x x x 67)1(=⨯+-⨯，正好是一次项。

从而)1)(7(762-+=-+x x x x 。

2、二次项系数不为1的二次三项式的因式分解二次三项式ax bx c 2++中，当a ≠1时，如何用十字相乘法分解呢？分解思路可归纳为“分两头，凑中间”，例如，分解因式2762x x -+，首先要把二次项系数2分成1×2，常数项6分成()()-⨯-23，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项系数。

右边两个数相乘为常数项，交叉相乘的和为()()13227⨯-+⨯-=-，正好是一次项系x -=-+762x )1)(7(-+x x xx⇓⨯⇓71xx x 67=+-数，从而得()()2762232x x x x -+=--。

初中数学竞赛——因式分解之十字相乘法

第4讲因式分解之十字相乘法知识总结归纳一. 常用因式分解公式（1）))((22b a b a b a -+=- （2）))((2233b ab a b a b a +-+=+ （3）))((2233b ab a b a b a ++-=- （4）222)(2b a b ab a +=++ （5）222)(2b a b ab a -=+-（6）33223)(33b a b ab b a a +=+++ （7）33223)(33b a b ab b a a -=-+-（8）2222)(222c b a ca bc ab c b a ++=+++++ （9）2222)(222c b a ca bc ab c b a -+=--+++（10）))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++ 二．十字相乘法几大类型：（1）形如c bx ax ++2 （2）形如22cy bxy ax ++（3）形如f ey dx cy bxy ax +++++22 （4）形如222fz eyz dxz cy bxy ax +++++ 三．十字相乘法注意事项：（1）要掌握十字相乘，首先要熟悉整数的因数分解，熟悉有理数的加减法，反复练习，熟能生巧；（2）形如c bx ax ++2，如果0=++c b a ，则))(1(2c ax x c bx ax --=++典型例题一. 基本十字相乘法例题1 计算：（1）()()23x x ++= _____________; （2）()()23x x +-= _____________; （3）()()23x x -+= _____________; （4）()()23x x --= _____________.例题2 计算：))((q x p x ++.例题3 分解因式：862++x x .例题4 分解因式：862+-x x .例题5 分解因式：2421x x --.例题6分解因式：2215--.x x例题7分解因式：298x x++. 例题8分解因式：2712-+.x x例题9分解因式：21118++.x x例题10分解因式：2421--+.a a例题11 分解因式：22526a a -+.二. 二次项系数不为1的情形例题12 计算：（1）()()2133x x --=_____________; （2）()()213x x +-=_____________; （3）()()213x x -+=_____________.例题13 计算：))((2211b x a b x a ++.例题14 分解因式：2522+-x x .例题15分解因式：2--.321a a例题16分解因式：151962+x.+x例题17分解因式：23145+-.b b例题18分解因式：27254-x.-x例题19分解因式：2a-+.952a三. 两个字母的情形例题20 分解因式：22276y xy x +-.例题21 分解因式：22730a ab b --.例题22 分解因式：xy y x 2514422-+.例题23 分解因式：22166z yz y --.例题24 分解因式：22152y ay a --.例题25 分解因式：2210116y xy x ++-.例题26 分解因式：32576x y x y xy --.例题27 分解因式：()()220x y x y +++-.例题28 分解因式：2278a x ax +-.例题29 分解因式：222256x y x y x -+.例题30 分解因式：3)()(22-+++n m n m .例题31 分解因式：3)()(22----b a b a .例题32 分解因式：3)2(8)2(42++-+y x y x .例题33 分解因式：6)2(5)2(2++++b a b a .四. 双十字相乘法例题34 分解因式：233222+++-+y x y xy x .例题35 分解因式：2023265622-++--y x y xy x .例题36 分解因式：y x y xy x 422322++++.例题37 分解因式：81023222-++--y x y xy x .例题38 分解因式：43522+++-y x y x .例题39 分解因式：222615596z yz xz y xy x ++-+-.例题40 分解因式：yz xz xy z y x 142283222+++--.例题41 分解因式： yz xz xy z y x 77362222++-+-思维飞跃例题42 分解因式：22222)3()(c x b a c x b a -++-.例题43 分解因式：2223103)(2b ab a x b a x -+-++例题44 分解因式：)12)(1()21(22--+--b a a b a a .例题45 分解因式：))(()1)(()(222222y x b a xy b a y x ab ++-+---.例题46 已知a 、b 、c 为三角形的三条边，且027334222=+--++b bc ab c ac a ，求证：c a b +=2.例题47 m 为什么数时，24518722-+--+my x y xy x 可以分解为两个一次因式的积？作业1. 分解因式：20122-+-x x .2. 分解因式：276x x -+.3. 分解因式：2328b b --.4. 分解因式：3522--x x .5. 分解因式：223x x --.6. 分解因式：2257x x +-.7. 分解因式：61362+-x x .8. 分解因式：226420x y xy ++-.9. 分解因式：22914a ab b -+.10. 分解因式：2232x xy y -+.11. 分解因式：3168)2(42++--y x y x .12. 分解因式：202322613622+-++-y x y xy x .13. 分解因式：yz xz xy z y x 124649222-+-++.14. 分解因式： 27614422-+-+-y x y xy x .15. 分解因式： ab ca bc c b a 221033222--+--.16. 分解因式：)122()1)(1(22+++++y y x x y y .17. k 为何值时，k y x y x +-+-7322可以分解成两个一次因式的乘积？。

(完整版)十字相乘法因式分解

当q>0时，q分解的因数a、b( 当q<0时， q分解的因数a、b(
) 同号 ) 异号
观察：p与a、b符号关
系
x2 14x 45 (x 5)(x 9)
x2 29x 138 (x 23)(x 6)
小结：当q>0时，q分解的因数a、b(
) 同号
且（a、b符号）与p符号相同
x2 7x 60 (x 12)(x 5) x2 14x 72 (x 4)(x 18)
当q<0时， q分解的因数a、b(
) 异号
（其中绝对值较大的因数符号）与p符号相同
练习：在横线上填、符号
__ __ x2 4x 3 =（x + 3）（x + 1）
_-_ __ x2 2x 3 =（x
3）（x + 1）
_-_ _-_ y2 9y 20 =（y
4）（y 5）
_-_ __ t2 10t 56 =（t
4）（t +14）
当q>0时，q分解的因数a、b( 同号 )且（a、b符号）与p符号相同
当q<0时， q分解的因数a、b( 异号) （其中绝对值较大的因数符号）与p符号相同
试将 x2 6x 16 分解因式
x2 6x 16
x2 6x 16
x 8x 2
提示：当二次项系数为 -1 时，先提出负号再因式分解。
十字相乘法②
试因式分解6x2+7x+2。
这里就要用到十字相乘法（适用于二次三项式）。
既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。 (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd

因式分解之十字相乘法

因式分解之十字相乘法【知识精读】1．二次三项式（1）多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．（2）在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．（3）在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 2.十字相乘法（1）对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式特点是：（1）二次项的系数是1（2）常数项是两个数之积（3）一次项系数是常数项的两个因数之和。

pq x q p x +++)(2)()(22pq qx px x pq qx px x +++=+++=))(()()(q x p x p x q p x x ++=+++=（2）对于首项系数不是1的一般二次三项式2ax bx c ++的分解因式大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++。

反过来，就可得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，b=1221+a c a c 把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++.这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法。

十字相乘法(2)教案

十字相乘法（2）教学目标：1.知识目标：使学生掌握通过代换方法，进行可以转化为x2＋(a＋b)x＋ab型的多项式因式分解，领会整体代换、字母表示式和化归等数学方法。

理解运用十字相乘法分解因式的关键。

2.能力目标：通过问题设计，培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力；训练学生思维的灵活性、层次性，逐步提高学生运用变量代换思想和化归思想解决问题的能力。

3.情感目标：通过问题解决，培养合作意识，激发成功体验，鼓励创新思维。

教学设计思想：本课是简单介绍十字相乘法后的第二节课，结合学生基础较好的特点，我改变教参中的处理方式，尝试以二期课改的理念为指导，帮助学生进行探索性地学习，更好地实现有效学习。

在设计上，希望使学生体会字母表示式的想法和数学题的演变，学会透过现象看本质，灵活运用十字相乘法分解因式，进一步理解运用十字相乘法分解因式的关键。

感悟，从整体上观察、思考和处理问题是一种重要的数学方法，也是解决数学问题、发展数学内容时常用技能和技巧。

化归思想是数学中解决问题的主要思想方法。

教学过程：一、复习引入1．回忆课本上十字相乘法分解因式的一般步骤例１：把多项式x2－3x + 2分解因式。

解：x2－)像这种借助于画十字交叉线分解因式的方法叫做十字相乘法。

提问：是不是所有的二次三项式都能用十字相乘法分解因式？答：不是，（反例：x2 +３x－2）。

提问：形如x2＋px＋q的二次三项式满足什么条件时可以用十字相乘法分解因式？请同学总结：（板书）x2＋px＋q当q＝ab，p ＝a＋b时，x2＋px＋q = (x＋a) (x＋b) （*）再提问：在将首项系数为1的二次三项式因式分解时，你认为要注意什么？答：试分解后要及时检验，纵向相乘得首项，末项；交叉相乘得中间项。

应该注意的是一次项的系数和末项的系数都是包含了符号的。

如果常数项q是正数，那么把它分解成两个同号因数的积，它们的符号与一次项系数p 的符号相同。

如果常数项q是负数，那么把它分解成两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同。

因式分解系数不为1十字相乘法

因式分解系数不为1十字相乘法因式分解系数不为1十字相乘法是一种非常有效的数学方法，可以用来快速解决复杂的数学问题。

它是一种简单而又有系统的分解因式的方法，可以将一个复杂的多项式拆分成几个更小的、无因式的多项式，使之更易于分析和解决问题。

简而言之，该方法是通过将一个多项式分解成多个由系数（不为1）和一些未知符号组成的十字，然后将其相乘，以找出该多项式的结果。

此外，由于涉及到的符号有限，因此，可以让操作速度更快。

首先，因式分解系数不为1十字相乘法能够把复杂的多项式分解成更简单的组件。

这种方法通过对多项式中的系数按“正”，“负”和“零”三种状态进行区分来进行分解，将一个复杂多项式分解为许多小多项式。

这样一来，因式分解就变得更容易了，而且容易理解。

其次，这种方法不仅可以分解多项式，还能够快速解决问题。

比如，当遇到一个复杂的多项式时，可以通过十字相乘法快速解决问题。

因为十字相乘法有限的符号，所以可以使用这种方法把多项式分解成多个更小的，更容易解决的多项式，从而节省时间。

此外，这种方法还能够帮助解决多元一次方程组，使它更容易求解。

比如，有一个以x和y为未知数的多元一次方程组，由于其中涉及到的符号比较少，可以使用十字相乘法来将一个多项式分解为一组更小的多项式，从而使求解变得更简单，更容易进行。

最后，因式分解系数不为1十字相乘法还可以用于数学建模，这也是它被许多数学家和科学家所重视的原因。

比如，它可以在分析特定问题时，利用多项式的分解特性，以及系数不为一的特点，来构建出一个完整有效的数学模型，模型可以用来更准确地预测和解决实际问题。

总之，因式分解系数不为1十字相乘法是一种用来快速解决复杂问题的数学方法，也是数学建模的有力工具，它能够帮助人们更快更准确地解决实际问题。

因此，这种方法在解决多项式方面得到了极大的发展，并受到了广泛的应用。

十字相乘(2)

[文件] sxc2dja0016.doc[科目] 数学[年级] 初二[章节][关键词] 十字相乘/二次齐次式/换元法/因式分解[标题] 十字相乘(2)[内容]十字相乘(2)教学目标1.使学生掌握通过换元的方法，把可以转化为形如x2+px+q的某些多项式分解因式，渗透化归和整体思想方法；2.掌握某些二次齐次式的因式分解方法.教学重点和难点重点：运用换元法，对可转化为形如x2+px+q的某些多项式进行因式分解.难点：理解二次三项式x2+px+q中的x即可以是单项式，也可以是多项式；对于p和q，不仅可以是单项式(包括数)，也可以是多项式.教学过程设计一、复习1.把下列各式分解因式：(1)x2+5x+4；(2)y2+4y－5；(3)m2－6m+8；(4)p2－5p－36.答：(1)(x+1)(x+4)； (2)(y+5)(y－1)；(3)(m－2)(m－4)； (4)(p+4)(p－9).2.问：在二次三项式x2+px+q中，p和q各满足什么条件时，可以因式分解?答：把常数q分解因数，选择其中的两个因数，使它们的代数和等于p，此时，二次三项式x2+px+q可以分解因式.二、新课二次三项式x2+px+q中的x，不仅可以是单项式，也可以是多项式. 同样，P和q不仅可以是单项式(包括数)，也可以是多项式.对于这样的多项式怎样分解因式呢?例1 把x4+6x2+8分解因式.分析：这个多项式不是关于x的二次三项式，如果把x2设为y，那么这个多项式就可转化为y2+6y+8，这是关于y的二次三项式，我们就可以运用上一节课所学的方法分解因式了.这里，设y=x2，把y称为辅助元，这种方法叫做换元法解设x2=y，则多项式变为y2+6y+8，把它分解因式，得y2+6y+8=(y+2)(y+4).再把y换成x2，得x4+6x2+8=(x2) 2+6x2+8=(x2+2)(x2+4).指出：通过设辅助元，把所给的多项式转化为形如x2+px+q的二次三项式，在解题中，代换的步骤可以省略.例2 把(a+b) 2－4(a+b)+3分解因式.分析：如果把(a+b)看作一个整体，这样原多项式可看成关于(a+b)的二次三项式，就可以进行因式分解了.解 (a+b) 2－4(a+b)+3=(a+b－1)(a+b－3).指出：把(a+b)看作二次三项式x2+px+q中的字母x的方法称为“换元法”，这种“整体”思想方法是代数中的主要思想方法，它能起到化难为易，化繁为简的作用.例3 把(x2－3x+2)(x2－3x－4)－72因式分解.分析：这个多项式较复杂，若能注意题目中的各项的特点，把某些项看作一个整体，运用代换法，即通过设辅助元，把原多项式转化为形如x2+px+q的二次三项式，就可以进行因式分解了.问：运用整体思想和换元法，可以有几种不同的分解因式的方法?(不要求写出设辅助元的代换过程.)解方法1 把x2－3x看作一个整体.原式=[(x2－3x)+2][(x2－3x)－4]－72=(x2－3x)2－2(x2－3x)－80=(x2－3x－10)(x2－3x+8)=(x－5)(x+2)(x2－3x+8).方法2 把x2－3x+2看作一个整体.原式=(x2－3x+2)[(x2－3x+2)－6]－72=(x2－3x+2)2－6(x2－3x+2)－72=[(x2－3x+2)－12][(x2－3x+2)+6]=(x2－3x－10)(x2－3x+8)=(x－5)(x+2)(x2－3x+8).方法3 把x2－3x－4看作一个整体.原式=[(x2－3x－4)+6](x2－3x－4)－72=(x2－3x－4)2+6(x2－3x－4)－72=(x2－3x－4+12)(x2－3x－4－6)=（x2-3x+8）(x2-3x-10)=(x2－3x+8)(x－5)(x+2).指出；通过例3可以看到，如果把二次三项式(x2－3x+2)与二次三项式(x2－3x－4)相乘，将得到一个四次多项式，这时再分解因式就困难了.如果把其中的某些项看作一个整体(即把它看作一个新的辅助元)，这就把问题转化为我们熟悉的关于新辅助元的二次三项式，就可以用学过的方法分解因式了.例4 把x2－3xy+2y2分解因式.问：所给的多项式的结构特点是什么?答：多项式中的x和y的最高次项都是2次，中间项x与y的乘积项，次数也是2次，因此这个多项式既可以看作是关于x的二次三项式，也可以看作是关于y的二次三项式.问：如果把它看作是关于x的二次三项式，怎样分解因式?答：这时，2y2就相当于常数项，可以把它分解为－y与－2y的积，那么－y+(－2y)=－3y恰好等于一次项x的系数.解 x2－3xy+2y2=x2－3yx+2y2=(x－y)(x－2y).指出：由例4可以看到，当二次三项式x2+px+q中的p和q是一个单项式时，如果q可以分觖成两个因式之积，而这两个因式之和正好等于一次项系数p时，这样的二次三项式就可以分解因式.三、课堂练习把下列各式分解因式：1.x4－15x2+26；2.(x+y) 2－(x+y)－2；3.y4－26y2+25；4.(a－b) 2+6(b－a)+5；5.(x2－2x)2－7(x2－2x)－8；6.x2－2xy－8y2；7.x2+(a+b)x+ab； 8.x4－7x2y2+6y4；9.(a+b) 2+m(a+b)－12m2.答案：1.(x2－13)（x2-2）；2.(x+y+1)(x+y－2)；3.(y+5)(y－5)(y+1)(y－1)；4.(a－b－1)(a－b－5)；5.(x－4)(x+2)(x－1) 2；6.(x+2y)(x－4y)；7.(x+a)(x+b)； 8.(x+y)(x－y)(x2－6y2)；9.(a+b+4m)(a+b－3m).四、小结本节课所讨论的四个例题都可以通过换元方法，即整体思想方法把原问题转化为形如x2+px+q的二次三项式的因式分解问题.学会具体解题方法固然重要，但通过解数学题掌握数学思想方法更为重要.五、作业把下列各式分解因式：1.(1)x4+7x2－18；(2)x6+8x3+15；(3)m2x2－8mx+12；(4)x2y2－7xy+10；2.(1)x2－7xy+12y2；(2)a2+2ab－15b2；(3)m2+4mn－12n2；(4)p2+9pq+18q2.3.(1)(m+n) 2－(m+n)－30；(2)(x－y) 2－3(x－y)－40；(3)(2m+n) 2－4r(2m+n)+3r2； (4)(a－b) 2－12(a－b)－45.4.(1)(x2－4x) 2－(x2－4x)－20；(2)(a2+5a+3)(a2+5a－2)－6.答案：1.(1)(x2－2)(x2+9)；(2)(x2+3)(x3+5)；(3)(mx－2)(mx－6)；(4)(xy－2)(xy－5).2.(1)(x－3y)(x－4y)；(2)(a+5b)(a－3b)；(3)(m－2n)(m+6n)；(4)(p+3q)(p+6q).3.(1)(m+n－6)(m+n+5)；(2)(x－y+5)(x－y－8)；(3)(2m+n－r)(2m+n－3r)； (4)(a－b－15)(a－b+3).4.(1)(x+1)(x－5)(x－2) 2；(2) (a2+5a+3)(a2+5a－4)－6=[(a2+5a)+3][(a2+5a)－2]－6=(a2+5a) 2+(a2+5a)－12=(a2+5a+4)(a2+5a－3)=(a+1)(a+4))(a2+5a－3).课堂教学设计说明通过例1～例3的讨论，向学生介绍换元法，渗透整体思想和化归的思想方法，关于换元法和整体思想方法，在教科书中没有向学生提出，但是，对于帮助学生理解和掌握如例1～例3类型的问题，让学生学习换元法和整体思想方法是有重要作用的.通过换元法把可化归为形如x2+px+q的某些多项式分解因式，使学生体会到，学习新知就说好比“上楼梯”，要逐步登级而上；但是在解决新问题时，常常是通过某种方法和手段，把未知的知识化归为用已知的知识去解决，这就好比“下楼梯”，由高往低，逐级而下“上楼梯”与“下楼梯”的关系可以形象地说明在数学中解决问题的主要思想方法.在教学中，通过例题的讨论，引导学生学会在解数学题时，从整体上观察、思考和处理问题，这不仅是一种重要的数学方法，而且是解决有关数学问题时常用的一种技能和技巧.。