《数值分析简明教程》第二王能超编著课后习题答案高等教育出版社

0.1算法

1、 （p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过

10-3.

【解】 由二分法的误差估计式31

1*102

1

2||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812

ln 10

ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需二分9次.求解过程见

2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x 在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法

求这一实根，要求误差不超过2102

1

-⨯。

【解】 由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且

012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点. 又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.

由二分法的误差估计式211*1021

2

12||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自

然对数得6438.63219.322

ln 10

ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分7次.求解过程见下

0.2误差

1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，

718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。

【解】有效数字：

因为111021

05.001828.0||-⨯=<=- x e ，所以7.21=x 有两位有效数字；

因为121021

05.000828.0||-⨯=<=- x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；

因为33102

1

0005.000028.0||-⨯=<=- x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；

%85.17.205

.0||111=<-=

x x e r ε； %85.171.205

.0||222=<-=

x x e r ε； %0184.0718

.20005

.0||333=<-=

x x e r ε。 评 （1）经四舍五入得到的近似数，其所有数字均为有效数字；

（2）近似数的所有数字并非都是有效数字.2．（p.12，题9）设72.21=x ，71828.22=x ，0718.03=x 均为经过四舍五入得出的近似值，试指明它们的绝对误差(限)与相对误

差(限)。

【解】 005.01=ε，31

1

11084.172

.2005

.0-⨯≈<

=

x r εε； 000005.02=ε，622

21084.171828

.2000005

.0-⨯≈<

=x r εε；

00005.03=ε，43

3

31096.60718

.000005

.0-⨯≈<

=

x r εε；

评 经四舍五入得到的近似数，其绝对误差限为其末位数字所在位的半个单位.

3．（p.12，题10）已知42.11=x ，0184.02-=x ，4310184-⨯=x 的绝对误差限均为

2105.0-⨯，问它们各有几位有效数字？

【解】 由绝对误差限均为2105.0-⨯知有效数字应从小数点后两位算起，故42.11=x ，

有三位；0184.02-=x 有一位；而0184.01018443=⨯=-x ，也是有一位。

1.1泰勒插值和拉格朗日插值

1、（p.54，习题1）求作x x f sin )(=在节点00=x 的5次泰勒插值多项式)(5x p ，并计算)3367.0(5p 和估计插值误差，最后将)5.0(5p 有效数值与精确解进行比较。 【解】由x x f sin )(=，求得x x f cos )()1(=；x x f sin )()2(-=；x x f cos )()3(-=；x x f sin )()4(=；x x f cos )()5(=；x x f sin )()6(-=，所以

插值误差：)(5x R 66060)6(!61

)(!6|)sin(|)(!

6|)(|x x x x x f ≤-=-=

ξξ，若5.0=x ，则 )3367.0(5p 3303742887.0!

53367.0!33367.03367.05

3≈+-=，而

566

5105.01002.2!

63367.0)3367.0(--⨯<⨯≈≈R ，精度到小数点后5位，

故取33037.0)3367.0(5=p ，与精确值 330374191.0)3367.0sin()3367.0(==f 相比较，在

插值误差的精度内完全吻合！

2、（p.55，题12）给定节点4,3,1,13210===-=x x x x ，试分别对下列函数导出拉格朗日余项：

（1）234)(3+-=x x x f ； （2）342)(x x x f -=

【解】依题意，3=n ，拉格朗日余项公式为 ∏=-=3

)

4(3)(!4)()(i i x x f

x R ξ （1）0)()4(=x f → 0)(3=x R ； （2）因为!4)()4(=x f ，所以

3、（p.55，题13）依据下列数据表，试用线性插值和抛物线插值分别计算)3367.0sin(的近似值并估计误差。

【解】依题意，3=n ，拉格朗日余项公式为 ∏=-=3

)

4(3)(!4)()(i i x x f

x R ξ （1） 线性插值

因为3367.0=x 在节点0x 和1x 之间，先估计误差

42102

1

201.0⨯=≤；须保留到小数点后4为，计算过程多余两位。

（2） 抛物线插值 插值误差：

抛物线插值公式为：

经四舍五入后得：330374.0)3367.0(2=P ，与 330374191.0)3367.0sin(=精确值相比较，在插值误差范围内完全吻合！

1.3分段插值与样条函数