北京市朝阳区2017-2018学年高一上学期期末质量检测数学试题(原卷版)

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2018年北京市东城区高三第一学期期末数学(理)试题与答案

东城区 2017-2018 学年度第一学期期末教课一致检测高三数学（理科）本试卷共 6 页， 150 分。

考试时长 120 分钟。

考生务势必答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题（共 8 小题，每题 5 分，共 40 分，在每题给出的四个选项中，选出切合题目要求的一项。

）（1 ）若会合 A { 2, 1,0,1,2,3} ， B { x | x1 或 x 2}，则AIB （A ） { 2,3} （B ）{2, 1,2,3}（ C ） {0,1}（D ） { 1,0,1,2}（ 2 ）函数 y 3sin(2 x ) 图象的两条相邻对称轴之间的距离是4（ A ）（B ）（ C ）（ D ）24（3 ）履行以下图的程序框图，输出的x 值为开始（A ）1（B ）2（C ）3b=x 2（D ）7x= 1 ( x+ 3)42 xxb12否是输出 x结束 y ≥2 x,（4 ）若 x, y 知足 xy ≥3, 则 x y 的最小值为y ≤3,（A ） 5（B ） 3 （C ） 2（D ） 1（5 ）已知函数f (x)4x 1x ，则 f (x) 的2（ A ）图象对于原点对称，且在 [ 0 , ) 上是增函数（ B ）图象对于 y 轴对称，且在 [ 0 , ) 上是增函数（ C ）图象对于原点对称，在[ 0 , ) 上是减函数（ D ）图象对于 y 轴对称，且在 [ 0 ,) 上是减函数（6 ）设 a , b 为非零向量，则“a +b a - b ”是“ a b= 0”的（ A ）充足而不用要条件（B ）必需而不充足条件（ C ）充足必需条件（D ）既不充足也不用要条件（7 ）某三棱锥的三视图以下图，则该三棱锥的体积为1（A ）1116正（主）视图侧（左）视图1（ B ）3（C ）12（D ）1俯视图（8 ）现有 n 个小球，甲乙两位同学轮番且不放回抓球，每次最少抓 1 个球，最多抓 3 个球，规定谁抓到最后一个球谁赢 . 假如甲先抓，那么以下推测正确的选项是（ A ）若（ C ）若n4 ，则甲有必赢的策略（ B ）若n 9 ，则甲有必赢的策略（ D ）若n 6 ，则乙有必赢的策略n 11 ，则乙有必赢的策略第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分。

2018年北京市朝阳区初一(上)期末数学试卷含答案

A， B两点，它们所表示的两个有理数互为．．相．反．数．，则关于原
A．在点 A 的左侧 C．在点 B 的右侧
B ．与线段 AB的中点重合 D ．与点 A或点 B 重合
3．下列各式中结果为负数的是
A． ( 3)
B
．3
C
． ( 3) 2
D
． 32
4．已知 x 2 是方程 x 4a 10 的解，则 a 的值是
5⊕ 3＝ 20，写出你定
义的运算： m⊕ n＝
（用含 m， n 的式子表示）．
25．自 2014 年 5 月 1 日起，北京市居民使用自来水实施阶梯水价，具体标准如下表：
阶梯
户年用水量（ m3）
水价（元 /m3）
水费
分类价格（元 /m3 ）
水资源费
污水处理费
第一阶梯 0～180（含）
5
2.07
其中可用“两点确定一条直线”来解释的现象有
．（填序号）
13．下面的框图表示了小明解方程 5( x 3) x 3 的流程：
其中，步骤“③”的依据是
．
14．如图，在 3×３的方阵图中，填写了一些数、式子和汉字（其中每个式子或
汉字都表示一个数），若处于每一横行、每一竖列，以及两条斜对角线上
的 3 个数之和都相等，则这个方阵图中
x 的值为
．
5( x 3) x 3
①
5( x 3) x 3 0
②
6( x 3) 0
④③
x3 0
第 14 题图
第 15 题图
15．如图，某海域有三个小岛 A，B，O，在小岛 O处观测到小岛 A 在它北偏东 62°的方向上，
观测到小岛 B 在它南偏东 38° 12＇的方向上，则∠ AOB的补角的度数是

2017 2018北京市朝阳区高三第一学期期末数学理科试题含答案

北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测数学试卷（理工类） 2018.1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{}|(2)0A x x x =-<，{}|ln 0B x x =>，则A B I 是A. {}|12x x <<B.{}|02x x <<C. {}|0x x >D.{}|2x x > 2. 已知i 为虚数单位，设复数z 满足i 3z +=，则z =A.3B. 4D.10 3. 在平面直角坐标系中，以下各点位于不等式(21)(3)0x y x y +--+>表示的平面区域内的是A.(00)，B.(20)-，C.(01)-，D. (02)， 4.“sin α=cos 2=0α”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为A. 4B.43D. 6. 已知圆22(2)9x y -+=的圆心为C .直线l 过点(2,0)M -且与x 轴不重合，l 交圆C 于,A B 两点，点A 在点M ，B 之间.过M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，则点P 的轨迹是正视图侧视图俯视图A. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 抛物线的一部分D. 圆的一部分7. 已知函数()f x x x a =⋅-的图象与直线1y =-的公共点不少于两个，则实数a 的取值范围是A .2a <- B.2a ≤- C.20a -≤< D.2a >- 8. 如图1，矩形ABCD 中，AD .点E 在AB 边上，CE DE ⊥且1AE =. 如图2，ADE △沿直线DE 向上折起成1A DE △．记二面角1A DE A --的平面角为θ，当θ()0180∈，时，① 存在某个位置，使1CE DA ⊥；② 存在某个位置，使1DE AC ⊥；③ 任意两个位置，直线DE 和直线1AC 所成的角都不相等.以上三个结论中正确的序号是A . ① B. ①② C. ①③ D. ②③第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C则双曲线C 的渐近线方程为 .10. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值为 . 11.ABCD 中，,E F 分别为边,BC CD 中点，若 AF xAB yAE =+（,x y ∈R ），则+=x y _________.12. 已知数列{}n a 满足11n n n a a a +-=-（2n ≥），1a p =，2a q =(,p q ∈R ).设1nn i i S a ==∑，则10a = ;2018S = .（用含,p q 的式子表示）13. 伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题.一位A同学受到启发，借助以下两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：22222()()()ac bd a b c d +≤++的一种“图形证明”.证明思路：（1）左图中白色区域面积等于右图中白色区域面积；（2）左图中阴影区域的面积为ac bd +，右图中，设BAD θ∠=，右图阴影区域的面积可表示为_________（用含a b c d ,,,，θ的式子表示）；（3）由图中阴影面积相等，即可导出不等式22222()()()ac bd a b c d +≤++. 当且仅当,,,a b c d 满足条件__________________时，等号成立.14. 如图，一位同学从1P 处观测塔顶B 及旗杆顶A ，得仰角分别为α和90α- . 后退l (单位m)至点2P 处再观测塔顶B ，仰角变为原来的一半，设塔CB 和旗杆BA 都垂直于地面，且C ，1P ，2P 三点在同一条水平线上，则塔CB 的高为 m ；旗杆BA的高为 m.（用含有l 和α的式子表示）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分13分)已知函数21()sin cos sin 2f x x x x =-+. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中,,,a b c 为角,,A B C 的对边，且满足cos 2cos sin b A b A a B =-，且02A π<<，求()f B 的取值范围.P 21BCbbcac a cbC BA16. (本小题满分13分)为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“国Ⅰ，Ⅱ轻型汽油车限行”，“整治散乱污染企业”等.下表是该市2016年和2017年12月份的空气质量指数（AQI ）（AQI 指数越小，空气质量越好）统计表. 表1：2016年12月AQI 指数表：单位（3g /m μ）表2：2017年12月AQI 指数表：单位（3g /m μ）根据表中数据回答下列问题：（Ⅰ）求出2017年12月的空气质量指数的极差；（Ⅱ）根据《环境空气质量指数（AQI ）技术规定（试行）》规定：当空气质量指数为0～50时，空气质量级别为一级.从2017年12月12日到12月16这五天中，随机抽取三天，空气质量级别为一级的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅲ）你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效?结合数据说明理由.17. (本小题满分14分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠= ，D 是线段AC 的中点，且1A D ⊥ 平面ABC ．（Ⅰ）求证：平面1A BC ⊥平面11AAC C ；（Ⅱ）求证：1//B C 平面1A BD ；（Ⅲ）若11A B AC ⊥，2AC BC ==，求二面角1A A B C --的余弦值.18. (本小题满分13分)已知函数()cos f x x x a =+，a ∈R . （Ⅰ）求曲线()y f x =在点2x π=处的切线的斜率；（Ⅱ）判断方程()0f x '=（()f x '为()f x 的导数）在区间()0,1内的根的个数，说明理由；（Ⅲ）若函数()sin cos F x x x x ax =++在区间(0,1)内有且只有一个极值点，求a 的取值范围.ACBB 1C 1A 1D19. (本小题满分14分)已知抛物线:C 24x y =的焦点为F ,过抛物线C 上的动点P （除顶点O 外）作C 的切线l 交x 轴于点T .过点O 作直线l 的垂线OM （垂足为M ）与直线PF 交于点N . （Ⅰ）求焦点F 的坐标；（Ⅱ）求证：FT MN ；（Ⅲ）求线段FN 的长.20. (本小题满分13分)已知集合{}12,,...,n P a a a =，其中i a ∈R()1,2i n n ≤≤>.()M P 表示+i j a a 1)i j n ≤<≤（中所有不同值的个数.（Ⅰ）若集合{}1,3,57,9P =，，求()M P ；（Ⅱ）若集合{}11,4,16,...,4n P -=，求证：+i j a a 的值两两不同，并求()M P ；（Ⅲ）求()M P 的最小值.（用含n 的代数式表示）北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷答案（理工类） 2018.1二、填空题（30分）三、解答题（80分） 15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题知111()sin 2(1cos 2)222f x x x =--+ 11=sin 2cos 222x x +=)24x π+. 由222242k x k ππππ-≤+≤π+（k ∈Z ），解得 88k x k 3πππ-≤≤π+ . 所以()f x 单调递增区间为3[,]88k k πππ-π+（k ∈Z ）. …………… 6分（Ⅱ）依题意，由正弦定理，sin cos 2sin cos sin sin B A B A A B =-.因为在三角形中sin 0B ≠，所以cos 2cos sin A A A =-. 即(cos sin )(cos sin 1)0A A A A -+-=当cos sin A A =时，4A π=；当cos sin 1A A +=时，2A π=.由于02A π<<，所以4A π=. 则3+4BC =π. 则304B <<π.又2444B ππ7π<+<，所以1sin(2)14B π-≤+≤.由())24f B B π=+，则()f B的取值范围是22⎡-⎢⎣⎦，. ……………… 13分 16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）2017年12月空气质量指数的极差为194. …………………3分（Ⅱ）ξ可取1，2，31232353(1)10C C P C ξ===；2132356(2)10C C P C ξ===；3032351(3)10C C P C ξ===. ξ的分布列为所以123 1.8101010E ξ=⨯+⨯+⨯= . ………………9分（Ⅲ）这些措施是有效的.可以利用空气质量指数的平均数，或者这两年12月空气质量指数为优的概率等来进行说明.………………13分17. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为90ACB ∠= ，所以BC AC ⊥．根据题意， 1A D ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1A D BC ⊥．因为1A D AC D = ，所以BC ⊥平面11AAC C ．又因为BC ⊂平面1A BC ，所以平面1A BC ⊥平面11AAC C ． ………………4分（Ⅱ）证明：连接1AB ，设11AB A B E = ，连接DE．根据棱柱的性质可知，E 为1AB 的中点，因为D 是AC 的中点，所以1//DE B C ．又因为DE ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ，所以1//B C 平面1A BD ． ………………8分（Ⅲ）如图，取AB 的中点F ，则//DF BC ，因为BC AC ⊥，所以DF AC ⊥，又因为1A D ⊥平面ABC ，所以1,,DF DC DA 两两垂直．以D 为原点，分别以1,,DF DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系（如图）. 由（Ⅰ）可知，BC ⊥平面11AAC C , 所以1BC AC ⊥．又因为11A B AC ⊥，1BC A B B = , 所以1AC ⊥平面1A BC ，所以11AC AC ⊥，所以四边形11AAC C 为菱形．由已知2AC BC ==，则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，(1A ．设平面1A AB 的一个法向量为(),,x y z =n ，因为(1AA = ，()2,2,0AB = ，所以10,0,AA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即0,220.y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ACB B 1C 1A 1DE设1z =，则)=n ．再设平面1A BC 的一个法向量为()111,,x y z =m ，因为(10,CA =- ，()2,0,0CB = ，所以10,0,CA CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m，即1110,20. y x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩ 设11z =，则()=m ．故cos ,⋅〈〉===⋅m n m n m n由图知，二面角1A A B C --的平面角为锐角，所以二面角1A A B C --…………14分 18. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）()cos sin f x x x x '=-.ππ()22k f '==-. …………3分（Ⅱ）设()()g x f x '=，()sin (sin cos )2sin cos g x x x x x x x x '=--+=--.当(0,1)x ∈时，()0g x '<，则函数()g x 为减函数. 又因为(0)10g =>，(1)cos1sin10g =-<, 所以有且只有一个0(0,1)x ∈，使0()0g x =成立.所以函数()g x 在区间()0,1内有且只有一个零点.即方程()0f x '=在区间()0,1内有且只有一个实数根. ……………7分（Ⅲ）若函数()sin cos F x x x x ax =++在区间()0,1内有且只有一个极值点，由于()()F x f x '=，即()cos f x x x a =+在区间()0,1内有且只有一个零点1x ，且()f x 在1x 两侧异号.因为当(0,1)x ∈时，函数()g x 为减函数，所以在()00,x 上，0()()0g x g x >=，即()0f x '>成立，函数()f x 为增函数；在0(,1)x 上， 0()()0g x g x <=，即()0f x '<成立，函数()f x 为减函数,则函数()f x 在0x x =处取得极大值0()f x .当0()0f x =时，虽然函数()f x 在区间()0,1内有且只有一个零点0x ，但()f x 在0x 两侧同号，不满足()F x 在区间()0,1内有且只有一个极值点的要求.由于(1)cos1f a =+，(0)f a =，显然(1)(0)f f >. 若函数()f x 在区间()0,1内有且只有一个零点1x ，且()f x 在1x 两侧异号，则只需满足：(0)0,(1)0,f f <⎧⎨≥⎩即0,cos10,a a <⎧⎨+≥⎩ 解得cos10a -≤<. ……………13分19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ） (0,1)F ……………2分（Ⅱ）设00(,)P x y .由24x y =，得214y x =，则过点P 的切线l 的斜率为0012x x k y x ='==. 则过点P 的切线l 方程为2001124y x x x =-.令0y =，得012T x x =，即01(,0)2T x .又点P 为抛物线上除顶点O 外的动点，00x ≠，则02TF k x =-.而由已知得MN l ⊥，则02MN k x =-. 又00x ≠，即FT 与MN 不重合，即FT MN . …………6分（Ⅲ）由(Ⅱ)问，直线MN 的方程为02y x x =-，00x ≠.直线PF 的方程为0011y y x x --=，00x ≠.设MN 和PF 交点N 的坐标为(,)N N N x y 则0002.........(1)11..........(2)N N N N y x x y y x x ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩由（1）式得，02N Nx x y =-（由于N 不与原点重合，故0N y ≠）.代入（2），化简得02NN y y y -=()0N y ≠.又2004x y =，化简得,22(1)1NN x y +-= （0N x ≠）. 即点N 在以F 为圆心，1为半径的圆上.（原点与()0,2除外）即1FN =. …………14分20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）()=7M P ； ………… 3分（Ⅱ）形如和式+i j a a 1)i j n ≤<≤（共有2(1)2n n n C -=项，所以(1)()2n n M P -≤. 对于集合{}11,4,16,...,4n -中的和式+i j a a ，+p q a a 1,1)i j n p q n ≤<≤≤<≤（：当j q =时，i p ≠时，++i j p q a a a a ≠；当j q ≠时，不妨设j q <，则121+24j i j j j q p q a a a a a a a -+<=<≤<+. 所以+i j a a 1)i j n ≤<≤（的值两两不同. 且(1)()=2n n M P -. ………… 8分（Ⅲ）不妨设123...n a a a a <<<<，可得1213121++...++...+n nn n a a a a a a a a a a -<<<<<<. +i j a a 1)i j n ≤<≤（中至少有23n -个不同的数. 即()23M P n ≥-.设12,,...,n a a a 成等差数列，11,()+=,()i j n n i j i j a a i j n a a a a i j n +-+-++>⎧⎪⎨++≤⎪⎩，则对于每个和式+i j a a 1)i j n ≤<≤（，其值等于1+p a a （2p n ≤≤）或+q n a a (11)q n ≤≤-中的一个.去掉重复的一个1n a a +,所以对于这样的集合P ,()23M P n =-.则()M P 的最小值为23n -. ……………13分。

专题07概率(原卷版)

专题07概率1．【吉林省长春市第150中学2017-2018学年高一下学期期末】从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”，则与事件A互斥的事件是（）A．所取的3个球中至少有一个白球B．所取的3个球中恰有2个白球1个黑球C．所取的3个球都是黑球D．所取的3个球中恰有1个白球2个黑球2．【北京市房山区2020-2021学年高一上学期期末】某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品按质量分为一等品、二等品、不合格品．从这批产品中随机抽取一件进行检测，设“抽到一等品”的概率为0.75，“抽到二等品”的概率为0.2，则“抽到不合格品”的概率为（）A．0.05 B．0.25 C．0.8 D．0.953．【湖南省娄底市2019-2020学年高一下学期期末】从一批产品中取出三件产品，设事件A 为“三件产品全不是次品”，事件B为“三件产品全是次品”，事件C为“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是（）A．B与C互斥B．任何两个均互斥C．A与C互斥D．任何两个均不互斥4．【北京市东城区2019-2020学年度高一下学期期末统一检测】在北京消费季活动中，某商场为促销举行购物抽奖活动，规定购物消费每满200元就可以参加一次抽奖活动，中奖的概率为110.那么以下理解正确的是（）A．某顾客抽奖10次，一定能中奖1次B．某顾客抽奖10次，可能1次也没中奖C．某顾客消费210元，一定不能中奖D．某顾客消费1000元，至少能中奖1次5．【湖南师范大学附属中学2019-2020学年高一下学期期末】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A．25B．35C．12D．136．【北京八中2018-2019学年度高一第二学期期末】从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A ．至少有一个黑球与都是黑球B ．至少有一个黑球与至少有一个红球C ．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球D ．至少有一个黑球与都是红球7．【山东省威海市2020-2021学年高一上学期期末】从含有3件正品2件次品的5件产品中，任意取出2件产品，则取出的2件产品中至少有一件次品的概率为（）A ．710B ．310C ．15D ．1108．【北京市海淀区2020-2021学年高一上学期期末】从数字2,3,4,6中随机取两个不同的数，分别记为x 和y ，则xy为整数的概率是（） A ．16 B ．14 C ．12 D ．7129．【辽宁省沈阳市郊联体2020-2021学年高一上学期期末】从装有大小和形状完全相同的8个红球和2个白球的口袋内任取两个球，下列各对事件中，互斥而不对立的是（） A ．“至少一个白球”和“都是红球”B ．“至少一个白球”和“至少一个红球”C ．“恰有一个白球”和“恰有一个红球”D ．“恰有一个白球”和“都是红球”10．【甘肃省庆阳市镇原中学第2019-2020学年高一下学期期末】围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是（）A ．17B ．1235C ．1735D ．111．【湖北省荆门市2019-2020学年高一下学期期末】华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想的一个弱化形式，孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p 使得2p +是素数，素数对(),2p p +称为孪生素数.从15以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（）A．115B．15C．13D．1212．【山东省烟台市2019-2020学年高一下学期期末】人的眼皮单双是由遗传自父母的基因决定的，其中显性基因记作B，隐性基因记作b：成对的基因中，只要出现了显性基因，就一定是双眼皮（也就是说，“双眼皮”的充要条件是“基因对是BB，bB或Bb”）.人的卷舌与平舌（指是否能左右卷起来）也是由一对基因对决定的.分别用D，d表示显性基因、隐性基因，基因对中只要出现了显性基因D，就一定是卷舌的.生物学上已经证明：控制不同性状的基因邀传时互不干扰.若有一对夫妻，两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是BdDd，不考虑基因突变，他们的孩子是单眼皮且卷舌的概率为（）A．116B．316C．716D．91613．【广东省佛山市第一中学2019-2020学年高一下学期期末】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽取的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为（）A．35B．310C．15D．11014．【广东省佛山市第一中学2019-2020学年高一下学期期末】甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，则下列说法正确的是（）A．甲获胜的概率是16B．甲不输的概率是12C．乙输的概率是13D．乙不输的概率是1215．【湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高一下学期期末】数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“垂帘画阁画帘垂，谁系怀思怀系谁？”既可以顺读也可以逆读，数学中有回文数，如343、12521等，两位数的回文数有11、22、33、…、99共9个，则三位数的回文数中为偶数的概率是（）A．19B．29C．39D．4916．【辽宁省沈阳市2020-2021学年高一上学期期末】设,,A B C为三个随机事件，若A与B互斥，B与C对立，且1()4P A=，()23P C=，则()P A B+=_____________．17．【山东省枣庄市2019-2020学年高一（下）期末】在一次全运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛．羽毛球的比赛规则是3局2胜制，假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率．为此，用计算机产生1～5之间的随机数，当出现随机数1，2或3时，表示一局比赛甲获胜，其概率为0.6．由于要比赛三局，所以每3个随机数为一组．例如，产生了20组随机数：423 231 423 344 114 453 525 323 152 342345 443 512 541 125 342 334 252 324 254相当于做了20次重复试验，用频率估计甲获得冠军的概率的近似值为_____．18．【福建省三明市2019-2020学年高一（下）期末】已知事件A B ，互相对立，且2P A P B （）＝（），则P （A ）＝_____．19．【陕西省宝鸡市渭滨区2019-2020学年高一下学期期末】甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是16，甲不输的概率是56，则甲赢的概率为______. 20．【重庆市九龙坡区2019-2020学年高一下学期期末】已知一个口袋有3个白球，1个黑球，这些球除颜色外全部相同，现从口袋中随机逐个取出两球，取出的两个球是一黑一白的概率是________.21．【北京市房山区2020-2021学年高一上学期期末】暑假期间，甲外出旅游的概率是14，乙外出旅游的概率是15，假定甲乙两人的行动相互之间没有影响，则暑假期间两人中至少有一人外出旅游的概率是__________.22．【湖南省怀化市2019-2020学年高一下学期期末】甲､乙两人随意入住两间空房，则甲､乙两人各住一间房的概率是_______23．【安徽师范大学附属中学2019-2020学年高一下学期期末】抛掷甲、乙两枚质地均匀且各面分别标有1，2，3，4，5，6的骰子，记正面向上的数字分别为x ，y ，则x y <的概率是__________.24．【延安市实验中学高一下学期期末】采用简单随机抽样从含10个个体的总体中抽取一个容量为4的样本,若个体a 前两次未被抽到,则第三次被抽到的概率为_____.25．【山西省朔州市怀仁一中2018-2019学年高一上学期期末】口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件A =“取出的两球同色”，B =“取出的2球中至少有一个黄球”，C =“取出的2球至少有一个白球”，D “取出的两球不同色”，E =“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为________.①A 与D 为对立事件；②B 与C 是互斥事件；③C 与E 是对立事件：④()1P C E =；⑤()()P B P C =.26．【安徽省淮北市树人高级中学2020-2021学年高一上学期期末】甲､乙两人独立破译一个密码，他们译出的概率分别为13和1.4求：（1）两人都译出的概率；（2）两人中至少一人译出的概率；（3）至多有一人译出的概率.27．【辽宁省营口市2020-2021学年高一上学期期末】甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为0.7，乙破译密码的概率为0.6.记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码. （1）求甲、乙二人都破译密码的概率；（2）求恰有一人破译密码的概率.28．【安徽省蚌埠市2020-2021学年高一上学期期末】袋中装有6个形状、大小完全相同的球，其中黑球2个、白球2个、红球2个，规定取出一个黑球记0分，取出一个白球记1分，取出一个红球记2分，抽取这些球的时候，谁也无法看到球的颜色，首先由甲取出3个球，并不再将它们放回原袋中，然后由乙取出剩余的3个球，规定取出球的总积分多者获胜.（1）求甲、乙成平局的概率；（2）从概率的角度分析先后取球的顺序是否影响比赛的公平性.29．【北京市东城区2019-2020学年度高一下学期期末统一检测】某医院首批援鄂人员中有2名医生，3名护士和1名管理人员.采用抽签的方式，从这六名援鄂人员中随机选取两人在总结表彰大会上发言.（Ⅰ）写出发言人员所有可能的结果构成的样本空间；（Ⅱ）求选中1名医生和1名护士发言的概率；（Ⅲ）求至少选中1名护士发言的概率.30．【山东省滕州一中2019-2020学年高一下学期期末】若5张奖券中有2张是中奖的，先由甲抽1张，然后由乙抽1张，求：（1）甲中奖的概率()P A；（2）甲､乙都中奖的概率()P B；（3）只有乙中奖的概率(C)P.。

北京市清华附中2017-2018学年第一学期高一期末数学试题(含精品解析)

2017-2018学年北京市清华附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 下列各角中，与50°的角终边相同的角是（）A. 40∘B. 140∘C. −130∘D. −310∘ 2. 设向量a⃗ =（0，2），b ⃗ =（√3，1），则a ⃗ ，b ⃗ 的夹角等于（） A. π3B. π6C. 2π3D. 5π63. 已知角α的终边经过点P （4，-3），则sin(π2+α)的值为（）A. 35B. −35C. 45D. −454. 为了得到函数y =cos （2x -π3）的图象，只需将函数y =cos2x 的图象（）A. 向左平移π6个单位长度 B. 向右平移π6个单位长度 C. 向左平移π3个单位长度D. 向右平移π3个单位长度5. 已知非零向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |且AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12，则△ABC 为（） A. 三边均不相等的三角形B. 直角三角形C. 等腰非等边三角形D. 等边三角形6. 同时具有性质“①最小正周期为π；②图象关于直线x =π3对称；③在[π6，π3]上是增函数”的一个函数是（）A. y =sin(x 2−π3) B. y =cos(2x +π6) C. y =sin(2x −π6)D. y =cos(2x +2π3)7. 定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x +2）=f （x ），且在[1，2]上是减函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则（） A. f (sinα)>f (cos β) B. f (sinα)<f (cos β) C. f (sin α)>f (sin β) D. f (cosα)<f (cos β)8. 若定义[-2018，2018]上的函数f （x ）满足：对任意x 1，x 2∈[-2018，2018]有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）-2017，且当x ＞0时，有f （x ）＞2017，设f （x ）的最大值、最小值分别为M ，m ，则M +m 的值为（） A. 0 B. 2018 C. 4034 D. 4036 二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 若θ为第四象限的角，且sinθ=−13，则cosθ=______；sin2θ=______．10. 已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a =1，b =√3，A +C =2B ，则△ABC的面积为______． 11. 已知tan x =2，则cos2x +sin （π+x ）cos （π2+x ）=______12. 已知α∈（0，π）且sin （α+π6）=13，则cos （α+π6）=______；sinα=______ 13. 如图，在直角梯形ABCD 中，AB //DC ，∠ABC =90°，AB =3，BC =DC =2，若E ，F分别是线段DC 和BC 上的动点，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是______． 14. 已知函数f （x ）=2sin2x -2sin 2x -a ．①若f （x ）=0在x ∈R 上有解，则a 的取值范围是______；②若x 1，x 2是函数y =f （x ）在[0，π2]内的两个零点，则sin （x 1+x 2）=______ 三、解答题（本大题共6小题，共80.0分） 15. 已知函数f （x ）=4sin x cos （x +π6）+1．（1）求f （π12）的值；（2）求f （x ）的最小正周期；（3）求f （x ）在区间[0，π2]上的最大值和最小值．16. 已知不共线向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=3，|b ⃗ |=5，（a ⃗ -3b ⃗ ）•（2a ⃗ +b ⃗ ）=20．（1）求a ⃗ •（a ⃗ -b ⃗ ）；（2）是否存在实数λ，使λa ⃗ +b ⃗ 与（a ⃗ -2b ⃗ ）共线？（3）若（k a⃗ +2b ⃗ ）⊥（a ⃗ -k b ⃗ ），求实数k 的值．17. 设锐角三角形的内角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin A -cos C =cos （A -B ）．（1）求B 的大小；（2）求cos A +sin C 的取值范围．18. 已知向量a ⃗ =（cosθ，sinθ），b ⃗ =（cosβ，sinβ）．（1）若|θ−β|=π3，求|a ⃗ −b ⃗ |的值；（2）若θ+β=π3记f （θ）=a ⃗ ⋅b ⃗ −λ|a ⃗ +b ⃗ |，θ∈[0，π2]．当1≤λ≤2时，求f （θ）的最小值．19. 借助计算机（器）作某些分段函数图象时，分段函数的表示有时可以利用函数ℎ(x)={0(x <0)1(x≥0)，例如要表示分段函数g （x ）={x(x ＞2)0(x =2)−x(x ＜2)Z 可以将g （x ）表示为g （x ）=xh （x -2）+（-x ）h （2-x ）．（1）设f （x ）=（x 2-2x +3）h （x -1）+（1-x 2）h （1-x ），请把函数f （x ）写成分段函数的形式；（2）已知G （x ）=[（3a -1）x +4a ]h （1-x ）+log a x ⋅h （x -1）是R 上的减函数，求a 的取值范围；（3）设F （x ）=（x 2+x -a +1）h （x -a ）+（x 2-x +a +1）h （a -x ），求函数F （x ）的最小值．20. 一个函数f （x ），如果对任意一个三角形，只要它的三边长a ，b ，c 都在f （x ）的定义域内，就有f （a ），f （b ），f （c ）也是某个三角形的三边长，则称f （x ）为“保三角形函数”．（1）判断f 1（x ）=x ，f 2（x ）=log 2（6+2sin x -cos 2x ）中，哪些是“保三角形函数”，哪些不是，并说明理由；（2）若函数g （x ）=ln x （x ∈[M ，+∞））是“保三角形函数”，求M 的最小值；（3）若函数h （x ）=sin x （x ∈（0，A ））是“保三角形函数”，求A 的最大值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由50°的角终边相同的角的集合为{α|α=50°+k•360°，k∈Z}．取k=-1，可得α=-310°．∴与50°的角终边相同的角是-310°．故选：D．写出与50°的角终边相同的角的集合，取k=-1得答案．本题考查终边相同角的概念，是基础题．2.【答案】A【解析】解：∵=（0，2），=（，1），∴•=||||cos＜，＞=0×+2×1=2，又||=||=2，∴cos＜，＞==，又＜，＞∈[0，π]，∴＜，＞=．故选：A．利用向量的数量积即可求得，的夹角的余弦，继而可求得，的夹角．本题考查向量的数量积表示两个向量的夹角，属于中档题．3.【答案】C【解析】解：∵角α的终边经过点P（4，-3），∴p到原点的距离为5∴sinα=，cosα=∴故选：C．利用任意角函数的定义求出cosα，利用三角函数的诱导公式化简求出值．已知一个角的终边过某一个点时，利用任意角的三角函数的定义求出三角函数值．4.【答案】B【解析】解：函数=cos2（x-），故把函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，故选：B．由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规率可得结论．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．5.【答案】D【解析】解：△ABC中，=，∴=，∴cos＜，＞=cos＜，＞，∴B=C，△ABC是等腰三角形；又，∴1×1×cosA=，∴cosA=，A=，∴△ABC是等边三角形．故选：D．根据=得出B=C，得出A=，由此判断△ABC是等边三角形．本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了三角形形状的判断问题，是基础题．6.【答案】C【解析】解：“①最小正周期是π，可得ω=2，排除选项A；②图象关于直线x=对称，可得：2×+=，cos=-，排除选项B，2×+=，cos=-，排除选项D；对于C，函数y=sin（2x-），最小正周期为π，且2×-=，sin=1，函数图象关于x=对称；x∈[，]时，2x-∈[，]，∴y=sin（2x-）是单调增函数，C满足条件．故选：C．根据三角函数的图象与性质，判断满足条件的函数即可．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．7.【答案】A【解析】解：根据题意，定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），则有f（-x）=f（x+2），即函数f（x）的图象关于直线x=1对称，又由函数f（x）在[1，2]上是减函数，则其在[0，1]上是增函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则α+β＞，则有α＞-β，则有sinα＞sin（-β）=cosβ，又由函数f（x）在[0，1]上是增函数，则f（sinα）＞f（cosβ）；故选：A ．根据题意，分析可得f （-x ）=f （x+2），即函数f （x ）的图象关于直线x=1对称，据此分析可得f （x ）在区间[0，1]上是增函数，由α，β是锐角三角形的两个内角便可得出sinα＞cosβ，从而根据f （x ）在（0，1）上是增函数即可得出f （sinα）＞f （cosβ），即可得答案．本题考查函数的奇偶性、周期性与周期性的综合应用，注意分析函数在（0，1）上的单调性． 8.【答案】C【解析】解：令x 1=x 2=0得f （0）=2f （0）-2017，∴f （0）=2017，令x 1=-x 2得f （0）=f （-x 2）+f （x 2）-2017=2017， ∴f （-x 2）+f （x 2）=4034，令g （x ）=f （x ）-2017，则g max （x ）=M-2017，g min （x ）=m-2017， ∵g （-x ）+g （x ）=f （-x ）+f （x ）-4034=0， ∴g （x ）是奇函数，∴g max （x ）+g min （x ）=0，即M-2017+m-2017=0， ∴M+m=4034．故选：C ．计算f （0）=2017，构造函数g （x ）=f （x ）-2017，判断g （x ）的奇偶性得出结论．本题考查了奇偶性的判断与性质，考查函数的最值求法，注意运用赋值法，属于中档题．9.【答案】2√23；-4√29【解析】解：∵θ为第四象限的角，且，∴cosθ==，sin2θ=2sinθcosθ=2×（-）×=-．故答案为：，-．由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosθ，进而利用二倍角的正弦函数公式可求sin2θ的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．10.【答案】√32【解析】解：∵A+C=2B ，A+B+C=π， ∴B=，由余弦定理得cosB===，解得c=2或c=-1（舍）． ∴S △ABC =sinB==．故答案为：．利用三角形的内角和解出B ，使用余弦定理解出c ，代入三角形的面积公式计算．本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，三角形的面积公式，属于中档题． 11.【答案】15【解析】解：∵tanx=2，则cos2x+sin （π+x ）cos （+x ）=cos2x-sinx•（-sinx ）=+=+=+=，故答案为：．利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，求得cos2x+sin （π+x ）cos （+x ）的值．本题主要考查诱导公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．12.【答案】−2√23；√3+2√26【解析】解：∵α∈（0，π），∴α+∈（），又sin （α+）=，∴cos （α+）=；则sinα=sin[（）-]=sin （）cos-cos （）sin==．故答案为：；．直接利用同角三角函数基本关系式求cos（α+）；再由sinα=sin[（）-]，展开两角差的正弦求解．本题考查两角和与差的三角函数，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．13.【答案】[-4，6]【解析】解：∵AB//DC，∠ABC=90°，AB=3，BC=DC=2，且E，F分别是线段DC和BC上的动点，∴=λ（0≤λ≤），=μ（-1≤μ≤0），又=+，=+，∴=（+）•（+）=（+）•（λ+μ）=λ+μ=9λ+4μ．∵0≤λ≤，∴0≤9λ≤6①，又-1≤μ≤0，∴-4≤4μ≤0②，①+②得：-4≤9λ+4μ≤6．即的取值范围是[-4，6]，故答案为：[-4，6]．依题意，设=λ（0≤λ≤），=μ（-1≤μ≤0），由=+，=+，可求得=（+）•（+）=λ+μ=9λ+4μ；再由0≤λ≤，-1≤μ≤0，即可求得-4≤9λ+4μ≤6，从而可得答案．本题考查平面向量数量积的坐标运算，设=λ（0≤λ≤），=μ（-1≤μ≤0），并求得=9λ+4μ是关键，考查平面向量加法的三角形法与共线向量基本定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．14.【答案】[−1−√5，√5−1]；2√55【解析】解：f（x）=2sin2x-2sin2x-a=2sin2x-（1-cos2x）-a=2sin2x+cos2x-1-a=-1-a．其中tanθ=①f（x）=0在x∈R上有解，则sin（2x+θ）=a+1有解，∵∴≤a+1．则a的取值范围是[，]，故答案为：[，]②∵x1，x2是函数y=f（x）在[0，]内的两个零点，那么x1，x2是关于在[0，]内的对称轴是对称的．由f（x）=-1-a．其中tanθ=其对称轴2x+θ=+kπ，k∈Z．x1，x2是关于在[0，]内的对称轴是对称的．∴对称轴x==∴x1+x2=．则sin（x1+x2）=sin（）=cosθ．∵tanθ=，即，∴cosθ=，则sin（x1+x2）=．故答案为：．①利用三角函数的公式化简，f（x）=0在x∈R上有解，转化为两个函数图象有交点问题即可求解；②x1，x2是函数y=f（x）在[0，]内的两个零点，即么x1，x2是关于在[0，]内的对称轴是对称的．即可求解本题主要考查了三角函数的图象及性质的应用，同角三角函数间的基本关系式，属于中档题． 15.【答案】解：函数f （x ）=4sin x （cos x cos π6-sin x sin π6）+1，=2√3sin x cosx-2sin 2x +1，=√3sin2x +cos2x ，=2sin （2x +π6），（1）f （π12）=2sin （2×π12+π6）=2sin π3=√3（2）周期T =2π2=π；（3）由x 在[0，π2]上，∴2x +π6∈[π6，7π6]，当2x +π6=7π6，即x =π2，f （x ）取得最小值为-1；当2x +π6=π2，即x =π6，f （x ）取得最大值为2．【解析】（1）根据两角和的余弦公式、二倍角公式及辅助角公式将f （x ）化简为f （x ）=2sin （2x+），即可计算；（2）根据周期公式求解即可；（3）由x 在[0，]上，求解内层函数的范围，结合三角函数的性质可得最值．本题考查三角函数的恒等变换、三角形面积公式、余弦定理以及三角函数图象与性质的综合应用，熟练掌握相关定理及公式是解题的关键，属于中档题16.【答案】解：（1）不共线向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=3，|b ⃗ |=5，（a ⃗ -3b ⃗ ）•（2a ⃗ +b ⃗ ）=20．所以：2a ⃗ 2−5a ⃗ ⋅b ⃗ −3b ⃗ 2=20，解得：a⃗ ⋅b ⃗ =775，所以：a ⃗ •（a ⃗ -b ⃗ ）=a ⃗ 2−a ⃗ ⋅b ⃗ =9−775=-325．（2）存在实数λ=12使λa⃗ +b ⃗ 与（a ⃗ -2b ⃗ ）共线．由于：λa ⃗ +b ⃗ =λ(a ⃗ −2b ⃗ )，故：（1-2λ）b ⃗ =0⃗ ，所以：λ=12．（3）若（k a ⃗ +2b ⃗ ）⊥（a ⃗ -k b ⃗ ），则：18k −775k 2+2⋅775−50k =0，整理得：k 2+16077k +2=0，由于△＜0，故方程无解．所以不存在实数，使（k a ⃗ +2b ⃗ ）⊥（a ⃗ -k b ⃗ ）．【解析】（1）直接利用向量的数量积的应用求出结果．（2）利用向量的共线求出λ的值．（3）利用向量垂直的充要条件求出结果．本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量垂直和共线的充要条件的应用．17.【答案】解：（1）设锐角三角形中，sin A -cos C =cos （A -B ），即sin A +cos （A +B ）=cos （A -B ），即sin A +cos A cos B -sin A sin B =cos A cos B +sin A sin B ，即sin A =2sin A sin B ，∴sin B =12，∴B =π6．（2）cos A +sin C =cos A +sin （π-A -B ）=cos A +sin （5π6-A ）=cos A +sin （π6+A ）=cos A +12cos A +√32sin A =√3sin （A +π3）． ∵B =π6，∴A ∈（π3，π2），A +π3∈（2π3，5π6），∴sin （A +π3）∈（12，√32），∴√3sin （A +π3）∈（√32，32），即cos A +sin C 的取值范围为（√32，32）．【解析】（1）利用诱导公式，两角和差的三角公式，化简所给的式子，求得sinB 的值，可得B 的值．（2）化简要求的式子sin （A+），根据A ∈（，），利用正弦函数的定义域和值域，求得cosA+sinC 的取值范围．本题主要考查诱导公式，两角和差的三角公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．18.【答案】解：（1）∵向量a ⃗ =（cosθ，sinθ），b ⃗ =（cosβ，sinβ）， ∴a ⃗ -b ⃗ =（cosθ-cosβ）+（sinθ-sinβ），∴|a ⃗ -b ⃗ |2=（cosθ-cosβ）2+（sinθ-sinβ）2=2-2cos （θ-β）=2-2cos π3=2-1=1，∴|a ⃗ -b ⃗ |=1；（2）a ⃗ •b ⃗ =cosθcosβ+sinθsinβ=cos （θ-β）=cos （2θ-π3），∴|a ⃗ +b ⃗ |=√2+2cos(θ−β)=2|cos （θ-π6）|=2cos （θ-π6），∴f （θ）=cos （2θ-π3）-2λcos （θ-π6）=2cos 2（θ-π3）-2λcos （θ-π6）-1令t =cos （θ-π6），则t ∈[12，1]，∴f （t ）=2t 2-2λt -1=2（t -λ2）2-λ24-1，又1≤λ≤2，12≤λ2≤1，∴t =λ2时，f （t ）有最小值-λ24-1， ∴f （θ）的最小值为-λ24-1．【解析】（1）根据向量的坐标运算和向量的模以及两角和差即可求出答案，（2）根据向量的数量积和二倍角公式化简得到f （θ）=2cos 2（θ-）-2λcos （θ-）-1，令t=cos （θ-），根据二次函数的性质即可求出．本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积以及三角函数的化简，以及二次函数的性质，属于中档题．19.【答案】解：（1）当x ＞1时，x -1＞0，1-x ＜0，可得f （x ）=（x 2-2x +3）+0•（1-x 2）=x 2-2x +3；当x =1时，f （x ）=2；当x ＜1时，x -1＜0，1-x ＞0，可得f （x ）=1-x 2．即有f （x ）={x 2−2x +3，x ＞12，x =11−x 2，x ＜1；（2）G （x ）=[（3a -1）x +4a ]h （1-x ）+log a x ⋅h （x -1）={log ax,x >1(3a−1)x+4a,x≤1，由y =G （x ）是R 上的减函数，可得{3a −1＜03a −1+4a ≥00＜a ＜1，解得17≤a ＜13；（3）F （x ）=（x 2+x -a +1）h （x -a ）+（x 2-x +a +1）h （a -x ），当x ＞a 时，x -a ＞0，可得F （x ）=x 2+x -a +1；若a ≥-12，可得F （x ）在x ＞a 递增，可得F （x ）＞F （a ）=a 2+1；若a ＜-12，可得F （x ）的最小值为F （-12）=34-a ；当x =a 时，可得F （x ）=2（a 2+1）；当x ＜a 时，x -a ＜0，a -x ＞0，则F （x ）=x 2-x +a +1．若a ≥12，可得F （x ）在x ＜a 的最小值为F （12）=a +34；若a ＜12，可得F （x ）在x ＜a 递减，即有F （x ）＞F （a ）=a 2+1．①当a ≥12时，F （x ）在区间（-∞，-12）上单调递减，在区间（-12，a ）上单调递增，在区间（a ，+∞）上单调递增，可得F （-12）为最小值，且为14-12+a +1=a +34；②当-12＜a ＜12时，F （x ）在区间（-∞，a ）上单调递减，在区间（a ，+∞）上单调递增．F （x ）的最小值为F （a ）=a 2+1；③当a ≤-12时，在区间（-∞，a ）上单调递减，在区间（a ，-12）上单调递减，在区间（-12，+∞）上单调递增．所以F （x ）的最小值为F （12）=-a +34；综上所述，得当a ≤-12时，F （x ）的最小值为-a +34；当a ≥12时，F （x ）的最小值为为a +34；当-12＜a ＜12时，F （x ）的最小值为F （a ）=a 2+1．【解析】（1）分当x ＞1、当x=1和当x ＜1时3种情况加以讨论，分别根据S （x ）的对应法则代入，可得f （x ）相应范围内的表达式，最后综合可得函数f （x ）写成分段函数的形式；（2）运用分段函数形式表示G （x ），再由一次函数、对数函数的单调性，可得a 的范围；（3）由题意，讨论x ＞a ，x=a ，x ＜a ，求得F （x ）的解析式，再结合二次函数的图象与性质，分a≥、-＜a ＜和a≤-的4种情况进行讨论，最后综合可得F （x ）的最小值．本题以分段函数和含有字母参数的二次函数为载体，讨论函数的单调性与最小值，着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数解析式的求解及常用方法和单调性的综合等知识，属于难题．20.【答案】解：（1）不妨设a ≤c ，b ≤c ，由a +b ＞c ，可得f 1（a ）+f 1（b ）＞f 1（c ），即有f 1（x ）=x 为“保三角形函数”；由6+2sin x -cos 2x =sin 2x +2sin x +5=（sin x +1）2+4∈[4，8]，可得f 2（x ）∈[2，3]，即有2+2＞3，可得f 2（x ）为“保三角形函数”；（2）函数g （x ）=ln x （x ∈[M ，+∞））是“保三角形函数”，可得a ≥M ，b ≥M ，a +b ＞c ，即有a -1≥M -1；b -1≥M -1，则（a -1）（b -1）≥（M -1）2，即ab ≥a +b -1+（M -1）2＞c -1+（M -1）2，只要-1+（M -1）2≥0，解得M ≥2，即M 的最小值为2；（3）A 的最大值是5π6．①当A ＞5π6时，取a =5π6=b ，c =π2，显然这3个数属于区间（0，A ），且可以作为某个三角形的三边长，但这3个数的正弦值12、12、1显然不能作为任何一个三角形的三边，故此时，h （x ）=sin x ，x ∈（0，A ）不是保三角形函数．②当A =5π6时，对于任意的三角形的三边长a 、b 、c ∈（0，5π6），若a +b +c ≥2π，则a ≥2π-b -c ＞2π-5π6-5π6=π3，即a ＞π3，同理可得b ＞π3，c ＞π3，∴a 、b 、c ∈（π3，5π6），∴sin a 、sin b 、sin c ∈（12，1]．由此可得sin a +sin b ＞12+12=1≥sin c ，即sin a +sin b ＞sin c ，同理可得sin a +sin c ＞sin b ，sin b +sin c ＞sin a ，故sin a 、sin b 、sin c 可以作为一个三角形的三边长．若a +b +c ＜2π，则a+b 2+c 2＜π，当a+b 2≤π2时，由于a +b ＞c ，∴0＜c 2＜a+b 2≤π2， ∴0＜sin c 2＜sin a+b 2≤1．当a+b 2＞c 2时，由于a +b ＞c ，∴0＜c 2＜a+b 2＜π2， ∴0＜sin c 2＜sin a+b2＜1．综上可得，0＜sin c 2＜sina+b2≤1．再由|a -b |＜c ＜5π6，以及y =cos x 在（ 0，π）上是减函数，可得cos a−b2=cos |a−b|2＞cos c 2＞cos 5π12＞0，∴sin a +sin b =2sin a+b2cos a−b2＞2sin c 2cos c2=sin c ，同理可得sin a +sin c ＞sin b ，sin b +sin c ＞sin a ，故sin a 、sin b 、sin c 可以作为一个三角形的三边长．故当A =5π6时，h （x ）=sin x ，x ∈（0，A ）是保三角形函数，故A 的最大值为5π6．【解析】（1）不妨设a≤c ，b≤c ，由函数的值域，即可得到结论；（2）由对数函数的性质和对数的运算性质，可得M 的最小值；（3）A 的最大值是，讨论①当A ＞时；②当A=时；结合新定义和三角函数的恒等变换，即可得到最大值．本题考查新定义的理解和运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于综合题．。

北京市西城区2017 - 2018学年度第二学期期末考试高一数学试卷

北京市西城区2017 - 2018学年度第二学期期末考试高一数学试卷北京市西城区2017-2018学年度第二学期期末试卷高一数学2018.7 A卷 [立体几何初步与解析几何初步] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1.已知点 M(-1,2)，N(3,0)，则点 M 到点 N 的距离为（）。

A) 2 (B) 4 (C) 5 (D) 2√52.直线 x-y-3=0 的倾斜角为（）。

A) 45 (B) 60 (C) 120 (D) 1353.直线 y=2x-2 与直线 l 关于 y 轴对称，则直线 l 的方程为（）。

A) y=-2x+2 (B) y=-2x-2 (C) y=2x+2 (D) y=1/x-14.已知圆 M: x^2+y^2=1 与圆 N: (x-2)^2+y^2=9，则两圆的位置关系是（）。

A) 相交 (B) 相离 (C) 内切 (D) 外切5.设m,n 为两条不重合的直线，α,β 为两个不重合的平面，m,n 既不在α 内，也不在β 内。

则下列结论正确的是（）。

A) 若m//α，n//α，则 m//n。

B) 若 m//n，n//α，则m//α。

C) 若 m⊥α，n⊥α，则 m⊥n。

D) 若 m⊥α，m⊥β，则α⊥β。

6.若方程 x^2+y^2-4x+2y+5k=0 表示圆，则实数 k 的取值范围是（）。

A) (-∞,1) (B) (-∞,1] (C) [1,+∞) (D) R7.圆柱的侧面展开图是一个边长为 2 的正方形，那么这个圆柱的体积是（）。

A) π (B) π/2 (C) 2π (D) π/28.方程 x=1-y^2 表示的图形是（）。

A) 两个半圆 (B) 两个圆 (C) 圆 (D) 半圆9.如图，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是梯形，XXX。

若平面 PAD 平面 PBC∥l，则（）。

2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题(A卷)

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 以下程序中，输出时的值是输入时的值的（）A. 1倍B. 2倍C. 3倍D. 4倍【答案】D【解析】令初始值A＝a，则A＝2(a＋a)＝4a．故选D.2. 已知数列是等比数列，，且，，成等差数列，则（）A. 7B. 12C. 14D. 64【答案】C【解析】分析：先根据条件解出公比，再根据等比数列通项公式求结果.详解：因为，，成等差数列，所以所以，选C.点睛：本题考查等比数列与等差数列基本量，考查基本求解能力.3. 将1000名学生的编号如下：0001，0002，0003，…，1000，若从中抽取50个学生，用系统抽样的方法从第一部分0001，0002，…，0020中抽取的号码为0015时，抽取的第40个号码为（）A. 0795B. 0780C. 0810D. 0815【答案】A【解析】分析：先确定间距，再根据等差数列通项公式求结果.详解：因为系统抽样的方法抽签，所以间距为所以抽取的第40个数为选A.点睛：本题考查系统抽样概念，考查基本求解能力.4. 已知动点满足，则的最大值是（）A. 50B. 60C. 70D. 90【答案】D【解析】分析：先作可行域，根据图像确定目标函数所代表直线取最大值时得最优解.详解:作可行域，根据图像知直线过点A(10,20)时取最大值90，选D,点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.5. 若干个人站成一排，其中为互斥事件的是（）A. “甲站排头”与“乙站排头”B. “甲站排头”与“乙不站排头”C. “甲站排头”与“乙站排尾”D. “甲不站排头”与“乙不站排尾”【答案】A【解析】试题分析：事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生。

2018届高三上学期期末联考数学(理)试题有答案-精品

2017—2018学年度第一学期期末联考试题高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分全卷满分150分，考试时间120分钟．注意：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．1．设集合{123}A =，，，{45}B =，，{|}M x x a b a A b B ==+∈∈，，，则M 中的元素个数为A ．3B ．4C ．5D ．62．在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为 A ．125B ．925C ．1625D ．24253．设i 为虚数单位，则下列命题成立的是A ．a ∀∈R ，复数3i a --是纯虚数B ．在复平面内i(2i)-对应的点位于第三限象C ．若复数12i z =--，则存在复数1z ，使得1z z ∈RD ．x ∈R ，方程2i 0x x +=无解4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215109S a a a =+=，，则1a =A ．19B ．19-C ．13D ．13-5．已知曲线421y x ax =++在点(1(1))f --，处切线的斜率为8，则(1)f -=试卷类型：A天门仙桃潜江A ．7B ．－4C ．－7D ．4 6．84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是A ．56B ．84C ．112D ．1687．已知一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 A ．4cm 3B ．5 cm 3C ．6 cm 3D ．7 cm 38．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像如图所示，则(1)(2)(3)(18)f f f f ++++的值等于ABC 2D ．19．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1，2，3…，24 这24个整数中等可能随机产生。

高一数学上学期期末考试试题(含解析)-人教版高一全册数学试题

某某省实验中学2017-2018学年高一数学上学期期末考试试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】则故选2. 直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】直线的斜率为直线的倾斜角为：，可得：故选3. 计算，其结果是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】原式故选4. 已知四面体中，，分别是，的中点，若，，，则与所成角的度数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，取的中点，连接，，则，（或补角）是与所成的角，，，，，而故选5. 直线在轴上的截距是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】直线在轴上的截距就是在直线方程中，令自变量，直线在轴上的截距为故选6. 已知，是两个不同的平面，给出下列四个条件：①存在一条直线，使得，；②存在两条平行直线，，使得，，，；③存在两条异面直线，，使得，，，；④存在一个平面，使得，．其中可以推出的条件个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】当，不平行时，不存在直线与，都垂直，，，故正确；存在两条平行直线，，，，，，则，相交或平行，所以不正确；存在一个平面，使得，，则，相交或平行，所以不正确；故选7. 已知梯形是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图（如图所示），其中，，，则直角梯形边的长度是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据斜二测画法，原来的高变成了方向的线段，且长度是原高的一半，原高为而横向长度不变，且梯形是直角梯形，故选8. 经过点的直线到，两点的距离相等，则直线的方程为（）A. B.C. 或D. 都不对【答案】C【解析】当直线的斜率不存在时，直线显然满足题意；当直线的斜率存在时，设直线的斜率为则直线为，即由到直线的距离等于到直线的距离得：，化简得：或（无解），解得直线的方程为综上，直线的方程为或故选9. 已知函数的图象与函数（，）的图象交于点，如果，那么的取值X围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知中两函数的图象交于点，由指数函数的性质可知，若，则，即，由于，所以且，解得，故选D.点睛：本题考查了指数函数与对数函数的应用，其中解答中涉及到指数函数的图象与性质、对数函数的图象与性质，以及不等式关系式得求解等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质，构造关于的不等式是解答的关键，试题比较基础，属于基础题.10. 矩形中，，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意知，球心到四个顶点的距离相等，球心在对角线上，且其半径为长度的一半为故选11. 若关于的方程在区间上有解，则实数的取值X围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：函数在区间上的值域为实数的取值X围是故选点睛：本小题考查的是学生对函数最值的应用的知识点的掌握。

北京市朝阳区2017-2018学年高三上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析

2017-2018学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，，则M∩N=（）A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|x≥0} D．{x|﹣1＜x≤0}2．复数z=i（1+i）（i是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为（）A．（1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）3．执行如图所示的程序框图，则输出的i值为（）A．3 B．4 C．5 D．64．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有（）A．30辆B．300辆C．170辆D．1700辆5．“a＞1”是“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知点Q（2，0）及抛物线x2=4y上一动点P（x，y），则y+|PQ|的最小值是（）A．B．1 C．2 D．37．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（）A．27 B．30 C．32 D．368．设函数f（x）的定义域D，如果存在正实数m，使得对任意x∈D，都有f（x+m）＞f（x），则称f（x）为D上的“m型增函数”．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x﹣a|﹣a（a∈R）．若f（x）为R上的“20型增函数”，则实数a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＜5 C．a＜10 D．a＜20二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．函数y=2sin（2x+）+1的最小正周期是，最小值是．10．若x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为．11．在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=2，则a1+2a3的最小值是．12．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，甲同学不与老师相邻，则不同站法种数为．13．已知A，B为圆C：（x﹣m）2+（y﹣n）2=9（m，n∈R）上两个不同的点（C为圆心），且满足，则|AB|= ．14．已知点O在△ABC的内部，且有=，记△AOB，△BOC，△AOC的面积分别为S△AOB，S△BOC，S△AOC．若x=y=z=1，则S△AOB：S△BOC：S△AOC= ；若x=2，y=3，z=4，则S△AOB：S△BOC：S△AOC= ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学来自不同班级的概率；（Ⅱ）设X为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．16．如图，在△ABC中，点D在BC边上，，．（Ⅰ）求sin∠C的值；（Ⅱ）若BD=5，求△ABD的面积．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB=60°．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若PA=PD=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．18．已知函数f（x）=ax+lnx，其中a∈R．（Ⅰ）若f（x）在区间上为增函数，求a的取值范围；（Ⅱ）当a=﹣e时，（ⅰ）证明：f（x）+2≤0；（ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由．19．已知圆O：x2+y2=1的切线l与椭圆C：x2+3y2=4相交于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）求证：OA⊥OB；（Ⅲ）求△OAB面积的最大值．20．已知有穷数列：的各项均为正数，且满足条件：①a1=a k；②．（Ⅰ）若k=3，a1=2，求出这个数列；（Ⅱ）若k=4，求a1的所有取值的集合；（Ⅲ）若k是偶数，求a1的最大值（用k表示）．2015-2016学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，，则M∩N=（）A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|x≥0} D．{x|﹣1＜x≤0}【考点】交集及其运算．【分析】求出N中不等式的解集确定出N，找出M与N的交集即可．【解答】解：由N中不等式变形得：x（x﹣1）≤0，且x≠1，解得：0≤x＜1，即N={x|0≤x＜1}，∵M={x|﹣1＜x＜1}，∴M∩N={x|0≤x＜1}，故选：A．2．复数z=i（1+i）（i是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为（）A．（1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】先将z=i（1+i）化简，从而判断即可．【解答】解：z=i（1+i）=﹣1+i，∴复数z=i（1+i）（i是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为：（﹣1，1），故选：D．3．执行如图所示的程序框图，则输出的i值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的m，i的值，当m=0时满足条件m=0，退出循环，输出i的值为4．【解答】解：模拟执行程序框图，可得m=1，i=1，m=1×（2﹣1）+1=2，i=2，不满足条件m=0，m=2×（2﹣2）+1=1，i=3，不满足条件m=0，m=1×（2﹣3）+1=0，i=4，满足条件m=0，退出循环，输出i的值为4．故选：B．4．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有（）A．30辆B．300辆C．170辆D．1700辆【考点】频率分布直方图．【分析】由频率分布直方图求出在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率，由此能估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有多少辆．【解答】解：由频率分布直方图得：在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率为（0.03+0.035+0.02）×10=0.85，∴估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有：2000×0.85=1700（辆）．故选：D．5．“a＞1”是“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增，则f′（x）≥0恒成立，即f′（x）=a﹣sinx≥0，即a≥sinx，∵﹣1≤sinx≤1，∴a≥1，则“a＞1”是“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”充分不必要条件，故选：A．6．已知点Q（2，0）及抛物线x2=4y上一动点P（x，y），则y+|PQ|的最小值是（）A．B．1 C．2 D．3【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线的准线是y=﹣1，焦点F（0，1）．设P到准线的距离为d，利用抛物线的定义得出：y+|PQ|=d﹣1+|PQ|=|PF|+|PQ|﹣1≥|FQ|﹣1，利用当且仅当F、Q、P共线时取最小值，从而得出故y+|PQ|的最小值．【解答】解：抛物线x2=4y的准线是y=﹣1，焦点F（0，1）．设P到准线的距离为d，则y+|PQ|=d﹣1+|PQ|=|PF|+|PQ|﹣1≥|FQ|﹣1=3﹣1=2（当且仅当F、Q、P共线时取等号）故y+|PQ|的最小值是2．故选C．7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（）A．27 B．30 C．32 D．36【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为侧放的四棱锥，作出直观图，代入数据计算四个侧面的面积．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示，其中底面ABCD是边长为3的正方形，DA⊥平面PAB，AP⊥平面ABCD，AP=4，∴CD⊥平面PAD，PB=PD=5，∴S△ADP==6，S△ABP==6，S△CDP==，S△CBP==．∴四棱锥的侧面积S=6+6++=27．故选A．8．设函数f（x）的定义域D，如果存在正实数m，使得对任意x∈D，都有f（x+m）＞f（x），则称f（x）为D上的“m型增函数”．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x﹣a|﹣a（a∈R）．若f（x）为R上的“20型增函数”，则实数a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＜5 C．a＜10 D．a＜20【考点】函数的值．【分析】由已知得f（x）=，f（x+20）＞f（x），由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x﹣a|﹣a（a∈R），∴f（x）=，∵f（x）为R上的“20型增函数”，∴f（x+20）＞f（x），当x=0时，|20﹣a|﹣a＞0，解得a＜10．∴实数a的取值范围是a＜10．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．函数y=2sin（2x+）+1的最小正周期是π，最小值是﹣1 ．【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用正弦函数的周期性和最小值，得出结论．【解答】解：函数y=2sin（2x+）+1的最小正周期是=π，最小值为﹣2+1=﹣1，故答案为：π，﹣1．10．若x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为 4 ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，1），化目标函数z=x+y为y=﹣x+z．由图可知，当直线y=﹣x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为4．故答案为：4．11．在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=2，则a1+2a3的最小值是4．【考点】等比数列的通项公式；数列的函数特性．【分析】由基本不等式可得，a1+2a3≥2=，结合已知即可求解【解答】解：∵a2=2，且a n＞0由基本不等式可得，a1+2a3≥2==4即最小值为故答案为：12．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，甲同学不与老师相邻，则不同站法种数为12 ．【考点】计数原理的应用．【分析】由题意，甲必须站两端，有2种方法，其余3名同学，有=6种方法，根据乘法原理，可得结论．【解答】解：由题意，甲必须站两端，有2种方法，其余3名同学，有=6种方法，根据乘法原理，共有2×6=12种方法．故答案为：12．13．已知A，B为圆C：（x﹣m）2+（y﹣n）2=9（m，n∈R）上两个不同的点（C为圆心），且满足，则|AB|= 4 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求得圆的圆心和半径，运用向量的减法运算和数量积的性质：向量模的平方即为向量的平方，求得|+|2+||2=36，即可得到所求值．【解答】解：由圆C：（x﹣m）2+（y﹣n）2=9可得，圆心C（m，n），半径为3，由题意可得||=||=3，由|+|2+||2=|+|2+|﹣|2=2+2+2•+2+2﹣2•=2（2+2）=2（32+32）=36，由，可得||2=16，即有||=4．故答案为：4．14．已知点O在△ABC的内部，且有=，记△AOB，△BOC，△AOC的面积分别为S△AOB，S△BOC，S△AOC．若x=y=z=1，则S△AOB：S△BOC：S△AOC= 1：1：1 ；若x=2，y=3，z=4，则S△AOB：S△BOC：S△AOC= 4：2：3 ．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】（1）由=，得O是△ABC的重心，故S△AOB=S△BOC=S△AOC，得出答案；（2）延长OA，OB，OC，使OD=2OA，OE=3OB，OF=4OC，结合已知可得O是△DEF的重心，故△DOE，△EOF，△DOF的面积相等，进而得到答案．【解答】解：若=，则O是△ABC的重心，∴S△AOB=S△BOC=S△AOC=S△ABC，∴S△AOB：S△BOC：S△AOC=1：1：1．若2+3+4=，延长OA，OB，OC，使OD=2OA，OE=3OB，OF=4OC，如图所示：则，∴O是△DEF的重心，∴S△DOE=S△EOF=S△DOF．∴S△AOB==×OD×sin∠AOB=S△DOE，S△BOC==OFsin∠BOC=S△EOF，S△AOC==OFsin∠BOC=S△DOF，∴S△AOB：S△BOC：S△AOC=：： =4：2：3．故答案为1：1：1，4：2：3．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学来自不同班级的概率；（Ⅱ）设X为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A，利用排列组合知识能求出选出的3名同学来自班级的概率．（Ⅱ）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和随机变量X的数学期望E（X）．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A，则P（A）==．所以选出的3名同学来自班级的概率为．…（Ⅱ）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴随机变量X的分布列是随机变量X的数学期望E（X）==．16．如图，在△ABC中，点D在BC边上，，．（Ⅰ）求sin∠C的值；（Ⅱ）若BD=5，求△ABD的面积．【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）由同角三角函数基本关系式可求sin∠ADB，由．利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求值得解．（Ⅱ）先由正弦定理求AD的值，再利用三角形面积公式即可得解．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为，所以．又因为，所以．所以=．…（Ⅱ）在△ACD中，由，得．所以．…17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB=60°．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若PA=PD=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）推导出AB∥CD，从而AB∥面PCD，由此能证明AB∥EF．（Ⅱ）取AD中点G，连接PG，GB．以G为原点，GA为x轴，GB为y轴，GP为z轴，建立空间直角坐标系G﹣xyz．利用向量法能求出平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）因为底面ABCD是菱形，所以AB∥CD．又因为AB⊄面PCD，CD⊂面PCD，所以AB∥面PCD．又因为A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，所以AB∥EF．…解：（Ⅱ）取AD中点G，连接PG，GB．因为PA=PD，所以PG⊥AD．又因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PG⊥平面ABCD．所以PG⊥GB．在菱形ABCD中，因为AB=AD，∠DAB=60°，G是AD中点，所以AD⊥GB．如图，以G为原点，GA为x轴，GB为y轴，GP为z轴，建立空间直角坐标系G﹣xyz．设PA=PD=AD=2a，则G（0，0，0），A（a，0，0），．又因为AB∥EF，点E是棱PC中点，所以点F是棱PD中点．所以，．所以，．设平面AFE的法向量为n=（x，y，z），则有所以令x=3，则平面AFE的一个法向量为．因为BG⊥平面PAD，所以是平面PAF的一个法向量．因为，所以平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值为．…18．已知函数f（x）=ax+lnx，其中a∈R．（Ⅰ）若f（x）在区间上为增函数，求a的取值范围；（Ⅱ）当a=﹣e时，（ⅰ）证明：f（x）+2≤0；（ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，分离出a，结合函数的单调性求出a的范围即可；（Ⅱ）（i）解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出f（x）的最大值，证出结论；（ii）求出|f（x）|≥2，令g（x）=+，求出g（x）的最大值小于|f（x）|的最小值，从而判断无解．【解答】解：函数f（x）定义域x∈（0，+∞），f′（x）=a+，（Ⅰ）因为f（x）在区间上为增函数，所以f′（x）≥0在x∈上恒成立，即，在x∈上恒成立，则．…（Ⅱ）当a=﹣e时，f（x）=﹣ex+lnx，．（ⅰ）令f′（x）=0，得．令f′（x）＞0，得，所以函数f（x）在单调递增．令f′（x）＜0，得，所以函数f（x）在单调递减．所以，．所以f（x）+2≤0成立．…（ⅱ）由（ⅰ）知，f（x）max=﹣2，所以|f（x）|≥2．设．所以．令g'（x）=0，得x=e．令g'（x）＞0，得x∈（0，e），所以函数g（x）在（0，e）单调递增，令g'（x）＜0，得x∈（e，+∞），所以函数g（x）在（e，+∞）单调递减；所以，，即g（x）＜2．所以|f（x）|＞g（x），即|f（x）|＞．所以，方程|f（x）|=没有实数解．…19．已知圆O：x2+y2=1的切线l与椭圆C：x2+3y2=4相交于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）求证：OA⊥OB；（Ⅲ）求△OAB面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得椭圆的a，b，c，由离心率公式可得所求值；（Ⅱ）讨论切线的斜率不存在和存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，化简整理，即可得证；（Ⅲ）因为直线AB与圆O相切，则圆O半径即为△OAB的高．讨论当l的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知|AB|=2．则S△OAB=1．当l的斜率存在时，运用弦长公式和点到直线的距离公式，运用基本不等式可得面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知a2=4，，即有．则．故椭圆C的离心率为；（Ⅱ）证明：若切线l的斜率不存在，则l：x=±1．在中，令x=1得y=±1．不妨设A（1，1），B（1，﹣1），则．可得OA⊥OB；同理，当l：x=﹣1时，也有OA⊥OB．若切线l的斜率存在，设l：y=kx+m，依题意，即k2+1=m2．由，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣4=0．显然△＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．所以．所以=====．所以OA⊥OB．综上所述，总有OA⊥OB成立．（Ⅲ）因为直线AB与圆O相切，则圆O半径即为△OAB的高．当l的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知|AB|=2．则S△OAB=1．当l的斜率存在时，由（Ⅱ）可知，====．所以=，（当且仅当时，等号成立）．所以．此时，．综上所述，当且仅当时，△OAB面积的最大值为．20．已知有穷数列：的各项均为正数，且满足条件：①a1=a k；②．（Ⅰ）若k=3，a1=2，求出这个数列；（Ⅱ）若k=4，求a1的所有取值的集合；（Ⅲ）若k是偶数，求a1的最大值（用k表示）．【考点】数列的应用．【分析】（Ⅰ）∵k=3，a1=2，由①知a3=2；由②知，，整理得，a2．即可得出a3．（II）若k=4，由①知a4=a1．由于，解得或．分类讨论即可得出．（Ⅲ）依题意，设k=2m，m∈N*，m≥2．由（ II）知，或．假设从a1到a2m恰用了i次递推关系，用了2m﹣1﹣i次递推关系，则有，其中|t|≤2m ﹣1﹣i，t∈Z．对i分类讨论即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵k=3，a1=2，由①知a3=2；由②知，，整理得，．解得，a2=1或．当a2=1时，不满足，舍去；∴这个数列为．（Ⅱ）若k=4，由①知a4=a1．∵，∴．∴或．如果由a1计算a4没有用到或者恰用了2次，显然不满足条件；∴由a1计算a4只能恰好1次或者3次用到，共有下面4种情况：（1）若，，，则，解得；（2）若，，，则，解得a1=1；（3）若，，，则，解得a1=2；（4）若，，，则，解得a1=1；综上，a1的所有取值的集合为．（Ⅲ）依题意，设k=2m，m∈N*，m≥2．由（ II）知，或．假设从a1到a2m恰用了i次递推关系，用了2m﹣1﹣i次递推关系，则有，其中|t|≤2m﹣1﹣i，t∈Z．当i是偶数时，t≠0，无正数解，不满足条件；当i是奇数时，由得，∴．又当i=1时，若，有，，即．∴a1的最大值是2m﹣1．即．2016年8月22日。

新人教版2017—2018学年度上学期期末教学质量监测九年级数学试卷

新⼈教版2017—2018学年度上学期期末教学质量监测九年级数学试卷2017—2018学年度上学期期末教学质量监测九年级数学试卷（考试时间90分钟，试卷满分120分）⼀、选择题：（每题3分，计24分）1、⼀元⼆次⽅程2280x -=的解是（）1212. 2 . 2 . 2, 2 . A x B x C x x D x x ==-==-==2、在平⾯直⾓坐标系中，点P （2，⼀ 4）关于原点对称的点的坐标是（） A.（2,4 ） B.（⼀2，4） C.（⼀2，⼀4） D.（⼀4，2） 3、下列说法中，正确的是（）A. 随机事件发⽣的概率为1B.. 概率很⼩的事件不可能发⽣C. 不可能事件发⽣的概率为0D. 投掷⼀枚质地均匀的硬币1000次，正⾯朝上的次数⼀定是500次 4、如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，连接AC ，AD,若∠ADC=55°，则∠CAB 的度数为（） A.35° B.45° C.55° D.65°5、⼀个不透明的袋中装有除颜⾊外均相同的5个红球和n 个黄球，从中随机摸出⼀个，摸到红球的概率是58，则n 是（） A.5 B.8C.3D.136、如图，⊙O 与正⽅形ABCD 的边AB,AD 相切，且DE 与⊙O 相切与点E 。

若⊙O 的半径为5，且AB=12，则DE=（）（4题图）A.5B. 6C.7D. 1727、“赶陀螺”是⼀项深受⼈们喜爱的运动，如图所⽰是⼀个陀螺的⽴体结构图，已知底⾯圆的直径AB=6cm ，圆柱体部分的⾼BC=5cm,圆锥体部分的⾼CD=4cm,则这个陀螺的表⾯积是（）A. 284cm πB.245cm πC. 274cm πD.254cm π8、已知⼆次函数221y ax ax =--（a 是常数，0a ≠），下列结论正确的是（） A.当a = 1时，函数图像经过点（⼀1，0）B. 当a = ⼀2时，函数图像与x 轴没有交点C. 若 0a ＜，函数图像的顶点始终在x 轴的下⽅D. 若 0a﹥，则当1x ≥时，y 随x 的增⼤⽽增⼤⼆、填空题（每⼩题3分，共21分）9、若m 是⽅程210x x +-=的⼀个根，则代数式22018m m +-=_______________ 10、将抛物线24y x =向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式_____________________11、在4张完全相同的卡⽚上分别画上①、②、③、④。

三角函数中的恒等变换应用-高中数学知识点讲解(含答案)

三角函数中的恒等变换应用（北京习题集）（教师版）一．选择题（共6小题）1．（2017秋•东城区期末）若)3cos ,(,)x x x ϕϕππ+=-∈-，则ϕ等于( ) A ．3π-B ．3πC ．56π D ．56π-2．（2019•石景山区一模）已知函数()sin f x a x x =-的一条对称轴为6x π=-，12()()0f x f x +=，且函数()f x 在1(x ，2)x 上具有单调性，则12||x x +的最小值为( ) A ．6πB ．3π C ．23π D ．43π 3．（2018•海淀区二模）关于函数()sin cos f x x x x =-，下列说法错误的是( ) A ．()f x 是奇函数 B ．0不是()f x 的极值点C ．()f x 在(,)22ππ-上有且仅有3个零点D ．()f x 的值域是R4．（2017春•西城区期末）函数()f x x x =-在区间[0，]π上的最大、最小值分别为( )A ．π，0B ．2π- C ．,14ππ- D ．0,14π-5．（2017春•海淀区校级期中）已知函数21()(2cos 1)sin 2cos42f x x x x =-+，若(2πα∈，)π且()f α=α的值是( ) A ．58πB ．1116πC ．916π D ．78π6．（2015秋•丰台区期末）函数()sin 22f x x x =+在区间[0，]π上的零点之和是( ) A ．23πB ．712π C ．76π D ．43π 二．填空题（共5小题）7．（2018春•丰台区期末）已知函数2()cos cos f x x x x =+，则()f x 的最小正周期为；最大值为． 8．（2017•海淀区校级三模）已知函数()sin()cos (0)6f x x x πωωω=+->，若函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，且在区间[,]44ππ-上是单调函数，则ω的最大值是9．（2017•朝阳区二模）若平面向量(cos ,sin )a θθ=，(1,1)b =-，且a b ⊥，则sin 2θ的值是． 10．（2016•北京模拟）已知函数(tan )sin 2cos2f ααα=+，则函数()f x 的值域为．11．（2016春•海淀区校级期末）函数2()sin()cos 62xf x x π=++的振幅为，最小正周期为．三．解答题（共4小题）12．（2015春•延庆县期末）（Ⅰ）证明：sin 1cos 1cos sin αααα-=+．（Ⅱ）已知圆的方程是222x y r +=，则经过圆上一点0(M x ，0)y 的切线方程为200x x y y r +=，类比上述性质，试写出椭圆22221x y a b+=类似的性质．13．（2014•海淀区校级模拟）由倍角公式2cos22cos 1x x =-，可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式．对于cos3x ，我们有 cos3cos(2)x x x =+ cos2cos sin2sin x x x x =-2(2cos 1)cos 2(sin cos )sin x x x x x =-- 322cos cos 2(1cos )cos x x x x =--- 34cos 3cos x x =-可见cos3x 可以表示为cos x 的三次多项式．一般地，存在一个n 次多项式()n P t ，使得cos (cos )n nx P x =，这些多项式()n P t 称为切比雪夫多项式．()I 求证：3sin33sin 4sin x x x =-；()II 请求出4()P t ，即用一个cos x 的四次多项式来表示cos4x ； ()III 利用结论3cos34cos 3cos x x x =-，求出sin18︒的值．14．（2009秋•通州区期末）求证：2tan (1cos2)1cos2θθθ+=-．15．（20092tan α=．三角函数中的恒等变换应用（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．（2017秋•东城区期末）若)3cos ,(,)x x x ϕϕππ+=-∈-，则ϕ等于( ) A ．3π-B ．3πC ．56π D ．56π-【分析】由题意利用两角和的正弦公式可得cos ϕ和sin ϕ的值，从而求得ϕ的值．【解答】解：23sin()3cos xx x ϕ+-，cos sin 3cos x x xx ϕϕ∴+=-，∴3ϕϕ⎧=⎪=⎨=-⎪⎩即1cos 2sin ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(,)ϕππ∈-，3πϕ∴=-，故选：A．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式的应用，属于基础题．2．（2019•石景山区一模）已知函数()sin f x a x x =-的一条对称轴为6x π=-，12()()0f x f x +=，且函数()f x 在1(x ，2)x 上具有单调性，则12||x x +的最小值为( ) A ．6πB ．3π C ．23π D ．43π 【分析】利用辅助角公式化简，对称轴为6x π=-，12()()0f x f x +=，且函数()f x 在1(x ，2)x 上具有单调性，可得1x 与2x ，关于对称中心对称，即可求解12||xx +的最小值；【解答】解：函数()sin )f x a xx x θ=-=+，其中tan θ= 函数()f x的一条对称轴为6x π=-，可得1()62f a π-=--=解得：2a =． 3πθ∴=-对称中心对称横坐标3x k ππ-=，可得3x k ππ=+，k Z ∈．又12()()0f x f x +=，且函数()f x 在1(x ，2)x 上具有单调性． 12||2||3x x k π∴+=+当0k =时，可得122||3x x π+= 故选：C ．【点评】本题考查了正弦函数的最值和单调性的综合应用．属于中档题． 3．（2018•海淀区二模）关于函数()sin cos f x x x x =-，下列说法错误的是( ) A ．()f x 是奇函数 B ．0不是()f x 的极值点C ．()f x 在(,)22ππ-上有且仅有3个零点D ．()f x 的值域是R【分析】根据三角函数的性质和导函数，依次判断各选项即可．【解答】解：对于A ：由()sin()cos()()f x x x x f x -=-+-=-，()f x ∴是奇函数，A 对；对于B ，()sin cos f x x x x =-，()cos cos sin sin f x x x x x x x '=--=-，当0x =时，()0f x =，()0f x '=，0不是()f x 的极值点．B 对．对于:()sin cos C f x x x x =-，()cos cos sin sin f x x x x x x x '=-+=，可得在(2π-，0)上单调递减．(0,)2π上单调递增．(0)f 可得最小值，(0)0f =，所以，()f x 在(,)22ππ-上不是3个零点．C 不对；对于D ：当x 无限大或无线小时，可得()f x 的值域为R ，D 对．故选：C ．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，导函数的应用，属于基础题．4．（2017春•西城区期末）函数()f x x x =-在区间[0，]π上的最大、最小值分别为( )A ．π，0B ．2π- C ．,14ππ- D ．0,14π-【分析】对函数()f x 求导数，利用导数判断()f x 的单调性，并求()f x 在区间[0，]π上的最大、最小值．【解答】解：函数()f x x x =，()1f x x ∴'=；令()0f x '=，解得cos x ，又[0x ∈，]π，4x π∴=；[0x ∴∈，)4π时，()0f x '<，()f x 单调递减；(4x π∈，]π时，()0f x '>，()f x 单调递增；且()14444f ππππ==-，(0)0f =，()f ππ=；∴函数()f x 在区间[0，]π上的最大、最小值分别为π和14π-．故选：C ．【点评】本题考查了利用导数求函数在闭区间上的最值问题，是中档题．5．（2017春•海淀区校级期中）已知函数21()(2cos 1)sin 2cos42f x x x x =-+，若(2πα∈，)π且()f α=α的值是( ) A ．58πB ．1116πC ．916π D ．78π【分析】利用二倍角公式和和角公式化简()f x ，根据()f α=α的表达式即可得出α的值．【解答】解：111()cos2sin 2cos4sin 4cos4)2224f x x x x x x x π=+=++，())242f παα∴=+=4242k ππαπ∴+=+，即162k ππα=+，k Z ∈． (2πα∈，)π，916216πππα∴=+=．故选：C ．【点评】本题考查了三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题．6．（2015秋•丰台区期末）函数()sin 22f x x x =+在区间[0，]π上的零点之和是( ) A ．23πB ．712π C ．76π D ．43π 【分析】由()0f x =结合正切函数的性质求出函数的零点即可得到结论．【解答】解：由()sin 220f x x x ==得sin 2x x =，即tan 2x = 即23x k ππ=-，即26k x ππ=-， 0x π，∴当1k =时，3x π=，当2k =时，56x π=，则函数()f x 的零点之和为57366πππ+=，故选：C ．【点评】本题主要考查函数零点的求解和应用，根据正切函数的性质求出x 的值是解决本题的关键．二．填空题（共5小题）7．（2018春•丰台区期末）已知函数2()cos cos f x x x x =+，则()f x 的最小正周期为 π ；最大值为．【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得函数()f x 的最小正周期．再根据正弦函数值域求最大值．【解答】解：函数2111()cos cos 2cos2sin(2)2262f x x x x x x x π=+=++=++．故函数()f x 的最小正周期为T π=．当2262x k πππ+=+时，函数()f x 取得最大值为32．故答案为：3,2π．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．8．（2017•海淀区校级三模）已知函数()sin()cos (0)6f x x x πωωω=+->，若函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，且在区间[,]44ππ-上是单调函数，则ω的最大值是 43【分析】利用和与差和辅助角公式化简，根据直线2x π=对称，且在区间[,]44ππ-上是单调函数可得1()244T ππ--，建立不等式关系，求解即可．【解答】解：函数()sin()cos (0)6f x x x πωωω=+->，1cos 2x x ωω=- sin()6x πω=-函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，即262k πππωπ-=+，k Z ∈，1123k ω∴=+，又()f x 在区间[,]44ππ-上是单调函数，∴1()244T ππ--，则T π．即2ω．∴24622462k k πππωππππωπ⎧---⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩解得：483883k k ωω⎧-⎪⎪⎨⎪+⎪⎩∴403ω< 可得ω的最大值为：43．故答案为：43【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键． 9．（2017•朝阳区二模）若平面向量(cos ,sin )a θθ=，(1,1)b =-，且a b ⊥，则sin 2θ的值是 1 ．【分析】利用向量垂直，就是数量积为0，求出cos sin 0θθ-=，两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式可求sin 2θ的值．【解答】解：因为a b ⊥，所以0a b =，即：cos sin 0θθ-=，两边平方可得：22cos 2sin cos sin 0θθθθ-+=，可得：1sin20θ-=，解得：sin21θ=．故答案为：1．【点评】本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题． 10．（2016•北京模拟）已知函数(tan )sin 2cos2f ααα=+，则函数()f x 的值域为 [ ．【分析】由三角恒等变换化简()f x ，然后转化为关于x 的方程．【解答】解：22(tan )sin 2cos22sin cos cos sin f ααααααα=+=+-2222222sin cos cos sin 2tan 1tan cos sin 1tan ααααααααα+-+-==++， ∴2221()1x x f x x +-=+，2(1)210y x x y ∴+-+-=，当110,2y x +==-，即1y =-成立；当10y +≠时，△2(2)4(1)(1)0y y =--+-，可得2y，且10y +≠，综上所述，可得函数的值域为[．【点评】本题考查三角恒等变换以及换元，转化思想．11．（2016春•海淀区校级期末）函数2()sin()cos 62xf x x π=++的振幅为，最小正周期为．【分析】将函数利用二倍角公式和辅助角公式进行化简，结合三角函数的图象和性质即可得出答案．【解答】解：2()sin()cos 62xf x x π=++，11sin coscos sincos 6622x x x ππ=+++111cos cos 222x x x =+++1cos 2x x =++1)2x ϕ=++，其中tan ϕ=∴，最小正周期222||1T πππω===；，2π．【点评】本题考查了利用二倍角公式和辅助角公式进行三角函数的能力和三角函数的图象和性质的运用．属于基础题三．解答题（共4小题）12．（2015春•延庆县期末）（Ⅰ）证明：sin 1cos 1cos sin αααα-=+．（Ⅱ）已知圆的方程是222x y r +=，则经过圆上一点0(M x ，0)y 的切线方程为200x x y y r +=，类比上述性质，试写出椭圆22221x y a b+=类似的性质．【分析】（Ⅰ）运用分析法进行证明；（Ⅱ）经过圆上一点0(M x ，0)y 的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用0(M x ，0)y 的横坐标与纵坐标替换．由此类比得到．【解答】（Ⅰ）证明：欲证sin 1cos 1cos sin αααα-=+，只需证2sin (1cos )(1cos )ααα=-+，即证22sin 1cos αα=-，上式显然成立，故原等式成立．5⋯分（Ⅱ）解：圆的性质中，经过圆上一点0(M x ，0)y 的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用0(M x ，0)y 的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆22221x y a b +=类似的性质为：过椭圆22221x y a b+=一点0(P x ，0)y 的切线方程为00221x x y ya b+=．10⋯分．【点评】本题考查了三角函数恒等式的证明以及类比推理．13．（2014•海淀区校级模拟）由倍角公式2cos22cos 1x x =-，可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式．对于cos3x ，我们有 cos3cos(2)x x x =+ cos2cos sin2sin x x x x =-2(2cos 1)cos 2(sin cos )sin x x x x x =-- 322cos cos 2(1cos )cos x x x x =--- 34cos 3cos x x =-可见cos3x 可以表示为cos x 的三次多项式．一般地，存在一个n 次多项式()n P t ，使得cos (cos )n nx P x =，这些多项式()n P t 称为切比雪夫多项式．()I 求证：3sin33sin 4sin x x x =-；()II 请求出4()P t ，即用一个cos x 的四次多项式来表示cos4x ； ()III 利用结论3cos34cos 3cos x x x =-，求出sin18︒的值．【分析】()I 利用诱导公式可得33sin3cos(3)cos[3(3)]22x x x ππ=--=--，把已知的条件代入可证得结论成立． ()II 两次使用二倍角公式，即可求得结果．()III 利用sin36cos54︒=︒，可得32sin18cos184cos 183cos18︒︒=︒-︒，解方程求出2sin18︒的值．【解答】解：()I 证明：33sin3cos(3)cos[3()][4cos ()3cos()]2222x x x x x ππππ=--=--=---- 33(4sin 3sin )3sin 4sin x x x x =--=-，故等式成立．22242()cos4cos(22)2cos 212(2cos 1)12(4cos 4cos 1)1II x x x x x x ==-=--=-+- 428cos 8cos 1x x =-+．()sin36cos54III ︒=︒，32sin18cos184cos 183cos18∴︒︒=︒-︒，24sin 182sin1810∴︒+︒-=，∴sin18︒=．【点评】本题考查二倍角公式、诱导公式的应用，正确选择公式是解题的关键． 14．（2009秋•通州区期末）求证：2tan (1cos2)1cos2θθθ+=-．【分析】原式的左边括号外边利用同角三角函数间的基本关系把tan θ化为sin cos θθ，括号里边利用二倍角的余弦函数公式化简，合并后约分即可得到结果；原式的右边利用二倍角的余弦函数公式化简，合并后得到结果，由左边=右边得证．【解答】证明：等式左边2tan (1cos 2)θθ=+222sin (12cos 1)cos θθθ=+- 222sin 2cos cos θθθ= 22sin θ=，等式右边221cos21(12sin )2sin θθθ=-=--=，∴左边=右边，故原式成立．【点评】此题考查了三角函数恒等式的证明，用到的知识有同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握三角函数的恒等变换公式是证明的关键．15．（20092tan α=．【分析】先把1sin 1sin αα+-分子分母同时乘以1sin α+，整理求得22(1sin )cos αα+，进而根据α所在的象限求得1sin cos αα+=1sin cos αα-= 2tan α=．【解答】解：1sin 1sin αα+-2(1sin )(1sin )(1sin )ααα+=-+ (1sin )a =+^2/[1(sin )a -^2] 22(1sin )cos αα+=因为A 是第四象限的角所以cos 0> 又因为sin 1α<- 所以1sin 0a +>1sin cos αα+1sin cos αα-=第11页（共11页）1sin 1sin sin 2cos cos cos αααααα+-=-= 2tan α=原式得证．【点评】本题主要考查了三角函数恒等式的证明及同角三角函数基本关系的应用．。

2017-2018学年北京市101中学高一(上)期末数学试题(解析版)

2017-2018学年北京市101中学高一（上）期末数学试题一、单选题1．计算：A．B．C．D．【答案】B【解析】直接利用诱导公式与特殊角的三角函数求解即可.【详解】．故选B．【点睛】本题主要考查诱导公式的应用以及特殊角的三角函数，属于简单题.对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以便提高做题速度.2．若0<a<1，则函数f（x）=ax+6的图象一定经过A．第一、二象限B．第二、四象限C．第一、二、四象限D．第二、三、四象限【答案】A【解析】根据函数y=a x经过第一、第二象限，可得函数f（x）=a x+6 的图象经过的象限．【详解】当0＜a＜1时，由于函数y=a x经过第一、第二象限，函数f（x）=a x+6 的图象是把y=a x 向上平移6个单位得到的，故函数f（x）的图象一定过第一、第二象限，故选：A．【点睛】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，指数函数的图象特征，属于基础题．3．下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是（）A．y=ex B．y=tanx C．y=lnx D．y=x3+x【答案】D【解析】选项A,y=e x 是非奇非偶函数,不合题意;选项B, y=tanx 在每个单调区间上分别递增,但是在定义域内不是增函数,不合题意; 选项C, y=lnx 是非奇非偶函数,不合题意; 故选D. 4．已知函数，若是偶函数，且，则A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】f （x ）是偶函数，且f （2）=1，则,所以g （-2）=,故选C.5．若向量，满足，则A ．0B ．mC ．D ．【答案】A 【解析】由两边平方，化简即可得结果.【详解】向量，满足，，，．故选A ．【点睛】本题主要考查向量的模以及平面向量数量积的运算，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于简单题. 6．不等式2633x x -+>的解集是（）A ．（-3，2）B ．（-2，3）C ．（-∞，-3）⋃（2，+∞）D ．（-∞，-2）⋃（3，+∞）【答案】A【解析】函数3xy =单调递增，原不等式等价于26x x -+>，即260x x +-<，解得-3<x<2,故选A.7．函数的减区间是 A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用一元二次不等式的解法求出函数的定义域，在定义域内求出二次函数的减区间即可. 【详解】令，求得，故函数的定义域为，且递增，只需求函数在定义域内的减区间．由二次函数的性质求得在定义域内的减区间为，所以函数的减区间是，故选B ．【点睛】本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增增，减减增，增减减，减增减）. 8．已知函数sin()(0,0,||)2y A x B A πωφωφ=++>><的周期为T ，在一个周期内的图像如图所示，则正确的结论是（）A ．3,2A T π==B ．2,1=-=ωBC ．6,4πϕπ-==T D ．6,3πϕ==A【答案】C【解析】试题分析：由图知2(4)32A --==，2(4)12B +-==-，42()2233T πππ=--=，∴4T π=，把点4(,2)3π代入13sin()12y x φ=+-得2sin()13πφ+=，∴232k ππφπ+=+，即6k πφπ=-（k ∈Z ），又||2πφ<，∴k=0时，6πφ=-，故选C 【考点】本题考查了三角函数解析式的求法点评：根据图象写出解析式，一般通过图象的最高或最低点先求得函数的周期和振幅，再根据图象上的已知求得初相，进行可求得函数的解析式9．某学生在期中考试中，数学成绩较好，英语成绩较差，为了在后半学期的月考和期末这两次考试中提高英语成绩，他决定重点加强英语学习，结果两次考试中英语成绩每次都比上次提高了10％，但数学成绩每次都比上次降低了10％，期末时这两科分值恰好均为m 分，则这名学生这两科的期末总成绩和期中比，结果（） A ．提高了 B ．降低了C ．不提不降（相同）D ．是否提高与m 值有关系【答案】B【解析】设期中考试数学和英语成绩为a 和b,则()()22110%110%a b m -=+=,,, 2.0620.81 1.210.81 1.21m m m ma b a b m m ∴==+=+≈>,所以总成绩比期中降低了,故选B.10．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD=120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BEBC= λ， DF DC= μ。

人教版2017~2018学年度初三第一学期期末考试数学试题附详细答案

E D CBA2017-2018学年第一学期期末测试卷初三数学一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．⊙O 的半径为R ，点P 到圆心O 的距离为d ，并且d ≥ R ，则P 点 A.在⊙O 内或圆周上 B.在⊙O 外C.在圆周上D.在⊙O 外或圆周上2. 把10cm 长的线段进行黄金分割，则较长线段的长（236.25≈, 精确到0.01）是A ．3.09cmB ．3.82cmC ．6.18cmD ．7.00cm 3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别与AB 、AC 相交于点D 、E ，若AD =4，DB =2，则AE ︰EC 的值为 A . 0.5 B . 2 C . 32 D . 23 4. 反比例函数xky =的图象如图所示,则K 的值可能是 A .21B . 1C . 2D . -1 5. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =1，那么AB 的长为A ．sin AB ．cos AC ．1cos AD ． 1sin A6．如图，正三角形ABC 内接于⊙O ，动点P 在圆周的劣弧AB 上，且不与A,B 重合，则∠BPC 等于A .30︒B .60︒ C. 90︒ D. 45︒ 7．抛物线y=21x 2的图象向左平移2个单位，在向下平移1个单位，得到的函数表达式为 A . y =21x 2+ 2x + 1 B ．y =21x 2+ 2x - 2C . y =21x 2 - 2x - 1 D. y =21x 2- 2x + 18. 已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列5个结论：① 0>abc ；② c a b +<；③ 024>++c b a ； ④ b c 32<； ⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中正确的结论有 A. 2个 B. 3个C. 4个D. 5个9. 如图所示，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上的一点，AE ⊥EF ，下列结论：①∠BAE ＝30°；②CE 2＝AB·CF ；③CF ＝31FD ；④△ABE ∽△AEF .其中正确的有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10．如图，已知△ABC 中，BC =8，BC 边上的高h =4，D 为BC 边上一个动点，EF ∥BC ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，设E 到BC 的距离为x ，△DEF 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象大致为A. B. C. D.二、填空题（本题共18分, 每小题3分） 11．若5127==b a ，则32ba -= ． 12. 两个相似多边形相似比为1:2,且它们的周长和为90,则这两个相似多边形的周长分别是 , ． 13.已知扇形的面积为15πcm 2,半径长为5cm ,则扇形周长为 cm ．14. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4, BC =3,则以2.5为半径的⊙C 与直线AB 的位置关系是．15. 请选择一组你喜欢的a,b,c 的值，使二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象同时满16. 点是 17.18.如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8，∠B=60°, 解直角三角形.19.已知反比例函数x 1k y -=图象的两个分支分别位于第一、第三象限．（1）求k的取值范围；（2）取一个你认为符合条件的K值，写出反比例函数的表达式，并求出当x=﹣6时反比例函数y的值；20.已知圆内接正三角形边心距为2cm，求它的边长.24.密苏里州圣路易斯拱门是座雄伟壮观的抛物线形的建筑物，是美国最高的独自挺立的纪念碑，如图．拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，求拱门的最大高度．25. 如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径， D 是AB 的延长线上的一点，AE ⊥DC 交DC 的延长线于点E ，且AC 平分∠EAB ．求证：DE 是⊙O 的切线．26. 已知：抛物线y=x 2+bx+c 经过点（2，-3）和（4，5）（1）求抛物线的表达式及顶点坐标；（2）将抛物线沿x 轴翻折，得到图象G ，求图象G 的表达式；（3）在（2）的条件下，当-2<x <2时，直线y =m 与该图象有一个公共点，求m 的值或取值范围.27. 如图，已知矩形ABCD 的边长3cm 6cm AB BC ==，．某一时刻，动点M 从A 点出发沿AB 方向以1c m /s 的速度向B 点匀速运动；同时，动点N 从D 点出发沿DA 方向以2c m /s 的速度向A 点匀速运动，问：（1）经过多少时间，AMN △的面积等于矩形ABCD 面积的19？（2）是否存在时刻t ，使以A,M,N 为顶点的三角形与ACD △相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．()28.（1）探究新知：如图1，已知△ABC 与△ABD 的面积相等，试判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由．（2）结论应用：① 如图2，点M ，N 在反比例函数xky =（k ＞0）的图象上，过点M 作ME ⊥y 轴，过点N 作NF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ．试证明：MN ∥EF ．② 若①中的其他条件不变，只改变点M ，N 的位置如图3所示，请判断 MN 与 EF 是否平行？请说明理由.29. 设a ,b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a ,b ]．对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当m ≤x ≤n 时，有m ≤y ≤n ,我们就称此函数是闭区间[m .n ]上的“闭函数”．如函数4y x =-+，当x =1时，y =3；当x =3时，y =1，即当13x ≤≤时，有13y ≤≤，所以说函数4y x =-+是闭区间[1,3]上的“闭函数”．（1）反比例函数y =x 2016是闭区间[1,2016]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；（2）若二次函数y =22x x k --是闭区间[1,2]上的“闭函数”，求k 的值；（3）若一次函数y =kx +b (k ≠0)是闭区间[m ,n ]上的“闭函数”，求此函数的表达式（用含 m ，n 的代数式表示）．图 3一、选择题：（本题共30分，每小题3分）二、填空题（本题共18分, 每小题3分）三、计算题：（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17. 4sin 304560︒︒︒．解：原式=33222214⨯+⨯-⨯--------------------- 4分 =2-1+3 =4--------------------- 5分18. 解：∵在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠B =60°∵∠A=90°-∠B =30°--------------------- 1分∴AB==16--------------------- 3分∴AC=BCtanB=8．--------------------- 5分19. 解：（1）∵反比例函数图象两支分别位于第一、三象限，∴k ﹣1＞0，解得：k ＞1；---------------- 2分（2）取k=3，∴反比例函数表达式为x2y = ---------------- 4分当x=﹣6时，3162x 2y -=-==；---------------------5分（答案不唯一）20. 解: 如图:连接OB,过O 点作OD ⊥BC 于点D ---------------- 1分在Rt △OBD 中,∵∠BOD =︒︒=606360---------------- 2分 ∵ BD=OD ·tan60°---------------- 3分 =23---------------- 4分 ∴BC=2BD=43∴三角形的边长为43 cm ---------------- 5分B21.证明∵△ABC ∽△ADE ，∴∠BAC ＝∠DAE ，∠C ＝∠E ，---------------- 1分 ∴∠BAC －∠DAC ＝∠DAE －∠DAC ，∴∠1＝∠3， ------------------------------ 2分又∵∠C ＝∠E ，∠DOC ＝∠AOE ，∴△DOC ∽△AOE ，----------------------------3分 ∴∠2＝∠3 ， ----------------------------4分 ∴∠1＝∠2＝∠3． ----------------------------5分22. 解：过P 作PD ⊥AB 于D ，---------------- 1分在Rt △PBD 中，∠BDP ＝90°，∠B ＝45°， ∴BD ＝PD ． ---------------- 2分在Rt △PAD 中，∠ADP ＝90°，∠A ＝30°， ∴AD ＝PD ＝PD＝3PD ，--------------------3分 ∴PD ＝13100+≈36.6＞35，故计划修筑的高速公路不会穿过保护区．----------------------------5分23.解：（1）不同类型的正确结论有：①BE=CE ；②BD=CD ；③∠BED=90°；④∠BOD=∠A ；⑤AC//OD ；⑥AC ⊥BC ；⑦222OE +BE =OB ；⑧OE BC S ABC ∙=∆；⑨△BOD 是等腰三角形；⑩ΔBOE ΔBAC ~；等等。

2017-2018学年北京市朝阳区高一(上)期末数学试卷-含详细解析

2017-2018学年北京市朝阳区高一（上）期末数学试卷副标题一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={x∈Z|x＞1}，B={x|0＜x＜4}，则（）A. B.C. 2，3，D.2.已知平面向量=（m，4），=（1，-2），且 ∥，则m=（）A. B. C. 2 D. 83.已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A. B. C. D.4.函数f（x）=3x+3x-8的零点所在的区间为（）A. B. C. D.5.设奇函数f（x）的定义域为[-5，5]，且f（3）=0，当x∈[0，5]时，f（x）的图象如图所示，则不等式e f（x）＜1的解集是（）A. B.，C. D.6.在△ABC中，若||＜||，则△ABC的形状为（）A. 锐角三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形7.将函数y=sin2x图象上的点P（t，1）向右平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin（2x-）的图象上，则（）A. ，∈，s的最小值为B. ，∈，s的最小值为C. ，∈，s的最小值为D. ，∈，s的最小值为8.定义域为（-∞，0）（0，+∞）的函数f（x），满足f（-x）=2-f（x），若函数y=sinωx+1（ω≠0）与y=f（x）图象的交点为（x i，y i），i=1，2，3…，m（m∈N*），将每一个交点的横、纵坐标之和记为t i，i=1，2，3，…，m（m∈N*），则t1+t2+t3+…+t m=（）A. mB.C. 2mD.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知sinα=，α∈（，π），则cosα=______，tanα=______．10.已知函数f（x）=则f（-1）=______；若f（x）=，则x=______．11.已知平面向量，的夹角为60°，=（1，），||=1，则=______；||=______．12.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若角α的终边经过点（3，4），则tan（α-β）=______．13.已知函数f（x）=（m∈R）（1）若m=-1，则函数f（x）的零点是______；（2）若存在实数k，使函数g（x）=f（x）-k有两个不同的零点，则m的取值范围是______ ．14.对任意两个非零的平面向量，，定义一种运算“*”为：*=．若平面向量，的夹角θ∈（0，），且*和*的值均为集合{t|t=，k∈N*}中的元素，则*+*=______．三、解答题（本大题共4小题，共50.0分）15.函数f（x）=的定义域为A，关于x的不等式x2-（2a+3）x+a2+3a≤0的解集为B．（Ⅰ）求集合A；（Ⅱ）若A∩B=A，试求实数a的取值范围．16.已知函数f（x）=2sin x•cos x-cos2x+sin2x，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．17.已知二次函数f（x）的图象经过A（-1，4），B（-1，0），C（1，0），D（3，0）四个点中的三个．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，并求f（x）的最小值；（Ⅱ）求证：存在常数m，使得当实数x1，x2满足x1+x2=m时，总有f（x1）=f（x2）．18.函数f（x）的定义域为D，如果存在实数a，b使得f（a-x）+f（a+x）=b对任意满足a-x∈D且a+x∈D的x恒成立，则称f（x）为广义奇函数．（Ⅰ）设函数f（x）=-1，试判断f（x）是否为广义奇函数，并说明理由；（Ⅱ）设函数f（x）=，其中常数t≠0，证明f（x）是广义奇函数，并写出+++…+的值；（Ⅲ）若f（x）是定义在R上的广义奇函数，且函数f（x）的图象关于直线x=m（m 为常数）对称，试判断f（x）是否为周期函数？若是，求出f（x）的一个周期，若不是，请说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：集合A={x∈Z|x＞1}，B={x|0＜x＜4}，A∩B={2，3}，A B={x|0＜x＜4或x≥4，x∈Z}，故选A．运用交集和并集的定义，即可得到所求结论．本题考查集合的交集和并集的求法，运用定义法解题是关键，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵∥，-2m-4=0，则m=-2．故选：B．利用向量共线定理即可得出．本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：∵x，y∈R，且x＞y＞0，则＜，cosx与cosy的大小关系不确定，（）x＜（）y，即（）x-（）y＜0，lgx+lgy与0的大小关系不确定．故选：C．x，y∈R，且x＞y＞0，可得：＜，cosx与cosy的大小关系不确定，（）x＜（）y，lgx+lgy与0的大小关系不确定，即可判断出结论．本题考查了不等式的性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.【答案】B【解析】解：∵函数f（x）=3x+3x-8在R上为连续增函数，又由f（1）=3+3-8＜0，f（）=+-8=＞0，函数f（x）=3x+3x-8的零点所在的区间为（1，），故选：B．连续函数f（x）=3x+3x-8在R上单调递增且f（1）＜0，f（）＞0，根据函数的零点的判定定理可求．本题主要考查了函数零点的定义及零点判定定理的应用，属于基础试题．5.【答案】C【解析】解：不等式e f（x）＜1等价于f（x）＜0，由图可知当x∈（0，3）时有f（x）＜0，当x∈（3，5]时有f（x）＞0，又f（x）是定义域为[-5，5]的奇函数，所以当x∈[-5，-3）时有f（x）＜0，当x∈（-3，0）时有f（x）＞0，所以，f（x）＜0的解集是[-5，-3）（0，3），从而e f（x）＜1的解集是[-5，-3）（0，3），故选：C．转化可知不等式e f（x）＜1等价于f（x）＜0，利用奇函数图象关于原点对称及在当x∈[0，5]时f（x）的图象可得结论．本题考查函数的图象，涉及函数的奇偶性，对数的运算，考查数形结合能力，注意解题方法的积累，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：∵||＜||，∴||2＜||2，∴2+2•+2＜2-2•+2，∴4•＜0，即•＜0，∴∠A∈（，π），即△ABC是钝角三角形．故选：D．根据等式||＜||，两边平方可得＜0，从而可判定三角形ABC的形状．本题主要考查了向量基本运算，以及向量模的求解和数量积的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：∵函数y=sin2x图象上的点P（t，1），∴sin2t=1，∴2t=2kπ+，即t=kπ+，k∈Z ①，把函数向右平移s（s＞0）个单位长度得到y=sin2（x-s），点P（t，1）变为点P′（t+s，1），若P′位于函数y=sin（2x-）的图象上，则sin（2t+2s-）=1，∴2t+2s-=2k′π+，结合①可得2s最小为，即s得最小值为，故选：B．利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查抽象函数的运用：求和，考查函数的对称性的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题.由条件可得f（x）+f（-x）=2，即有f（x）关于点（0，1）对称，又函数y=sinωx+1的图象关于点（0，1）对称，即有（x1，y1）为交点，即有（-x1，2-y1）也为交点，计算即可得到所求和.【解答】解：函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=2-f（x），即为f（x）+f（-x）=2，可得f（x）关于点（0，1）对称，函数y=sinωx+1的图象关于点（0，1）对称，即有（x1，y1）为交点，即有（-x1，2-y1）也为交点，（x2，y2）为交点，即有（-x2，2-y2）也为交点，∴t1+t2+t3+…+t m=（x i+y i）=（x1+y1）+（x2+y2）+…+（x m+y m）=[（x1+y1）+（-x1+2-y1）+（x2+y2）+（-x2+2-y2）+…+（x m+y m）+（-x m+2-y m）]=m. 故选A.9.【答案】-；-【解析】解：∵sinα=，α∈（，π），∴cosα=-=-，tanα===-．故答案为：-，-．由已知利用同角三角函数基本关系式即可求值得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．10.【答案】2；【解析】解：∵函数f（x）=，∴f（-1）=2，当x≤0时，f（x）≥1≠，当x＞0时，由f（x）=log2x=得：x=，故答案为：2，．由已知中函数f（x）=，将x=-1代入可得f（-1）的值，分类讨论满足f（x）=的x值，可得答案．本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题．11.【答案】1；2【解析】解：平面向量，的夹角为60°，=（1，），||=1，则===1，||===2；故答案为：1；2．利用向量的数量积公式化简求解以及向量的模的运算法则求解即可．本题考查平面向量的数量积公式的应用，向量的模的求法，考查计算能力．12.【答案】-【解析】解：∵角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，角α的终边经过点（3，4），可得：角β的终边经过点（-3，4），∴tanα=，tanβ=-，∴tan（α-β）===-．故答案为：-．由题意得到角β的终边经过点（-3，4），可求tanα，tanβ的值，再由两角差的正切函数公式化简求解即可．本题考查了两角差的正切函数公式，考查同角的三角函数的基本关系式，是基础题．13.【答案】0；（-∞，0）（1，+∞）【解析】解：（1）当m=-1时，函数f（x）=，可知函数的零点为0；（2）分别画出y=f（x）与y=k的图象，如图所示，当m≥0时，y=x3在（-∞，m]为增函数，最大值为m3，y=x2在（m，+∞）为增函数，最小值为m2，若存在实数k使得函数g（x）有两个零点，则m3＞m2，解得m＞1，当m＜0时，y=x2在（m，0）上为减函数，在（0，+∞）为增函数，故若存在实数k使得函数g（x）有两个零点，综上所述m的取值范围为（-∞，0）（1，+∞），故答案为：（1）：0；（2）：（-∞，0）（1，+∞）．（1）利用分段函数求解函数的零点即可．（2）分类讨论，当m≥0时，只要m3＞m2即可，当m＜0都存在．本题考查了分度函数以及函数零点的问题，常采用数形结合法，属于中档题．14.【答案】2【解析】解：由题意，可得*====，同理可得：⊗==，其中m、k都是正整数，将化简的两式相乘，可得cos2θ=．由于夹角θ∈（0，），可得cosθ∈（，1），则cos2θ∈（，1），则mk=3，即m，k为正整数，可得m=1且k=3，或m=3，k=1，则*+*=2，故答案为：2．根据题中的定义，化简整理得*==，⊗==，其中m、n都是正整数．两式相乘可得cos2θ=，平面向量，的夹角θ∈（0，），求得cosθ的范围，讨论m，k的取值，即可得到所求和．本题给出新定义，求式子*+*的值．着重考查了向量数量积及其运算性质、三角函数的性质和整数解的讨论等知识，属于中档题．15.【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域满足：，则集合A=（1，2）…（4分）（Ⅱ）解不等式x2-（2a+3）x+a2+3a≤0，可得（x-a）（x-a-3）≤0，解得B=[a，a+3]，若A∩B=A，则A⊆B，所以，解得：-1≤a≤1，则a的取值范围是[-1，1]．…（12分）【解析】（Ⅰ）根据对数函数的性质得到关于x的不等式组，解出即可；（Ⅱ）解不等式，求出集合B，根据集合的包含关系得到关于a的不等式组，解出即可．本题考查了对数函数的性质，考查解不等式以及集合的包含关系，是一道基础题．16.【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=2sin x•cos x-cos2x+sin2x=sin2x-cos2x=sin（2x-），所以函数f（x）的最小正周期为T==π；令2kπ+≤2x-≤2kπ+，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z；所以函数f（x）的单调减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z；（Ⅱ）因为0≤x≤，所以-≤2x-≤，所以当2x-=，即x=时，函数f（x）有最大值f（）=；当2x-=-，即x=0时，函数f（x）有最小值f（0）=-1.【解析】（Ⅰ）化函数f（x）为正弦型函数，求出函数f（x）的最小正周期和单调减区间；（Ⅱ）由0≤x≤时求出2x-的取值范围．得出f（x）的最大、最小值．本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题．17.【答案】（Ⅰ）解：因为A，B横坐标相同，所以函数图象不能同时经过A，B两点；因为B，C，D三点纵坐标相同，所以二次函数图象不能同时经过B，C，D三点，所以f（x）的图象经过A，C，D三点．∴f（x）的图象对称轴为直线x=2，设f（x）=a（x-2）2+c（a≠0），将A（-1，4）和C（1，0）两点代入方程可得，解得a=，c=-．∴f（x）的解析式为：f（x）=（x-2）2-．f（x）的最小值为-．（Ⅱ）证明：∵f（x）的图象关于直线x=2对称，∴当x1+x2=4时，f（x1）=f（x2），∴存在常数m=4，使得当实数x1，x2满足x1+x2=4时，总有f（x1）=f（x2）．【解析】（I）根据四点坐标特点和二次函数的性质得出f（x）图象上的三点，再利用待定系数法求出解析式，从而得出最小值；（II）根据f（x）的对称性即可得出m的值．本题考查了二次函数的解析式求解与性质，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）f（x）=-1是广义奇函数．理由如下：f（x）的定义域为{x|x≠0}，只需证明存在实数a，b使得f（a-x）+f（a+x）=b对任意x≠±a恒成立，由f（a-x）+f（a+x）=，得+-2=b，即b+2=，所以（b+2）（a2-x2）=2a对任意x≠±a恒成立，即b=-2，a=0，从而存在a=0，b=-2，使f（a-x）+f（a+x）=b对任意x≠±a恒成立，所以f（x）是广义奇函数．（Ⅱ）记f（x）的定义域为D，只需证明存在实数a，b使得当a-x∈D且a+x∈D时，f（a-x）+f（a+x）=b恒成立，即+=b恒成立，所以2a+x+t+2a-x+t=b（2a+x+t）（2a-x+t），化简得，（1-bt）（2a+x+2a-x）=b（22a+t2）-2t，所以1-bt=0，b（22a+t2）-2t=0，因为t≠0，可得b=，a=log2|t|，即存在实数a，b满足条件，从而f（x）是广义奇函数，由以上证明可知，h（x）=是广义奇函数，对a=log2|-|=，b=-，有h（+x）+h（-x）=-，（x≠0），即h（x）+h（1-x）=-，（x≠），故+++…+=h（）+h（）+…+h（）=[h（）+h（）]+[h（）+h（）]+…+[h（）+h（）]=1008×（-）=-504；（Ⅲ）因为f（x）是定义在R上的广义奇函数，且函数f（x）的图象关于直线x=m对称，所以有f（a-x）+f（a+x）=b，f（m+x）=f（m-x）恒成立，由f（m+x）=f（m-x），得f（x）=f（2m-x），由f（a-x）+f（a+x）=b，得f（x）+f（2a-x）=b，所以f（2m-x）+f（2a-x）=b①恒成立，把x用2m-2a+x代换得f（2m-（2m-2a+x））+f（2a-（2m-2a+x））=b，即f（2a-x）+f（4a-2m-x）=b②，由①②得：f（2m-x）=f（4a-2m-x）=f（4a-4m+（2m-x）），当a≠m时，f（x）为周期函数，4a-4m是函数f（x）的一个周期，当a=m时，由①得f（2a-x）=，从而f（x）=对x∈R恒成立．函数f（x）为常函数，也为周期函数，任何非零实数均为函数f（x）的周期．【解析】（Ⅰ）根据广义奇函数的定义判断即可；（Ⅱ）根据+=b恒成立，得到2a+x+t+2a-x+t=b（2a+x+t）（2a-x+t），可得b=，a=log2|t|，从而判断结论，计算即可；（Ⅲ）得到f（2m-x）+f（2a-x）=b①恒成立，把x用2m-2a+x代换得f（2m-（2m-2a+x））+f（2a-（2m-2a+x））=b，即f（2a-x）+f（4a-2m-x）=b②，从而判断结论．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查广义奇函数的定义，是一道综合题．。

北京朝阳区20172018学第一学期期末质量检测

北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测高三年级数学学科试卷（文史类） 2018．1（考试时刻120分钟总分值150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部份第一部份（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合|(2)0A x x x ，|ln 0B x x ，那么A B 是A ． |0x xB ． |2x xC ． |12x xD ． |02x x2．已知i 为虚数单位，设复数z 知足i 3z +=，那么z =A ．3B ．C ． 4D ．103．某便利店记录了100天某商品的日需求量（单位：件），整理得下表：试估量该商品日平均需求量为A ． 16B ． 16.2C ． 16.6D ． 16.84． “sin 2α=”是“cos 2=0α”的 A ．充分而没必要要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也没必要要条件5．以下函数中，是奇函数且在(0,1)内是减函数的是①3()f x x =- ②1()2xf x =（） ③()sin f x x =- ④()ex x f x = A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．③④6．某四棱锥的三视图如下图，网格纸上小正方形的边长为1，那么该四棱锥的体积为A ．43B ． 4 C．3D．7．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过如此一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆．后人将那个圆称为阿氏圆．假设平面内两定点,A B 间的距离为2，动点P 与A ，B,,P A B 不共线时，PAB ∆面积的最大值是A． B ．C ．D ．8．如图，PAD ∆为等边三角形，四边形ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ．假设点M 为平面ABCD 内的一个动点，且知足MP MC =，那么点M 在正方形ABCD 及其内部的轨迹为A ．椭圆的一部份B ．双曲线的一部份C ．一段圆弧D ．一条线段PA BDCM正视图侧视图俯视图第二部份（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．执行如下图的程序框图，输出S 的值为．10．已知双曲线C 的中心在原点，对称轴为坐标轴，它的一个核心与抛物线28y x =的核心重合，一条渐近线方程为0x y +=，那么双曲线C 的方程是． 11．已知菱形ABCD 的边长为2，60BAD ∠=，那么AB BC ⋅= ．12．假设变量x ，y 知足约束条件40,540,540,x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值为．13．高斯说过，他希望能够借助几何直观来了解自然界的大体问题．一名同窗受到启发，按以下步骤给出了柯西不等式的“图形证明”：（1）左图矩形中白色区域面积等于右图矩形中白色区域面积；（2）左图阴影区域面积用,,,a b c d 表示为；（3）右图中阴影区域的面积为2222a b c d BAD ++∠；开始 i =1，S =2 结束i =i +1i >4? 输出S 是否S=i ·S b b d a ca cc b D CA（4）那么柯西不等式用字母,,,a b c d 能够表示为()22222()()ac bd a b c d +≤++．请简单表述由步骤（3）到步骤（4）的推导进程：．14．如图，一名同窗从1P 处观测塔顶B 及旗杆顶A ，得仰角别离为α和90α-. 后退l (单位m)至点2P 处再观测塔顶B ，仰角变成原先的一半，设塔CB 和旗杆BA 都垂直于地面，且C ，1P ，2P 三点在同一条水平线上，那么塔CB 的高为 m ；旗杆BA 的高为 m.（用含有l 和α的式子表示）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解许诺写出文字说明，演算步骤或证明进程． 15．（本小题总分值13分）已知函数2()(sin cos )cos2f x x x x =+-．（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）求证：当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥．16．（本小题总分值13分）已知由实数组成的等比数列{}n a 知足1a =2，135a a a ++=42．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求2462...n a a a a ++++．P 21B2017年，世界乒乓球锦标赛在德国的杜赛尔多夫举行．整个竞赛出色纷呈，参赛选手展现出很高的竞技水平，为观众奉献了多场出色对决．图1（扇形图）和表1是其中一场关键竞赛的部份数据统计．两位选手在这次竞赛中击球所利用的各项技术的比例统计如图1．在乒乓球竞赛中，接发球技术是指回接对方发球时利用的各类方式．选手乙在竞赛中的接发球技术统计如表1，其中的前4项技术统称反手技术，后3项技术统称为正手技术．图1选手乙的接发球技术统计表技术反手拧球反手搓球反手拉球反手拨球正手搓球正手拉球正手挑球使用次数20 2 2 4 12 4 1 得分率55% 50% 0% 75% 41．7% 75% 100%表1（Ⅰ）观看图1，在两位选手一起利用的8项技术中，不同最为显著的是哪两项技术？（Ⅱ）乒乓球接发球技术中的拉球技术包括正手拉球和反手拉球．从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手拉球的概率是多少？（Ⅲ）若是仅从表1中选手乙接发球得分率的稳固性来看（不考虑利用次数），你以为选手乙的反手技术更稳固仍是正手技术更稳固？（结论不要求证明）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，底面ABC 为正三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC ．已知D 是BC 的中点，12AB AA ==．（Ⅰ）求证：平面1AB D ⊥平面11BB C C ；（Ⅱ）求证：C A 1∥平面D AB 1；（Ⅲ）求三棱锥11A AB D -的体积．19．（本小题总分值14分）已知椭圆2222:1(0)5x y C b b b+=>的一个核心坐标为(2,0)．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点(3,0)E ，过点(1,0)的直线l （与x 轴不重合）与椭圆C 交于,M N 两点，直线ME 与直线5x =相交于点F ，试证明：直线FN 与x 轴平行．20．（本小题总分值13分）已知函数()cos f x x x a =+，a ∈R ．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点2x π=处的切线的斜率；（Ⅱ）判定方程()0f x '=（()f x '为()f x 的导数）在区间()0,1内的根的个数，说明理由；（Ⅲ）假设函数()sin cos F x x x x ax =++在区间()0,1内有且只有一个极值点，求a 的取值范围．AC BB 1C 1A 1D北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷答案（文史类）三、解答题（80分） 15. （本小题总分值13分）解：（Ⅰ）因为22()sin cos sin 2fx x x x =++cos 2x -1sin 2cos 2)14x x x π=+-=-+.因此函数)(x f 的最小正周期为π. …………………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，)(x f )14x π=-+．当x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，2[,]444x ππ3π-∈-，sin(2)[42x π-∈-，)11]4x π-+∈.当2,44x ππ-=-即0x =时，)(x f 取得最小值0．因此当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥. …………………………13分16. （本小题总分值13分）解：（Ⅰ）由1135=2a a a a ⎧⎨++=42⎩可得242(1)42q q ++=.由数列{}n a 各项为实数，解得24q =，2q =±. 因此数列{}n a 的通项公式为2nn a =或1(1)2n n n a -=-⋅. …………………7分（Ⅱ）当2nn a =时，24624(14)4...=(41)143n nn a a a a -++++=⋅--；当1(1)2n nn a -=-⋅时，2462(4)(14)4...=(14)143n n n a a a a -⋅-++++=⋅--.…13分17. （本小题总分值13分）解：（Ⅰ）依照所给扇形图的数据可知，不同最为显著的是正手搓球和反手拧球两项技术. ………………2分（Ⅱ）依照表1的数据可知，选手乙的反手拉球2次，别离记为A,B ,正手拉球4次，别离记为a,b,c,d.那么从这六次拉球中任取两次，共15种结果，别离是: AB , Aa ,Ab , Ac , Ad , Ba, Bb ，Bc, Bd, ab ，ac, ad, bc, bd,cd. 其中至少抽出一次反手拉球的共有9种，别离是: AB ,Aa ，Ab ，Ac, Ad, Ba, Bb ，Bc, Bd.那么从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手拉球的概率93155P ==. …………………………10分（Ⅲ）正手技术更稳固. …………………………13分 18. （本小题总分值14分）（Ⅰ）证明：由已知ABC ∆为正三角形，且D 是BC 的中点，因此AD BC ⊥．因为侧棱1AA ⊥底面ABC ，11//AA BB ，因此1BB ⊥底面ABC ．又因为AD ⊂底面ABC ，因此1BB AD ⊥. 而1B BBC B =,因此AD ⊥平面11BB C C ．因为AD ⊂平面1AB D ，因此平面1AB D ⊥平面11BB C C ．…………………………5分（Ⅱ）证明：连接1A B ，设11A BAB E =，连接DE ．由已知得，四边形11A ABB 为正方形，则E 为1A B 的中点. 因为D 是BC 的中点，因此1//DE AC ．又因为DE ⊂平面D AB 1，1AC ⊄平面D AB 1，因此C A 1∥平面D AB 1． …………………………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知C A 1∥平面D AB 1，因此1A 与C 到平面D AB 1的距离相等，因此111A AB D C AB D V V --=．由题设及12AB AA ==，得12BB=，且2ACD S ∆=．因此1111123323C ABD B ACD ACD V V S BB --∆==⨯⨯=⨯=，因此三棱锥11A AB D -的体积为11A AB D V -= …………………………14分 19. （本小题总分值14分）解：（Ⅰ）由题意可知222,5.c a b =⎧⎨=⎩因此225,1a b ==.因此椭圆C 的方程为2215x y +=. …………………………3分（Ⅱ）①当直线l 的斜率不存在时，现在MN x ⊥(1,0)D ，直线5x =与x 轴相交于点G ，易患点(3,0)E 是点(1,0)D 和点(5,0)G 的中点，又因为||||MD DN =，因此||||FG DN =.ACBB 1C 1A 1DE因此直线//FN x 轴.②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1122(,),(,)M x y N x y .因为点(3,0)E ，因此直线ME 的方程为11(3)3y y x x =--. 令5x =，因此11112(53)33F y y y x x =-=--. 由22(1),55y k x x y =-⎧⎨+=⎩消去y 得2222(15)105(1)0k x k x k +-+-=. 显然0∆>恒成立.因此22121222105(1),.5151k k x x x x k k -+==++ 因为1211211221112(3)2(1)(3)2(1)333F y y x y k x x k x y y y x x x -------=-==--- 22221212115(1)10[35][3()5]515133k k k k x x x x k k x x --⨯+-++++==--22221516510513k k k k k x --++=⋅=+-，因此2F y y =.因此直线//FN x 轴.综上所述，因此直线//FN x 轴. …………………………14分20. （本小题总分值13分）解：（Ⅰ）()cos sin f x x x x '=-.ππ()22k f '==-. …………………………3分（Ⅱ）设()()g x f x '=，()sin (sin cos )2sin cos g x x x x x x x x '=--+=--.当(0,1)x ∈时，()0g x '<，那么函数()g x 为减函数. 又因为(0)10g =>，(1)cos1sin10g =-<, 因此有且只有一个0(0,1)x ∈，使0()0g x =成立.因此函数()g x 在区间()0,1内有且只有一个零点，即方程()0f x '=在区间()0,1内有且只有一个实数根. …………………………7分（Ⅲ）假设函数()sin cos F x x x x ax =++在区间()0,1内有且只有一个极值点，由于()()F x f x '=，即()cos f x x x a =+在区间()0,1内有且只有一个零点1x ，且()f x 在1x 双侧异号.因为当(0,1)x ∈时，函数()g x 为减函数，因此在()00,x 上，0()()0g x g x >=，即()0f x '>成立，函数()f x 为增函数；在0(,1)x 上， 0()()0g x g x <=，即()0f x '<成立，函数()f x 为减函数. 那么函数()f x 在0x x =处取得极大值0()f x .当0()0f x =时，尽管函数()f x 在区间()0,1内有且只有一个零点0x ，但()f x 在0x 双侧同号，不知足()F x 在区间()0,1内有且只有一个极值点的要求.由于(1)cos1f a =+，(0)f a =，显然(1)(0)f f >. 假设函数()f x 在区间()0,1内有且只有一个零点1x ，且()f x 在1x 双侧异号，那么只需知足：(0)0(1)0f f <⎧⎨≥⎩.即0cos10a a <⎧⎨+≥⎩，解得cos10a -≤<. ……………………13分。

北京市朝阳区2017-2018学年高一上学期期末质量检测数学试题(解析版)

北京市朝阳区2017~2018学年度第一学期期末质量检测高一年级数学学科试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{}1A x Z x =∈>，{}04B x x =<<，则 A. {2,3}A B =I B. A B R =U C. {1,2,3,4}A B ⋃= D. A B =∅I【答案】A 【解析】由题意可得：{}2,3,4,5,6,7A L =,结合交集的定义可得：{}2,3A B ⋂=，{}{}|045,6,7A B x x L ⋃=<≤⋃，结合选项可知，只有选项A 是正确的. 本题选择A 选项.2.已知平面向量(,4)a m =r ，(1,2)b =-r ，且a r //b r，则m =A. 8-B. 2-C. 2D. 8【答案】B 【解析】由题意结合平面向量平行的充要条件可得：4,212m m =∴=--. 本题选择B 选项.3.已知,x y R ∈，且0x y >>，则A.110x y-> B. sin sin 0x y -> C. 11()()022xy-< D. ln ln 0x y +> 【答案】C【解析】试题分析：A ：由，得，即，A 不正确；B ：由及正弦函数的单调性，可知不一定成立；C ：由，，得，故，C 正确；D ：由，得，但xy 的值不一定大于1，故ln ln =ln 0x y xy +>不一定成立，故选C.【考点】函数性质【名师点睛】函数单调性的判断：(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法． (2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；(3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.4.函数()338xf x x =+-的零点所在的区间为A. ()01，B. 3(1)2，C. 3(3)2，D. ()34，【答案】B 【解析】结合函数的解析式有：()11331820f =+⨯-=-<，3233749338332702224f ⎛⎫=+⨯-==> ⎪⎝⎭，且函数()f x 的函数图象在区间31,2⎛⎫⎪⎝⎭上具有连续性，据此结合函数零点存在定理可得函数()338xf x x =+-的零点所在的区间为312⎛⎫ ⎪⎝⎭，.本题选择B 选项.点睛：一是严格把握零点存在性定理的条件；二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件；三是函数f (x )在[a ，b ]上单调且f (a )f (b )＜0，则f (x )在[a ，b ]上只有一个零点.5.设奇函数()f x 的定义域为[]5,5-，且()30f =，当[]0,5x ∈时，()f x 的图象如图所示，则不等式()1f x e <的解集是A. ()0,3B. ()[5,3]0,3--⋃C. ()[5,3)0,3--⋃D. ()(]3,03,5-U【答案】C 【解析】求解不等式()1f x e <可得()0f x <，结合奇函数的性质补全函数图象如图所示，观察可得，不等式的解集为：[)()5,30,3--⋃. 本题选择C 选项.6.在△ABC 中，若AB AC AB AC +<-u u u v u u u v u u u v u u u v ，则△ABC 的形状为A. 锐角三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形【答案】D 【解析】由题意可得：()()22AB AC AB AC +<-u u u v u u u v u u u v u u u v ,即：222222AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅<+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,整理可得：0AB AC ⋅<u u u r u u u r ，则向量AB u u u r 与AC u u ur 的夹角为钝角，即90BAC ∠>o ，据此可知：则△ABC 的形状为钝角三角形. 本题选择D 选项.点睛：处理两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．7.将函数sin 2y x =图象上的点(,1)P t 向右平移(0)s s >个单位长度得到点P '，若P '位于函数sin(2)3y x π=-的图象上，则A. ,4t k k Z ππ=+∈，s的最小值为3π B. ,4t k k Z ππ=+∈，s 的最小值为6π C. ,2t k k Z ππ=+∈，s 的最小值为6πD. ,2t k k Z ππ=+∈，s 的最小值为3π【答案】B 【解析】由题意可知，t 为函数sin 2y x =最高点横坐标，则：()222t k k Z ππ=+∈，据此可得：()4t k k Z ππ=+∈，函数sin 2sin 236y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则将函数sin 2y x =的图象向右平移6π个单位即可的函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，即s 的最小值为6π.本题选择B 选项.8.定义域为(,0)(0,)-∞+∞U 的函数()f x ，满足()2()f x f x -=-，若函数sin 1(0)y x ωω=+≠与()y f x =图象的交点为(,),1,2,3,,i i x y i m =L （m N *∈），将每一个交点的横、纵坐标之和记为,1,2,3,,i t i m =L （m N *∈），则123m t t t t L ++++=A. mB.mωC. 2mD.2mω【答案】A 【解析】由题意可得：()()110f x f x ⎡⎤⎡⎤-+--=⎣⎦⎣⎦，则函数()1f x -关于坐标原点对称，函数()f x 关于点()0,1对称；而函数sin 1y x ω=+的图象也关于点()0,1对称，结合函数的定义域可得两函数图象交点的个数为偶数个，不妨假设这些点的坐标为：()()()()()()11112222,,,,,,,,,,,n n n n x y x y x y x y x y x y ------L ，其中2m n =其中()(),,,i i i i x y x y --关于点()0,1对称，则：0,2i i i i x x y y --+=+=，据此可得：111122222n n n n x y x y x y x y x y x y n m ------++++++++++++==L . 本题选择A 选项.点睛：如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图像有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数的图像有对称中心. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9.已知1sin 3α=，(,)2παπ∈，则cos α=____,tan α=____.【答案】(1).(2). 【解析】由题意结合同角三角函数基本关系可得：cos 3α==-，sin tan cos 4ααα==-. 10.已知函数()22,0,log ,0,x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩则(1)f =-___；若1()2f x = ，则x =___.【答案】 (1). 2(2).【解析】(1)由分段函数的解析式可得：()()1122f ---==；(2)当0x ≤时，()12,12xf x x -==∴=，不合题意，舍去；当0x >时，()21log ,2f x x x ==∴=，综上可得，若()12f x =，则x 点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．11.已知平面向量a v ，b r 的夹角为60°，(a =v ，1b =r ，则b a ⋅=r v __；2a b -v r =___.【答案】 (1). 1 (2). 2 【解析】由题意可得：2a ==r，则：21cos601a b ⋅=⨯⨯=o r r，22a b -====v v .12.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称. 若角α的终边经过点(3,4)，则tan()αβ-=____. 【答案】247- 【解析】由题意可知α的终边过点()3,4，β的终边过点()3,4-，由三角函数的定义有：44tan ,tan 33αβ==-，则：()44tan tan 2433tan 161tan tan 719αβαβαβ+--===-+-. 13.已知函数32,,(),x x m f x x x m ⎧≤=⎨>⎩（m R ∈），（1）若1m =-，则函数()f x 的零点是____；（2）若存在实数k ，使函数()()=-g x f x k 有两个不同的零点，则m 的取值范围是____. 【答案】 (1). 0 (2). (,0)(1,)-∞⋃+∞ 【解析】(1)当1m =-时，()32,1,1x x f x x x ⎧≤-=⎨>-⎩，分类讨论：当1x ≤-时，30,0x x =∴=，不合题意，舍去；当1x >-时，20,0x x =∴=，符合题意，综上可得，函数()f x 的零点是0.(2)原问题等价于函数在R 上单调，在同一个平面直角坐标系中绘制函数2y x =和3y x =的图象，观察可得：当(),0m ∈-∞时，二次函数部分不单调，满足题意，当[]0,1m ∈时，函数在定义域内单调递增，不合题意，当()1,m ∈+∞时，32m m >，这使得函数不单调，满足题意，综上可得：m 的取值范围是()(),01,-∞⋃+∞.14.对任意两个非零的平面向量,m n ，定义一种运算“*”为：m nm n n n⋅*=⋅．若平面向量,a b 的夹角(0,)4πθ∈，且a b *和b a *的值均为集合{|,}2kt t k N *=∈中的元素，则a b b a *+*=__.【答案】2 【解析】由题中的新定义有：2cos *2a a b n a b b bθ⨯⋅===v v v v vv v ，2cos *2b a bm b a a a θ⨯⋅===v v v v v v v，两式相乘可得：2cos 4mnθ=，不妨假设0a b ≥>r r，则n m ≥，且*,m n ∈N ，由平面向量,a b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得：21cos ,12θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即()1,1,2,442mn mn ⎛⎫∈∴∈ ⎪⎝⎭，据此可得：3,1,3mn m n =∴==，则：31**222a b b a v v v v +=+=.点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解．对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求．但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝．三、解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.函数()f x =的定义域为A ，关于x 的不等式22(23)30x a x a a -+++≤的解集为B . （Ⅰ）求集合A ；（Ⅱ）若A B A =I ，试求实数a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）(1,2)A =（Ⅱ）[1,1]-. 【解析】试题分析：(Ⅰ)函数有意义，则真数大于零，被开方数不小于零，分母不等于零，据此求解不等式组可得()1,2.A = (Ⅱ)求解二次不等式可得[],3.B a a =+ 结合,A B A ⋂=可知.A B ⊆ 据此得到关于实数a 的不等式组，求解不等式组可得a 的取值范围是[]1,1-. 试题解析：（Ⅰ）函数()1lg x f x -=10,20,x x ->⎧⎨->⎩则集合()1,2.A = （Ⅱ）解不等式()222330,x a x a a -+++≤可得()()30x a x a ---≤.解得[],3.B a a =+ 若,A B A ⋂=则.A B ⊆所以1,3 2.a a ≤⎧⎨+≥⎩解得： 1 1.a -≤≤则a 的取值范围是[]1,1-.16.已知函数22()2sin cos cos sin f x x x x x =⋅-+，x ∈R ．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）求()f x 在区间[0]2π，上的最大值和最小值．【答案】（Ⅰ）最小正周期为 πT =，37,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈（Ⅱ）见解析【解析】试题分析：(Ⅰ)整理函数的解析式有()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.据此可得函数的最小正周期为πT =，函数的单调递减区间为37,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；(Ⅱ)结合函数的定义域有：ππ3π2444x -≤-≤．则3π8x =时，函数()f x 有最大值3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭当0x =时，函数()f x 有最小值()0 1.f =- 试题解析：（Ⅰ）()f x = 22sin x cos x - 24x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以函数()f x 的最小正周期为2π=?π2T =. 令3222242k x k πππππ+≤-≤+得3788k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈. 所以函数()f x 的单调减区间为37,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．（Ⅱ）因为π02x ≤≤，所以ππ3π2444x -≤-≤．所以当π242x π-=，即3π8x =时，函数()f x 有最大值3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭当π2,44x π-=-即0x =时，函数()f x 有最小值()0 1.f =- 17.已知二次函数()f x 的图象经过(1,4),(1,0),(1,0),(3,0)A B C D --四个点中的三个. （Ⅰ）求函数()f x 解析式，并求()f x 的最小值；（Ⅱ）求证：存在常数m ，使得当实数12,x x 满足12x x m +=时，总有12()()f x f x =. 【答案】（Ⅰ）1(2)2f =- （Ⅱ）见解析【解析】试题分析：(1)由题意可得()f x 的图象经过,,A C D 三点.利用待定系数法可得函数的解析式()()221311222222f x x x x =-+=--.则()f x 的最小值为()122f =-. (2)由题意计算可得()()2221111322222f x x m x m m =+-+-+，()211113222f x x x =-+，据此可得方程组222,120,2m m m -=-⎧⎪⎨-=⎪⎩ 解得4m =.即存在实数4m =满足题意. 试题解析：（Ⅰ）解：因为()()1,4,1,0A B --横坐标相同，所以函数图象不能同时经过,A B 两点；因为()()()1,0,1,0,3,0B C D -纵坐标相同，所以二次函数图象不能同时经过,,B C D 三点，所以()f x 的图象经过,,A C D 三点. 设()2f x ax bx c =++（0a ≠）.将,,A C D 三点坐标代入，可以解得13,2,22a b c ==-=. 所以()()221311222222f x x x x =-+=--.()f x 的最小值为()122f =-.（Ⅱ）证明：因为12x x m +=，所以21x m x =-.()()()()()2222111111311322222222f x f m x m x m x x m x m m =-=---+=+-+-+，又()211113222f x x x =-+，所以，()()12f x f x =成立，当且仅当222,120,2m m m -=-⎧⎪⎨-=⎪⎩ 即4m =. 所以存在实数4m =，使得当实数12,x x 满足12x x m +=时，总有()()12f x f x =.18.函数()f x 的定义域为D ，如果存在实数a ，b 使得()()f a x f a x b -++=对任意满足a x D -∈且a x D+∈的x恒成立，则称()f x为广义奇函数.（Ⅰ）设函数1()1f xx=-，试判断()f x是否为广义奇函数，并说明理由；（Ⅱ）设函数1()2xf xt=+，其中常数t0≠，证明()f x是广义奇函数，并写出++L的值；（Ⅲ）若()f x是定义在R上的广义奇函数，且函数()f x的图象关于直线x m=（m为常数）对称，试判断()f x是否为周期函数？若是，求出()f x的一个周期，若不是，请说明理由.【答案】（Ⅰ）1()1f xx=-是广义奇函数（Ⅱ）-（Ⅲ）见解析【解析】试题分析：(Ⅰ)()11f xx=-是广义奇函数.理由如下：满足题意时只需证明存在实数a，b使得()()f a x f a x b-++=对任意x a≠±恒成立.转化为()()2222b a x a+-=对任意x a≠±恒成立,据此可得存在0,2a b==-，使得()11f xx=-是广义奇函数.(Ⅱ)由题意结合广义奇函数的定义可得1bt=，2a log t=时，()12xf xt=+是广义奇函数.则()()1122h x h x x⎫+-=-≠⎪⎝⎭，据此可得原式=-(Ⅲ)由题意可得()()f a x f a x b-++=，()()f m x f m x+=-恒成立.则：()()2f x f m x=-.()()2f x f a x b+-=.故()()22f m x f a x b-+-=恒成立.把x用22m a x-+代换得()()242.f a x f a m x b-+--=据此可得()()()()242442.f m x f a m x f a m m x-=--=-+-分类讨论有：当a m≠时，44a m-是函数()f x的一个周期.当a m=时，()2bf x=对x R∈恒成立.则题中的结论成立.试题解析：（Ⅰ）()11f xx=-是广义奇函数. 理由如下：()11f xx=-的定义域为{|0}x x≠，只需证明存在实数a，b使得()()f a x f a x b-++=对任意x a≠±恒成立.由()()f a x f a x b -++=，得112b a x a x +-=-+，即()()2a x a x b a x a x ++-+=-+. 所以()()2222b a x a +-=对任意x a ≠±恒成立,即2,0.b a =-=从而存在0,2a b ==-，使()()f a x f a x b -++=对任意x a ≠±恒成立.所以()11f x x=-是广义奇函数. （Ⅱ）记()f x 的定义域为D ，只需证明存在实数a ，b 使得当a x D -∈且a x D +∈时，()()f a x f a x b -++=恒成立，即1122a x a x b t t -++=++恒成立. 所以()()2222a x a x a x a x t t b t t +-+-+++=++，化简得，()()()2212222a x a x a bt b t t +--+=+-. 所以10bt -=,()22220a b t t +-=.因为0t ≠，可得1b t=，2a log t =, 即存在实数a ，b 满足条件，从而()12x f x t =+是广义奇函数. 由以上证明可知，()h x =是广义奇函数，对21,22a logb ===-，有11222h x h x ⎛⎫⎛⎫++-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()0x ≠，即()()12h x h x +-=- 12x ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，故][][1220162017201720171201622015100810091008201720172017201720172017h h h h h h h h h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++=⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭L LL =-（Ⅲ）因为()f x 是定义在R 上的广义奇函数，且函数()f x 的图象关于直线x m =对称，所以有()()f a x f a x b -++=，()()f m x f m x +=-恒成立.由()()f m x f m x +=-得()()2f x f m x =-.由()()f a x f a x b -++=得()()2f x f a x b +-=.所以()()22f m x f a x b -+-=①恒成立. 把x 用22m a x -+代换得()()()()222222f m m a x f a m a x b --++--+=，即()()242.f a x f a m x b -+--=②由①②得：()()()()242442.f m x f a m x f a m m x -=--=-+-当a m ≠时，()f x 为周期函数，44a m -是函数()f x 的一个周期.当a m =时，由①得()22b f a x -=，从而()2b f x =对x R ∈恒成立. 函数()f x 为常函数，也为周期函数，任何非零实数均为函数()f x 的周期.点睛：(1)本题解题的关键是抓住新定义中的广义奇函数的概念，可将问题迎刃而解．(2)对于这类问题，我们首先应弄清问题的本质，然后根据等差数列、等比数列的性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决．。