从综合几何到几何代数化的数学思想方法

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重大突破思想方法常量变量学到数学

数学思想方法的重大突破从常量数学到变量数学

文章摘要：17世纪对于数学发展具有重大意义的事件，除了解析几何开辟了几何代数化这一新的方向外，还有微积分的创立使常量数学过渡到变量数学。从常量数学到变量数学，是数学思想方法的又一次重大突破。

【编者按】数学的发展并不是一些新概念、新命题、新方法的简单积累，它包含着数学本身许多根本的变化，也即质的飞跃。历史上发生的数学思想方法的几次重大突破，就充分说明了这一点。

17世纪对于数学发展具有重大意义的事件，除了解析几何开辟了几何代数化这一新的方向外，还有微积分的创立使常量数学过渡到变量数学。从常量数学到变量数学，是数学思想方法的又一次重大突破。

一、变量数学产生的历史背景

变量数学是相对常量数学而言的数学领域。常量数学的对象主要是固定不变的图形和数量，它包括算术、初等代数、初等几何和三角等分支学科。常量数学是描述静态事物的有力工具，可是，对于描述事物的运动和变化却是无能为力的。因此，从常量数学发展到变量数学，就成为历史的必然了。

变量数学之所以产生于17世纪，是有其特定的历史背景的。

从自然科学的发展来看，变量数学是在回答16、17世纪自然科学提出的大量数学问题过程中，酝酿和创立起来的。我们知道，随着欧洲封建社会的解体和资本主义工厂手工业向机器大生产的过渡，自然科学开始从神学的桎梏下解放出来，大踏步地前进。这时，社会生产和自然科学向数学提出了一系列与运动变化有关的新问题。这些新问题，大体可以分为以下五种类型。

方法论试题库(章节)

方法论试题库（章节）

第一章绪论

名词解释：1。方法论：是人们关于认识世界和改造世界的根本性的学科，是人们总结科学发现或发明的一般方法的理论。

简答：1。数学方法论的研究对象：关于数学功能的研究；关于数学内容辩证性质的研究；关于数学中常用方法的研究；关于数学思想方法的研究；关于数学思维的研究；关于数学推理的研究；关于数学语言的研究；关于数学人才成长规律的研究

2。数学方法论中数学内容辩证性质的研究

答。一。关于数学中矛盾的研究，即数学中有哪些重要的矛盾，它们的形势与发展规律是怎样的。二是关于数学中辩证法内容的分析，包括数学内容的辩证实质的分析和演进过程的分析等

3。试举四种数学中的一般科学认识方法

答：观察、分析、综合、比较、分类、抽象、概括等

4。试举四种数学中的特有的科学认识方法

答：抽象方法、公理化方法、模型方法、构造方法、试验方法、化归方法、映射方法等

论述：1。宏观和微观数学方法论的研究侧重点有何不同。

答：宏观数学方法论把数学置于各门科学以致客观世界中来认识，侧重于对数学发展的外部规律以及数学人才成长规律的研究。微观数学方法论从数学的内在联系中讨论数学中的一般研究方法，即着眼于数学的思想、观念，数学研究的方法，数学发现发明和创新法则等内部规律的研究。

2。数学方法论的数学功能。

一。科学功能，即数学作为一种科学语言和科学方法，它在自然科学、社会科学、哲学领域中具有方法论的价值。二。思维功能，即数学作为一种思维工具，是思维的体操，是进行思维活动的载体。三。社会功能，即数学作为认识世界、改造世界的工具，它在社会生产、经济、文化、教育等方面具有突出的地位与作用。四，心理功能，即数学是人类一种宝贵的文化财富，他在塑造人的健康完美的个性心理品质方面，具有特殊的意义与作用

十大数学思想方法

数学（mathematics或maths，来自希腊语，“máthēma”；经常被缩写为“math”），是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种。下面请欣赏店铺为大家带来的十大数学思想方法，希望对大家有所帮助~

1、配方法：

所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。

2、因式分解法：

因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角函数等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。

3、换元法：

换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。

4、判别式法与韦达定理：

一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c∈R，a≠0）根的判别式△=b2—4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程（组），解不等式，研究函数乃至解析几何、三角函数运算中都有非常广泛的应用。

几何条件代数化，思想方法助突破

几何条件代数化，思想方法助突破作者：***

来源：《数学教学通讯·初中版》2020年第08期

[摘要] “几何特性+函数知识”的综合题是中考的压轴类型题之一，该类题常以函数为背景，融合几何特性来综合考查学生的知识与能力水平. 实际解题时，需要处理好代数与几何联系、问题情形多样、计算分析复杂等多方面的问题. 文章以一道函数综合题为例，开展思路突破、解题思考.

[关键词] 二次函数;平行四边形;动点;代数化;分类讨论

二次函数是初中数学的重要内容，中考对其考查的方向趋于综合. 而综合是多层面的，如知识层面涉及二次函数的基本性质、几何图形、三角函数、方程等，思想层面涉及化归与转化、数形结合、分类讨论、模型构建等. 下面对2019年连云港市中考数学二次函数压轴题展开探究.

考题呈现

考题？摇（2019年连云港市中考数学卷第26题）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y=x2+bx+c经过点C（0，-3），与抛物线L2：y=-■x2-■x+2的一个交点为A，且点A的横坐标为2，P，Q分别是抛物线L1和抛物线L2上的动点.

（1）求抛物线L1对应的函数表达式;

（2）若以A，C，P，Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标;

（3）设点R为抛物线L1上另一个动点，且CA平分∠PCR，若OQ∥PR，求出点Q的坐标.

思路突破

上述二次函数综合题分为三小问，每一问独立存在又联系紧密，下面对其展开思路突破.

（1）待定系数法是求解抛物线解析式的常规方法，突破的关键是确定曲线上点的坐标，且未知系数的个数与所需点的坐标个数一致. 点A和点C均在抛物线L1上，其中点C的坐标已知，而点A为抛物线L1与L2的交点，因此点A的坐标可借助抛物线L2的解析式加以确定.

常用的数学思想方法

常用的数学思想方法大全

在数学的学习过程中，有哪些常见的思想方法呢?下面是店铺网络整理的常见的数学思想方法以供大家学习。

常用的数学思想方法篇1

1、数形结合思想：就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解体思路，使问题得到解决。

2、联系与转化的思想：事物之间是相互联系、相互制约的，是可以相互转化的。数学学科的各部分之间也是相互联系，可以相互转化的。在解题时，如果能恰当处理它们之间的相互转化，往往可以化难为易，化繁为简。如：代换转化、已知与未知的转化、特殊与一般的转化、具体与抽象的转化、部分与整体的转化、动与静的转化等等。

3、分类讨论的思想：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查，这种分类思考的方法，是一种重要的数学思想方法，同时也是一种重要的解题策略。

4、待定系数法：当我们所研究的数学式子具有某种特定形式时，要确定它，只要求出式子中待确定的字母得值就可以了。为此，把已知条件代入这个待定形式的式子中，往往会得到含待定字母的方程或方程组，然后解这个方程或方程组就使问题得到解决。

5、配方法：就是把一个代数式设法构造成平方式，然后再进行所需要的变化。配方法是初中代数中重要的变形技巧，配方法在分解因式、解方程、讨论二次函数等问题，都有重要的作用。

6、换元法：在解题过程中，把某个或某些字母的式子作为一个整体，用一个新的字母表示，以便进一步解决问题的一种方法。换元法可以把一个较为复杂的式子化简，把问题归结为比原来更为基本的问题，从而达到化繁为简，化难为易的目的。

高中四大数学思想方法

数学（mathematics或maths，来自希腊语，“máthēma”；经常被缩写为“math”），是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种。数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。下面是店铺整理的高中四大数学思想方法，希望对你有所帮助！

一、数形结合思想

数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合。应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决。运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征。

应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：

（1）集合的运算及韦恩图；

（2）函数及其图象；

（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；

（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线。

以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法。

以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合。

二、分类讨论思想

分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决。分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技

数学思想方法教学与研究

数学方法的含义
方法是指人们为了达到某种目的而采取的手段、途
径和行为方式中所包含的可操作的规则或模式，具有程序性、规则性、可操作性、模式性、指向性等特征．方法因问题而生，因能解决问题而存．
数学方法是指在数学地提出问题、研究问题和解决
问题（包括数学内部问题和实际问题）的过程中，所采用的各种手段或途径．其中包括变换数学形式。
内容
一.何谓数学思想方法
二.中学数学中常用的数学方法
三.几类常用的数学思想方法介绍
1.演绎法或公理化方法 2.类比法 3.归纳法与数学归纳法 4.数学构造法
5.化归法
6.数学模型方法
四.数学思想方法的教学原则
五.数学思想方法的教学策略
数学思想的含义
现代汉语中，思想解释为客观存在反映在人的意识中经过思
读一段文字，有一个段落大意，读一篇课文，有一个中心思想，同样，一门学科也有一个大意和中心思想，如解析几何的中心思想，这种思想在意义上如同课文的中心思想，是建立在这门学科内容之上的，蕴涵在内容之中，经人们由内容精练概括出来的，而高于内容的东西．数学思想的一个层面就是这种思想．
二. 中学数学中常用的数学方法
事实上，数学思想方法是有层次的。操作性思想方法、逻辑性思想方法、策略性思想方法，从思维的角度上看，层次是逐渐上升的。
1. 演绎法或公理化方法（逻辑思维方法）

数学方法与思想方法

数学是研究事物的空间形式和数量关系的，初中最重要的数量关系是等量关系，其次是不等量关系。以下是店铺整理的数学方法与思想方法，希望能够帮助到大家！

初中数学常见的思想方法1

初中数学中蕴含的数学思想很多，其中最主要的数学思想方法包括转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想等．（1）转化思想．转化思想就是人们将需要解决的问题，通过演绎、归纳等转化手段，归结为另一种相对容易解决或已经有解决方法的问题，从而使原来的问题得到解决．转化思想体现在数学解题过程中就是将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎和归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题．

初中数学中诸如化繁为简、化难为易、化未知为已知等均是转化思想的具体体现．具体而言，代数式中加法与减法的转化，乘法与除法的转化，用换元法解方程，在几何中添加辅助线，将四边形的问题转化为三角形的问题，将一些角转化为圆周角并利用圆的知识解决问题等等都体现了转化思想．在初中数学中，转化思想运用的最为广泛．（2）数形结合思想．数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，因而，在某种程度上可以说数学研究是围绕着数与形展开的．初中数学中的“数”就是代数式、方程、函数、不等式等符号表达式，初中数学中的“形”就是图形、图象、曲线等形象表达式．数形结合思想的实质是将抽象的数学语言（“数”）与直观的图象（“形“）结合起来，数形结合思想的关键就是抓住“数”与“形”之间本质上的联系，以“形”直观地表达“数”，以“数”精确地研究“形”，实现代数与几何之间的相互转化．数形结合思想包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．“数无形时不直观，形无数时难入微．”数形结合是研究数学、解决数学问题的重要思想，在初中数学中有着广泛应用．

数学思想方法

函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。
数形结合
中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。
数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。
笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。
函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。

常用的数学思想方法

数学的思想方法有哪些？常用的数学思想方法有哪些？下面就来和店铺一起看看常用的数学思想方法吧。

1、数形结合思想：

就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解体思路，使问题得到解决。

2、联系与转化的思想：

事物之间是相互联系、相互制约的，是可以相互转化的。数学学科的各部分之间也是相互联系，可以相互转化的。在解题时，如果能恰当处理它们之间的相互转化，往往可以化难为易，化繁为简。如：代换转化、已知与未知的转化、特殊与一般的转化、具体与抽象的转化、部分与整体的.转化、动与静的转化等等。

3、分类讨论的思想：

在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查，这种分类思考的方法，是一种重要的数学思想方法，同时也是一种重要的解题策略。

4、待定系数法：

当我们所研究的数学式子具有某种特定形式时，要确定它，只要求出式子中待确定的字母得值就可以了。为此，把已知条件代入这个待定形式的式子中，往往会得到含待定字母的方程或方程组，然后解这个方程或方程组就使问题得到解决。

5、配方法：

就是把一个代数式设法构造成平方式，然后再进行所需要的变化。配方法是初中代数中重要的变形技巧，配方法在分解因式、解方程、讨论二次函数等问题，都有重要的作用。

6、换元法：

在解题过程中，把某个或某些字母的式子作为一个整体，用一个

新的字母表示，以便进一步解决问题的一种方法。换元法可以把一个较为复杂的式子化简，把问题归结为比原来更为基本的问题，从而达到化繁为简，化难为易的目的。

浅谈数学思想方法

浅谈初高中数学思想方法

姓名：周颖学号：56

几千年的数学发展史告诉我们：数学思想方法存在和活跃在整个数学发展的进程之中，例如古希腊的亚里士多德与欧几里得提出公理化方法，把大量的、零散的几何知识系统化，最后成就了欧式几何；中国古代数学家刘徽提出的“割圆术”，从而解决了长期以来圆周率不准确的问题，其中也包含着极限思想的萌芽，笛卡尔采用变量的思想方法来看几何曲线，引进了坐标系，从而创立了代数方法研究几何问题的新数学分支——解析几何，牛顿、莱布尼茨提出了无穷小量的方法，创立了非欧几何理论，并解决了两千多年来几十代数学家为之困扰的欧式几何第五公设问题；希尔伯特别重视解题方法的研究，他曾在1900年巴黎国际数学家大会上作了题为《数学问题》的演讲，精辟地阐述了重大数学问题的特点及其在数学发展史中的作用，并列举了23个重大数学问题，对推动20世纪数学的发展产生了巨大的影响，人们普遍认为这个演讲本身就是一篇数学思想方法的重要著作。

一、数学思想方法

随着近代和现代数学的发展，数学方法论作为一门独立的学科已经建立并有了相应的发展，其中最重要的标志之一就是出现了许多具有划时代意义的数学思想方法，导致了数学基础学科的重大变革。

1．数学思想方法的含义

我们知道，数学发展的动力，无疑来自人类的生产实践活动，而数学思想和数学方法是其中重要的因素。而数学思想是人们通过数学活动(包括发现、研究数学知识、应用数学知识解决问题和教授与学习数学知识三项活动)认识世界的过程中所形成的基本观点；数学思想方法是为数学活动提供的思路、方式、逻辑手段和操作原则。

从综合几何到几何代数化的数学思想方法

一、几何代数化思想的由来

数学的发展是以数和形两个基本概念作为主干的，数学思想方法的各种变革也是通过这两个概念进行的。在数学的萌芽时期，数和形的研究并不是互相割裂的，长度、面积和体积的量度把数和形紧密地联系起来。可是，在尔后的数学发展中，数和形的联系却长期没能得到进一步的深化。这突出表现在几何和代数的不协调性发展上。

我们知道，几何学作为一门独立的数学学科，最先是在古希腊学者手中形成的，欧几里得《几何原本》的问世就是重要的标志。那时，代数尚处于潜科学阶段，尚未形成严谨的逻辑体系，只是以零散、片断的知识形态存在着。因此，从公元前3世纪到14世纪，几何学在数学中占据着主导地位，而代数则处于从属的地位。由于几何学有着严谨的推理方法和直观的图形，可以把种种空间性质、图形关系问题的探讨，归结成一系列基本概念和基本命题来推演、论证，所以数学家们大都喜欢运用几何思维方式来处理数学问题，甚至把代数看成是与几何不相干的学科。这种人为的割裂，不仅延误了代数的发展，也影响了几何学的进步。

随着数学研究范围的扩大，用几何方法来解决数学问题越来越困难，因为许多问题特别是证明问题往往需要高超的技巧才能奏效，而且推演、论证的步骤又显得相当繁难，缺乏一般性方法。正当几何学难于深入进展时，代数学日趋成熟起来。尤其是在16世纪代数学得到突破性进展，不仅形成了一整套简明的字母符号，而且成功地解决了二次、三次、四次方程的求根问题。这就使代数学在数学中的地位逐渐得到上升，于是综合几何思维占统治地位的局面开始被打破。

数学思想方法

数形结合的思想方法，就是把问题中的数量关系与相应的图形结合起来，由数的性质得到相应图形的特征，或由图形的特征得出相应的数量关系，从而解决问题的思想方法。
例如：数轴就是数形结合的产物解析几何就是用代数的方法研究几何问题的数学分支
关系映射反演原则的基本思想是：当处理某问题甲有困难时，可以联想适当的映射，把问题甲及其关系结构R，映成与它有一一对应关系，且易于考察的问题乙，在新的关系结构中问题乙处理完毕后，再把所得到的结果，通过映射反演到R，求得问题甲的结果。
数学抽象，就是抽象分析的方法在数学中的具体运用。其基本过程，大体是从所考察的问题（数学问题或实际问题）出发，通过观察、分析、综合、比较，排除非本质的东西，把问题的本质作为一个完整的体系（数
学模型）抽象出来。
例如：正数、负数的抽象过程数轴的抽象过程列方程的过程 ……
数学模型，是针对或参照某种事物系统的主要特征、主要关系，用形式化的语言，概括地或近似地表述出来的一种数学结构。
数学实验方法对于学生进行数学探究和数学发现，有着重要的作用。
例如：通过对具体数字的计算实验，发现有理数运算律；通过函数对解析式中待定系数的赋值实验，发现函数性质等。
数和形这两个基本概念，是数学的两块基石。在数学发展的进程中，数和形常常结合在一起，在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下互相转化。

数学中的奥秘：从几何到代数的探索

● 02
第2章几何的美丽
平面几何
平面几何是数学中最古老的分支之一，研究二维平面上的图形和关系。从点、线、面到圆、多边形，展示了几何学的美丽和奥秘。
立体几何
体积计算
了解物体的三维空间容积
几何体分类
认识不同几何体的特征
空间关系
探究物体在三维空间中的相对位
置
91%
表面积计算
掌握物体外表面积的计算方法
未完待续
数学的旅程永不终结，我们还有许多未知的领域等待我们去探索。让我们继续研究和学习数学，揭开更多的奥秘，共同探索数学世界的无限可能性。
感谢观看
THANKS
数学的智慧
01 逻辑推理
通过演绎和归纳推理解决问题
02 证明方法
用数学语言和逻辑证明结论
03 抽象思维
理解抽象概念和结构
数学的无限可能
数学原理
欧几里得几何质因数分解中值定理泰勒级数
数学方法
数值计算数学建模最优化理论统计推断
数学应用
密码学金融数学人工智能量子力学
91%
数学发展
数学史现代数学未解问题数学教育
代数结构
群
群是一个集合和该集合上的一个二元运算，满足封闭性、结合律、
单位元和逆元
域
域是一个集合和两种二元运算，满足加法交换律、乘法交换律和除

数学思想方法的重大突破

数学思想方法的最大突破

一、数学思想方法的重大突破

之从算术到代数【编者按】数学的发展并不是一些新概念、新命题、新方法的简单积累，它包含着数学本身许多根本的变化，也即质的飞跃。历史上发生的数学思想方法的几次重大突破，就充分说明了这一点。

算术和代数是数学中最基础而又最古老的分支学科，两者有着密切的联系。算术是代数的基础，代数由算术演进而来。从算术演进到代数，是数学在思想方法上发生的一次重大突破。

一、代数学产生的历史必然性

代数学作为数学的一个研究领域，其最初而又最基础的分支是初等代数。初等代数研究的对象是代数式的运算和方程的求解。从历史上看，初等代数是算术发展的继续和推广，算术自身运动的矛盾以及社会实践发展的需要，为初等代数的产生提供了前提和基础。

我们知道，算术的主要内容是自然数、分数和小数的性质与四则运算。算术的产生，表明人类在现实世界数量关系认识上迈出了具有决定性意义的第一步。算术是人类社会实践活动中不可缺少的数学工具，在人类社会各部门都有广泛而重要的应用，离开算术这一数学工具，科学技术的进步几乎难以相象。

在算术的发展过程中，由于算术理论和实践发展的要求，提出了许多新问题，其中一个重要问题就是算术解题法的局限性在很大程度上限制了数学的应用范围。

算术解题法的局限性，主要表现在它只限于对具体的、已知的数进行运算，不允许有抽象的、未知的数参加运算。也就是说，利用算术解应用题时，首先要围绕所求的数量，收集和整理各种已知的数据，并依据问题的条件列出关于这些具体数据的算式，然后通过加、减、乘、除四则运算求出算式的结果。许多古老的数学应用问题，如行程问题、工程问题、流水问题、分配问题、盈亏问题等，都是借助这种方法求解的。算术解题法的关键是正确地列出算术，即通过加、减、乘、除符号把有关的已知数据连结起来，建立能够反映实际问题本质特征的数学模型。对于那些只具有简单数量关系的实际问题，列出相应的算式并不难，但对于那些具有复杂数量关系的实际问题，在列出相应的算式，往往就不是一件容易的事了，有时需要很高的技巧才行。特别是对于那些含有几个未知数的实际问题，要想通过建立已知数的算式来求解，有时甚至是不可能的。

数学思想方法的几次重大转折

历史表明，数学的发展，不仅表现为量的积累，而且还表现为质的飞跃。数学思想方法在历史上经历了四次重大转折：从算术到代数，从常量数学到变量数学，从必然数学到或然数学，从明晰数学到模糊数学，就充分说明这一点。回顾、总结和分析这四次重大转折，将有助于我们全面了解数学思想方法演变的历史及其规律。

1.从算术到代数

算术和代数，作为最基础而又最古老的两个分支学科，有着不可分割的亲缘关系。算术是代数产生的基础，代数是算术发展到一定阶段的必然产物。从算数发展到代数，是人们对数及其运算在认识上的突破，也是数学在思想方法上的一次重大转折。

在算术解题法中，未知数是不允许作为运算的对象的，它们没有参加运算的权利。而在代数解题法中，所列出的方程作为一种条件等式，已是由已知数和未知数构成的有机统一体。在这个统一体中，未知数和已知数有着同等的权利，即未知数在这里也变成了运算的对象，它们不再是消极、被动地静等在等式的一边，而是和已知数一样，可以接收各种运算指令，并可以依照某种法则从等式的一边移到另一边。解方程的过程，实质上就是未知数和已知数进行重新组合的过程，也是未知数向已知数转化的过程。

解方程是古典(经典)代数最基本的内容。方程在数学中占有重要的地位，它的出现不仅极大地扩充了数学应用的范围，使得许多算术解题法不能解决的问题能够得以解决，而且对整个数学的进程产生巨大的影响。特别是数学中的许多重大发现都与它密切相关，例如，∙对二次方程的求解，导致虚数的发现；

∙对五次和五次以上方程的求解，导致群论的诞生；