Strongart数学笔记：通向组合交换代数Stanley_Reisner理论

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Strongart数学笔记：交换环的参数系与正则列比较

交换环的参数系与正则列比较(2014-12-09 13:23:56)在交换环理论中，参数系（system of parameters，缩写为s.o.p）与正则列（regular sequence）是两个密切相关的概念，下面就来比较一下它们的关系。

下面约定，作为系数的k是域，环是指含单位元1是交换环。

基本概念：先看什么是参数系，元素x_1，…，x_d称为局部环（R，m）的参数系，若rad（x_1，…，x_d）=m；假若（x_1，…，x_d）=m，则它称为局部环（R，m）的正则参数系，此时R 称为正则局部环。

再看什么是正则列，它实际上就是依次出现的非零因子序列。

元素序列x_1，…，x_n称为环R-正则序列，若x_i 是R/（x_1，…，x_(i-1)）是正则元素，即不是零因子，1≤i≤n，这里约定x_0=0，并且还满足基本条件（x_1，…，x_n）≠R.对局部环（R，m），最后的基本条件可以由各x_i∈m保证，在m内的正则列又称为m-正则列。

元素顺序：参数系的各个元素同时给出，显然是与顺序无关的。

正则列的各个元素逐次给出，因此可能与顺序相关，一个流行的实例是在R=k[x,y,z]内，x，y（1-x），z（1-x）是R-正则列，但y（1-x），z（1-x），x就不是R-正则的。

令人惊讶的是，局部环（R，m）上的m-正则列与元素顺序无关，对此我们可以化为二元正则列来证明。

数量特征：参数系对应的数量是局部环Krull维数，对此我们有下面的维数定理，这个定理一般出现在交换代数初级教科书（比如【1】）的结尾处。

维数定理：设（R，m）是Noether局部环，则δ（R）= d（R）=dim R，这里δ（R）=min{μ（q）；q是m-准素理想}，而μ（q）表示q是生成元的最小数。

由维数定理，我们一般只对Noether局部环定义参数系的概念，Noether局部环的参数系一定是存在的，同时若x_1，…，x_d是局部环（R，m）的参数系，则有维数关系：dim R/（x_1）=dim R-1.正则列对应的数量是环的深度，局部环（R，m）内极大m-正则列的长度称为R的深度，记作depth R.一般环的深度定义为对各极大理想局部化的深度的最大值。

近世代数笔记

近世代数笔记世代数，也称为代数学，是数学中的一个重要分支，研究代数结构及其上的操作。

在近代数学发展中，代数学作为数学的基础学科，发挥着重要作用。

以下是一些关于近世代数的笔记：一、代数结构代数结构是代数学中的一个重要概念，指具有某种代数运算的数学结构。

常见的代数结构包括群、环、域等。

群是一种具有封闭性、结合律、单位元和逆元的代数结构；环是一种具有加法和乘法运算的代数结构；域是一种具有加法、乘法、单位元和逆元的代数结构。

研究代数结构可以帮助我们更深入地理解数学中的抽象概念和结构。

二、线性代数线性代数是代数学的一个重要分支，研究向量空间及其上的线性变换和矩阵。

线性代数在科学和工程领域有着广泛的应用，如解线性方程组、求特征值和特征向量、研究线性映射等。

掌握线性代数知识可以帮助我们更好地理解和应用代数学中的相关概念。

三、代数方程代数方程是代数学中的一个重要内容，研究方程及其根的性质和解法。

在代数方程中，常见的问题包括一元多项式方程的解法、代数方程组的求解、代数方程的根与系数之间的关系等。

通过学习代数方程，我们可以更好地理解和应用代数学中的代数概念和方法。

四、代数拓扑代数拓扑是代数学和拓扑学的交叉领域，研究代数结构与拓扑结构的关系。

代数拓扑在数学中有着重要的地位，如同调理论、同伦论、拓扑群等都是代数拓扑的经典应用。

通过学习代数拓扑，我们可以更深入地理解代数学和拓扑学的交叉点，为数学研究提供新的视角和方法。

总之，代数学作为数学的基础学科，对于数学的发展和应用具有重要意义。

通过学习代数学，我们可以更好地理解和应用数学中的抽象概念和方法，为数学研究和实际应用提供新的思路和途径。

希望以上的笔记内容可以帮助大家更好地理解近世代数的相关知识。

Strongart数学笔记：代数数论入门指南

代数数论入门指南一般代数数论都是先在具体的代数数环上出发的，常常可以在Dedekind整环上统一处理，然后通过数域的完备化发展到局部域，最后建立局部与整体类域论，本文主要科普的是局部类域论之前的代数数论基础概念。

先从迹与范的概念开始，它们实际上都源于线性代数，是特征多项式上的两个特殊的系数。

设A与B是两个交换环，且B是秩为n 的自由A-模，那么任何b∈B都可以视为B的乘子L_b(x)=bx，那么这个乘子就是一个线性变换（给定基之后可以写成n×n矩阵），它的迹、范与特征多项式就是元素b对于扩张B/A的特征多项式。

分别记作Tr（b），N（b）与f_b(X).代数数论中最常见的还是域的扩张，设L/K是有限n次扩域，u∈L在K上的不可约多项式的（可能重复的）根分别为u_1,…，u_s，则u的迹与范分别为：Tr(u)=[L:K(u)]Σu_i; N(u)=(∏u_i)^[L:K(u)]假若K是整环A的函数域，a∈L是A上的整元素，那么a对于L/K的特征多项式的系数（特别是迹与范）在A上都是整的且属于K。

特别当A是整闭的，那么它们的系数搜属于A.假若L/K是有限n次可分扩域，那么其迹形式T(u,v)=Tr(uv)是非退化的对称双线性型。

可定义L的元素a_1,…,a_n对L/K的判别式为：Disc（a_1,…,a_n）=det[Tr(a_ia_j]=（det[σ_ia_j])^2，1≤ij≤n其中σ_i是L的K-共轭。

若L=K(a),a在K上的极小多项式为f(x)=(x-a_1)…(x-a_n)，其中a_i=σ_i(a)，则定义a对于f（x）的判别式为：Disc（1,a,…,a^(n-1)）=∏(i＜j)(a_i-a_j)^2=(-1)^n(n-1)/2Nf'(a)这里f"(a)称为a的微分或差分（different）.通过对三项式f（x）=x^n+bx+c的验证，这里的判别式与通常二三次多项式的判别式是一致的（见[1]).代数数环都是Dedekind整环，其理想可以被唯一分解为素理想之积，下面我们就着重研究素理想。

Algebra笔记（一）

Algebra笔记（⼀）群(Group)的定义：A group is a set G together with a law of composition which is associative and has an identity element, and such that every element of G has an inverse.阿贝尔（Abelian）群：An abelian group is a group whose law of composition is commutative.⼦群（subgroup）：A subset H of group G is called a subgroup if it has the follow properties:(a) closure:If a∈H and b∈H, then ab∈H(b) Identity: I∈H(c) Inverses: If a∈H, then inv(a)∈H群的阶(order)：The order of any group G is the number of its elements.同态(isomorphism):Let G and G' be two groups. We want to say that they are isomorphic if all properties of the group structure of G hold for G' as well, and conversely.An isomorphism ψ from G to G' is a bijective map which is compatible with the laws of composition. i.e. ψ(ab)=ψ(a)ψ(b), for all a,b∈G. Of course, the choice of G as domain for this isomorphism is arbitrary. And the inverse function of ψ would serve just as well.Two group G and G' are called isomorphic if there exists an isomorphism function ψ:G→G'.共轭（conjugate）：Two elements a, a' of a group G are called conjugate if a'=b*a*inv(b) for some b∈G.。

Strongart数学笔记：C星代数的表示论与单、本原和素C星代数

谈谈C*-代数的表示论下面我们来谈谈C*-代数的表示论，先从有限群表示论开始介绍。

就最初级的讲法而言，有限群G的（有限）表示就是指它到矩阵群的一个同态f：G→M_n(k). 我们可以把矩阵群M_n(k)视为n维线性空间V到V上的线性映射，这样就相当于G→（V→V），它又可以等价于（G→V）→V，这就得到了群表示论中的G-模观点。

实际上，只要把G视为被表示对象，V视为表示空间，那么一般的表示论都有这样的类似结构，称为表示论的基本等价关系。

就这里C*-代数的情形而言，被表示对象就是C*-代数A，表示空间是Hilbert 空间H，C*-代数A的表示是指同态f：A→B(H)（这里的同态实际上是指*同态，表示实际上是指*表示，对于C*-代数而言，*结构一般总是被默认的）.由这个基本等价关系出发，我们可以得到C*-代数的两种单射表示。

一是忠实表示，它是指表示同态f：A→B(H)是单射；二是非退化表示，它是指A在B（H）上的作用是单射，即若f（a）h=0对任何h∈H成立，则a=0.下面讨论C*-代数表示的性质，首先它一定是收缩的，即‖f(a)‖≤‖a‖对任何a∈A均成立。

假若这个表示是忠实的，那么我们还可以取等号，也就是说f就是一个等距嵌入。

这样为了把C*-代数A嵌入Hilbert 空间H上的算子代数B（H）内，只要证明它有忠实表示就可以了，为此我们要先介绍一个GNS结构。

所谓GNS结构，主要由C*-代数上的一个态可以生成一个对应的表示。

具体来说，就是给定一个C*-代数A上的一个态（或非零正泛函）f，我们可以得到一个呗对应的表示三元组（π，H，ξ），满足条件1）f(a)=<π(a)ξ，ξ>, 对任何a∈A2）π（A）ξ在H内稠密实际上，我们可以令L={a∈A；f（a*a）=0}，借助f在A/L上定义内积：<x+L.y+L>==f(y*x)把H就取为A/L对此内积的完备化。

表示π而由左乘算子直接诱导，同时向量ξ就是A的逼近单位在H上像的极限，其存在性由完备化直接保证。

Strongart数学笔记：交换代数中文参考书测评

交换代数中文参考书测评(2014-12-06 13:13:43)代数是真正的上乘数学，特别是交换代数，不但是代数几何与代数数论的基础，其自身也包含着相当丰富的内容。

可惜国内在这方面还是比较薄弱，就连初级读物都是寥寥可数，中级以上的书籍几乎还没有出现，下面Strongart教授就来测评一下国产的交换代数参考书。

【A】Atiyah M F,Macdonald I G.Introduction to commutative algebra[M].Reading:Addison-Wesley,1969.（有中译本：阿蒂亚,麦克唐纳,绪宁.交换代数导引[M].科学出版社,1982.)最早的交换代数中文书是翻译本，它可以说是最经典的交换代数初级教科书了，行文流畅简明且有启发性，非要说有什么缺陷的话，就是在章节编排上有些凌乱，有些章甚至只有一节，还有大量内容散落在习题里，这可能是因为它是由讲稿改成的，而且作者在序言中明确表示不想再修改了。

综合评分：9.5【1】冯克勤，交换代数基础[M].高等教育出版社,1986.这是最早的中国人自己编写的交换代数中文参考书，此书写得相当清晰明了，让人惊讶中国人也能写出名著级的读物。

可要是你读过真正的名著【A】，就会发现此书中的亮点基本上大都是从那里面下载的，换句话说它就是【A】的一个补充修正版，主要就是把章节重编工整了，基本上是每章三节，对正文的内容做了充实。

此外，【1】中新增加第六章，介绍了一点交换代数在代数几何与代数数论中的初步应用。

综合评分：8那个年代信息闭塞，国内的数学系教育还停留在很低的水平，特别是对代数这样的上乘数学，基础是相当薄弱的。

直到十年之后，这才出现第二本中国人自己写的交换代数，【2】李克正.交换代数与同调代数[M].科学出版社, 1998.这本书的原创度应该是比较高的，如果说【1】是编大于写的话，此书就是写大于编了。

遗憾的是，作者似乎不太会为读者着想，尽管起点放低内容求全，可结果却是梯度变大，包含了很多麻烦的长证明，非常不适合用来自学，同时其内容又比较单薄，也不适合用来当字典查，基本上只能用作参考，网上有评论说只有他自己的学生才用。

Strongart数学笔记：谈谈调和分析中的极大函数

谈谈调和分析中的极大函数从经典实分析（实变函数）到近代调和分析的过渡中，极大函数可以说是一个标志性的概念，一般出现在实分析的末尾与近现代调和分析的开篇。

同时，极大函数又是一个比较难理解的概念，原因大概就在于它属于构造型的概念，非常缺少便于把握的实例。

极大函数一般定义为（Mf)(x)=sup{|B|^(-1)∫B|f（x）|dx}，其中sup在满足一定条件的可测集族中取值。

事实上，为了右边积分的方便，最常见的取值范围就是球体与方体，分别对应的球体极大函数与方体极大函数（按照x是否必须是中心，还分别有中心与非中心的差别）。

可即便如此，还有取上确界这个障碍，能得到Mf的简单表达式的情形，似乎就只有一些简单图形的特征函数（及其数乘），这时积分可以当做图形的测度来处理，上确界可以通过某种条件最小图直接看出。

此外，一个富有启发的例子就是某点P的δ分布，极大值可取为包含P的最小图，而对于非常接近δ分布的函数，它就在P点的某个小邻域中取极大，因此一般并不是这个函数的支集。

我们先以球形中心极大函数为例，讨论一下Mf的一些性质，主要就是说明它是弱（1,1）与（p，p）型的（1＜p≤∞）。

首先，直接的估计可以得到Mf是（∞，∞）的，假若能够证明它的弱（1,1）的，那么由Marcienkiewicz interpolation theorem可知，它是（p，p）型的（1＜p≤∞）。

在弱（1,1）型的估计中，使用覆盖引理是一个关键，其基本思想是相应图形的不交化，这样的过程常常是不计代价的，我把它概括为∫A∩B≤∫A+∫B≤2∫X。

当然，以上只是一般模式，在具体问题中可以灵活处理，比如在二进方体的极大函数中，两个二进方体若没有包含关系，那么它们天然的不相交，因此可以通过取极大的可能方体来代替覆盖引理，而相应的对强（p，p）型则可以直接估计，这样得到的界常数要远优于插值定理。

假设我们已经建立球中心极大函数，那就可以借助球中心极大函数来估计方体以及非中心的情况。

Strongart数学笔记：代数几何概型学习指南

Hartshorne代数几何概型部分学习指南(2014-04-1614:30:14)在Hartshorne的著名教科书《代数几何》中，有这样一段话“对于代数几何来说，毋庸置疑，概型的引入是一种革命，给代数几何带来了巨大的进步。

但是，跟概型打交道的人们必须背负相当沉重的技术包袱，例如层、Abel范畴、上同调、谱序列等等”，同时他的代数几何教科书只能说是瑕瑜互见，使得很多初学者对于代数几何的概型理论望而生畏，下面Strongart教授就来科普一下代数几何中概型理论。

约定：本文中的环指含有单位元1的交换环，k表示特征为零的域，必要时就作为基域。

首先，我们遇到的第一个障碍就是层（sheaf），实际上层这个概念并不难理解，但很多书都在预层与层之间做技术性讨论，就好比是学微积分之前就先钻研点集拓扑，自然会让初学者感觉一头雾水。

实际上，层就是在拓扑空间的开集族上定义的到Abel群（或其他良好代数对象）的映射，可以视为拓扑流形上连续函数的公理化，后者不但说明了层这个概念的直观来源，同时还反映从局部性质到整体行为的基本目的，代数几何中对应的“拓扑流形”是交换环的局部环层空间（ringed space）.所谓环层空间，就是指拓扑空间X与其上的环层O_X组成的对(X,O_X)，其中O_X就是X上的结构层。

假若O_X在各个茎上是局部环，那么它就称为局部环层空间。

给定一个交换环R，其局部环层空间就是取X=Spec R，其环层由交换环R的素谱Spec R上给定，在各个茎上由环的局部化给出，这样对应的(Spec R,O_Spec R)又称为仿射概型，它在概型上起到了类似流形上坐标卡的作用。

X是概型，就是指局部环层空间，即对任何x∈X，存在X的邻域U，使得（U，O_U）同构于仿射概型。

概型之间的态射可以通过局部环层空间的态射定义。

环层空间的态射f：（X，O_X）→（Y，O_Y）则是包含着两个要求：首先f：X→Y是环同态；其次是环层映射f#：O_Y→f*O_X，它满足对任何x∈X，y=f(x)，则f#在各茎上诱导局部环之间的同态f_x：（O_(Y,y)，M_y)→（O_(X,x)，M_x).下面我们看概型的若干性质，它们大都来自于环的代数或（Krull）拓扑。

Strongart数学笔记：Differential Forms in Algebraic Topology读后感

Differential Forms in Algebraic Topology读后感最近我读完了Raoul Bott的Differential Forms in Algebraic Topology（代数拓扑中的微分形式），开头还算是比较轻松愉快，后来遇到spectral sequences就开始发晕，到homotopy的时候就有点像放弃了，好在那是一个相对独立的章节，熬到最后的characteristic classes稍微总算好转一点。

下面主要就比较熟悉前半部分，谈一点阅读体会。

书中一开始是介绍de Rham cohomology，一个特色就是并列了带有compactly supports的情形，这样可以处理noncompact的情形。

然而，compact cohomology的很多性质是普通的cohomology相反的，这可以从Mayer-Vietoris sequence开始讨论。

就Ω*函子而言，普通的cohomology是反变的，但compact cohomology却有两种选择，书中主要还是取的共变形式，这就使得关于compact cohomology的Mayer-Vietoris sequence中箭头的方向与通常的cohomology相反。

接着我们看Poincare lemma，普通的cohomology中可以把×R 直接收缩掉，但对于compact cohomology而言，直接pullback会破坏compactly supports条件，最后只能得到一个降维的形式。

当然，具体的证明需要对微分形式做细致的讨论，尽管两种cohomology的讨论有点类似，但似乎都比较繁琐。

我们容易把Poincare lemma推广到向量丛M→E上，分别得到H^*(E)≌H^*(M)与H^*_c(E)≌H^(*-n)_c(M)，请注意对于compactly supports的情形，需要使用Poincare duality，因此要假定流形是有限型可定向的。

Strongart数学笔记：浅析交换环到非交换环的推广

浅析交换环到非交换环的推广最近我读完了Lam的《非交换环初级教程》，发现非交换的情形确实很有意思，下面就简单谈几点交换环到非交换环的推广。

非交换环的一个最常见的例子或许就是矩阵了，利用矩阵可以一批非交换环的反例。

若S是包含在环R内的相应维数为无穷的域，那么A=Re_11+Re_12+Se_22是左Noether与左Artin的，但不是右Noerther与右Artin，这说明了链条件在非交换环中有左与右的差别。

在除环上的所有矩阵的有限直积构成了所谓的半单环类，这就是通常所说的Wedderburn-Artin定理，这也是非交换环中第一个精彩的结构定理。

更加有趣的是，它通过矩阵的对称结构，自然说明了左半单环等价于右半单环，尽管非交换环中有左与右的区别，但也不乏此类殊途同归的有趣现象。

在交换环中，我们经常要研究它的根，也就是某类条件理想的交集。

最常见的两个根分别是Jacobson根与幂零根，前者简称为大根，它是所有极大理想的交；后者简称为素根或小根，它是所有素理想的交。

而在非交换的情形中，一个根就可能分化为三个根，满足某类条件左、右理想以及理想的交。

尽管一般不作为重点，但在非交换环中也一样可以讨论（双边）理想。

事实上，非交换环R所有极大左理想的交恰恰就是所有极大右理想的交，并且它们良好的继承了相应的可逆性质，因此就称其为非交换环的Jacobson根，也记作rad(R)。

而对于R有极大理想的交，就要比rad(R)更大一些，被称为Brown-McCoy根。

反例要稍微复杂一点，设k是除环，V=∑e_ik（Σ是直和，i=1，2…），R=End（V_k)，可以证明R是von Neumann 正则的，因此Jacobson根为零，但它却有唯一的极大理想I={f∈R;dim f(V)<∞}！这类的自同态环的例子可以视为矩阵的一种无穷维推广。

小根的情况似乎要简单一些，可能是定义的不方便，书中并没有出现所谓的左素理想与右素理想，而只是笼统的定义了素理想的概念。

康托尔伯恩斯坦施罗德定理

康托尔伯恩斯坦施罗德定理康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理是数学中的一个重要定理，它在集合论和代数学中有着广泛的应用。

本文将对该定理进行详细阐述，并探讨其在数学领域中的重要性。

康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理，也被称为CBS定理，是由德国数学家Georg Cantor、Felix Bernstein和Ernst Schröder分别独立发现并证明的。

该定理是集合论中的一个基本结果，描述了两个集合之间的基数关系。

我们需要了解一些集合论的基本概念。

在集合论中，一个集合的基数即表示该集合中元素的个数。

例如，集合{1, 2, 3}的基数为3。

而集合之间的基数关系则描述了两个集合中元素的对应关系。

康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理主要描述了两个集合之间存在一种双射（一一对应）的关系。

具体来说，对于两个集合A和B，如果存在一个函数f，使得对于A中的每个元素a，都有唯一对应的B中的元素b，且对于B中的每个元素b，也都有唯一对应的A中的元素a，那么我们称集合A与集合B是等势的，记作|A|=|B|。

换句话说，如果存在一个双射函数将集合A和集合B一一对应起来，那么它们的基数相等。

康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理的重要性在于，它为研究集合的基数关系提供了一个有力的工具。

通过该定理，我们可以判断两个集合是否等势，并进一步推导出它们的基数大小。

在实际应用中，这对于研究集合的性质和结构具有重要意义。

康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理的证明过程较为复杂，涉及到集合论、函数论和逻辑学等多个数学领域的知识。

在此不做详细展开，但可以提到该定理的证明基于对集合之间的映射关系的构造和推导，通过建立双射函数来证明两个集合的等势。

除了在集合论中的应用，康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理还在代数学中有着重要的应用。

例如，在线性代数中，该定理可以用于判断两个向量空间的维数是否相等。

在拓扑学和几何学中，该定理也可以用于判断两个拓扑空间或几何形状的同胚关系，即它们是否具有相同的结构。

Strongart数学笔记：数学哲学理论三篇(论数学中的differance等)

论数学中的differance数学中没有不动点。

——Strongart要说数学的本质是什么，非专业人士一般可能会说是计算，而专业人士则说是证明，但数学家Hardy却说数学中无所谓证明。

我们只是在指指点点而已，这个见解不错，只是稍微弱了一点，数学家Strongart发现法国哲学家Derrida提出的differance更适合作为数学的本质。

所谓differance是哲学家Derrida创造的一个新词，中文一般翻译成延异或异延。

Derrida并不是数学家。

他主要是从文本解释学的角度来谈的，大意就是说一种涵义的差别，但这个差别又不是纯粹的不同，而是包含着一种意义的延续性关系，因此他便把difference 中的第二个e换成a，生造出了一个新词differance.这个differance的重要效果就是去中心化，原始文本中的任何一点都可以做为新的意义中心进行展开，而理论的发展就是一个不断展开的过程。

打个通俗的比方，这就好比是一部小说，你不但可以写的它续作或前传，还可以随便选个人物X，哪怕他次要到连出场机会都没有，只是被角色对话中被随口提及，都可以写一部与原作若即若离的关于X的外传，只要这个外传充分完美，甚至还可能取代原作的中心地位。

在数学中的情况也是类似的，随便哪一个概念，哪怕只是一个非常边缘化的例子，只要有数学家能够发展处新的含义，那么在理论上都可以重新复活，成为数学发展的新的中心。

在数学史也确实有很多类似的例子，Grothendieck用scheme语言重新代数几何就是一个典型，Robinson用现代数理逻辑复活了极限理论无穷小方法创立非标准分析也是一个跨越历史的实例。

我们可以重新对传统的数学发展观做一番考察，传统观念认为数学就是一种直线式的发展，所有的分叉都是在公认的岔道口上，最后的成就就只是百尺竿头更进一步而已。

在这个传统下的数学老师，总是会提醒学生要抓关键追前沿，不要钻牛角尖误入歧途，甚至常常因为冒进使得竹竿处在脆弱的中空状态。

Strongart数学笔记：泛函分析的若干参考书

泛函分析的若干参考书自从我开始发布泛函分析公开课视频一来，总有人问我用神马参考书，其实我的讲座一般都是没有固定参考书的，倒是希望有人把笔记整理出来，变成一本新的泛函分析参考书。

下面我就来罗列一下泛函分析及其后续课程的相关参考书，可能不是多么全面，但却更有Strongart教授本人的个性特征啊！最简单的泛函分析入门书籍应该是：[1] 克雷斯齐格, Kreyszing E, 蒋正新, 等. 泛函分析导论及应用[M]. 北京航空学院出版社, 1987.这本书实际上是中译本，原始版本就不再考证了，它更适合一般理工科学生学习，没有实变函数基础也能顺利阅读，而且也包括了泛函中的经典内容。

即便是学了高深的内容，回头看一下对应的初级讲法与例子也是很有意思的。

当然啦，一般还是希望学泛函之前先学好实分析，国内有些地方喜欢把实变函数与泛函分析合在一起，相应的教材大都比较陈旧，这里我就不推荐了，可以使用的泛函分析中文书有：[2] 张恭庆, 林源渠, 郭懋正. 泛函分析讲义[M]. 北京大学出版社, 1990.此书有上下两册，写的还是比较简明的，三大定理与Hilbert空间的谱论都写的比较清晰，同时包括了泛函分析对其他数学学科的经典应用，一般学到下册第六章前半部分就可以了，后面基本上属于比较专题的内容。

假若想要详细学习泛函的话，可以选用这本比较有革新意义的教材：[3] 定光桂. 泛函分析新讲[M]. 科学出版社, 2007.这本书应该说是脱胎于他巴拿赫空间引论，其丰富程度要超过一般的泛函分析书籍，可以说是泛函分析方向（而不是一般数学研究生）所用的泛函分析书，只要有点耐心的话一定是大有收获的。

中文书还要提两本辅助读物，先是一本带有布尔巴基风格的参考书：[4] 胡适耕，张显文抽象空间引论[M]. 科学出版社，2005.它包括了一般拓扑学与泛函分析的主干内容，把不同的知识放到最适合它的舞台上，其证明常常是最小化的，只是相应的知识密度比较大，不适合用来初学入门，但学到相关知识时用来查阅还是不错的。

Strongart数学笔记：浅谈代数观点下的代数簇

浅谈代数观点下的代数簇在一般线性代数群的书籍中，开头总有一个关于代数几何的综述，它主要是从代数方面来介绍代数簇理论，读过之后还是小有心得的，下面就对其代数簇理论做一个小结，假设我们的讨论都在特征为零的代数闭域k上进行。

所谓代数簇，说白了就是多项式族的公共零点集。

给定多项式环k[x_1,…,x_n]内的一个理想I，所有I内的多项式（可由其生成元代替）的公共零点就称为一个仿射代数簇。

记作V（I）；反之，给定任何仿射代数簇X，在X上限制为零的多项式集构成它的定义理想，记作I（V）。

代数簇与其定义根理想按照包含关系反序一一对应，并且有I（V（I））=rad（I），这被称为Hilbert's Nullstellenstaz （零点定理）。

这里的等号右边为什么是rad（I）内，可以考虑I=（x^n)，V（I）={x^n=0}={x=0},结果I（V（I））=（x）=rad（I）.在仿射代数簇上。

我们通常考虑所谓的Zariski topology，即把多项式的零点作为闭集的拓扑。

在仿射空间k上，其Zariski拓扑的闭集由有限个点组成，换句话说其开集非常的大，要包括它的几乎所有的点，因此非常的不满足通常的Hausdorff性质，当然通常我们只要用到它的稠密性就足够了。

此外，Zarishi拓扑不是可乘的，在k×k上去掉原点，剩下的部分是k×k上Zariski topology的开集，但却不是k上Zariski topology的积拓扑的开集。

有了拓扑之后，关于仿射代数簇的一些理论可以在拓扑空间上讨论，最常见的一条是不可约性。

拓扑空间X称为不可约的，假若C不能表示成两个真非空闭子集的并。

仿射代数簇X是不可约的iff I （X）的素理想。

假若拓扑空间是Noether的（开集满足ACC），那么它可以分解为有限个极大不可约（闭）子空间的并，这实际上就相当于交换代数中Noether rong上的准素分解。

Strongart数学笔记：漫谈泛函与代数群中的极分解定理

漫谈泛函与代数群中的极分解定理我们都知道，任何复数z都可以写成形如z=re^iθ的指数形式，而这个公式在线性代数、泛函分析与算子代数、李群与代数群等理论中都有相应的版本，它们被称为是极分解定理，可以说已经渗入到整个现代数学之中了，下面我就来对此做一个简单的梳理小结。

先看一下矩阵的极分解定理，最常见的版本对任何n×n 可逆复矩阵A，可以被唯一分解成正定（自伴）矩阵P与酉矩阵U的积，即A=PU，同时有A是正规矩阵iff PU=UP.事实上，这里是P=（AA*）^1/2,U=P^(-1)A.这个分解与矩阵的奇异值分解密切相关，其中的矩阵P又称为A的极矩阵，矩阵P的特征值被称为A的奇异值。

对于实矩阵的情形，也有类似的结论，只要把酉矩阵U换成正交矩阵O就行了。

对于一般n×n矩阵，也存在类似版本的分解，只是此时P只能是半正定的，而且不能保证唯一性、这个结论还能推广到更一般的m×n矩阵，有兴趣可以参阅Horn《矩阵分析》的7.3节。

假若我们把一群矩阵看成整体，就可以赋予其李群结构。

极分解的意义就使得我们有可微同胚P×U(n)=GL(n,C)，其中P由正定矩阵组成，它作为拓扑空间是可缩的。

由此可以计算矩阵李群的基本群，有π(SL(n,C))=π(SU(n))=e.类似对于实情形，我们有π（SL(n,R))=π(SO(n))=Z/2,若n>2;=Z,若n=2.同样我们可以线性空间的语言来改写这个结论：设V是带有正定内积g的实向量空间，对V上的可逆线性变换A,总有分解A=PU，其中P是正定自伴的，O是正交的。

从几何上看，这就相当于先固定一个方向作仿射变换，然后再进行纯粹的旋转。

而对于辛向量空间（V，ω），也有类似的结论，任取矩阵A∈Sp（V），也有A=PO，其中P、O∈Sp（V）且O 是辛空间中的正交矩阵（保辛结构ω与g）.下面我们把空间推广到无穷维，这就得到了泛函分析中算子的极分解定理。

组合数学经典书籍

组合数学经典书籍
组合数学是数学的一个重要分支，主要研究有限集合的元素间各种组合的可能性。

以下是一些经典的组合数学书籍：
1. 《组合数学》（Combinatorics）：作者是R.P. Stanley，这本书是组合数学领域的经典教材，内容涵盖了组合计数、排列组合、二项式系数、生成函数、图论等多个方面，深入浅出，理论与实例结合。

2. 《组合数学引论》（An Introduction to Combinatorics）：作者是J.H. van Lint和R.M. Wilson，该书系统介绍了组合数学的基本概念、方法和理论，适合初学者入门。

3. 《组合数学基础》（A Course in Combinatorics）：作者是J. vanLint和D. J. A. Welsh，此书对组合数学进行了全面且详细的阐述，包括组合设计、编码理论等内容，有一定深度。

4. 《应用组合数学》（Applied Combinatorics）：作者是Alan Tucker，这本书在介绍组合数学基本理论的同时，强调了其在实际问题中的应用，对于希望了解并运用组合数学解决实际问题的读者非常有帮助。

5. 《组合数学导引》（Enumerative Combinatorics, Volumes 1 and 2）：作者同样是Richard P. Stanley，这两卷本著作被誉为组合数学领域的权威巨著，内容丰富且深入，适合具有一定基础的研究者阅读。

以上这些书籍都是组合数学领域中深受好评的经典之作，不同书籍侧重点和难易程度有所不同，您可以根据自己的需求选择合适的书籍进行学习。

steinitz替换定理

标题：Steinitz替换定理及其在数学中的应用Steinitz替换定理是数学中的一个重要定理，它揭示了交换代数和代数几何之间的紧密联系。

该定理的主要思想是，对于任何域上的有理函数和代数簇，存在一个对应的替换过程，可以将原始数据替换为新的数据。

这为解决许多数学问题提供了重要的思路和方法。

首先，让我们来理解一下什么是Steinitz替换定理。

它实际上是证明了，对于任意代数簇在有限开子集上的有限分离（也就是每对局部变量有非零公共根），通过应用多项式函数变换和特定代数运算，可以将该簇转换为新的同构簇。

这个定理为理解代数簇之间的关系提供了重要的工具，也为我们处理复杂的数学问题提供了清晰的思路。

接下来，我们来分析一下Steinitz替换定理的应用。

首先，它在代数几何中起着重要的作用，特别是当我们需要研究几何对象之间的关系时。

此外，这个定理也被广泛应用于解决代数、数论和代数表示论中的问题。

它为我们提供了一种有效的转换方式，将复杂的数学问题转化为更易于处理的形式。

例如，在数论中，Steinitz替换定理可以用来解决费马最后定理的相关问题。

通过使用这个定理，我们可以将费马最后定理的问题转化为代数方程的解的问题，从而更容易地解决它。

同样，在代数表示论中，这个定理也为我们提供了一种将复杂的表示转化为更简单的表示的方法。

总的来说，Steinitz替换定理是一个强大的工具，它为数学家提供了一种有效的方法来处理复杂的数学问题。

通过将问题转化为更易于处理的形式，这个定理帮助数学家解决了许多重要的数学问题，并推动了数学的发展。

在未来，我们期待这个定理在更多的领域得到应用，并推动数学的发展。

以上就是关于Steinitz替换定理及其在数学中的应用的详细解答。

这个定理在许多领域都有着广泛的应用，它不仅揭示了数学各分支之间的联系，也为解决复杂的数学问题提供了有效的工具。

康托尔伯恩斯坦施罗德定理

康托尔伯恩斯坦施罗德定理康托尔－伯恩斯坦－施罗德定理，也称为施罗德–伯恩斯坦定理，是集合论中一个重要的定理，它描述了集合之间的等势关系。

这个定理是由德国数学家格奥尔格·康托尔于1874年提出的。

该定理的主要内容是，对于任意两个集合A和B，如果存在从A到B的映射，并且存在从B到A的映射，那么A和B具有相同的基数（即他们是等势的）。

康托尔－伯恩斯坦－施罗德定理的证明可以分为两个方向：第一个方向是假设存在从A到B的映射f和从B到A的映射g，并构造一个从A到B的双射；第二个方向是假设存在从A到B的双射h，然后构造一个从B到A的双射。

首先，让我们来看第一个方向的证明。

假设存在从A到B的映射f和从B到A的映射g。

我们将构造一个从A到B的双射。

我们可以定义一个映射h：A→B，使得h(x)=f(x)，其中x∈A。

这样，我们得到了一个从A到B的映射h。

接下来，我们来证明h是一个双射。

首先，我们需要证明h是一个单射。

假设存在不同的元素x1和x2属于A，使得h(x1)=h(x2)。

由于h(x1)=f(x1)和h(x2)=f(x2)，我们可以推断出f(x1)=f(x2)。

根据f的定义，我们可以得知x1和x2在A中对应着相同的元素，因此x1=x2。

这意味着h是一个单射。

接下来，我们需要证明h是一个满射。

假设存在y∈B，但是y不是h(A)的元素。

由于f是一个从A到B的映射，我们可以找到一个x∈A，使得f(x)=y。

这意味着h(x)=f(x)=y。

所以y 是h(A)的一个元素。

因此，h是一个满射。

综上所述，我们可以得出结论，存在从A到B的映射f和从B 到A的映射g，那么A和B具有相同的基数。

然后，让我们来看第二个方向的证明。

假设存在从A到B的双射h，我们将构造一个从B到A的双射。

我们可以定义一个映射f：B→A，使得f(y)=h^(-1)(y)，其中y∈B。

这样，我们得到了一个从B到A的映射f。

我们接下来来证明f是一个双射。

Strongart数学笔记：Munkres《代数拓扑基础》的阅读与思考

Munkres《代数拓扑基础》的阅读与思考原本是去年看完Munkres《代数拓扑基础》中译本之后写成的文章，一年之后自然又有了一些新收获，所以就补充一点新的体会重发出来。

先来说说读这个书所需要的预备知识，主要就是代数与拓扑两个方面的了。

其实书中对一些基础的知识都预先做了大致的介绍，所以起点还是比较低的，但若是已经掌握一些基本技术，那么就可以把注意集中到拓扑的主要内容上了。

代数方面，最好了解一点模正合列，特别是要把图表追赶的技术玩熟（尽管书中一般只涉及Abel群的情形），要是再了解一点Hom、Ext、Tor函子与张量积就更好了。

拓扑方面嘛，正规空间的知识是必须的，但更主要是商空间的理论，像20与37节都是很精彩的补充，而对复形的理解最好先了解一点凝聚拓扑（coherent topology），还有就是了解一点常见曲面的粘合与剖分将是非常有益的。

我想，这些知识大概可以从Munkres的第一本《拓扑学》中找到，虽然我没看过那本书，但它的口碑是不错的。

接着，我来简单介绍一下这本书的特色：从取材来看，这本书其实更适合叫做《同调论》，因为它主要就是处理复形的同调。

书里对同伦也就介绍了同论等价的概念，主要遇到的只是其特例形变收缩，目的还是为了得出同调群的相等（同伦不变性）。

其实，我以前曾见到过一本中文的《同调论》，其内容和这本书大致类似，现在新出的一本中文的《同调论》，仍然是依照着它的模式。

就内容来说，此书是从直观出发，直到引入许多比较“前卫”的概念。

书中对单纯形有很多具体的剖分，比如环面与Klein瓶都是经常出现的角色，对一些比较抽象的定理也独具匠心的在习题中安排了具体的例证。

我想，代数拓扑虽然有点抽象，但毕竟还不是同调代数，许多几何化的材料还是必不可少的。

同时，作者也引入了像无穷复形、同调流形这些同类书籍中不常见的概念，特别在链的意义上处理了同调与上同调的关系，这对进一步深入学习都是有所帮助的。

可见，此书内容还是比较丰富的，但同时编排还比较灵活，读起来有移步换景的感觉。