高三数学总复习 8.1空间几何体的结构及其三视图与直观图

合集下载

空间几何体的结构、三视图、直观图课件

2、性质 Ⅰ、正棱锥的性质 (1)各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。 (2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。
正棱锥性质2 P
棱锥的高、斜高和斜高在底面的射影组成一个直角三角形。棱锥的高、侧棱和侧棱在底面的射影组成一个直角三角形
S 投射方向
物体上某一点与其投影面上的投影点的连线是平行的，则为平行投影，如果聚于一点，则为中心投影．
三视图的形成
物体向投影面投影所得到的图形称为视图。
如果物体向三个互相垂直的投影面分别投影，所得到的三个图形摊平在一个平面上，则就是三视图。
• 三视图
• 正(主)视图——从正面看到的图
由由这这些些面面所所围围成成的的几几何何体体叫叫做做棱棱锥锥。。
用一个平行于棱锥底用面一的个平面行去于截棱棱锥锥底，面底的面平与面截去面截之棱间锥的，部底分面叫与作截棱面台之
间的部分叫作棱台
(1)上下两个底面互(1相)上平下行两；个底面
(互2)相侧平棱行的；延长线相(2交)侧于棱一的点延；长线
圆柱
圆锥
圆台
圆锥的结构特征
S 顶点
轴
母
线
侧
面
A
O
底面
B
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴, 其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。
球的结构特征
以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面，球面所围成的几何体叫作球体，简称球。
直径
O
球心
半径
球的基本属性：球面可看作与定点（球心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合.

高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题8-1空间几何体及其三视图和直观图-教师版

专题8.1空间几何体及其三视图和直观图练基础1.（2020·广西兴宁�南宁三中高一期末）已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的组成方式为（）A．上面为圆台，下面为圆柱B．上面为圆台，下面为棱柱C．上面为棱台，下面为棱柱D．上面为棱台，下面为圆柱【答案】A【解析】结合图形分析知上面为圆台，下面为圆柱.故选：A.2.（2021·江西师大附中高二月考（理））如图是一个棱锥的正视图和侧视图，它们为全等的等腰直角三角形，则该棱锥的俯视图不可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据棱锥的三视图想象原几何体的结构，可以在正方体中想象描出原几何体，确定其结构．【详解】若几何体为三棱锥，由其正视图和侧视图可知，其底面在下方且为直角三角形，故ABD 均有可能，若几何体是四棱锥，由其正视图和侧视图可知，其底面在下方，且为正方形，俯视图为正方形，但对角线应从左上到右下，C 不正确．故选：C ．3.（2021·江苏高一期末）已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为2π，则该圆锥的高为（）A ．1BC D ．2【答案】C【解析】由侧面积求出圆锥的底面圆半径，再根据勾股定理可求得其高.【详解】设圆锥的底面圆的半径为r ，母线为l ，则2l =，所以其侧面积为22rl r πππ==，解得1r =，==故选：C.4.（2020·河北易县中学高三其他（文））若圆台的母线与高的夹角为6π，且上、下底面半径之差为2，则该圆台的高为（）A ．233B ．2C ．22D ．3【答案】D【解析】设上、下底面半径分别为R ，r ，圆台高为h ，由题可知：tan 6R r h π-=，即233h =，所以23h =．故选：D5.（2020届浙江绍兴市诸暨市高三上期末）某几何体的正视图与侧视图如图所示：则下列两个图形①②中，可能是其俯视图的是（）A．①②都可能B．①可能，②不可能C．①不可能，②可能D．①②都不可能【答案】A【解析】若是①，可能是三棱锥；若是②，可能是棱锥和圆锥的组合；所以①②都有可能，故选：A.6．（2021·石家庄市第十七中学高一月考）如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，每个圆锥的底面直径和高均为12cm ，现有体积为396πcm 的细沙全部漏入下圆锥后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高度为（）A ．3cmB ．6cmC ．8cmD ．9cm【答案】C【解析】根据圆锥的体积公式列方程求出沙堆的高．【详解】解：细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径为6r =，设高为h ，则沙堆的体积为216963V h ππ=⋅⋅=圆锥，解得()8h cm =，所以圆锥形沙堆的高度为8cm ．故选：C ．7.（2021·云南弥勒市一中高一月考）如图，正方形OABC 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A ．8B ．6C ．(21D ．(21+【答案】A【解析】根据斜二测画法的规则，得到原图形的形状为平行四边形，进而求得其边长，即可求解.【详解】由斜二测画法的规则，可得原图形为O A B C ''''是一个平行四边形，如图所示，因为水平放置的一个平面图形的直观图OABC 的边长为1的正方形，可得1,OA OB ==1,O A O B ''''==在直角O A B '''△中，可得3A B ''==，所以原图形的周长为11338+++=.故选：A.8．（2021·浙江高三三模）如图，等腰直角三角形ABC 在平面α上方，90BAC ∠= ，若ABC 以BC 为旋转轴旋转，形成的旋转体在平面α内的投影不可能的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】对直线BC 与平面α的位置关系进行分类讨论，判断出投影的形状，即可得出合适的选项.【详解】若BC α⊥，则形成的旋转体在平面α内的投影如D 选项所示；若//BC α，则形成的旋转体在平面α内的投影为正方形；若BC 与α所成的角的取值范围是0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭时，则形成的旋转体在平面α内的投影如A 、B 选项所示.投影不可能如C 选项所示.故选：C.9．（2020·上海市进才中学高二期末）设MN 是半径为R 的球的直径，则,M N 两点的球面距离是________．【答案】Rπ【解析】MN 是半径为R 的球的直径，则,M N 两点所对的球心角为π，球面距离为R π．故答案为：R π．10．（2020·全国）如图为一几何体的平面展开图，按图中虚线将它折叠起来，画出它的直观图．【答案】见解析【解析】由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图所示.练提升1.（2021·四川高一期末（理））某圆柱的高为1，底面周长为8，其三视图如图.圆柱表面上的点P在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点Q在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从P到Q的路径中，最短路径的长度为（）A17B5C．32D．1【答案】B【解析】根据三视图分析出,P Q所在的位置，然后结合圆柱的侧面展开图即可求出结果.【详解】由三视图还原几何体，如图：即点B在距离点A在底面投影的14圆弧处，沿A所在的母线得到如图所示的侧面展开图，圆柱的底面周长即为侧面展开图的长，圆柱的高即为侧面展开图的宽，而线段AB 的距离即为所求P 到Q 的路径中的最短路径，因为底面周长为8,所以1824A B '=⨯=，又因为高为1，则1A A '=，所以2222125AB A A A B ''=+=+=,故选：B.2.【多选题】（2021·宁波市北仑中学高一期中）如图，棱长为a 的正四面体形状的木块，点P 是ACD △的中心．劳动课上需过点P 将该木块锯开，并使得截面平行于棱AB 和CD ，则下列关于截面的说法中正确的是（）A ．截面不是平行四边形B ．截面是矩形C ．截面的面积为229a D ．截面与侧面ABC 的交线平行于侧面ABD【答案】BCD【解析】过点P 构建四边形，通过相关直线间的平行关系进一步证明为平行四边形，找对应线之间的垂直证明截面为矩形，从而计算截面面积【详解】解：如图所示，在正四面体中，4个面均为正三角形，由于点P 为ACD △的中心，所以P 位于CD 的中线的23外，分别取,,,BC AC AD BD 的三等分点，则EM ∥AB ，EF ∥CD ，FN ∥AB ，MN ∥CD ，所以EM ∥FN ，EF ∥MN ，所以截面EFNM 为平行四边形，所以A 错误，延长AP 交CD 于G ，连接BG ，由于P 为ACD △的中心，所以G 为CD 的中点，因为AC AD BC BD ===，所以,AG CD BG CD ⊥⊥，因为AG BG G = ，所以CD ⊥平面ABG ，所以CD AB ⊥，因为EM ∥AB ，EF ∥CD ，所以EM EF ⊥，所以截面EFNM 为矩形，所以B 正确，因为2211,3333MN CD a ME AB a ====，所以2212339S MN ME a a a =⋅=⋅=，所以C 正确，对于D ，截面EFNM ⋂平面ABC ME =，ME ∥AB ，ME ⊄平面ABD ，AB Ì平面ABD ，所以ME ∥平面ABD ，所以D 正确，故选：BCD3.（2021·湖北随州市·广水市一中高一月考）如图所示，矩形O A B C ''''是水平放置一个平面图形的直观图，其6O A ''=，2O C ''=，则原图形是（）A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．梯形【答案】C【解析】由已知得原图为平行四边形，OD BC ^，利用勾股定理计算边长得到OC OA =,可判断原图形的形状.【详解】因为//O A B C ''''，=O A B C ''''，所以直观图还原得//OA BC ，=6OA BC O A ''==，四边形OABC 为平行四边形，OD BC ^，则2C D O C ''''==，2CD ∴=，O D C ''''==2OD O D ''==6OC =，所以6OC OA ==，故原图形为菱形．故选：C.4．（2021·肇州县第二中学高一月考）如图是利用斜二测画法画出的Rt ABO 的直观图，已知4O B ''=，且ABO 的面积为16，过点A '作A C x '''⊥轴于点C '，则A C ''的长为（）A ．BC ．D ．1【答案】A【解析】利用面积公式，求出直观图的高，求出''A B ，然后在直角三角形'''A B C 中求解即可【详解】解：由直观图可知，在Rt ABO 中，2ABO π∠=，因为ABO 的面积为16，4O B OB ''==,所以1162AB OB ⋅=，所以8AB =，所以''4A B =，因为'''4A B C π∠=，A C x '''⊥轴于点C '，所以''''sin 44AC A B π=⋅==故选：A5．（2021·宁夏大学附属中学高一月考）三棱锥S ABC -及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB 的长为（）A ．B ．CD ．【答案】B【解析】根据几何体的三视图，结合几何体的数量关系，在直角SBD 中，即可求解.【详解】如图所示，根据三棱锥S ABC -及其三视图中的正视图和侧视图，可得底面ABC 中，点D 为AC 的中点，BD =SC ⊥底面ABC ，又由点D 为AC 的中点，且根据侧视图，可得BD AC ⊥，在直角BCD △中，可得4BC ===又由4SC =，在直角SBC 中，可得SB =故选：B.6．（2021·江苏省镇江中学）点P 是平面ABC 外一点，且PA PB PC ==，则点P 在平面ABC 上的射影一定是ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】A【解析】过点P 作PO ⊥平面ABC ，因为PA PB PC ==，得到OA OB OC ==，即可求解.【详解】如图所示，过点P 作PO ⊥平面ABC ，可得222222,OA PA PO OB PB PO OC PC PO =-=-=-因为PA PB PC ==，可得OA OB OC ==，所以O 为ABC 的外心.故选：A.7.（2021·上海高二期末）圆锥的高为1，3则过圆锥顶点的截面面积的最大值为____________【答案】2【解析】求出圆锥轴截面顶角大小，判断并求出所求面积最大值．【详解】如图，SAB 是圆锥轴截面，SC 是一条母线，设轴截面顶角为θ，因为圆锥的高为1tan 2θ(0,)θπ∈，所以23θπ=，232ππθ=>，设圆锥母线长为l ，则2l =，截面SBC 的面积为211sin sin 22S SB SC BSC l BSC =⋅∠=∠，因为2(0,]3BSC π∠∈，所以2BSC π∠=时，2max 1222S =⨯=．故答案为：2．8．（2021·浙江绍兴市·高一期末）已知四面体ABCD 的所有棱长均为4，点O 满足OA OB OC OD ===，则以O ABCD 表面所得交线总长度为______.【答案】3【解析】根据正四面体的结构特征求得O 到面的距离，进而利用球的截面的性质求得各面所在平面与球的截面圆的半径，注意与各面的三角形内切圆的半径比较，确定此截面圆是否整个在面所在的三角形内，进而确定球与各面的交线，得到球与四面体表面所得交线总长度．【详解】已知四面体ABCD 的所有棱长均为4，所以四面体ABCD 是正四面体，因为点O 满足OA OB OC OD ===，所以O 为正四面体ABCD 的中心.设正三角BCD 的中心为F ，正三角ACD 的中心为G ，CD 的中点为E ，则连接,,,,AF BG AE BE 则,BG AF O BF AG E ⋂=⋂=．:::1:3,:1:4,OF OA GF AB EF EB OF AF ===∴=则224223BE AE =-=24333BF BE ==，224364()33AF =-，643AF OF ==．因为球O 2O 被平面BCD 截得圆半径为22623(2)()33r PF ==-=，因为正三角形BCD 的边长为4，所以正三角形内切圆半径为232tan 303︒=，故球O 与四面体ABCD 的每一个面所得的交线为正好为内切圆，每个内切圆的周长为4323r π，所以球与四面体ABCD 1633．故答案为：1633π．9.（2020届浙江杭州四中高三上期中）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是_____，最长棱长为_____．【答案】3【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面的四棱锥，且梯形上下边长为1和2，高为2，如图：2AD =，2AB =，1BC =，PA x =，//AD BC ，PA ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，∴底面的面积1(12)232S =⨯+⨯=，∴几何体的体积1333V x ==，可得3x =，最长棱长为：PC故答案为：3．10．（2019·全国高考真题（理））中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．【答案】共26个面.1-.【解析】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有18826+=个面．如图，设该半正多面体的棱长为x ，则AB BE x ==，延长BC 与FE 交于点G ，延长BC 交正方体棱于H ，由半正多面体对称性可知，BGE ∆为等腰直角三角形，22,21)122BG GE CH x GH x x x ∴===∴=⨯+=+=，1x ∴==1．练真题1.（2021·全国高考真题）其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A ．2B ．C ．4D ．【答案】B【解析】设圆锥的母线长为l ，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得l 的值，即为所求.【详解】设圆锥的母线长为l ，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则2l ππ=l =.故选：B.2．（2021·北京高考真题）定义：24小时内降水在平地上积水厚度（mm ）来判断降雨程度．其中小雨（10mm <），中雨（10mm 25mm -），大雨（25mm 50mm -），暴雨（50mm 100mm -），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（）A ．小雨B ．中雨C ．大雨D ．暴雨【答案】B【解析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解.【详解】由题意，一个半径为()200100mm 2=的圆面内的降雨充满一个底面半径为()20015050mm 2300⨯=，高为()150mm 的圆锥，所以积水厚度()22150150312.5mm 100d ππ⨯⨯==⨯，属于中雨.故选：B.3.（2020·全国高考真题（理））如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为（）A．EB．F C．G D．H【答案】A【解析】根据三视图，画出多面体立体图形，14D D 上的点在正视图中都对应点M ,直线34B C 上的点在俯视图中对应的点为N,∴在正视图中对应M ,在俯视图中对应N 的点是4D ,线段34D D ,上的所有点在侧试图中都对应E ,∴点4D 在侧视图中对应的点为E .故选：A4．(2019年高考全国Ⅲ卷理)如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则()A．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线【答案】B【解析】如图所示，作EO CD ⊥于O ，连接ON ，BD ，易得直线BM ，EN 是三角形EBD 的中线，是相交直线.过M 作MF OD ⊥于F ，连接BF ，平面CDE ⊥平面ABCD ，,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCD ，MFB ∴△与EON △均为直角三角形．设正方形边长为2，易知12EO ON EN ===,，5,,22MF BF BM ==∴=BM EN ∴≠，故选B．5.（2018·北京高考真题（文））某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.详解：由三视图可得四棱锥P ABCD -，在四棱锥P ABCD -中，2,2,2,1PD AD CD AB ====，由勾股定理可知：3,PA PC PB BC ====，则在四棱锥中，直角三角形有：,,PAD PCD PAB ∆∆∆共三个，故选C.6.（2021·全国高考真题（理））以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．【答案】③④（答案不唯一）【解析】由题意结合所给的图形确定一组三视图的组合即可.【详解】选择侧视图为③，俯视图为④，如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB BC BB ===，,E F 分别为棱11,BC BC 的中点，则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥E ADF -.故答案为：③④.。

空间几何体的结构、三视图、直观图

【答案】 B
第八章
第1课时
高三数学（· 理）
探究 4
解决这类问题的关键是准确分析出组合体
的结构特征，发挥自己的空间想象能力，把立体图和截面图对照分析，有机结合，找出几何体中的数量关系，为了增加图形的直观性，常常画一个截面圆作为衬托．
第八章
第1课时
高三数学（· 理）
思考题 4 (2011· 湖北文)设球的体积为 V1，它的内接正方体的体积为 V2，下列说法中最合适的是( )
第八章
第1课时
高三数学（· 理）
2．棱锥的结构特征 (1)棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有 _____________________ 一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥． (2)正棱锥的定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥．
【答案】 ①√ ②× ③× ④√ ⑤√ ⑥×
第八章
第1课时
高三数学（· 理）
探究 1 深刻领会基本概念，熟练掌握基本题型的解法，是学好立体几何的关键，本课涉及到的概念较多，应多看、多想、多做．
第八章
第1课时
高三数学（· 理）
思考题 1 以下命题： ①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ②若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； ④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题为________
A．V1 比 V2 大约多一半 B．V1 比 V2 大约多两倍半 C．V1 比 V2 大约多一倍 D．V1 比 V2 大约多一倍半
题型一
空间几何体的结构特征
例 1 判断正误 ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③三棱锥的四个面中最多只有三个直角三角形； ④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．

高考数学一轮复习：专题8.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图(讲)

第01节空间几何体的结构及其三视图和直观图【考纲解读】年考查三视图、几何体1与立体几何数学应用的【知识清单】1．空间几何体的结构特征一、多面体的结构特征二、旋转体的形成三、简单组合体简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体．对点练习：有下列四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．其中真命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4【答案】A2空间几何体的直观图简单几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：(1)画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°或135°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴．已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．(2)画几何体的高在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变．对点练习：一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为()【答案】D3.空间几何体的三视图三视图几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．对点练习：某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（A）B）C）D）2【答案】B【解析】【考点深度剖析】三视图是高考重点考查的内容，考查内容有三视图的识别；三视图与直观图的联系与转化；求与三视图对应的几何体的表面积与体积．命题形式为用客观题考查识读图形和面积体积计算，解答题往往以常见几何体为载体考查空间想象能力和推理运算能力，期间需要灵活应用几何体的结构特征．【重点难点突破】考点1：空间几何体的结构特征【1-1】如图几何体中是棱柱的有()A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【1-2】下列命题中正确的有__________．①有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；②存在一个四个侧面都是直角三角形的四棱锥；③如果棱柱有一个侧面是矩形，则其余各侧面也都是矩形；④圆台的任意两条母线所在直线必相交；【答案】②④【解析】①不正确，因为不能保证等腰梯形的各个腰延长后交与一点．②如右图的四棱锥，底面是矩形，一条侧棱垂直底面，那么它的四个侧面都是直角三角形，故②正确；③如图所示的棱柱有一个侧面是矩形，则其余各侧面不是矩形；故③错误④根据圆台的定义和性质可知，命题④正确．所以答案为②④【领悟技法】系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．三棱柱、四棱柱、正方体、长方体、三棱锥、四棱锥是常见的空间几何体，也是重要的几何模型，有些问题可用上述几何体举特例解决．【触类旁通】【变式1】一个棱柱是正四棱柱的条件是()．A．底面是正方形，有两个侧面是矩形B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C．底面是菱形，具有一个顶点处的三条棱两两垂直D ．每个侧面都是全等矩形的四棱柱【答案】C【解析】A ，B 两选项中侧棱与底面不一定垂直，D 选项中底面四边形不一定为正方形，故选C.【变式2】已知长方体1111ABCD A BC D 的所有顶点在同一个球面上，若球心到过A 点的三__________．考点2空间几何体的直观图【2-1】利用斜二测画法得到的以下结论，正确的是________(写出所有正确的序号)． ①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④圆的直观图是椭圆；⑤菱形的直观图是菱形．【答案】①②④【解析】①正确；由原图形中平行的线段在直观图中仍平行可知②正确；但是原图形中垂直的线段在直观图中一般不垂直，故③错；④正确；⑤中原图形中相等的线段在直观图中不一定相等，故错误．【2-2】在如图所示的直观图中，四边形O ′A ′B ′C ′为菱形且边长为2cm ，则在xOy 坐标系中，四边形ABCO 为________，面积为________cm 2.【答案】矩形8【领悟技法】按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：S 直观图＝4S 原图形，S 原图形＝直观图．【触类旁通】【变式1】如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是()A ．212 C.22+D ．1【答案】A【解析】由题意画出斜二测直观图及还原后原图，由直观图中底角均为45°，腰和上底长度均为1，得下底长为1+1,12的直角梯形．所以面积S ＝12(12故选A.【变式2】如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6cm ，O ′C ′＝2cm ，则原图形是()A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．一般的平行四边形【答案】C【解析】将直观图还原得▱OABC ，如图， ∵O ′D ′＝2O ′C ′＝22(cm)，OD ＝2O ′D ′＝42(cm)，C ′D ′＝O ′C ′＝2(cm)，∴CD ＝2(cm)， OC ＝CD 2＋OD 2＝22＋422＝6(cm)，OA ＝O ′A ′＝6(cm)＝OC ，故原图形为菱形．综合点评：解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系.考点3空间几何体的三视图【3-1】一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（）【答案】B【3-2】【江西卷】将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()【答案】(1)D(2)D【解析】(1)球、正方体的三视图形状都相同，大小均相等，首先排除选项A 和C.对于如图所示三棱锥OABC,当OA 、OB 、OC 两两垂直且OA ＝OB ＝OC 时，其三视图的形状都相同，大小均相等，故排除选项B.不论圆柱如何放置，其三视图的形状都不会完全相同，故答案选D.(2)如图所示，点D 1的投影为C 1，点D 的投影为C ，点A 的投影为B ，故选D.【3-3】如图，点,M N 分别是正方体1111ABCD A BC D 的棱1111,A B A D 的中点，用过点,,A M N 和点1,,D N C 的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图依次为（）A.①③④B.②④③C.①②③D.②③④ 【答案】D【领悟技法】三视图中的数据与原几何体中的数据不一定一一对应，识图要注意甄别.揭示空间几何体的结构特征，包括几何体的形状，平行垂直等结构特征，这些正是数据运算的依据.还原几何体的基本要素是“长对齐，高平直，宽相等”.简单几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．【触类旁通】【变式1】一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为()【答案】C【变式2】如图，多面体ABCD－EFG的底面ABCD为正方形，FC＝GD＝2EA，其俯视图如下，则其正视图和侧视图正确的是()．【答案】D【变式3】【武汉市部分学校2019届高三调研】）一个简单几何体的正视图、侧视图如右图所示，则其俯视图不可能为（）．．．．．．①长方形；②正方形；③圆；④椭圆.中的A.①②B.②③C.③④D.①④【答案】B【解析】若俯视图为正方形，则正视图中的边长3不成立；若俯视图为圆，则正视图中的边长3也不成立.综合点评：三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽.即“长对正，宽相等，高平齐”.【易错试题常警惕】易错典例：一个几何体的主视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．【错解】①②⑤【错因】忽视几何体的不同放置对三视图的影响，漏选③.【正解】①三棱锥的主视图是三角形；②当四棱锥的底面是四边形放置时，其主视图是三角形；③把三棱柱某一侧面当作底面放置，其底面正对着我们的视线时，它的主视图是三角形；④对于四棱柱，不论怎样放置，其主视图都不可能是三角形；⑤当圆锥的底面水平放置时，其主视图是三角形；⑥圆柱不论怎样放置，其主视图也不可能是三角形．故正确答案为①②③⑤.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想数形结合是一种重要的数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.在解答三视图、直观图问题中，主要是通过图形的恰当转化，明确几何元素的数量关系，进行准确的计算．如：【典例】如图是一个底面半径为1的圆柱被平面截开所得的几何体，截面与底面所成的角为45 ，过圆柱的轴的平面截该几何体所得的四边形''AA将其侧面剪开，ABB A为矩形，若沿'其侧面展开图形状大致为（）A. B. C.D.【答案】A。

8-1 空间几何体的结构特征及三视图和直观图

课时作业
与名师对话
高考总复习 · 课标版 · A
数学（文）
【解析】
命题①符合平行六面体的定义，故命题①是
正确的，底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的，因直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的，命题④由棱台的定义知是正确的．
【答案】 ①④
课前自主回顾
课堂互动探究
课前自主回顾课堂互动探究课时作业
与名师对话
高考总复习 · 课标版 · A
数学（文）
解析：A错误．如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不一定是棱锥．
课前自主回顾
课堂互动探究
课时作业
与名师对话
高考总复习 · 课标版 · A
数学（文）
B错误．如下图，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥．
时，其侧视图为D. (2)A图是两个圆柱的组合体的俯视图；B图是一个四棱柱与一个圆柱的组合体的俯视图；C图是一个底面为等腰直角三角形的三棱柱与一个四棱柱的组合体的俯视图，采用排除法，故选D.
【答案】 (1)D (2)D
课前自主回顾
课堂互动探究
课时作业
与名师对话
高考总复习 · 课标版 · A
数学（文）
课前自主回顾
课堂互动探究
课时作业
与名师对话
高考总复习 · 课标版 · A
数学（文）
C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长． D正确．
答案：D
课前自主回顾
课堂互动探究
课时作业

人教a版高考数学(理)一轮课件：8.1空间几何体的结构、三视图和直观图

3.简单组合体简单组合体的构成有两种基本形式:一种是由简单几何体拼接而成;一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成,有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体.
4. 三视图几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图 , 分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.
考纲解读
空间几何体的结构和三视图部分重点考查柱、锥、台、球的定义和以三视图为载体考查柱、锥、台、球的表面积和体积, 难度不大. 空间几何体的性质是基础, 以它们为载体考查线线、线面、面面间的关系是重点 . 三视图的还原在各地高考试题中频繁出现 , 已经成为高考的热点问题, 题型多以选择题和填空题为主 , 有时也会作为解答题的背景出现.
三视图的长度特征: “ 长对正, 宽相等, 高平齐” , 即正视图和侧视图一样高, 正视图和俯视图一样长, 侧视图和俯视图一样宽. 若相邻两物体的表面相交, 表面的交线是它们的分界线, 在三视图中, 要注意实、虚线的画法 .
5. 空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画, 其规则是: (1) 原图形中 x轴、 y轴、 z轴两两垂直, 直观图中, x' 轴、 y' 轴的夹角为 45° , z' 轴与 x' 轴和 y' 轴所在平面垂直. (2) 原图形中平行于坐标轴的线段, 在直观图中仍分别平行于坐标轴. 平行于 x轴和 z轴的线段在直观图中保持原长度不变, 平行于 y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半. 6. 中心投影与平行投影 (1) 平行投影的投影线互相平行, 而中心投影的投影线相交于一点. (2) 从投影的角度看, 三视图和用斜二测画法画出的直观图都是在平行投影下画出来的图形.

立体几何-8.1__空间几何体的结构及其三视图和直观图(教案)

214 §8.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图基础自测1.下列不正确的命题的序号是 . ①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 ②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 ③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥 ④有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥答案 ①②③2.如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是 . 答案 60°3.如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm ），则此几何体的表面积是 cm 2.答案 (20+42) 4.（2008·宁夏文，14）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为3，底面周长为3，那么这个球的体积为 .答案 34 5.已知正三角形ABC 的边长为a,那么△ABC 的直观图△A ′B ′C ′的面积为 .答案 166a 2 例题精讲例1 下列结论不正确的是（填序号）.①各个面都是三角形的几何体是三棱锥②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 ③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线答案 ①②③解析 ①错误.如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不一定是棱锥.②错误.如下图，若△ABC 不是直角三角形或是直角三角形,但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥.215③错误.若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长.④正确.例2 已知△ABC 的直观图A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，求原三角形ABC 的面积.解建立如图所示的xOy 坐标系，△ABC 的顶点C 在y 轴上，AB 边在x 轴上，OC 为△ABC 的高，把y 轴绕原点顺时针旋转45°得y ′轴，则点C 变为点C ′，且OC=2OC ′，A 、B 点即为A ′、 B ′点，AB=A ′B ，已知A ′B ′=A ′C ′=a ，在△OA ′C ′中，由正弦定理得''sin C OA OC ∠=ο45sin ''C A ，所以OC ′=a οο45sin 120sin =a 26, 所以原三角形ABC 的高OC=6a ，所以S △ABC =21×a ×6a=a 262. 例3 一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积和体积.解由三视图易知，该正三棱柱的形状如图所示：且AA ′=BB ′=CC ′=4cm,正三角形ABC 和正三角形A ′B ′C ′的高为23cm.∴正三角形ABC 的边长为|AB|=ο60sin 32=4.∴该三棱柱的表面积为S=3×4×4+2×21×42sin60°=48+83(cm 2). 体积为V=S 底·|AA ′|=21×42sin60°×4=163(cm 3). 故这个三棱柱的表面积为（48+83）cm 2,体积为163cm 3.例4 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，求图中三角形（正四面体的截面）的面积.解如图所示，△ABE 为题中的三角形，由已知得AB=2，BE=2×23=3, BF=32BE=332,AF=22BF AB -=344-=38,∴△ABE 的面积为216 S=21×BE ×AF=21×3×38=2.∴所求的三角形的面积为2. 巩固练习1.如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中为真命题的是（填序号）.①等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补③等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆④等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上答案 ①③④2.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形,则原平面四边形的面积等于 . 答案 22a 23.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图（或称侧视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.（1）求该几何体的体积V ；（2）求该几何体的侧面积S.解（1）由该几何体的俯视图、正视图、左视图可知，该几何体是四棱锥，且四棱锥的底面ABCD 是边长为6和8的矩形，高VO=4，O 点是AC 与BD 的交点. ∴该几何体的体积V=31×8×6×4=64. （2）如图所示，侧面VAB 中，VE ⊥AB ，则VE=22OE VO +=2234+=5∴S △VAB =21×AB ×VE=21×8×5=20 侧面VBC 中，VF ⊥BC ，则VF=22OF VO +=2244+=42.∴S △VBC =21×BC ×VF=21×6×42=122∴该几何体的侧面积 S=2（S △VAB +S △VBC ）=40+242.4.（2007·全国Ⅱ文，15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm 的球面上.如果正四棱柱的底面边长为1 cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2.答案 2+42 回顾总结知识方法思想课后作业一、填空题1.利用斜二测画法可以得到：①三角形的直观图是三角形，②平行四边形的直观图是平行四边形，③正方形的直观图是正方形，④菱形的直观图是菱形，以上正确结论的序号是 .217答案 ①②2.如图所示，甲、乙、丙是三个几何体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号是 . ①长方体；②圆锥；③三棱锥；④圆柱. 答案④③②3.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 .答案 ②④4.用若干个大小相同，棱长为1的正方体摆成一个立体模型，其三视图如下：根据三视图回答此立体模型的体积为 .答案 55.棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的8个顶点都在球O 的表面上，E 、F 分别是棱AA 1、DD 1的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为 .答案 26.（2008·湖北理）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为 . 答案 328π 7.用小立方块搭一个几何体，使得它的正视图和俯视图如图所示，这样的几何体至少要个小立方块.最多只能用个小立方块.答案 9 148.如图所示，E 、F 分别是正方体的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的正投影可能是 .（把可能的图的序号都填上）218答案 ②③二、解答题9.正四棱台AC 1的高是17 cm ，两底面的边长分别是4 cm 和16 cm ，求这个棱台的侧棱长和斜高. 解如图所示，设棱台的两底面的中心分别是O 1、O ，B 1C 1和BC 的中点分别是E 1和E ，连接O 1O 、E 1E 、O 1B 1、OB 、O 1E 1、OE ，则四边形OBB 1O 1和OEE 1O 1都是直角梯形.∵A 1B 1=4 cm ，AB=16 cm ， ∴O 1E 1=2 cm ，OE=8 cm ，O 1B 1=22 cm ，OB=82 cm ，∴B 1B 2=O 1O 2+（OB-O 1B 1)2=361 cm 2，E 1E 2=O 1O 2+（OE-O 1E 1)2=325 cm 2，∴B 1B=19 cm ，E 1E=513cm.答这个棱台的侧棱长为19 cm ，斜高为513cm.10.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm 2,母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径.解圆台的轴截面如图所示，设圆台上下底面半径分别为x cm,3x cm.延长AA 1交OO 1的延长线于S ，在Rt △SOA 中，∠ASO=45°, 则∠SAO=45°，∴SO=AO=3x ，∴OO 1=2x ，又S 轴截面=21（6x+2x ）·2x=392，∴x=7. 故圆台的高OO 1=14 (cm)，母线长l=2O 1O=142 (cm)，两底面半径分别为7 cm,21 cm.11.正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求侧面上斜高（棱锥侧面三角形的高）为多少？解如图所示，正棱锥S-ABCD 中高OS=3，侧棱SA=SB=SC=SD=7，在Rt △SOA 中， OA=22OS SA =2，∴AC=4.∴AB=BC=CD=DA=22.作OE ⊥AB 于E ，则E 为AB 中点.连接SE ，则SE 即为斜高，则SO ⊥OE.在Rt △SOE 中，∵OE=21BC=2，SO=3，∴SE=5，即侧面上的斜高为5.12. 如图所示的几何体中，四边形AA 1B 1B 是边长为3的正方形，CC 1=2，CC 1∥AA 1，这个几何体是棱柱吗？若是，指出是几棱柱.若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征，在立体图中画出截面.解这个几何体不是棱柱；在四边形ABB 1A 1中，在AA 1上取点E ，使AE=2；在BB 1上取F 使BF=2；连接C 1E ，EF ，C 1F ，则过C 1EF 的截面将几何体分成两部分，其中一部分是棱柱ABC —EFC 1，其棱长为2；截去的部分是一个四棱锥C1—EA1B1F.219。

§8.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图

(1)在已知图形中,取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O,画直观图时,
把它们画成对应的x'轴和y'轴,两轴相交于点O',且使∠x'O'y'=45°(或 135°),用它们确定的平面表示水平面.
栏目索引
(2)已知图形中平行于x轴、y轴的线段,在直观图中,分别画成平行于x' 轴、y'轴的线段. (3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持长度不变,平行于y轴的线段,在直观图中长度变为原来的④ 一半 . 5.水平放置的平面图形的直观图的面积S直与原平面图形的面积S原的关系为S直= S原.
ห้องสมุดไป่ตู้
栏目索引
解题导引
解析过点A,E,C1的截面为AEC1F,如图, 则剩余几何体的左视图为选项C中的图形.故选C.
2 4
栏目索引
方法技巧
方法掌握三视图的基本特征
正确认识三视图和直观图是本节的重点和难点.掌握三视图的基本特征和“长对正、高平齐、宽相等”的原则,注意虚实线的区别,充分发挥空间想象能力是解题的关键. 例 (2017河北衡水中学七调,5)正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E为棱BB1的中点(如图),用过点A,E,C1的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的左视图为 ( C )
栏目索引
考点二
三视图和直观图
1.三视图是从一个几何体的正前方、正左方、③ 正上方三个不同的方向看这个几何体,描绘出的图形,分别称为正视图、侧视图、俯视图. 2.三视图的排列顺序:先画正视图,俯视图放在正视图的下方,侧视图放在正视图的右方. 3.三视图的三个原则:长对正、高平齐、宽相等. 4.水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法

8.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图

几何的知识求出相应的线段、角，求解时要注
意线段和角的变化规律.
解析
根据斜二测画法画平面图形的直观图的规
则可知,在x轴上(或与x轴平行)的线段,其长度保持不变;在y轴上(或与y轴平行)的线段,其长度变为原来的一半,且∠x′O′y′=45°(或135°),所以, 若设原平面图形的面积为S,则其直观图的面积为
3.如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥
的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是( C )
A.30° C.60° 解析 B.45° D.90° 设母线为l,底面半径为r，则π l=2π r.
r 1 , ∴母线与高的夹角为30°.∴圆锥的顶 l 2
角为60°.
4.三视图如下图的几何体是
（B ）
第八编立体几何
§8.1 空间几何体的结构及其三
视图和直观图
基础知识
要点梳理
1.多面体的结构特征
自主学习
(1)棱柱的上下底面平行，侧棱都平行且长度
相等，上底面和下底面是全等的多边形. (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点的三角形.
(3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得
在直观图中，过A1作A1D1⊥B1C1，
因为△A1B1C1是等边三角形，
3 a, 2 在Rt△A1O1D1中，∵∠A1O1D1=45°，
所以A1D1=
∴ O1 A 1 =
6 a, 2 6 根据直观图画法规则知： OA 2O1 A1 2 a 6a, 2 ∴△ABC的面积为 1 a 6a 6 a 2 . 2 2 答案 C
1 2 2 S S S . 可以得出一个平面图形的面积S 2 2 4
与它的直观图的面积S′之间的关系是S′=

高考数学第一轮复习08-空间几何体结构、三视图和直观图

§8.1空间几何体的结构、三视图和直观图2014高考会这样考1.几何体作为线面关系的载体，其结构特征是必考内容；2.考查三视图、直观图及其应用．复习备考要这样做1.重点掌握以三视图为命题背景，研究空间几何体的结构特征的题型；2.熟悉一些典型的几何体模型，如三棱柱、长(正)方体、三棱锥等几何体的三视图．1．多面体的结构特征(1)棱柱的上下底面平行，侧棱都平行且长度相等，上底面和下底面是全等的多边形．(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．(3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面的两个多边形相似．2．旋转体的结构特征(1)圆柱可以由矩形绕其一边所在直线旋转得到．(2)圆锥可以由直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转得到．(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上下底中点的连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到．(4)球可以由半圆或圆绕其直径旋转得到．3．空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图．4．空间几何体的直观图画空间几何体的直观图常用斜二测画法，基本步骤：(1)在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)．(2)已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别平行于x′轴、y′轴．(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．(4)在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变．[难点正本疑点清源]1．正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．2．正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心．3．三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．1．利用斜二测画法得到的以下结论，正确的是__________．(写出所有正确的序号)①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④圆的直观图是椭圆；⑤菱形的直观图是菱形．2．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．3．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是() A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体4．(2012·湖南)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能．．．是()5. 如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的正视图是() 题型一空间几何体的结构特征例1设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．其中真命题的序号是________．以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为() A．0 B．1 C．2 D．3题型二几何体的三视图例2 如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为()题型三空间几何体的直观图例3已知△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形，求原△ABC的面积．正三角形AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是________．典例：(5分)一个空间几何体的三视图，如图所示，则这个空间几何体的表面积是________．方法与技巧1．棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决．2．旋转体要抓住“旋转”特点，弄清底面、侧面及展开图形状．3．三视图画法：(1)实虚线的画法：分界线和可见轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线；(2)理解“长对正、宽平齐、高相等”．4．直观图画法：平行性、长度两个要素．失误与防范1．台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行．2．注意空间几何体的不同放置对三视图的影响．3．能够由空间几何体的三视图得到它的直观图；也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图，提升空间想象能力．A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．给出四个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；④长方体一定是正四棱柱．其中正确的命题个数是() A．0 B．1 C．2 D．32．(2012·福建)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是() A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱3．(2011·课标全国)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为()4．如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是()二、填空题(每小题5分，共15分)5．一个三角形在其直观图中对应一个边长为1的正三角形，原三角形的面积为________．6. 如图所示，E、F分别为正方体ABCD—A1B1C1D1的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面DCC1D1上的投影是________．(填序号)7．图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm3的几何体的三视图，则h＝________cm.三、解答题(共22分)8．(10分)一个几何体的三视图及其相关数据如图所示，求这个几何体的表面积．9．(12分)已知一个正三棱台的两底面边长分别为30 cm和20 cm，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高．B组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．(2011·山东)右图是长和宽分别相等的两个矩形，给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是()A．3 B．2C．1 D．02. 一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图为()3．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交AA1于E，交CC1于F，得四边形BFD1E，给出下列结论：①四边形BFD1E有可能为梯形；②四边形BFD1E有可能为菱形；③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1D；⑤四边形BFD1E面积的最小值为6 2.其中正确的是() A．①②③④B．②③④⑤C．①③④⑤D．①②④⑤二、填空题(每小题5分，共15分)4. 在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在xOy坐标系中，四边形ABCO为________，面积为________ cm2.5．用半径为r的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是________．6. 如图，点O为正方体ABCD—A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的投影可能是________(填出所有可能的序号)．三、解答题7．(13分)已知正三棱锥V—ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积．古今名言敏而好学，不耻下问——孔子业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随——韩愈兴于《诗》，立于礼，成于乐——孔子己所不欲，勿施于人——孔子读书破万卷，下笔如有神——杜甫读书有三到，谓心到，眼到，口到——朱熹立身以立学为先，立学以读书为本——欧阳修读万卷书，行万里路——刘彝黑发不知勤学早，白首方悔读书迟——颜真卿书卷多情似故人，晨昏忧乐每相亲——于谦书犹药也，善读之可以医愚——刘向莫等闲，白了少年头，空悲切——岳飞发奋识遍天下字，立志读尽人间书——苏轼鸟欲高飞先振翅，人求上进先读书——李苦禅立志宜思真品格，读书须尽苦功夫——阮元非淡泊无以明志，非宁静无以致远——诸葛亮熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟——孙洙《唐诗三百首序》书到用时方恨少，事非经过不知难——陆游问渠那得清如许，为有源头活水来——朱熹旧书不厌百回读，熟读精思子自知——苏轼书痴者文必工，艺痴者技必良——蒲松龄声明访问者可将本资料提供的内容用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律的规定，不得侵犯本文档及相关权利人的合法权利。

2020版高考数学一轮复习：8.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图

AB=2A'B'=2,下底 BC=1+ 2,所以原平面图形的面积是
1+1+
A2
2×2=2+
2,故选 A.
解析
关闭
关闭
答案
知识梳理双基自测
12345
-16-
自测点评 1.从空间几何体的定义入手,借助几何模型强化其结构特征. 2.注意空间几何体的不同放置对其三视图的影响. 3.在斜二测画法中与x轴、y轴、z轴都不平行的线段可通过确定端点的办法来画,即过端点作坐标轴的平行线段,再借助所作的平行线段来确定端点在直观图中的位置.
(4)球可以由半圆面或圆面
绕直径所在直线旋转得
到
-6-
知识梳理双基自测
1234
2.三视图 (1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图,分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮
廓线.
(2)三视图的画法 ①基本要求: 长对正 , 高平齐 , 宽相等 . ②画法规则: 正侧一样高, 正俯一样长, 侧俯一样宽;看不到的轮廓线画虚线.
12×2 2×2=2 2, ��△��1�� = 12×2 2 × 的B 各A.个2 面2中最大面B.2的面3 积为 2 C3..3
是相似多边形
-5-
知识梳理双基自测
1234
(1)圆柱可以由矩形绕其任一边所在直线旋转得到.
(2)圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得
旋到. 转 (3)圆台可以由直角梯形绕
直角腰
所在直线或等腰梯形
体
绕上、下底边中点连线所在直线旋转得到,也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到.

2021届高考数学 8.1空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积配套文档理

§8.1空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积1．多面体的结构特点2.3.空间几何体的直观图经常使用斜二测画法来画，其规那么：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中维持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中长度为原先的一半．4．空间几何体的三视图(1)三视图的主视图、俯视图、左视图别离是从物体的正前方、正上方、正左方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形．(2)三视图的特点：三视图知足“长对正、高平齐、宽相等”或说“主左一样高、主俯一样长、俯左一样宽”．5．柱、锥、台和球的侧面积和体积1． (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱． ( × ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( × )(3)用斜二测画法画水平放置的∠A 时，假设∠A 的两边别离平行于x 轴和y 轴，且∠A ＝90°，那么在直观图中，∠A ＝45°.( × ) (4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同． ( × ) (5)圆柱的侧面展开图是矩形．( √ ) (6)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算．( √ )2． (2021·四川)一个几何体的三视图如下图，那么该几何体的直观图能够是 ( )答案 D解析由三视图可知上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选D.3． (2021·课标全国Ⅰ)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，若是不计容器的厚度，那么球的体积为( )A.500π3cm 3B.866π3cm 3C.1 372π3 cm 3D.2 048π3cm 3答案 A解析作出该球轴截面的图象如下图，依题意BE ＝2，AE ＝CE ＝4，设DE ＝x ，故AD ＝2＋x ，因为AD 2＝AE 2＋DE 2，解得x ＝3，故该球的半径AD ＝5，因此V ＝43πR 3＝500π3. 4．一个三角形在其直观图中对应一个边长为1的正三角形，原三角形的面积为________．答案62解析由斜二测画法，知直观图是边长为1的正三角形，其原图是一个底为1，高为6的三角形，因此原三角形的面积为62.5．假设一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，那么该圆锥的体积为________．答案33π 解析侧面展开图扇形的半径为2，圆锥底面半径为1， ∴h ＝22－1＝3，∴V ＝13π×1×3＝33π.题型一空间几何体的结构特点例1 (1)以下说法正确的选项是( )A ．有两个平面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B ．四棱锥的四个侧面都能够是直角三角形C ．有两个平面相互平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D ．棱台的各侧棱延长后不必然交于一点 (2)给出以下命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，那么这两点的连线是圆柱的母线； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面能够不相似，但侧棱长必然相等．其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3思维启发从多面体、旋转体的概念入手，能够借助实例或几何模型明白得几何体的结构特点．答案 (1)B (2)A解析 (1)A 错，如图1；B 正确，如图2，其中底面ABCD 是矩形，可证明∠PAB ，∠PCB 都是直角，如此四个侧面都是直角三角形；C 错，如图3；D 错，由棱台的概念知，其侧棱必相交于同一点．(2)①不必然，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②不必然，因为“其余各面都是三角形”并非等价于“其余各面都是有一个公共极点的三角形”，如图1所示；③不必然，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图2所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，可是侧棱长不必然相等．思维升华 (1)有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的几何体不必然是棱柱． (2)既然棱台是由棱锥概念的，因此在解决棱台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略． (3)旋转体的形成不仅要看由何种图形旋转取得，还要看旋转轴是哪条直线．如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A ，B ，C是展开图上的三点，那么在正方体盒子中，∠ABC 的值为 ( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 C解析还原正方体，如下图，连接AB ，BC ，AC ，可得△ABC 是正三角形，那么∠ABC ＝60°. 题型二空间几何体的三视图和直观图例2 (1)如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为12，那么该几何体的俯视图能够是( )(2)正三角形AOB 的边长为a ，成立如下图的直角坐标系xOy ，那么它的直观图的面积是________．思维启发 (1)由主视图和左视图可知该几何体的高是1，由体积是12可求出底面积．由底面积的大小可判定其俯视图是哪个．(2)依照直观图画法规那么确信平面图形和其直观图面积的关系．答案 (1)C (2)616a 2解析 (1)由该几何体的主视图和左视图可知该几何体是柱体，且其高为1，由其体积是12可知该几何体的底面积是12，由图知A 的面积是1，B 的面积是π4，C 的面积是12，D 的面积是π4，应选C.(2)画出坐标系x ′O ′y ′，作出△OAB 的直观图O ′A ′B ′(如图)．D ′为O ′A ′的中点．易知D ′B ′＝12DB (D 为OA 的中点)，∴S △O ′A ′B ′＝12×22S △OAB ＝24×34a 2＝616a 2.思维升华 (1)三视图中，主视图和左视图一样高，主视图和俯视图一样长，左视图和俯视图一样宽．即“长对正，宽相等，高平齐”．(2)解决有关“斜二测画法”问题时，一样在已知图形中成立直角坐标系，尽可能运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系．(1)(2021·湖南)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，那么该正方体的主视图的面积不可能等于( )A ．1 B.2 C.2－12D.2＋12(2)如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，O ′C ′＝2 cm ，那么原图形是 ( ) A ．正方形 B ．矩形C ．菱形D ．一样的平行四边形答案 (1)C (2)C解析 (1)由俯视图知正方体的底面水平放置，其主视图为矩形，以正方体的高为一边长，另一边长最小为1，最大为2，面积范围应为[1，2]，不可能等于2－12.(2)如图，在原图形OABC 中，应有OD ＝2O ′D ′＝2×22＝42 cm ，CD ＝C ′D ′＝2 cm.∴OC ＝OD 2＋CD 2＝422＋22＝6 cm ，∴OA ＝OC ，故四边形OABC 是菱形．题型三空间几何体的表面积与体积例3 (1)一个空间几何体的三视图如下图，那么该几何体的表面积为 ( )A ．48B ．32＋817C ．48＋817D ．80(2)已知某几何体的三视图如下图，其中主视图、左视图均由直角三角形与半圆组成，俯视图由圆与内接三角形组成，依照图中的数据可得几何体的体积为 ( ) A.2π3＋12B.4π3＋16 C.2π6＋16D.2π3＋12思维启发先由三视图确信几何体的组成及气宇，然后求表面积或体积．答案 (1)C (2)C解析 (1)由三视图知该几何体的直观图如下图，该几何体的下底面是边长为4的正方形；上底面是长为4、宽为2的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2，下底长为4，高为4；另两个侧面是矩形，宽为4，长为42＋12＝17.因此S表＝42＋2×4＋12×(2＋4)×4×2＋4×17×2＝48＋817.(2)由三视图确信该几何体是一个半球体与三棱锥组成的组合体，如图，其中AP ，AB ，AC 两两垂直，且AP ＝AB ＝AC ＝1，故AP ⊥平面ABC ，S △ABC ＝12AB ×AC ＝12，因此三棱锥P －ABC 的体积V 1＝13×S △ABC ×AP ＝13×12×1＝16，又Rt△ABC 是半球底面的内接三角形，因此球的直径2R ＝BC ＝2，解得R ＝22，因此半球的体积V 2＝12×4π3×(22)3＝2π6，故所求几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝16＋2π6.思维升华解决此类问题需先由三视图确信几何体的结构特点，判定是不是为组合体，由哪些简单几何体组成，并准确判定这些几何体之间的关系，将其切割为一些简单的几何体，再求出各个简单几何体的体积，最后求出组合体的体积．(2021·课标全国)已知三棱锥S －ABC 的所有极点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，那么此棱锥的体积为 ( ) A.26 B.36 C.23 D.22答案 A解析由于三棱锥S －ABC 与三棱锥O －ABC 底面都是△ABC ，O 是SC 的中点，因此三棱锥S －ABC 的高是三棱锥O －ABC 高的2倍，因此三棱锥S －ABC 的体积也是三棱锥O －ABC 体积的2倍．在三棱锥O －ABC 中，其棱长都是1，如下图， S △ABC ＝34×AB 2＝34，高OD ＝ 12－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫332＝63， ∴V S －ABC ＝2V O －ABC ＝2×13×34×63＝26.转化思想在立体几何计算中的应用典例：(12分)如图，在直棱柱ABC —A ′B ′C ′中，底面是边长为3的等边三角形，AA ′＝4，M 为AA ′的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面通过棱CC ′到M 的最短线路长为29，设这条最短线路与CC ′的交点为N ，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC 与NC 的长；(3)三棱锥C —MNP 的体积．思维启发 (1)侧面展开图从哪里剪开展平；(2)MN ＋NP 最短在展开图上呈现如何的形式；(3)三棱锥以谁做底好．标准解答解 (1)该三棱柱的侧面展开图为一边长别离为4和9的矩形，故对角线长为42＋92＝97.[2分](2)将该三棱柱的侧面沿棱BB ′展开，如以下图，设PC ＝x ，那么MP 2＝MA 2＋(AC ＋x )2. ∵MP ＝29，MA ＝2，AC ＝3，∴x ＝2，即PC ＝2.又NC ∥AM ，故PC PA ＝NCAM ，即25＝NC 2.∴NC ＝45.[8分](3)S △PCN ＝12×CP ×CN ＝12×2×45＝45.在三棱锥M —PCN 中，M 到面PCN 的距离，即h ＝32×3＝332.∴V C —MNP ＝V M —PCN ＝13·h ·S △PCN＝13×332×45＝235.[12分] 温馨提示 (1)解决空间几何体表面上的最值问题的全然思路是“展开”，即将空间几何体的“面”展开后铺在一个平面上，将问题转化为平面上的最值问题．(2)若是已知的空间几何体是多面体，那么依照问题的具体情形能够将那个多面体沿多面体中某条棱或两个面的交线展开，把不在一个平面上的问题转化到一个平面上．若是是圆柱、圆锥那么可沿母线展开，把曲面上的问题转化为平面上的问题．(3)此题的易错点是，不明白从哪条侧棱剪开展平，不能正确地画出侧面展开图．缺乏空间图形向平面图形的转化意识.方式与技术1．棱柱、棱锥要把握各部份的结构特点，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决．2．旋转体要抓住“旋转”特点，弄清底面、侧面及展开图形状．3．三视图画法：(1)实虚线的画法：分界限和可见轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线；(2)明白得“长对正、宽平齐、高相等”．4．直观图画法：平行性、长度两个要素．5．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规那么的几何体通过度割或补形将其转化为规那么的几何体求解．6．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确信有关元素间的数量关系，并作出适合的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的极点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．失误与防范1．台体能够看成是由锥体截得的，但必然强调截面与底面平行．2．注意空间几何体的不同放置对三视图的阻碍．3．几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系．A组专项基础训练(时刻：40分钟)一、选择题1．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两极点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有( )A．20 B．15C．12 D．10答案D解析如图，在正五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1中，从极点A动身的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点动身的对角线均有两条，共2×5＝10(条)．2．(2021·福建)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么那个几何体不能够是( )A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱答案 D解析考虑选项中几何体的三视图的形状、大小，分析可得．球、正方体的三视图形状都相同、大小均相等，第一排除选项A 和C. 关于如下图三棱锥O －ABC ，当OA 、OB 、OC 两两垂直且OA ＝OB ＝OC 时，其三视图的形状都相同，大小均相等，故排除选项B. 不论圆柱如何设置，其三视图的形状都可不能完全相同，故答案选D.3． (2021·重庆)某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为( )A.5603B.5803 C ．200 D ．240答案 C解析由三视图知该几何体为直四棱柱，其底面为等腰梯形，上底长为2，下底长为8，高为4，故面积为S ＝2＋8×42＝20.又棱柱的高为10，因此体积V ＝Sh ＝20×10＝200.4．如图是一个物体的三视图，那么此三视图所描述物体的直观图是( ) 答案 D解析由俯视图可知是B 和D 中的一个，由主视图和左视图可知B 错．5．某几何体的三视图如下图，其中俯视图是个半圆，那么该几何体的表面积为( )A.32π B ．π＋3C.32π＋ 3D.52π＋3答案 C解析由三视图可知该几何体为一个半圆锥，底面半径为1，高为3，∴表面积S ＝12×2×3＋12×π×12＋12×π×1×2＝3＋3π2.二、填空题6. 如下图，E 、F 别离为正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，那么四边形BFD 1E 在该正方体的面DCC 1D 1上的正投影是________．(填序号)答案 ②解析四边形在面DCC 1D 1上的正投影为②：B 在面DCC 1D 1上的正投影为C ，F 、E 在面DCC 1D 1上的投影应在边CC 1与DD 1上，而不在四边形的内部，故①③④错误．7．已知三棱锥A —BCD 的所有棱长都为2，那么该三棱锥的外接球的表面积为________．答案 3π 解析如图，构造正方体ANDM —FBEC .因为三棱锥A —BCD 的所有棱长都为2，因此正方体ANDM —FBEC 的棱长为1.因此该正方体的外接球的半径为32. 易知三棱锥A —BCD 的外接球确实是正方体ANDM —FBEC 的外接球，因此三棱锥A —BCD 的外接球的半径为32.因此三棱锥A —BCD 的外接球的表面积为S 球＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫322＝3π. 8． (2021·江苏)如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 别离是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F －ADE的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，那么V 1∶V 2＝________.答案 1∶24解析设三棱锥F －ADE 的高为h ，则V 1V 2＝13h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AD ·AE ·sin∠DAE 2h 122AD 2AE sin∠DAE＝124. 三、解答题9．一个几何体的三视图及其相关数据如下图，求那个几何体的表面积．解那个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半．依照图中数据可知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为3，母线长为2，几何体的表面积是两个半圆的面积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和，故那个几何体的表面积为S ＝12π×12＋12π×22＋12π×(1＋2)×2＋12×(2＋4)×3＝11π2＋3 3.10．已知一个正三棱台的两底面边长别离为30 cm 和20 cm ，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高．解如下图，三棱台ABC —A 1B 1C 1中，O 、O 1别离为两底面中心，D 、D 1别离为BC和B 1C 1的中点，那么DD 1为棱台的斜高．由题意知A 1B 1＝20，AB ＝30，则OD ＝53，O 1D 1＝1033，由S 侧＝S 上＋S 下，得12×(20＋30)×3DD 1＝34×(202＋302)，解得DD 1＝1333，在直角梯形O 1ODD 1中，O 1O ＝DD 21－OD －O 1D 12＝43，因此棱台的高为4 3 cm. B 组专项能力提升(时刻：30分钟)1．在四棱锥E —ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD,2AB ＝3CD ，M 为AE 的中点，设E —ABCD 的体积为V ，那么三棱锥M —EBC 的体积为( )A.25VB.13VC.23VD.310V 答案 D解析设点B 到平面EMC 的距离为h 1，点D 到平面EMC 的距离为h 2.连接MD .因为M 是AE 的中点，因此V M —ABCD ＝12V . 因此V E —MBC ＝12V －V E —MDC . 而V E —MBC ＝V B —EMC ，V E —MDC ＝V D —EMC ，因此V E —MBCV E —MDC ＝V B —EMC V D —EMC ＝h 1h 2.因为B ，D 到平面EMC 的距离即为到平面EAC 的距离，而AB ∥CD ，且2AB ＝3CD ，因此h 1h 2＝32. 因此V E —MBC ＝V M －EBC ＝310V .2．某三棱锥的三视图如下图，该三棱锥的表面积是( ) A ．28＋6 5 B ．30＋65C ．56＋125 D ．60＋125 答案 B 解析由几何体的三视图可知，该三棱锥的直观图如下图，其中AE ⊥平面BCD ，CD ⊥BD ，且CD ＝4，BD ＝5，BE ＝2，ED ＝3，AE ＝4.∵AE ＝4，ED ＝3，∴AD ＝5.又CD ⊥BD ，CD ⊥AE ，则CD ⊥平面ABD ，故CD ⊥AD ，因此AC ＝41且S △ACD ＝10.在Rt△ABE 中，AE ＝4，BE ＝2，故AB ＝25. 在Rt△BCD 中，BD ＝5，CD ＝4，故S △BCD ＝10，且BC ＝41.在△ABD 中，AE ＝4，BD ＝5，故S △ABD ＝10.在△ABC 中，AB ＝25，BC ＝AC ＝41，则AB 边上的高h ＝6，故S △ABC ＝12×25×6＝6 5. 因此，该三棱锥的表面积为S ＝30＋65. 3．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，那么该圆锥的底面直径为________．答案 2解析设圆锥的母线为l ，圆锥底面半径为r .那么12πl 2＋πr 2＝3π，πl ＝2πr ，∴r ＝1，即圆锥的底面直径为2.4. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直，图为该四棱锥的主视图和左视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．(1)依照图所给的主视图、左视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求PA .解 (1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)，边长为6 cm 的正方形，如图，其面积为36 cm 2.(2)由左视图可求得PD ＝PC 2＋CD 2＝62＋62＝6 2.由主视图可知AD ＝6，且AD ⊥PD ，因此在Rt△APD 中，PA ＝PD 2＋AD 2＝622＋62＝6 3 cm.5．在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝a ，PA ＝PC ＝2a ，假设在那个四棱锥内放一球，求此球的最大半径．解当球内切于四棱锥，即与四棱锥各面均相切时球半径最大，设球的半径为r ，球心为O ，连接OP 、OA 、OB 、OC 、OD ，那么把此四棱锥分割成四个三棱锥和一个四棱锥，这些小棱锥的高都是r ，底面别离为原四棱锥的侧面和底面，则V P －ABCD ＝13r (S △PAB ＋S △PBC ＋S △PCD ＋S △PAD ＋S 正方形ABCD )＝13r (2＋2)a 2.由题意，知PD ⊥底面ABCD ，∴V P －ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PD ＝13a 3. 由体积相等，得13r (2＋2)a 2＝13a 3，解得r ＝12(2－2)a .。

2021高三人教B数学：第8章第1讲空间几何体的结构及其三视图和直观图

课时作业1．给出下列命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③长方体一定是正四棱柱．其中正确的命题个数是( )A．0 B．1C．2 D．3答案A解析①底面是菱形的直平行六面体,满足条件但不是正棱柱；②底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；③显然错误．2．(2019·河北唐山五校联考)如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为（）答案A解析由正视图和俯视图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知侧视图应为A,故选A。

3．如图,直观图所表示的平面图形是( ）A．正三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形答案D解析由直观图中，A′C′∥y′轴，B′C′∥x′轴，还原后如图AC∥y轴，BC∥x轴．所以△ABC是直角三角形．故选D.4．（2019·宁德质检）如图是正方体截去阴影部分所得的几何体，则该几何体的侧视图是（)答案C解析该几何体的侧视图是从左边向右边看．故选C.5．如图所示，从三棱台A′B′C′－ABC中截去三棱锥A′－ABC,则剩余部分是（)A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．三棱台答案B解析剩余部分是四棱锥A′－BB′C′C，选B。

6．（2019·湖南长沙模拟)如图是一个正方体，A，B,C为三个顶点，D是棱的中点,则三棱锥A－BCD的正视图、俯视图是（注:选项中的上图为正视图,下图为俯视图）( ）答案A解析正视图和俯视图中棱AD和BD均看不见，为虚线,故选A.7．某几何体的正视图和侧视图完全相同，均如图所示，则该几何体的俯视图一定不可能是（)答案D解析几何体的正视图和侧视图完全相同，则该几何体从正面看和从侧面看的长度相等，只有等边三角形不可能．故选D。

8．(2019·临沂模拟）如图甲，将一个正三棱柱ABC－DEF截去一个三棱锥A－BCD，得到几何体BCDEF，如图乙，则该几何体的正（主）视图是( ）答案C解析由于三棱柱为正三棱柱,故侧面ADEB⊥底面DEF，△DEF是等边三角形,所以CD在面ABED上的投影为AB的中点与D 的连线，CD的投影与底面DEF不垂直．故选C.9．（2019·河北石家庄质检)一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示,则该三棱锥的侧视图可能为（)答案D解析由图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD⊥平面BCD。

2021届高考数学一轮总复习第8章立体几何第1节空间几何体的结构特征及三视图和直观图跟踪检测文含解析

第八章立体几何第一节空间几何体的结构特征及三视图和直观图A级·基础过关|固根基|1.由平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体是( )A．六棱锥B．六棱台C．六棱柱D．非棱柱、棱锥、棱台的一个几何体解析：选C 平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体符合棱柱的定义．2．下列说法中，正确的是( )A．棱柱的侧面可以是三角形B．若棱柱有两个侧面是矩形，则该棱柱的其他侧面也是矩形C．正方体的所有棱长都相等D．棱柱的所有棱长都相等解析：选C 棱柱的侧面都是平行四边形，选项A错误；若棱柱的底面是矩形，其他侧面可能是平行四边形，选项B错误；棱柱的侧棱长与底面边长不一定相等，选项D错误；易知选项C正确．3.水平放置的△ABC的直观图如图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC是一个( )A．等边三角形B．直角三角形C．三边中只有两边相等的等腰三角形D．三边互不相等的三角形解析：选A AO＝2A′O′＝2×32＝3，在Rt△AOB中，AB＝12＋（3）2＝2，同理AC＝2，又由题意可知，BC＝2，所以△ABC是等边三角形．故选A. 4．(2019届沈阳市教学质量监测一)“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是( )解析：选B 根据直观图以及图中的辅助四边形分析可知，当正视图和侧视图完全相同时，俯视图为B.5.如图所示，在三棱台A′B′C′－ABC中，沿A′BC截去三棱锥A′－ABC，则剩余的部分是( )A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．组合体解析：选B如图所示，在三棱台A′B′C′－ABC中，沿A′BC截去三棱锥A′－ABC，剩余部分是四棱锥A′－BCC′B′.6．某几何体的正视图和侧视图均为如图所示的图形，则在下图的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是( )A．①③B．①④C．②④D．①②③④解析：选A 由正视图和侧视图知，该几何体为球与正四棱柱或球与圆柱体的组合体，故①③正确．故选A.7．如图所示，网格纸上每个小方格都是边长为1的正方形，粗线画出的是一个几何体的三视图，记该几何体的各棱长度构成的集合为A，则( )A.3∈A B．3∈AC．23∈A D．22∈A解析：选D如图，该几何体可看成是由大三棱锥A－BCD(其中CD＝DA＝DB＝2，CD，DA，DB两两垂直)截去小三棱锥A－CDE(其中E为BD中点)后形成的新三棱锥A－BCE，六条棱的长分别为22，22，22，1，5，5，故选D.8．如图是一个几何体的直观图、正视图和俯视图，该几何体的侧视图为( )解析：选B 由直观图和正视图、俯视图可知，该几何体的侧视图应为面PAD，EC投影在面PAD上且为实线，点E的投影点为PA的中点，故选B.9．一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、俯视图如图所示，则其侧视图为( )解析：选C 根据正方体截去两个角后所得几何体的正视图、俯视图可得，此几何体的直观图如图所示．所以侧视图为选项C.10．如图所示的纸篓，观察其几何结构，可以看出是由许多条直线围成的旋转体，该几何体的正视图为________(填序号)．解析：①②④中的几何体是由圆台、圆锥、圆柱组成的，而圆台、圆锥、圆柱的侧面除了与旋转轴在同一平面的母线以外，没有其他直线，即①②④不可能为该几何体的正视图．答案：③11．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P－BCD的正视图与侧视图的面积之比为________．解析：根据题意，三棱锥P－BCD的正视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高；侧视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高，故三棱锥P－BCD的正视图与侧视图的面积之比为1∶1.答案：1∶112．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则这个圆台的母线长为________cm.解析：如图，过点A作AC⊥OB，交OB于点C.在Rt△ABC中，AC＝12 cm，BC＝8－3＝5(cm)．所以AB＝122＋52＝13(cm)．答案：13B级·素养提升|练能力|13.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．则该多面体的各个面中，面积最大的面的面积为( )A ．2 3B ．6C ．6 2D ．12解析：选B由三视图可画出直观图，如图所示，该多面体中两个全等的梯形的面，为该多面体的各个面中面积最大的面，S 梯形＝12×2×(2＋4)＝6.故选B.14．一只蚂蚁从正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A 出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C 1的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是( )A ．①②B ．①③C ．③④D ．②④解析：选D 由点A 经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C 1的位置，共有6种路线(对应6种不同的展开方式)，若把平面ABB 1A 1和平面BCC 1B 1展开到同一个平面内，连接AC 1，则AC 1是最短路线，且AC 1会经过BB 1的中点，此时对应的正视图为②；若把平面ABCD 和平面CDD 1C 1展开到同一平面内，连接AC 1，则AC 1是最短路线，且AC 1会经过CD 的中点，此时对应的正视图为④.而其他几种展开方式对应的正视图在题中没有出现．故选D.15．如图1，在四棱锥P －ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直，图2为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．则该几何体的俯视图的面积为________，棱PA的长度为________．解析：该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm的正方形，如图，其面积为36 cm2.由侧视图可求得PD＝PC2＋CD2＝62＋62＝62(cm)．由正视图可知AD＝6 cm，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，PA＝PD2＋AD2＝（62）2＋62＝63(cm)．答案：36 cm26 3 cm16．如图所示，在侧棱长为23的正三棱锥V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过A作截面AEF，△AEF周长的最小值为________．解析：如图，将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，则线段AA1的长即为所求△AEF的周长的最小值．取AA1的中点D，连接VD，则VD⊥AA1，∠AVD＝60°.在Rt△VAD中，AD＝VA·sin 60°＝3，所以AA1＝2AD＝6，即△AEF周长的最小值为6.答案：6。

空间几何体的结构、三视图、直观图

第 8页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
棱台、圆台的特征用平行于底面的平面去截棱锥、圆锥，截面与底面间的部分叫棱台、圆台．几何体的三视图正视图、侧视图、俯视图．又称为：主视图、左视图、俯视图．
第 9页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
三视图的画法要求 (1)在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线，单位不注明，则按 mm 计． (2)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求是：“正俯一样长、正侧一样高、俯侧一样宽”． (3)由三视图想象几何体特征时要根据“长对正、高平齐、宽相等”的基本原则．
第12页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
(4) 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥． (5)若在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线． (6)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．
第13页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)× 解析 (1)(2)(3)(4)的反例见下面四个图．
第 3页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
课前自助餐
第 4页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
棱柱的结构特征 (1)定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行． (2)性质：①侧棱长相等；②侧面都是平行四边形．
第 5页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
第28页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
【讲评】立体几何中“截、展、拆、拼” ①“截”：指的是截面，平行于柱、锥底面的截面以及旋转体的轴截面，它们集中反映了几何体的主要元素的数量关系，能够列出有关量的关系． ②“展”：指的是侧面和某些面的展开图，在有关沿表面的最短路径问题中，就是求侧面或某些面展开图上两点间的距离．注意展开方式往往不止一种．

高三数学总复习 8.1空间几何体的结构及其三视图与直观图

空间几何体的结构、三视图、直观图课件

高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题8-1空间几何体及其三视图和直观图-教师版

空间几何体的结构、三视图、直观图

高考数学一轮复习： 专题8.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图(讲)

8-1 空间几何体的结构特征及三视图和直观图

人教a版高考数学(理)一轮课件：8.1空间几何体的结构、三视图和直观图

立体几何-8.1__空间几何体的结构及其三视图和直观图(教案)

§8.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图

8.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图

高考数学第一轮复习08-空间几何体结构、三视图和直观图

2020版高考数学一轮复习：8.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图

2021届高考数学 8.1空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积配套文档 理

2021高三人教B数学：第8章 第1讲空间几何体的结构及其三视图和直观图

2021届高考数学一轮总复习第8章立体几何第1节空间几何体的结构特征及三视图和直观图跟踪检测文含解析

空间几何体的结构、三视图、直观图

高考数学一轮复习：专题8.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图(讲)

2021届高考数学 8.1空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积配套文档理

2021高三人教B数学：第8章第1讲空间几何体的结构及其三视图和直观图