初中数学反证法
中学数学教学中的反证法-精选教育文档
中学数学教学中的反证法在生活中，我们都有这样的常识，去掉大米中的砂粒，有两种方法.一种是直接从大米中把砂粒一粒一粒地拣出来；一种是用间接的方法――淘洗法，把砂粒残留下来.这两种方法虽然形式不同，但结果却是一样的，都能达到去掉砂粒的目的.有时用直接方法很困难，而用间接方法却容易得多.牛顿曾说：“反证法是数学家最精当的武器之一.”当一些命题不易从正面直接证明时，就可考虑用反证法.一、反证法的基本概念1.反证法的定义法国数学家阿达玛对反证法的实质做了如下概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾.”这是对反证法的极好概括.其实反证法也称作归谬法。
反证法适合一些正面证明比较困难，但是否定则比较简单的题目，在高中数学中的应用较为广泛，在解决一些较难问题的时候，反证法能体现其优越性.2.反证法的基本思想反证法的基本思想就是否定之否定，这种基本思想可以用下面的公式表示：“否定→推理→矛盾→肯定”，即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定.3.反证法的逻辑依据通过以上三个步骤，为什么能肯定原命题正确呢？其逻辑根据就在于形成逻辑的两个基本规律：“排中律”和“矛盾律”.在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”.反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假.再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真.所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的.二、反证法的步骤用反证法证题一般分为三个步骤：1.反设.假设原命题的结论不成立；2.归谬.从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；3.结论.由矛盾判定假设不成立，从而肯定原命题的结论正确.即：否定结论→推导出矛盾→结论成立.三、反证法的种类1.归谬反证.结论的反面只有一种情形，只要把它驳倒，就能达到证题目的.2.穷举反证.结论的反面不止一种情形，必须将它们逐一驳倒，才能达到证题目的.四、反证法的典型例题例1：已知：AB，CD是圆内非直径的俩弦（如图），求证：AB与CD不能互相平分.证明：假设AB与CD互相平分与点M，则由已知条件AB，CD均非圆O直径，可以判定M不是圆心O，联结OA，OB，OM.因为OA=OB，M是AB中点，所以OM⊥AB（等腰三角形底边上的中线垂直于底边）.同理可得：OM⊥CD，从而过点M有两条直线AB，CD都垂直于OM.这与已知的定理相矛盾.故AB与CD不能互相平分.五、反证法的使用条件任何方法都有它成立的条件，也都有它适用的范围.离开了条件超越了范围就会犯错误，同样，问题解决也就没有那么容易.因此，我们应该学会正确使用反证法解题.虽然用反证法证明，逻辑推理严谨而清晰，论证自然流畅，可谓是干净利落，快速而可行，是一种很积极的证明方法，而且用反证法证题还有很多优点：如思想选择的余地大、推理方便等.但是并不是什么题目都适合用反证法解决.例2：如果对任何正数p，二次方程ax+bx+c+p=0的两个根是正实数，则系数a=0，试证之.分析：看了本题的证明过程似乎很合理，但其实第三步，即肯定原结论成立的论证错了.因为，本题的题设条件为对任意正数p，y=0有两个正实数根，结论是a=0，但本题的题设条件与结论是矛盾的；当a=0时，二次方程就变成了一次方程bx+c+p=0，此一次方程在b≠0时，对于任何正数p，它只有一个根；在b=0时，仅当p=-c>0的条件下，它有无数个根，否则无根，但总之不会有两个根.题设条件和结论矛盾.因此，本题不能反证法来处理.若原题改为“如果对于任何正数p，只存在正实根，则系数a=0”，就能用反证法证明.因此，对于下列命题，较适用反证法解决.（1）至多至少型命题；（2）唯一性命题；（3）否定型命题；（4）明显型命题；（5）此前无定理可以引用的命题.例3：设a，b都是正数，求证：（a-b）/a≤ln（a/b）≤（a-b）/b.证明：反设ln（a/b）≤（a-b）/b不成立，便有ln（a/b）≥（a-b）/b，由对称性知：ln（b/a）≥（b-a）/a，相加得：ln（a/b）+ln（b/a）>（a-b）/b+（b-a）/a即：0>（a-b）/a≥0这一矛盾说明ln（a/b）≤（a-b）/b即：ln（b/a）≥（a-b）/b交换位置：ln（a/b）≥（a-b）/b合并得：（a-b）/a≤ln（a/b）≤（a-b）/b反证法是数学中的一种重要的证明方法.牛顿曾说：“反证法是数学家最精当的武器之一.”它是从命题的否定结论出发，通过正确的逻辑定理推理导出矛盾，从而证明原命题的正确性的一种重要方法.反证法之所以有效是因为它对结论的否定实际上增加了论证的条件，多一个条件，这对发现正确的解题思路是有帮助的.对于具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，通过逆向思维，从结论入手进行反面思考，问题就能迎刃而解.在现代数学中，反证法已成为最常用和最有效的解决问题的方法之一.。
初中数学竞赛：反证法
初中数学竞赛：反证法判断一个命题是否正确，既可以直接证明，又可以间接证明．反证法就是一种间接证明的推理方法，它的推理思路是首先提出反设——在已知条件下，暂时否定待证结论，提出与结论相反的假设；其次，推出矛盾——从反设出发，结合已知条件，通过严密推证，导出与已知公理、定理、定义或题设相矛盾的结果；然后，肯定结论——出现矛盾，因为是“否定结论”的结果，所以“反设”不成立，从而肯定命题是正确的．一般地，待证命题的结论中出现“至多”、“至少”、“相等”、“不等”、“存在”、“不存在”、“唯一”、“不唯一”、“有理”、“无理”等断语时，常可考虑用反证法．实际上，反证法适用于证明任何问题，只不过有时简捷，有时复杂就是了．例1 在同一平面内，平行于同一直线的两条不同直线必定平行．已知：(如图3－120)直线a，b，c中，a∥c，b∥c．求证：a∥b．证(1)提出反设：假定a b．(2)推出矛盾：由于a b，那么a，b必相交于一点，设为P．因为a∥c，b ∥c，那么过P点有a，b两条直线同时平行于c，与平行公理矛盾．(3)肯定结论：由(2)可知假设a b错误，所以a∥b．说明 (1)本题证明中，利用“平行与相交”互为否定．(2)本题证明中，写出了“(1)提出反设；(2)推出矛盾；(3)肯定结论”，目的是使读者体会反证法的论证步骤，在实际证明时，不必写出这三个小标题，直接写出反证法的证明过程即可．例2 如图3－121．在△ABC中，∠A的外角平分线与BC的延长线交于E，求证：AB＞AC．分析 AB＞AC的否定是AB≤AC，而AB≤AC只有两种情况：AB=AC和AB＜AC．以下就根据这两种情况推出矛盾．证 (1)若AB=AC，则∠B=∠3．又∠1=∠2，所以所以AE∥BE，此与AE与BC交于E矛盾，所以AB≠AC．(2)若AB＜AC，则∠B＞∠3，所以2∠B＞∠B+∠3．又∠B+∠3=∠1+∠2，∠1=∠2，所以∠B+∠3=2∠1，所以2∠B＞2∠1，所以∠B＞∠1．此与外角定理∠B＜∠1相矛盾，所以AB AC．由(1)，(2)得AB＞AC．说明本题结论的否定出现两种情况，即AB=AC和AB＜AC．利用反证法证明时，必须对原结论否定得彻底，即把原结论的所有可能方面一一否定后，分别推出矛盾，最后才能肯定待证结论的正确性．例3 求证：当x2+bx+c2=0有两个不相等的非零实数根时，必有bc≠0．分析这个命题的条件是：如果x2+bx+c2=0有两个不相等的非零实数根，结论是：那么bc≠0．而bC≠0的否定是bc=0，而bc=0有三种情况：(1)b=0，C=0；(2)b=0，c≠0；(3)b≠0，c=0．证假设bc=0．(1)若b=0，c=0，方程变为x2=0，那么x1=x2=0是方程x2+bx+c2=0的根，这与已知条件中方程有两个不相等的非零实数根矛盾．(2)若b=0，c≠0，方程变为x2+c2=0，则x2+c2≠0，与x2+bx+c2=0矛盾．(3)若b≠0，c=0，方程变为x2+bx=0，方程根为x1=0，x2=-b这与条件中方程有二个非零实数根矛盾．综合(1)，(2)，(3)可知bc≠0．例4 证明：x2-xy+y2+x+y不可能分解为两个一次因式的乘积．分析否定命题结论，然后利用恒等式比较系数，设法推出矛盾．证假设多项式x2-xy+y2+x+y能分解为两个一次因式的乘积，因为x2-xy+y2+x+y中不含常数项，所以上式可分解为(ax+by)(cx+dy+e)(其中a，b，c，d，e均不为0)，所以x2-xy+y2+x+y=(ax+by)(cx+dy+e)=acx2+(ad+bc)xy+aex+bdy2+bey．比较系数得由①，④得c=e，由③，⑤得d=e，从而c=d=e．又由④，⑤得a=b，所以②为ad+be=bd+bd=2bd=-1，所以多项式x2-xy+y2+x-y不可能分解为两个一次式的乘积．为基础，推出矛盾即可．则为偶数．设b=2m(m是整数)，则b2=4m2，那么2a2=4m2，所以a2=2m2，所以a2是偶数，则a必是偶数，所以a=2n(n是整数)．这样，a，b有公例6 已知点E，F，G，H分别在单位正方形ABCD的四边上(图又四边形EFGH的四个内角中，至少有一个内角不大于90°(否则，四边形内角和将大于360°)，因此，不妨设∠EFG≤90°，则EG2≤EF2+EG2(可根据勾股定理及广勾股定理证明．请读者自证)，所以EG2＜1，EG＜1．但在正方形ABCD中，AB∥CD，且AB与CD间距离为1，所以EG≥1，与EG＜1矛盾．说明在利用反证法证题时，推出的矛盾，可以是推出的事实与已知条件、已知定义、公理、定理相矛盾，也可以是推出的事实(如本题中的EG＜1)与推出的事实(如本题中的EG≥1)相矛盾．这一点要根据推证过程，灵活判断．例7 已知m，n，p都是正整数，求证：在三个数中，至多有一个数不小于1．证假设a，b，c中至少有两个数不小于1，不妨设a≥1，b≥1，则m≥n+p，n≥p+m．两式相加，得2p≤0，从而p≤0，与p是正整数矛盾．所以命题成立．说明“不妨设”是为了简化叙述，表示若有b≥1，c≥1和a≥1等其他各种情况时，证明过程是同样的．没有完全平方数．分析与证明 (1)我们先来观察这一串数有什么特征．11=2×5+1，111=2×55+1，1111=2×555+1，………………(2)我们再用反证法来证明这一命题．因为上式右端为偶数，所以a2-1也是偶数，所以a2为奇数．但a2-1=(a+1)(a-1)，由于(a+1)与(a-1)均为偶数，故可设a+1=2m，a-1=2n．这样练习二十一1．△ABC中，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，且BE=CF，求证：AB=AC．2．如图3－123．D点在△ABC的内部，AB=AC，DB＞DC，求证：∠ADB＜∠ADC．3．实数a，b，c满足a+b+c＞0，ab+bc+ac＞0，且abc＞0．试证：a，b，c 都是正数．4．已知a＞b＞c，且a+b+c=0，则二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根．数．。
初中数学竞赛 知识点和真题 第28讲 反证法
第28讲 反证法欧几里德最喜欢用的反证法，是数学家最精良的武器。
它比起棋手所用的任何战术还要好：棋手可能需要牺牲一只兵或其它棋，但数学家用的却是整个游戏。
——哈代反证法是一种间接证法，当正向求解有一定的困难，则可以考虑问题的反面.对于存在性问题，唯一性命题，否定性命题，用反证法一般比较方便，与无限有关的命题，“至多”、“至少”等形式的命题，也可以考虑用反证法。
反证法证题的一般步骤为：1、假设结论的反面成立；2、在假设的基础上利用已知条件和定理、公理、定义进行推理得出与题设或与公理、定理、定义及日常常识相矛盾的结果；3、矛盾源于假设，从而肯定原命题成立。
经典例题解析先看一个著名的例子．例1 伽利略妙用反证法1589年，意大利25岁的科学家伽利略(Galilei)，为了推翻古希腊哲学家亚里斯多德的“不同重量的物体从高空下落的速度与其重量成正比”的错误论断，他除了拿两个重量不同的铁球登上著名的比萨斜塔当众做实验来说明外，还运用反证法证明如下：假设亚里斯多德的论断是正确的．设有物体A 、B ，且重A ＞重B ，则A 应比B 先落地。
现把A 与B 捆在一起成为物体A ＋B ，则()重B A +＞重A ，故A ＋B 比A 先落地；又因A 比B 落得快，A ，B 在一起时，B 应减慢A 的下落速度，所以A ＋B 又应比A 后落地，这样便得到了自相矛盾的结果．这个矛盾之所以产生，是由亚里斯多德的论断所致，因此这个论断是错误的．评注 伽利略所采用的证明方法是反证法．一般地，在证明一个命题时，从命题结论的反面入手，先假设结论的反面成立，通过一系列正确的逻辑推理，导出与已知条件、已知公理、定理、定义之一相矛盾的结果或者两个相矛盾的结果，肯定了“结论反面成立”的假设是错误的，从而达到了证明结论正面成立的目的，这样一种证明方法就是反证法．反证法对大家来说并不陌生，它是一种最常见的证明方法．成语故事：“自相矛盾”中，“以子之矛攻子之盾”，正是采用了反证法．例2 （2002年北京市初中数学竞赛试题）已知abc ≠0，证明：四个数abc c b a 3)(++，abc a c b 3)(--，abc b a c 3)(--，abcc b a 3)(--中至少有一个不小于6.证明 abc c b a 3)(++＋abc a c b 3)(--＋abc b a c 3)(--＋abcc b a 3)(-- ＝abcc b a b a c a c b c b a ])()[(])()[(3333--+--+--+++ ＝abcac c b a b ac c b a b )633(2)633(2222222-++-+++ ＝abcabc 24＝24.(*) 如果abc c b a 3)(++＜6，abc a c b 3)(--＜6，abc b a c 3)(--＜6，abcc b a 3)(--＜6，则abc c b a 3)(++＋abc a c b 3)(--＋abc b a c 3)(--＋abcc b a 3)(--＜24. 与(*)式矛盾. 所以, 四个加数abc c b a 3)(++,abc a c b 3)(--,abcb ac 3)(--, abcc b a 3)(--中至少有一个不小于6. 例3（1997年山东省初中数学竞赛试题）设a 、b 、c 为互不相等的非零实数，求证三个方程ax 2＋2bx ＋c ＝0，bx 2＋2cx ＋a ＝0，cx 2＋2ax ＋b ＝0不可能都有两个相等的实数根.证明 用反证法。
反证法在初中数学解题中的运用分析
反证法在初中数学解题中的运用分析反证法是一种证明方法，运用反证法可以达到“证明之外还证明”的效果，也就是通过证明不成立的情况来证明规律的正确性。
在初中数学中，反证法可以有效地应用于解题，以下是几个例子：1、证明根号2是无理数。
假设根号2是有理数，可以表示为p/q，其中p,q互质。
则根号2=p/q，两边平方得到2=p*p/q*q，化简可得到p*p=2*q*q，由于2是质数，而p*p是偶数，就可以推出p也是偶数。
那么p=2k，代入原式可得到2=q*k，则q也是偶数。
这与p,q互质矛盾，因此假设不成立，根号2是无理数。
2、证明平方根小数是无限不循环小数。
假设平方根的小数部分有限、循环。
设其小数部分为a.b(c)。
则有a.b(c)=x/10^t+y/(10^(t+1))+z/(10^(t+2))+…，即表示成有限的分数形式。
那么可以将该分数转换为最简分数a’/b’，然后平方可得到(a’)^2/(b’)^2=2+2y/(10^t)+(y/(10^t))^2+(2z/(10^(t+1))+(z/(10^(t+1)))^2+……3、证明勾股数不存在除1以外的公因数。
假设勾股数存在除1以外的公因数d，则可以表示a=dm，b=dn。
那么c^2=a^2+b^2=d^2(m^2+n^2)，即c也能被d整除，此时c/d也是一个整数，且满足c/d是勾股数a/d，b/d的最大公因数。
这与a/d，b/d互质矛盾，因此假设不成立，勾股数不存在除1以外的公因数。
以上几个例子展示了反证法在初中数学解题中的应用，可以看到反证法是一种极为重要的证明方法。
在解题过程中，可以运用一些技巧，如化简、分解因式、求幂、辗转相除等，帮助分析矛盾的来源，找到反证的破绽，从而得出正确的结论。
【初中数学】初中数学学习方法之反证法
【初中数学】初中数学学习方法之反证法
【—之反证法】关于数学中反证法学习方法的知识讲解，希望同学们认真看看下面的
内容。
反证法
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假
设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种
方法。
反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只
一种)。
用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。
反证法是反证法的基础。
为了正确地进行对仗，必须掌握一些常用的相互否定形式，
如是/否；在场/缺席；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大于（小于）或不大于（小于）；是/否；至少一个/无；至少N/最多（N-1）；最多一个/至少两个；独特/至少两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推
导将成为无源之水，无本之木。
推理必须严谨。
导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件
矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
通过以上对反证法学习知识的讲解，希望同学们能很好地掌握以上学习方法，相信同
学们会从中学习到更好的东西。
初中数学反证法简单例子
初中数学反证法简单例子初中数学中的反证法是一种常用的证明方法，通过假设所要证明的命题不成立，然后推导出与已知事实相矛盾的结论，从而证明原命题一定成立。
下面我们来列举一些初中数学中常用的反证法的简单例子。
1. 命题：不存在任意两个不相等的正整数，使得它们的和等于它们的积。
假设存在两个不相等的正整数a和b，满足a + b = ab。
由于a和b不相等，不妨设a > b，那么有a > a/2 > b。
根据不等式性质，我们可以得到2a > a + b = ab，即2 > b。
但是正整数b不可能小于2，与假设矛盾。
因此，不存在任意两个不相等的正整数满足该条件。
2. 命题：存在一个无理数x，使得x的平方等于2。
假设不存在这样的无理数x，即对于任意实数x，x的平方不等于2。
那么我们可以考虑一个特殊的实数y，即y = √2。
根据无理数定义，√2不是有理数，因此是一个无理数。
而根据假设，y的平方不等于2，即y^2 ≠ 2。
然而，这与y = √2相矛盾。
因此，存在一个无理数x，使得x的平方等于2。
3. 命题：对于任意正整数n，2n不等于n的平方。
反证法证明：假设存在一个正整数n，使得2n = n^2。
可以将等式两边同时除以n，得到2 = n。
然而，这与n是一个正整数相矛盾。
因此，对于任意正整数n，2n不等于n的平方。
4. 命题：对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2不是一个完全平方数。
反证法证明：假设存在一个正整数n，使得n^2 + 3n + 2 = m^2，其中m是一个正整数。
可以将等式变形为n^2 + 3n + 2 - m^2 = 0。
这是一个关于n的二次方程，可以使用求根公式解得n = (-3 ± √(9 - 8(2 - m^2))) / 2。
由于n是一个正整数，因此根号内的值必须为正整数。
然而，当m取不同的正整数值时，根号内的值不可能为正整数，因此假设不成立。
因此，对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2不是一个完全平方数。
《初二数学反证法》课件
在推导过程中，要避免将不同的 概念混为一谈，以确保推导的逻 辑严密性。
掌握反证法的适用范围
适用于直接证明困难的情况
反证法常常适用于直接证明某个命题很困难的情况，通过假设原命题的结论不成立，找到矛盾，从而证明原命题 的正确性。
适用于真假较易判断的命题
反证法适用于真假较易判断的命题，因为一旦找到矛盾，就可以很容易地判断原命题的真假。
它是一种间接的证明方法，常 常用于那些直接证明比较困难 的问题。
在数学中，反证法是一种常用 的证明技巧，尤其在初等数学 中。
反证法的起源与发展
反证法的思想可以追溯到古希腊的哲 学家和数学家，如亚里士多德等。
随着数学的发展，反证法的应用越来 越广泛，成为数学证明中的重要方法 之一。
在中国古代的数学著作中，也出现了 反证法的应用，如《九章算术》等。
反证法的应用场景
在几何学中，反证法常常用于证明一些与图形有关的命题，如线段的性质、角的性 质等。
在代数中，反证法可以用于证明一些不等式、恒等式等。
在初等数学中，反证法是一种非常常用的证明方法，尤其在竞赛数学中更为常见。
01
反证法的证明步骤
假设命题结论不成立
提出与原命题相反的 假设。
确保假设与原命题的 结论相矛盾。
《初二数学反证法》 ppt课件
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
目录CONTENTS
• 反证法简介 • 反证法的证明步骤 • 反证法的应用实例 • 反证法的注意事项 • 练习与思考
01
反证法简介
反证法的定义
反证法是一种证明方法，通过 否定待证明的命题，然后推导 出矛盾，从而肯定原命题。
总结词
初二数学反证法练习题
初二数学反证法练习题反证法是一种常用的数学证明方法，它通过推导出与已知条件相矛盾的结论来证明一个命题的真假。
在初二数学学习中，反证法常常被用于解决一些复杂的问题。
本文将介绍一些初二数学中常见的反证法练习题，帮助同学们熟悉并掌握反证法的应用。
题目一：证明“根号2是无理数”。
解析：要证明根号2是无理数，首先我们假设根号2是有理数，并将其表示为p/q，其中p和q是互质的整数（即最大公约数为1）。
那么我们可以得到等式2 = (p/q)^2，即2q^2 = p^2。
由此可知，p^2一定是2的倍数，因此p也一定是2的倍数。
令p = 2k（k为整数），则原等式可以写成2q^2 = (2k)^2，简化得q^2 = 2k^2。
同样地，我们可以得出q也是2的倍数。
但这与我们最初假设的“p 和q是互质的整数”相矛盾。
因此，假设错误，根号2不可能表示为有理数，即根号2是无理数。
题目二：证明“开方后是无理数的数的平方是无理数”。
解析：我们假设存在一个数x，它的开方后是无理数，即√x是无理数。
那么我们可以假设√x是有理数，即√x = p/q，其中p和q为整数，且p/q为最简分数。
根据已知条件，我们有x = (√x)^2 = (p/q)^2 = p^2/q^2。
将x的表达式代入上式中，得到x = p^2/q^2。
由此可知，p^2和q^2均为x的因数。
根据因数的性质，我们可以得知p也是x的因数，且q也是x的因数。
这与我们最初的假设“p和q为最简分数”相矛盾，因此假设错误，开方后是无理数的数的平方一定是无理数。
题目三：证明“3不能表示成形如4k+1的整数的平方”。
解析：我们假设存在一个整数m，使得m^2 = 4k + 1，其中k为整数。
那么我们可以得到等式m^2 ≡ 1 (mod 4)，即m^2除以4的余数为1。
考虑整数的平方的情况，我们可以得知一个整数的平方只可能是0或1（对4取余）。
根据这个性质，我们可以考虑m的两种情况：情况一：m为偶数假设m = 2n，其中n为整数。
初二数学反证法
整数的性质
通过假设整数不具有某种 性质，如假设一个整数不 是质数，然后推导出矛盾 来证明该整数是质数。
同余定理
在证明同余定理时，可以 通过假设两个整数不同余 来推导矛盾。
唯一分解定理
通过假设一个整数不能被 唯一分解为质因数的乘积 来推导矛盾，从而证明唯 一分解定理。
04
反证法的优缺点分析
优点：简化问题、明确方向
可能引入额外条件
在使用反证法时，我们需要假设反面命题成立，并推导出矛 盾。然而，这个假设可能会引入额外的条件或限制，使得证 明过程变得复杂或困难。
不易掌握
反证法需要一定的逻辑思维和推理能力，对于初学者来说可 能较难掌握。同时，使用反证法时需要注意一些细节和技巧 ，否则可能会导致证明过程出现错误。
05
作用
反证法在数学证明中具有重要作用，尤其对于一些难以直接证明的结论，可以 通过反证法间接证明其成立。同时，反证法还可以培养学生的逆向思维能力和 逻辑推理能力。
适用范围及重要性
适用范围
反证法适用于各种数学领域，如代数、几何、数论等。在解决一些复杂问题时，反证法往往能够简化问题，提供 新的解题思路。
重要性
初二数学反证法
汇报人：XX
目 录
• 引言 • 反证法的基本步骤 • 初二数学中常见反证法应用 • 反证法的优缺点分析 • 反证法与直接证明法的比较 • 练习题与解析
01
引言
反证法的定义和作用
定义
反证法是一种数学证明方法，通过假设所要证明的结论不成立，然后推导出与 已知条件、定理、公理等相矛盾的结论，从而证明所要证明的结论成立。
代数证明中的反证法
01
02
03
方程的解
通过假设某个数不是方程 的解，然后代入方程得到 矛盾，从而证明该数是方 程的解。
反证法在初中数学解题中的运用分析
反证法在初中数学解题中的运用分析反证法是数学中一种重要的证明方法，它通常在解决数学问题时发挥着重要的作用。
在初中数学中，我们经常会遇到一些需要用到反证法才能解决的问题，比如证明某个命题的真假，或者推导出一些结论。
在本文中，我们将对反证法在初中数学解题中的运用进行分析，并举例说明其具体运用。
让我们简单了解一下什么是反证法。
反证法是一种证明方法，它采用反证的思路来证明一个命题的真假。
通常，当我们试图证明一个命题时，如果直接使用证明方法无法得出结论，我们可以尝试采用反证法。
反证法的基本思路是，假设命题的否定是成立的，然后通过推导出矛盾的结论，从而得出命题的原命题是成立的结论。
让我们来看一个简单的例子，证明根号2是无理数。
要证明根号2是无理数，首先我们可以假设根号2是有理数，即可以表示为两个整数的比值，即根号2 = m/n，其中m和n 是整数，并且它们没有公因数。
然后我们对等式根号2 = m/n 进行平方，可以得到 2 =m^2/n^2。
接着我们可以得到 m^2 = 2n^2。
这时我们可以观察到m^2是2的倍数，那么m一定也是2的倍数，即m=2k。
代入m=2k，我们可以得到 (2k)^2 = 2n^2，简化后得到 4k^2 = 2n^2，再简化得到 2k^2 = n^2。
这说明n^2也是2的倍数，那么n也一定是2的倍数。
所以m和n同时都是2的倍数，这与我们假设的m和n互质相矛盾。
所以我们可以得出结论，假设根号2是有理数，会导致矛盾，所以根号2是无理数。
在这个例子中，我们使用了反证法来证明根号2是无理数。
我们假设根号2是有理数，然后通过四则运算推导出矛盾的结论，从而得出结论，根号2是无理数。
另外一个例子，我们来看一个关于方程的例子，证明方程 x^2 + 5x + 6 = 0 的根不是有理数。
要证明方程的根不是有理数，我们可以采用反证法。
首先我们假设方程有有理数根，即可以表示为p/q，其中p和q是整数，并且它们没有公因数。
反证法数学最简单的例子
反证法数学最简单的例子
反证法是一种证明方法，用于证明某个命题的否定或矛盾。
它基于假设命题的否定为真，并通过逻辑推理的过程来得出矛盾的结论，从而证明原命题是成立的。
对于数学上最简单的例子，我们可以考虑证明一个整数是奇数。
以下是一个使用反证法证明某个整数是奇数的例子：
假设存在一个整数x，其中x是偶数。
根据偶数的定义，我们可以将x表示为2的倍数，即存在一个整数k使得x=2k。
根据这个假设，我们可以得出以下结论：
1. x是偶数，所以存在一个整数k使得x=2k。
2. 由于k也是整数，故存在一个整数n，使得k=2n。
现在我们可以将x用k和n来表示：
x=2k=2(2n)=4n
综上，我们得到结论x=4n。
此时我们来观察一下得到的结论。
我们知道4可以写成2的平方，所以x可以
写成2的平方乘以n，也就是说x是2的倍数。
然而，根据我们一开始的假设，x是偶数，x=2k，因此x也是2的倍数。
然而这与我们之前的结论矛盾，因为我们开始的时候假设x是一个奇数。
基于我们的假设推导出了矛盾的结论，说明我们的假设是错误的。
反设法的核心是通过推理达到矛盾，从而证明了原命题的成立。
因此，我们可以得出结论x 是一个奇数。
总结起来，反证法是一种重要的证明方法，可以用于解决各种数学问题。
这个简单的例子展示了反证法的使用过程，以及如何通过逻辑推理推导出矛盾，从而证明了原命题的成立。
当面对一些困难的问题时，反证法可以提供一个有效的解决思路，帮助我们理解问题的本质，并得出正确的结论。
反证法在初中数学解题中的运用分析
反证法在初中数学解题中的运用分析引言数学是一门逻辑性极强的学科，而反证法则是数学中一种非常重要的证明方法。
在初中数学中，教师们经常通过教学案例向学生讲解反证法的运用，帮助学生理解和掌握这种证明方法。
本文旨在分析反证法在初中数学解题中的具体运用，帮助学生更好地理解这一方法，并在解题过程中灵活地运用反证法，提高解题能力。
一、反证法的基本思想反证法是通过否定所要论证的结论，找出符合已知条件但却与所要证的结论相矛盾的设想，从而推导出一个矛盾结论，达到证明所要论证结论的目的。
其基本思想可以概括为：采用否定所要证明的结论的态度，找出该结论的必要条件，然后推导出一个与已知条件矛盾的论断。
在初中数学中，反证法的运用通常可以通过以下基本步骤实现：1. 需假设所要证明的结论为假，即采用否定的态度对待所要证的结论。
2. 根据所题设的条件，找出所要证的结论的必要条件。
3. 然后，构造一个与已知条件矛盾的新条件。
4. 通过推导、分析，得出矛盾结论，从而得出所要证的结论为真的结论。
1. 几何题中的反证法在初中数学中，几何题是反证法应用的典型场景。
有关平行线的性质证明题，可以通过采用反证法来证明。
当需要证明两条直线平行时，可以先假设它们不平行，然后通过构造一组与已知条件矛盾的附加条件，来推导出矛盾结论，从而证明所要证的结论为真。
在数论问题中，反证法同样有着重要的应用。
需要证明某个数是奇数时，可以采用反证法。
假设该数是偶数，然后推导出一个与已知条件矛盾的结论，从而证明该数为奇数。
四、如何灵活运用反证法1. 灵活使用反证法在解题过程中，需要根据题目的具体条件和要求来判断是否采用反证法。
有些问题适合采用反证法进行证明，而有些问题可能需要采用其他方法。
在解题中，应当根据题意和已知条件合理选择证明方法，以达到简化解题过程和加深理解的目的。
2. 注意证明逻辑的连贯性在使用反证法进行证明时，需要注意证明的逻辑连贯性。
从假设开始，一直到推导出矛盾结论，整个推理过程应当有条不紊，逻辑严密，确保每一步推理都是正确的，这样才能顺利地完成证明。
初中数学解题方法：反证法
初中数学解题方法：反证法
数学的解题方法是随着对数学对象的研究的深入而发展起来的。
六年级的同学们很快就要小学毕业，中学的大门已经向我们敞开。
为了能进一步学好数学，有必要掌握初中数学的特点尤其是解题方法。
下面介绍的解题方法，都是初中数学中最常用的，有些方法也是中学教学大纲要求掌握的。
反证法
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。
反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。
用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设;(2)归谬;(3)结论。
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一个/一个也没有;至少有n个/至多有(n一1)个;至多有一个/至少有两个;唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。
推理必须严谨。
导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾。
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初二数学反证法
例4
求证：两条直线相交只有一个交点。 已知：如图两条相交直线a、b。 求证：a与b只有一个交点。
证明：假设a与b不止一个交点，不 妨假设有两个交点A和A’。 因为两点确定一条直线，即经 过点A和A’的直线有且只有一条，这与 与已知两条直线矛盾,假设不成立。 所以两条直线相交只有一个交点。
a
●
A，
A
一、复习引入
A
如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b, 如果∠C=90°，a、b、c三边有何关系？为 什么？
解析： 由∠C=90°可知是直角三角 形，根据勾股定理可知 a2 +b2 ＝c2 .
b
c
C
a
B
二、探究
若将上面的条件改为“在 △ABC中，AB=c，BC=a， AC=b,∠C≠90°”，请问结论a2 +b2 ≠ c2 成立吗？请说明理由。
A
P C
在一元二次方程 2 ax bx c 中， a,b,c均为奇数时，方程无实数解。
0
2用反证法证明若a3用反证法证明如果一个三角形没有两个相等的角那么这个三角形不是等腰三角形的第一步a不是实数a小于或等于2a大于或等于2没有两个一个也没有两直线相交假设ab假设这个三角形是等腰三角形1已知
反证法的一般步骤: 假设命 题结论 反面成 立 推理 得出 矛盾
假设不成立 即所证命题 成立
与定理，定义， 公理矛盾 与已知条件矛盾
P l1 l2
四。巩固新知
1、试说出下列命题的反面： （1）a是实数。 a不是实数 （2)a大于2。a小于或等于２ 没有两个 a大于或等于２ （3）a小于2。 （4）至少有 2个 （5）最多有一个 一个也没有 （6）两条直线平行。 两直线相交 2、用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”的第一步是 假设a=b。 3、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么 这个三角形不是等腰三角形”的第一步 假设这个三角形是等腰三角形 。
(初二18)反证法
初中数学竞赛辅导资料（初二18）反证法甲内容提要1. 反证法是一种间接的证明方法。
它的根据是原命题和逆否命题是等价命题，当一个命题不易直接证明时，釆取证明它的逆否命题。
2. 一个命题和它的逆否命题是等价命题，可表示为：A →B A B →⇔ 例如 原命题：对顶角相等 (真命题)逆否命题：不相等的角不可能是对顶角 (真命题)又如 原命题：同位角相等，两直线平行 (真命题)逆否命题：两直线不平行，它们的同位角必不相等 (真命题)3. 用反证法证明命题，一般有三个步骤：① 反设 假设命题的结论不成立（即假设命题结论的反面成立）② 归谬 推出矛盾（和已知或学过的定义、定理、公理相矛盾）③ 结论 从而得出命题结论正确例如： 求证两直线平行。
用反证法证明时① 假设这两直线不平行；② 从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③从而肯定，非平行不可。
乙例题例1两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两直线平行已知：如图∠1＝∠2 A 1 B 求证：AB ∥CD 证明：设AB 与CD 不平行 C 2 D 那么它们必相交，设交点为M D这时，∠1是△GHM 的外角 A 1 M B ∴∠1＞∠2 G这与已知条件相矛盾 2 ∴AB 与CD 不平行的假设不能成立 H∴AB ∥CD C例2.求证两条直线相交只有一个交点证明：假设两条直线相交有两个交点，那么这两条直线都经过相同的两个点，这与“经过两点有且只有一条直线”的直线公理相矛盾，所以假设不能成立，因此两条直线相交只有一个交点。
（从以上两例看出，证明中的三个步骤，最关键的是第二步——推出矛盾。
但有的题目，第一步“反设”也要认真对待）。
例3.已知：m 2是3的倍数，求证：m 也是3的倍数证明：设m 不是3的倍数，那么有两种情况：m=3k+1或m= 3k+2 (k 是整数)当 m=3k+1时， m 2＝（3k+1）2＝9k 2+6k+1=3(3k 2+2k)+1当 m=3k+2时， m 2＝（3k+2）2＝9k 2＋12k+4=3(3k 2+4k+1)+1即不论哪一种，都推出m 2不是3的倍数，这和已知条件相矛盾，所以假设不能成立。
【初中数学】初中数学学习解题方法之反证法
【初中数学】初中数学学习解题方法之反证法
【—学习解题方法之反证法】反证法在解答证明题目中会经常用到，同学们认真学习下面的解题方法。
反证法
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。
反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。
用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。
推理必须严谨。
导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
对于反证法解题方法的讲解，相信可以很好的帮助同学们的学习工作，希望同学们认真学习，并很好的做好备战考试的工作。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
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这与三角形内角和定义矛盾，所以假设不能成立。故三角形中至少一个角不大于60°。例题
• 例2：已知：AB、CD是⊙O内非直径的两 弦（如图1），求证AB与CD不能互相平 分。
证明：假设AB与CD互相平分于点M、则 由已知条件AB、CD均非⊙O直径， 可判定M不是圆心O，连结OA、OB、OM。 ∵OA＝OB，M是AB中点 ∴OM⊥AB （等腰三角形底边上的中线 垂直于底边） 同理可得：OM⊥CD，从而过点M有两条 直线AB、CD都垂直于OM 这与过一点有且只有一条直线与已知直线 垂直相矛盾。 故AB与CD不能互相平分。
练习：
1.在△ABC中，已知AB＝c，BC＝a，CA＝b，且∠C≠90°. • 求证；a2＋b2≠c2. 2.求证：一个五边形不可能有4个内角为锐角. 3.求证：若a≠0,则ax=b，有唯一解。 4.已知：在四边形ABCD中，M、N分别是AB、DC的中点，
且MN＝（AD＋BC）。 求证：AD∥BC
反证法的概念：
• 不直接从题设推出结论，而是从命题结论的反面出发， 引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证 法。
反证法的基本思路
• 首先假设所要证明的结论不成立，然后再在这个假定条件 下进行一系列的正确逻辑推理，直至得出一个 矛盾的结论 来，并据此否定原先的假设，从而确认所要证明的结论成 立。这里所说的矛盾是指与题目中所给的已知条件矛盾， 或是与数学中已知定理、公理和定义相矛盾，还可以是与 日常生活中的事实相矛盾，甚至还可以是从两个不同角度 进行推理所得出的结论之间相互矛盾（即自相矛盾）。
• 练习4答案：
• 证明：假设AD BC，连结BD，并设P是BD的中 点，再连结MP、PN。
• 在△ABD中
• ∵BM＝MA，BP＝PD
• ∴MP AD，同理可证PN BC
从
而MP＋PN＝（AD＋BC） ①
这时，BD的中点不在MN上
• 若不然，则由MN∥AD，MN∥BC，得AD∥BC与 假设AD BC矛盾，
初中数学反证法
高密市立新中学 楚晓英
知识讲解
对于一个几何命题，当用直接证法比较 困难时，则可采用间接证法，反证法就是一种 间接证法，它不是直接去证明命题的结论成立， 而是去证明命题结论的反面不能成立。从而推 出命题的结论必然成立，它给我们提供了一种 可供选择的新的证题途径，掌握这种方法，对 于提高推理论证的能力、探索新知识的能力都 是非常必要的。下面我们对反证法作一个简单 介绍。
反证法的一般步骤
•
假设命题的结论不成立；
•
从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾；
•
由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确
•
简而言之就是“反设－归谬－结论”三步曲。
例题：
• 1.求证：三角形中至少有一个角不大于60°。
• 证明：假设△ABC中的∠A、∠B、∠C都大于60°
•
则∠A＋∠B＋∠C＞3×60°＝180°
• 于是M、P、N三点不共线。
• 从而MP＋PN＞MN ②
• 由①、②得（AD＋BC）＞MN，这与已知条件
MN＝（AD＋BC）
相矛盾，
故假设AD BC不成立，所以AD∥BC。