中考数学重难点专题讲座第六讲列方程解应用题

合集下载

中考数学总复习第二单元方程组与不等式组第06课时分式方程及其应用课件

高频考向探究
探究一解分式方程
例 1 [2017·宁夏] 解方程:��+3- 4 =1.
��-3 ��+3
[方法模型] 解分式方程时易出现的错误: (1)漏乘没有分母的项; (2)没有验根; (3)去分母时,没有注意符号的变化.
解:去分母,得 x2+6x+9-4x+12=x2-9, 移项、合并同类项,得 2x=-30, 系数化为 1,得 x=-15, 经检验:x=-15 是原方程的解.
解:设原计划平均每天施工 x 平方米,
则33000
��
-313.020��0
=11,
解得 x=500,
经检验,x=500 是原分式方程的解且符
合题意,
∴实际平均每天施工为
500×(1+20%)=600(平方米).
答:实际平均每天施工为 600 平方米.
高频考向探究
[方法模型] 列分式方程解应用题时应注意: (1)设未知数注意选择和题目中各个量关系都密切的量,注意根据问题情况灵活选择设法,如直接设、间接设、设多元等; (2)求分式方程的解,验根应从两个方面出发:方程本身和实际意义.
A.a=-5
B.a=5
C.a=-9
D.a=9
3.解分式方程��2-1+��1��+-��2�� =3 时,去分母后变形正确的为( D )
A.2+(x+2)=3(x-1)
B.2-x+2=3(x-1)
C.2-(x+2)=3
D.2-(x+2)=3(x-1)
课前双基巩固
4.若分式方程 ��2 = 1 有增根,则增根为(

中考数学复习攻略专题6 方程与不等式的实际应用(含答案)

专题六方程与不等式的实际应用解决方程与不等式的实际应用题的一般步骤：①认真审题，理解题意，弄清题中的已知量、未知量以及它们之间的关系；②设未知数(合理地选择未知数是解题的关键)；③列方程(组)或不等式；④解方程(组)或不等式(注意：解分式方程时必须要有“验根”这一步)；⑤检验，对所求结果进行检验，看是否符合题意；⑥作答．解决方程与不等式的实际应用题时，首先要认真审题，从题中找出已知量与未知量之间的关系，然后根据题意列出关系式，进而解决相关问题．在解决问题的过程中要注意方程与不等式的解是否符合题意，涉及函数要检验自变量的取值范围，当题干中出现方案设计问题或最值问题时，往往需要根据题干中的已知条件和函数的增减性来解决方案设计或最值问题．中考重难点突破一次方程(组)的实际应用【例1】(2021·陕西中考)一家商店在销售某种服装(每件的标价相同)时，按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等．求这种服装每件的标价．【解析】设这种服装每件的标价是x 元，根据“这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等”列出方程，然后解方程即可求解．【解答】解：设这种服装每件的标价是x 元．根据题意，得10×0.8x ＝11(x －30).解得x ＝110.答：这种服装每件的标价为110元．1．现有一条长度为359 mm 的铜管料，把它锯成长度分别为39 mm 和29 mm 的两种不同规格的小铜管(要求没有余料)．每锯一次损耗1 mm 的铜管料．为了使铜管料损耗最少，应分别锯成39 mm 的小铜管__6__段，29 mm 的小铜管__4__段．2．某中学组织七年级全体学生参加社会实践，若只调配45座客车若干辆，则有15人没有座位；若只调配30座客车，则用车数量将增加3辆，且空出15个座位．(1)该学校七年级总共有多少学生？(2)若同时调配45座和30座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？解：(1)设只调配45座客车x 辆，则该学校七年级共有学生(45x ＋15)人，只调配30座客车需要(x ＋3)辆．由题意，得30(x ＋3)－(45x ＋15)＝15.解得x ＝4.∴45x ＋15＝45×4＋15＝180＋15＝195.答：该学校七年级共有学生195人；(2)设需要调配45座客车m 辆，30座客车n 辆，由题意，得45m ＋30n ＝195.∴n ＝13－3m 2. 又∵m ，n 均为正整数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝5 或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝2. 答：需调配45座客车1辆，30座客车5辆或调配45座客车3辆，30座客车2辆．分式方程的实际应用【例2】(2021·常州中考)为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头．已知该景点在设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20 t 水可以比原来多用5天．该景点在设施改造后平均每天用水多少吨？【解析】本题考查了分式方程的应用，读懂题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．设该景点在设施改造后平均每天用水x t ，则在改造前平均每天用水2x t ，根据“20 t 水可以比原来多用5天”列出方程并解答．【解答】解：设该景点在设施改造后平均每天用水x t ，则在改造前平均每天用水2x t.根据题意，得20x －202x＝5. 解得x ＝2.经检验，x ＝2是原方程的解，且符合题意．答：该景点在设施改造后平均每天用水2 t ．3．(2021·徐州中考)某网店开展促销活动，其商品一律按8折销售，促销期间用400元在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件．问：该商品打折前每件多少元？解：设该商品打折前每件x 元，则打折后每件0.8x 元．根据题意，得400x ＋2＝4000.8x. 解得x ＝50.经检验，x ＝50是原方程的解，且符合题意．答：该商品打折前每件50元．方程与不等式的综合应用【例3】某学校为丰富同学们的课余生活，购买了一批数量相等的象棋和围棋供兴趣小组使用，其中购买象棋用了420元，购买围棋用了756元，已知每副围棋比每副象棋贵8元．(1)求每副围棋和象棋各是多少元？(2)若该校决定再次购买同种围棋和象棋共40副，且再次购买的费用不超过600元，则该校最多可再购买多少副围棋？【解析】(1)设每副围棋x 元，则每副象棋(x －8)元，根据“420元购买象棋数量＝756元购买围棋数量”列出方程求解即可；(2)设购买围棋m 副，则购买象棋(40－m )副，根据题意列出不等式求解即可．【解答】解：(1)设每副围棋x 元，则每副象棋(x －8)元．根据题意，得420x －8＝756x .解得x ＝18. 经检验，x ＝18是原方程的解，且符合题意．∴x －8＝10.答：每副围棋18元，每副象棋10元；(2)设该校购买m 副围棋，则购买(40－m )副象棋．根据题意，得18m ＋10(40－m )≤600.解得m ≤25.∵m 为正整数，∴m 的最大值是25.答：该校最多可再购买25副围棋．4．(2021·玉林中考)某市垃圾处理厂利用焚烧垃圾产生的热能发电．有A ，B 两个焚烧炉，每个焚烧炉每天焚烧垃圾均为100 t ，每焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉比B 焚烧炉多发电50度，A ，B 焚烧炉每天共发电55 000度．(1)求焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉和B 焚烧炉各发电多少度？(2)若经过改进工艺，与改进工艺之前相比每焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉和B 焚烧炉的发电量分别增加a %和2a %，则A ，B 焚烧炉每天共发电至少增加(5＋a )%，求a 的最小值．解：(1)设焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉发电m 度，B 焚烧炉发电n 度．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝50，100（m ＋n ）＝55 000. 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝300，n ＝250.答：焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉发电300度，B 发焚烧炉发电250度；(2)由题意，得改进工艺后每焚烧一吨垃圾A 焚烧炉发电300(1＋a %)度，则B 焚烧炉发电250(1＋2a %)度，由题意，得100×300(1＋a %)＋100×250(1＋2a %)≥55 000[1＋(5＋a )%].整理，得5a ≥55.解得a ≥11.∴a 的最小值为11.一元二次方程的实际应用【例4】(2021·烟台中考)直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．(1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？(2)小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过(1)中的售价，则该商品至少需打几折销售？【解析】(1)根据日利润＝每件利润×日销售量，可求出售价为60元时的原利润，设售价应定为x 元，则每件的利润为(x －40)元，日销售量为20＋10（60－x ）5＝(140－2x )件，根据日利润＝每件利润×日销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；(2)设该商品需要打a 折销售，根据销售价格不超过50元，列出不等式求解即可．【解答】解：(1)设售价应定为x 元，则每件的利润为(x －40)元，日销售量为20＋10（60－x ）5＝(140－2x )件．由题意，得(x －40)(140－2x )＝(60－40)×20.整理，得x 2－110x ＋3 000＝0.解得x 1＝50，x 2＝60(舍去).答：每件售价应定为50元；(2)设该商品需要打a 折销售．由题意，得62.5×a 10≤50. 解得a ≤8.答：该商品至少需打8折销售．5．列方程(组)解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600 m 2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图，茶园一面靠墙，墙长35 m ，另外三面用69 m 长的篱笆围成，其中一边开有一扇1 m 宽的门(不包括篱笆)．求这个茶园的长和宽．解：设茶园AB 边的长为x m ，则BC 边的长为(69＋1－2x ) m ．根据题意，得x (69＋1－2x )＝600.整理，得x 2－35x ＋300＝0.解得x 1＝15，x 2＝20.当x ＝15时，70－2x ＝40＞35，不符合题意，舍去；当x ＝20时，70－2x ＝30＜35，符合题意．答：这个茶园的长和宽分别为30 m ，20 m ．6．如图，某城建部门计划在新建的城市广场的一块长方形空地上修建一个面积为1 200 m 2的停车场，将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知整个长方形空地的长为50 m ，宽为40 m.(1)求四周通道的宽度；(2)某建筑公司希望用80万元的承包金额承揽这项工程，城建部门认为金额太高需要降价，经过两次协商，最终以51.2万元达成一致，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．解：(1)设四周通道的宽度为x m ，则停车场的长为(50－2x ) m ，宽为(40－2x ) m.由题意，得(50－2x )(40－2x )＝1 200.整理，得x 2－45x ＋200＝0.解得x 1＝5，x 2＝40.当x ＝5时，40－2x ＝40－2×5＝30，符合题意；当x ＝40时，40－2x ＝40－2×40＝－40＜0，不符合题意，舍去．答：四周通道的宽度为5 m ；(2)设每次降价的百分率为a .由题意，得80(1－a )2＝51.2.解得a 1＝0.2＝20%，a 2＝1.8(不合题意，舍去).答：每次降价的百分率为20%.中考专题过关1.(2021·吉林中考)港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共55 km.其中桥梁长度比隧道长度的9倍少4 km.求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．解：设港珠澳大桥隧道长度为x km ，桥梁长度为y km.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝55，y ＝9x －4. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5.9，y ＝49.1. 答：港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为49.1 km 和5.9 km.2．(2021·郴州中考)“七·一”建党节前夕，某校决定购买A ，B 两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生．已知A 奖品比B 奖品每件多25元，预算资金为1 700元，其中800元购买A 奖品，其余资金购买B 奖品，且购买B 奖品的数量是A 奖品的3倍．(1)求A ，B 奖品的单价；(2)购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，故学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买A 奖品的资金不少于720元，A ，B 两种奖品共100件，求购买A ，B 两种奖品的数量，有哪几种方案？解：(1)设A 奖品的单价为x 元，则B 奖品的单价为(x －25)元．由题意，得800x ×3＝1 700－800x －25. 解得x ＝40.经检验，x ＝40是原方程的解，且符合题意．∴x －25＝15.答：A 奖品的单价为40元，B 奖品的单价为15元；(2)设购买A 奖品的数量为m 件，则购买B 奖品的数量为(100－m )件．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧40×0.8×m ≥720，40×0.8×m ＋15×0.8×（100－m ）≤1 700. 解得22.5≤m ≤25.∵m 为正整数，∴m 的值为23，24，25.∴有三种方案：①购买A 奖品23件，B 奖品77件；②购买A 奖品24件，B 奖品76件；③购买A 奖品25件，B 奖品75件．3．(2021·朝阳中考)某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于38元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y (件)与每件售价x (元)之间符合一次函数关系，如图所示．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？(3)设商场销售这种商品每天获利w (元)，当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0).由所给函数图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧25k ＋b ＝70，35k ＋b ＝50. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝120. ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－2x ＋120(20≤x ≤38)；(2)根据题意，得(x －20)(－2x ＋120)＝600.整理，得x 2－80x ＋1 500＝0.解得x ＝30或x ＝50(不合题意，舍去).答：每件商品的售价应定为30元；(3)∵y ＝－2x ＋120，∴w ＝(x －20)y＝(x －20)(－2x ＋120)＝－2x 2＋160x －2 400＝－2(x －40)2＋800.∵－2<0，20≤x ≤38，∴当x ＝38时，w 最大＝792.∴当每件商品的售价定为38元时，每天销售利润最大，最大利润是792元．。

专题06 一元二次方程、一元一次不等式及其应用-备战2022年中考数学题源解密(原卷版)

专题06 一元二次方程与一元一次不等式（组）及其应用考向1 一元二次方程解法及其应用【母题来源】（2021·浙江丽水）【母题题文】用配方法解方程x2+4x+1＝0时，配方结果正确的是（）A．（x﹣2）2＝5 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x+2）2＝3【母题来源】（2021·浙江台州）【母题题文】关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＜2 C．m＞4 D．m＜4【母题来源】（2021·浙江舟山）【母题题文】小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：小敏：两边同除以（x﹣3），得3＝x﹣3，则x＝6．小霞：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝0．你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．【母题来源】（2021·浙江湖州）【母题题文】今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人．（1）求四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长百分之几；（2）若该景区仅有A，B两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示：购票方式甲乙丙可游玩景点A B A和B门票价格 100元/人 80元/人 160元/人据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万，并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？【试题分析】以上题目考察的一元二次方程的解法及其应用；【命题意图】一元二次方程的解法有四种，其中中考中对配方法与公式法考察较多；一元二次方程的应用题因为和一次方程的应用题的思考方式变化不大，中考中一般也不单独考察，常常和二次函数联合考察其应用；【命题方向】浙江中考中，一元二次方程这个考点通常不会单独出题，并不是因为它在中考中占分少，而是因为在后续几何题目中的计算，都会考到一元二次方程的解法，单独的应用题考察很少，或者基本不考；复习中，能用配方法、公式法、因式分解法熟练解一元二次方程，会用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况，了解一元二次方程的根与系数的关系即可；【得分要点】一元二次方式知识总结一般形式）（002≠=++a c bx ax特征：①自含有1个未知数②未知数的最高次数是2次 ③是整式方程解法直接开方法配方法用法提醒：①先将常数项移到=右边；②二次项系数为1时，配方时加上的是一次想系数一半的平方因式分解法因式分解的一般步骤：①提取公因式，②套用乘法公式，③二次三项式想十字相乘公式法求根公式：）（042422≥--±-=ac b aac b b x根的判别式ac b 42-方程没有实数根；＜根；方程有两个相等的实数数根；方程有两个不相等的实＞⇔-⇔=-⇔-040404222ac b ac b ac b 韦达定理若一元二次方程）（002≠=++a c bx ax 的两个根分别为21x x 、则ac x x a bx x =•-=+2121；实际应用一般步骤：①审题， ②设元， ③列方程， ④解方程， ⑤检验， ⑥写出答案考向2 一元一次不等式（组）的解法【母题来源】（2021·浙江金华）【母题题文】一个不等式的解集在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（）A ．x +2＞0B ．x ﹣2＜0C ．2x ≥4D ．2﹣x ＜0【母题来源】（2021·浙江丽水）【母题题文】若﹣3a ＞1，两边都除以﹣3，得（） A ．a ＜﹣B ．a ＞﹣C ．a ＜﹣3D ．a ＞﹣3【母题来源】（2021·浙江衢州）【母题题文】不等式2（y +1）＜y +3的解集为．【母题来源】（2021·浙江湖州）【母题题文】不等式3x ﹣1＞5的解集是（） A ．x ＞2B ．x ＜2C ．x ＞D ．x ＜【母题来源】（2021·浙江温州）【母题题文】不等式组的解集为．【母题来源】（2021·浙江绍兴）【母题题文】（1）计算：4sin60°﹣+（2﹣）0．（2）解不等式：5x+3≥2（x+3）．【母题来源】（2021·浙江杭州）【母题题文】以下是圆圆解不等式组的解答过程：解：由①，得2+x＞﹣1，所以x＞﹣3．由②，得1﹣x＞2，所以﹣x＞1，所以x＞﹣1．所以原不等式组的解集是x＞﹣1．圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．【母题来源】（2021·浙江宁波）【母题题文】（1）计算：（1+a）（1﹣a）+（a+3）2．（2）解不等式组：．【试题分析】以上题目都考察了一元一次不等式（组）的解法，以及在数轴上表示不等式的解集；【命题意图】一元一次不等式（组）的解法是在理解并掌握不等式的基本性质的基础上，对一元一次不等式的解法步骤的考察，而不等式组则是在解完每个不等式后，考察考生对解集公共部分的理解；【命题方向】浙江中考中，一元一次不等式（组）的解法考察形式较多，选择题、填空题或者简答题都有可能单独出题，而且一般都会考，但考题难度一般不大，考生需要掌握的能力为：准确掌握一元一次不等式（组）的解法，并能在数轴上表示出解集，会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集。

中考数学第一部分考点研究第6课时一次方程(组)及其应用复习

三元一次方程组及其解法
一次方程（组）的应用
一元一次方程及其解法
1. 定义：只含有①__一__个未知数（元），并且未知数的次数都是②__1__次
2. 解法：（1）去分母（不要漏乘不含分母的项）；（2）去括号；（3）移项（移项要变号）；（4）合并同类项；（5）未知数的系数化为1
1.二元一次方程的定义：含有③__2__个未知数，并且
把y=1代入①，得x=3.
x 3
∴方程组的解为
y
1
【一题多解】①-②，得-5y=-5，
解得y=1.
把y=1代入①，得x-2=1，
解得x=3. ∴方程组的解为
x y
3 1
解二元一次方程组的基本思想就是消元，消元法包括代入消元法和加减消元法.其中代入消元法多适用于方程组中有一个未知数的系数是1或-1的情形；加减消元法多适用于方程组中两个方程的未知数的系数相同或互为相反数的情形.
问题：同时不同地出发：前者走的路
程+两地间距离＝追者走的路程
重难点突破
解二元一次方程组
例1（2015重庆B卷）解二元一次方程组
x
x
2y 3y
1① 6②
【思路分析】用“消元法”解二元一次方程组，可以
用“代入消元法”或“加减消元法”.
解：由①得x=2y+1，③ 把③代入②，得
2y+1+3y=6，解得y=1.
少元？
【信息梳理】设每盒豆腐乳x元，每盒猕猴桃果汁y元,
原题信息
整理后信息
一若购买3盒豆腐乳和2盒猕猴桃果 3x+2y=180 汁共需180元
二购买1盒豆腐乳和3盒猕猴桃果汁 x+3y=165 共需165元

中考数学专题复习课件 --- 第六讲一元一次方程与分式方程

3
【解析】选A.把x=2代入方程2x+3m-1=0,解得m=-1.
2.(2010 ·东营中考)分式方程 (A)-3 (B)2 (C)3
1 3 的解是( x2 x
)
(D)-2
【解析】选C.原方程去分母,得x=3x-6,解得x=3,经检验x=3是
原方程的根,或者把选项代入原方程检验即可.
3.(2010·河北中考)小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了 1元和5元的纸币共12张.设所用的1元纸币为x张，根据题意，
去分母，得(2x-8)-4=8, 去括号，得2x-8-4=8, 移项，合并同类项，得2x=20, 系数化为1，得x=10.
【纠错空间】上述解题过程出现了三个常见错误： (1)不会利用分式的符号法则对分式进行等值变形，这个法则是“分式的分子、分母和分式本身的符号，任意改变两处，分式的值不变”，按此法则，下列变形应该是：
3
检验：当 x 26 时，x-7≠0,且原方程的左右两边相等，
∴原方程的解为 x 26 .
3
3
x 1.(2010·江西中考)解方程： 2 x2
4 1. x2 4
【解析】去分母，得(x-2)2+4=x2-4, 解得x=3. 检验：当x=3时，x2-4≠0, ∴x=3是原方程的解.
【解析】设原计划每天修水渠 x 米.
3 根据题意得： 600 3 600 20, x 1.8x
解得：x=80, 经检验：x=80是原分式方程的解. 答：原计划每天修水渠80米.
解分式方程常见的错误
【例】解分式方程 2x 8 4 8.
x7 7x 2x 8 4Байду номын сангаас【错误解析】变形，得 8 , x 7 x 7

初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解06 二元一次方程组(解析版)

初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解专题06 二元一次方程组【知识要点】考点知识一二元一次方程（组）有关概念二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。

【注意】1）二元：含有两个未知数；2）一次：所含未知数的项的次数都是1。

例如：xy=1，xy的次数是二，属于二元二次方程。

2）方程：方程的左右两边必须都是整式（分母不能出现未知数）。

二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．【注意】1）在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以求出另一个未知数的值。

2）二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解。

二元一次方程组的概念：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．【注意】1）二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，如⎩⎨⎧2x ＋1＝0，x ＋2y ＝2也是二元一次方程组。

这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须一共含有两个未知数。

3）方程组中的各个方程中，相同字母必须代表同一未知量。

4）二元一次方程组中的各个方程应是整式方程。

二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

【注意】1）二元一次方程组的解是方程中每个方程的解。

2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的，但是有的方程组有无数个解或无解。

如：⎩⎨⎧x ＋y ＝5，4x ＋4y ＝20.有的方程组无解，如：⎩⎨⎧x ＋y ＝5，x ＋y ＝2.考点知识二解二元一次方程组消元的思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为熟悉的一元一次方程，即可先求出一个未知数，然后再求另一个未知数。

这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元的思想。

第06讲一次方程(组)及其应用(解析版)-备战2021年中考数学考点精讲精练(全国通用)

第06讲一次方程（组）及其应用【考点1 一元一次方程的概念及解法】1.方程、方程的解与解方程方程：含有未知数的等式叫方程．方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．解方程：求方程解的过程叫解方程．2.等式的基本性质性质1:等式两边同时加上(或减去)同一个数或同一个式子，所得的结果仍相等．如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c.性质2:等式两边同时乘以(或除以)同一个数(除数不为0)，所得结果仍相等如果a ＝b ，那么ac ＝bc ，ac ＝bc(c ≠0). 3.一元一次方程：含有一个未知数且未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程． 4.解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.【考点2 一元一次方程的应用】列方程解应用题的一般步骤(1) 审：审清题意，分清题中的已知量、未知量；(2) 设：设未知数，设其中某个量为未知数，并注意单位，对含有两个未知数的问题，需设两个未知数； (3) 列：弄清题意，找出相等关系，根据相等关系列方程(组)； (4) 解：解方程(5)验：检验结果是否符合题意(6)答:答题(包括单位)【考点3 方程组及其应用】1.二元一次方程:含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．2.二元一次方程组:两个二元一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组.3.解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程。

4．掌握两个解二元一次方程组的方法：（1）代入法：将方程组中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，再代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一元一次方程，最后求得方程组的解.这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法.方程组中有一个方程的一个未知数的系数是1时，用代入法较简便.（2）加减法：通过将方程组中两个方程加减，消去一个未知数，得到一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.当两个方程中同一未知数的系数的绝对值相等时，用加减法较简便.一元一次方程的概念及解法一次方程用到的思想方法：(1)整体思想：在解方程时结合方程的结构特点，灵活采取整体思想，使整个过程简捷；(2)转化思想：解一元一次方程最终要转化成ax＝b.(3)数形结合思想：利用图形的性质建立方程模型解决几何图形中的问题；(4)方程思想：利用其他知识构造方程解决问题．知识点1：一元一次方程的解【例1】（2019•南充）关于x的一元一次方程2x a﹣2+m＝4的解为x＝1，则a+m的值为（）A．9 B．8 C．5 D．4【解答】解：因为关于x的一元一次方程2x a﹣2+m＝5的解为x＝1，可得：a﹣2＝3，2+m＝4，解得：a＝3，m＝2，所以a+m＝3+3＝5，故选：C．【变式1-1】（2020•株洲）关于x的方程3x﹣8＝x的解为x＝ 4 ．【解答】解：方程3x﹣8＝x，移项，得6x﹣x＝8，合并同类项，得2x＝2．解得x＝4．故答案为：4．【变式1-2】（2019•湘西州）若关于x的方程3x﹣kx+2＝0的解为2，则k的值为 4 ．【解答】解：∵关于x的方程3x﹣kx+2＝6的解为2，∴3×2﹣2k+2＝4，解得：k＝4．故答案为：4．【变式1-3】（2018•南岗区二模）若x＝﹣1是关于x的方程ax﹣2＝0的解，则a的值是﹣2 ．【解答】解：把x＝﹣1代入方程得：﹣a﹣2＝6，解得：a＝﹣2，故答案为：﹣2知识点2：解一元一次方程【例2】（2020•重庆）解一元一次方程（x+1）＝1﹣x时，去分母正确的是（）A．3（x+1）＝1﹣2x B．2（x+1）＝1﹣3xC．2（x+1）＝6﹣3x D．3（x+1）＝6﹣2x【解答】解：方程两边都乘以6，得：3（x+5）＝6﹣2x，故选：D．【变式2-1】（2019•深圳模拟）当x＝ 1 时，的值是．【解答】解：根据题意得：＝，5x﹣1＝1，4x＝2，x＝1，故答案为：3．【变式2-2】（2020•柳州）一元一次方程2x﹣8＝0的解是x＝ 4 ．【解答】解：方程2x﹣8＝4，移项得：2x＝8，系数化为3得：x＝4．故填：4．【变式2-3】（2019•济南）代数式与代数式3﹣2x的和为4，则x＝﹣1 ．【解答】解：根据题意得：+3﹣2x＝7，去分母得：2x﹣1+6﹣6x＝12，移项合并得：﹣4x＝2，解得：x＝﹣1，故答案为：﹣1【变式2-4】（2020•黄埔区一模）解方程：6x+1＝3（x+1）+4．【解答】解：去括号得：6x+1＝3x+3+4，移项合并得：6x＝6，解得：x＝2．【变式2-5】（2020•杭州）以下是圆圆解方程＝1的解答过程．解：去分母，得3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1．去括号，得3x+1﹣2x+3＝1．移项，合并同类项，得x＝﹣3．圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．【解答】解：圆圆的解答过程有错误，正确的解答过程如下：去分母，得：3（x+1）﹣6（x﹣3）＝6．去括号，得8x+3﹣2x+5＝6．移项，合并同类项．知识点3：同解方程【例3】（2020•石景山区校级模拟）关于x的方程3x＝2x+a的解与的解相同，则a的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1【解答】解：解方程，得x＝2．∵关于x的方程5x＝2x+a的解与的解相同，∴把x＝8代入3x＝2x+a，得3×2＝2×3+a，解得a＝2．故选：B．【变式3-1】（2019•历下区一模）若与kx﹣1＝15的解相同，则k的值为（）A．8 B．2 C．﹣2 D．6【解答】解：先解方程得：x＝8；把x＝7代入kx﹣1＝15得：8k＝16，k＝2．故选：B．【变式3-2】（2020•邢台二模）已知关于x的方程5x﹣2＝3x+16的解与方程4a+1＝4（x+a）﹣5a的解相同，则a＝7 ；若[m]表示不大于m的最大整数，那么[﹣1]＝ 2 ．【解答】解：解方程5x﹣2＝8x+16，得x＝9，将x＝9代入5a+1＝4（x+a）﹣6a，得a＝7，所以．故答案为：5；2．【变式3-3】（2014•郸城县校级模拟）如果关于x的方程和方程的解相同，那么k的值．【解答】解：解方程得：x＝﹣，把x＝﹣代入方程2﹣＝0，解得：k＝6；故答案为：8．一元一次方程的应用（一）一元一次方程解应用题的类型有：（1）探索规律型问题；（2）数字问题；（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；（5）行程问题（路程＝速度×时间）；（6）等值变换问题；（7）和，差，倍，分问题；（8）分配问题；（9）比赛积分问题；（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．知识点4：由实际问题抽象出一元一次方程【例4】（2020•青海）如图，根据图中的信息，可得正确的方程是（）A．π×（）2x＝π×（）2×（x﹣5）B．π×（）2x＝π×（）2×（x+5）C．π×82x＝π×62×（x+5）D．π×82x＝π×62×5【解答】解：依题意，得：π×（）6x＝π×（）7×（x+5）．故选：B．【变式4-1】（2020•张家界）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（）A．﹣9 B．+2＝C．﹣2＝D．+9【解答】解：依题意，得：．故选：B．【变式4-2】（2020•道外区三模）某蔬菜基地2018年产量为50吨，由于第二年引进新品种，2019年产量为70吨，设年增长率为x，则可列方程为（）A．50（1+x）＝70 B．50（1+x）2＝70C．50（1﹣x）＝70 D．50（1﹣x）2＝70【解答】解：依题意得：50（1+x）＝70．故选：A．【变式4-3】（2020•惠安县模拟）我国古代问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”其题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份绳长比水井深度多四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份绳长比水井深度多一尺．问绳长和井深各多少尺？若假设井深为x尺，则下列符合题意的方程是（）A．B．3（x+4）＝4（x+1）C．D．3x+4＝4x+1【解答】解：设井深为x尺，依题意，得：3（x+4）＝4（x+1）．故选：B．【变式4-4】（2020•吉林）我国古代数学著作《算学启蒙》中有这样一个数学问题，其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，根据题意，可列方程为（240﹣150）x＝150×12 ．【解答】解：设快马x天可以追上慢马，依题意，得：（240﹣150）x＝150×12．故答案为：（240﹣150）x＝150×12．20．（2020•吉林二模）若甲班有26人，乙班有34人，现从甲班抽x人到乙班，使乙班的人数是甲班人数的2倍，则可列方程34+x＝2（26﹣x）．【解答】解：设从甲班抽x人到乙班，由题意得：34+x＝2（26﹣x）．故答案是：34+x＝2（26﹣x）．知识点5：一元一次方程的应用【例5】（2020•福州模拟）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》（1299年）记载：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马现行一十二日，问良马几何追及之．翻译为：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马追上慢马的时间为（）A．12天B．15天C．20天D．24天【解答】解：设快马x天可以追上慢马，由题意，得240x﹣150x＝150×12，解得：x＝20．答：快马20天可以追上慢马．故选：C．【变式5-1】（2020•朝阳区二模）某便利店的咖啡单价为10元/杯，为了吸引顾客，该店共推出了三种会员卡，如表：会员卡类型办卡费用/元有效期优惠方式A类40 1年每杯打九折B类80 1年每杯打八折C类130 1年一次性购买2杯，第二杯半价例如，购买A类会员卡，1年内购买50次咖啡，每次购买2杯，则消费40+2×50×（0.9×10）＝940元．若小玲1年内在该便利店购买咖啡的次数介于75～85次之间，且每次购买2杯，则最省钱的方式为（）A．购买A类会员卡B．购买B类会员卡C．购买C类会员卡D．不购买会员卡【解答】解：设一年内在便利店购买咖啡x次，购买A类会员年卡，消费费用为40+2×（0.8×10）x＝（40+18x）元；购买B类会员年卡，消费费用为80+2×（0.4×10）x＝（80+16x）元；购买C类会员年卡，消费费用为130+（10+5）x＝（130+15x）元；把x＝75代入得A：1390元；B：1280元，把x＝85代入得A：1570元；B：1440元，则小玲1年内在该便利店购买咖啡的次数介于75～85次之间，且每次购买3杯．故选：C．【变式5-2】（2020•呼和浩特）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是；有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第一和第六这两天共走了（）A．102里B．126里C．192里D．198里【解答】解：设第六天走的路程为x里，则第五天走的路程为2x里，第一天走的路程为32x里，依题意，得：x+2x+5x+8x+16x+32x＝378，解得：x＝6．32x＝192，6+192＝198，答：此人第一和第六这两天共走了198里，故选：D．【变式5-3】（2020•兴庆区校级一模）某店周年庆为了答谢顾客，指定商品按8折销售，并且若在活动当天参与游戏获胜，可再降价20元．小李参与周年庆活动并获胜，以60元的价格购买了此商品，则该商品的原价为100 元．【解答】解：设该商品的原价是x元，依题意得：0.8x﹣20＝60．解得x＝100．故答案是：100．【变式5-4】（2020•海东市三模）现在有一面7尺厚的墙，大小两只老鼠分别从两面相对着打洞，第一天两只老鼠都打相同距离的洞，从第二天开始，大老鼠每天打洞的距离是前一天的2倍，小老鼠每天打洞的距离是前一天的一半，第三天结束洞刚好被打通，小老鼠第一天打洞的距离为尺．【解答】解：设小老鼠第一天打洞的距离为x尺，根据题意，得[（x+2x）+（x+x＝5．解得x＝．故答案是：．【变式5-5】（2020•平顶山模拟）某景区门票价格为50元/人，为吸引游客，特规定：非节假日时，门票打6折销售；节假日时，按团队人数分段定价售票，10人（含10人）以下按原价售票，10人以上超过的部分游客打8折购票，其他人按原价购票．（1）设某旅游团游客人数为x人，非节假日购票款为y1元，节假日购票款为y2元，则y1＝30x；当0＜x≤10时，y2＝50x，当x＞10时，y2＝40x+100 ．（2）阳光旅行社于今年5月1日（节假日）组织A团，5月10日（非节假日）组织B团到该景区旅游，两次共付门票款1900元，已知A、B两个团游客共计50人，问A、B两个团各有游客多少人？【解答】解：（1）设某旅游团游客人数为x人，非节假日购票款为y1元，节假日购票款为y2元，可得：y7＝30x；当0＜x≤10时，y2＝50x，当x＞10时，y7＝50×0.8×（x﹣10）+50×10＝40x+100；故答案为：30x ；50x ．（2）设A 团游客m 人，则B 团游客有（50﹣m ）人当3＜m ≤10时，有50m +30（50﹣m ）＝1900，解得：m ＝20，∵20＞10，与假设不符；当m ＞10时，有40m +100+30（50﹣m ）＝1900，解得：m ＝30， ∴50﹣m ＝20，所以A 、B 两个团各有游客分别为30人．方程组及其应用解二元、三元一次方程组的基本思路是消元．基本解法有：代入消元法和加减消元法. 二元一次方程组的解应写成⎩⎨⎧x ＝a ，y ＝b 的形式．（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．知识点6：解二元一次方程组【例6】（2020•永州）方程组的解是．【解答】解：，①+②得：3x＝6，即x＝5，把x＝2代入①得：y＝2，则方程组的解为，故答案为：【变式6-1】（2018•扬州）对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b＝2a+b．例如3⊗4＝2×3+4＝10．（1）求2⊗（﹣5）的值；（2）若x⊗（﹣y）＝2，且2y⊗x＝﹣1，求x+y的值．【解答】解：（1）∵a⊗b＝2a+b，∴2⊗（﹣3）＝2×2+（﹣5）＝4﹣5＝﹣6；（2）∵x⊗（﹣y）＝2，且2y⊗x＝﹣2，∴，两式相加，可得3x+5y＝1，∴x+y＝．【变式6-2】（2018•西山区一模）（1）计算：（﹣2018）0﹣sin30°+﹣2﹣1（2）解方程组：【解答】解：（1）原式＝1﹣+2﹣；（2）①×7+②得：5x＝10，解得：x＝2，把x＝2代入①得：y＝，则方程组的解为．知识点7：由实际问题抽象出二元一次方程组【例7】（2020•锦州）某校计划购买篮球和排球共100个，其中篮球每个110元，排球每个80元．若购买篮球和排球共花费9200元，该校购买篮球和排球各多少个？设购买篮球x个，购买排球y个，根据题意列出方程组正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得：．故选：D．【变式7-1】（2021•郫都区校级模拟）已知一个两位数，它的十位上的数字x比个位上的数字y大1，若颠倒个位数字与十位数字的位置，得到的新数比原数小9，求这两位数所列的方程组是．【解答】解：依题意得：．故答案为：．【变式7-2】（2020•郯城县模拟）某活动小组购买了5个足球和4个篮球，一共花费了482元，其中足球的单价比篮球的单价少8元，求篮球的单价和足球的单价．设足球的单价为x元，篮球的单价为y元，依题意，可列方程组为．【解答】解：由题意可得，，故答案为：．【变式7-3】（2019•自贡）某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了466元，其中篮球的单价比足球的单价多4元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为．【解答】解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，故答案为：，【变式7-4】（2019•芜湖县二模）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有一段文字的大意是：甲、乙两人各有若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48文．甲、乙两人原来各有多少钱？【解答】解：设甲原有x文钱，乙原有y文钱，由题意可得，，解得：，答：甲原有36文钱，乙原有24文钱．知识点8：二元一次方程组的应用【例8】（2020•绍兴）同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210km，它们各自单独行驶并返回的最远距离是105km．现在它们都从A地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A地，而乙车继续行驶，到B地后再行驶返回A地．则B地最远可距离A地（）A．120km B．140km C．160km D．180km【解答】解：设甲行驶到C地时返回，到达A地燃料用完，如图：设AB＝xkm，AC＝ykm，解得：．∴乙在C地时加注行驶70km的燃料，则AB的最大长度是140km．或者：设AC＝ykm即可，从甲车的角度考虑问题，要想最远；②刚好够甲车从C回到A，甲、乙两车都行驶了AC，也即甲车注入燃料量可行驶ykm，所以对于甲车，所以y＝70，从C出发是满燃料．故选：B．【变式8-1】（2020•三门县一模）某口罩厂要在规定时间内完成口罩生产任务，需要对现有的10台设备进行升级，若升级其中3台，则离生产任务还差8万个；若升级其中7台，则离生产任务还差2万个，如果升级所有设备，则该厂口罩生产任务的完成情况为（）A．还差1万个B．恰好完成任务C．超出1万个D．超出2.5万个【解答】解：设每台旧设备规定时间内生产口罩x万个，每台升级后的新设备规定时间内生产口罩y 万个，根据题意得：，解得：10y＝m+2.5，∴10y﹣m＝m+4.5﹣m＝2.7（万个），∴升级所有设备，超出完成口罩生产任务2.5万个，故选：D．【变式8-2】（2020•阜新）在抗击新冠肺炎疫情期间，玉龙社区购买酒精和消毒液两种消毒物资，供居民使用．第一次购买酒精和消毒液若干，酒精每瓶10元，消毒液每瓶5元，共花费了350元；第二次又购买了与第一次相同数量的酒精和消毒液，由于酒精和消毒液每瓶价格分别下降了30%和20%，只花费了260元．（1）求每次购买的酒精和消毒液分别是多少瓶？（2）若按照第二次购买的价格再一次购买，根据需要，购买的酒精数量是消毒液数量的2倍，现有购买资金200元，则最多能购买消毒液多少瓶？【解答】（1）解：设购买酒精x瓶，消毒液y瓶，根据题意列方程组，得．解得，．答：每次购买的酒精和消毒液分别是20瓶，30瓶；（2）解：设能购买消毒液m瓶，则能购买酒精2m瓶，根据题意，得 10×（3﹣30%）•2m+5（5﹣20%）•m≤200，解得：m≤＝11．∵m为正整数，∴m＝11．所以，最多能购买消毒液11瓶．【变式8-3】（2018•烟台）为提高市民的环保意识，倡导“节能减排，绿色出行”，某市计划在城区投放一批“共享单车”．这批单车分为A，B两种不同款型，其中A型车单价400元，B型车单价320元．（1）今年年初，“共享单车”试点投放在某市中心城区正式启动．投放A，B两种款型的单车共100辆，总价值36800元．试问本次试点投放的A型车与B型车各多少辆？（2）试点投放活动得到了广大市民的认可，该市决定将此项公益活动在整个城区全面铺开．按照试点投放中A，B两车型的数量比进行投放，且投资总价值不低于184万元．请问城区10万人口平均每100人至少享有A型车与B型车各多少辆？【解答】解：（1）设本次试点投放的A型车x辆、B型车y辆，根据题意，得：，解得：，答：本次试点投放的A型车60辆、B型车40辆；（2）由（1）知A、B型车辆的数量比为3：2，设整个城区全面铺开时投放的A型车6a辆、B型车2a辆，根据题意，得：3a×400+8a×320≥1840000，解得：a≥1000，即整个城区全面铺开时投放的A型车至少3000辆、B型车至少2000辆，则城区10万人口平均每100人至少享有A型车3000×＝3辆＝2辆．。

《列方程解应用题》讲义

设未知数错误
设未知数时，应选择与问题相关且易于解决问题的未知数。
设未知数时，应选择与问题相关的量作为未知数，并确保未知数的设定能够使问题简化。如果设定的未知数不恰当，将导致后续解题过程复杂化，甚至无法解决问题。
建立方程错误
建立方程时，应确保方程的等式两边具有实际意义且相等。
建立方程是列方程解应用题的关键步骤。在建立方程时，应确保等式两边具有实际意义，并且等式两边相等。如果建立的方程不正确，将导致后续解题过程出现错误。
理解题意
仔细阅读题目，明确问题的背景、条件和目标。
确定未知数
识别问题中的未知数，并明确其意义。
设未知数
选择合适的未知数
选择一个或多个未知数，以便建立数学模型。
表示未知数
用字母表示未知数，为建立方程做好准备。
建立方程
根据题意列方程
根据已知条件和未知数之间的关系，列出方程。
简化方程
确保方程简洁明了，易于求解。
工程问题
总结词
工程问题是列方程解应用题中的常见类型，主要涉及到工作量、工作效率和工作时间之间的关系。
详细描述
工程问题通常涉及到工作量、工作效率和工作时间之间的关系。这类问题需要理解并运用工作效率、工作量和工作时间之间的基础关系，并列方程求解。
利润问题
总结词
利润问题是列方程解应用题中的常见类型，主要涉及到成本、售价、折扣和利润之间的关系。
图解法
总结词
通过绘制图形来表示方程中的变量和未知数，从而直观地求解方程的解。
详细描述
图解法是解方程组的一种直观方法。通过绘制图形来表示方程中的变量和未知数，可以直观地观察到变量之间的关系和变化趋势，从而求解方程的解。这种方法在解一些几何应用题时非常有效。

中考数学重难点专题讲座第六讲列方程(组)解应用题(含答案)

中考数学重难点专题讲座第六讲列方程（组）解应用题【前言】在中考取，有一类题目说难不难，说不难又难，有的时候三两下就有了思路，有的时候苦思冥想许久也没有想法，这就是列方程或方程组解应用题。

方程能够说是初中数学中间最重要的部分，所以也是中考取必考内容。

从近来几年来的中考来看，结合时局热点考的比很多，所以还需要考生有一些生活经验。

本质考试中，这类题目几乎要么得全分，要么一分不得，可是也就那么几种题型，所以考生只需多练多掌握各个题类，总结出一些定式，就能够沉稳应付了。

第一部分真题精讲【例 1】2010 ，西城，一模“家电下乡”农民得优惠，依照“家电下乡”的相关政策：田户每购置一件家电，国家将按每件家电售价的 13% 补贴给田户，小明的爷爷2009 年 5 月份购置了一台彩电和一台洗衣机，他从乡政府领到了390 元被贴款，若彩电的售价比洗衣机的售价高1000 元，问一台彩电和一台洗衣机的售价各是多少元？【思路剖析】第一仔细看题，明确说明彩电售价比洗衣机售价高1000 ，那么一方面可以设一个未知数彩电为x，那么洗衣机自然就能够用x-1000 表示，另一方面也能够直接设两个未知数彩电 x 和洗衣机 y，利用高 1000 的条件制造等量关系。

其次说补贴是售价的13%，而又明确给出小明的爷爷领到了390 元，所以这390 元就是售价的补贴。

于是建立方程13%(x+x-1000)=390 也许方程组x y 1000,。

这一题要掌握的就是两个等量关系，一13%(x y) 390.个是售价差等于1000，另一个是售价的13%等于补贴。

于是能够得出答案。

【剖析】（列方程组解）解：设一台彩电的售价为x 元，一台洗衣机的售价为y 元.依照题意得：x y1000,13%( x y)390.解得x 2000, y1000.答：一台彩电售价2000 元，一台洗衣机售价1000 元．【例 2】2010 ，石景山，一模某采摘农场计划栽种A、B 两种草莓共 6 亩，依照表格信息，解答以下问题：项目A B品种年亩产（单位：千克）12002000采摘价格（单位：元 / 千克）6040(1) 若该农场每年草莓全部被采摘的总收入为元，那么A、B 两种草莓各样多少460000亩?(2)若要求栽种 A 种草莓的亩数很多于栽种 B 种草莓的一半，那么栽种 A 种草莓多少亩时，可使该农场每年草莓全部被采摘的总收入最多?【思路剖析】此题仍旧是经过方程表达总量去解决。

中考数学复习讲义课件第2单元第6讲一次方程(组)的解法及应用

(2)阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子 100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？ (2)80×70×(1-80%)+100×80×(175%)=3120(元). 答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3120元.
提升数学核心素养
1.数学文化(2020·绵阳)《九章算术》中记载“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3 钱，问合伙人数、羊价各是多少？此问题中羊价为（C） A.160钱B.155钱C.150钱D.145钱
［解答］解：（1）设购买A种图书x本，则购买B种图书(10x)本.由题意，得45x＋60(10-x)＝540，解得x＝4，所以10-x ＝6.答：购买A种图书4本，购买B种图书6本. （2）设王老师购买A种图书m本，购买B种图书n本.由题意，得m＝2n＋5，解得m＝37， 45m＋60n＝2625，n＝16. 答：王老师购买A种图书37本，购买B种图书16本.
一元一次方程
二元一次方程（组）
定义：含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组叫做二元一次方程组解法基本思想：消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程方法代入消元法：当方程组中一个方程的常数项为0或者方程组中某个未知数的系数为1或-1时，用代入消元法比较简单加减消元法：当两个方程中某个未知数的系数相同、互为相反数或成整数倍数关系时，用加减消元法比较简单
4.(2013·江西，3分)某单位组织34人分别到井冈山和瑞金进行革命传统教育，到井冈山的人数比到瑞金的人数的2倍多1人，求到两地的人数各是多少.设到井冈山的人数为x人，到瑞金的人数为y人，请列出满足题意的方程组x+y=34， x=2y+1.

中考数学列方程解应用题技巧

中考数学列方程解应用题技巧
中考数学列方程解应用题技巧
从近几年的中考试题看，列方程解应用题型的试题出现在试卷上，其目的是考查学生分析问题和解决问题的能力。

列方程解应用题就是将已知量与未知量的关系列成等式，通过解方程求出未知量的过程。

如何解决这类题目，其方法很多，现结合实例给出几种方法，以供参考。

一.直译法
设元后，视元为已知数，根据题设条件，把数学语言直译为代数式，即可列出方程。

例1.甲、乙两个建筑队完成某项工程，若两队同时开工，12天就可以完成工程；乙队单独完成该工程比甲队单独完成该工程多用10天。

问单独完成此项工程，乙队需要多少天？
解：设乙单独完成工程需x天，则甲单独完成工程需(x-10)天。

根据题意，得
答：乙队单独完成此项工程需要30天。

点评：设乙单独完成工程需x天后，视x为已知，则根据题意，原原本本的把语言直译成代数式，则方程很快列出。

中考数学《第6课时：一次方程与方程组》精讲精练.doc

笫二章方程与不等式笫6课时一次方程与方程组屮考命题规律与预测中考考题感知与试做命题点7 -次方程（组）的解法1.（2016 •百色屮考）解方程组：错误！解：错误！①X8+②，得33x = 33,即x=l…把x = l代入①，得y=l.则原方程组的解为错误！命题点2 —次方程（组）的应用2.（2015 •百色中考）某次知识竞赛有20道必答题，每一题答対得10分，答错或不答都扣5分；3道抢答题，每一题抢答对得10分，•抢答错扣20分，抢答不到不得分也不扣分.甲乙两队决赛，甲队必答题得了170 分，乙队必答题只答错了1题.（1）甲队必答题答対答错各多少题？（2）抢答赛中，乙队抢答对了第1题，又抢到了第2题，但还没作答时，甲队啦啦队队员小黄说：“我们甲队输了！”小汪说：“小黄的话不一定对！”请你举一例说明“小黄的话”有何不对.解：（1）设甲队必答题答对x道，答错y道，根据题意，得错误!解得错误！则甲队必答题答对18道，答错2道；（2）“小黄的话”不对，理由如下：现在甲队得分170分，乙队得分：19X10 —5 + 10=195 （分），若乙队抢答第2题错误，则乙队得分：195 —20 = 175 （分），且甲队抢答第3题正确，则甲队得分：170+10 = 180 （分），甲队可获胜.（注：还存在“乙队抢答第2题错误，乙队抢答笫3题错误”而甲队获胜的情况）核心考点解读考点硫理考点丫方程、方程的解与解方程1.方程是含有未知数的等式W.2•使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解;一元方程的解，也叫做方程的根.3.解方程就是根据等式的性质求方程」L的过程.考点g 等式的基本性质考点3 —次方程（组）【温馨提示】解一元一次方程去分母时，不含分母的项不要“漏乘”，移项一定要变号./考点4/方程（组）的实际应用4.列方程（组）解应用题的一般步骤（1）审：审清题意，分清题中的已知量、未知量；（2）设：设未知数,设其中某个量为未知数，并注意单位，对含有两个未知数的问题，需设两个未知数；（3）列：弄清题意，找出相等关系,根据相等关系,列方程（组）；（4）解：解方程（组）；（5）验：检验结果是否是原方程的解及是否符合题意；（6）答：答题（包括单位）.【方法点拨】解一次方程（组）用到的思想方法：（1）消元思想：通过消元，把解二元一次方程组转化为解一元一次方稈.（2）整体思想：在解方程时结合方稈的结构特点，灵活釆取整体思想，使整个解题过程简便.（3）转化思想：解一元一次方程最终「要转化成ax = b的形式.（4）数形结合思想：利用图形的性质建立方程模型解决儿何图形中的问题.（5）方程思想：利用其他知识构造方程，解决问题.考点自测1.下列方程的变形正确的是（D ）A.由2x — 3=4x,得2x = 4x — 3B.由7x-4 = 3-2x,得7x+2x = 3-4L 1 1 zri 1 . 1C.由—-=3x4-4,得一4 = 3x+~xD.由3x-4 = 7x + 5,得3x-7x = 5 + 42.已知关于x的方程2x+a-9 = 0的解是x = 2,则a的值为（D ）A. 2B. 3C. 4D. 53.（2018 •桂林中考）若|3x-2y-l|+Vx + y ZZ2 = 0,则x, y 的值为（D ）A.错误！B.错误！C.错误！D.错误！4.（2018 •宁波中考）已知x, y满足方程组错误!则x2-4y2的值为—15 W.5.（2016 •南宁屮考）超市店庆促销，某种书包原价每个x元，第一次降价打“八折”，第二次降价每个又减10元，经两次降价后售价为90元，则得到方程（A ）A. 0. 8x —10 = 90B. 0. 08x-10 = 90C. 90-0. 8x=10 .D. x-0. 8x-10 = 906.（2018 •江西中考）中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一，其中有一问题：“今有牛五、羊二，直金十两.牛二、羊五，直金八两.问牛羊各直金几何？”译文：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2 头，羊5头，共值金8两.问牛、羊每头各值金多少？设牛、羊每头各值金x两、y两，依题意，可列出方程组为一错误！W.典题精讲精练婪型1一次方程与方程组及其解法例1 （2017 •桂林中考）解二元一次方程组：错误！【解析】利用加减消元法求出该方程组的解即可.【解答】解：②一①，得3x=6,解得x = 2.把x = 2代入①，得y= —1.・••原方程组的解为错误！【点评】消元常用方法有代入消元法和加减消元法.4类型一次方程（组）的应用例2 （2018 •贵港中考）某中学组织一批学生开展社会实践活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15 人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满.己知45座客车租金为每辆220 元，60座客车租金为每辆300元.（1）这批学生的人数是多少？原计划租用45座客车多少辆？（2）若租用同一种客车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用合算？【解析】（1）设这批学生有x人，原计划租用45座客车y辆，根据“原计划租用45座客车若干辆，但有15 人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满”，即可得出关于x, y的二元一次方程组，解之即可得岀结果；（2）找出每个学生都冇座位时需要租两种客车各多少辆，由“总租金=每辆车的租金X租车辆数”分别求出租两种客车，各需多少费用，比较后即可得出结论…【解答】解：（1）设这批学生有x人，原计划租用45座客车y辆，根据题意，得错误!解得错误！答：这批学生有240人，原计划租用45座客车5辆（2）・・•要使每位学生都有座位，・••租45座客车需要5+1=6 （辆），租60座客车需要5 — 1=4 （辆）・220X6=1 320 （元），300X4 = 1 200 （元）.VI 320>1 200,・・・若租用同一种客车，租4辆60座客车划算.【点评】本题解第（2）问的关键是求出租两种客车各需多少费用，第（1）问可用一元一次方程求解，会用到一个基本相等关系“表示同一个量的两个不同的式子相等”・针对训练11.（2016 •梧州中考）一元一次方程3x —3 = 0的解是（A ）A・ x = l B・ x = —1C. x=£D.. x=02.（2014 •百色屮考）方程组错误！的解为错误！W.3.（2017 •南宁中考）已知错误!是方程组错误！的解，则3a—b= 5 W.针对训练24.（2016 •來宾中考）一种饮料有两种包装，5大盒、4小盒共装148瓶，2大盒、5小盒共装100瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？设大盒装x瓶，小盒装y瓶，则可列方程组（A ）A.错误！B.错误！C.错误！D.错误！5.（2018 •柳州屮考）篮球比赛屮，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1.分，艾美所在的球队在8场比赛中得14分.若设艾美所在的球队胜x场，负y场，则可列出方程组为错误！W.6.（2017 •百色中考改编）某校九年级10个班级师生举行毕业文艺汇演，每班2个节目，有歌唱与舞蹈两类节目，年级统计后发现歌唱类节目数比舞蹈类节目数的2倍少4个.九年级师生表演的歌唱与舞蹈类节目数各有多少个？解：设九年级师生表演的歌唱类节目有x个，舞蹈类节目有y个，根据题意，得错误!解得错误！答：九年级师生表演的歌唱类节目有12个，舞蹈类节目有8个.。

金华地区中考第一轮《第6讲：一次方程与方程组的应用》课件

2．(2016·南宁)超市店庆促销，某种书包原价每个x元，第一次降价打“八折” ，第二次降价每个又减10元，经两次降价后售价为90元，则得到方程( A)
A．0.8x－10＝90 B．0.08x－10＝90 C．90－0.8x＝10 D．x－0.8x－10＝90
3．(2016·绍兴)书店举行购书优惠活动： ①一次性购书不超过100元，不享受打折优惠； ②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折； ③一次性购书超过200元一律打七折．小丽在这次活动中，两次购书总共付款229.4元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，求小丽这两次购书原价的总和．
2．主要的思想方法：化归思想、转化思想和方程思想．
1．(2016·温州)已知甲、乙两数的和是 7，甲数是乙数的 2 倍．设甲数为
x，乙数为 y，根据题意，列方程组正确的是( A )
x＋y＝7 A.x＝2y
x＋y＝7 B.y＝2x
x＋2y＝7 C.x＝2y
2x＋y＝7 D.y＝2x
【解析】根据题意可得等量关系：①甲数＋乙数＝7， ②甲数＝乙数×2，根据等量关系列出方程组即可，故选A.
1．(2017·预测)为了改已知笔记本电脑的台数比台式电脑的台数的14还少 5 台，则购置的笔记本电脑多少台？
【解析】设购置的笔记本电脑有 x 台，则购置的台式电脑为(100－x)台．根据笔记本电脑的台数比台式电脑的台数的14还少 5 台，可列出关于 x 的一元一次方程，解方程即可得出结论．
3．(原创题)如图是一根可伸缩的鱼竿，鱼竿是用10节大小不同的空心套管连结而成．闲置时鱼竿可收缩，完全收缩后，鱼竿长度即为第1节套管的长度(如图1所示)：使用时，可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸(如图2所示)．图3是这根鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图．已知第1节套管长50 cm，第2节套管长 46 cm，以此类推，每一节套管均比前一节套管少4 cm.完全拉伸时，为了使相邻两节套管连结并固定，每相邻两节套管间均有相同长度的重叠，设其长度为x cm.

2021年中考数学考点总动员第06讲一次方程(组)及其应用

第6讲一次方程(组)及其应用1．等式的基本性质性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等，即：如果a ＝b ，c 为任意数(或式子)，那么a±c ＝b±c ；性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，即：①如果a ＝b ，那么ac ＝bc ；②如果a ＝b ，c≠0，那么a c ＝b c. 2．方程及方程的解(1)方程：含有未知数的等式．(2)方程的解：能够使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．求方程解的过程叫做解方程．3．一元一次方程(1)定义：只含有一个未知数，且未知数的项的次数是1的整式方程．(2)解一元一次方程主要有以下步骤：①去分母(注意不要漏乘不含分母的项)；②去括号(注意括号外是负号时，去括号后括号内各项均要变号)；③移项(注意移项要变号)；④合并同类项；⑤系数化1.4．二元一次方程(1)定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程．(2)二元一次方程的解：适合二元一次方程的一组未知数的值．注意：二元一次方程的解是满足方程的一对数值，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a y ＝b ，任何一个二元一次方程都有无数多个解． (3)解法：解二元一次方程时，先用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后给一个未知数取值，求另一个未知数的值，即可得到该二元一次方程的一个解．5．二元一次方程组(1)定义：将两个或两个以上的方程联立在一起，就构成了一个方程组，方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1，这样的方程组叫二元一次方程组．(2)解二元一次方程组的基本思想是消元，有代入消元法与加减消元法两种方法.①方程组中一个方程里有一个未知数的系数是1或－1，选择代入消元法较简单；②方程组中同一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍，选择加减消元法．6．三元一次方程组(1)定义：方程组中含有三个未知数，且未知数的项的次数都是1的方程组叫三元一次方程组．(2)三元一次方程组的解法：7．列方程(组)解应用题的一般步骤(1)审：审清题意，分清题中的已知量、未知量；(2)设：设关键未知数；(3)找：找出各量之间的等量关系；(4)列：根据等量关系列方程(组)；(5)解：解方程(组)；。