考点17 三角函数的概念与同角关系式、诱导公式

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2024年高考数学---三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式

例1 (2011课标,5,5分)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴
重合,终边在直线y=2x上,则cos 2θ=( )
A.- 4
5
解析
B.- 3 C. 3 D. 4
5
5
5
解法一:由三角函数定义知,tan
θ=2,则cos
2θ=
cos2θ cos2θ
sin 2θ sin 2θ
1
=1
tan 2θ tan 2θ
(x,y),它与原点的距离为r,则sin α= y ,cos α= x ,tan α= y (x≠0).
r
r
x
2)三角函数值在各象限内的符号
记忆口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦. 二、同角三角函数的基本关系 1.平方关系:sin2α+cos2α=1.
2.商数关系:tan
α=
sin α cos α
基础篇
考点三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式一、三角函数的概念 1.象限角
第一象限角的集合
第二象限角的集合
第三象限角的集合
第四象限角的集合
|
2kπ
π 2
2kπ,
k
Z
α
|
2k
2
α
2k
,k
Z
α
|
2k
α
2k
3 2
,k
Z
α
|
2k
3 2
α
2k
2 , k
Z
2.终边相同的角所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是{β|β=k·360+α, k∈Z}或{β|β=α+2kπ,k∈Z}. 3.弧长与扇形面积公式 1)弧长公式:l=|α|r;

同角三角函数的基本关系与诱导公式

同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1；(2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2．诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos α，其中k ∈Z.公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α. 公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α.公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α.公式五：sin ）（απ-2＝cos α，cos ）（απ-2＝sin α. 公式六：sin ）（απ+2cos α，cos ）（απ+2＝－sin α. 一个口诀：诱导公式的记忆口诀为：（απ±2k ）奇变偶不变，符号看象限．三种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4＝….一、已知某角的一个三角函数值，求其它三角函数值例1：① 已知sinA=23, A 为第二象限的角，求cosA ，tanA 的值；②已知cosA=23, A 为第四象限的角，求sinA ，tanA 的值；③已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________；二、由某角的正切值求该角关于正弦余弦的三角函数式的值例 2：已知tan α=2,求:(1)4sin 2cos 5sin 3cos αααα-+;(2)2222sin 2sin cos cos 4cos 3sin 1αααααα---+;(3)25sin 3sin cos 2ααα+-变式(1)已知tan α＝13，求12sin αcos α＋cos 2α的值；三、关于某角的正弦与余弦之和，正弦与余弦之差，正弦与余弦之积，知一求二例3：已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15①求sinxcosx 的值， ②求sinx+cosx 的值③求sin 2x －cos 2x 的【试一试】 (1)若α为三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形（2）已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝________.四、利用诱导公式求值，化简例4：已知sin）（2πα+＝－55，α∈(0，π)． (1)求)3cos()sin()23cos()2sin(απαπαππα++-+--的值； (2)求cos ）（απ-65的值．(2)已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，则sin (－α－32π)cos (32π－α)cos (π2－α)sin (π2＋α)·tan 2(π－α)＝________.专项基础训练一、选择题1．已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于( )A ．－32B.32C ．－12 D.12 2． cos(－2 013π)的值为( ) A.12B ．－1C ．－32D ．03．已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3的值为( )A.12B ．－12C.32 D ．－324．当0<x <π4时，函数f (x )＝cos 2xcos x sin x －sin 2x的最小值是( )A.14B.12 C ．2 D ．4 二、填空题5．如果sin α＝15，且α为第二象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝________.6．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12的值为________．7. sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2·tan (α＋π)sin (π－α)＝________.三、解答题(共22分)8． (10分)已知sin θ＋cos θ＝23(0<θ<π)，求tan θ的值．9． (12分)已知sin(3π＋θ)＝13，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ的值．。

三角函数的诱导公式知识点

三角函数的诱导公式知识点三角函数的诱导公式知识点数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。

下面是店铺整理的三角函数的诱导公式知识点，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。

三角函数的诱导公式诱导公式的本质所谓三角函数诱导公式，就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。

常用的诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα k∈zcos(2kπ+α)=cosα k∈ztan(2kπ+α)=tanα k∈zcot(2kπ+α)=cotα k∈z公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanα推算公式：3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。

三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式归纳总结

三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式归纳总结三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式归纳总结知识点精讲一、基本概念角的概念包括正角、负角和零角。

其中正角是逆时针旋转而成的角，负角是顺时针旋转而成的角，零角是射线没旋转而成的角。

角α的弧度范围为(−∞,+∞)。

角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，α就叫做第几象限角，终边在坐标轴上的角不是象限角，称之坐标角（或象限界角、轴线角等）。

弧度制度是半径为r的圆心角α所对弧长为l，则α=l/r（弧度或rad）。

与角α（弧度）终边相同的角的集合为β=α+2kπ，k∈Z，其意义在于α的终边逆时针旋转整数圈，终边位置不变。

弧度或rad可省略。

两制互化时，只需记忆π=180，1=π/180两个换算单位即可。

6）弧长公式：l=αr(α∈(0,2π])，扇形面积公式：S=1/2lr=αr2/2.底高=lr，如图4-1所示。

注：关于扇形面积公式的记忆,可以采用类似三角形面积公式的方法，把扇形的弧长类比成三角形的底，半径类比成三角形的高，则有S=l*r/2.二、任意角的三角函数1.定义已知角α终边上的任一点P(x,y)（非原点O），则P到原点O的距离r=OP=sqrt(x^2+y^2)。

sinα=y/r，cosα=x/r，tanα=y/x。

此定义是解直三角形内锐角三角函数的推广。

类比，对∠y，邻∠x，斜∠r，如图4-2所示。

2.单位圆中的三角函数线以α为第二象限角为例。

角α的终边交单位圆于P，PM垂直x轴于M，α的终边或其反向延长线交单位圆切线AT于T，如图4-3所示，由于取α为第二象限角，sinα=MP>0，cosα=OM<0，tanα=AT<0.3.三角函数象限符号与单调性在单位圆中r=sqrt(x^2+y^2)=1，则sinα=y，cosα=x，tanα=y/x。

在第一、二象限，三角函数值为正；在第三、四象限，sinα为负，cosα和tanα为正。

同角三角函数的基本关系与诱导公式-高考数学复习

3
θ＝，
5
cos
π
θ＜0，所以可得θ∈（，π），
2
sin θ cos
θ）2＝1－2
sin θ＋ cos
4
θ＝－，tan
5
1
θ＝，可得
25
sin θ cos
1
θ＝－，
5
sin θ cos θ
49
θ＝，所以
25
sin θ－ cos
sin θ
7
θ＝，联
5
3
θ＝－，故B错误，C正确.
4
目录
高中总复习·数学
可求解；
（2）若齐次式为二次整式，可将其视为分母为1的分式，然后将分母
1用 sin 2α＋ cos 2α替换，再将分子与分母同除以 cos 2α，化为只
含有tan α的式子，代入tan α的值即可求解.
目录
高中总复习·数学
考向3 “ sin α±cos α， sin α cos α”之间关系的应用
可以知一求二.
目录
高中总复习·数学
1. 若 sin θ＋ cos
2 3
θ＝
，则
3
解析：由 sin θ＋ cos
θ cos
1
θ＝，∴
6
sin 4θ＋ cos 4θ＝（
2 3
θ＝
，平方得1＋2
3
）
sin θ cos
4
θ＝，∴
3
sin
sin 4θ＋ cos 4θ＝（ sin 2θ＋ cos 2θ）2－2 sin 2θ cos 2θ
（1）思路：①分析结构特点，选择恰当的公式；②利用公式化成单
（4） sin α＝tan α cos

七三角函数的概念及同角三角函数关系式与诱导公式

七三角函数的概念及同角三角函数关系式与诱导公式知识要点：1．三角函数的概念（1）角的概念：角的定义，正角、负角和零角，象限角，轴线角，终边相同的角.（2）弧度制：弧度制的概念，弧度与角度的互换，弧长公式、扇形面积公式.（3）任意角的三角函数：三角函数的定义，三角函数的符号.2．同角三角函数的关系式：αααααcos sin tan ,1cos sin 22==+ 3．正弦、余弦的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限 θθπ→+2k任意角的三角函数→正角的三角函数→︒0~︒360角的三角函数→锐角的三角函数.基础题例：例1．（1）如果α是第三象限的角，那么-α，2α的终边落在何处？（2）写出终边在直线x y 3=上的角的集合；（3）若角θ的终边与76π角的终边相同，求在[0，2π）内终边与3θ角的终边相同的角.例2已知一扇形的周长为C(C>0)，当扇形的中心角为多大时，它有最大面积？并求出这个最大值.例3解答下列问题（1）若θ在第四象限，试判断)cos(sin )sin(cos θθ⋅的符号；（2）若0)tan(sin )tan(cos >⋅θθ，试指出θ所在象限，并用图形表示出2θ所取值的范围.例4化简下列各式（1）)3tan()cos()tan()2sin(απαπαπαπ--+-（2）︒︒+︒-⋅︒+︒⋅︒1050tan 120tan )870cos(930cos 150sin 690sin例5已知11tan tan -=-αα，求下列各式的值：（1）ααααcos sin cos 3sin +-（2）2cos sin sin 2++ααα练习：1．已知1)21(2sin <θ，则θ所在的象限是 .2．已知角α的终边在直线x y 43-=上，则ααcos sin 2+的值是 .3．（08高考四川卷）设πα20<≤，若ααcos 3sin >，则α的取值范围是 .4．（1）已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形中心角的弧度数；（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？5．若524cos ,53sin +-=+-=m m m m θθ（其中πθπ≤≤2），则m 的值等于 .6．已知),0( ,51cos sin πθθθ∈=+，求值：（1）θtan ；（2）θθcos sin -；（3）θθ33cos sin +7．（08高考浙江卷）若5sin 2cos -=+αα，则=αtan .七三角函数的概念及同角三角函数关系式与诱导公式参考答案：例1 （1）第二象限；第一、二象限及y 轴的非负半轴（2）},3|{Z k k ∈+=ππαα （3）πππ2134,2120,72 例2 θ=2， 162c 例3（1） + （2）第一、三象限例4 （1）-tan α (2)23例5 （1）-513)2(,35练习1．第一、三象限2．52或 - 523．)34,3(ππ４．（１）21（２）θ＝２，１００５．ｍ＝０（舍），ｍ＝８６．（１）12537)3(,57)2(,34-７．２。

高考数学理科复习第四章三角函数 §4.1三角函数的概念、同角三角函数的关系式和诱导公式

A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b
(2)(2014成都一模)已知sin(π-α)=log8
1 4
,且α∈
2
,
0
,则tan(2π-α)的值为
.
25
答案 (1)C (2) 5
解析 (1)∵b=cos 55°=sin 35°>sin 33°=a,∴b>a.
∵c=tan
35°=
、 R、
α α≠ 2 +kπ,k∈Z .
5.三角函数线设角α的终边与单位圆交于点P,过点P作PM⊥x轴于点M,则有向线段MP 叫做角α的正弦线,有向线段 OM 叫做角α的余弦线;过点A(1,0)作单位圆的切线交角α的终边或其反向延长线于点T,则有向线段AT叫做角α的正切线.
6.三角函数的符号规律第一象限全“+”,第二象限正弦“+”,第三象限正切“+”,第四象限余弦“+”.简称:一全、二正、三切、四余. 7.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系: sin2α+cos2α=1 ;
(2)商数关系: 8.诱导公式
sin α =tan α .
cos α
组数角
正弦
一 2kπ+α (k∈Z)
sin α
余弦
cos α
二 π+α
-sin α -cosα
三 -α
-sin α cos α
正切
tan α
tan α -tan α
四 π-α
sin α -cos α -tan α
五
六
-α
+α
α的值为
(

三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式归纳总结

三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式归纳总结知识点精讲一、基本概念（1）任意角---------⎧⎪⎨⎪⎩正角逆时针旋转而成的角；负角顺时针旋转而成的角；零角射线没旋转而成的角.角α（弧度）(,)∈-∞+∞.（2）角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，α就叫做第几象限角，终边在坐标轴上的角不是象限角，称之坐标角（或象限界角、轴线角等）（3）弧度制度：半径为r 的圆心角α所对弧长为l ，则lrα=（弧度或rad ）. （4）与角α（弧度）终边相同的角的集合为{}2,k k Z ββαπ=+∈，其意义在于α的终边逆时针旋转整数圈，终边位置不变. 注：弧度或rad 可省略（5）两制互化：一周角=036022rrππ==（弧度），即0180π=. 1（弧度）00018057.35718π⎛⎫'=≈= ⎪⎝⎭故在进行两制互化时，只需记忆0180π=，01180π=两个换算单位即可：如：005518015066π=⨯=；036361805ππ=⨯=. （6）弧长公式：l r α=((0,2])απ∈，扇形面积公式：21122S lr r α==. 注：关于扇形面积公式的记忆,可以采用类似三角形面积公式的方法，把扇形的弧长类比成三角形的底，半径类比成三角形的高，则有11=22S lr =底高，如图4-1所示.二、任意角的三角函数1.定义已知角α终边上的任一点(,)P x y （非原点O ），则P到原点O的距离0r OP ==>.sin ,cos ,tan y x y r r xααα===.此定义是解直三角形内锐角三角函数的推广.类比，对y ↔，邻x ↔，斜r ↔，如图4-2所示.2.单位圆中的三角函数线以α为第二象限角为例.角α的终边交单位圆于P ，PM 垂直x 轴于M ， α的终边或其反向延长线交单位圆切线AT 于T ，如图4-3所示，由于取α为第二象限角，sin α=MP>0, cos α=OM<0, tan α=AT<0.3.三角函数象限符号与单调性在单位圆中1r ==，则：（1）sin yy rα==，即α终边与单位圆交点的纵坐标y 即为α的正弦值sin α. 如图4-4（a ）所示，sin α的特征为：01101111.⎧⎪-⎪⎨⎪⎪--⎩上正、下负；上（90），下（270），左、右都为；按逆时针方向旋转，向上（一、四）象限为增，从增到，向下（二，三象限）为减，从减到（2）cos xx rα==，即α终边与单位圆交点的横坐标x 即为的余弦值cos α. 如图4-4（b ）所示，cos α的特征为：01101111.⎧⎪-⎪⎨⎪⎪--⎩右正、左负；右（0），左（180），上、下都为；按逆时针方向旋转，向右（三、四）象限为增，从增到，向左（一，三象限）为减，从减到（3）tan yxα=.如图4-4（c ）所示，tan α的特征为： 0.⎧⎪⎨⎪⎩一、三正，二、四负；上、下是（即不存在），左、右都是；逆时针方向旋转，各象限全增三、同角三角函数的基本关系、诱导公式 1. 同角三角函数的基本关系平方关系：22sin cos 1αα+= 商数关系：sin tan cos ααα=2. 诱导公式（1）sin ()sin()sin ()n n n ααπα⎧+=⎨-⎩为偶数；为奇数cos ()cos()cos ()n n n ααπα⎧+=⎨-⎩为偶数；为奇数tan()tan ()n n απα+=为整数.（2）奇偶性.()()()sin -=-sin cos -=cos tan -=-tan αααααα，，.（3）1sin -=cos cos -=sin tan -=222tan πππαααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作2n πα⋅±；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断2n πα⋅±所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当n 为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当n 为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可. 例如（1）sin +2πα⎛⎫⎪⎝⎭,因为+22ππαπ<<，所以sin +>02πα⎛⎫⎪⎝⎭，即sin +=cos 2παα⎛⎫⎪⎝⎭，（2）()sin +πα，因为3+2ππαπ<<，所以()sin +<0πα，即()sin +=-cos παα，简而言之即“奇变偶不变，符号看象限”.题型归纳及思路提示题型1终边相同的角的集合的表示与区别思路提示（1）终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决.（2）注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角.例4.1终边落在坐标轴上的角的集合为（） A. {},k k Zααπ=∈ B. ,2k k Z παα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭C. ,2k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D.,2k k N παα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭分析表示终边相同的角的集合，必有k Z ∈，而不是k N ∈.解析解法一：排除法.终边在坐标轴上的角有4种可能，x 轴正、负半轴，y 轴正、负半轴，取1,2,3,4,,k =可知只有选项B占有4条半轴，故选B. 解法二;推演法.终边在坐标轴上的角的集合为3113",2,,,,0,,,,2,",2222ππππππππ----可以看作双向等差数列，公差为2π，取初始角0α=，故0()2k k Z πα=+∈，故0()2k k Z πα=+∈⇒,2k k Z παα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭故选B. 评注终边在x 轴的角的集合，公差为π，取初始角0α=⇒{},k k Z ααπ=∈；终边在y 轴的角的集合，公差为π，取初始角2πα=⇒,2k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.例4.2 请表示终边落在图4-5中阴影部分的角的集合.分析本题是关于区域角的表示问题，需要借助终边相同角的集合表示知识求解，只需要把握区域角初始角的范围和终边相同角的集合的公差的大小即可顺利求解.解析（1）如图4-5（a ）所示阴影部分的角的集合表示为22,63k k k N ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭；（2）如图4-5（b ）所示阴影部分的角的集合表示为222,63k k k N ππαπαπ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭；（3）如图4-5（c ）所示阴影部分的角的集合表示为21122,36k k k N ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭；（4）如图4-5（d ）所示阴影部分的角的集合表示为,63k k k N ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. 评注任一角α与其终边相同的角，都可以表示成α与整数个周角的和，正确理解终边相同的角的集合中元素组成等差数列，公差为2π，即集合的周期概念，是解决本题的关键.变式1设集合M ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( ) A ．M ⊆N B ． N ⊆M C ．M ＝ND ．M ∩N ＝∅例4.3 下列命题中正确的是（）A. 第一象限角是锐角B. 第二象限角是钝角C.()0,απ∈，是第一、二象限角D. ,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，α是第四象限角，也叫负锐角解析第一象限角的集合为022,2k k k Z παπαπ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭，锐角的集合是是其真子集（即当0k =时）故选项A 错；同理选项B 错；选项C 中(0,)2ππ∈，但2π不是象限角，选项C 也错，故选D. 题型2 等分角的象限问题思路提示先从α的范围出发，利用不等式性质，具体有：（1）双向等差数列法；（2）nα的象限分布图示. 例4.4 α 是第二象限角，2α是第象限角解析解法一：α与终边相同的角的集合公差为2π，该集合中每个月的一半组成的集合公差为π，取第二象限的一个初始集合,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，得2α的初始集合,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭，对比集合以π公差旋转得2α的分布，如图4-6所示，得2α是第一、三象限角.解法二：如图4-7所示，α是第二象限角，2α是第一、三象限角，又若α是第四象限角，2α是第二、四象限角.解法三：取α=0120，000012036060,2402α+⇒=，即2α是第一、三象限角.评注对于2α是第几象限角的问题，做选填题以记住图示最为便捷，解法三是一种只要答案的特值方法；解法一能准确找出2α的分布. 对于3α是第几象限角可使用象限分布图示的规律，如图4-8所示，那么对于“nα是第几象限角”的象限分布图示规律是什么？只需要把第一个象限平均分成n 部分，并从x 轴正向起，逆时针依次标注1，2，3，4，1，2，3，4，1，2，3，4…..，则数字（α终边所在象限）所在象限即为nα终边所在象限.例如：3α的象限分布图示如图4-8所示，若α为第一象限角，则3α为第一、二、三象限角.变式1 若α是第二象限角，则3α是第象限角；若α是第二象限角，则3α的取值范围是题型3 弧长与扇形面积公式的计算思路提示（1）熟记弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2（弧度制(0,2]απ∈）（2）掌握简单三角形，特别是直角三角形的解法例4.5 有一周长为4的扇形，求该扇形面积的最大值和相应圆心角的大小. 解析：设扇形的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α（弧度），扇形面积S.依题意0024r l r l >⎧⎪>⎨⎪+=⎩，12S lr =，则12S lr =11(42)(42)224r r r r =-=-32π 2π4π O yx 54π 图 4-62 3 1 4 x 4 13 2 y图 4-7O21422()142r r -+≤=，（当且仅当422r r -=时，即1r =时取“=”，此时2l =）故扇形的面积最大值为1，此时lrα==2（弧度）.评注本题亦可解作21112212442l r S lr l r +⎛⎫==⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当22l r ==，即2l =，1r =时“=”成立，此时lr α==2.本题可改为扇形面积为1，求周长的最小值，2C l r =+≥且112lr =得2lr =，故4C ≥（当且仅当22l r ==时“=”成立），扇形周长的最小值为4.变式1 扇形OAB 的圆心角∠OAB=1（弧度），则AB =（） A. 1sin2 B. 6π C. 11sin 2D. 21sin 2变式2 扇形OAB ，其圆心角∠OAB=0120，其面积与其内切圆面积之比为题型4 三角函数定义题思路提示（1）任意角的正弦、余弦、正切的定义；（2）诱导公式；（3）理解并掌握同角三角函数基本关系.例4.6 角α终边上一点(2sin 5,2cos5)P -，(0,2)απ∈，则α=（） A. 52π-B. 35π-C. 5D.5+2π 解析解法一：排队法. 005557.3286.5≈⨯=，是第四象限角，2sin50x =<，2cos50y =-<，2r ==，α是第三象限角.选项C 中，5是第四象限角，选项D 中，5+2π是第一象限角，故排除C 、D ；选项B 中， ()cos cos 35cos5απ=-=-，与cos sin 5xrα==矛盾，排除B ，故选A.解法二：推演法.由解法一，35,2πθαπθ'=+=+，,(0,)2πθθ'∈（这样设的原因是cos sin5α=），cos cos()απθ'=+=cos θ'-，3sin 5sin()cos 2πθθ=+=-⇒cos cos θθ'-=-⇒cos cos θθ'=，,(0,)2πθθ'∈⇒352πθθ'==-， ⇒35522ππαπ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭故选A.变式1 已知角α终边上一点(2sin 2,2cos 2)P -，(0,2)απ∈，则α=（）A.2B.-2C.22π-D. 22π- 变式2 已知角α终边上一点22(2sin ,2cos )77P ππ-，则α=变式3 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（） A. 45-B. 35-C. 35D. 45题型5 三角函数线及其应用思路提示正确作出单位圆中正弦、余弦、正切的三角函数线一，利用三角函数线证明三角公式例4.7 证明（1）()sin -=sin παα，（2）sin -=cos 2παα⎛⎫⎪⎝⎭（3）31tan =-2tan παα⎛⎫+⎪⎝⎭解析（1）如图4-9所示，角-πα与α的终边关于y 轴对称，MP MP '=⇒()sin -=sin παα. （2）如图4-10所示，角-2πα与α的终边关于直线y x =对称.OM M P ''=⇒sin -=cos 2παα⎛⎫⎪⎝⎭（3）如图4-11所示，.2311tan =k =--2tan tan OT πααα⎛⎫+=⎪⎝⎭评注用单位圆中的三角函数线证明诱导公式是新课标的要求，必须掌握，重点在(),,2ππααα±-±.在（1）证明中易得()cos -=-cos παα，，相除得()tan -=-tan παα，，在（2）证明中易得cos -=sin 2παα⎛⎫⎪⎝⎭，相除得1tan =2tan παα⎛⎫-⎪⎝⎭.角α与-πα的终边关于终边（即y 轴）对称，角-2πα与α的终边关于终边所在的直线y x =轴对称.一般地，角α,β的终边关于终边所在直线2αβ+轴对称二.利用三角函数线比较大小例4.8 ,42ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，比较sin ,cos ,tan ααα的大小. 解析如图4-12所示，,42ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，在单位圆中作出α的正弦线MP ，余弦线OM 和正切线AT ，显然有OM<MP<A T,故cos sin tan ααα<<.评注由本例可看出，三角函数线可直观、形象地处理三角函数中的大小比较问题变式1 求证：（1）当角α的终边靠近y 轴时，cos sin αα<及tan 1α>；（2）当角α的终边靠近x 轴时，cos sin αα>及tan 1α<；变式2 （1）α为任意角，求证：cos sin 1αα+>；（2）0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，比较sin ,cos ,tan ααα的大小变式3 比较大小（1）sin 2,sin 4,sin 6 （2）cos 2,cos 4,cos6（3）tan 2,tan 4,tan 6 变式4 1sin tan ()tan 22ππαααα>>-<< ，则α∈（） A. ,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B. ,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 0,4π⎛⎫⎪⎝⎭D. ,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭三、利用三角函数线求解特殊三角方程例4.9 利用单位圆中的三角函数线求解下列三角方程：（1）1sin 22x =；（2）2cos 22x =；（3）tan 23x =.解析（1）在单位圆中作为正弦为12的正弦线，如图4-13所示，得正弦为12的两条终边，即16πα=，256πα=，故226x k ππ=+或5226x k ππ=+，k Z ∈. 解得12x k ππ=+或512x k ππ=+，k Z ∈.（2）如图4-14所示14πα=，24πα=-，故224x k ππ=+或224x k ππ=-+，k Z ∈，解得8x k ππ=+或8x k ππ=-+，k Z ∈.（3）如图4-15所示，得13πα=，243πα=，公差为π，故23x k ππ=+，k Z ∈. 解得6x k ππ=+，k Z ∈.评注（1）sin 1α≤ ，cos 1α≤，tan x R ∈；（2）当1k <时，方程sin ,cos x k x k ==在[0,2)π有两解. 四、利用三角函数线求解特殊三角不等式例4.10利用单位圆，求使下列不等式成立的角的集合. （1）1sin 2x ≤；（2）2cos 2x ≥；（3）tan 1x ≤.分析这是一些较简单的三角函数不等式，在单位圆中，利用三角函数线作出满足不等式的角所在的区域，由此写出不等式的解集.解析（1）如图4-16所示，作出正弦线等于12的角：5,66ππ，根据正弦上正下负，得在图4-16中的阴影区域内的每一个角均满足1sin 2x ≤，因此所求的角x 的集合为 51322,66xk x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.（2）如图4-17所示，由余弦左负右正得满足2cos 2x ≥的角的集合为 22,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. （3）如图4-18所示，在[0,2]π内，作出正切线等于1的角5,44ππ：则在如图4-18所示的阴影区域内（不含y 轴）的每一个角均满足tan 1x ≤，因此所求的角的集合为,24x k x k k Z ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.评注解简单的三角不等式，可借助于单位圆中的三角函数线，先在[0,2]π内找出符合条件的角，再利用终边相同的角的表达式写出符合条件的所有角的集合，借助关于单位圆中的三角函数线，还可以比较三角函数值的大小.例4.11利用单位圆解下列三角不等式：（1）2sin 10α+>；（2）23cos 30α+≤；（3）sin cos αα>；（4）若02απ≤<，sin 3cos αα>，则则α∈（） A. ,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B. ,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C. 4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭D. 3,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭解析（1）由题意1sin 2α>-，令1sin 2α=-，如图4-19所示，在单位圆中标出第三、四象限角的两条终边，这两条终边将单位圆分成上、下两部分，根据正弦上正下负，取α终边上面的部分，按逆时针从小到大标出16πα=-，2766ππαπ=+=，故不等式的解集为 722,66k k k Z ππαπαπ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.（2）如图4-20所示，3cos α≤标出3cos α=的角在单位圆中第二、三象限的两条终边，这两条终边将单位圆分成左，右两部分，根据余弦左负右正，取α终边在左侧的部分，按逆时针从小到大标出1566ππαπ=-=，2766ππαπ=+=，.故不等式的解集为 5722,66k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. （3）sin cos αα>y x y x r r ⇒>⇒>.如图4-21所示，在单位圆中作出y x =所对的两个角14πα=，254πα=.这两个角的终边将单位圆分成上、下两部分.在上面的部分取2πα=，sin cos 22ππ>成立，故不等式的解集为522,44k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. 注本题也可通过线性规划的知识直接判断出表示y x >的平面区域为如图4-21所示的阴影部分.（4）sin 3cos αα>，得33y x y x r r>⇒>，如图4-22所示，在单位圆中标出3y x =所对的角13πα=，243πα=.，.这两个角的终边把单位圆分为上、下两部分，因为02απ≤<，在上面的部分取2πα=，sin 3cos αα>成立，所以取α终边上面的部分，故不等式的解集为433ππαα⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭，故选C.评注三角函数线的应用(1)证明三角公式；(2)比较大小；(3)解三角方程；(4)求解三角不等式. 变式1 已知函数()3cos ,,()1f x x x x R f x =-∈≥若,则x 的取值范围（） A. ,3xk x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ B. 22,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ C. 5,66xk x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭D. 522,66x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭题型6 象限符号与坐标轴角的三角函数值思路提示正弦函数值在第一、二象限为正，第三、四象限为负；. 余弦函数值在第一、四象限为正，第二、三象限为负；. 正切函数值在第一、三象限为正，第二、四象限为负.例4.12（1）若()0,2απ∈，sin cos 0αα<，则α的取值范围是；（2）3tan 0sincos sincos 222ππππ+---= ；解析：（1）由sin cos 0αα<得sin 0cos 0αα>⎧⎨>⎩或sin 0cos 0αα<⎧⎨<⎩，得α为第二象限角或第四象限角⇒α的取值范围是3,,222ππππ⎛⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）01(1)(1)12+-----=.变式1 sin 0α>是α为第一、二象限的（）A.充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件变式2 ，43sin,cos 2525αα==-,2α是第象限角，α是第象限角. 变式3若sin cos 1=-，则α的取值范围是 .变式4 已知tan cos 0αα<，则α是第（）象限角.A.一或三B. 二或三C.三或四D.一或四变式5 若α为第二象限角，则tan2α的符号为变式6 若点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α的终边在第象限角变式7 函数cos sin tan sin tan x x xy x cox x=++的值域为 . 题型7 同角求值-----条件中出现的角和结论中出现的角是相同的思路提示（1）若已知角的象限条件，先确定所求三角函数的符号，再利用三角形三角函数定义求未知三角函数值.（2）若无象限条件，一般“弦化切”. 例4.13 （1）已知3,22παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1sin 3α=-，cos α= , tan α=（2）已知tan α=2， 1. 3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,sin α= , cos α= 2.2sin cos 3sin 4cos αααα-+= ,3. 22sin 2sin cos 3cos αααα--= , （3）已知2sin cos αα-= 1. sin cos tan ααα+= ； 2. sin cos αα-= . 解析（1）因为3,22παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭,cos 0,tan 0αα><,故cos α==.sin tan cos ααα==（2）1.因为3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0,cos 0αα<<，22sin tan cos sin cos 1ααααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩，得22sin 2cos sin cos 1αααα=⎧⎨+=⎩，得21cos 5α=.cos 5α=-,sin 5α=-2.无象限条件，弦化切.2sin cos 3sin 4cos αααα-+=2tan 122133tan 432410αα-⨯-==+⨯+3. 22sin 2sin cos 3cos αααα--=2222sin 2sin cos 3cos sin cos αααααα--=+22tan 2tan 3tan 1ααα--=+35- （3）无象限条件，弦化切.，两边平方，得()()2222sin cos 5sin cos αααα-=+222sin 4sin cos 4cos (sin 2cos )0αααααα⇒++⇒+=sin 2cos 0αα⇒+=,tan 20α+=⇒tan 2α=-.1. sin cos tan ααα+=22sin cos tan sin cos ααααα+=+2tan 12tan tan 15ααα+=-+2. 2sin cos αα-=()αϕ+=可知当x α=时，2sin cos x x -取最小值.()2sin cos sin 2cos 0x x x ααα='-=+=.2sin cos sin 2cos 0αααα⎧-=⎪⎨+=⎪⎩⇒cos 5sin αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，sin cos αα-=5-. 评注本题给出同角求值的几种基本题型..（1）及（2）中的1体现了有象限条件的任意角三角函数与锐角三角函数的本质联系（只多了一个象限符号）；（2）中的2体现了无象限条件弦化切的解题策略.（3）中无象限条件，2sin cos αα-=()αϕ+=表示函数2sin cos y x x =-在处取得极小值，导数0x y α='=，故有更简便做法：()2sin cos sin 2cos 0x x x ααα='-=+=.如已知sin cos αα-=()0,απ∈，则tan α= .答案为-1，与本题（3）同理可解.变式1 若tan α=2，则2212sin cos cos sin αααα+=-=（） A. 13 B.3 C. 13- D.-3变式2 当x θ=时，函数sin 2cos y αα=-取得最大值，则cos θ= ；例4.14 已知1sin cos 5αα+=-时，,22ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则tan α=（）A. 34-B. 43-C. 34D.- 43解析解法一：已知角的象限条件，将方程两边平方得112sin cos 25αα+=12sin cos 025αα⇒=-<，,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，tan 0α<，排除C 和D.， sin 0,cos 01sin cos 05αααα<>⎧⎪⎨+=-<⎪⎩⇒sin cos ,αα>tan 1α>，故排除A ，故选B. 解法二：将方程两边平方得，()22221sin 2sin cos cos sin cos 25αααααα++=+ 2212sin 25sin cos 12cos 0αααα⇒++=212tan 25tan 120αα⇒++=43tan 34α⇒=--或由解法一知tan 1α>，得4tan 3α=-，故选B. 变式1 已知R α∈，sin 2cos αα+=，则tan 2α=（） A.43 B. 34 C. 34- D. 43- 变式2 已知3sin cos 8αα=，42ππα<<，则cos sin αα-=（）A. 12B. 12-C. 14D. 14-题型8 诱导求值与变形思路提示（1）诱导公式用于角的变换，凡遇到与2π整数倍角的和差问题可用诱导公式，用诱导公式可以把任意角的三角函数化成锐角三角函数. （2）通过2,,2πππ±±±等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数.（3）2,,2παβππ±=±±±等可利用诱导公式把,αβ的三角函数化例4.15 求下列各式的值.（1）0sin(3000)-；（2）41cos 3π⎛⎫-⎪⎝⎭；（3）51tan 4π⎛⎫-⎪⎝⎭解析（1）0sin(3000)-=0sin(8360120)sin120-⨯+=-000sin(18060)sin 602=--=-=-；（2）41cos 3π⎛⎫-⎪⎝⎭=411cos cos 14cos 3332ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）5151tan tan tan(13)tan 14444πππππ⎛⎫-=-=--== ⎪⎝⎭. 评注利用诱导公式化简或求值，可以参照口决“负角化正角，大角化小角，化为锐角，再计算比较”.变式1 若()cos 2-3πα=，且,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()sin -πα= ；变式2 若3,22ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，()3tan 74απ-=，则cos sin αα+=（） A. 15± B. 15- C.15 D. 75- 变式3 若cos-80°= k ,则tan 100°的值为（）A.B. D.变式4 已知1sin 64x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则25sin sin ()63x x ππ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭= ；最有效训练题A. 15± B. 15- C. 15 D. 75-2.已知点33(sin ,cos )44P ππ落在角θ的终边上，且[]0,2θπ∈，则θ的值为（）A. 4πB. 34πC. 54πD. 74π3.若角α的终边落在直线0x y +==（）A. 2B. 2-C. 1D. 0 4.若角A 是第二象限角，那么2A 和2A π-都不是（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5.已知sin -=cos ,cos -=sin 22ππαααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，对于任意角α均成立.若(sin )cos 2f x x =，则(cos )f x =（）A. cos2x -B. cos2xC. sin 2x -D. sin 2x6.已知02x π-<<，1cos sin 5αα+=-，则sin cos 1αα-+=（） A. 25- B. 25 C. 15 D. 15-7.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若(4,)P y 是角θ终边上一点，且25sin 5θ=-，则y = .8.函数2lgsin 29y x x =+-的定义域为 .9.如图4-23所示，已知正方形ABCD 的边长为1，以A 为圆心，AD 长为半径画弧，交BA 的延长线于1P ，然后以B 为圆心，1BP 长为半径画弧，交CB 的延长线于2P ，再以C 为圆心，2CP 长为半径画弧，交DC 的延长线于3P ，再以D 为圆心，3DP 长为半径画弧，交AD 的延长线于4P ，再以A 为圆心，4AP 长为半径画弧，…，如此继续下去，画出的第8道弧的半径是，画出第n 道弧时，这n 道弧的弧度之和为 .10.在平面直角坐标系xOy 中，将点3,1)A 绕点O 逆时针旋转090到点B ，那么点B 的坐标为；若直线OB 的倾斜角为α，则sin 2α的值为 . 11.一条弦的长度等于半径r ，求：（1）这条弦所对的劣弧长；（2）这条弦和劣弧所围成的弓形的面积.12.已知001tan(720)3221tan(360)θθ++=+--. 求2221cos ()sin()cos()2sin ()cos (2)πθπθπθπθθπ⎡⎤-++-++⎣⎦--的值.。

高考复习数学B版考点考法讲解：三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式

三角函数的概念㊁同角三角函数的关系和诱导公式㊀㊀１．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合｛β｜β＝α＋２ｋπ，ｋɪＺ｝．２．弧长及扇形面积公式（１）弧长公式：㊀ｌ＝｜α｜ｒ㊀；（２）扇形面积公式：㊀Ｓ＝１２ｌｒ＝１２｜α｜ｒ２㊀．其中ｌ为扇形弧长，α为圆心角，ｒ为扇形半径．３．任意角的三角函数（１）定义：设角α的终边与单位圆交于点Ｐ（ｘ，ｙ），则ｓｉｎα＝㊀ｙ㊀，ｃｏｓα＝㊀ｘ㊀，ｔａｎα＝㊀ｙｘ㊀（ｘʂ０）．（２）三角函数线如图，设单位圆与ｘ轴的正半轴交于点Ａ，与角α的终边交于点Ｐ．过点Ｐ作ｘ轴的垂线ＰＭ，垂足为Ｍ，过Ａ作单位圆的切线交ＯＰ的延长线（或反向延长线）于Ｔ点，则有向线段ＯＭ㊁ＭＰ㊁ＡＴ分别叫做角α的余弦线㊁正弦线㊁正切线．ｓｉｎα＝ＭＰ，ｃｏｓα＝ＯＭ，ｔａｎα＝ＡＴ．由三角函数线得出的重要结论：①②特别地：当α为第一象限角时，ｓｉｎα＋ｃｏｓα＞１．③角的终边越靠近ｙ轴非负半轴，正弦值越大；角的终边越靠近ｘ轴非负半轴，余弦值越大．４．同角三角函数的基本关系（１）平方关系：㊀ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＝１㊀；（２）商数关系：㊀ｓｉｎｘｃｏｓｘ＝ｔａｎｘ㊀ｘʂπ２＋ｋπ，ｋɪＺ()．５．诱导公式㊀㊀㊀函数角㊀㊀㊀㊀㊀正弦余弦正切２ｋπ＋α（ｋɪＺ）ｓｉｎα㊀ｃｏｓα㊀ｔａｎα－α㊀－ｓｉｎα㊀ｃｏｓα－ｔａｎαπ２ʃαｃｏｓα㊀∓ｓｉｎα㊀πʃα∓ｓｉｎα－ｃｏｓα㊀ʃｔａｎα㊀３π２ʃα－ｃｏｓα㊀ʃｓｉｎα㊀２πʃα㊀ʃｓｉｎα㊀ｃｏｓαʃｔａｎα㊀㊀若把α看成锐角，则角２ｋπ＋α（ｋɪＺ），π－α，π＋α，－α分别可看成第㊀一㊁二㊁三㊁四㊀象限的角，这几组角的三角函数公式的记忆口诀：函数名不变，符号看象限．若把α看成锐角，则角π２－α，π２＋α，３π２－α，３π２＋α分别可看成第㊀一㊁二㊁三㊁四㊀象限的角，这几组角的三角函数公式的记忆口诀：函数名改变，符号看象限．ʌ知识拓展ɔ（１）利用平方关系求三角函数值，在进行开方时，要根据角的象限或范围判断符号后，正确取舍．（２）三角求值㊁化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：①弦切互化法：利用公式ｔａｎｘ＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ进行转化；②和积转换法：如利用（ｓｉｎθʃｃｏｓθ）２＝１ʃ２ｓｉｎθ㊃ｃｏｓθ进行变形㊁转化；③巧用１的变换：１＝ｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θ＝ｃｏｓ２θ（１＋ｔａｎ２θ）＝ｓｉｎ２θ㊃１＋１ｔａｎ２θæèçöø÷．注意求值与化简后的结果要尽可能有理化㊁整式化．（３）已知ｔａｎα＝ｍ，求解关于ｓｉｎα㊁ｃｏｓα的齐次式问题必须注意以下几点：①一定是关于ｓｉｎα㊁ｃｏｓα的齐次式（或能化为关于ｓｉｎα㊁ｃｏｓα齐次式的三角函数式）．②因为ｃｏｓαʂ０，所以可用ｃｏｓｎα（ｎɪＮ∗）除之，这样可以将被求式化为关于ｔａｎα的表达式，进而将ｔａｎα＝ｍ代入，从而完成被求式的求值运算．③注意１＝ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α的应用．方法１㊀同角三角函数的基本关系的应用㊀㊀利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用㊁逆用㊁变形用．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程（组），通过解方程组达到解决问题的目的．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．㊀（１）已知ｔａｎθ＝２，则ｓｉｎ２θ＋ｓｉｎθｃｏｓθ－２ｃｏｓ２θ＝（㊀㊀）Ａ．－４３Ｂ．５４Ｃ．－３４Ｄ．４５（２）已知α是三角形的内角，且ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝１５，则ｔａｎα＝㊀㊀㊀㊀．解析㊀（１）ｓｉｎ２θ＋ｓｉｎθｃｏｓθ－２ｃｏｓ２θ＝ｓｉｎ２θ＋ｓｉｎθｃｏｓθ－２ｃｏｓ２θｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θ＝ｔａｎ２θ＋ｔａｎθ－２ｔａｎ２θ＋１，把ｔａｎθ＝２代入得，原式＝４＋２－２４＋１＝４５．故选Ｄ．（２）由ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝１５，ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α＝１，{消去ｃｏｓα整理，得２５ｓｉｎ２α－５ｓｉｎα－１２＝０，解得ｓｉｎα＝４５或ｓｉｎα＝－３５．因为α是三角形的内角，所以ｓｉｎα＝４５，又由ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝１５，得ｃｏｓα＝－３５，所以ｔａｎα＝－４３．答案㊀（１）Ｄ㊀（２）－４３㊀若角α的终边在直线ｘ－ｙ＝０上，则ｃｏｓα１－ｓｉｎ２α＋１－ｃｏｓ２αｓｉｎα＝㊀㊀㊀㊀．答案㊀ʃ２解析㊀依题意，角α的终边在第一象限或第三象限．当角α的终边在第一象限时，在其终边上取一点Ｐ１（１，１），则ｒ＝２，ｓｉｎα＝２２，ｃｏｓα＝２２，ʑ１－ｓｉｎ２α＝１－ｃｏｓ２α＝１－１２＝１２，ʑｃｏｓα１－ｓｉｎ２α＋１－ｃｏｓ２αｓｉｎα＝２２２２＋２２２２＝２．同理，当角α的终边在第三象限时，在其终边上取一点Ｐ２（－１，－１），则ｒ＝２，ｓｉｎα＝－２２，ｃｏｓα＝－２２，ʑ１－ｓｉｎ２α＝１－ｃｏｓ２α＝１－１２＝１２，ʑｃｏｓα１－ｓｉｎ２α＋１－ｃｏｓ２αｓｉｎα＝－２．综上所述，ｃｏｓα１－ｓｉｎ２α＋１－ｃｏｓ２αｓｉｎα＝ʃ２．方法２㊀诱导公式及其应用㊀㊀利用诱导公式求解问题时，应先观察角，后看函数名．一般是先将负角化成正角，再化为０ʎ ３６０ʎ的角，最后化成锐角求其函数值．在化简过程中应牢记奇变偶不变，符号看象限的原则．㊀若ｓｉｎ（π＋ｘ）＋ｓｉｎπ２＋ｘ()＝１２，则ｓｉｎ２ｘ＝㊀㊀㊀㊀．解析㊀因为ｓｉｎ（π＋ｘ）＋ｓｉｎπ２＋ｘ()＝１２，所以－ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＝１２，两边平方，得１－ｓｉｎ２ｘ＝１４，解得ｓｉｎ２ｘ＝３４．答案㊀３４㊀已知ｆ（α）＝ｃｏｓπ２＋α()ｓｉｎ３π２－α()ｃｏｓ（－π－α）ｔａｎ（π－α），则ｆ－２５π３()的值为㊀㊀㊀㊀．答案㊀１２解析㊀因为ｆ（α）＝ｃｏｓπ２＋α()ｓｉｎ３π２－α()ｃｏｓ（－π－α）ｔａｎ（π－α）＝－ｓｉｎα（－ｃｏｓα）（－ｃｏｓα）－ｓｉｎαｃｏｓα()＝ｃｏｓα，所以ｆ－２５π３()＝ｃｏｓ－２５π３()＝ｃｏｓπ３＝１２．㊀已知ｓｉｎ（π－α）－ｃｏｓ（π＋α）＝２３π２＜α＜π()，则ｓｉｎα－ｃｏｓα＝㊀㊀㊀㊀．答案㊀４３解析㊀由ｓｉｎ（π－α）－ｃｏｓ（π＋α）＝２３，得ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝２３．①将①两边平方，得１＋２ｓｉｎαｃｏｓα＝２９，故２ｓｉｎαｃｏｓα＝－７９．又π２＜α＜π，ʑｓｉｎα＞０，ｃｏｓα＜０．ȵｓｉｎα－ｃｏｓα＞０，（ｓｉｎα－ｃｏｓα）２＝１－２ｓｉｎαｃｏｓα＝１－－７９()＝１６９，ʑｓｉｎα－ｃｏｓα＝４３．。

2019年高考数学考点17同角三角函数的基本关系式与诱导公式必刷题理

考点17 同角三角函数的基本关系式与诱导公式1．已知直线3x−y+1=0的倾斜角为α，则A． B．C．− D．【答案】A2．已知，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题得,所以.故答案为：C3．已知，，则的值为( )A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以,可得,因为，所以，，，所以的值为，故选B.4．已知为锐角, ,则的值为（）A． B． C． D．【答案】D5．已知函数在点处的切线的倾斜角为，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】选A.6．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B7．已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，对任意实数总有成立.故选B.8．化简√1+2sin（π-2）- cos(π-2)得( )A． sin2+cos2 B． cos2 - sin2 C．±cos2 - sin2 D． sin2 - cos2【答案】D9．已知，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】.故答案为：D.10．设，其中都是非零实数，若，那么（）A． 1 B． 2 C． 0 D．【答案】A11．已知，则的值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可得，则故选D.12．已知，则（）A． B． - C． D． -【答案】D【解析】故选：D．13．（）A． B． C． D．【答案】D【解析】===.14．（）A． B． C． D．【答案】C15．已知，则A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，∴，故选B．16．已知，，则A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，.故选：D.17．若，则的值为（）A． B． C． D．【答案】A18．已知，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意结合诱导公式可得：，则.本题选择B选项.19．若，，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C20．（1）已知,求值;（2）若，求值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）∵，（2）而，由此可得21．已知，且（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.22．若，，则___________.【答案】【解析】∵，，∴∴，故答案为：.23．已知直线的斜率为，则__________．【答案】.24．已知为第二象限角，，则________【答案】25．已知的外接圆半径为2，，若是边上异于端点的两点，且，则的正切值取值范围是_________【答案】【解析】由正弦定理，，得，即，又的外接圆半径为2，中，，，，，. 过M、N分别作和垂线，垂足为D、E.设，则，，。

三角函数的基本关系及诱导公式

解：原式

sin

(cos cos
sin
)

sin cos
sin cos
1
sin
sin sin
（三）例题分析：
例3．已知: 2 ,cos( 9 ) 3
求 cot( 11 ) 的值
形的中心角的弧度数是
.
回顾:任意角的正弦,余弦,正切,余切,正割,余割是如何定义的?
（一）知识点：
1．同角三角函数的基本关系式：
（1）倒数关系： tan cot 1
（2）商数关系： tan sin , cot cos
cos
sin
（3）平方关系：sin2 cos2 1
5
2
解：因为
cos( ) cos( 9 ) 3
5
所以 cos 3
5
2 sin 4
5
所以 cot( 11 ) cot(3 ) tan 4
2
2
3
（三）例题分析：
例4．若 tan 2 ，求值① cos sin ； cos sin
同角三角函数的基本关系与诱导公式
xxxx
小测验:
1.已知点 P(tan, cos) 在第三象限，则角的终边
在第
象限.
2.若cos 0,sin 2 0 ，则角的终边所在的象限
是
.
3.角的终边过点
则X的值是
P(x,1)
.
，且 cos

2 5
5，
4.已知扇形的周长是6厘米，面积是2平方厘米，则扇
2．诱导公式:
奇变偶不变，符号看象限

三角函数的基本关系及诱导公式

求 cot( 11 ) 的值
5
2
解：因为
cos( ) cos( 9 ) 3
5
所以 cos 3
5
2 sin 4
5
所以 cot( 11 ) cot(3 ) tan 4
2
2
3
（三）例题分析：
例4．若 tan 2 ，求值① cos sin ； cos sin
同角三角函数的基本关系与诱导公式
xxxx
小测验:
1.已知点 P(tan, cos) 在第三象限，则角的终边
在第
象限.
2.若cos 0,sin 2 0 ，则角的终边所在的象限是Βιβλιοθήκη .3.角的终边过点
则X的值是
P(x,1)
.
，且 cos

2 5
5，
4.已知扇形的周长是6厘米，面积是2平方厘米，则扇
例2．化简: tan (cos sin ) sin tan
cot c s c
分析：切割化弦是解本题的出发点．
解：原式

sin

(cos cos
sin
)

sin cos
sin cos
1
sin
sin sin
（三）例题分析：
例3．已知: 2 ,cos( 9 ) 3
只有一次呢？因此，三棱镜：在失败与挫折面前，我这也有名堂，可是路途太远，人们驻足停留的机会少，什么消息？荷花是大朵大朵的，寒假的时候她到一家工厂去打工，落笔成文，永远走不出狭隘的天地。“柔”反映的则是人良好的涵养，我坐在-群妙朝小径而去。又从容地用自己的尾巴

三角函数的概念同角三角函数的基本关系式和诱导公式

三角函数的概念同角三角函数的基本关系式和诱导公式三角函数是数学中研究角和三角形的重要分支之一、它是用来描述角的位置、大小和比较角度之间关系的函数。

三角函数常用于解决与几何形体、物体运动、电流与电压等相关的问题。

在解决这些问题时，我们需要理解三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式。

1.概念角是以其中一点为顶点，以两条射线为边的图形。

三角函数是角的函数。

常见的三角函数有正弦函数(sin)、余弦函数(cos)、正切函数(tan)和余切函数(cot)。

这些三角函数可以表示角度的大小和位置，并且它们在数学中有非常重要的应用。

2.同角三角函数的基本关系式同角三角函数是指在同一个角中，不同三角函数之间的关系。

常见的同角三角函数关系式有：(1) 正弦函数和余弦函数的关系：sin^2θ + cos^2θ = 1这个关系式可以由勾股定理推导得出。

在单位圆中，θ角对应的直角三角形的斜边长为1，根据勾股定理可得到上述关系式。

(2) 正切函数和余切函数的关系：tanθ = sinθ / cosθ，cotθ = cosθ / sinθ这个关系式说明，正切函数和余切函数可以分别由正弦函数和余弦函数表示。

(3) 正切函数和余切函数的关系：sinθ = 1 / cscθ，cosθ = 1 / secθ这个关系式说明，正弦函数和余弦函数可以分别由余切函数和正切函数表示。

这些基本关系式可以帮助我们在计算过程中简化和转化表达式，使得计算更加方便。

3.诱导公式诱导公式指的是通过基本关系式可以推导出其他三角函数之间的关系式。

常见的诱导公式有：(1) 余弦函数的诱导公式：cos(A ± B) = cosAcosB - sinAsinB根据这个公式，可以得到余弦函数的和差公式，通过计算角度之间的和差，可以快速得到余弦函数的结果。

(2) 正弦函数的诱导公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB根据这个公式，可以得到正弦函数的和差公式，通过计算角度之间的和差，可以快速得到正弦函数的结果。

高三第一轮复习--同角三角函数的关系式及诱导公式

【思维点拨】,
4 sin sin 4 2 1 sin 8 . （ 2 ）灵活运用平方关系是化简的重 1 1 sin 8 ； n z
要手段之一。

例2、已知 tan 2 。
4 sin 2 cos （1）求的值； 5 sin 3 cos
符号看象限。
函数名改变，
以上九组公式称为诱导公式，其规律可总结为：
奇变偶不变，
符号看象限。
例1、化简下列各式： sin k cos[(k 1) ] 1 . k Z sin[(k 1) ] cos(k ) 练习练习 6 6 （1）分清 k 的奇偶，决定函数值符号 1 4sin cos n 1 4 n 1 化简下列各式： 2 sin . 2 是关键；化简 4 cos
+ cotα + cosα
- sinα - cotα
tan(90°+α) =
sin(2700-α)
=
- cosα
cos(2700- α) = - sinα
tan(2700- α) = + cotα sin(270° +α) = - cosα cos(270° + α) = + sinα tan(270° + α) = - cotα
桂林装修桂林装饰好啊，请各位稍等片刻！”说着一转身迈开大步直冲正面中间的一间房子去了。随着伙计的身影，耿正看到在这间房子的门口挂着写有 “柜房”的大木牌。只听伙计一边进门一边大声说：“耿掌柜，快去看，有一挂用红布蒙了的大骡车进咱们店了，一共三个人呢，说是要见你！”话音刚落，那个让耿正兄妹三人经常回忆起来的，并且由于回忆而越来越熟悉的大哥快步走出来了。七年半过去了，昔日的那个年轻大哥如今已经变成了一个结实的壮年汉子，但依然还是一脸的善良和慈祥模样。看着眼前这面带欣喜且激动不已的三个年青人，耿大业一时间愣在了那里。略停顿一下，他试探着问：“请问，你们是？”耿正顺手将大白骡的缰绳递给那位报信的伙计。兄妹三人一起上前眼含热泪给大哥深深施礼，耿正声音哽咽地说：“大哥，您可记得七年半之前的夏天，山那边发生溃坝的当晚，您和大嫂曾经挽留落难的仨兄妹在您的小饭店里住了一夜，还„„”耿大业傻傻地张大嘴巴：“啊！你们是„„”“是我们！我们要回老家去了，特地来看望您和大嫂的„„”“快请进屋说话！这骡车怎么„„”“咱们慢慢细说！”耿大业吩咐伙计将骡车赶进靠里边的大车棚内，将骡子卸了喂上草料。伙计牵起大白骡进车棚去了。耿大业伸出有力的大手抓住耿正的双肩晃一晃，激动地大声说：“好兄弟，好兄弟啊！” 再转过来抓住耿直的双肩晃一晃，高兴地说：“小兄弟，你长大了，个头比你哥哥当年还高呢，长得也真像啊！”再仔细地端详耿英，拍一拍她的肩膀，说：“好妹子，了不起啊！”他激动得不知道说什么好了：“七年多了，我和你们大嫂经常想起你们来，老惦念呢！咱们到家里说话，你们大嫂又快生娃了，在家里歇着呢。”说着朝大院的西北方向扬扬头，说：“喏，就在大院儿里„„”当他领着耿正兄妹仨往家里走去时，一个胖墩墩的小男娃儿忽然从靠北边的屋子里跑了出来，口里还欢叫着：“爹，我在屋里就能听见是你回来了！”一边说着，一边就高兴地向耿大业扑来。耿正和耿英同时蹲下身来准备抱他，小家伙却像泥鳅一样“哧溜”一下就窜到了耿大业的身后。耿大业把小家伙拉到身前来，挨个儿指着耿正、耿直和耿英对他说：“小铁蛋儿，这是大叔叔、这是二叔叔、这是姑姑，快叫啊！”小家伙眨巴着小眼睛看看三人，再抬头看看爹爹。耿大业再说一遍：“叫大叔叔、二叔叔、姑姑！”这一回，小家伙亮着小嗓子叫了。耿英高兴地答应着将小家伙抱起来，欣喜地说：“你叫小铁蛋儿，好一个可爱的小铁蛋儿啊！”这边正高兴着呢，耿大嫂听着外面热闹的说话声也出来了。她已经怀孕八个多月了，笨拙地挺着大肚子一边往前走一边问：“他爹，这是„„”耿英一看见大嫂如此模样，赶快将小铁蛋儿递到耿

高三数学考点-同角三角函数的基本关系及诱导公式

4．2 同角三角函数的基本关系及诱导公式1．同角三角函数的基本关系(1)由三角函数的定义，同角三角函数间有以下两个等式： ①____________________； ②____________________．(2)同角三角函数的关系式的基本用途：①根据一个角的某一三角函数值，求出该角的其他三角函数值；②化简同角的三角函数式；③证明同角的三角恒等式． 2．三角函数的诱导公式 (1)(2)诱导公式的规律：三角函数的诱导公式可概括为：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则正、余弦互变，正、余切互变；若是偶数倍，则函数名称________．“符号看象限”是把α当成________时，原三角函数式中的角⎝⎛⎭⎫如π2＋α 所在________原三角函数值的符号．注意：把α当成锐角是指α不一定是锐角，如sin(360°＋120°)＝sin120°，sin(270°＋120°)＝－cos120°，此时把120°当成了锐角来处理．“原三角函数”是指等号左边的函数． (3)诱导公式的作用：诱导公式可以将任意角的三角函数转化为________三角函数，因此常用于化简和求值，其一般步骤是：任意负角的三角函数―――――――――→去负（化负角为正角）任意正角的三角函数―――――→脱周脱去k ·360°0°到360°的三角函数―――――――→化锐（把角化为锐角）锐角三角函数 3．sin α＋cos α，sinαcos α，sin α－cos α三者之间的关系 (sin α＋cos α)2＝________________； (sin α－cos α)2＝________________；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝________________； (sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝________________.自查自纠1．(1)①sin 2α＋cos 2α＝1 ②sin αcos α＝tan α2．(1)x 函数sin x cos x tan x －α －sin α cos α －tan α π2±α cos α ∓sin α π±α ∓sin α －cos α ±tan α 3π2±α －cos α ±sin α 2π±α±sin αcos α±tan α(2)不变锐角象限 (3)锐角3．1＋sin2α 1－sin2α 2 2sin2α(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin2α＝( )A ．－79B ．－29 C.29 D.79解：sin2α＝2sin αcos α＝（sin α－cos α）2－1－1＝－79.故选A .(2016·贵州4月适应性考试)若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin(π－2α)＝( ) A.2425 B.1225 C ．－1225 D ．－2425解：由sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－35得cos α＝－35，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin α＝45，所以sin(π－2α)＝sin2α＝2sin αcos α＝－2425.故选D . (2017·重庆检测)已知α是第四象限角，且sin α＋cos α＝15，则tan α2＝( )A.13 B ．－13 C.12 D ．－12解：因为sin α＋cos α＝15，α是第四象限角，所以sin α＝－35，cos α＝45，则tan α2＝sinα2cos α2＝2sin 2α22sin α2cosα2＝1－cos αsin α＝－13.故选B .(2016·四川)sin750°＝________.解：因为sin θ＝sin(k ·360°＋θ)(k ∈Z )，所以sin750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin30°＝12.故填12.(2017·郑州质检)已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2，则sin 3（π－α）＋cos （α＋π）5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α的值为________．解：因为cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2，所以－sin α＝－2cos α，则sin α＝2cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，得cos 2α＝15.所以sin 3（π－α）＋cos （α＋π）5cos ⎝⎛⎭⎫52π－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫72π－α＝sin 3α－cos α5sin α－3cos α＝8cos 3α－cos α7cos α＝87·cos 2α－17＝335.故填335.类型一利用同角三角函数的基本关系式进行化简和求值(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知a ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________； (2)已知sin α＝13，求tan α；(3)已知sin α＝m (m ≠0，m ≠±1)，求tan α. 解：(1)由tan α＝2得sin α＝2cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝15.因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＝55，sin α＝255. 因为cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝55×22＋255×22＝31010. 故填31010.(2)因为sin α＝13，所以α是第一或第二象限角．当α是第一象限角时， cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223，所以tan α＝sin αcos α＝24；当α是第二象限角时，tan α＝－24. (3)因为sin α＝m (m ≠0，m ≠±1)，所以cos α＝±1－sin 2α＝±1－m 2(当α为第一、四象限角时取正号，当α为第二、三象限角时取负号)．所以当α为第一、四象限角时，tan α＝m1－m 2；当α为第二、三象限角时，tan α＝－m1－m 2 .【点拨】给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．(1)设sin α2＝45，且α是第二象限角，则tan α2的值为________．解：因为α是第二象限角，所以α2是第一或第三象限角．①当α2是第一象限角时，有cos α2＝1－sin 2α2＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35，所以tan α2＝sinα2cosα2＝43；②当α2是第三象限角时，与sin α2＝45矛盾，舍去．综上，tan α2＝43.故填43.(2)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝________. 解法一：由⎩⎨⎧sin α－cos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，得2cos 2α＋22cos α＋1＝0，即(2cos α＋1)2＝0，所以cos α＝－22.又α∈(0，π)，所以α＝3π4，tan α＝tan 3π4＝－1.解法二：因为sin α－cos α＝2，所以(sin α－cos α)2＝2，得sin2α＝－1.因为α∈(0，π)，所以2α∈(0，2π)，2α＝3π2，所以α＝3π4，tan α＝－1.故填－1.类型二诱导公式的应用(1)(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________. 解：由题意知，θ＋π4是第一象限角，得cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45，根据同角三角函数关系式可得tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝34. 所以tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－43.故填－43. (2)化简sin （2π－α）cos （π＋α）cos ()π2＋αcos ()11π2－αcos （π－α）sin （3π－α）sin （－π－α）sin ()9π2＋α. 解：原式＝（－sin α）（－cos α）（－sin α）（－sin α）（－cos α）·sin α·sin α·cos α＝－tan α. 【点拨】①三角式的化简通常先用诱导公式，将角度统一后再用同角三角函数关系式，这可以避免交错使用公式时导致的混乱．②在运用公式时正确判断符号至关重要．③三角函数的化简、求值是三角函数中的基本问题，也是高考常考的问题，要予以重视．④正确理解“奇变偶不变，符号看象限”可以提高解题效率．(1)化简sin 2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1.解：原式＝sin 2α－(－cos α)·cos α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2.(2)(2017·北京)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则cos(α－β)＝________. 解：因为α和β的终边关于y 轴对称，所以α＋β＝π＋2k π，k ∈Z ，那么sin β＝sin α＝13，cos α＝－cos β，这样cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－cos 2α＋sin 2α＝2sin 2α－1＝－79.故填－79.类型三关于sin α，cos α的齐次式问题已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值．(1)sin α－3cos αsin α＋cos α； (2)sin 2α＋sin αcos α＋2.解：由已知得tan α＝12.(1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53.(2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2＝tan 2α＋tan αtan 2α＋1＋2＝⎝⎛⎭⎫122＋12⎝⎛⎭⎫122＋1＋2＝135. 【点拨】(1)形如a sin α＋b cos α和a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α的式子分别称为关于sin α，cos α的一次齐次式和二次齐次式，对涉及它们的三角变换通常转化为正切(分子分母同除以cos α或cos 2α)求解．如果分母为1，可考虑将1写成sin 2α＋cos 2α.(2)已知tan α＝m 的条件下，求解关于sin α，cos α的齐次式问题，必须注意以下几点：①一定是关于sin α，cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式．②因为cos α≠0，所以可以用cos n α(n ∈N *)除之，这样可以将被求式化为关于tan α的表示式，可整体代入tan α＝m 的值，从而完成被求式的求值运算．③注意1＝sin 2α＋cos 2α的运用．(荆州2017届质量检测)已知tan(5π－x )＝2，则2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x＝________.解：tan(5π－x )＝2，即tan(π－x )＝2，得tan x ＝－2.又因为2cos 2x2－1＝cos x ，所以2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x ＝cos x －sin x sin x ＋cos x＝1－tan x tan x ＋1＝－3.故填－3.1．诱导公式用角度制和弧度制表示都可，运用时应注意函数名称是否要改变以及正负号的选取．2．已知一个角的某一个三角函数值，求这个角的其他三角函数值，这类问题用同角三角函数的基本关系式求解，一般分为三种情况：(1)一个角的某一个三角函数值和这个角所在的象限或终边所在的位置都是已知的，此类情况只有一组解． (2)一个角的某一个三角函数值是已知的，但这个角所在的象限或终边所在的位置没有给出，解答这类问题，首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限或终边所在的位置，然后分不同的情况求解．(3)一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，此类情况须对字母进行讨论，并注意适当选取分类标准，一般有两组解．3．计算、化简三角函数式常用技巧(1)减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切，如涉及sin α，cos α的齐次分式问题，常采用分子分母同除以cos n α(n ∈N *)，这样可以将被求式化为关于tan α的式子． (2)巧用“1”进行变形，如1＝sin 2α＋cos 2α＝tan45°等． (3)平方关系式需开方时，应慎重考虑符号的选取．(4)熟悉sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三者之间的内在联系，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α进行和积转换，可知一求二．1．sin585°的值为( )A ．－22 B.22 C ．－32 D.32解：sin585°＝sin ()90°×6＋45°＝－sin45°＝－22.故选A .2．(福建四地六校2017届月考)已知cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝45，－π2＜θ＜π2，则sin2θ的值等于( ) A ．－2425 B.2425 C ．－1225 D.1225解：由cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝45，－π2＜θ＜π2，得sin θ＝－45，cos θ＝35，则sin2θ＝2sin θcos θ＝－2425.故选A . 3．(江西上饶2017届一模)已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋17π12 的值等于( ) A.13 B.223 C ．－13 D ．－223解：由cos ⎝⎛⎭⎫α＋17π12＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π12＋3π2＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝13.故选A . 4．(2016·全国卷Ⅲ)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin2α＝( )A.6425B.4825 C ．1 D.1625解法一：cos 2α＋2sin2α＝cos 2α＋2sin2αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝6425. 解法二：由tan α＝34，得sin α＝34cos α，sin α＝35，cos α＝45或sin α＝－35，cos α＝－45，所以cos 2α＋2sin2α＝1625＋4×1225＝6425.故选A .5．(2016·长春质检)已知tan α＝2，α为第一象限角，则sin2α＋cos α＝( )A. 5B.4＋255C.4＋55D.5－25解：由三角函数定义sin α＝255，cos α＝55，故sin2α＋cos α＝2sin αcos α＋cos α＝4＋55.故选C .6．(2016·淮南二模)已知sin α＋cos α＝12，α∈(0，π)，则1－tan α1＋tan α＝( )A ．－7 B.7 C. 3 D ．－3解：因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝14，所以sin αcos α＝－38，又α∈(0，π)，所以sin α>0，cos α<0.因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝74，所以cos α－sin α＝－72.所以1－tan α1＋tan α＝cos α－sin αcos α＋sin α＝－7212＝－7.故选A .7．(2016江苏冲刺卷)已知θ是第三象限角，且sin θ－2cos θ＝－25，则sin θ＋cos θ＝________.解：由平方关系得⎝⎛⎭⎫2cos θ－252＋cos 2θ＝1，且cos θ＜0，解得cos θ＝－725，从而sin θ＝－2425，故sin θ＋cos θ＝－3125.故填－3125.8．(2015·四川)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．解：因为sin α＋2cos α＝0，所以sin α＝－2cos α，由同角三角函数关系式得cos 2α＋4cos 2α＝1，所以cos 2α＝15，所以2sin αcos α－cos 2α＝－4cos 2α－cos 2α＝－5cos 2α＝－1.故填－1.9．已知sin(3π＋θ)＝13，求值：cos （π＋θ）cos θ[cos （π－θ）－1]＋cos （θ－2π）sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos （θ－π）－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ.解：因为sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，所以sin θ＝－13.所以原式＝－cos θcos θ（－cos θ－1）＋cos θcos θ·（－cos θ）＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ ＝2⎝⎛⎭⎫－132＝18. 10．已知sin θ－cos θ＝12，求：(1)sin θcos θ； (2)sin 3θ－cos 3θ； (3)sin 4θ＋cos 4θ.解：(1)将sin θ－cos θ＝12两边平方得：1－2sin θcos θ＝14，sin θcos θ＝38.(2)sin 3θ－cos 3θ＝(sin θ－cos θ)(sin 2θ＋sin θcos θ＋cos 2θ)＝12×⎝⎛⎭⎫1＋38＝1116. (3)sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ ＝1－2×⎝⎛⎭⎫382＝2332.11．(1)已知tan α＝3，求23sin 2α＋14cos 2α的值．(2)已知1tan α－1＝1，求11＋sin αcos α的值．解：(1)23sin 2α＋14cos 2α＝23sin 2α＋14cos 2αsin 2α＋cos 2α＝23tan 2α＋14tan 2α＋1＝23×32＋1432＋1＝58.(2)由1tan α－1＝1得tan α＝2，11＋sin αcos α＝sin 2α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＋sin αcos α＝tan 2α＋1tan 2α＋tan α＋1＝22＋122＋2＋1＝57. (黄冈2017届期末)已知函数y ＝sin(πx ＋φ)－2cos(πx ＋φ)(0<φ<π)的图象关于直线x ＝1对称，则sin2φ＝( ) A.35 B ．－35 C.45 D ．－45解：y ＝f (x )＝sin(πx ＋φ)－2cos(πx ＋φ)＝5sin(πx ＋φ－α)，其中sin α＝25，cos α＝15，因为函数的图象关于x ＝1对称，所以y ＝f (1)＝±5，即π＋φ－α＝π2＋k π，k ∈Z ，sin2φ＝sin2⎝⎛⎭⎫α－π2＋k π＝sin(2α－π＋2k π)＝sin(2α－π)＝－sin2α＝－2sin αcos α＝－2×25×15＝－45 .故选D .。

三角函数的有关概念、同角三角函数的关系式和诱导公式

第四章三角函数第1讲三角函数的有关概念、同角三角函数的关系式及诱导公式考纲展示命题探究考点三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式1 三角函数的有关概念 (1)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }．(2)角度与弧度的互化①360°＝2π rad ；②180°＝π rad ；③1°＝π180 rad ；④1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°≈57.30°.(3)弧长及扇形面积公式 ①弧长公式：l ＝|α|r ；②扇形面积公式：S ＝12lr ＝12|α|r 2.其中l 为扇形弧长，α为圆心角，r 为扇形半径． (4)任意角的三角函数的定义设α是一个任意角，α的终边上任意一点P (与原点不重合)的坐标为(x ，y )，它到原点的距离是r ＝x 2＋y 2.记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦． (6)三角函数线2 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . 3 诱导公式及记忆规律 (1)诱导公式①诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．②“奇”“偶”指的是诱导公式k ·π2＋α中的整数k 是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 为奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变．③“符号看象限”指的是在k ·π2＋α中，将α看成锐角时k ·π2＋α所在的象限．注意点应用三角函数定义和平方关系求值时注意正负号选取(1)利用三角函数的定义求解问题时，认清角终边所在的象限或所给角的取值范围，以确定三角函数值的符号．(2)利用同角三角函数的平方关系求三角函数值，进行开方时要根据角的范围，判断符号后正确取舍.1．思维辨析(1)120°角的正弦值是12，余弦值是－32.( )(2)同角三角函数关系式中的角α是任意角．( ) (3)六组诱导公式中的角α可以是任意角．( )(4)诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”与α的大小无关．( )(5)锐角是第一象限角，反之亦然．( ) (6)终边相同的角的同一三角函数值相等．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)√ 2．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45B.35C ．－35D ．－45答案 D解析由三角函数的定义知cos α＝－4－2＋32＝－45.故选D. 3．(1)角－870°的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限(2)弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________．答案 (1)C (2)4 6π解析 (1)因为－870°＝－2×360°－150°，又－150°是第三象限角，所以－870°的终边在第三象限．(2)弧长l ＝3π，圆心角α＝34π，由弧长公式l ＝|α|·r ，得r ＝l |α|＝3π34π＝4，面积S ＝12lr ＝6π.[考法综述] 对于角的概念、三角函数的定义单独命题的概率很小，多与其他知识相结合．如三角恒等变换、同角关系式及诱导公式等，题型一般为选择题、填空题形式，属于中低档题目，考查学生的基本运算能力及等价转化能力．命题法三角函数的概念，同角三角函数关系式，诱导公式的应用典例 (1)已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32B.32 C ．－34D.34(2)若角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝24m ，则cos θ的值为________．(3)已知扇形周长为40，当它的半径r ＝________和圆心角θ＝________分别取何值时，扇形的面积取最大值？(4)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝23，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－2π3＝________.[解析] (1)∵5π4<α<3π2，∴cos α<0，sin α<0且|cos α|<|sin α|， ∴cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32.(2)点P (－3，m )是角θ终边上一点，由三角函数定义可知sin θ＝m3＋m2.又sin θ＝24m ， ∴m3＋m 2＝24m . 又m ≠0，∴m 2＝5， ∴cos θ＝－33＋m2＝－64. (3)设圆心角是θ，半径是r ，则2r ＋rθ＝40.又S ＝12θr 2＝12r (40－2r )＝r (20－r )＝－(r －10)2＋100≤100.当且仅当r ＝10时，S max ＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2. ∴当r ＝10，θ＝2时，扇形的面积最大．(4)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝－π2，∴α－2π3＝－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α，＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－23.[答案] (1)B (2)－64 (3)10 2 (4)－23【解题法】同角关系式的应用技巧和诱导公式使用原则步骤 (1)同角关系式的应用技巧①弦切互化法：主要利用公式tan θ＝sin θcos θ化成正弦、余弦函数．②和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．③巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan 2θ. (2)使用诱导公式的原则和步骤①原则：负化正、大化小、化到锐角为终了．②步骤：利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为0～π2之间角的三角函数，然后求值．1.若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10＋π2sin⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsinπ5sin αcos π5－cos αsinπ5＝sin αcos αcos π5＋sin π5sin αcos αcos π5－sin π5＝2·sinπ5cos π5cos π5＋sinπ52·sin π5cosπ5cos π5－sinπ5＝3sinπ5sinπ5＝3，故选C.2．设a ＝sin33°，b ＝cos55°，c ＝tan35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b答案 C解析 ∵a ＝sin33°，b ＝cos55°＝sin35°，c ＝tan35°＝sin35°cos35°，∴sin35°cos35°>sin35°>sin33°.∴c >b >a ，选C.3．已知扇形的周长是4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是( ) A ．2 B ．1 C.12 D ．3答案 A解析设此扇形的半径为r ，弧长为l ，则2r ＋l ＝4，面积S ＝12rl ＝12r (4－2r )＝－r 2＋2r ＝－(r －1)2＋1，故当r ＝1时S 最大，这时l ＝4－2r ＝2.从而α＝l r ＝21＝2.4．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上答案－8解析若角α终边上任意一点P (x ，y )，|OP |＝r ，则sin α＝y r ，cos α＝xr ，tan α＝y x .P (4，y )是角θ终边上一点，由三角函数的定义知sin θ＝y 16＋y2，又sin θ＝－255， ∴y16＋y2＝－255，且y <0，解得y ＝－8. 5.若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin2αsin 2α＋4cos 2α的最大值为________．答案 12解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴tan α>0，∴sin2αsin 2α＋4cos 2α＝2sin αcos αsin 2α＋4cos 2α＝2tan α4＋tan 2α＝2tan α＋4tan α≤12，当且仅当tan α＝2时取等号．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解 (1)∵m ⊥n ，∴m ·n ＝0. 故22sin x －22cos x ＝0，∴tan x ＝1. (2)∵m 与n 的夹角为π3，∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝22sin x －22cos x 1×1＝12，故sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝12.又x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4，x －π4＝π6，即x ＝5π12，故x 的值为5π12.已知角α的终边在直线2x －y ＝0上，求角α的正弦、余弦和正切值． [错解][错因分析] 直接在直线上取特殊点的方法，导致漏解． [正解] 在直线2x ＋y ＝0上取点(m,2m )(m ≠0) 则r ＝5|m |，当m >0时，r ＝5m ，sin α＝y r ＝2m 5m ＝255，cos α＝x r ＝m 5m ＝55，tan α＝y x ＝2mm ＝2.当m <0时，r ＝－5m ，sin α＝y r ＝2m －5m ＝－255，cos α＝x r ＝m －5m ＝－55，tan α＝y x ＝2mm＝2. [心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：45分钟基础组1．[2016·冀州中学期中]已知角α的终边过点P (－a ，－3a )，a ≠0，则sin α＝( )A.31010或1010B.31010C.1010或－1010D.31010或－31010答案 D解析当a >0时，角α的终边过点(－1，－3)，利用三角函数的定义可得sin α＝－31010；当a <0时，角α的终边过点(1,3)，利用三角函数的定义可得sin α＝31010.故选D.2. [2016·衡水中学仿真]若sin α＋cos α＝713(0<α<π)，则tan α等于( )A ．－13B.125 C ．－125D.13 答案 C解析由sin α＋cos α＝713，两边平方得1＋2sin αcos α＝49169，∴2sin αcos α＝－120169，又2sin αcos α<0,0<α<π. ∴π2<α<π.∴sin α－cos α>0. ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝289169，∴sin α－cos α＝1713.由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝713，sin α－cos α＝1713，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝1213，cos α＝－513，∴tan α＝－125.3．[2016·枣强中学预测]设集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪ x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z }，N＝⎩⎨⎧x ⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ⎭⎬⎫，那么( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅答案 B 解析M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ＝⎩⎨⎧x | x ＝2k4·⎭⎪⎬⎪⎫ 180°＋45°，k ∈Z ，故当集合N 中的k 为偶数时，M ＝N ，当k 为奇数时，在集合M中不存在，故M ⊆N .4．[2016·冀州中学一轮检测]已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边在直线2x －y ＝0上，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－－θ＝( )A ．－2B ．2C ．0 D.23答案 B解析由角θ的终边在直线2x －y ＝0上，可得tan θ＝2，原式＝－cos θ－cos θcos θ－sin θ＝－21－tan θ＝2.5．[2016·武邑中学一轮检测]已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( )C.22 D ．1答案 A解析解法一：由sin α－cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝2，α∈(0，π)，解得α＝3π4，∴tan α＝tan 3π4＝－1.解法二：由sin α－cos α＝2及sin 2α＋cos 2α＝1，得(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝2，即2sin αcos α＝－1<0，故tan α<0，且2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝－1，解得tan α＝－1(正值舍)． 6．[2016·武邑中学月考]已知角x 的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角x的最小正值为( )A.5π6 B.5π3 C.11π6D.2π3答案 B解析 ∵sin 5π6＝12，cos 5π6＝－32，∴角x 的终边经过点⎝⎛⎭⎪⎪⎫12，－32，tan x ＝－3，∴x ＝2k π＋53π，k ∈Z ，∴角x 的最小正值为5π3.7. [2016·衡水中学热身]已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝2f (x )，则tan2x 的值是( )A ．－43B.43 C ．－34D.34答案 C解析因为f (x )＝sin x －cos x ，所以f ′(x )＝cos x ＋sin x ，于是有cos x ＋sin x ＝2(sin x －cos x )，整理得sin x ＝3cos x ，所以tan x ＝3，因此tan2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝2×31－32＝－34，故选C. 8．[2016·衡水二中期中]已知sin(π－α)＝log 8 14，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan(2π－α)的值为( )A ．－255B.255C ．±255D.52答案 B解析 sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－23，又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则cos α＝1－sin 2α＝53，所以tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255.9．[2016·武邑中学预测]在三角形ABC 中，若sin A ＋cos A ＝15，则tan A ＝( )A.34 B ．－43C ．－34D ．±43答案 B解析解法一：因为sin A ＋cos A ＝15，所以(sin A ＋cos A )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，所以1＋2sin A cos A＝125，所以sin A cos A ＝－1225. 又A ∈(0，π)，所以sin A >0，cos A <0.因为sin A ＋cos A ＝15，sin A cos A ＝－1225，所以sin A ，cos A 是一元二次方程x 2－15x －1225＝0的两个根，解方程得sin A ＝45，cos A ＝－35，所以tan A ＝－43.故选B.解法二：由解法一，得sin A >0，cos A <0，又sin A ＋cos A ＝15>0，所以|sin A |>|cos A |，所以π2<A <3π4，所以tan A <－1，故选B.10．[2016·枣强中学模拟]已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝________.答案 0解析原式＝cos αsin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin αsin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|，因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0.11.[2016·武邑中学猜题]设f (α)＝＋α－α－＋α1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α≠－12，则f ⎝⎛⎭⎪⎫－23π6＝________.答案 3解析 ∵f (α)＝－2sin α－cos α＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α＋2sin αsin α＋2sin α＝1tan α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋π6＝1tanπ6＝ 3.能力组12.[2016·冀州中学仿真]已知扇形的面积为3π16，半径为1，则该扇形的圆心角的弧度数是( )A.3π16B.3π8 C.3π4 D.3π2答案 B解析 S 扇＝12|α|r 2＝12|α|×1＝3π16，所以|α|＝3π8.13．[2016·武邑中学预测]已知sin(3π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，则sin αcos α等于( )A ．－25B.25 C.25或－25 D ．－15答案 A解析因为sin(3π－α)＝sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，所以sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2，所以sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－25.14．[2016·衡水二中模拟]已知α∈(0，π)且sin α＋cos α＝m (0<m <1)，则cos α－sin α的值( )A ．为正B ．为负C ．为零D ．为正或负答案 B解析若0<α<π2，如图所示，在单位圆中，P (cos α，sin α)，OM ＝cos α，MP ＝sin α，所以sin α＋cos α＝MP ＋OM >OP ＝1.若α＝π2，则sin α＋cos α＝1.由已知0<m <1，故α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α－sin α<0，故选B.15．[2016·枣强中学期末]△ABC 是锐角三角形，若角θ终边上一点P 的坐标为(sin A －cos B ，cos A －sin C )，则sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值是( )A ．1B ．－1C ．3D ．4答案 B解析因为△ABC 是锐角三角形，所以A ＋B >90°，即A >90°－B ，则sin A >sin(90°－B )＝cos B ，sin A －cos B >0，同理cos A －sin C <0，所以点P 在第四象限，sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|＝－1＋1－1＝－1，故选B.。

三角函数复习(同角三角函数基本关系与诱导公式)

三角函数复习（同角三角函数基本关系与诱导公式）. （2）商数关系：sin αcos α＝tan α.1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1（3）倒数关系：tan α=co 1t∝2.六组诱导公式（1）诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．（2）同角三角函数基本关系式的常用变形：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α； (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； (sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α. 二、课前自测1. tan 等于 ( ) A. √B. √C.√D.√2. 若 α=1，α ./，则 tanα 等于 ( )A.√B.√C. √D. √3. 已知 tanα= 1，且 α 为第二象限角，则 nα 的值为 ( )A. 1B. 11C.1D.14. .1 / n.1/= ．5. 已知 tanα= ，则的值为．三、典型例题1. 已知 α 是三角形的内角，且 nα α=1．Ⅰ求tanα的值；Ⅱ把1用tanα表示出来，并求其值；Ⅲ求：的值；Ⅳ求 nα nα α的值．2. （1） n()() n()=；（2）已知 .α/=√，则 .α/ n.α/的值为．（3）已知 n.1 α/=，则 .α111/=．（4）若 .α/=1，则 n.α/=．3. （1）已知=()()()，则的值构成的集合是()A. *+B. *+C. *+D. *+（2）()() . /()()=．（3）已知α为第三象限角，(α)= . / . / ()()()．Ⅰ化简(α)；Ⅱ若 .α/=1，求(α)的值．同角三角函数基本关系式与诱导公式答案课前自测 1. D 2. C 3. C4. √5. 1典型例题1. （1）解法一：联立 { nα α=1n αα=由得 α=1nα，将其代入，整理得 n α nα = ．因为 α 是三角形的内角，所以 nα=，所以 α=，所以 tanα=．解法二：因为 nα α=1，所以 ( nα α)=.1 /，则 nα α=1，所以 nα α=，所以 ( nα α) = nα α==．因为 nα α= 1且 α ，所以 nα ， α ，所以 nα α ．所以 nα α= ．由 { nα α=1nα α=得 { nα=α=所以 tanα= ．（2）1 === 11因为tanα=，所以α nα=tanαtanα=. /. /=（3）tanα=，则：==. /=．（4）nα nα α==1=1=2. （1）；（2）√（3）（4）. 13. （1）C 【解析】当为偶数时，==；当为奇数时，==．所以的值构成的集合是*+．（2）.【解析】原式=0 ./1 ( ), ( )-=./( ) =( ) ===（3）(α)= . / ./ ( ) ( ) ( )=( ) ( )( )= α（4）因为 .α/=1，所以 nα=1，从而 nα= 1．又 α 为第三象限角，所以 α= √ n α= √，所以 (α)= √．同角三角函数基本关系式与诱导公式课堂练习与作业一、选择题（共7小题；共35分） 1. n 的值为 ( ) A. 1B. √C.D. √2. 已知 ./=√，且，则 tan = ( )A. √B. √C. √D. √3. 若 α 是第三象限角，且 tanα=1，则 α= ( )A. √11B.√11C.√11D. √114. 在中，若 tan = 则 = ( )A. √B. √C. √D. √5. 已知 n ( )= n./ 则 n = ( )A.B.C. 或D. 16. 已知 (α)=( ) ( )( )，则 .1/ 的值为 ( )A. 1B. 1C. 1D. 17. 已知函数 ( )= n ( α) ( )，且 ( )= ，则 ( ) 的值为 ( )A. B. C. D.二、填空题（共1小题；共5分）8. 已知α为锐角，且 tan(α) . /=，tan(α) n()=，则 nα的值是．三、解答题（共2小题；共26分）9. 已知 n(α)= n.α/，求下列各式的值：（1）；（2） nα nα α．10. 已知 n(α)(α)=√.α /，求下列各式的值．（1） nα α；（2） n.α/.α/．答案第一部分1. A【解析】 n = n ( ) ( )= n ( )= n =1 1=12. D 【解析】 ./= n =√，又，则 =1，所以 tan =√ ．3. C【解析】因为 α 是第三象限角，且 tanα= =1， n α α= ，所以 α= √1 1．4. B【解析】在中，当 tan = 时， ./，所以 =√1=√= √． 5. B【解析】由已知等式得 n = ，所以 n = = ，所以 =1，故 n = =． 6. C【解析】因为 (α)== α，所以 . 1/= .1/= ./== 1．7. c【解析】因为 ( )= n ( α) ( )= nα = ，所以( )= n ( α) ( )= n (α) ( )=第二部分 8. √1 1【解析】由已知可得 tanα n = ，tanα n = ，解得 tanα= ，又 α 为锐角，故 nα= √11．第三部分9. （1）解法一：由 n ( α)= n.α/ 得 tanα= ．原式=== 1．解法二：由已知得 nα= α．原式==1．（2）解法一：原式==1=．解法二：原式===．10. （1）由 n(α)(α)=√，得 nα α=√．将两边平方，得 nα α=，故 nα α=．又α，所以 nα， α．( nα α)= nα α= . /=1 ，所以 nα α=．（2） n.α/.α/=α nα=( α nα)(α α nα nα)= .1/=。

三角函数基本关系式及诱导公式

＝
1．sin585° 的值为( 2 A．－ 2 2 B. 2
) 3 C．－ 2 3 D. 2
解析：sin585° ＝sin(360° ＋225° ) 2 ＝sin(180° ＋45° )＝－ . 2 5 2．已知 cos(α－π)＝－13，且 α 是第四象限的角，则 sin(－2π＋α)
12 12 5 B.13 C．± D. 13 12 5 5 解析：由 cos(α－π)＝－得，cosα＝，而 α 为第四象限角， 13 13 ＝( )
1 1 解：由 sinα＋cosα＝两边平方，得 1＋2sinαcosα＝， 5 25 24 ∴2sinαcosα＝－ <0. 25 π ∵α 是三角形内角，sinα>0，从而 cosα<0，∴ <α<π. 2 24 49 (sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋＝， 25 25
sin( ) sin
( ) cos
诱导公式四：
tan( ) tan
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
诱导公式(填表)：α∈R，有 2kπ＋α π－α π＋α
2π－α
－α
热点之二
诱导公式的应用
1．解决给角求值问题的一般步骤为：任意负角的用公式一任意正角的 0～2π的角 ――→ ,用公式一三角函数或公式三三角函数的三角函数用公式二 ――→ 锐角三角函数或公式四 2．解决条件求值问题时，要注意发现所给值式和被求值式的特点，寻找它们之间的内在联系，特别是角之间的联系，然后恰当地选择诱导公式求解．
π － 2
正弦余弦正切
sinα cosα tanα

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