三角函数角的概念PPT

∴- 是第三象限角, - 是第一象限角, + 是第四象限角.
解法2 ∵角 - 的终边与角 的终边关于 x 轴对称,
∴由 是第二象限的角知 - 是第三象限的角;
y
y
T
P P
A
o MA x M o
x
T
注:
已知角
所在象限,
应熟练地确定
2
所在的象限如下表:
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
2
第一或第三象限
第二或第四象限
y
y
y
y
区
域
ox
ox o x o x
的 则半2角1 ,如是2果2第,用一23或,1,第24三2分, 象布3,限如4角图分(其:别即余表第略示一)第, 象一限、角二、三4 、23四y22象限1 角,
>1,
又
(x+y)2 x2+y2
=
x2+y2+2xy x2+y2
≤
x2+y2+x2+y2 x2+y2
=2,
∴1<
(x+y)2 x2+y2
≤2.
∴1<
(x+y)2 x2+y2 ≤
2.
∴1<sin+cos≤ 2 .
5.求下列函数的定义域: (1)y=tanx+cotx; (2)y= sinx +tanx.
则 r=
x2+2 , 又 cos =
3 6
x,
则
x x2+2
=
3 6
x,
解得 x=
10.
当 x=
10 时, sin=-
6 6
,
cot=-
5,
∴ sin+cot=- 6
5+ 6
6
;
当 x=-
10 时,
sin=-
6 6
,
cot=
5,
∴ sin+cot= 6
56
6
.
4.已知 为锐角, 证明: 1<sin+cos≤ 2 .
x 轴: =k180º(k)(kZ);
y
轴:
=k180º+90º(k+
2
)(kZ);
坐标轴:
=k90º(
k
2
)(kZ).
4.角的度量
(1)角度制
一个圆周的
1 360
的弧所对的圆心角叫做
1
度(1)的角.
(2)弧度制
等于半径的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度(1 rad)的角.
(3)弧度与角度的相互换算
9 4
.
2.判断 =-5,
解: ∵0<2-5<
2,=-∴1-93593是是第第一几象象限限的的角角. .
∵212-
19393≈1.68(
2
,
),
∴- 19393是第二象限的角.
3.角 终边经过点 P(x, cot 的值.
2 )(x0), 且 cos =
3 6
x,
求 sin+
解: 设 |OP|=r,
解:
(1)使
tanx
有意义的
x
的取值集合是
{x
|
xk+
2
,
kZ},
使 cotx 有意义的 x 的取值集合是 {x | xk, kZ},
故所求函数的定义域是:
{x
|
xk+
2
,
kZ}∩{x
|
xk,
kZ}
={x
|
x
k
2
,
kZ};
(2)要使原函数有意义, 则
sinx≥0,
xk+
2
,
kZ.
即
2k≤x≤2k+, kZ,
熟记右图, 解有关问题就方便多了.
2
1 o
2
4 x
2 2 3 2
22
典型例题
1.写出与 -1035º终边相同的角, 并指出其中属于 [-4, 4] 的
角.
解: ∵-1035º=- 3360º+45º,
∴与 -1035º终边相同的角为 k360º+45º(kZ).
用令 ∴弧其-4度中≤制属2表于k示+[-4上4≤面,44的(]k角的Z为角) 得 是2kk-+=14-542(,,k--1Z,740),, ,1,4 ,
xk+
2
,
kZ.
故原函数定义域为{x
|
2k≤x≤2k+,
且
x2k+
2
,
kZ}.
6.设 是第二象限的角, 试问: -, -, + 分别是第几象限
的角?
解:
∵∴-22k是k+第-3二2<象<-限+<-的2<k2角k-, +∴22,2k,kkZ+,Z2-.<2k<<2k-+<,-k2kZ+.
2
,
kZ,
第二象限角: k360º+90º<<k360º+180º, kZ;
(2k+
2
<<2k+,
kZ)
第三象限角: k360º+180º<<k360º+270º, kZ;
(2k+<<2k+
3
2
,
kZ)
第四象限角: k360º+270º<<k360º+360º, kZ.
或 k360º-90º<<k360º, kZ.
角的三要素: 顶点、始边、终边.
2.角的分类 (1)正角、负角、零角；
(2)象限角、象限界角(象间角、轴线角)
3.几类特殊角的表示方法
(1)与 角终边相同的角的集合:
{ | =k·360+, k∈Z},或 { | =2k+, k∈Z}.
(2)象限角、象限界角(轴线角)
①象限角
第一象限角: k(23k60<º<<<2kk3+602º,+k90ºZ, )kZ;
r x
;
csc=
r y;
2.三角函数的符号 y
sin csc
+
o
tan
cos
x
cot sec
3.三角函数线
定义 与单位圆有 关的有向线段 MP、 OM、AT 分别叫做角
的正弦线、余弦线、
正切线.
三角函数正值歌
正弦一、二全是正, 余弦偏在一、四中; 正切、余切却不然, 斜插一、三两象限.
或 一全二正弦, 三切四余弦.
(2k+
3
2
<<2k+2,
kZ
或
2k-
2
<<2k,
kZ
)
②轴线角
x 轴的非负半轴: =k360º(2k)(kZ);
x 轴的非正半轴: =k360º+180º(2k+)(kZ);
y
轴的非负半轴:
=k360º+90º(2k+
2
)(kZ);
y 轴的非正半轴: =k360º+270º(2k+ 32) 或
=k360º-90º(2k-2 )(kZ);
1 rad =(180)≈57.30 = 5718´.
1=
180
rad≈0.01745
rad.
(4)扇形的弧长公式
l =r||
扇形的面积公式
S=
1 2
l
·r
=
1 2
r2
·||
二、任意角的三角函数
1.定义
y
r
o
.P(x, y) x
sin=
y r
;
cos=
x r
;
tan=
y x
;
cot=
x y
;
sec=
一、角的基本概念
1.角的概念 角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到
另一个位置所成的图形. 旋转开始的射线叫角的始边, 旋转终止位置的射线叫角的
终边, 射线的端点叫角的顶点. 按逆时针方向旋转形成的角叫正角, 按顺时针方向旋转形
成的角ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ负角, 如果一条射线没作任何旋转, 称它形成了一个 零角.
证: 由已知可在角 的终边上任取一点 P(x, y)(x>0, y>0),
则 sin=
y x2+y2
, cos=
x x2+y2
.
∵x>0, y>0,
∴ sin+cos=
x+y x2+y2
=
(x+y)2 x2+y2
.
∵
(x+y)2 x2+y2
=
x2+y2+2xy x2+y2 =1+
2xy x2+y2