第十七章 反比例函数
第十七章 反比例函数(经典总结)
第十七章 反比例函数：1、反比例函数y=k x 中的k x 是一个分式,k 取≠0的任何实数。
y=k x也可写成y=kx -1（常见根据指数求字母的值），k=xy （判断点是否满足函数关系式），1y k x=⋅。
2、判断是否是反比例函数：含有2个未知数，并且两个未知数的比值一定，即商一定。
3、自变量x ≠0,函数y ≠0，函数与x 轴、y 轴永远没有交点。
4、反比例函数性质如下表：k 的取值 图像所在象限 函数的增减性o k > 一、三象限 在每个象限内，y 值随x 的增大而减小 o k <二、四象限在每个象限内，y 值随x 的增大而增大5、从图像上任找一点向x 轴或者y 轴做垂线，同时向原点引直线，得到的直角三角形的面积=k2，从图像上任找一点向x 轴或者y 轴做垂线，，从图像上任找一点向x 轴和y 轴做垂线，得到的矩形面积是k。
经典例题：【例1】如果函数222-+=k k kx y 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么k 的值是多少？（考点：反比例函数的表达式的变式的指数，反比例函数的图像）【例2】在反比例函数xy 1-=的图像上有三点(1x ，)1y ，(2x ，)2y ，(3x ，)3y 。
若3210x x x >>>则下列各式正确的是（ ）（可直接用图像法，还可取特殊值法。
）A ．213y y y >>B ．123y y y >>C ．321y y y >>D ．231y y y >>【例3】如果一次函数()的图像与反比例函数xmn y m n mx y -=≠+=30相交于点（221，），那么该直线与双曲线的另一个交点为（ ）(一次函数和反比例函数相结合)【例4】如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数xmy =的图象交于A （－2，1）、B （1，n ） 两点：（1）求反比例函数和一次函数的解析式。
第十七章反比例函数教案
17．1．1反比例函数的意义(1课时)教学目标：知识与技能：1. 使学生理解并掌握反比例函数的概念2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数3．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式过程与方法：1.让学生经历抽象反比例函数概念的进程，理解反比例函数的意义。
2.让学生经历从实际问题中抽象出反比例函数模型的过程，体会反比例函数来源于实际，并能求出其函数解析式。
情感、态度与价值观：1、经历反比例函数形成的过程，使学生体验函数是描述变量之间对应关系的重要数学模型。
2、通过学习反比例函数，培养学生的观察、推理、分析能力和合作交流的意识，体验数形结合的数学思想，认识反比例函数的应用价值。
教学重难点：1．重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式2．难点：理解反比例函数的概念课程类型:新授课教学方法：观察—分析—归纳、类比、讲练结合教具准备：小黑板、三角尺学情分析：教学教程：一、创设情境，导入新课问题：下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数关系式表示？这些函数有什么共同特点？(1)京沪线铁路全程为1463km ，乘坐某次列车所用时间t （单位:h ）随该列车平均速度v （单位:km/h ）的变化而变化；（2）某住宅小区要种植一个面积为1000m 2的矩形草坪，草坪的长为y 随宽x 的变化；（3）已知北京市的总面积为1.68×104平方千米，人均占有土地面积S （单位：平方千米/人）随全市人口n （单位:人）的变化而变化.分析及解答：（1）vt 1463=（2）x y 1000= （3）ns 41068.1⨯= 其中v 是自变量，t 是v 的函数；x 是自变量，y 是x 的函数；n 是自变量，s 是n 的函数；上面的函数关系式，都具有xk y =的形式，其中k 是常数。
二、探究新知反比例函数的概念：形如x k y =（k 为常数，0≠k ）的函数称为反比例函数。
其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数。
第十七章反比例函数全章教案
第十七章 反比例函数17．1．1反比例函数的意义 一、教学目标1．使学生理解并掌握反比例函数的概念2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式 3．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想 二、重、难点1．重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式 2．难点：理解反比例函数的概念 三、例题的意图分析教材第39页的思考题是为引入反比例函数的概念而设置的，目的是让学生从实际问题出发，探索其中的数量关系和变化规律，通过观察、讨论、归纳，最后得出反比例函数的概念，体会函数的模型思想。
教材第40页的例1是一道用待定系数法求反比例函数解析式的题，此题的目的一是要加深学生对反比例函数概念的理解，掌握求函数解析式的方法；二是让学生进一步体会函数所蕴含的“变化与对应”的思想，特别是函数与自变量之间的单值对应关系。
补充例1、例2都是常见的题型，能帮助学生更好地理解反比例函数的概念。
补充例3是一道综合题，此题是用待定系数法确定由两个函数组合而成的新的函数关系式，有一定难度，但能提高学生分析、解决问题的能力。
四、课堂引入1．回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的？2．体育课上，老师测试了百米赛跑，那么，时间与平均速度的关系是怎样的？ 五、例习题分析例1．见教材P40分析：因为y 是x 的反比例函数，所以先设xky =，再把x ＝2和y ＝6代入上式求出常数k ，即利用了待定系数法确定函数解析式。
例1．（补充）下列等式中，哪些是反比例函数 （1）3xy = （2）x y 2-= （3）xy ＝21 （4）25+=x y （5）x y 23-=（6）31+=xy （7）y ＝x －4 分析：根据反比例函数的定义，关键看上面各式能否改写成xky =（k 为常数，k≠0）的形式，这里（1）、（7）是整式，（4）的分母不是只单独含x ，（6）改写后是xxy 31+=，分子不是常数，只有（2）、（3）、（5）能写成定义的形式例2．（补充）当m 取什么值时，函数23)2(m x m y --=是反比例函数？分析：反比例函数xk y =（k≠0）的另一种表达式是1-=kx y （k≠0），后一种写法中x 的次数是－1，因此m 的取值必须满足两个条件，即m －2≠0且3－m 2＝－1，特别注意不要遗漏k≠0这一条件，也要防止出现3－m 2＝1的错误。
第十七章反比例函数全章小结
第十七章反比例函数全章小结从容说课本章的基础知识总结：1．反比例函数的概念：如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=kx（k•为常数且k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数，反比例函数的自变量x不为零．2．反比例函数的图象和性质:（1）反比例函数y=kx的图象是双曲线．（2）当k>0时双曲线位于第一、三象限；•当k<0时，双曲线位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．3．反比例函数的应用：列反比例函数关系式，并用反比例函数的性质解决生活中特别是物理学中的问题．课程标准知识和能力总结．1．结合具体情况领会反比例函数作为一种数学模型的意义．2．会画反比例函数的图象，从函数图象中敏锐地获取函数的相关信息．3．逐步提高我们的观察、归纳、分析问题的能力，•体验数形结合的数学思想方法．4．我们要善于用函数的观点处理实际问题．教学时，教师应关注学生运用自己的语言回答有关问题的过程，关注学生举例说明对有关知识的理解；通过一些问题向学生强调利用图象了解函数的性质，并进一步发展从图象中获取信息的能力．教学时间第8课时三维目标一、知识与技能1．反比例函数的图象和性质．2．反比例函数的应用：解决实际问题，学科内部的应用．二、过程与方法1．反思在具体问题中探索数量关系和变化规律的过程，•理解反比例函数的概念，领会反比例函数作为一种数学模型的意义．2．能画出反比例函数的图象，•并根据图象和解析式掌握反比例函数的主要性质．3．培养学生观察、分析、归纳的能力，感悟数形结合的数学思想方法．4．能根据所给的条件，确定反比例函数，体会函数在实际问题中的应用价值．三、情感、态度与价值观1．面对困难，培养学生克服困难的勇气和战胜困难的信心．2．培养学生的合作交流意识和运用数学问题解决实际问题的意识，•认识数学的实用性．教学重点反比例函数的概念、图象和主要性质．教学难点对反比例函数意义的理解．教具准备教学投影仪．教学过程一、创设问题情境，引入新课问题1：你能举出现实生活中有关反函数的几个例子吗？问题2：说一说函数y=2x和y=-2x的图象的联系和区别．（先由学生小组交流本单元的小结，再进行小组汇报，教师在旁适时引导，提问，鼓励．学生分四人小组合作交流，归纳出本单元的知识体系，以及对每一个知识块的认识，由上面两个问题作牵引，完成本单元的知识体系）．教师应重点关注：①关注学生的复习过程，观察学生智力、情感的达标水平．②对函数概念及图象、性质的理解．③关注数学活动对学生发展的影响，学生能否从函数图象中敏锐地获取函数的相关信息，是否善于对实际问题进行分析，并灵活运用所学知识解决问题．二、单元知识结构图三、巩固、延伸、提高做一做：1．已知y=y 1+y 2，y 1与x 成反比例，y 2与x 2成正比例，并且x=2时，y=14；x=3时，y=2813，•求y 与x 的函数表达式．分析：依据正、反比例函数的定义，利用待定系数法求得其比例系数，•从而求出y 与x 之间的函数关系式．解：设y 1=1k x ，y 2=k 2x 2，则y=1k x +k 2x 2，将（2，14），（3，2813）代入上式 得121122414421392833k k k k k k ⎧+=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪+=⎪⎩解得∴函数关系式为y=4x+3x 2． 点评：（1）一个反比例函数和一个正比例函数相加，构成一个新的函数，从形式上较为复杂，但是用待定系数法求系的方法都一样． （2）要将k 1，k 2设成不同的两个参数． 2．若反比例函数y=kx（k ≠0），当x>0，y 随x 的增大而增大，则一次函数y=kx-k 的图象经过第几象限（ ）A ．一，二，三B ．一，二，四C ．一，三，四D ．二，三，四 解：∵x>0时，y 随x 的增大而增大． ∴k<0，∴一次函数y=kx-k 的图象过一，二，四故选B ． 点评：要判断y=kx-k 的位置，需知道k 的符号，由已知y=kx，当x>0时，y 随x•的增大而增大，所以k<0．3．如下图，在同一直角坐标系中，正比例函数y=（m-1）x 与反比例函数y=4mx的图象的大体位置不可能是（ ）解析：当m-1>0时m>1时，4m>0，此时直线过一、三象限．双曲线位于第一、三象限，A 可能，D 不可能；当m-1<0时，即m<1，分两种情况：0<m<1或m<0．当m<0时，直线过二、四象限，•双曲线位于二、四象限；当0<m<1时，直线过二、四象限，此时，4m>0，双曲线在第一、三象限，所以B 、C 都有可能，故不可能的是D ．点评：要判断直线和双曲线的位置关系，借助于它们的字母系数的符号，在这里，要判断m-1与4m 的符号，进而选择合理答案，因不确定其符号，•所以分两种情况进行讨论，当m-1>0时，4m>0，故A 对，D 不对；当m-1<0又有两种情况：0<m<1或m<0，•而前者又4m>0，故B 对，后者又4m<0，故C 对．4．（1）若点（x 1，y 1），（x 2，y 2），（x 3，y 3）都是反比例函数y=-1x的图象上的点，并且x 1<0<x 2<x 3，则下列各式中正确的是（ ）A ．y 1<y 2<y 3B ．y 2<y 3<y 1C ．y 3<y 2<y 1D ．y 1<y 3<y 2 （2）已知反比例函数y=kx（k<0）的图象上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且x 1<x 2，则y 1-y 2值是（ ）A ．正数B ．负数C ．非正数D ．不能确定（3）如图，正比例函数y=kx （k>0），与反比例函数y=1x的图象相交于A 、C 两点，•过A 作x 轴垂线交x 轴于B ，连接BC ，若△ABC 的面积为S ，则（ ）A ．S=1B ．S=2C ．S=3D ．S 的值不确定解：（1）方法一：用图象解法，作出y=-1x的草图，即得三点的大致位置，观察图象，直接得到y 2<y 3<y 1，故选B ．方法二：将三个点的坐标直接代入反比例函数表达式中， 得y 1=-23123111,,y y x x x =-=-，由于x 1<0<x 2<x 3，所以y 2<y 3<y 1，故选B ． （2）∵k<0，∴图象在二、四象限内，y 随x 的增大而增大，当AB •是同一象限内的点时， ∵x 1<x 2，∴y 1<y 2，∴y 1-y 2<0． 当A 、B 不是同一象限内的点时， ∵x 1<x 2，∴A 在第二象限，B 在第四象限． ∴y 1>y 2，∴y 1-y 2>0． ∴选D ．（3）∴A 和C 关于O 对称，∴AO=CO ，设A （x 0，y 0），则y 0=01x ，∴x 0·y 0=1．∴S △AOB =12x 0y 0=12． ∵△AOB 和△BOC 若分别把AO 、CO 看作底，那么底上的高相等， ∴S △AOB =S △BOC ．∴S △ABC =1，故选A ．点评：（1）因反比例函数的表达式具体，所以其图象具体，因x 1<0<x 2<x 3，•所以三点（x 1，y 1），（x 2，y 2），（x 3，y 3）的前后位置可确定于是可得y 1，y 2，y 3的关系，•也可直接代入表达式内和实数大小比较方法判定；（2）由A 、B 两点的横坐标没有和O 作比较，所以A 、B •两点的位置可分为两种情况讨论； （3）因△AOB 的面积易求，要求△ACB 的面积只需找到△AOB 和△BOC 的关系，•发现AO=CO ，而且高相同，所以面积相等．5．（2005年山西省实验区初中毕业生学业考试）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p （kPa ）是气体体积V （m 3）的反比例函数，•其图象如下图所示．当气球内的气压大于140kPa 时，气球将爆炸，为了完全起见，气体体积应（• ）A ．不大于2435m 3B ．不小于2435m 3C．不大于2437m 3 D ．不小于2437m 3解：因为当温度不变时，气球内气体的气压p （kPa ）是气体体积V （m 3）的反比例函数． 设p=kV因为函数图象过A （0.8，120），代入p=kV中得120=0.8k所以k=96,即p=96V． ∵96>0，所以p 随V 的增大而减小，当p=140kPa 时，V=96140=2435．所以为了完全起见，•气球内的气压应不大于140kPa ，气体的体积应不小于2435m 3． 或根据图象回答，所以应选B ．板书设计活动与探究已知反比例函数y=2mx和一次函数y=-2x-1，其中一次函数的图象经过（a ，b ），（a+1，b+m ）两点． （1）求反比例函数的解析式；（2）如右图所示，已知点A 在第二象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A 的坐标；（3）利用（2）的结果，试判断在x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形，若存在，把符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．解：（1）依题意可得212(1)1b a b m a =--⎧⎨+=-+-⎩解得m=-2，∴反比例函数的解析式为y=-1x， （2）由21,1,y x y x =--⎧⎪⎨=-⎪⎩解得121211,21, 2.x x y y ⎧=-=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=-⎩ 经检验121211,21, 2.x x y y ⎧=-=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=-⎩ 都是原方程组的解． ∵A 点在第二象限，∴A 点坐标为（-1，1）．（3），OA 与x 轴所夹锐角为45°．①当OA 为腰时，由OA=OP ，得P 1，0），P 2（，0），由OA=AP ，得P 3（-2，0）． ②当OA 为底时，得P 4（-1，0）．∴这样的点有4，0），（，0），（-2，0），（-1，0）．习题详题 复习题17 1．（1）a=24150;(2)h h h S=2．>，-；>，=3．（1）一，三，减小；（2）二，四，增大 4．（B ）5．由题意得k-1>0，所以k>1 6．p=F S设A 、B 、C 三个面的面积分别为4k ，2k ，k （k>0）由题意得S=2k 时，p=a 得F=2ka ，•所以p=2kaS所以当S=4k 时，p=242ka ak =帕； 当S=k 时，p=2kaS=2a （帕）． 7．（1）d=4210t⨯（2）当t=10时，d=421010⨯（天）约为421010⨯=2×103（天）则这个电视机大约可使用2×103（天）8．两个不同的反比例函数不会相交，设这两个反比例函数为y=1k x ，y=2kx（k 1，k 2为常数且k 1≠k 2）．若有交点，则12,k y xk y x⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩有解，但此方程组无解． 所以不同的反比例函数不会相交．9．正比例函数y=k 1x 与反比例函数y=2kx无交点，则12y k k y x =⎧⎪⎨=⎪⎩把①代入②得k 1x=2k x，k 1x 2=k 2，∵k 1≠0， ∴x 2=21k x 若x 无解，则<0，即R 1和R 2异号，所以R 1R 2<0 10．（1）→（B ）；（2）→（A ）；（3）→（C ）；（4）→（D ）11．（1）V=610t（2）当V=104立方米时，代入V=610t 得t=641010=102（天）．（3）当公司以104立方米/天，工作40天后，共运送土方40×104=4×105立方米，•剩下106-4×105=6×105（立方米）土石方在50天运送完，则每天需送561050=12 000（立方米）．而每辆卡车一天可运送土石方104÷100=100（立方米），所以每天运送12 000立方米的土石方需12000100=120辆车，而现在有100辆，公司至少需要再增加20•辆卡车才能按时完成任务．。
初二下数学第十七章(反比例函数)教案
初二下数学第十七章（反比率函数）教课设计17、1、 1 反比率函数的意义【一】教课目的1、使学生理解并掌握反比率函数的看法2、能判断一个给定的函数能否为反比率函数，并会用待定系数法求函数分析式3、能依据实质问题中的条件确立反比率函数的分析式，领会函数的模型思想【二】重、难点1、要点：理解反比率函数的看法，能依据条件写出函数分析式2、难点：理解反比率函数的看法3、难点的打破方法：〔1〕在引入反比率函数的看法时，可适合复习一下第 11 章的正比率函数、一次函数等有关知识，这样以旧带新，互相对照，能加深对反比率函数看法的理解〔 2〕注意指引学生对反比率函数看法的理解，看形式y k，等号左侧是函数y，等x号右侧是一个分式，自变量 x 在分母上，且 x 的指数是 1，分子是不为量 x 的取值范围，因为 x 在分母上，故取 x≠0 的一确实数；看函数 y≠0，且 x≠ 0，所以函数值 y 也不行能为 0。
解说时可比较正比率函数两者分析式的同样点和不一样点。
0 的常数 k；看自变的取值范围，因为 k y＝kx〔 k≠0〕，比较〔 3〕y k〔k≠0〕还可以够写成y kx1〔k≠0〕或xy＝k〔k≠0〕的形式x【三】例题的企图剖析教材第 46 页的思虑题是为引入反比率函数的看法而设置的，目的是让学生从实质问题出发，研究此中的数目关系和变化规律，经过察看、议论、概括，最后得出反比率函数的概念，领会函数的模型思想。
教材第 47 页的例 1 是一道用待定系数法求反比率函数分析式的题，本题的目的一是要加深学生对反比率函数看法的理解，掌握求函数分析式的方法；二是让学生进一步领会函数所包含的“变化与对应”的思想，特别是函数与自变量之间的单值对应关系。
增补例 1、例 2 都是常有的题型，能帮助学生更好地理解反比率函数的看法。
增补例3是一道综合题，本题是用待定系数法确立由两个函数组合而成的新的函数关系式，有必定难度，但能提升学生剖析、解决问题的能力。
人教版第17章反比例函数精品课件-6.ppt
解:(1)根据电学知识,当U=220时,有P=2202/R
即输出功率P是电阻R的反比例函数,函数解析式为 P=2202/R (2)从①可以看出,电阻越大则功率越小. 把电阻的最小值R=110代入式,得到输出功率的最大值 P=2202/110=440 把电阻的最大值R=220代入①式,得到输出功率的最小值 P=2202/220=220 ①
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实际问题与反比例函数
数学应用
用电器的输出功率P(瓦)、两端的电压Ｕ（伏） 及用电器的电阻Ｒ（欧姆）有如下关系:PR=U２这 个关系也可写为
Ｕ２ Ｕ２ P= ─── 或Ｒ＝ ── Ｐ Ｒ
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实际问题与反比例函数
课堂思考
思考:一个圆台形物体的上底面积是下底面积的 2/3，如图放在桌面的压强是200Pa，若翻过来放， 对桌面的压强是多少？
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实际问题与反比例函数
课堂小结
引导学生回顾本节课的内容.结合课堂上的板 书,由学生概述本节课的关键知识.
R1
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实际问题与反比例函数
应用练习
1.某校科技小组进行野外考察,途中遇到一片十几米宽的 烂泥湿地,为了安全、迅速通过湿地,他们沿着前进路线铺 垫了若干木板,构筑成一条临时通道,从而顺利完成了任务.
(1)你能理解这样做的道理吗？ (2)若人和木板对湿地地面的压力合计600牛,那么如何用 含S(木板面积)的代数式表示P(压强)？ (3)当木板面积S为0.2m2时,压强P多大？ (4)当压强是6000Pa时,木板面积多大？ 压强P=受力面上的压力/受力面积
第十七章反比例函数教案全章
第十七章反比例函数教案全章-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第十七章 反比例函数17．1．1反比例函数的意义一、教学目标1．使学生理解并掌握反比例函数的概念2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式3．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想二、重、难点1．重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式2．难点：理解反比例函数的概念3．难点的突破方法：（1）在引入反比例函数的概念时，可适当复习一下第11章的正比例函数、一次函数等相关知识，这样以旧带新，相互对比，能加深对反比例函数概念的理解（2）注意引导学生对反比例函数概念的理解，看形式xk y =，等号左边是函数y ，等号右边是一个分式，自变量x 在分母上，且x 的指数是1，分子是不为0的常数k ；看自变量x 的取值范围，由于x 在分母上，故取x ≠0的一切实数；看函数y 的取值范围，因为k ≠0，且x ≠0，所以函数值y 也不可能为0。
讲解时可对照正比例函数y ＝kx （k ≠0），比较二者解析式的相同点和不同点。
（3）xk y =（k ≠0）还可以写成1-=kx y （k ≠0）或xy ＝k （k ≠0）的形式 三、课堂引入1．回忆一下什么是正比例函数、一次函数它们的一般形式是怎样的2．体育课上，老师测试了百米赛跑，那么，时间与平均速度的关系是怎样的？四、例习题分析例1．见教材P47分析：因为y 是x 的反比例函数，所以先设xk y =，再把x ＝2和y ＝6代入上式求出常数k ，即利用了待定系数法确定函数解析式。
例1．（补充）下列等式中，哪些是反比例函数（1）3x y =（2）x y 2-= （3）xy ＝21 （4）25+=x y （5）x y 23-= （6）31+=xy （7）y ＝x －4 分析：根据反比例函数的定义，关键看上面各式能否改写成x k y =（k 为常数，k ≠0）的形式，这里（1）、（7）是整式，（4）的分母不是只单独含x ，（6）改写后是xx y 31+=，分子不是常数，只有（2）、（3）、（5）能写成定义的形式例2．（补充）当m 取什么值时，函数23)2(m x m y --=是反比例函数？ 分析：反比例函数x k y =（k ≠0）的另一种表达式是1-=kx y （k ≠0），后一种写法中x 的次数是－1，因此m 的取值必须满足两个条件，即m －2≠0且3－m 2＝－1，特别注意不要遗漏k ≠0这一条件，也要防止出现3－m 2＝1的错误。
第十七章 反比例函数总结和典型例题
如图1，设点P（a，b）是双曲线 上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，
则矩形PBOA的面积是 （三角形PAO和三角形PBO的面积都是 ）．
如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为 ．
图1图2
5．说明：
①求B点坐标和k的值；
②当 时，求点P的坐标；
③写出S关于m的函数关系式．
6．综合应用
（1）若函数y=k1x（k1≠0）和函数 （k2≠0）在同一坐标系内的图象没有公共点，则k1和k2（）．
A．互为倒数B．符号相同C．绝对值相等D．符号相反
（2）一次函数 的图象与反比例数 的图象交于A、B两点：A（ ，1），
3．函数的增减性
（1）在反比例函数 的图象上有两点 ， ，且 ，则 的值为（）．
A．正数B．负数C．非正数D．非负数
（2）在函数 （a为常数）的图象上有三个点 ， ， ，则函数值 、 、 的大小关系是（）．
A． ＜ ＜ B． ＜ ＜ C． ＜ ＜ D． ＜ ＜
（3）下列四个函数中：① ；② ；③ ；④ ．y随x的增大而减小的函数有（）．
第十七章反比例函数
：
（一）反比例函数的概念
1． （ ）可以写成 （ ）的形式，注意自变量x的指数为 ，
在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数 这一限制条件；
2． （ ）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解
析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；
3．反比例函数 的自变量 ，故函数图象与x轴、y轴无交点．
（5）不解方程，判断下列方程解的个数．
① ；② ．
选择（考虑问题要全面）：
反比例函数小结
第十七章反比例函数小结昆明市实验中学初二（５）班陈璇Ⅰ、本章知识结构框图：Ⅱ、本章知识点：１、反比例函数的概念：一般地，形如ｙ＝（ｋ是常数，ｋ≠０）的函数叫做反比例函数。
注意：（１）反比例函数ｙ＝（ｋ≠0）的左边是函数y，右边是分母为自变量x的分式。
也就是说，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式。
（２）反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为０的常数，因此可以写成ｙ＝ｋｘ或ｘｙ＝ｋ的形式。
（３）反比例函数中，两个变量成反比例关系。
（４）反比例函数ｙ＝（ｋ≠0）的自变量ｘ是不等于０的任意实数。
２、反比例函数的图象：反比例函数ｙ＝（ｋ≠0）的图象是双曲线。
注意：（１）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的两个分支时断开的。
（２）当ｋ＞０时，两个分支位于第一、三象限；当ｋ＜０时，两个分支位于第二、四象限。
（３）反比例函数ｙ＝（ｋ≠0）的图象的两个分支关于原点对称。
（４）反比例函数的图象与ｘ轴、ｙ轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交，这是因为ｘ≠０，ｙ≠０。
３、反比例函数解析式的确定：因为反比例函数的解析式ｙ＝（ｋ≠０）中，只有一个系数ｋ，确定了ｋ的值，也就确定了反比例函数，因此只需给出一组ｘ、ｙ的对应值或图象上一点的坐标，利用待定系数法，即可确定反比例函数的解析式。
４、反比例函数的性质：反比例函数的性质与ｋ的符号有关，反比例函数的性质如下表所示：注意：（１）反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由比例系数ｋ的符号决定的。
反过来，有双曲线所在的位置或函数的增减性，也可以判断出ｋ的符号。
（２）反比例函数的增减性，只能在每个象限内讨论；当ｋ＞０时，在每一象限（第一、三象限）ｙ随ｘ的增大而减小，但不能笼统地说：当ｋ＞０时，ｙ随ｘ的增大而减小，同样，当ｋ＜０时，在每一象限（第二、四象限）ｙ随ｘ的增大而增大，也不能笼统地说：当ｋ＜０时，ｙ随ｘ的增大而增大。
５、反比例函数ｙ＝（ｋ≠０）中比例系数ｋ的几何意义：反比例函数中比例系数ｋ的几何意义：如图所示，过双曲线上任意一点Ｐ作ｘ轴、ｙ轴的垂涎ＰＮ、ＰＭ，所得矩形ＰＭＯＮ的面积Ｓ＝ＰＭ·ＰＮ＝︱ｘ︱·︱ｙ︱＝︱ｘｙ︱＝︱ｋ︱。
第十七章 反比例函数-8
例 题
问题２：一个用电器的电阻是可调节的,其范围为 110～220欧姆.已知电压为220伏,这个用电器的电路 图如图所示. (1)输出功率P与电阻R有怎样的
U 函数关系? (2)用电器输出功率的范20时,有
P 220 R
2
即输出功率P是电阻R的反比例函数。
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物理学中的数学知识：
问题1、蓄电池的电压为定值。使用此电源时， 电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如 图所示：
通过图象你能 获得哪些信息？
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（1）电流是电阻的反比例函数吗？你能写出函数的 表达式吗？蓄电池的电压是多少？
分析：根据 动力×动力臂＝阻力×阻力臂 解:(1)由已知得Ｆ×L＝1200×0.5 600 变形得： F L 需要更完整的资源请到 新世纪教
育网 -
例 题
（２）小刚、小强、小健、小明分别选取了动力臂 为１米、１．５米、２米、３米的撬棍，你能得出 600 他们各自撬动石头至少需要多大的力吗？
F
从上述的运算中我们观察出什么规律？ 解：(2)
F小刚 F小健
600 600
1 2
F小强 F小明
600 400
1 5 3
L
600 300
600 200
你能画出图象吗? 图象会在第三象限吗?
发现：动力臂越长，用的力越小。
即动力臂越长就越省力
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读 图
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问题与情景
在自然科学电学知识中，用电器的输出功率Ｐ（瓦），
两端的电压Ｕ（伏）及用电器的电阻Ｒ（欧姆）有如下
八年级数学下册 第17章 函数及其图象 17.4 反比例函数 第1课时 反比例函数课件
第九页，共二十页。
分层作业
[学生(xué sheng)用书P51]
1．下列函数中， y是x的反比例函数的是( C )
A．y＝23x B．y＝x23 C．y＝32x D．y＝3－2 x
2．若y＝2xm－5为反比例函数，则m的值为( C )
第17章 变量(biànliàng)与函数
4. 反比例函数(hánshù) 第1课时 反比例函数
学习指南 知识管理 归类探究 当堂测评 分层作业
第一页，共二十页。
学习指南
教学目标 1．了解反比例函数的概念． 2．能够根据已知条件，确定反比例函数的解析式．
第二页，共二十页。
情景问题引入
北京至上海的高速路全程约 1 200 km，某人开汽车要从北京到上海， 该汽车的速度 v(km/h)和时间 t(h)之间的函数解析式为 vt＝1 200，则在 t＝ 1 2v00中，t 和 v 之间是什么关系呢？是一次函数或正比例函数关系吗？
内容(nèiróng)总结
No 第17章 变量(biànliàng)与函数。C Image
12/12/2021
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第十一页，共二十页。
为__y＝_5_．2_x4_已_知_．y是x的反比例函数，且当x＝3时，y＝8，则这个函数的关系式 6．已知反比例函数y＝－23x. (1)说出这个函数的比例系数； (2)求当x＝－10时，函数y的值； (3)求当y＝6时，自变量x的值．
第十二页，共二十页。
解：(1)y＝－x32，比例系数为－32. (2)当x＝－10时，y＝－2×（3－10）＝230. (3)当y＝6时，－23x＝6，解得x＝－14.
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第十七章 反比例函数要点一：反比例函数的图象和性质一、选择题1、（2010·东阳中考）某反比例函数的图象经过点(-2,3)，则此函数图象也经过点（ ） A ．(2,-3)B ．(-3,-3)C ．（2，3）D ．（-4，6）【解析】选A 。
某反比例函数的图象经过点(-2,3)，可设y=xk,将(-2,3)代入可得，k=-6,在四个选项中乘积为-6的，只有A 选项符合。
2、（2010·江西中考）如图，反比例函数y ＝4x 图象的对称轴的条数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】选C.此图像的对称轴有两条，分别为第一、三象限的角平分线和第二、四象限的角平分线3、 (2009·南宁中考)在反比例函数1ky x-=的图象的每一条曲线上，y x 都随的增大而增大，则k 的值可以是（ ） A ．1- B ．0 C ．1D ．2答案：D4、(2009·河北中考)反比例函数1y x=（x ＞0）的图象如图所示，随着x 值的增大，y 值（ ）A ．增大B ．减小C ．不变D ．先减小后增大 答案：B5、(2009·梧州中考)已知点A （11x y ，）、B （22x y ，）是反比例函数xky =（0>k ）图象上的两点，若210x x <<，则有（ ）A ．210y y <<B ．120y y <<C ．021<<y yD ．012<<y y 答案：A6、(2009·大连中考)下列四个点中，有三个点在同一反比例函数xky =的图象上，则不在这个函数图象上的点是 ( )A ．(5，1)B ．(－1，5)C ．(35，3)D ．(－3，35-) 答案：B.7、(2009·宁波中考)反比例函数ky x=在第一象限的图象如图所示，则k 的值可能是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】选C.k=xy 等于双曲线上一点分别到x 轴、y 轴所作的垂线与两坐标轴形成的矩形的面积，然后将此面积与图中1×2，2×2的矩形面积作比较得结论.8、(2009·河池中考)如图，A 、B 是函数2y x =的图象上关于原点对称的任意两点，BC ∥x轴，AC∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则（ ） A.2S = B.4S = C.24S << D.4S > 答案：B. 二、填空题9、（2010·衡阳中考）如图，已知双曲线)0k (xky ＞=经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k ＝____________．【解析】由点D 、C 都在双曲线)0k (xk y ＞=得OCA ODE S S ∆∆=,由题意易得ΔODE ∽ΔOBA,所以,413=+=+=∆∆∆∆∆∆∆ODE ODE OAC OBC ODE OBA ODE S S S S S S S 解得1=∆O D E S ，而,121==∆xy S ODE 所以.2==xy k答案：210、（2010·衢州中考）若点（4，m ）在反比例函数8y x= (x ≠0)的图象上，则m 的值是 ．【解析】将（4，m ）代入8y x=得，82.4m ==答案：211、（2010·益阳中考）如图，反比例函数xky =的图象位于第一、三象限，其中第y1o x2A一象限内的图象经过点A （1，2），请在第三象限内的图象上找一个你喜欢的点P ，你选 择的P 点坐标为 ．【解析】答案不唯一,x 、y 满足2=xy 且0,0<<y x 即可,如（-2，-1），（-1，-2），（)4,21(--等. 答案：答案不唯一,如（-2，-1）12、 (2009·益阳中考)如图，反比例函数ky x=)0(<k 的图象与经过原点的直线l 相交于A 、B 两点，已知A 点坐标为)1,2(-，那么B 点的坐标为 . 答案：)1,2(-，13、（2009·钦州中考）如图是反比例函数y ＝kx在第二象限内的图象，若图中的矩形OABC 的面积为2，则k ＝_______．答案：－214、（2007·兰州中考）老师给出了一个函数，甲、乙、丙三位学生分别指出了这个函数的一个性质，甲：第一象限内有它的图象；乙：第三象限内有它的图象；丙：在每个象限内，y 随x 的增大而减小．请你写一个满足上述性质的函数解析式________________．答案：1y x =（注：ky x=只要0k >即可）； 三、解答题15、（2010·金华中考）已知点P 的坐标为（m ，0），在x 轴上存在点Q （不与P 点重合），以PQ 为边作正方形PQMN ，使点M 落在反比例函数y = 2x -的图像上.小明对上述问题进行了探究，发现不论m 取何值，符合上述条件的正方形只有．．两个，且一个正方形的顶点M 在第四象限，另一个正方形的顶点M 1在第二象限.（1）如图所示，若反比例函数解析式为y = 2x -，P 点坐标为（1， 0），图中已画出一符合条件的一个正方形PQMN ，请你在图中画出符合条件的另一个正方形PQ 1M 1N 1，并写出点M 1的坐标；（温馨提示：作图时，别忘了用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑喔！） M 1的坐标是y 2（2） 请你通过改变P 点坐标，对直线M 1 M 的解析式y ﹦kx ＋b 进行 探究可得 k ﹦ ，若点P 的坐标为（m ，0）时，则b ﹦ ； （3） 依据(2)的规律，如果点P 的坐标为（6，0），请你求出点M 1 和点M 的坐标．【解析】（1）如图；M 1 的坐标为（－1，2） （2）1-=k ，m b =（3）由（2）知，直线M 1 M 的解析式为6+-=x y 则M (x ，y )满足2)6(-=+-⋅x x解得1131+=x ，1132-=x ∴ 1131-=y ，1132+=y∴M 1，M 的坐标分别为（113-，113+），（113+，113-）．16、（2010·兰州中考）如图，P 1是反比例函数)0(＞k x ky =在第一象限图像上的一点，点A 1 的坐标为(2，0)．（1）当点P 1的横坐标逐渐增大时，△P 1O A 1的面积将如何变化？（2）若△P 1O A 1与△P 2 A 1 A 2均为等边三角形，求此反比例函数的解析式及A 2点的坐标．【解析】（1）△P 1OA 1的面积将逐渐减小． ………………2分（2）作P 1C ⊥OA 1，垂足为C ，因为△P 1O A 1为等边三角形，所以OC=1，P 1C=3，所以P 1)3,1(． ………………3分 代入x k y =，得k=3，所以反比例函数的解析式为x y 3=． …4分作P 2D ⊥A 1 A 2，垂足为D 、设A 1D=a ，则OD=2+a ，P 2D=3a ，所以P 2)3,2(a a +． ……………………………6分 代入x y 3=，得33)2(=⋅+a a ，化简得0122=-+a axM 1 PQMN Oy12 3-1 -2 -3-3-2-1123Q 1N 1解的：a=-1±2 …………………7分∵a ＞0 ∴21+-=a ……8分所以点A 2的坐标为﹙22，0﹚ ……………9分17、（2010·珠海中考）已知：正比例函数y=k 1x 的图象与反比例函数xk y 2=(x>0)的图象交于点M （a,1），MN ⊥x 轴于点N （如图），若△OMN 的面积等于2，求这两个函数的解析式.【解析】∵MN ⊥x 轴，点M （a ，1） ∴S △OMN =a 21=2 ∴a=4 ∴M(4,1)∵正比例函数y=k 1x 的图象与反比例函数xk y 2=(x>0)的图象交于点M （4,1） ∴ 414121k k == 解得44121==k k ∴正比例函数的解析式是x y 41=，反比例函数的解析式是xy 4= 18、(2009·长沙中考)反比例函数21m y x-=的图象如图所示，1(1)A b -，，2(2)B b -，是该图象上的两点．（1）比较1b 与2b 的大小；（2）求m 的取值范围．【解析】（1）由图知，y 随x 增大而减小．又12->-，12b b ∴<． （2）由210m ->，得12m >． 19、(2009·宁夏中考)已知正比例函数1y k x =1(0)k ≠与反比例函数22(0)k y k x=≠的图象交于A B 、两点，点A 的坐标为(21)，． （1）求正比例函数、反比例函数的表达式； （2）求点B 的坐标．【解析】（1）把点(21)A ，分别代入1y k x =与2k y x=得 112k =，22k =． ∴正比例函数、反比例函数的表达式为：122y x y x==，． （2）由方程组122y xy x⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得1121x y =-⎧⎨=-⎩，2221x y =⎧⎨=⎩． B ∴点坐标是(2,1)--．要点二：构建反比例函数模型，解决实际问题一、选择题1、（2009·衡阳中考）一个直角三角形的两直角边长分别为y x ，，其面积为2，则y 与x 之间的关系用图象表示大致为（ ）答案：C.2、（2009·荆州中考）若120a b -++=，点M （a ，b ）在反比例函数ky x=的图象上，则反比例函数的解析式为( ). A ．2y x=B ．1y x=-C ．1y x=D ．2y x=-答案：D.3．（2009·恩施中考）一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E ”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为x 、y ，剪去部分的面积为20，若210x ≤≤，则y 与x 的函数图象是（ ）答案：A.4、（2009·青岛中考）一块蓄电池的电压为定值，使用此蓄电池为电源时，电流I （A ）与电阻R （Ω）之间的函数关系如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A ，那么此用电器的可变电阻应（ ）．A ．不小于4.8ΩB ．不大于4.8ΩC ．不小于14ΩD ．不大于14Ω【解析】选A.根据图象信息可求得电源电压为48伏，再根据电流不得超过10A 可求得电阻的范围. 二、填空题5、(2009牡丹江中考)如图，点A 、B 是双曲线3y x=上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若1S =阴影，则12S S += ．答案：46、（2009·济宁中考）如图，⊙A 和⊙B 都与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数1y x=的图象上，则图中阴影部分的面积等于 . I （安）答案：π.7、（2008·福州中考）如图，在反比例函数2y x=（0x >）的图象上，有点1234P P P P ，，，，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为123S S S ，，，则123S S S ++= ．【解析】4P 的纵坐标=2142=，将23S S ，向左平移，则123S S S ++=2-1×12=32. 答案：328、（2008·宁德中考）蓄电池电压为定值，使用此电源时，电流I （安） 与电阻R （欧）之间关系图象如图所示，若点P 在图象上，则I 与R （R ＞0） 的函数关系式是______________．答案：RI 36=9、（2007·陇南中考）你吃过兰州拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度у（cm ）是面条粗细（横截面积）x （cm 2）的反比例函数，假设其图象如图所示，则у与x 的函数关系式为__________ ．2y x=xyOP 1P 2P 3 P 4 1234A BO xyI （安）R （欧）·P （3，12）OP40答案：128y x=，x >0 四、解答题10、（2010·河北中考）如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，顶点A ，C 分别在坐标轴上，顶点B 的坐标为（4，2）．过点D （0，3）和E （6，0）的直线分别与AB ，BC 交于点M ，N ．（1）求直线DE 的解析式和点M 的坐标；（2）若反比例函数x my =（x ＞0）的图象经过点M ，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N 是否在该函数的图象上；（3）若反比例函数x my =（x ＞0）的图象与△MNB 有公共点，请直接．．写出m 的取值范围． 解析：（1）设直线DE 的解析式为b kx y +=，解得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=.3,21b k ∴ 321+-=x y ． ∵点D ，E 的坐标为（0，3）、（6，0），∴ ⎩⎨⎧+==.60,3b k b∴ 2 = 321+-x ．∴ x = 2．∴ M （2，2）． ∵ 点M 在AB 边上，B （4，2），而四边形OABC 是矩形， ∴ 点M 的纵坐标为2．又 ∵ 点M 在直线321+-=x y 上（2）∵xm y =（x ＞0）经过点M （2，2），∴ 4=m ．∴x y 4=.又 ∵ 点N 在BC 边上，B （4，2），∴点N 的横坐标为4．∵ 点N 在直线321+-=x y 上， ∴ 1=y ．∴ N （4，1）．∵ 当4=x 时，y =4x = 1，∴点N 在函数 xy 4= 的图象上． （3）4≤ m ≤8．xMNyD AB CEO11．（2009·河池中考）为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例，如图所示．根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）写出从药物释放开始，y与x之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.45毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？解析：（1）药物释放过程中y与x的函数关系式为y=34x（0≤x≤12）药物释放完毕后y与x的函数关系式为y=108x（x≥12）（2）1080.45x=解之，得240x=（分钟）4=（小时)答：从药物释放开始，至少需要经过4小时后，学生才能进入教室．12、（2009·衢州中考）水产公司有一种海产品共2 104千克，为寻求合适的销售价格，进行了8天试销，试销情况如下：第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第8天售价x(元/千克)400 250 240 200 150 125 120销售量y(千克)30 40 48 60 80 96 100观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种海产品的每天销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系．现假定在这批海产品的销售中，每天的销售量y(千克)与销售价格x (元/千克)之间都满足这一关系．(1) 写出这个反比例函数的解析式，并补全表格；(2) 在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？ 【解析】 (1) 函数解析式为12000y x=． 填表如下：第1天第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第8天售价x (元/千克)400300 250 24020150 125 120 销售量y (千克)3040 48 50 60809610(2)2 104-(30+40+48+50+60+80+96+100)=1 600， 即8天试销后，余下的海产品还有1 600千克． 当x =150时，12000150y ==80． 1 600÷80=20，所以余下的这些海产品预计再用20天可以全部售出．要点三：反比例函数与一次函数的综合运用一、选择题1、（2010·毕节中考）函数1ky x-=的图象与直线y x =没有交点，那么k 的取值范围是（ ）A ．1k >B ．1k <C ．1k >-D ．1k <- 【解析】选A. 函数1k y x -=的图象与直线y x =没有交点，则函数1ky x-=的图象一定在第二、四象限，此时01 k -，解得1k >. 2、（2010·青岛中考）函数y ax a =-与ay x=（a ≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）xOyxyOyxOyxOA ．B ．C ．D ．【解析】选D 。