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等差数列与等比数列例题和知识点梳理

等差数列及其前n 项和等比数列及其前n 项和等差数列及其前n 项和1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示． 2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列．(7)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，其首项与{a n }的首项相同，公差为12d .5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值．概念方法微思考1．“a ，A ，b 是等差数列”是“A ＝a ＋b2”的什么条件？提示充要条件．2．等差数列的前n 项和S n 是项数n 的二次函数吗？提示不一定．当公差d ＝0时，S n ＝na 1，不是关于n 的二次函数．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) 题组二教材改编2．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A ．31 B ．32 C ．33 D ．343．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________.题组三易错自纠4．一个等差数列的首项为125，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d 的取值范围是( ) A ．d >875B ．d <325C.875<d <325D.875<d ≤3255．(多选)设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论正确的是( ) A ．d <0 B ．a 7＝0C ．S 9>S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值6．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝____时，{a n }的前n 项和最大．7．一物体从1 960 m 的高空降落，如果第1秒降落4.90 m ，以后每秒比前一秒多降落9.80 m ，那么经过________秒落到地面．等差数列基本量的运算1．(2018·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5等于( ) A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．122．(2019·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2－8n D ．S n ＝12n 2－2n3．(2019·江苏)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________．4．(2019·全国Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1≠0，a 2＝3a 1，则S 10S 5＝________.等差数列的判定与证明例1 (2020·日照模拟)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，a n ＋1＝1－14a n ，b n ＝22a n －1，其中n ∈N *.求证：数列{b n }是等差数列，并求出数列{a n }的通项公式．跟踪训练1 在数列{a n }中，a 1＝2，a n 是1与a n a n ＋1的等差中项．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等差数列，并求{}a n 的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n 2a n 的前n 项和S n .等差数列性质的应用命题点1 等差数列项的性质例2 (2019·江西师范大学附属中学模拟)已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，2＋a 5＝a 6＋a 3，则S 7等于( ) A ．2 B ．7 C ．14 D ．28命题点2 等差数列前n 项和的性质例3 (1)(2020·漳州质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 5＝7，S 10＝21，则S 15等于( )A ．35B ．42C ．49D ．63(2)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 018，S 2 0192 019－S 2 0132 013＝6，则S 2 020＝________.跟踪训练2 (1)已知等差数列{a n }、等差数列{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝n ＋2n ＋1，则a 6b 8的值是( )A.1316B.1314C.1116D.1115(2)(2019·莆田质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 13>0，S 14<0，则S n 取最大值时n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．131．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 5＝3a 3，则a 3等于( ) A ．－2 B ．0 C ．3 D ．62．(2019·晋城模拟)记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 6＝16，S 5＝35，则{a n }的公差为( ) A ．3 B ．2 C ．－2 D ．－33．在等差数列{a n }中，已知a 1 011＝1，则该数列前2 021项的和S 2 021等于( ) A ．2 020 B ．2 021 C ．4 040 D ．4 0424．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n ，满足a 1＋5a 3＝S 8，给出下列结论：①a 10＝0；②S 10最小；③S 7＝S 12；④S 20＝0. 其中一定正确的结论是( )A ．①②B ．①③④C ．①③D ．①②④5．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为( )A ．65B ．176C ．183D ．1846．(2019·宁夏银川一中月考)在等差数列{a n }中，若a 10a 9<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0成立的正整数n 的最大值是( ) A ．15 B ．16 C ．17 D ．147．(多选)已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n ，满足a 1＋5a 3＝S 8，下列选项正确的有( ) A ．a 10＝0 B ．S 10最小 C ．S 7＝S 12 D ．S 20＝08．(多选)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则( ) A ．a n ＝－12n－1B ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，1n －1－1n，n ≥2，n ∈N *C ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 为等差数列D.1S 1＋1S 2＋…＋1S 100＝－5 0509．(2019·全国Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 3＝5，a 7＝13，则S 10＝________.10．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝3n －12n ＋3，则a 10b 10＝________.11．已知数列{a n }满足(a n ＋1－1)(a n －1)＝3(a n －a n ＋1)，a 1＝2，令b n ＝1a n －1.(1)证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．12．已知等差数列{a n }的公差d >0，设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2S 3＝36. (1)求d 及S n ；(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65.13．(2020·大连模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，b n ＝2n a且b 1＋b 3＝17，b 2＋b 4＝68，则S 10等于( )A ．90B ．100C ．110D ．12014．已知数列{a n }与⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n n 均为等差数列(n ∈N *)，且a 1＝2，则a 20＝________.15．(2020·黑龙江省哈尔滨市第三中学模拟)已知x 2＋y 2＝4，在这两个实数x ，y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为( ) A ．210 B.1210 C.10 D.321016．记m ＝d 1a 1＋d 2a 2＋…＋d n a nn ，若{}d n 是等差数列，则称m 为数列{a n }的“d n 等差均值”；若{}d n 是等比数列，则称m 为数列{a n }的“d n 等比均值”．已知数列{a n }的“2n －1等差均值”为2，数列{b n }的“3n－1等比均值”为3.记c n ＝2a n＋k log 3b n ，数列{}c n 的前n 项和为S n ，若对任意的正整数n 都有S n ≤S 6，求实数k 的取值范围．等比数列及其前n 项和1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇒a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab . 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1. (2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1(q ＝1)，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1).3．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k. (3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n bn (λ≠0)仍然是等比数列．(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k .4．在等比数列{a n }中，若S n 为其前n 项和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列(n 为偶数且q ＝－1除外)．概念方法微思考1．将一个等比数列的各项取倒数，所得的数列还是一个等比数列吗？若是，这两个等比数列的公比有何关系？提示仍然是一个等比数列，这两个数列的公比互为倒数．2．任意两个实数都有等比中项吗？提示不是．只有同号的两个非零实数才有等比中项． 3．“b 2＝ac ”是“a ，b ，c ”成等比数列的什么条件？提示必要不充分条件．因为b 2＝ac 时不一定有a ，b ，c 成等比数列，比如a ＝0，b ＝0，c ＝1.但a ，b ，c 成等比数列一定有b 2＝ac .题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (2)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( ) (3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( )(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( ) 题组二教材改编2．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q ＝______.3．公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝18，若a 1a m ＝9，则m 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11题组三易错自纠4．(多选)已知数列{a n }是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n B ．log 2a 2nC ．{a n ＋a n ＋1}D ．{a n ＋a n ＋1＋a n ＋2}5．若1，a 1，a 2，4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3，4成等比数列，则a 1－a 2b 2的值为________．6．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝________.7．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 MB ，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________秒，该病毒占据内存8 GB.(1 GB ＝210 MB)等比数列基本量的运算1．(2020·晋城模拟)设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则公比q 等于( )A ．5B ．4C ．3D ．22．(2019·全国Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3等于( )A ．16B ．8C ．4D ．23．(2019·全国Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，S 3＝34，则S 4＝________.4．(2018·全国Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和，若S m ＝63，求m .等比数列的判定与证明例1 (2019·四川省名校联盟模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2S n ＝－a n ＋n (n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12为等比数列；(2)求数列{a n －1}的前n 项和T n .跟踪训练1 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．等比数列性质的应用例2 (1)(2019·黑龙江省大庆第一中学模拟)在各项不为零的等差数列{a n }中，2a 2 019－a 22 020＋2a 2 021＝0，数列{b n }是等比数列，且b 2 020＝a 2 020，则log 2(b 2 019·b 2 021)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8(2)(2020·长春质检)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 6＝30，S 9＝70，则S 3＝________.跟踪训练2 (1)(2019·安徽省江淮十校月考)已知等比数列{a n }的公比q ＝－12，该数列前9项的乘积为1，则a 1等于( ) A ．8 B ．16 C ．32 D ．64(2)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3S 6＝89，则a n ＋1a n －a n －1＝________(n ≥2，且n ∈N *)．对于数列通项公式的求解，除了我们已经学习的方法以外，根据所给递推公式的特点，还有以下几种构造方式．构造法1 形如a n ＋1＝ca n ＋d (c ≠0，其中a 1＝a )型 (1)若c ＝1，数列{a n }为等差数列； (2)若d ＝0，数列{a n }为等比数列；(3)若c ≠1且d ≠0，数列{a n }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．例1 在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则通项a n ＝________.构造法2 形如 a n ＋1＝pa n ＋q ·p n ＋1(p ≠0,1，q ≠0)型a n ＋1＝pa n ＋q ·p n ＋1(p ≠0,1，q ≠0)的求解方法是两端同时除以p n ＋1，即得a n ＋1pn ＋1－a n p n ＝q ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n p n 为等差数列．例2 (1)已知正项数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1，则a n 等于( ) A ．n ·2n －1 B ．(n ＋1)·2n C ．n ·2n ＋1 D ．(n －1)·2n(2)(2019·武汉市二中月考)已知正项数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3×5n ，则数列{a n }的通项a n 等于( ) A ．－3×2n －1 B ．3×2n －1 C ．5n ＋3×2n －1 D ．5n －3×2n －1构造法3 相邻项的差为特殊数列(形如a n ＋1＝pa n ＋qa n －1，其中a 1＝a ，a 2＝b 型) 可化为a n ＋1－x 1a n ＝x 2(a n －x 1a n －1)，其中x 1，x 2是方程x 2－px －q ＝0的两根．例3 数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝23a n ＋1＋13a n ，求数列{a n }的通项公式．构造法4 倒数为特殊数列(形如a n ＝pa n －1ra n －1＋s 型)例4 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，求数列{a n }的通项公式．1．(2020·韶关模拟)若等比数列{a n }的各项均为正数，a 2＝3,4a 23＝a 1a 7，则a 5等于( ) A.34 B.38 C ．12 D ．242．等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝32n －1＋r ，则r 的值为( ) A.13 B ．－13 C.19 D ．－193．(2019·天津市河西区月考)设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知递增的等比数列{a n }中，a 2＝6，a 1＋1，a 2＋2，a 3成等差数列，则该数列的前6项和S 6等于( )A ．93B ．189 C.18916 D ．3785．(2020·永州模拟)设等比数列{a n }的公比为q ，则下列结论正确的是( ) A ．数列{a n a n ＋1}是公比为q 的等比数列 B ．数列{a n ＋a n ＋1}是公比为q 的等比数列 C ．数列{a n －a n ＋1}是公比为q 的等比数列D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q 的等比数列6．若正项等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝22n (n ∈N *)，则a 6－a 5的值是( ) A. 2 B ．－162 C ．2 D ．1627．(多选)在等比数列{a n }中，a 5＝4，a 7＝16，则a 6可以为( ) A ．8 B ．12 C ．－8 D ．－128．(多选)在等比数列{a n }中，公比为q ，其前n 项积为T n ，并且满足a 1＞1，a 99·a 100－1＞0，a 99－1a 100－1＜0，下列选项中，结论正确的是( ) A ．0＜q ＜1 B ．a 99·a 101－1＜0C ．T 100的值是T n 中最大的D ．使T n ＞1成立的最大自然数n 等于1989．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2 020，a 2＋a 4＝－2a 3，则S 2 021＝________.10.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为________．11．(2018·全国Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a nn .(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．12．(2019·淄博模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝34，S n ＝S n －1＋a n －1＋12(n ∈N *且n ≥2)，数列{b n }满足：b 1＝－374，且3b n －b n －1＝n ＋1(n ∈N *且n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n －a n }为等比数列．13．各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1 成等比数列，且a 1＝1，a 2＝3，则数列{a n }的通项公式为________．14．已知在等比数列{a n }中，a n >0，a 22＋a 24＝900－2a 1a 5，a 5＝9a 3，则a 2 020的个位数字是____．15．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列1,2进行“扩展”，第一次得到数列1,2,2；第二次得到数列1,2,2,4,2，….设第n 次“扩展”后得到的数列为1，x 1，x 2，…，x t ，2，并记a n ＝log 2(1·x 1·x 2·…·x t ·2)，其中t ＝2n －1，n ∈N *，求数列{a n }的通项公式．16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为3，公差为2的等差数列，若b n ＝2n a ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求使得S n ＋T n ≥268成立的n 的最小值．。

等差数列与等比数列专题辅导（小编推荐）

等差数列与等比数列专题辅导（小编推荐）第一篇：等差数列与等比数列专题辅导（小编推荐）等差数列与等比数列专题辅导(1)在等差数列｛an｝中, a7=9, a13=-2, 则a25=()A-22B-24C60D64(2)在等比数列｛an｝中, 存在正整数m, 有am=3，am+5=24, 则am+15=()A864B1176C1440D1536(3)已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列, 则a2=()A–4B–6C–8D–10(4)设数列{an}是等差数列，且a2=-6,a8=6,Sn是数列{an}的前n 项和，则()AS4>S3BS4=S2CS6(5)已知由正数组成的等比数列｛an｝中,公比q=2, a1·a2·a3·…·a30=245, 则a1·a4·a7·…·a28=5101520A 2B2C2D2(6)若{an}是等差数列，首项a1>0,a2003+a2004>0,a2003.a2004<0，则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是：()A．4005B．4006C．4007D．4008(7)在等比数列｛an｝中, a1<0, 若对正整数n都有anAq>1B0a1(3n-1)(8)设数列{an}的前n项和为Sn，Sn=(对于所有n≥1)，且a4=54，则a1=__________.2(9)等差数列｛an｝的前m项和为30, 前2m项和为100, 则它的前3m项和为_________.(10)定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{an}是等和数列, 且a1=2, 公和为5,那么a18的值为_______,这个数列的前21项和S21的值为.(11)已知等差数列｛an｝共2n+1项, 其中奇数项之和为290, 偶数项之和为261,求第n+1项及项数2n+1的值.(12)设{an}是一个公差为d(d≠0)的等差数列，它的前10项和S10=110且a1，a2，a4成等比数列.（Ⅰ）证明a1=d；（Ⅱ）求公差d的值和数列{an}的通项公式.(13)已知等比数列｛an｝的各项都是正数, Sn=80, S2n=6560, 且在前n项中, 最大的项为54, 求n的值.(14)ΔOBC的三个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）, 设P1为线段BC的中点,P2为线段CO的中点,P3为线段OP1的中点,对于每一个正整数n, Pn+3为线段PnPn+1的中点,令Pn的坐标为(xn,yn), an=（Ⅰ）求a1,a2,a3及an;（Ⅱ）证明yn+4=1-(Ⅲ)若记bn=y4n+41yn+yn+1+yn+2.2yn,n∈N*;4-y4n,n∈N*,证明{bn}是等比数列.答案:1-7 BDBDA BB8.29.21010.3, 5211.29, 1912.(2)d=2 an=2n13.n=414.(1)an=2(2)(3)证明略第二篇：等差数列与等比数列等差数列与等比数列⎧>0,递增数列⎪一、等差数列的定义：an+1-an=d（d：公差）（常数）⎨=0，常数列，⎪<0,递减数列⎩1．证明数列{an}为等差数列：（1）定义：an+1-an=d（常数）（2）等差中项：2an+1=an+an+2注：(1)不可用a2-a1=a3-a2=a4-a3=Λ=“常数”证(2)a1=⎨例1．（1）已知数列{an}为等差数列，求证：数列{an+an+1}为等差数列；变式：①已知数列{an}为等差数列，求证：数列{an+t}（t为常数）为等差数列；②已知数列{an}为等差数列，求证：数列{tan}（t为常数）为等差数列；③已知数列{an}、{bn}均为等差数列，求证：数列{an+bn}为等差数列（2）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2，求证：数列{an}为等差数列；变式：①已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+1，求：an②已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=an2+bn，求：an ③已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=an2+bn+c，求：an（3）已知数列{an}满足：a1=1,an+1=数列；（4）已知数列{an}，a1=1，an+1=为等差数列（5）设数列{an}的前n项和为Sn，求证：数列{an}为等差数列的充要条件是{an}为等差数列⎧S1,n=1⎩Sn-Sn-1,n≥2an1,且bn=，求证：数列{bn}为等差an+1ann1an+，且bn=nan，求证：数列{bn}n+1n+1Sn=n(a1+an)22．证明数列{an}为单调数列：an+1-an=f(n)⎨⎧>0,递增数列递减数列⎩<0，注：（1）求数列{an}中an的极值也可采用此方法（2）已知数列{an}为等差数列ⅰ.若a1<0,d>0，则Sn有最小值；解法：①令an≤0{bn}②Snⅱ.若a1>0,d<0，则Sn有最大值；解法：①令an≥0②Sn例2．已知an=(11-2n)2n，求数列{an}的最大项例3．（1）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且an=10-2n,求Sn的最大值；(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且an=2n-13,求Sn的最小值；3．叠加法：已知a1=a，an+1-an=f(n)，求an例4．（1）已知数列{an}为等差数列，首项为a1，公差为d,求an；（2）已知数列{an}，a1=1,an+1=4．通项公式：an=a1+(n-1)d（1）an=am+(n-m)d（2）an是关于n的一次函数，且n的系数为公差d.例5．已知数列{an}为等差数列，a5=-3，a9=13，求an5．等差中项：若a、b、c成等差数列，则b=（1）若数列{an}为等差数列，则2an+1n+11an+，求an nna+c称为a、c的等差中项2=an+an+2；（2）若已知三个数成等差数列，且其和为定值，则可设这三个数为a-d、a、a+d；（3）若数列{an}为等差数列，且公差d≠0,则am+an=ap+aq⇔m+n=p+q(4)在有穷等差数列{an}中,与首尾两项距离相等的两项的和等于首尾两项的和.即：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=Λ=ak+an-k+1例6．（1）已知：等差数列中连续三项的和为21，平方和为179，求这三项（2）在3与19之间插入3个数后成等差数列，求这三个数（3）已知：a、b、c成等差数列求证：①b+c、a+c、a+b成等差数列；②a(b+c)、b(a+c)、c(a+b)成等差数列；③a-bc、b-ac、c-ab 成等差数列（4）已知：a、b、c成等差数列，求证：2222111成等差数列 b+ca+ca+blg(a-c)、lg(a+c-2b)成等差（5）已知：成等差数列，求证：lg(a+c)、数列（6）若方程a(b-c)xb(c-a)x+c(a-b)=0有相等实根，求证：成等差111abc111abc数列例7．在等差数列{an}中，(1)若a5+a10=12,求S14；(2)若a8=m,求S15；(3)若a4+a6+a15+a17=50,求S20；(4)若a2+a4=18,a3+a5=32,求S6；(5)若a2+a5+a12+a15=36,求S16；(6)若a3+a4+a5+a6+a7=450,求a2+a8(7)若等差数列{an}的各项都是负数，且a32+a82+2a3⋅a8=9，则其前10项和S10= ____________(8)在等差数列{an}中，若a3+a15=a5+an，则n=_______6．数列{an}的前n项和Sn=注：（1）倒序法求和；（2）等差数列{an}的前n项和Sn是关于自然数n的二次函数，且n的系数为n(a1+an)n(n-1)n(n-1)=na1+d=nan-d 222d，2常数项为零，即：Sn=An2+Bn（当A=0时数列{an}为常数列）；（3）①S2n-1=(2n-1)an（可以将项与和之间进行相互转化）。

整理等差数列、等比数列相关性质和公式及数列求和方法

等差、等比的公式性质以及数列的乞降方法第一节：等差数列的公式和有关性质1、等差数列的定义：对于一个数列，假如它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：a n a n 1 d （d 为公差）（ n 2 ， n N *）注：下边全部波及n ，n N *省略，你懂的。

2、等差数列通项公式：a n a1( n1)d ， a1为首项，d为公差推行公式：a n a m(n m) d变形推行：d a n a mn m3、等差中项（ 1）假如a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：A a b或2 A a b2（ 2）等差中项：数列a n是等差数列2anan -1a n 1 (n 2)2a n 1a nan 24、等差数列的前 n 项和公式：n(a1a n )na1n(n 1)dS n22d n2(a11d) n An 2Bn22（此中 A、B是常数，所以当 d≠0时， S n是对于 n的二次式且常数项为 0）特别地，当项数为奇数2n1 时，a n1是项数为 2n+1 的等差数列的中间项2n 1a1a2n 12n 1 a n 1（项数为奇数的等差数列的各项S2 n 12和等于数乘以中）5、等差数列的判断方法（ 1）定法：若a n a n1 d 或 a n 1a n d (常数n N)a n是等差数列．（ 2）等差中：数列a n是等差数列2an an-1a n 1 (n 2)2a n 1anan 2（3）数列a n是等差数列（4）数列a n是等差数列6、等差数列的明方法a n kn b （此中k,b是常数）。

S n An2Bn ,（此中A、B是常数）。

定法：若 a n a n 1 d 或 a n 1 a n d (常数n N)a n是等差数列．7、等差数列有关技巧：（ 1）等差数列的通公式及前n和公式中，波及到 5 个元素：a1、d 、n、a n及S n，此中a1、d 称作基本元素。

等差数列和等比数列相乘的求和公式

等差数列和等比数列相乘的求和公式等差数列和等比数列是初中数学中的重点内容，学习它们对于提高数学能力具有极大的帮助。

今天我们来讲一下等差数列和等比数列相乘的求和公式。

首先，我们先来说一下等差数列。

所谓等差数列就是一个数列，其中每一项与它的前一项的差相等。

那么，等差数列的和是多少呢？等差数列的和可以用以下公式来表示：S = n(a1 + an)/2其中，S 表示等差数列的和，n 表示等差数列的项数，a1 表示等差数列的首项，an 表示等差数列的末项。

接下来，我们再看一下等比数列。

所谓等比数列就是一个数列，其中每一项与它的前一项的比相等。

那么，等比数列的和是多少呢？等比数列的和可以用以下公式来表示：S = a1(1 - q^n)/(1 - q)其中，S 表示等比数列的和，n 表示等比数列的项数，a1 表示等比数列的首项，q 表示等比数列的公比。

好了，接下来我们看看等差数列和等比数列相乘的求和公式。

当等差数列和等比数列相乘时，我们可以使用以下公式来计算它们的和：S = (a1d - a1q^n+1)/(d - q)其中，S 表示等差数列和等比数列相乘的和，n 表示等比数列的项数，a1 表示等比数列的首项，d 表示等差数列的公差，q 表示等比数列的公比。

通过这个公式，我们可以快速计算等差数列和等比数列相乘的和，这对于我们在学习数学中遇到一些计算上的难题时非常有用。

总结起来，等差数列和等比数列相乘的求和公式用来计算这两个数列相乘后的和。

它是由等差数列和等比数列的公式组合得出的。

对于初学者来说，掌握这个公式能够极大地提高解题的效率。

等差等比数列练习题(含答案)

一、选择题1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列（）（A ）为常数数列（B ）为非零的常数数列（C ）存在且唯一（D ）不存在 2.、在等差数列{}n a 中，41=a ,且1a ,5a ,13a 成等比数列，则{}n a 的通项公式为（）（A ）13+=n a n（B ）3+=n a n （C ）13+=n a n 或4=n a （D ）3+=n a n 或4=n a3、已知c b a ,,成等比数列，且y x ,分别为a 与b 、b 与c 的等差中项，则ycx a +的值为（）（A ）21（B ）2- （C ）2 （D ）不确定 4、互不相等的三个正数c b a ,,成等差数列，x 是a ,b 的等比中项，y 是b ,c 的等比中项，那么2x ，2b ，2y 三个数（）（A ）成等差数列不成等比数列（B ）成等比数列不成等差数列（C ）既成等差数列又成等比数列（D ）既不成等差数列，又不成等比数列 5、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,n n S n 24212+=+,则此数列的通项公式为（）（A ）22-=n a n（B ）28-=n a n （C ）12-=n n a （D ）n n a n -=26、已知))((4)(2z y y x x z--=-，则（）（A ）z y x ,,成等差数列（B ）z y x ,,成等比数列（C ）z y x 1,1,1成等差数列（D ）zy x 1,1,1成等比数列 7、数列{}n a 的前n 项和1-=n n a S ，则关于数列{}n a 的下列说法中，正确的个数有（）①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ③可能是等比数列，也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）18、数列1⋯,1617,815,413,21,前n 项和为（）（A ）1212+-n n （B ）212112+-+n n （C ）1212+--n n n （D ）212112+--+n n n9、若两个等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足5524-+=n n B A n n ，则135135b b a a ++的值为（）（A ）97 （B ）78（C ）2019 （D ）8710、已知数列{}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为（）（A ）56 （B ）58 （C ）62 （D ）6011、已知数列{}n a 的通项公式5+=n a n为, 从{}n a 中依次取出第3，9，27，…3n , …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列的前n 项和为（）（A ）2)133(+n n （B ）53+n（C ）23103-+n n （D ）231031-++n n12、下列命题中是真命题的是 ( )A ．数列{}n a 是等差数列的充要条件是q pn a n+=(0≠p )B ．已知一个数列{}n a 的前n 项和为a bn an S n++=2,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列 C ．数列{}n a 是等比数列的充要条件1-=n nab aD ．如果一个数列{}n a 的前n 项和c ab S n n+=)1,0,0(≠≠≠b b a ,则此数列是等比数列的充要条件是0=+c a二、填空题13、各项都是正数的等比数列{}n a ，公比1≠q 875,,a a a ,成等差数列，则公比q =14、已知等差数列{}n a ，公差0≠d ,1751,,a a a 成等比数列，则18621751a a a a a a ++++=15、已知数列{}n a 满足n na S 411+=,则n a =16、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为三、解答题 17、已知数列{}n a 是公差d 不为零的等差数列，数列{}nb a 是公比为q 的等比数列，46,10,1321===b b b ，求公比q 及n b 。

等差数列与等比数列的知识点总结

等差数列与等比数列的知识点总结
等差数列和等比数列是数学中的两个重要概念，它们在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。

以下是关于等差数列和等比数列的主要知识点总结：
等差数列：
1. 定义：一个数列，其中任意两个相邻项的差是一个常数，这个数列被称为等差数列。

2. 通项公式：$a_n = a_1 + (n - 1)d$，其中 $a_1$ 是首项，$d$ 是公差，$n$ 是项数。

3. 求和公式：$S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d]$，其中 $S_n$ 是前$n$ 项的和。

4. 等差中项：任意两项的算术平均值等于第三项。

5. 等差数列的性质：如果两个数列都是等差数列，那么它们的和也是一个等差数列。

等比数列：
1. 定义：一个数列，其中任意两个相邻项的比是一个常数，这个数列被称为等比数列。

2. 通项公式：$a_n = a_1 \times q^{n-1}$，其中 $a_1$ 是首项，$q$ 是公比，$n$ 是项数。

3. 求和公式：对于 $q \neq 1$，有 $S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$；对于 $q = 1$，有 $S_n = na_1$。

4. 等比中项：任意两项的几何平均值等于第三项。

5. 等比数列的性质：如果两个数列都是等比数列，那么它们的乘积是一个等比数列。

以上是关于等差数列和等比数列的主要知识点总结。

在学习这些内容时，可以通过做练习题来加深理解和巩固知识。

等差数列与等比数列的证明方法

等差数列与等比数列的证明方法高考题中，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何处理这些题目呢？证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、数学归纳法、反证法。

一、定义法01.证明数列是等差数列的充要条件的方法：{}1()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列{}2222()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列 {}3333()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列02.证明数列是等差数列的充分条件的方法：{}1(2)n n n a a a d n --=≥⇒是等差数列 {}11(2)n n n n n a n a a a a +--=-≥⇒是等差数列03.证明数列是等比数列的充要条件的方法：{}1(00)n n na q q a a +=≠≠⇔1且为常数，a 为等比数列 04.证明数列是等比数列的充要条件的方法：1nn a q a -=（n>2，q 为常数且≠0）{}n a ⇒为等比数列注意事项：用定义法时常采用的两个式子1n n a a d --=和1n n a a d +-=有差别，前者必须加上“2n ≥”，否则1n =时0a 无意义，等比中一样有：2n ≥时，有1nn a qa -==（常数0≠）；②n *∈N 时，有1n na q a +==（常数0≠）．例1. 设数列12,,,,n a a a 中的每一项都不为0。

证明：{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ，都有1223111111n n n na a a a a a a a +++++=。

证明：先证必要性设{}n a 为等差数列，公差为d ，则当d=0时，显然命题成立当d≠0时，∵111111n n n na a d a a++⎛⎫=-⎪⎝⎭∴再证充分性：∵122334111a a a a a a++⋅⋅⋅1111n n nna a a a++++=⋅⋅………①∴122334111a a a a a a++⋅⋅⋅11212111n n n n nna a a a a a++++++++=⋅⋅⋅………②②﹣①得：12121111n n n nn na a a a a a+++++=-⋅⋅⋅两边同以11n na a a+得：112(1)n na n a na++=+-………③同理：11(1)n na na n a+=--………④③—④得：122()n n nna n a a++=+即：211n n n na a a a+++-=-{}n a为等差数列例2.设数列}{na的前n项和为n S，试证}{na为等差数列的充要条件是)(,2)(*1NnaanS nn∈+=。

高考数学《等差数列、等比数列》复习

(1)等差数列通项公式：an＝a1＋(n－1)d．
(2)等差数列前 n 项和公式：Sn＝n
a1＋an 2
＝na1＋n
n－ 2
d．
(3)等差中项公式：2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2).
2.等比数列
(1)等比数列通项公式：an＝a1qn－1.
na1 q＝
(2)等比数列前n项和公式：Sn＝ a1 －qn 1－q
高考数学《等差数列、等比数列》复习
高考考点
1. 等差（比）数列的基本运算 2. 等差（比）数列的判断与证明 3. 等差（比）数列的性质
考点解读
1. 在等差（比）数列中， a1,an, Sn,n,d(q) 这五个量中已知其中的三个量，求另外两个量 2. 考查等差（比）数列的通项公式，前n项和公式，考查方程的思想以及运算能力
(2)等差数列中连续 k 项的和成等差数列，即 Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列，公差为 k2d．
5．若 A2n－1，B2n－1 分别为等差数列{an}，{bn}的前 2n－1 项的和，则an＝A2n－1．
bn B2n－1
解题技巧
判断或证明数列是否为等差或等比数列，一般是依据等差数列、等比数列的定义，或利用等差中项、等比中项进行判断．
A.15
B.30
C.45
√D.60
S100 a1 a2 a100 90 ,设 S a1 a3 a99 ,则 2S a2 a4 a100 ,S 2S S100 90,S 30 , 故 a2 a4 a100 2S 60 .故选 D.
1.不能忽视等比数列的条件：判断一个数列是等比数列时，注意各项都不为零的条件． 2.不能漏掉等比中项：正数a，b的等比中项是±，不能漏掉－． 3.对等比数列的公比的讨论：应用等比数列前n项和公式时应首先讨论公式q是否等于1

等差数列与等比数列的区别

等差数列与等比数列的区别等差数列与等比数列是数学中两种常见的数列形式，它们在数学和实际应用中起着重要的作用。

本文将详细介绍等差数列与等比数列的定义、性质和区别。

一、等差数列的定义和性质：等差数列是指一个数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列。

通常用字母a表示首项，字母d表示公差，第n项用an表示，数列的通项公式为an = a + (n - 1)d。

等差数列有以下几个性质：1. 公差d的性质：等差数列中任意两项的差值都是公差d，即an -an-1 = d。

2. 通项公式：等差数列的通项公式是根据首项和公差的值计算出每一项的表达式，即an = a + (n - 1)d。

3. 求和公式：等差数列的前n项和可以通过求和公式Sn = (n / 2) * (2a + (n - 1)d)进行计算。

二、等比数列的定义和性质：等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列，即每一项等于前一项乘以同一个非零常数。

通常用字母a表示首项，字母r表示公比，第n项用an表示，数列的通项公式为an = a * r^(n-1)。

等比数列有以下几个性质：1. 公比r的性质：等比数列中任意两项的比值都是公比r，即an / an-1 = r。

2. 通项公式：等比数列的通项公式是根据首项和公比的值计算出每一项的表达式，即an = a * r^(n-1)。

3. 求和公式：等比数列的前n项和可以通过求和公式Sn = (a * (1 - r^n)) / (1 - r)进行计算。

三、等差数列与等比数列的区别：1. 定义：等差数列中每一项与前一项的差值相等，而等比数列中每一项与前一项的比值相等。

2. 性质：等差数列的公差是常数，等比数列的公比是常数。

3. 增长速度：等差数列的增长速度是线性的，等比数列的增长速度是指数的。

4. 前n项和：等差数列的前n项和的求和公式是关于n的一次多项式，等比数列的前n项和的求和公式是关于n的一个分式。

(完整版)高中数学数列公式大全(很齐全哟~)

一、高中数列基本公式：1、一般数列的通项a n与前 n 项和 S n的关系： a n=2、等差数列的通项公式： a n=a1+(n-1)d a n=a k+(n-k)d ( 此中 a1为首项、 a k为已知的第 k 项 ) 当 d≠0时， a n是关于 n 的一次式；当d=0 时， a n是一个常数。

3、等差数列的前n 项和公式： S n=S n =S n=当 d≠0时，（ a1≠0），S n是关于 n 的二次式且常数项为S n=na1是关于 n 的正比率式。

0；当d=0时4、等比数列的通项公式： a n= a 1 q n-1 a n= a k q n-k( 此中 a1为首项、 a k为已知的第 k 项， a n≠0)5、等比数列的前 n 项和公式：当 q=1 时， S n=n a1 ( 是关于 n 的正比率式 ) ；当 q≠1时， S n=S n=三、高中数学中有关等差、等比数列的结论1、等差数列 {a n} 的任意连续m项的和构成的数列S m、S2m-S m、S3m-S 2m、S4m - S 3m、仍为等差数列。

2、等差数列 {a n} 中，若 m+n=p+q，则3、等比数列 {a n} 中，若 m+n=p+q，则4、等比数列 {a S3m-S 2m、S4m - S n}的任意连续m项的和构成的数列3m、仍为等比数列。

S m、S2m-S m、5、两个等差数列{a n } 与{b n} 的和差的数列{a n+b n} 、{a n -b n} 仍为等差数列。

6、两个等比数列{a n } 与{b n} 的积、商、倒数构成的数列{a n b n} 、、仍为等比数列。

7、等差数列 {a n} 的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。

8、等比数列 {a n} 的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。

9、三个数成等差数列的想法：a-d,a,a+d；四个数成等差的想法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d10、三个数成等比数列的想法：a/q,a,aq；四个数成等比的错误想法：a/q3,a/q,aq,aq3(为何？)11、 {a n}为等差数列，则(c>0)是等比数列。

归纳等差数列与等比数列中二级结论

归纳等差数列与等比数列中二级结论一、等差数列常见结论1、判断给定的数列{}n a 是等差数列的方法（1）定义法：1n n a a d +-=是常数*()n N ∈⇔数列{}n a 是等差数列；（2）通项公式法：(,)n a kn b k b =+是常数⇔数列{}n a 是等差数列；（3）前n 项和法：数列{}n a 的前n 项和 222(,0)n An Bn A B B S =++≠是常数,A ⇔数列{}n a 是等差数列；（4）等差中项法：*212()n n n n N a a a +++=∈⇔数列{}n a 是等差数列；2、等差数列的通项公式的推广和公差的公式：*()(,)n m a a n m d n m N =+-∈*(,,)n m a a d n m N n m n m-⇒=∈≠-； 3、若A 是a 与b 的等差中项2A a b ⇔=+4、列{}n a ，{}n b 都是等差数列且项数相同，则{},{},{},{}n n n n n n n kb a b a b pa qb +-+都是等差数列；5、数列{}n a 中，若项数成等差数列，则对应的项也成等差数列；6、数列{}n a 中，隔相同的项抽出一项所得到的数列仍为等差数列；7、若数列{}n a 是等差数列，且项数*,,,(,,,)m n p q m n p q N ∈满足m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+，反之也成立；当p q =时，2m n p a a a +=，即p m n a a a 是和的等差中项；8、若数列{}n a 是等差数列的充要条件是前n 项和公式()n S f n =，是n 的二次函数或一次函数且不含常数项，即222(,0)n An Bn A B B S =++≠是常数,A ；9、若数列{}n a 的前n 项和2(,)n An Bn C A B s =++≠是常数,C 0，则数列{}n a 从第二项起是等差数列；10、若数列{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，则{}n S n 也是等差数列，其首项和{}n a 的首项相同，公差是{}n a 公差的12；11、若数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，其前n 项和分别为,n n S T ，则2121n n n n a S b T --=； 12、若三个数成等差数列，则通常可设这三个数分别为,,x d x x d -+；若四个数成等差数列，则通常可设这四个数分别为3,,,3x d x d x d x d --++；13、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且234,,,m m m m S S S S ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分别为数列{}n a 的前m 项,2m 项,3m 项,4m 项,……的和，则232,,,m m m m m S S S S S --⋅⋅⋅⋅⋅⋅成等差数列（等差数列的片段和性质）；14等差数列{}n a 中，若项数n 为奇数，设奇数项的和和偶数项的和分别为S S 奇偶，，则11S n S n +=-奇偶；若项数n 为偶数，221nn a S S a =+奇偶； 15、在等差数列{}n a 中，若公差0d >，则等差数列{}n a 为递增数列；若公差0d <，则等差数列{}n a 为递减数列；若公差0d =，则等差数列{}n a 为常数列；16．有关等差数列{}n a 的前n 项和为n S 的最值问题：（1）何时存在最大值和最小值①若10,0a d ><，则前n 项和为n S 存在最大值②若10,0a d <>，则前n 项和为n S 存在最小值（2）如何求最值①方法一：（任何数列都通用）通过100n n a a +≥⎧⎨≤⎩解出n 可求前n 项和为n S 的最大值；通过100n n a a +≤⎧⎨≥⎩解出n 可求前n 项和为n S 的最小值； ②方法二：利用等差数列前n 项和n S 的表达式为关于n 的二次函数且常数项为0（若为一次函数，数列为常数列，则前n 项和n S 不存在最值）,利用二次函数求最值的方法进行求解；有以下三种可能：若对称轴n 正好取得正整数，则此时n 就取对称轴；若对称轴不是正整数，而是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值，则n 取这两个靠近对称轴的相邻的两个整数；若对称轴即不是正整数，又不是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值，则n 就取靠近对称轴的那个正整数；17、用方程思想处理等差数列中求相关参数问题，对于1,,,,n n a n S a d 这五个量，知任意三个可以求出其它的两个，即“知三求二”二、【等比数列】中的二级结论1、对等比数列定义的理解（1）是从第二项开始，每一项与前一项的比（2）每一项与前一项的比试同一个常数，且这个常数不为0（3）等比数列中任何一项都不为0（4）符号语言的描述：若数列{}n a 中满足1n n a q a +=（不为0的常数），则数列{}n a 为等比数列；2、当且仅当两个数a 和b同号是才存在等比中项，且等比中项为G =3、若,,a G b 成等比数列，则2G ab =4、判断给定的数列{}n a 是等比数列的方法（1）定义法：1n na q a +=（不为0的常数）⇔数列{}n a 为等比数列；（2）中项法：221n n n a a a ++=⇔数列{}n a 为等比数列；（3）前n 项和法：数列{}n a 的前n 项和=A-Aq nn S （A 是常数，0,0,1A q q ≠≠≠）⇔数列{}n a 为等比数列；5、等比数列通项公式的推广：若{}n a 为等比数列，则*(,)n m n m a a q n m N -=∈6、若数列{}n a 是等比数列，且项数*,,,(,,,)m n p q m n p q N ∈满足m n p q +=+，则m n p q a a a a =，反之也成立；当p q =时，2m n p a a a =，即p m n a a a 是和的等比中项；7、等比数列{}n a 中，若项数成等差数列，则对应的项也等比数列；8、等比数列{}n a 中，隔相同的项抽出一项所得到的数列仍为等比数列；9、若数列{}n a ，{}n b 都是等比数列且项数相同，则2{}(0),{},{}{}n n n n n na ka k ab a b ≠，都是等比数列； 10、若等比数列{}n a 的公比q 为参数，则在求前n 项和n S 时应分1q =和1q ≠两种情况讨论，即111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩；当1q ≠时1(1)(,0,0,1)1n n a S A q A A q q q=-=≠≠≠- 11、若三个数成等比数列，通常可设这三个数分别为,,x x xq q ； 12、（等比数列的片段和性质）公比不为1-的等比数列{}n a 前n 项和为n S ，则232,,,n n n n n S S S S S --⋅⋅⋅⋅⋅⋅成等比数列；13、用方程思想处理等比数列相关参数问题，对于1,,,,n n a n S a q 这五个量，知任意三个可以求出其它的两个，即“知三求二”；三、等差与等比数列综合二级结论1、若正项数列{}n a 为等比数列，则数列{log }an a 为等差数列； 2、若数列{}n a 为等差数列，则数列{}n a b 为等比数列； 3、任意两数,a b 都存在等差中项为2a b +，但不一定都存在等比中项，当且仅当,a b 同号时才存在等比中项为4、任意常数列都是等差数列，但不一定都是等比数列，当且仅当非零的常数列即是等差数列又是等比数列；。

等差与等比数列习题和答案

等差与等比数列1．数列1，3，7，15，…的通项公式a n 等于（）．（A ）2n （B ）2n ＋1 （C ）2n －1 （D ）2n －1【提示】排除法．由已知，各项均为奇数．所以（A ）、（D ）不正确．对于（B ），由于n ＝1时，21＋1＝3．所以（B ）也不正确．也可以直接归纳出2n －1．【答案】（C ）．2．已知等差数列的公差为d ，它的前n 项和S n ＝－n 2，那么（）．（A ）a n ＝2 n －1，d ＝－2 （B ）a n ＝2 n －1，d ＝2 （C ）a n ＝－2 n ＋1，d ＝－2 （D ）a n ＝－2 n ＋1，d ＝2 【提示】由S n ＝－n 2 知，a 1＝S 1＝－1，a 2＝S 2－a 1＝－3，从而d ＝－2，且a n ＝a 1＋（n －1）d ＝－1＋（n －1）〃（－2）＝－2 n ＋1．【答案】（C ）．3．在a 和b （a ≠b ）两数之间插入n 个数，使它们与a 、b 组成等差数列，则该数列的公差为（）．（A ）na b - （B ）1+-n a b （C ）1+-n b a （D ）2+-n a b【提示】b ＝a ＋[（n ＋2）－1]d ．【答案】（B ）．4．数列｛a n ｝中，a n ＝－2 n ＋100，当前n 项和S n 达到最大值时，n 等于（）．（A ）49 （B ）50 （C ）51 （D ）49或50【提示】令a n ＝－2 n ＋100≥0，得n ≤50．即a 49 以前各项均为正数，a 50＝0，故S 49 或S 50 最大．【答案】（D ）．5．等比数列｛a n ｝的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若510S S ＝3231，则510a a 等于（）．（A ）－321 （B ）－21 （C ）321 （D ）21【提示】由已知可求得q ＝－21．【答案】（A ）．6．等差数列｛a n ｝中，a 1＞0，S 5＝S 11，则第一个使a n ＜0的项是（）．（A ）a 7 （B ）a 8 （C ）a 9 （D ）a 10【提示】由S 5＝S 11 得2 a 1＋15 d ＝0，又a 1＞0，所以d ＜0．而2 a n ＝2 a 1＋2（n －1）d ＝（2 n －17）d ＜0，所以2 n －17＞0即n ＞8.5．【答案】（C ）．7．已知数列｛a n ｝中，a 3，a 10 是方程x 2－3 x －5＝0的两根，若｛a n ｝是等差数列，则a 5＋a 8＝___________________；若｛a n ｝是等比数列，则a 6〃a 7＝______________．【提示】a 3＋a 10＝3，a 3a 10＝－5．再利用已知与所求中的关系可求．【答案】a 5＋a 8＝a 3＋a 10＝3；a 6〃a 7＝a 3〃a 10＝－5．8．在等比数列｛a n ｝中，若其中三项a 1、a 2、a 4 又成等差数列，则公比是_____________．【提示】由已知，得2（a 1q ）＝a 1＋a 1q 3 即q 3－2 q ＋1＝0．【答案】1或251±-．9．等差数列｛a n ｝的公差d ＞0．已知S 6＝51，a 2〃a 5＝52．则S 7＝_______________．【提示】列出a 1 和d 的方程组，求a 1 和d ．进而求S 7 ．或由S 6＝2)(661a a +＝3（a 2＋a 5）＝51，得方程组⎩⎨⎧=⋅=+52175252a a a a ，求出a 2，a 5，进而求S 7 ．【答案】70．10．已知等差数列｛a n ｝的公差d ≠0，且a 1、a 3、a 9 成等比数列，则1042931a a a a a a ++++＝___________．【提示】由已知推出a 1＝d （d ≠0），并代入所求式中，消去d 即可．【答案】1613．11．已知数列{}n a 的通项公式a n =3n －50，则当n=______时，S n 的值最小，S n 的最小值是__________。

初中数学数列知识点

初中数学数列知识点数列是数学中非常重要的概念，它在初中数学中占据着重要地位。

数列是由一系列按照其中一种规律排列的数字所组成的序列。

初中数学中关于数列的知识点主要包括等差数列、等比数列、通项公式、前n项和等方面的内容。

以下将详细介绍这些知识点。

一、等差数列等差数列是指数列中任意相邻两项的差都相等的一种数列。

设等差数列的首项为a₁，公差为d，则等差数列的通项公式为：an = a₁ + (n-1)d，其中n代表第n项。

1.等差数列的前n项和公式：等差数列前n项和的公式为Sn = (a₁ + an)*n/2 = (2a₁ + (n-1)d)*n/22.等差数列中通项公式的推导：设等差数列的首项为a₁，公差为d，项数为n，则an = a₁ + (n-1)d，代入n = a₁ + (n-1)d得an = a₁ + a₁ + (n-1)d = 2a₁ + (n-1)d。

3.等差数列中求和公式的推导：设等差数列的前n项和为Sn = a₁ + a₂ + ... + an，将每一项与对应项相加得Sn = (a₁ + an) + (a₂ + a(n-1)) + ... = (a₁ + an)*n/2二、等比数列等比数列是指数列中任意相邻两项的比值都相等的一种数列。

设等比数列的首项为a₁，公比为q，则等比数列的通项公式为：an = a₁ * q^(n-1)，其中n代表第n项。

1.等比数列的前n项和公式：等比数列前n项和的公式为Sn=a₁*(q^n-1)/(q-1)。

2.等比数列中通项公式的推导：设等比数列的首项为a₁，公比为q，项数为n，则an = a₁ * q^(n-1)。

3.等比数列中求和公式的推导：设等比数列的前n项和为Sn = a₁ + a₂ + ... + an，与前一项相乘得q*Sn = a₁*q + a₂*q + ... + an*q，两式相减得(1-q)*Sn = a₁*(q^n -1)/(q - 1)。

等差数列与等比数列的函数特征

等差数列与等比数列的函数特征作者：赵国栋来源：《神州·中旬刊》2013年第04期数列是高中数学中重要的知识章节，每年高考对这一章节均进行重点考查。

数列是定义在正整数集合上的离散函数。

若能把一些数列问题转化为函数知识解决，可以起到事半功倍的效果。

一. 等差数列的函数特征数列{an}是一个等差数列，公差为d，则通项公式■，从式子结构看，■是关于n的广义的一次函数，当d=0时，■为常数。

当d>0时，■是一个增函数，d例1，数列{an}是等差数列，■，■是其前n项之和，若■且■，试问n取何值时■最大？分析：■，则■又■，则■■ ■又■ ，■■是一个减函数，当■时，■最大。

例2，数列{an}是一个等差数列，■表示其前n项之和，若■，并且■，求■.分析：■，■∵■是一个二次函数，且由■可知，直线■是其图像的一条对称轴。

设■，该抛物线与x轴有一个交点为P（0，0），则P关于■的对称点为■，■例3，数列{an}是一个等差数列，■，当n取何值时■最小，并求出最小值。

解：■，■当n≤5时，an0当n=5时，■最小，此时s5=-25.二. 等比数列的函数特征{an}是一个等比数列，公比为q，则■，令■，则■.上式体现出an是一个类似指函数的形式，而它的前n项和■ ，当q≠1时，）■，以下举例说明。

例4，数列{an}是一个等比数列，它的前n项和■，求a的值。

分析：■，由上面讨论可知，a与3互为相反数，■.例5，设{an}是一个等比数列，■，求最小的自然数n，使■.分析：■■使得■成立的最小自然数为7.点评：数列是高中代数的重要内容，也是与大学衔接的内容，由于其在测试学生逻辑思维能力与推理能力方面的不可替代的作用，数列在历年高考中占据重要地位。

高考数学复习考点题型专题讲解8 等差数列与等比数列

高考数学复习考点题型专题讲解专题8 等差数列与等比数列高考定位 1.等差、等比数列的基本运算和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现；2.数列的通项也是高考热点，难度中档以下.1.(2022·全国乙卷)已知等比数列{a n }的前3项和为168，a 2－a 5＝42，则a 6＝( ) A.14 B.12 C.6 D.3 答案 D解析法一设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，由题意可得⎩⎨⎧S 3＝168，a 2－a 5＝42，即⎩⎨⎧a 1（1＋q ＋q 2）＝168，a 1q （1－q 3）＝42，解得⎩⎨⎧a 1＝96，q ＝12，所以a 6＝a 1q 5＝3，故选D.法二设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，由题意可得⎩⎨⎧S 3＝168，a 2－a 5＝42，即⎩⎨⎧a 1（1－q 3）1－q ＝168，a 1q （1－q 3）＝42，解得⎩⎨⎧a 1＝96，q ＝12，所以a 6＝a 1q 5＝3，故选D.2.(2021·全国甲卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若S 2＝4，S 4＝6，则S 6＝( ) A.7 B.8 C.9 D.10 答案 A解析法一因为S 2＝4，S 4＝6，且易知公比q ≠±1，所以由等比数列的前n 项和公式，得⎩⎪⎨⎪⎧S 2＝a 1（1－q 2）1－q ＝a 1（1＋q ）＝4，S 4＝a 1（1－q 4）1－q ＝a 1（1＋q ）（1＋q 2）＝6，两式相除，得q 2＝12，所以⎩⎨⎧a 1＝4（2－2），q ＝22或⎩⎨⎧a 1＝4（2＋2），q ＝－22，所以S 6＝a 1（1－q 6）1－q＝7.故选A.法二易知S 2，S 4－S 2，S 6－S 4构成等比数列，由等比中项得S 2(S 6－S 4)＝(S 4－S 2)2，即4(S 6－6)＝22，所以S 6＝7.故选A.3.(2022·新高考Ⅱ卷)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA ′，BB ′，CC ′，DD ′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD 1，CC 1，BB 1，AA 1是举，OD 1，DC 1，CB 1，BA 1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为DD 1OD 1＝0.5，CC 1DC 1＝k 1，BB 1CB 1＝k 2，AA 1BA 1＝k 3.已知k 1，k 2，k 3成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则k 3等于( )A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9答案 D解析设OD1＝DC1＝CB1＝BA1＝1，则CC1＝k1，BB1＝k2，AA1＝k3，依题意，有k3－0.2＝k1，k3－0.1＝k2，且DD1＋CC1＋BB1＋AA1OD1＋DC1＋CB1＋BA1＝0.725，所以0.5＋3k3－0.34＝0.725，故k3＝0.9.4.(2021·全国甲卷)已知数列{a n}的各项为正数，记S n为{a n}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列{a n}是等差数列；②数列{S n}是等差数列；③a2＝3a1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.解①③⇒②.已知{a n}是等差数列，a2＝3a1.设数列{a n}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，所以S n＝na1＋n（n－1）2d＝n2a1.因为数列{a n }的各项均为正数，所以S n ＝n a 1，所以S n ＋1－S n ＝(n ＋1)a 1－n a 1＝a 1(常数)，所以数列{S n }是等差数列. ①②⇒③.已知{a n }是等差数列，{S n }是等差数列. 设数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n （n －1）2d＝12n 2d ＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .因为数列{S n }是等差数列，所以数列{S n }的通项公式是关于n 的一次函数，则a 1－d2＝0，即d ＝2a 1，所以a 2＝a 1＋d ＝3a 1. ②③⇒①.已知数列{S n }是等差数列，a 2＝3a 1，所以S 1＝a 1，S 2＝a 1＋a 2＝4a 1. 设数列{S n }的公差为d ，d ＞0，则S 2－S 1＝4a 1－a 1＝d ，得a 1＝d 2，所以S n ＝S 1＋(n －1)d ＝nd ，所以S n ＝n 2d 2，所以n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2d 2－(n －1)2d 2＝2d 2n －d 2，对n ＝1也适合，所以a n ＝2d 2n －d 2，所以a n ＋1－a n ＝2d 2(n ＋1)－d 2－(2d 2n －d 2)＝2d 2(常数)，所以数列{a n }是等差数列.热点一等差数列、等比数列的基本公式1.等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ；2.等比数列的通项公式：a n ＝a 1·q n －1.3.等差数列的求和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d ；4.等比数列的求和公式：S n ＝⎩⎨⎧a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q1－q ，q ≠1，na 1，q ＝1.例 1 (1)已知等比数列{a n }的各项均为正数，且3a 12，a 34，a 2成等差数列，则a 20＋a 19a 18＋a 17等于( ) A.9 B.6 C.3 D.1(2)(2022·全国乙卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若2S 3＝3S 2＋6，则公差d ＝________.(3)已知{a n }是递减的等比数列，且a 2＝2，a 1＋a 3＝5，则{a n }的通项公式为________；a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1(n ∈N *)＝________. 答案 (1)A (2)2(3)a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3(n ∈N *) 323×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n解析 (1)设公比为q ，由3a 12，a 34，a 2成等差数列，可得3a 12＋a 2＝a 32，所以3a 12＋a 1q ＝a 1q 22，则q 2－2q －3＝0，解得q ＝－1(舍去)或q ＝3.所以a 20＋a 19a 18＋a 17＝a 18q 2＋a 17q 2a 18＋a 17＝q 2＝9.(2)由2S 3＝3S 2＋6，可得2(a 1＋a 2＋a 3)＝3(a 1＋a 2)＋6，化简得2a 3＝a 1＋a 2＋6，即2(a 1＋2d )＝2a 1＋d ＋6，解得d ＝2.(3)设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，a 1＋a 3＝5，得2q＋2q ＝5，解得q ＝12或q ＝2，又{a n }是递减的等比数列，所以q ＝12，所以a n ＝a 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＝12n －3，所以a n a n ＋1＝12n －3·12n －2＝122n －5，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1是首项为8，公比为14的等比数列的前n 项和，故a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n1－14＝323×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n.规律方法等差数列、等比数列的基本量问题的求解策略 (1)抓住基本量：首项a 1、公差d 或公比q .(2)熟悉一些结构特征，如前n 项和为S n ＝an 2＋bn (a ，b 是常数)形式的数列为等差数列，通项公式为a n ＝p ·q n －1(p ，q ≠0)形式的数列为等比数列.训练1 (1)(2022·潍坊三模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 7－S 6＝24，a 3＝8，则数列{a n }的公差d ＝( ) A.2 B.4 C.6 D.8(2)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 3＝30，S 4＝90，设b n ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫13a n ，则数列{b n }的前15项和为( ) A.16 B.80 C.120 D.150(3)(2022·成都诊断)程大位是我国明代伟大的数学家，在他所著的《算法统宗》中有一道“竹筒容米”题：家有九节竹一茎，为因盛米不均平；下头三节三升九，上梢四节贮三升；惟有中间二节竹，要将米数次第盛；若是先生能算法，教君只算到天明.用你所学的数学知识求得中间二节的容积和为( ) A.2.1升 B.2.6升 C.2.7升 D.2.9升答案 (1)B (2)C (3)A解析 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，而a 7＝S 7－S 6＝24，又a 3＝8，∴a 7－a 3＝a 1＋6d －(a 1＋2d )＝4d ＝16，解得d ＝4，故选B.(2)设等比数列{a n }的公比为q ，则S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(a 1＋a 3)(1＋q )＝90，又a 1＋a 3＝a 1(1＋q 2)＝30，解得a 1＝6，q ＝2，所以a n ＝a 1q n －1＝3·2n ，所以b n ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫13a n ＝n ，则{b n }为等差数列，所以数列{b n }的前15项和T 15＝15（b 1＋b 15）2＝15×（1＋15）2＝120.故选C.(3)设从下到上每节竹容积构成数列{a n }，易知{a n }为等差数列，设其公差为d ，则a 1＋a 2＋a 3＝3.9，a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝3，即（a 1＋a 3）×32＝3.9，（a 6＋a 9）×42＝3，所以a 1＋a 3＝2.6，a 6＋a 9＝1.5，即2a 1＋2d ＝2.6，2a 1＋13d ＝1.5，解得a 1＝1.4，d ＝－0.1，所以a 4＝1.1，a 5＝1，所以a 4＋a 5＝2.1.故选A.热点二等差数列、等比数列的性质1.通项性质：若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则对于等差数列，有a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k ，对于等比数列，有a m a n ＝a p a q ＝a 2k .2.前n 项和的性质(m ，n ∈N *)：对于等差数列有S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等差数列；对于等比数列有S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等比数列(q ＝－1且m 为偶数情况除外).例2 (1)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3＝2－2，a 5＝2＋1，则a 1a 5＋2a 2a 6＋a 3a 7＝( ) A.1 B.9C.52＋7D.32＋9(2)(2022·徐州二模)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝( ) A.2 B.73C.83D.3(3)(2022·金华模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 6＋a 7＝1，则S 12＝________；若a 7<0，则使得不等式S n <0成立的最小整数n ＝________. 答案 (1)B (2)B (3)6 13 解析 (1)由等比数列的性质可得：a 1a 5＋2a 2a 6＋a 3a 7＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝(2－2＋2＋1)2＝9，故选B. (2)因为等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 6S 3＝3，即S 6＝3S 3，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，即S 6－S 3S 3＝S 9－S 6S 6－S 3，故4S 3＝S 9－S 6，故S 9＝7S 3，故S 9S 6＝73.(3)根据题意，{a n }为等差数列，若a 6＋a 7＝1，则S 12＝（a 1＋a 12）×122＝（a 6＋a 7）×122＝6，若a 7<0，则S 13＝（a 1＋a 13）×132＝13a 7<0，则使不等式S n <0成立的最小整数n ＝13. 规律方法等差、等比数列性质问题的求解策略(1)抓住项与项之间的关系及项与序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解.(2)数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题.训练2 (1)(2022·长沙三模)在等比数列{a n}中，a7，a11是方程x2＋5x＋2＝0的两根，则a3a9a15a5a13的值为( )A.－2＋22B.－ 2C.2D.－2或 2(2)(2022·聊城检测)设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S4S8＝25，则S8S16＝( )A.514B.726C.35 D.25(3)已知各项均为正数的等比数列{a n}，a6，3a5，a7成等差数列，若{a n}中存在两项a m，a n ，使得4a1为其等比中项，则1m＋4n的最小值为( )A.4B.9C.23 D.32答案(1)B (2)A (3)D解析(1)在等比数列{a n}中，a7，a11是方程x2＋5x＋2＝0的两根，则a7＋a11＝－5，a7·a11＝2，∴a9＝－2，则a3a9a15a5a13＝a39a29＝a9＝－ 2.(2)因为数列{a n}为等差数列，所以S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列.因为S 4S 8＝25，所以设S 4＝2k ，S 8＝5k ，k ≠0，则S 8－S 4＝3k ，可知S 12－S 8＝4k ，S 16－S 12＝5k ，所以S 12＝9k ，S 16＝14k ，所以S 8S 16＝5k 14k ＝514.(3)因为a 6，3a 5，a 7成等差数列，所以2×3a 5＝a 6＋a 7.又{a n }是各项均为正数的等比数列，设其首项为a 1，公比为q ，所以6a 1q 4＝a 1q 5＋a 1q 6，所以q 2＋q －6＝0，解得q ＝2或q ＝－3(舍去)，又4a 1为a m ，a n 的等比中项，所以(4a 1)2＝a m ·a n ，所以16a 21＝a 1·2m －1·a 1·2n －1＝a 21·2m ＋n －2＝24×a 21，所以m ＋n －2＝4，即m ＋n ＝6，所以1m ＋4n ＝16(m ＋n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4m n ＋n m ＋4≥16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋24mn ·n m ＝32，当且仅当4m n ＝nm，即m ＝2，n ＝4时，等号成立，所以1m＋4n的最小值为32.故选D.热点三等差数列、等比数列的判断与证明证明数列为等差(比)数列一般使用定义法.例3(2021·全国乙卷)设S n为数列{a n}的前n项和，b n为数列{S n}的前n项积，已知2Sn ＋1bn＝2.(1)证明：数列{b n}是等差数列；(2)求{a n}的通项公式.(1)证明因为b n是数列{S n}的前n项积，所以n≥2时，S n＝bnbn－1，代入2Sn＋1bn＝2可得，2b n－1bn＋1bn＝2，整理可得2b n－1＋1＝2b n，即b n－b n－1＝12(n≥2).又2S 1＋1b 1＝3b 1＝2，所以b 1＝32，故{b n }是以32为首项，12为公差的等差数列.(2)解由(1)可知，b n ＝32＋12(n －1)＝n ＋22，则2S n ＋2n ＋2＝2，所以S n ＝n ＋2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝32，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋2n ＋1－n ＋1n ＝－1n （n ＋1）. 故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧32，n ＝1，－1n （n ＋1），n ≥2.易错提醒a n ＋1＝a n q 和a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2)都是数列为等比数列的必要不充分条件，判定时还要看各项是否为零.训练3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝6，S n ＝12a n ＋1＋1.(1)证明：数列{S n －1}为等比数列，并求出S n ；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 的前n 项和T n .(1)证明由S n ＝12a n ＋1＋1，得S n ＝12(S n ＋1－S n )＋1，即S n ＋1－1＝3(S n －1)，又a 2＝6，∴S 1＝2a 2＋1＝4，S 1－1＝3≠0，∴数列{S n －1}是首项为3，公比为3的等比数列，即S n －1＝3n ， ∴S n ＝3n ＋1.(2)解由(1)可得：S n ＝12a n ＋1＋1＝3n ＋1，∴a n ＋1＝2×3n ， ∴a n ＝2×3n －1(n ≥2)，又a 1＝4≠2×31－1＝2， ∴a n ＝⎩⎨⎧4，n ＝1，2×3n －1，n ≥2， ∴1a n＝⎩⎪⎨⎪⎧14，n ＝1，12×3n －1，n ≥2，∴当n ≥2时，T n ＝1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＝14＋12×13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －11－13＝12－14×3n －1，当n ＝1时T 1＝14也符合上式，综上，T n ＝12－14×3n －1.一、基本技能练1.已知等比数列{a n }满足a 1＝2，a 3a 5＝4a 26，则a 3的值为( ) A.1 B.2C.1或－1D.2答案 A解析由题意得a 3a 5＝a 24＝4a 26，又在等比数列中偶数项同号， ∴a 4＝2a 6，∴q 2＝12，∴a 3＝a 1q 2＝1，故选A.2.设数列{a n }是等差数列，S n 是数列{a n }的前n 项和，a 3＋a 5＝10，S 5＝15，则S 6＝( ) A.18 B.24 C.30 D.36 答案 B解析由等差数列的性质知a 4＝a 3＋a 52＝5，而S 5＝a 1＋a 52×5＝5a 3＝15，则a 3＝3，等差数列{a n }的公差d ＝a 4－a 3＝2，所以a 1＝a 3－2d ＝－1，则S 6＝6a 1＋6×（6－1）2·d ＝－6＋30＝24.3.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块.向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )A.3 699块B.3 474块C.3 402块D.3 339块答案 C解析设每一层有n环，由题意可知，从内到外每环之间构成公差为d＝9，首项为a1＝9的等差数列.由等差数列的性质知S n，S2n－S n，S3n－S2n成等差数列，且(S3n－S2n)－(S2n－S n)＝n2d，则9n2＝729，解得n＝9，则三层共有扇面形石板S3n＝S27＝27×9＋27×262×9＝3 402(块).4.若等差数列{a n}的前n项和为S n，则“S2 022>0，S2 023<0”是“a1 011a1 012<0”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析因为S2 022>0，S2 023<0，所以（a1＋a2 022）×2 0222>0，（a1＋a2 023）×2 0232<0，即a1＋a2 022＝a1 011＋a1 012>0，a1＋a2 023＝2a1 012<0，所以a1 011>0，a1 012<0，且a1 011>|a1 012|，所以a1 011a1 012<0，充分性成立；而当a1 011a1 012<0时，a1 011>0，a1 012<0或a1 011<0，a1 012>0，则S2 022>0，S2 023<0不一定成立.故“S2 022>0，S2 023<0”可以推出“a1 011a1 012<0”，但“a1 011a1 012<0”不能推出“S2 022>0，S2 023<0”，所以“S2 022>0，S2 023<0”是“a1 011a1 012<0”的充分不必要条件.故选B.5.(多选)已知等比数列{a n}的公比为q，且a5＝1，则下列选项正确的是( )A.a3＋a7≥2B.a4＋a6≥2C.a7－2a6＋1≥0D.a3－2a4－1≥0答案AC解析因为等比数列{a n}的公比为q，且a5＝1，所以a3＝1q2，a4＝1q，a6＝q，a7＝q2，因为a3＋a7＝1q2＋q2≥2，当且仅当q2＝1时等号成立，故A正确；因为a4＋a6＝1q＋q，当q<0时式子为负数，故B错误；因为a7－2a6＋1＝q2－2q＋1＝(q－1)2≥0，故C正确；因为a3－2a4－1＝1q2－2q－1＝⎝⎛⎭⎪⎫1q－12－2，则a3－2a4－1≥0不成立，故D错误.6.(多选)(2022·张家口质检)已知数列{a n}的前n项和为S n，下列说法正确的是( )A.若S n＝n2＋1，则{a n}是等差数列B.若S n＝3n－1，则{a n}是等比数列C.若{a n }是等差数列，则S 9＝9a 5D.若{a n }是等比数列，且a 1>0，q >0，则S 1·S 3>S 22 答案 BC解析若S n ＝n 2＋1，当n ≥2时，a n ＝2n －1，a 1＝2不满足a n ＝2n －1，故A 错误；若S n ＝3n －1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2·3n －1，由于a 1＝S 1＝31－1＝2，满足a n ＝2·3n －1，所以{a n }是等比数列，故B 正确；若{a n }是等差数列，则S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5，故C 正确；当q ＝1时，S 1·S 3－S 22＝a 21(1＋q ＋q 2)－a 21(1＋q )2＝－a 21q <0，故D 错误，综上，选BC.7.写出一个公差为2，且前3项和小于第3项的等差数列a n ＝________. 答案 2n －4(n ∈N *)(答案不唯一) 解析依题意得⎩⎨⎧a 1＋a 2＋a 3<a 3，d ＝2，解得a 1<－1，不妨令a 1＝－2，∴a n ＝2n －4.8.(2022·菏泽模拟)已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n ＝2a n －1，若a n ∈(0，2 022)，则称项a n 为“和谐项”，则数列{a n }的所有“和谐项”的和为________. 答案 2 047解析当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2a n－1－(2a n－1－1)＝2a n－2a n－1，∴a n＝2a n－1，又由a1＝S1＝2a1－1，得a1＝1，∴{a n}是公比为2，首项为1的等比数列，∴a n＝2n－1，由a n＝2n－1<2 022，得n－1≤10，即n≤11，∴所求和为S11＝1－2111－2＝2 047.9.已知数列{a n}满足a1＝1，(a n＋a n＋1－1)2＝4a n a n－1，且a n＋1>a n(n∈N*)，则数列{a n}的通项公式a n＝________.答案n2解析因为a1＝1，a n＋1>a n≥a1>0，所以a n＋1>a n.由(a n＋a n＋1－1)2＝4a n a n＋1得a n＋1＋a n－1＝2a n a n＋1，所以(a n＋1－a n)2＝1，所以a n＋1－a n＝1，所以数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，所以a n＝n，即a n＝n2.10.(2022·福州模拟)已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，若S2＋a2＝S3－3，则a4＋3a2的最小值为________.答案18解析由S2＋a2＝S3－3得a2＝S3－S2－3＝a3－3，所以a 1q ＝a 1q 2－3⇒a 1＝3q 2－q>0⇒q >1，所以a 4＋3a 2＝a 1q 3＋3a 1q ＝3（q 3＋3q ）q 2－q ＝3（q 2＋3）q －1＝3×（q －1）2＋2（q －1）＋4q －1＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤（q －1）＋4q －1＋6 ≥3×2（q －1）·4q －1＋6＝18，当且仅当q －1＝4q －1，即q ＝3时等号成立，故a 4＋3a 2的最小值为18. 11.设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝4，a 3－a 1＝8. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{log 3a n }的前n 项和.若S m ＋S m ＋1＝S m ＋3(m ∈N *)，求m . 解 (1)设{a n }的公比为q ，则a n ＝a 1qn －1.由已知得⎩⎨⎧a 1＋a 1q ＝4，a 1q 2－a 1＝8，解得⎩⎨⎧a 1＝1，q ＝3.所以{a n }的通项公式为a n ＝3n －1(n ∈N *). (2)由(1)知log 3a n ＝n －1，故S n ＝n （n －1）2(n ∈N *).由S m ＋S m ＋1＝S m ＋3，得m (m －1)＋(m ＋1)m ＝(m ＋3)(m ＋2)，即m 2－5m －6＝0.解得m ＝－1(舍去)或m ＝6.12.(2022·新高考Ⅱ卷)已知{a n }是等差数列，{b n }是公比为2的等比数列，且a 2－b 2＝a3－b3＝b4－a4.(1)证明：a1＝b1；(2)求集合{k|b k＝a m＋a1，1≤m≤500}中元素的个数.(1)证明设等差数列{a n}的公差为d，由a2－b2＝a3－b3得a1＋d－2b1＝a1＋2d－4b1，即d＝2b1，由a2－b2＝b4－a4得a1＋d－2b1＝8b1－(a1＋3d)，即a1＝5b1－2d，将d＝2b1代入，得a1＝5b1－2×2b1＝b1，即a1＝b1.(2)解由(1)知a n＝a1＋(n－1)d＝a1＋(n－1)×2b1＝(2n－1)a1，b n＝b1·2n－1，由b k＝a m＋a1，得b1·2k－1＝(2m－1)a1＋a1，由a1＝b1≠0得2k－1＝2m，由题知1≤m≤500，所以2≤2m≤1 000，所以k＝2，3，4，…，10，共9个数，即集合{k|b k＝a m＋a1，1≤m≤500}＝{2，3，4，…，10}中元素的个数为9.二、创新拓展练13.(多选)(2022·济南质检)在等比数列{a n}中，公比为q，其前n项积为T n，并且满足a 1>1，a99·a100－1>0，a99－1a100－1<0，下列结论中正确的是( )A.0<q<1B.a99·a101－1<0C.T100的值是T n中最大的D.使T n>1成立的最大自然数n值等于198 答案ABD解析对于A，∵a99·a100－1>0，∴a 21·q 197>1，∴(a 1·q 98)2·q >1. ∵a 1>1，∴q >0. 又∵a 99－1a 100－1<0， ∴a 99>1，且a 100<1， ∴0<q <1，故A 正确；对于B ，∵a 2100＝a 99·a 101，a 100<1， ∴0<a 99·a 101<1，即a 99·a 101－1<0，故B 正确；对于C ，由于T 100＝T 99·a 100，而0<a 100<1，故有T 100<T 99，故C 错误；对于D ，T 198＝a 1·a 2·…·a 198＝(a 1·a 198)(a 2·a 197)·…·(a 99·a 100)＝(a 99·a 100)99>1，T 199＝a 1·a 2·…·a 199＝(a 1·a 199)·(a 2·a 198)…(a 99·a 101)·a 100＝(a 100)100<1，故D 正确. 故选ABD.14.(多选)(2022·石家庄模拟)已知数列{a n }满足a 1＝10，a 5＝2，且a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0(n ∈N *)，则下列结论正确的是( ) A.a n ＝12－2nB.|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩⎨⎧30，n ≤5，n 2＋5，n >5C.|a n |的最小值为0D.当且仅当n ＝5时，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 取得最大值30 答案 AC解析由a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0，可得a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，所以数列{a n }是等差数列，设公差为d ，因为a 1＝10，a 5＝2，所以d ＝a 5－a 15－1＝－2，所以a n ＝10－2(n －1)＝12－2n ，故A 正确；当n ＝6时，a n ＝0，所以当n ≤5时，a n >0，当n >5时，a n ≤0，所以当n ≤5时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝n （10＋12－2n ）2＝11n －n 2.当n >5时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a 5－a 6－…－a n＝－(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )＋2(a 1＋a 2＋…＋a 5) ＝－S n ＋2S 5 ＝－(11n －n 2)＋60 ＝n 2－11n ＋60，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩⎨⎧11n －n 2，n ≤5，n 2－11n ＋60，n >5，故B 错误；|a n |＝|12－2n |，当n ＝6时，|a n |取得最小值为0，故C 正确；当n ＝5或n ＝6时，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 取最大值30，故D 错误.15.(多选)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2a n －2(n ≥3)，则下列结论正确的是( ) A.数列{a n ＋1＋a n }为等比数列 B.数列{a n ＋1－2a n }为等比数列 C.a n ＝2n ＋1＋（－1）n3D.S 20＝23(410－1)答案 ABD解析因为a n ＝a n －1＋2a n －2(n ≥3)，所以a n ＋a n －1＝2a n －1＋2a n －2 ＝2(a n －1＋a n －2)，又a 1＋a 2＝2≠0，所以{a n ＋a n ＋1}是等比数列，A 正确；同理a n －2a n －1＝a n －1＋2a n －2－2a n －1＝－a n －1＋2a n －2＝－(a n －1－2a n －2)，而a 2－2a 1＝－1，所以{a n ＋1－2a n }是等比数列，B 正确；若a n ＝2n ＋1＋（－1）n3，则a 2＝23＋（－1）23＝3，但a 2＝1≠3，C 错误；由A 知{a n ＋a n ＋1}是等比数列，且公比为2，因此数列a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，…仍然是等比数列，公比为4，其前10项和为T 10，则S 20＝T 10＝2（1－410）1－4＝23(410－1)，故D 正确.16.(多选)(2022·泰州调研)若正整数m ，n 只有1为公约数，则称m ，n 互质，对于正整数k ，φ(k )是不大于k 的正整数中与k 互质的数的个数，函数φ(k )以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：φ(2)＝1，φ(3)＝2，φ(6)＝2，φ(8)＝4.已知欧拉函数是积性函数，即如果m ，n 互质，那么φ(mn )＝φ(m )φ(n )，例如：φ(6)＝φ(2)φ(3)，则( ) A.φ(5)＝φ(8)B.数列{φ(2n )}是等比数列C.数列{φ(6n )}不是递增数列D.数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1φ（6n ）的前n 项和小于35 答案 ABD解析 ∵φ(5)＝4，φ(8)＝4， ∴φ(5)＝φ(8)，A 对.∵φ(2n )＝2n －1，∴{φ(2n )}是等比数列，B 对.∵φ(6n )＝2·6n －1，∴{φ(6n )}一定是单调递增数列，故C 错.φ(6n )＝2·6n －1，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1φ（6n）的前n 项和S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫16n1－16＝35⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫16n<35，D 对，选ABD. 17.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝12，S n ＋1·(2－S n )＝1.(1)求证：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1S n －1是等差数列； (2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 中最接近2 023的数.(1)证明1S 1－1＝1a 1－1＝－2.由S n ＋1·(2－S n )＝1，得S n ＋1＝12－S n. 因为1S n ＋1－1－1S n －1＝112－S n－1－1S n －1＝2－S n S n －1－1S n －1＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1S n －1是以－2为首项，－1为公差的等差数列.(2)解由(1)得1S n －1＝－2＋(n －1)×(－1)＝－(n ＋1)，即S n ＝nn ＋1，则a n ＝S n －S n －1＝nn ＋1－n －1n ＝1n （n ＋1）(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝12满足上式，所以a n ＝1n （n ＋1）(n ∈N *)，则1a n＝n (n ＋1).由f (x )＝x (x ＋1)＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122－14在(0，＋∞)上单调递增，当n ＝44时，1a 44＝44×45＝1 980；当n ＝45时，1a 45＝45×46＝2 070.所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 中最接近2 023的数是1 980.。

代数中的等差数列与等比数列

代数中的等差数列与等比数列代数中的等差数列（Arithmetic Progression，简称AP）和等比数列（Geometric Progression，简称GP）是数学中常见的两种数列。

它们在数学和实际应用中都起着重要的作用。

本文将对这两种数列进行介绍和比较，并讨论它们在不同领域中的应用。

一、等差数列等差数列是指一个数列中的任意两个相邻的数之差都相等的数列。

用公式表示为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。

例如，1，3，5，7，9就是一个等差数列，公差为2。

在这个数列中，相邻两项之差始终为2。

等差数列具有以下特点：1. 公差确定性：等差数列的公差确定了数列中任意两项之间的差值。

2. 递推性：通过知道首项和公差，可以逐步计算其他项。

3. 对称性：等差数列关于中间项对称，即an = a(n+1-m)，其中m为正整数。

4. 求和公式：等差数列的前n项和可表示为Sn = (n/2)(a1 + an)。

等差数列在代数中的应用非常广泛，例如：1. 数学问题中：常用于求和、求未知项和求平均数等计算。

2. 经济学中：用于描述投资收益率中的等差增长。

3. 物理学中：常用于描述匀速直线运动的位移变化。

二、等比数列等比数列是指一个数列中的任意两个相邻的数之比都相等的数列。

用公式表示为：an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，r 表示公比。

例如，2，6，18，54，162就是一个等比数列，公比为3。

在这个数列中，任意两项之比始终为3。

等比数列具有以下特点：1. 公比确定性：等比数列的公比确定了数列中任意两项之比值。

2. 递推性：通过知道首项和公比，可以逐步计算其他项。

3. 比率可逆性：等比数列的逆数也是等比数列，即1/an也是等比数列。

4. 求和公式：等比数列的前n项和可表示为Sn = (a1 * (r^n - 1)) / (r - 1)。

等比数列在代数中的应用也非常广泛，例如：1. 数学问题中：常用于求和、求未知项和求平均数等计算。

数列二级结论大全

数列二级结论大全数列研究以及推导数学结论是数学中十分重要的内容，而数列二级结论又是其中重要的一部分。

数列二级结论大全是为了汇总数学中数列二级结论，加深读者对数列二级结论的理解和领悟。

数列二级结论大全主要涉及以下几种类型的数列二级结论：一、比率数列结论。

比率数列结论主要指每一项与前一项的比率相同的数列，这类数列又称为等比数列。

其结论有：（1）等比数列的公比是所有项的比率的几何平均数；（2）等比数列前n项之积乘以等比数列的公比的n次方，等于等比数列的n+1项；（3）等比数列前n 项之和等于等比数列的公比减一乘以等比数列的前n项之积；（4）等比数列的首项和公比的乘积，等于等比数列的末项和公比的积；（5）等比数列的每一项，等于等比数列的首项乘以其公比的幂次。

二、等差数列结论。

等差数列结论指的是每一项与前一项的差值相同的数列，这类数列又称为等差数列。

其结论有：（1）等差数列的公差是每两项之差的等比数列；（2）等差数列前n项之和为n项之积减一乘以等差数列的公差；（3）等差数列前n项之积等于等差数列的首项和公差的乘积；（4）等差数列的末项等于等差数列的首项加上等差数列的公差乘以之前的项数减一；（5）等差数列每一项等于等差数列的首项加上等差数列的公差乘以之前的差数。

三、等差数列综合结论。

等差数列综合结论是指将等差数列和等比数列做综合推理，形成的结论。

等差数列综合结论有：（1）若数列中第一项和末项为等差数列，则数列为一等差数列；（2）若数列中第一项和末项为等比数列，则数列为一等比数列；（3）若数列中第一项和末项均不同，则数列可能为一等差数列，也可能为一等比数列；（4）若数列的任意两项的比率，均恒等于第一项和末项的比率，则数列为一等比数列；（5）若数列的任意两项的差值，均恒等于第一项和末项的差值，则数列为一等差数列。

此外，还有综合类数列二级结论，比如三角形中边长数列的重心三角形结论，以及等差数列各项平方和结论。

总之，数列二级结论大全是一份汇集了数学数列二级结论的全面集大成之作，无论是从理论还是从实践应用上，都以其深远的影响力改变了这一领域，并且成为数学史上的一页精彩。

祖冲之的数学著作

祖冲之的数学著作
祖冲之的数学著作主要有《九章算术》、《四分原术》、《算经》、《宣和算经》、《补经》和《易析》等。

1、《九章算术》：是祖冲之的代表作，收录了他的算术思想和成果，
包括了九个研究方面，如商力算、三角函数计算、圆形度数计算、十
字度数计算、曲率计算、圆周率计算等。

2、《四分原术》：是祖冲之在三角函数领域的杰出著作，由四个部分
构成，其中最重要的部分是第二部分，即细分理论。

它是第一本关于
细分理论的数学著作，是第一本把三角函数运用指数代换法求解算术
问题的数学著作，为后世研究三角函数方面的发展奠定了基础。

3、《算经》：是一部关于等差等比数列的数学论著，记录了祖冲之有
关尚算九章的研究成果，其中包括关于数列催收、分解、方程求根等
问题的解决方法。

4、《宣和算经》：是祖冲之的另一部关于数列的重要著作，主要内容
是关于等差数列和等比数列的各种定理与推断及算式的推导。

5、《补经》：是祖冲之对《算经》和《宣和算经》校对更正之作，有
其若干个重要的定理，如“夔经定理”，“三四较级定理”等。

6、《易析》：是祖冲之的最后力作，主要内容是关于分数的思想，记录了祖冲之分数等价转换的基本定理和计算方法。

七年级和差倍分问题的全部公式

七年级和差倍分问题的全部公式七年级和差倍分问题是中学数学中普遍存在的一类问题。

其也是近几年高考数学考试中常考的课题。

这类问题主要涉及到两种基本数学思想：等比数列和等差数列。

本文将介绍七年级和差倍分的全部公式，并运用公式计算和求解实际问题。

七年级和差倍分的全部公式可以总结为以下三类：一、等比数列公式1、等比数列求和公式：a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n = (a_1 * (1 - q^n))/(1 - q) 其中a_1为等比数列的首项，q为公比，n为项数。

2、等比数列求积公式：a_1 * a_2 * a_3 * ... * a_n = a_1^n * q^(n(n-1)/2) 其中a_1为等比数列的首项，q为公比，n为项数。

二、等差数列公式1、等差数列求和公式：a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n = n * (a_1 + a_n)/2 其中a_1为等差数列的首项，a_n为等差数列的末项，n为项数。

2、等差数列求积公式：a_1 * a_2 * a_3 * ... * a_n = a_1^n * (a_n/a_1)^(n-1) 其中a_1为等差数列的首项，a_n为等差数列的末项，n为项数。

三、和差倍分公式1、和差倍分求和公式：a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + ... + (a_1 + (n-1)d) = (2a_1 + (n-1)d) * n/2其中a_1为等差数列的首项，d为等差数列的公差，n为项数。

2、和差倍分求积公式：a_1 * (a_1 + d) * (a_1 + 2d) * ... * (a_1 + (n-1)d) = a_1^n * (a_1 + (n-1)d)^(n-1)其中a_1为等差数列的首项，d为等差数列的公差，n为项数。

通过学习以上公式，我们就能完全理解七年级和差倍分问题，并可以使用公式来求解实际问题了。

这里我们就来解决一个七年级和差倍分问题：若一列数满足1/5、1/5x5、1/5x5x5…依次下去，求这列数的前8项的和。

等差等比数列专题

∴Tn＝(1＋2＋…＋n)＋12＋212＋…＋21n－n＝n＋21n＋1211－－1221n－n ＝n2－2n＋2－21n.
[变式训练] 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，数列{bn}中，b1＝a1， bn＝an－an－1(n≥2)，且 an＋Sn＝n.
(1)设 cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列； (2)求数列{bn}的通项公式．
na1q＝1 (2)等比数列的前 n 项和公式 Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnqq≠1 .
3 ．数列 {an} 的前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系式 an ＝
S1 n＝1 Sn－Sn－1 n≥2 .
4．性质等差数列
①若 m＋n＝p＋q，则 am＋an＝ap＋aq 若 m＋n＝2k，则 am＋an＝2ak
(2)①假设存在实数 p，q，使数列{an＋pn＋q}为等比数列，且其公比为 A，则由题意得，an＋1＋p(n＋1)＋q＝A(an＋pn＋q)，即 an＋1＝ Aan＋(Ap－p)n＋Aq－q－p，又 an＋1＝2an＋n＋1，
A＝2 ∴Ap－p＝1
Aq－q－p＝1
A＝2 ，即p＝1
q＝2
，∴an＋1＋(n＋1)＋2＝2(an＋n＋
(2)由(1)可知 cn＝－12·12n－1＝－12n， ∴an＝cn＋1＝1－21n. ∴当 n≥2 时，bn＝an－an－1＝1－21n－1－12n－1＝21n－1－21n＝ 21n. 又 b1＝a1＝12也符合上式，
∴bn＝21n.
[方法规律] 判定或证明{an}为等差数列或等比数列的常用方法 (1)通项公式法： an＝pn＋q(p，q 为常数，n∈N*)⇔{an}为等差数列； an＝cqn(c，q 为非零常数，n∈N*)⇔{an}为等比数列． (2)前 n 项和公式法： Sn＝an2＋bn(a，b 都是常数)⇔{an}为等差数列； Sn＝k(qn－1)，k 为常数，且 q≠0,1⇔{an}为等比数列.