正弦函数的图象和性质教案

正弦函数的图像和性质

教学目标：

1、 知识与技能目标

通过研究正弦函数图像及其画法,理解并掌握正弦函数的性质，运用其性质解决相关问题

2、 过程与方法目标

通过主动思考，主动发现，亲历知识的形成过程，使学生对正弦函数的性质有深刻的理解， 培养学生的观察、分析、归纳和表达能力以及数形结合和化归转化的数学思想方法

3、 情感态度与价值观

用联系的观点看待问题，善于类比联想，直观想象，对数形结合有进一步认识，激发学习数学的兴趣，养成良好的数学品质。 教学重点：

五点法作正弦函数图像，正弦函数的性质

教学难点：

正弦函数性质的理解

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1． 正弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ，y)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有

MP r

y ==αsin ，向线段MP 叫做角α的正弦线， 二、讲解新课：

1．用单位圆中的正弦线作正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象（几何法）：

把y=sinx ，[0,2]x π∈的图象，沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 叫做正弦曲线

2．用五点法作正弦函数的简图（描点法）：

正弦函数y=sinx ，[0,2]x π∈的图象中，五个关键点是： (0,0) (2

π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0) 3.分组讨论正弦函数的性质

(1)定义域：

正弦函数的定义域是实数集R 或(－∞，＋∞)，

(2)值域

因为正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，

所以｜sin x ｜≤1， 即 －1≤sin x ≤1，

也就是说，正弦函数的值域是［－1，1］

其中正弦函数y = sin x ,x ∈R

①当且仅当x ＝2

π＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1 ②当且仅当x ＝－2

π＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1 (3)周期性

由sin(x ＋2k π)＝sin x ，知：

正弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的

一般地，对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期

由此可知，2π，4π，……，－2π，－4π，……2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是这两个函数的周期

对于一个周期函数f (x )，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期

(4)奇偶性

由sin(－x )＝－sin x 可知：y ＝sin x 为奇函数

∴正弦曲线关于原点O 对称

(5)单调性

从y ＝sin x ，x ∈［－2

3,2ππ］的图象上可看出：

当x ∈［－

2π，2

π］时，曲线逐渐上升，sin x 的值由－1增大到1 当x ∈［2

π，23π］时，曲线逐渐下降，sin x 的值由1减小到－1 结合上述周期性可知： 正弦函数在每一个闭区间［－2π＋2k π，2

π＋2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［2

π＋2k π，23π＋2k π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1

三、讲解范例： 例1 画出函数1sin y x =+，[0,2]x π∈的简图。

例2求使函数 y ＝2＋sin x 取最大值、最小值

的 x 的集合，并求出这个函数的最大值，

最小值和周期 T .

例3 不通过求值，比较下列各对函数值的大小：

（1）sin()18π-和sin()10π- （2）2sin 3π和3sin 4

π 四、课堂练习

1． 直接写出函数y ＝2sin 1x +的定义域、值域及单调递增区间

2．用五点法画出下列函数在区间[0,2]π上的简图。

(1) 2sin y x =+ (2) 3sin y x =

五、课堂小结

1 . 正弦函数的图象．

2 .“五点法”作图．

3 . 正弦函数的性质．

六、课后作业教材P30，练习 A 组第 3、4、5 题；

练习 B 组．

。

七、板书设计（略）