过程控制仪表及控制系统第02章 被控过程的数学模型
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东北大学过程控制系统第二章2 过程控制的数学模型-曲线响应
3.由阶跃响应曲线确定过程的数学模型
3.4 二阶加时延过程参数的确定
数学模型：
TC
x
(1 x)x1x
(1)
TA
T1 T2 TC
(2)
(2)
(1)
3.由阶跃响应曲线确定过程的数学模型
利用公式（1)计算T1和T2较为复杂，绘制曲线利用图解法求取T1和T2。 根据公式（1）绘制曲线见右图。
第二章 过程控制的数学模型
2.3 响应曲线辨识过程的数学模型
1. 阶跃响应曲线的测定
利用响应曲线辨识建立数学模型是一种常用的方法。 1.1 阶跃响应曲线的测定 过程：使输入量作一阶跃变化，记录输出量随时间变化的
响应曲线。即阶跃响应曲线。
输入信号：
响应曲线：
1. 阶跃响应曲线的测定
试验时必须注意： (1) 试验测定时，被控过程处于相对稳定的工作状态。 (2) 输入的阶跃信号不可太大，也不可太小。太大，影响生产；
1 0.46
20 33.5
3 1.7
25 27.2
4
5
3.7
9
30 40
21 10.4
8 10 19 26.4 50 60 5.1 2.8
15 16.5 36 371..55 70 80 1.1 0.5
第二题：
设阶跃扰动量△u=20%，某水槽的水位阶跃 响应数据见下表，用一阶惯性环节求取该液位的 传递函数。
欠佳，就难以获得对象的动态特性参数。
2. 矩形脉冲响应曲线的测定
阶跃响应法缺陷： 过程长时间的处于较大幅值的阶跃信号
作用下，被控量变化的幅度可能会超出生 产工艺允许的范围。
用矩形脉冲作为输入信号，将响应曲线 转化为阶跃响应曲线，确定数学模型。 脉冲信号看作：
被控过程数学模型
总结与展望
06
研究成果总结
01
建立了一套完整的被控过程数学模型，为实际工业过程控制提供了理 论支持。
02
针对不同类型的过程，提出了多种建模方法和技巧，提高了建模的准 确性和实用性。
03
结合实际应用案例，验证了所提出模型的可行性和有效性，为工业过 程控制提供了有效的工具。
04
针对模型参数的估计和优化问题，提出了多种参数估计和优化算法， 提高了模型参数的估计精度和优化效果。
分析结果
对验证与评估结果进行分析， 判断模型的准确性、可靠性和 有效性。
确定验证与评估方法
根据被控过程的特性和需求， 选择合适的验证与评估方法。
进行验证与评估
将实验数据输入模型，进行验 证与评估，并记录验证与评估 结果。
改进模型
根据验证与评估结果，对模型 进行必要的调整和改进，以提 高模型的准确性和可靠性。
被控过程数学模型的
04
验证与评估
模型验证方法
1 2 3
对比实验法
通过在被控过程中进行实际操作，将实验数据与 模型预测数据进行对比，以验证模型的准确性。
输入-输出法
通过输入不同的控制信号，观察被控过程的输出 响应，并与模型预测的输出进行对比，以验证模 型的准确性。
时间序列法
将被控过程的历史数据输入模型，通过比较模型 的预测输出与实际历史数据，评估模型的准确性。
线性系统模型的性质
线性系统模型具有叠加性、均匀性和时不变性等性质。叠加性是指多个输入产生的输出等 于各自输入产生的输出之和；均匀性是指系统对输入信号的放大系数是常数；时不变性是 指系统对输入信号的响应不随时间变化而变化。
线性系统模型的建立方法
建立线性系统模型的方法包括机理建模、统计建模和混合建模等。机理建模是根据系统的 物理和化学原理建立数学模型；统计建模是根据系统的输入和输出数据建立数学模型；混 合建模则是结合机理建模和统计建模的方法。
8被控过程的数学模型.
解： 根据动态物料平衡关系，即在单
位时间内贮罐的液体流入量与单位时间 内贮罐的液体流出量之差应等于贮罐中 液体贮存量的变化率，则有
q1 q2 A
写为增量形式为
dh dt
d h q1 q2 A dt
单容液位过程
过程控制与自动化仪表
12
假定∆q2与∆h近似成正比，而与阀门2的液阻R2(近似为常量)成反比，则有
无自衡过程及其阶跃响应曲线
过程控制与自动化仪表
5
自平衡特性及传递函数的典型形式有：
一阶惯性环节 二阶惯性环节 一阶惯性+纯滞后环 节 二阶惯性+纯滞后环 节
纯积分项
无平衡特性及传递函数的典型形式有：
一阶环节
拉普拉斯变换的终值定理
二阶环节
t
lim f (t ) lim sF (s)
s0
一阶+纯滞后环节 二阶+纯滞后环节
在上例中，如果以体积流量q0为过程的输入量，那么，当阀1的开度产生变化后， q0需流经长度为l的管道后才能进入贮罐而使液位发生变化。q0需经一段延时才能 被控制。得到纯滞后的单容过程微分方程和传递函数
T
d h h K q0 (t 0 ) dt H (s) K 0 s G(s) e Q0 ( s ) Ts 1
• • • • • • 参数模型(微分方程、差分方程、状态方程、传递函数等) 非参数模型（曲线、表格等） 输入变量：干扰变量、控制变量 输出变量：被控变量 通道：干扰通道、控制通道 动态/静态模型
数学模型的作用
• 设计与操作生产工艺设备时的指导 • 控制系统设计的基础 • 工业过程故障诊断系统的设计指导 • 控制其参数确定的重要依据 • 仿真或研究、开发新型控制策略的必要条件 过程控制与自动化仪表
过程控制系统2
干扰:内干扰---调节器的输出量u(t)； 外干扰---其余非控制的输入量。
通道:输入量与输出量间的信号联系。
控制通道--控制作用与被控量间的信号联系；
扰动通道--扰动作用与被控量间的信号联系。
2。研究并建立数学模型的目的
(1)、设计过程控制系统、整定调节器参数。 (2)、指导生产工艺设备的设计。 (3)、进行仿真实验研究。 (4)、培训运行操作人员。
3、求取 H1(S) / Qi(S ， H2(S) / Qi(S）
2、相互影响的双容过 程
求 H1(S) / Qi(S）
1）列方程式 h1-h2/R1=Q1 A1dh1/dt=Qi-Q1 A2dh2/dt=Q1-Q2 h2/R2=Q2
2)画方框图
3）传函
结论：
1）同无相互影响的双容过 程相比H1(S) / Qi(S）为二阶 环节
K
0q1 (t
K0 T0s
1
0)
e 0s
(2
9)
无纯滞后
有纯滞后
纯滞后单容过程及其响应曲线
(三)、多容过程的数学模型
1、相互无影响自衡双容过程是工业生产中常见的，如下 两图。
（1） 根据自衡对象特性，可直接写出水槽特性 1)水槽1：A1 S H1(S)=Qi(S)-Q1(S) H1 (S) 1/R1= Q1(S) 2)水槽2： A2 S H2(S)=Q1(S)-Q2(S) H2(S) 1/R2= Q2(S) （2）根据上述式子可以画出方框图
..........
.(2 5)
q1
q2
A
通道:输入量与输出量间的信号联系。
控制通道--控制作用与被控量间的信号联系；
扰动通道--扰动作用与被控量间的信号联系。
2。研究并建立数学模型的目的
(1)、设计过程控制系统、整定调节器参数。 (2)、指导生产工艺设备的设计。 (3)、进行仿真实验研究。 (4)、培训运行操作人员。
3、求取 H1(S) / Qi(S ， H2(S) / Qi(S）
2、相互影响的双容过 程
求 H1(S) / Qi(S）
1）列方程式 h1-h2/R1=Q1 A1dh1/dt=Qi-Q1 A2dh2/dt=Q1-Q2 h2/R2=Q2
2)画方框图
3）传函
结论：
1）同无相互影响的双容过 程相比H1(S) / Qi(S）为二阶 环节
K
0q1 (t
K0 T0s
1
0)
e 0s
(2
9)
无纯滞后
有纯滞后
纯滞后单容过程及其响应曲线
(三)、多容过程的数学模型
1、相互无影响自衡双容过程是工业生产中常见的，如下 两图。
（1） 根据自衡对象特性，可直接写出水槽特性 1)水槽1：A1 S H1(S)=Qi(S)-Q1(S) H1 (S) 1/R1= Q1(S) 2)水槽2： A2 S H2(S)=Q1(S)-Q2(S) H2(S) 1/R2= Q2(S) （2）根据上述式子可以画出方框图
..........
.(2 5)
q1
q2
A
第2章 被控过程特性及其数学模型
K e -s (Ts 1) n
过程的纯滞后时间
2.1 被控过程的特性
（2）无自衡的非振荡过程
无自衡：在原平衡状态出现干
扰时，当没有外加任何控制作 用时，被控过程不能重新到达 新的平衡状态
无自衡非振荡：阶跃输入信号 作用下，输出响应曲线会没有 振荡地从一个稳态一直上升或 下降，不能达到新的稳态
第二章 被控过程特性及其数学模型
主要内容
2.1 被控过程的特性 2.2被控过程的数学模型 2.3解析法建立过程的数学模型
2.4实验辨识法建立过程的数学模型
2.1 被控过程的特性
（1）自衡的非振荡过程
自衡：在原平衡状态出现干扰 时，无需外加任何控制作用，
被控过程能够自发地趋于新的 平衡状态。
自衡非振荡：阶跃输入信号作 用下，输出响应曲线能没有振 荡地从一个稳态趋向于另一个 稳态.
实验辨识法
实验辨识法-------根据过程输入、输出的实验测试数据， 通过过程辨识和参数估计得出数学模型。 过程辨识-----根据测试数据确定模型结构（包括形式、方程 阶次及时滞等）。
参数估计-----在已定模型结构的基础上，再由测试数据确定 模型的参数。
混合法
（1）对被控过程中机理比较清楚的部分采用机理演绎
单容自衡过程可以采用一阶惯性环节加以描述。
2.3 解析法建立过程数学模型—单容过程
单容过程传递函数的结构方框图
水箱的输入量/输出量之 间的动态平衡关系 Q1 (s)
1 cs
Q2 (s)
H(s)
1 R2
阀2的静压力关系
2.3 解析法建立过程数学模型—单容过程
推广1：考虑输入液体体积流量为Q0 当进水阀1的开度产生变化后，需流经长度为l 的管道才能
过程控制第2章被控过程的数学模型
第一段：t=0～a，
y1 t y t
第二段：t=a～2a，
y1 2a y 2a y1 a
2.3.3 由阶跃响应曲线确定过程的数学模型
1.一阶无时延过程 2.二阶无时延过程
K0 W0 ( s) T0s+1
K0 W 0 ( s) T1s 1T2 s 1
t
⑴合理选择阶跃信号值。 ⑵在输入信号前，被控对象必须处于相对稳定的运行 状态。 ⑶实验时应在相同试验条件重复做几次测试，需获得 两次以上比较接近的测试数据，以减少扰动的影响。 ⑷在实验时应在阶跃信号作正、反方向变化时分别测 取其响应曲线，以求取过程的真实特性。 特点：简单、易实现，测试精度不高，对生产有影响。
当对象受到阶跃输入作用 后，被控参数如果保持初 始速度变化，达到新的稳 定值所需的时间。
h
h′
h
t
t
K 0 Q1 d h dt t 0 T
K 0 Q1 h t t T
'
实验求取T：当t=T，
h t K 0 Q1 1 e 1 0.632 K 0 Q1 0.632h
0
t 浓度
0
t
2.容量时延C
H 2( s ) K0 W 0( s ) e cs Q1(s) T 0 s 1
由于物料或能量的传递需要通过一定的阻力而引起的。
K0 Y ( s) W0 ( s) e s X ( s) T0 s 1
意义： ①表示对象的惰性； ②大时控制困难。 ③是一动态特性参数。
K0 T1 ( s) R W0 ( s) Q1 (s) RCs 1 T0s+1
例2—3 自衡特性： 当输入量发生变化破坏了被控过程的平衡而引起输 出量变化时，在没有人为干预的情况下，被控过程 自身能重新恢复平衡的特性，叫做自衡特性。 具有自衡特性的被控过程称为自衡被控过程， 无自衡特性的被控过程称为无自衡被控过程。
y1 t y t
第二段：t=a～2a，
y1 2a y 2a y1 a
2.3.3 由阶跃响应曲线确定过程的数学模型
1.一阶无时延过程 2.二阶无时延过程
K0 W0 ( s) T0s+1
K0 W 0 ( s) T1s 1T2 s 1
t
⑴合理选择阶跃信号值。 ⑵在输入信号前，被控对象必须处于相对稳定的运行 状态。 ⑶实验时应在相同试验条件重复做几次测试，需获得 两次以上比较接近的测试数据，以减少扰动的影响。 ⑷在实验时应在阶跃信号作正、反方向变化时分别测 取其响应曲线，以求取过程的真实特性。 特点：简单、易实现，测试精度不高，对生产有影响。
当对象受到阶跃输入作用 后，被控参数如果保持初 始速度变化，达到新的稳 定值所需的时间。
h
h′
h
t
t
K 0 Q1 d h dt t 0 T
K 0 Q1 h t t T
'
实验求取T：当t=T，
h t K 0 Q1 1 e 1 0.632 K 0 Q1 0.632h
0
t 浓度
0
t
2.容量时延C
H 2( s ) K0 W 0( s ) e cs Q1(s) T 0 s 1
由于物料或能量的传递需要通过一定的阻力而引起的。
K0 Y ( s) W0 ( s) e s X ( s) T0 s 1
意义： ①表示对象的惰性； ②大时控制困难。 ③是一动态特性参数。
K0 T1 ( s) R W0 ( s) Q1 (s) RCs 1 T0s+1
例2—3 自衡特性： 当输入量发生变化破坏了被控过程的平衡而引起输 出量变化时，在没有人为干预的情况下，被控过程 自身能重新恢复平衡的特性，叫做自衡特性。 具有自衡特性的被控过程称为自衡被控过程， 无自衡特性的被控过程称为无自衡被控过程。
第二章 被控过程的数学模型
曲线能形 直观、 象、直观、 完全描述 被控过程 的动态特 性。
图2-8 响应曲线
第33页 页
过程控制仪表及装置
实验测试注意事项： 实验测试注意事项： 合理选择阶跃信号值。 合理选择阶跃信号值 。 一般取阶跃信 号值为正常输入信号的5 15％左右； 号值为正常输入信号的5～15％左右； 在输入阶跃信号前， 在输入阶跃信号前 ， 被控过程必须处 于相对稳定的工作状态； 于相对稳定的工作状态； 相同的测试条件下重复做几次， 相同的测试条件下重复做几次 ，减少 干扰的影响； 干扰的影响； 由于过程的非线性， 由于过程的非线性 ， 应在阶跃信号作 正 、 反方向变化时分别测取其响应曲 以求取过程的真实特性。 线，以求取过程的真实特性。
d 2∆h2 d∆h2 T1T2 + (T1 + T2 ) + ∆h2 = R3∆Q1 2 dt dt
第24页 页
过程控制仪表及装置
进行拉氏变换，并分解因式， 进行拉氏变换，并分解因式，得： 双容过程的数学模型为： 双容过程的数学模型为：
K R3 H 2 (s ) W (s ) = = = Q1 (s ) (T1 s + 1)(T2 s + 1) (T1 s + 1)(T2 s + 1)
对上式进行拉氏变换， 对上式进行拉氏变换，传递函数形式为
1 1 W0 (s) = = Cs Ta s
具有纯时延 τ 0 时，其传递函数为
1 −τ 0 s Wo ( s ) = e Ta s
第20页 页
过程控制仪表及装置
2.2.2 多容过程的建模 多容过程------ 被控过程往往是由多个 多容过程 ------被控过程往往是由多个 -----容积和阻力件构成。 容积和阻力件构成 。 可分为有自平衡能 力和无自平衡能力两类。 力和无自平衡能力两类。
图2-8 响应曲线
第33页 页
过程控制仪表及装置
实验测试注意事项： 实验测试注意事项： 合理选择阶跃信号值。 合理选择阶跃信号值 。 一般取阶跃信 号值为正常输入信号的5 15％左右； 号值为正常输入信号的5～15％左右； 在输入阶跃信号前， 在输入阶跃信号前 ， 被控过程必须处 于相对稳定的工作状态； 于相对稳定的工作状态； 相同的测试条件下重复做几次， 相同的测试条件下重复做几次 ，减少 干扰的影响； 干扰的影响； 由于过程的非线性， 由于过程的非线性 ， 应在阶跃信号作 正 、 反方向变化时分别测取其响应曲 以求取过程的真实特性。 线，以求取过程的真实特性。
d 2∆h2 d∆h2 T1T2 + (T1 + T2 ) + ∆h2 = R3∆Q1 2 dt dt
第24页 页
过程控制仪表及装置
进行拉氏变换，并分解因式， 进行拉氏变换，并分解因式，得： 双容过程的数学模型为： 双容过程的数学模型为：
K R3 H 2 (s ) W (s ) = = = Q1 (s ) (T1 s + 1)(T2 s + 1) (T1 s + 1)(T2 s + 1)
对上式进行拉氏变换， 对上式进行拉氏变换，传递函数形式为
1 1 W0 (s) = = Cs Ta s
具有纯时延 τ 0 时，其传递函数为
1 −τ 0 s Wo ( s ) = e Ta s
第20页 页
过程控制仪表及装置
2.2.2 多容过程的建模 多容过程------ 被控过程往往是由多个 多容过程 ------被控过程往往是由多个 -----容积和阻力件构成。 容积和阻力件构成 。 可分为有自平衡能 力和无自平衡能力两类。 力和无自平衡能力两类。
第二章 被控过程的数学模型
后才反应出来。 要经过路程 l 后才反应出来。
℃
0 t
τ
0
纯滞后时间
l τ0 = v
℃
v ——水的流速； 水的流速；
0 有些对象容量滞后与 纯滞后同时存在，很难严格 纯滞后同时存在， Δh2 （∞） 区分。常把两者合起来， 区分。常把两者合起来，统 称为滞后时间τ 0
τ0
t
τ=τ
o
+τc
τ0 τc
单回路控制系统框图
过程通道： 过程通道：
被控过程输入量与输出量之间的信号联系
控制通道： 控制通道：
控制作用与被控量之间的信号联系
扰动通道： 扰动通道：
扰动作用与被控量之间的信号联系
建立过程数学模型的基本方法： 建立过程数学模型的基本方法：
解析法： 解析法： 又称为机理演绎法 ，根据过程的内在机理，运用已知 根据过程的内在机理， 的静态和动态物料（能量）平衡关系， 的静态和动态物料（能量）平衡关系，用数学推理的方法建 立过程的数学模型。 立过程的数学模型。 实验辨识法： 实验辨识法： 又称为系统辨识与参数估计法。该法是根据过程输入、 又称为系统辨识与参数估计法。该法是根据过程输入、输 出的实验测试数据， 出的实验测试数据，通过过程辨识和参数估计建立过程的数学 模型。 模型。 混合法: 混合法: 即用上述两种方法的结合建立过程的数学模型。 即用上述两种方法的结合建立过程的数学模型。首先通 过机理分析确定过程模型的结构形式， 过机理分析确定过程模型的结构形式，然后利用实验测试数据 来确定模型中各参数的大小
其中： 其中：
T = R 2 C 为被控过程的时间常数
K = R2
为被控过程的放大系数
Hs +1 1 2
过程控制技术-第二章 过程控制系统的数学模型
2 过程控制系统的数学模型
③比例环节 微分方程式： y（ｔ）＝Ｋx（ｔ） 传递函数： Ｇ（ｓ）＝Ｋ 比例环节又称无惯性环节或放大环节。 ④ 积分环节 微分方程式： T dy(t ) Kx(t )
i
dt
传递函数：
K G (s) Ti s
2 过程控制系统的数学模型
⑤微分环节（理想微分）
2 过程控制系统的数学模型
可见，环节并联后总的传递函数等于各环节传递 函数的代数和。
Y ( s) Y1 ( s) Y2 ( s) Y3 ( s ) G(S ) G1 ( s) G2 ( s) G3 ( s) X ( s) X ( s)
2 过程控制系统的数学模型
（3）反馈连接 如图２-5所示，输出Ｙ（ｓ）经过一个反馈环节 Ｈ（ｓ）后，反馈信号Ｚ（ｓ）与输入Ｘ（ｓ） 相加减，再作用到传递函数为Ｇ（ｓ）的环节。
2 过程控制系统的数学模型
2 过程控制系统的数学模型
（1） 建立原始方程式：
dL1 A1 F1 F2 dt
dL2 A2 F2 F3 dt
L1 F2 R1
L2 F3 R2
2 过程控制系统的数学模型
（2）若输入变量Ｆ1 ，输出变量Ｌ2 。 （3）消去中间变量得数学模型：联立式（２14）、式（２-15）、式（２-16）和式（２-17） 四个方程式并整理得：
2 过程控制系统的数学模型
一阶被控对象的数学模型
2 过程控制系统的数学模型
图２-１所示的蒸汽直接加热器是一个简单传热 对象，（a）图是由蒸汽直接加热器构成的温 度控制系统，（b）图是控制系统中的被控对 象方块图。工艺要求热流体温度（即容器内温 度）保持恒定值，温度控制器根据被测温度信 号与设定值的偏差，经计算后去控制控制阀， 以控制加热蒸汽的流量，使被控温度达到工艺 要求。蒸汽是通过喷嘴与冷流体直接接触的热 交换过程，故必符合热量平衡关系。
先进过程控制——被控过程的数学模型
过程中控制系统的故障及其原因，并提供正确的解决途径。
2.2 被控过程的特性
依据过程特性的不同分为自衡特性与无自衡特性、单容特性与多容特
性、振荡与非振荡特性等
2.2.1 有自衡特性和无自衡特性
当原来处于平衡状态的过程出现干扰时，其输出量在无人或无控制装 置的干预下，能够自动恢复到原来或新的平衡状态，则称该过程具有自衡 特性，否则，该过程则被认为无自衡特性。 具有自衡特性的过程及其阶跃响应曲线
e
s
2.2.2 振荡与非振荡过程的特性
在阶跃输入作用下，输出会出现多种形式。图中，a)、b)和c)为振荡过 程，d)和e)为非振荡过程。
衰减振荡的传பைடு நூலகம்函数一般可表示为
G (s) (T Ke
2 s
s
2
2 T s 1)
( 0 1)
2.2.3 具有反向特性的过程
个容积组成时，则称为多容过程。 自平衡特性其传递函数的典型形式有： 无平衡特性其传递函数的典型形式有：
一阶惯性环节
G (s) K ( T s 1)
K (T1 s 1)(T 2 s 1)
Ke
s
一阶环节
G (s)
1
1 Ts
二阶惯性环节 一阶惯性+ 纯滞后环节 二阶惯性+ 纯滞后环节
进水量阶跃增大→水位升高→出水阀前的静压增大→出水 量逐渐增大→出水量等于进水量→水位处于新的平衡状态。
无自衡特性的过程及其阶跃响应曲线
进水量阶跃增大→水位升高→出水量不随水位升高而增大 （出水量由水泵决定）→水位一直上升。
工业生产过程一般都具有储存物料或能量的能力，其储存能力的大小 称为容量。所谓单容过程是指只有一个储存容积的过程。当被控过程由多
过程控制系统-第2章-工业过程数学模型
从机理出发，用理论的方法得到过程动态数学模 型，其主要依据是物料平衡和能量平衡关系式 ：
单位时间内进入系统的物料量（或能量）-单位时间内 由系统流出的物料量（或能量）=系统内物料（或能量） 蓄藏量的变化率
为了找到输出变量y与输入变量u之间的关系，必须设法 消除原始微分方程中的中间变量，常常要用到相平衡关 系式，用到传热、传质及化学反应速率关系式等。
解析法建模的一般步骤：
1.明确过程的输出变量、输入变量和 其他中间变量。
2.依据过程的内在机理和有关定理、 定律以及公式列写静态方程或动态方 程。
3.消去中间变量，求取输入、输出变 量的关系方程。
4.将其简化成控制要求的某种形式。
2.2.1 动态数学模型的作用和要求
过程的动态数学模型，是表示输出向量（或变 量）与输入向量（或变量）间动态关系的数学 描述。从控制系统的角度来看，操纵变量和扰 动变量都属于输入变量，被控变量属于输出变 量。
对于非线性情况，模型结构需先确定，除非对过程的物理、化 学规律十分清晰，否则没有固定的方法，只能凭e借iu 一些技巧。 采用二次型即包括uiuj（i可以等于j，也可以不等于j）项的最常 见，考
虑引入lnu或 eiu 的也有，这多少是参考了内在的机理规律。
作为工程处理，可以令这些非线性项作为新的变量，从而使方 程成为线性形式。例如：
多级过程------控制过程有多个控制步，（相 当与离散系统）
例：单输入—单输出的过程模型数学模型
线性时间连续模型(可用微分方程或传递函数表 示)
串接液位贮槽的数学模型
线性时间离散模型(可用差分方程或脉冲传递 函数表示)
2.3 工业过程动态机理模型
2.3.1 动态数学模型的一般列写方法
模型的建立途径可分机理建模与实验测试两大 类，也可将两者结合起来。
单位时间内进入系统的物料量（或能量）-单位时间内 由系统流出的物料量（或能量）=系统内物料（或能量） 蓄藏量的变化率
为了找到输出变量y与输入变量u之间的关系，必须设法 消除原始微分方程中的中间变量，常常要用到相平衡关 系式，用到传热、传质及化学反应速率关系式等。
解析法建模的一般步骤：
1.明确过程的输出变量、输入变量和 其他中间变量。
2.依据过程的内在机理和有关定理、 定律以及公式列写静态方程或动态方 程。
3.消去中间变量，求取输入、输出变 量的关系方程。
4.将其简化成控制要求的某种形式。
2.2.1 动态数学模型的作用和要求
过程的动态数学模型，是表示输出向量（或变 量）与输入向量（或变量）间动态关系的数学 描述。从控制系统的角度来看，操纵变量和扰 动变量都属于输入变量，被控变量属于输出变 量。
对于非线性情况，模型结构需先确定，除非对过程的物理、化 学规律十分清晰，否则没有固定的方法，只能凭e借iu 一些技巧。 采用二次型即包括uiuj（i可以等于j，也可以不等于j）项的最常 见，考
虑引入lnu或 eiu 的也有，这多少是参考了内在的机理规律。
作为工程处理，可以令这些非线性项作为新的变量，从而使方 程成为线性形式。例如：
多级过程------控制过程有多个控制步，（相 当与离散系统）
例：单输入—单输出的过程模型数学模型
线性时间连续模型(可用微分方程或传递函数表 示)
串接液位贮槽的数学模型
线性时间离散模型(可用差分方程或脉冲传递 函数表示)
2.3 工业过程动态机理模型
2.3.1 动态数学模型的一般列写方法
模型的建立途径可分机理建模与实验测试两大 类，也可将两者结合起来。
第2章被控过程的数学模型.
18
2．测试法建模
测试法一般只用于建立输入输出模型。它是根据工业过程 的输入和输出的实测数据进行某种数学处理后得到的模型。它 的主要特点是把被研究的工业过程视为一个黑匣子，完全从外 特性上测试和描述它的动态性质，因此不需要深入掌握其内部 机理。然而，这并不意味着可以对内部机理毫无所知。为了有 效地进行这种动态特性测试，仍然有必要对过程内部的机理有 明确的定性了解，例如究竟有哪些主要因素在起作用，它们之 间的因果关系如何等等。 用测试法建模一般比用机理法建模要简单和省力，尤其是
态数学模型，也称为动态特性。
3
2．被控过程的特点
从以上的分析中可以看到，过程控制涉及的被控对象大多
具有下述特点。
1）对象的动态特性是单调不振荡的
对象的阶跃响应通常是单调曲线，被控变量的变化比较缓 慢(与机械系统、电系统相比)。工业对象的幅频特性和相频特 性，随着频率的增高都向下倾斜。
2）大多被控对象属于慢过程
21
对于上述水槽而言，在起始稳定平衡工况下， 有 H H0 ， Qi 0 Qo 0 。在流出侧负载阀开度不变的情 况下，当进水阀开度发生阶跃变化 时，若进水流量 和出水流量的变化量分别为 Qi Qi Qi 0 , Qo Qo Qo 0 则在任何时刻液位的变化 H H H o 均满足下述物 料平衡方程：
和
1 G( s) e s T1 s(T2 s 1)
17
2.1.3 建立过程数学模型的基本方法
建立过程数学模型的机理法建模就是根据生产过程中实际发生的变化机理， 写出各种有关的平衡方程如：物质平衡方程；能量平衡方程； 动量平衡方程；相平衡方程以及反映流体流动、传热、传质、 化学反应等基本规律的运动方程；物性参数方程和某些设备 的特性方程等，从中获得所需的数学模型。
2被控过程的数学模型
第2章 被控过程的数学模型
2.1 过程建模的基本概念
2. 工业过程动态特性的特点
系统相对较为复杂 时间常数及时延大 具有非线性、分布参数 具有时变特性 被控对象大多属慢变过程
在过程控制中，被控对象复杂多样，其中所进 行的过程几乎都离不开物质和能量的流动，只有流 入量与流出量保持平衡时，对象才会处于稳定平衡 的工况。 在过程控制系统中大多采用调节阀控制流入量 或流出量，以保持工况平衡。
被控过程的数学模型在过程控制中的作用 控制系统设计的基础 调节器参数整定的重要依据 仿真或研究、开发新型控制策略的必要条件 指导生产工艺及其设备的设计与操作 指导工业过程故障检测与诊断系统的设计
第2章 被控过程的数学模型
2.1 过程建模的基本概念
在过程控制中实际应用的动态数学模型，其传 递函数的阶次一般不高于三阶。有时可用具有时滞 的二阶形式，最常用的是具有时滞的一阶形式。
2.2 机理法建模
机理法建模的基本步骤：
(1)根据建模过程和模型使用目的进行合理假设;
(2)明确过程的输出变量、输入变量和其他中间变量； (3)依据过程的内在机理和有关定理、定律以及公式列写 静态方程或动态方程； (4)消去中间变量，求取输入、输出变量的微分方程或传递函数；
(5)在满足控制工程要求的前提下，对数学模型进行必要的简化。
第2章 被控过程的数学模型
2.2 机理法建模
2.2.2 单容过程的数学模型
1.一阶对象（一阶系统） 微分方程
dy T y Ku dt
Y ( s) K G(s) U ( s) Ts 1
—— 一阶惯性环节
传递函数
很多实际的物理对象，其数学模型是一阶系统或可 以近似地用一阶系统来描述。R-C电路和单容水槽等 是最常见的一阶系统。
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2.1.2 被控过程数学模型的类型
由实验辨识法建立的过程数学模型的结构比较简单。 以单输入-单输出过程的模型为例，常用如下两种形式： 1）线性时间连续型（可用微分方程或传递函数表示）
W0 (s)
Y (s) U (s)
b0 b1s bm1sm1 bmsm 1 a1s a2s2 an1sn1 ansn
e s
2）线性时间离散型（可用差分方程或脉冲传递函数表示）
y(k)
b0 b1q1 1 a1q1
bm1qm1 bmqm an1qn1 anqn
qdu(k)
2.2 解析法建立过程的数学模型
➢根据过程的内在机理，通过静态与动态物料（能量）平 衡关系，用数学推导法建立过程的数学模型，称为解析法 建模。在控制理论课程中已介绍过的用解析法建模的原理 和方法，同样适用于过程控制系统的建模。 ➢静态物料（能量）平衡是指在单位时间内进入被控过程 的物料（能量）等于单位时间内从被控过程流出的物料 （能量）。 ➢动态物料（能量）平衡是指单位时间内流入被控过程的 物料（能量）与流出被控过程的物料（能量）之差等于被 控过程内物料（能量）贮存量的变化量。
2.1.1 建立被控过程数学模型的目的
建立被控过程数器的参数 ➢2．指导生产工艺及其设备的设计 ➢3．对被控过程进行仿真研究
表2-1被控过程数学模型的部分应用与要求
应用目的
过程模型类型
精确度要求
调节器参数整定
线性、非线性、时间连续
较低
前馈、解耦、预估系统设计
因此，qi H qo，直至qi=qo可见该系统受到干扰以后，即使不加控制，最 终自身是会回到新的平衡状态，这种特性称为“自衡特性”。
右图：如果水箱出口由泵打出，其不同之处在于：qi当发生变化时，qo不发生变化。如 果qi＞qo ，水位H将不断上升，直至溢出，可见该系统是无自衡能力。
绝大多数对象都有自衡能力，一般而言有自衡能力的系统比无自衡能力的系统容易控制。
2.2.1 单容过程的建模
➢单容过程是指只有一个贮蓄容量的过程。单容过程又可 分为自衡单容过程和无自衡单容过程。 ➢对大多数被控过程，其阶跃响应的特点是被控量的变化 是单调无振荡、有时延和惯性的，见图2-2。图2-2a为自衡 过程的阶跃响应；图2-2b为无自衡过程的阶跃响应。 ➢所谓自衡过程，是指被控过程在扰动作用下，平衡状态 被破坏后，无需操作人员或仪表的干预，依靠自身能够恢 复平衡的过程。而无自衡过程，是指被控过程在扰动作用 下，其平衡状态被破坏后，若无操作人员或仪表的干预， 依靠其自身的能力不能重新恢复平衡的过程。
图2-2 被控过程的阶跃响应曲线 a）自衡过程 b）无自衡过程
对象机理数学模型的建立
问题：处于平衡状态的对象加入干扰以后，不经控制系统能否自行达到新的平衡状态？
qi
qi
q0
q0
左图：假设初始为平衡状态qi=qo，水箱水位保持不变。 当发生变化时(qi＞qo)，此时水箱的水位开始升高
根据流体力学原理，水箱出口流量与H是存在一定的对应关系的：q0 H / R
·一阶线性对象
问题：求右图所示的对象模型（输入输出模型）。 解： 该对象的输入量为qi 被控变量为液位h
qi Ah
q0
根据物料平衡方程： 单位时间内水槽体积的改变＝输入流量 — 输出流量
dV dt
qi
qo
V Ah
A
dh dt
qi
qo
h 由于出口流量可以近似地表示为：qo R
dh
➢一是用曲线或数据表格表示，称为非参量形式； ➢二是用数学方程表示，称为参量形式。参量形式表示的数学模 型常用微分方程、传递函数、差分方程、脉冲响应函数、状态方 程和观察方程等形式来描述。
2.1.2 被控过程数学模型的类型
被控过程的输入量与输出量之间的信号联系称为通道。 控制量与被控量之间的信号联系称为控制通道。外部扰动 与被控量之间的信号联系称为扰动通道。
线性、参量或非参量、时间连续
中等
系统CAD
线性、参量或非参量、时间连续
中等
自适应控制
线性、参量、时间离散
中等
最优控制
线性、参量、时间连续或离散
高
2.1.2 被控过程数学模型的类型
➢在过程控制系统中，被控过程是指正在运行中的各种工 艺生产设备，被控过程的数学模型是指被控过程在各输入 量（包括控制量和扰动量）作用下，其相应的输出量（被 控量）变化函数关系的数学表达式。 ➢过程的数学模型有两种描述形式：
第2章 被控过程数学模型
2.1 概述 2.2 解析法建立过程的数学模型 2.3 响应曲线辨识过程的数学模型 2.4 相关函数法辨识过程的数学模型
★
x+
e 调节器 u
(控制器)
－
f
“1”
★
执行器 q 被控对象 y
z
测量变送环节
(传感器、变送器)
“1”
2.1 概述
➢如前所述，一个过程控制系统由被控过程和检 测控制仪表两部分组成。因此，系统的控制品质 取决于被控过程和检测控制仪表的特性。 ➢由于过程控制仪表的特性是可以人为改变的， 以适应不同被控过程的需要，因此，系统控制品 质的优劣，主要取决于对生产工艺过程的了解和 建立被控过程的数学模型。
图2-1为过程控制系统框图。
图2-1 过程控制系统框图
2.1.2 被控过程数学模型的类型
建立过程数学模型的方法，通常采用： （1）解析法 解析法又称为机理演绎法。它根据过程的内 在机理，运用已知的静态和动态物料（能量）平衡关系， 用数学推理的方法建立过程的数学模型。 （2）实验辨识法 实验辨识法又称为系统辨识与参数估计 法。该法是根据过程输入、输出的实验测试数据，通过过 程辨识和参数估计建立过程的数学模型。 （3）混合法 即用上述两种方法的结合建立过程的数学模 型。首先通过机理分析确定过程模型的结构形式，然后利 用实验测试数据来确定模型中各参数的大小。
h
A dt qi R
dh T dt h K qi
(T AR、K R)
（i ）
记
h qi
h0 qi
0hqi(h0、qi