小学数学奥数测试题完全平方数-人教版

2019年小学奥数数论专题——完全平方数

1．1234567654321(1234567654321)⨯++++++++++++是 的平方． 2． 112123123412345123456+⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯，这个算式的得数能否是某个数的平方？

3．写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．

4．一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？

5．从1到2019的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？

6． 1016与正整数a 的乘积是一个完全平方数，则a 的最小值是________．

7．已知3528a 恰是自然数b 的平方数，a 的最小值是 。

8．已知自然数n 满足：12!除以n 得到一个完全平方数，则n 的最小值是 。

9．考虑下列32个数：1!，2!，3!，……，32!，请你去掉其中的一个数，使得其余各数的乘积为一个完全平方数，划去的那个数是 ．

10．一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？

11．能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？

12．三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为80，第二大的数减去最小的数的差为60，求这三个数．

13．有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为 ．

14．求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数，乘以5后是5次方数．

15．两个完全平方数的差为77，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？

16．有两个两位数，它们的差是14，将它们分别平方，得到的两个平方数的末两位数(个位数和十位数)相同，那么这两个两位数是 ．(请写出所有可能的答案)

17．A 是一个两位数，它的6倍是一个三位数B ，如果把B 放在A 的左边或者右边得到两个不同的五位数，并且这两个五位数的差是一个完全平方数(整数的平方)，那么A 的所有可能取值之和为 ．

18．已知ABCA 是一个四位数，若两位数AB 是一个质数，BC 是一个完全平方数，CA 是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数是________．

19．一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数．已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7．如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数．

20．有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最小的正整数．

21．能够找到这样的四个正整数，使得它们中任意两个数的积与2002的和都是完全平方数吗？若能够，请举出一例；若不能够，请说明理由．

22．证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数。

23．三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”．问：所有小于2019的美妙数的最大公约数是多少？

24．记(123)(43)S n k =⨯⨯⨯⨯++，这里3n ≥．当k 在1至100之间取正整数值时，有 个不同的k ，使得S 是一个正整数的平方．

25．称能表示成123k ++++的形式的自然数为三角数．有一个四位数N ，它既是三角数，又是完全平方数．则N = ．

26．自然数的平方按大小排成1，4，9，16，25，36，49，…，问：第612个位置的数字是几？

27．A 是由2019个“4”组成的多位数，即200244444个，A 是不是某个自然数B 的平方？如

果是，写出B；如果不是，请说明理由．

参考答案

1．7777777的平方

【解析】212345676543211111111=，212345676543217++++++++++++=， 原式22(11111117)7777777=⨯=．

2．不可能

【解析】判断一个数是否是某个数的平方，首先要观察它的个位数是多少．平方数的个位数只能是

0，1，4，5，6，9，而2，3，7，8不可能是平方数的个位数．

这个算式的前二项之和为3，中间二项之和的个位数为0，后面二项中每项都有因子2和5，个位数一定是0，因此，这个0算式得数的个位数是3，不可能是某个数的平方．

3．361,400,441,484,529,576,625

【解析】一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)

如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数． 由以上分析知,我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数?

18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360～630之间的完全平方数为192,202,212,222,232,242,252．

即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625．

4．14，20

【解析】设该数为1212n a a a n p p p ⨯⨯⨯，那么它的平方就是1222212n a a a n p p p ⨯⨯⨯， 因此()()()1221212139n a a a +⨯+⨯

⨯+=．

由于39139313=⨯=⨯，

⑴所以，1213a +=，22113a +=，可得11a =，26a =；

故该数的约数个数为()()116114+⨯+=个；

⑵或者，12139a +=，可得119a =，那么该数的约数个数为19120+=个．

所以这个数的约数个数为14个或者20个．

5．31

【解析】完全平方数，其所有质因数必定成对出现．

而327223266=⨯=⨯⨯，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍，

由于2313119222008232322048⨯⨯=<<⨯⨯=，所以221⨯、222⨯、……、2231⨯都满足题意，即所求的满足条件的数共有31个．

6．254

【解析】先将1016分解质因数：310162127=⨯，由于1016a ⨯是一个完全平方数，所以至少为422127⨯，故a 最小为2127254⨯=．

7．2