第06讲 解析几何综合3大考点-培优辅导冲刺高考讲义

第03讲导数压轴专项突破第一课时分类讨论的“界点”确定考点一根据二次项系数确定分类“界点”[典例]已知函数x x x g x x x f 2)(,1ln )(2+=++=.(1)求函数)()()(x g x f x -=ϕ的极值；(2)若m 为整数，对任意的0>m 都有0)()(≤-x mg x f 成立，求实数m 的最小值．[关键点拨]导函数中含有二次三项式，需对最高项的系数分类讨论：(1)根据二次项系数是否为0，判断函数是否为二次函数；(2)由二次项系数的正负，判断二次函数图象的开口方向，从而寻找导数的变号零点．考点二根据判别式确定分类“界点”[典例]已知函数1)1()(2-+=x e ax x f ，当0≥a 时，讨论函数)(x f 的单调性．[关键点拨]求导后，要判断导函数是否有零点(或导函数分子能否分解因式)，若导函数是二次函数或与二次函数有关，此时涉及二次方程问题，Δ与0的大小关系往往不确定，所以必须寻找分界点，进行分类讨论．考点三根据导函数零点的大小确定分类“界点”[典例]已知ax x x ax x x f 223ln )()(22+--=，求)(x f 的单调递减区间．[关键点拨](1)根据导函数的“零点”划分定义域时，既要考虑导函数“零点”是否在定义域内，还要考虑多个“零点”的大小问题，如果多个“零点”的大小关系不确定，也需要分类讨论．(2)导函数“零点”可求，可根据“零点”之间及“零点”与区间端点之间的大小关系进行分类讨论．本题根据零点2a ，e 之间的大小关系进行分类讨论，再利用导数研究其函数的单调性．考点四根据导函数零点与定义域的关系确定分类“界点”[典例]已知函数R a ax xe x a xf x∈+--=,ln )(.(1)当0<a 时，讨论)(x f 的单调性；(2)设)()()(x f x x f x g '+=，若关于x 的不等式x a x e x g x)1(2)(2-++-≤在[1,2]上有解，求a 的取值范围．[关键点拨]导函数零点是否分布在定义域内，零点将定义域划分为哪几个区间，若不能确定，则需要分类讨论．本题根据函数)(x h '的零点a 是否在定义域[1,2]内进行讨论，利用导数的工具性得到函数在给定区间内的单调性，从而可得最值，判断所求最值与已知条件是否相符，从而得到参数的取值范围．第二课时有关x 与x e xln ,的组合函数问题考点一x 与x ln 的组合函数问题(1)熟悉函数))0,()((ln )()(2不能同时为b a c bx ax x h x x h x f ++==的图象特征，做到对图(1)(2)中两个特殊函数的图象“有形可寻”．(2)熟悉函数))(()(ln )(2c bx ax x h x h x x f ++==，0)(≠x h 的图象特征，做到对图(3)(4)中两个特殊函数的图象“有形可寻”．[典例]设函数)(2ln )(2R a x a ax x x x f ∈-+-=．(1)若函数)(x f 有两个不同的极值点，求实数a 的取值范围；(2)若222)(,,2x x x g N k a --=∈=，且当2>x 时不等式)()()2(x f x g x k <+-恒成立，试求k 的最大值．[关键点拨]对于有关x 与x ln 的组合函数为背景的试题，要求学生理解导数公式和导数的运算法则等基础知识，能够灵活利用导数研究函数的单调性，能够恰当地构造函数，并根据区间的不同进行分析、讨论，寻求合理的证明和解不等式的策略．考点二x 与x e 的组合函数问题(1)熟悉函数))0,()(()()(2)(不能同时为b a c bx ax x h e x h x f x g ++==的图象特征，做到对图(1)(2)中两个特殊函数的图象“有形可寻”．(2)熟悉函数))(()()(2c bx ax x h x h e x f x++==，0)(≠x h 的图象特征，做到对图(3)(4)中两个特殊函数的图象“有形可寻”．[典例]已知函数R a e ax x g x a x f x∈-=-=,)1()(),1()(.(1)求证：存在唯一实数a ，使得直线)(x f y =和曲线)(x g y =相切；(2)若不等式)()(x g x f >有且只有两个整数解，求a 的取值范围．[关键点拨]在求解有关x 与xe 的组合函数综合题时要把握三点：(1)灵活运用复合函数的求导法则，由外向内，层层求导；(2)把相关问题转化为熟悉易解的函数模型来处理；(3)函数最值不易求解时，可重新拆分、组合，构建新函数，通过分类讨论新函数的单调性求最值．考点三x 与x e ，x ln 的组合函数问题(1)熟悉函数))0,()((ln )()(2不能同时为b a c bx ax x h e x x h x f x ++=±=的图象特征，做到对图(1)(2)(3)(4)所示的特殊函数的图象“有形可寻”．(1)熟悉函数))((ln )()(2c bx ax x h x x h e x f x ++=±=，0)(≠x h 的图象特征，做到对图(5)(6)所示的两个特殊函数的图象“有形可寻”方法一：分离参数，设而不求[典例]已知函数71828.2()(,ln )(==+=e x e x g x m x x f x……为自然对数的底数)，是否存在整数m ，使得对任意的),21(+∞∈x ，都有)(x f y =的图象在)(x g y =的图象下方？若存在，请求出整数m 的最大值；若不存在，请说明理由．[关键点拨]若分离参数后导数零点不可求，且不能通过观察得到，此时可以采用设而不求的方法．在本题中，通过虚设零点0x ，得到00ln x x -=，将1ln 00--x e x 转化为普通代数式1100-+x x ，然后使用基本不等式求出最值，同时消掉0x ，即借助0)(0='x ϕ作整体代换，采取设而不求的方法，达到化简并求解的目的．方法二：分离x ln 与xe [典例]设函数x x xf 1ln )(+=，求证：当1>x 时，不等式)1)(1(21)(1++>+-x x xe x e e x f .[关键点拨]若不分离x e 与x ln ，则难以求导，因此，对于形式复杂的函数，往往需要合理拆分与变形．高考为体现选拔功能，在解答题中不会单一考查某一初等函数，而是将不同增长速度的函数综合在一起考查，这就需要我们把已经糅合在一起的不同增长速度的函数进行分离，转化为我们熟悉的容易用导数工具求解的函数模型．考点四借助1+≥x e x 和1ln -≤x x 进行放缩[典例]已知函数)0(ln )(2>-+=m x x nx mx x f ，且0)(≥x f .(1)求m n 的最小值；(2)当mn 取得最小值时，若方程0)()21(1=--+-x af x a e x 无实根，求实数a 的取值范围．[关键点拨]借助放缩，巧妙求出)(x H 的最小值，同时利用放缩说明)(x H 没有最大值，从而求出实数a 的取值范围．第三课时极值点偏移问题图说极值点偏移1.已知函数)(x f 的图象的顶点的横坐标就是极值点0x ，若c x f =)(的两根的中点刚好满足0212x x x =+，即极值点在两根的正中间，也就是说极值点没有偏移．此时函数)(x f 在0x x =两侧，函数值变化快慢相同，如图(1)．2．若0212x x x ≠+，则极值点偏移，此时函数)(x f 在0x x =两侧，函数值变化快慢不同，如图(2)(3)．考点一对称变换对称变换，主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)定函数(极值点为0x )，即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点0x .(2)构造函数，即根据极值点构造对称函数)2()()(0x x f x f x F --=，若证2021x x x >，则令()()(20xx f x f x F -=.(3)判断单调性，即利用导数讨论)(x F 的单调性．(4)比较大小，即判断函数)(x F 在某段区间上的正负，并得出)(x f 与)2(0x x f -的大小关系．(5)转化，即利用函数)(x f 的单调性，将)(x f 与)2(0x x f -的大小关系转化为x 与x x -02之间的关系，进而得到所证或所求．[提醒]若要证明)2(21x x f +'的符号问题，还需进一步讨论221x x +与0x 的大小，得出221x x +所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负．[典例]已知函数)(x h 与函数)()(R x xe x f x ∈=的图象关于原点对称，如果21x x ≠，且)()(21x h x h =，求证：221>+x x .[关键点拨]本题证明的不等式中含有两个变量，对于此类问题一般的求解思路是将两个变量分到不等式的两侧，然后根据函数的单调性，通过两个变量之间的关系“减元”，建立新函数，最终将问题转化为函数的最值问题来求解．考查了逻辑推理、数学建模及数学运算等核心素养．在求解此类问题时，需要注意变量取值范围的限定，如本题中利用122,x x -，其取值范围都为)1,(-∞，若将所证不等式化为212x x ->，则212,x x -的取值范围都为),1(+∞，此时就必须利用函数)(x h 在),1(+∞上的单调性来求解．考点二消参减元消参减元的主要目的就是减元，进而建立与所求解问题相关的函数．主要是利用函数极值点乘积所满足的条件进行消参减元．其解题要点如下：建方程求函数的导函数，令0)(='x f ，建立极值点所满足的方程，抓住导函数中的关键式子，即导函数解析式中变号的部分(一般为一个二次整式)定关系根据极值点所满足的方程，利用方程解的理论，建立极值点与方程系数之间的关系，确定两个极值点之积消参减元根据两个极值点之积的关系，化简或转化所求解问题，进行消参减元构造函数根据消参减元后的式子结构特征，构建相应的函数求解问题利用导数研究所构造函数的单调性、极值、最值等，从而解决相关问题[典例]已知函数)(ln )(R a ax x x f ∈-=．(1)求函数)(x f 的单调区间；(2)当1=a 时，方程)2()(-<=m m x f 有两个相异实根21,x x ，且21x x <，求证：221<x x .[关键点拨]本题第(2)问要证明的方程根之间的不等式关系比较复杂，此类问题可通过不等式的等价变形，将两个根分布在不等式两侧，然后利用函数的单调性转化为对应函数值之间的大小关系即可．显然构造函数的关键仍然是消掉参数，另外根据函数性质确定“22>x ”是解题的一个关键点，确定其范围之后才能将1x 与22x 化归到函数的同一个单调区间上，这也是此类问题的一个难点——精确定位．考点三比(差)值换元比(差)值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之比(差)作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值或差值(一般用t 表示)表示两个极值点，继而将所求解问题转化为关于t 的函数问题求解．[典例]已知R m x mx x x x f ∈--=,21ln )(2.若)(x f 有两个极值点21,x x ，且21x x <，求证：221e x x >(e 为自然对数的底数)．[关键点拨]求解本题的关键点有两个．一个是消参，把极值点转化为导函数零点之后，需要利用两个变量把参数表示出来，这是解决问题的基础，若只用一个极值点表示参数，如得到11ln x x m =之后，代入第二个方程，则无法建立两个极值点的关系，本题中利用两个方程相加(减)之后再消参，巧妙地把两个极值点与参数之间的关系建立起来；二是消“变”，即减少变量的个数，只有把方程转化为一个“变量”的式子后，才能建立与之相应的函数，转化为函数问题求解．本题利用参数m 的值相等建立方程，进而利用对数运算的性质，将方程转化为关于12x x 的方程，通过建立函数模型求解该问题，这体现了对数学建模等核心素养的考查．第四课时导数零点不可求导数是研究函数的有力工具，其核心又是由导数值的正、负确定函数的单调性．用导数研究函数)(x f 的单调性，往往需要解方程0)(='x f .若该方程不易求解时，如何继续解题呢？考点一猜出方程f′(x)＝0的根[典例]设xx x f ln 1)(+=.(1)若函数)(x f 在)1,(+a a 上有极值，求实数a 的取值范围；(2)若关于x 的方程k x x x f +-=2)(2有实数解，求实数k 的取值范围．[关键点拨]当所求的导函数解析式中出现x ln 时，常猜1=x ；当函数解析式中出现x e 时，常猜0=x .考点二隐零点代换[典例]设函数x a e x f x ln )(2-=.(1)讨论)(x f 的导函数)(x f '零点的个数；(2)求证：当0>a 时，aa a x f 2ln 2)(+≥.[关键点拨]本题第(2)问的解题思路是求函数)(x f 的最小值，因此需要求0)(='x f 的根，但是02)(2=-='xa e x f x 的根无法求解．故设出0)(='x f 的根为0x ，通过证明)(x f 在),0(0x 和)(0∞+，x 上的单调性知aa ax x a x f x f 2ln 22)()(000min ++==，进而利用基本不等式证得结论，其解法类似解析几何中的设而不求．考点三证明方程0)(='x f 无根[典例]已知R m ∈，函数x x m mx x f ln 2)(--=，xe x g 2)(=，若],1[0e x ∈∃，使得)()(00x g xf >成立，求实数m 的取值范围．[关键点拨]当利用导函数求函数)(x f 在区间],[b a ，),[b a 或],(b a 上的最值时，可首先考虑函数)(x f 在该区间上是否具有单调性，若具有单调性，则)(x f 在区间的端点处取得最值(此时若求0)(='x f 的根，则此方程是无解的)．第五课时构造函数利用导数证明不等式，关键是要找出与待证不等式紧密联系的函数，然后以导数为工具来研究该函数的单调性、极值、最值(值域)，从而达到证明不等式的目的，这时常常需要构造辅助函数来解决．题目本身特点不同，所构造的函数可有多种形式，解题的繁简程度也因此而不同，如何恰当构造函数，往往成为解题的关键．考点一“比较法”构造函数证明不等式当试题中给出简单的基本初等函数，例如x x g x x f ln )(,)(3==，进而证明在某个取值范围内不等式)()(x g x f ≥成立时，可以类比作差法，构造函数)()()(x g x f x h -=或)()()(x f x g x -=ϕ，进而证明0)(min ≥x h 或0)(max ≤x ϕ即可，在求最值的过程中，可以利用导数为工具．此外，在能够说明)0)((0)(>>x f x g 的前提下，也可以类比作商法，构造函数))()()(()()()(x f x g x x g x f x h ==ϕ，进而证明1)(min ≥x h 或1)(max ≤x ϕ)．[典例]已知函数ax e x f x-=)((e 为自然对数的底数，a 为常数)的图象在点(0,1)处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数)(x f 的极值；(2)求证：当0>x 时，xe x <2.[关键点拨]在本题第(2)问中，发现“x e x ，2”具有基本初等函数的基因，故可选择对要证明的“x e x <2”构造函数，得到“2)(x e x g x -=”，并利用(1)的结论求解．考点二“拆分法”构造函数证明不等式当所要证明的不等式由几个基本初等函数通过相乘以及相加的形式组成时，如果对其直接求导，得到的导函数往往给人一种“扑朔迷离”“不知所措”的感觉．这时可以将原不等式合理拆分为)()(x g x f ≤的形式，进而证明min max )()(x g x f ≤即可，此时注意配合使用导数工具．在拆分的过程中，一定要注意合理性的把握，一般以能利用导数进行最值分析为拆分标准．[典例]已知函数)(ln )(R a ax x e x f ∈-=．(1)讨论)(x f 的单调性；(2)当e a =时，证明：02)(≤+-ex e x xf x.[关键点拨]对于第(2)问02)(≤+-ex e x xf x 的证明直接构造函数ex e ax x xe x h x2ln )(2+--=，求导后不易分析，故可将不等式合理拆分为e xe xf x 2)(-≤或ex e x x x ≤+-2ln ，再分别对不等式两边构造函数证明不等式．考点三“换元法”构造函数证明不等式若两个变元21,x x 之间联系“亲密”，我们可以通过计算、化简，将所证明的不等式整体转化为关于),(21x x m 的表达式(其中),(21x x m 为21,x x 组合成的表达式)，进而使用换元令t x x m =),(21，使所要证明的不等式转化为关于t 的表达式，进而用导数法进行证明，因此，换元的本质是消元．[典例]已知函数k xx x f -=ln )(有两个不同的零点21,x x ，求证：221,e x x >[关键点拨]不妨设021>>x x ，由0)()(21==x f x f ，可得0ln 11=-kx x ，0ln 22=-kx x ，两式相加减，利用分析法将要证明的不等式转化为2121212ln ln x x x x x x +>--，再利用换元法，通过求导证明上述不等式成立．考点四“转化法”构造函数在关于21,x x 的双变元问题中，若无法将所给不等式整体转化为关于),(21x x m 的表达式，则考虑将不等式转化为函数的单调性问题进行处理，进而实现消元的目的．[典例]设函数R m x m x x f ∈+=,ln )(，若对任意0>>a b ，1)()(<--ab a f b f 恒成立，求m 的取值范围．第六课时“任意”与“存在”问题考点一单一任意与存在问题(1)x ∀，使得)()(x g x f >，只需0)]()([)(min min >-=x g x f x h .如图①.(2)x ∃，使得)()(x g x f >，只需0)]()([)(max max >-=x g x f x h .如图②.[典例]设函数)()(),1ln()(x f a x g x x f '=+=，其中)(x f '是)(x f 的导函数．(1)若对于任意0≥x ，总有)()(x g x f ≥，求实数a 的取值范围；(2)若存在0≥x ，使得)()(x g x f ≥，求实数a 的取值范围．[关键点拨](1)这是较为常见的一类恒成立问题，运用数形结合的思想可知，当00≥x 时，总有)()(00x g x f ≥，即0)()(00≥-x g x f (注意不是max min )()(x g x f ≥，可以转化为当0≥x 时，0)()()(≥-=x g x f x h 恒成立问题．(2)存在0≥x ，使得)()(x g x f ≥，即至少有一个00≥x ，满足)()(00x g x f -不是负数，可以转化为当0≥x 时，)()()(x g x f x h -=的函数值至少有一个是非负数．考点二双任意与存在相等问题类型二“若2211,D x D x ∈∃∈∃，使得)()(21x g x f =”与“2211,D x D x ∈∃∈∀，使得)()(21x g x f =”的辨析(1)2211,D x D x ∈∃∈∃，使得)()(21x g x f =等价于函数)(x f 在1D 上的值域A 与)(x g 在2D 上的值域B的交集不是空集，即∅=B A ，如图③.其等价转化的目标是两个函数有相等的函数值．(2)2211,D x D x ∈∃∈∀，使得)()(21x g x f =等价于函数)(x f 在1D 上的值域A 是)(x g 在2D 上的值域B 的子集，即B A ⊆，如图④.其等价转化的目标是函数)(x f y =的值域都在函数)(x g y =的值域之中．说明：图③，图④中的条形图表示函数在相应定义域上的值域在y 轴上的投影．[典例]已知函数)1(1)(,,0,32)(232x x x g R x a ax x x f -=∈>-=.(1)若)21,(],1,(21--∞∈∃--∞∈∃x x ，使得)()(21x g x f =，求实数a 的取值范围；(2)当23=a 时，求证：对任意的),2(1+∞∈x ，都存在),1(2+∞∈x ，使得)()(21x g x f =．[关键点拨]本题第(1)问等价转化的基本思想是：两个函数有相等的函数值，即它们的值域有公共部分；第(2)问等价转化的基本思想是：函数)(x f 的任意一个函数值都与函数)(x g 的某一函数值相等，即)(x f 的值域都在)(x g 的值域中．考点三双任意与双存在不等问题类型（三）)(x f ，)(x g 是闭区间D 上的连续函数，“D x x ∈∀21,，使得)()(21x g x f >”与“D x x ∈∃21,，使得)()(21x g x f >”的辨析类型（四）(1))(x f ，)(x g 是在闭区间D 上的连续函数且D x x ∈∀21,，使得)()(21x g x f >，等价于max min )()(x g x f >.其等价转化的目标是函数)(x f y =的任意一个函数值均大于函数)(x g y =的任意一个函数值．如图⑤.(2)D x x ∈∃21,，使得)()(21x g x f >，等价于min max )()(x g x f >其等价转化的目标是函数)(x f y =的某一个函数值大于函数)(x g y =的某些函数值．如图⑥.[典例]已知x x x g a xa x x f ln )(),0()(2+=>+=.(1)若对任意的],1[,21e x x ∈，都有)()(21x g x f ≥成立，求实数a 的取值范围；(2)若存在],1[,21e x x ∈，使得)()(21x g x f <，求实数a 的取值范围．[关键点拨](1)本题第(1)问从数的角度看，问题的本质就是max min )()(x g x f ≥.从形的角度看，问题的本质就是函数)(x f 图象的最低点不低于)(x g 图象的最高点．(2)本题第(2)问从数的角度看，问题的本质就是max min )()(x g x f <.从形的角度看，问题的本质就是函数)(x f 图象的最低点低于)(x g 图象的最高点．考点四存在与任意嵌套不等问题(1)2211,D x D x ∈∃∈∀，使)()(21x g x f >，等价于函数)(x f 在1D 上的最小值大于)(x g 在2D 上的最小值，即min min )()(x g x f >(这里假设min min )()(x g x f ，存在)．其等价转化的目标是函数)(x f y =的任意一个函数值大于函数)(x g y =的某一个函数值．如图⑦.(2)2211,D x D x ∈∃∈∀，使)()(21x g x f <，等价于函数)(x f 在1D 上的最大值小于)(x g 在2D 上的最大值，即max max )()(x g x f <.其等价转化的目标是函数)(x f y =的任意一个函数值小于函数)(x g y =的某一个函数值．如图⑧.[典例]已知函数42)(,14341ln )(2+-=-+-=bx x x g x x x x f ，若对任意的)2,0(1∈x ，总存在]2,1[2∈x ，使)()(21x g x f ≥，求实数b 的取值范围．[关键点拨]“对任意)2,0(1∈x ，总存在]2,1[2∈x ，使)()(21x g x f ≥”等价于“)(x f 在)2,0(上的最小值大于或等于)(x g 在]2,1[上的最小值”．。