工程力学 轴向拉伸与压缩
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工程力学课件 第6章 轴向拉伸与压缩
σ称为正应力，τ称为剪应力。在国际单位制中，应力的单位 是帕斯卡(Pascal)，用Pa（帕）表示，1Pa＝1 N/m2。由于帕斯卡这 一单位很小，工程常用kPa（千帕）、MPa（兆帕）、GPa（吉帕）来 表明。1 KPa＝103Pa，1 MPa＝106Pa，1 GPa＝109 Pa。
工程力学
12
二、拉压杆横截面上的正应力
在应力超过比例极限以后，图形出现了一段近似水平的小锯齿
形线段bc，说明此阶段的应力虽有波动，但几乎没有增加，却发生
了较大的变形。这种应力变化不大、应变显著增加的现象称为材料
的屈服。屈服阶段除第一次下降的最小应力外的最低应力称为屈服
极限，以σs表示。
4.强度极限
经过了屈服极限阶段，图形变为上升的曲线，说明材料恢复了
工程力学
4
1.1.1 电路的组成
列出左段杆的平衡方程得 Nhomakorabea工程力学
5
若以右段杆为研究对象，如图(c)所示，同样可得
1.1.1 电路的组成
实际上，FN与F′N是一对作用力与反作用力。因此，对同一截面， 如果选取不同的研究对象，所求得的内力必然数值相等、方向相反。
这种假想地用一个截面把杆件截为两部分，取其中一部分作为 研究对象，建立平衡方程，以确定截面上内力的方法，称为截面法。 截面法求解杆件内力的步骤可以归纳如下：
1.1.1 电路的组成
(1)计算AB段杆的轴力。沿截面1－1将杆件截开，取左段杆为研 究对象，以轴力FN1代替右段杆件对左段的作用，如图(b)所示
列平衡方程
得
工程力学
7
若以右段杆为研究对象，如图(c)所示
1.1.1 电路的组成
同样可得
(2)计算BC段杆的轴力，沿截面2－2将杆件截开，取左段杆为研 究对象，如图(d)所示
工程力学
12
二、拉压杆横截面上的正应力
在应力超过比例极限以后，图形出现了一段近似水平的小锯齿
形线段bc，说明此阶段的应力虽有波动，但几乎没有增加，却发生
了较大的变形。这种应力变化不大、应变显著增加的现象称为材料
的屈服。屈服阶段除第一次下降的最小应力外的最低应力称为屈服
极限，以σs表示。
4.强度极限
经过了屈服极限阶段，图形变为上升的曲线，说明材料恢复了
工程力学
4
1.1.1 电路的组成
列出左段杆的平衡方程得 Nhomakorabea工程力学
5
若以右段杆为研究对象，如图(c)所示，同样可得
1.1.1 电路的组成
实际上，FN与F′N是一对作用力与反作用力。因此，对同一截面， 如果选取不同的研究对象，所求得的内力必然数值相等、方向相反。
这种假想地用一个截面把杆件截为两部分，取其中一部分作为 研究对象，建立平衡方程，以确定截面上内力的方法，称为截面法。 截面法求解杆件内力的步骤可以归纳如下：
1.1.1 电路的组成
(1)计算AB段杆的轴力。沿截面1－1将杆件截开，取左段杆为研 究对象，以轴力FN1代替右段杆件对左段的作用，如图(b)所示
列平衡方程
得
工程力学
7
若以右段杆为研究对象，如图(c)所示
1.1.1 电路的组成
同样可得
(2)计算BC段杆的轴力，沿截面2－2将杆件截开，取左段杆为研 究对象，如图(d)所示
工程力学第7章++轴向拉伸与压缩
材料力学绪论
一、材料力学的任务 １、研究构件的承载能力 构件：组成结构或机械的部件。 构件：组成结构或机械的部件。 （1）衡量构件承载能力的强度要求： ）衡量构件承载能力的强度要求： 强度：构件抵抗破坏的能力。 强度：构件抵抗破坏的能力。不因发生断裂或过量 的塑性变形而失效。 的塑性变形而失效。 破坏——断裂或过量的塑性变形 断裂或过量的塑性变形 破坏 变形——构件尺寸与形状的变化。 构件尺寸与形状的变化。 变形 构件尺寸与形状的变化 弹性变形——外力解除以后可消失的变形。 外力解除以后可消失的变形。 弹性变形 外力解除以后可消失的变形 塑性变形——外力解除以后不能消失的变形。 外力解除以后不能消失的变形。 塑性变形 外力解除以后不能消失的变形
F
FN （－）FN
F
3、轴力图：轴力沿轴线变化的图形 轴力图：
F FN + F
4、轴力图的意义
① ② 直观反映轴力与截面位置变化关系； 直观反映轴力与截面位置变化关系；
x
确定出最大轴力的数值及其所在位置， 确定出最大轴力的数值及其所在位置，即确定危险截
面位置，为强度计算提供依据。 面位置，为强度计算提供依据。
7.2 截面法 轴力 轴力图： 轴力图： 一、内力
F1 物体内部某一部分与相邻部分间的 相互作用力。必须截开物体， 相互作用力。必须截开物体，内力才能 B C A M F2 显示。 显示。 处于平衡状态的物体， 处于平衡状态的物体，其任一部分 F3 也必然处于平衡状态。 也必然处于平衡状态 截面将物体截开， 沿C截面将物体截开，A部分在外力 F1 Fy My 作用下能保持平衡，是因为受到B 作用下能保持平衡，是因为受到B部分的 约束。 限制了A 约束。B限制了A部分物体在空间中相对 Mx A C 于 B的任何运动(截面有三个反力、三个 的任何运动(截面有三个反力、 F2 Fx 反力偶) 反力偶)。 Fz Mz
一、材料力学的任务 １、研究构件的承载能力 构件：组成结构或机械的部件。 构件：组成结构或机械的部件。 （1）衡量构件承载能力的强度要求： ）衡量构件承载能力的强度要求： 强度：构件抵抗破坏的能力。 强度：构件抵抗破坏的能力。不因发生断裂或过量 的塑性变形而失效。 的塑性变形而失效。 破坏——断裂或过量的塑性变形 断裂或过量的塑性变形 破坏 变形——构件尺寸与形状的变化。 构件尺寸与形状的变化。 变形 构件尺寸与形状的变化 弹性变形——外力解除以后可消失的变形。 外力解除以后可消失的变形。 弹性变形 外力解除以后可消失的变形 塑性变形——外力解除以后不能消失的变形。 外力解除以后不能消失的变形。 塑性变形 外力解除以后不能消失的变形
F
FN （－）FN
F
3、轴力图：轴力沿轴线变化的图形 轴力图：
F FN + F
4、轴力图的意义
① ② 直观反映轴力与截面位置变化关系； 直观反映轴力与截面位置变化关系；
x
确定出最大轴力的数值及其所在位置， 确定出最大轴力的数值及其所在位置，即确定危险截
面位置，为强度计算提供依据。 面位置，为强度计算提供依据。
7.2 截面法 轴力 轴力图： 轴力图： 一、内力
F1 物体内部某一部分与相邻部分间的 相互作用力。必须截开物体， 相互作用力。必须截开物体，内力才能 B C A M F2 显示。 显示。 处于平衡状态的物体， 处于平衡状态的物体，其任一部分 F3 也必然处于平衡状态。 也必然处于平衡状态 截面将物体截开， 沿C截面将物体截开，A部分在外力 F1 Fy My 作用下能保持平衡，是因为受到B 作用下能保持平衡，是因为受到B部分的 约束。 限制了A 约束。B限制了A部分物体在空间中相对 Mx A C 于 B的任何运动(截面有三个反力、三个 的任何运动(截面有三个反力、 F2 Fx 反力偶) 反力偶)。 Fz Mz
工程力学精品课程轴向拉压
1-1截面上的应力
1
P A1
38 103 (50 22) 20 106
67.86MPa
2-2截面上的应力
2
P A2
38 103 2 15 20 106
63.33MPa
3-3截面上的应力
3
P A3
38 103 (50 22) 15 2 106
max 67.86MPa 102.8%
所以，此零件的强度够用。
例5-4
冷镦机的曲柄滑块机构如图所示。镦压工件时连杆接近水平位置，承受的镦压力 P=1100 kN 。连杆的截面为矩形，高与宽之比为h/b=1.4。材料为45钢，许用应力为 []=58 MPa，试确定截面尺寸h和b。
A2 A4
A A1
A3
垂直位移是： A点的位移是：
A2 A3 A2 A4 A4 A3 AA1sin 30o ( AA2 AA1 cos30o )ctg30o 3mm
2
2
AA3 AA2 A2 A3 3.06mm
7 简单拉压静不定问题
例5-8 图示结构是用同一材料的三根杆组成；三根杆的横截面面积分别为：A1=200mm2、A2=300mm2 和A3=400mm2，载荷P=40kN；求各杆横截面上的应力。
- 2.62 103
102
33.4N / mm 2
33.4MPa
压应力
4
(b) 截面2-2上的应力。
2
FN2 A
- 1.32 103 16.8N / mm 2 16.8MPa
102
压应力
4
工程力学 单辉祖 第8章 轴向拉伸与压缩
三 脆 性 材 料 （ 铸 铁 ） 的 压 缩
bt
o
脆性材料的抗拉与抗压 性质不完全相同 压缩时的强度极限远大 于拉伸时的强度极限
bc bt
bc
目录
§8.4.2 材料在压缩时的力学性能
目录
§8.5 应力集中的概念
常见的油孔、沟槽 等均有构件尺寸突变， 突变处将产生应力集中 现象。即
目录
§8.6 失效、许用应力和强度条件
二 、强度条件
max
FN A
根据强度条件，可以解决三类强度计算问题 1、强度校核： 2、设计截面：
FN max A FN A
3、确定许可载荷：
FN A
目录
§8.6 失效、许用应力和强度条件
例题8.4 油缸盖与缸体采用6个螺栓连接。已知油缸内径 D=350mm，油压p=1MPa。螺栓许用应力[σ]=40MPa， 求螺栓的内径。 解： 油缸盖受到的力 F
极限应力
塑性材料 u （ p0.2） S
脆性材料 u （ bc） bt
u
n
n —安全因数
s
ns
—许用应力
塑性材料的许用应力
脆性材料的许用应力
bt
nb
p 0.2 n s bc n b
目录
§8.3.1 拉压杆的应力
目录
§8.3.1 拉压杆的应力
例题8.2
图示结构，试求杆件AB、CB的 应力。已知 F=20kN；斜杆AB为直 1 径20mm的圆截面杆，水平杆CB为 15×15的方截面杆。试求各杆件的 45° B 所受的应力。 解：1、计算各杆件的轴力。 C 2 （设斜杆为1杆，水平杆为2杆） F FN 1 y 用截面法取节点B为研究对象 Fx 0 FN1 cos45 FN 2 0 B x FN 2 45° Fy 0 FN1 sin 45 F 0
工程力学 第二章 轴向拉伸与压缩.
2 sin ( 2 cos 1 )ctg 3.9 103 m
B1 B B1 B3 B3 B
B B
B B12 B1 B 2 4.45 10 3 m
[例2-11] 薄壁管壁厚为,求壁厚变化和直径变化D。
解：1）求横截面上的正应力
dx
N ( x) l dx EA( x) l
例[2-4] 图示杆，1段为直径 d1=20mm的圆杆，2 段为边长a=25mm的方杆，3段为直径d3=12mm的圆杆。 已知2段杆内的应力σ 2=-30MPa，E=210GPa，求整个 杆的伸长△L
解: P 2 A2
30 25 18.75KN
N 1l Pl l1 l2 EA 2 EA cos l1 Pl cos 2 EA
[例2-8]求图示结构结点A 的垂直位移和水平位移。
解:
N1 P, N 2 0
Pl l1 , l2 0 EA Pl y l1 EA
N1
N2
Pl x l1ctg ctg EA
F
FN
FN F
F
F
CL2TU2
2.实验现象：
平截面假设
截面变形前后一直保持为平面，两个平行的截面之 间的纤维伸长相同。 3.平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍为平面。 4.应力的计算 轴力垂直于横截面，所以其应力也仅仅是正应力。按 胡克定律：变形与力成正比。同一截面上各点变形相 同，其应力必然也相同。 FN （2-1） A 式中： A横截面的面积；FN该截面的轴力。 应力的符号：拉应力为正值应力，压缩应力为负 值应力。
1. 截面法的三个步骤 切: 代: 平:
F F F F
工程力学第2章轴向拉伸压缩与剪切
拉伸—拉力，其轴力为正值。方向背离所在截面。 压缩—压力，其轴力为负值。方向指向所在截面。
F
N （＋） N
F
F
N （－） N
F
轴力一般按正方向假设。
3、轴力图： 轴力沿轴线变化的图形
F
F
N
4、轴力图的意义
+ x
① 直观反映轴力与截面位置变化关系；
② 确定出最大轴力的数值及其所在位置，即确定危险截面位置，为 强度计算提供依据。
1、低碳钢轴向拉伸时的力学性质 (四个阶段)
⑴、弹性阶段:OA
OA’为直线段； E
AA’为微弯曲线段。
p —比例极限； e —弹性极限。
一般这两个极限相差不大， 在工程上难以区分，统称为弹 性极限
低碳钢拉伸时的四个阶段
⑴、弹性阶段:OA, ⑵、屈服阶段:B’C。
s —屈服极限
屈服段内最低的应力值。
例 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为FA = 5 F、 FB = 8 F、 FC = 4 F FD= F 的力，方向如图，试求各段内力并画出杆的轴力图。
OA
BC
D
FA
FB
FC
FD
N1
A
BC
D
FA
FB
FC
FD
解： 求OA段内力N1：设截面如图
X 0 FD FC FB FA N1 0
N4= F
FD
N1 2F , N2= –3F， N3= 5F， N4= F
N1 2F , N2= –3F， N3= 5F， N4= F
轴力图如下图示
OA
BC
D
FA
FB
FC
FD
N 2F
5F
F
N （＋） N
F
F
N （－） N
F
轴力一般按正方向假设。
3、轴力图： 轴力沿轴线变化的图形
F
F
N
4、轴力图的意义
+ x
① 直观反映轴力与截面位置变化关系；
② 确定出最大轴力的数值及其所在位置，即确定危险截面位置，为 强度计算提供依据。
1、低碳钢轴向拉伸时的力学性质 (四个阶段)
⑴、弹性阶段:OA
OA’为直线段； E
AA’为微弯曲线段。
p —比例极限； e —弹性极限。
一般这两个极限相差不大， 在工程上难以区分，统称为弹 性极限
低碳钢拉伸时的四个阶段
⑴、弹性阶段:OA, ⑵、屈服阶段:B’C。
s —屈服极限
屈服段内最低的应力值。
例 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为FA = 5 F、 FB = 8 F、 FC = 4 F FD= F 的力，方向如图，试求各段内力并画出杆的轴力图。
OA
BC
D
FA
FB
FC
FD
N1
A
BC
D
FA
FB
FC
FD
解： 求OA段内力N1：设截面如图
X 0 FD FC FB FA N1 0
N4= F
FD
N1 2F , N2= –3F， N3= 5F， N4= F
N1 2F , N2= –3F， N3= 5F， N4= F
轴力图如下图示
OA
BC
D
FA
FB
FC
FD
N 2F
5F
工程力学轴向拉伸压缩
为双剪切。由平衡方程轻易求出
Q P 2
为插销横截面上旳剪应力
Q A
15 103 2 20 103
2
23.9 MPa
4
故插销满足剪切强度要求。
例3-2 如图3-8所示冲床，Pmax k40N0 ，冲头 400
MPa，冲剪钢板 b 36M0 Pa，设计冲头旳最小直径值
及钢板厚度最大值。
许用挤压应力 bs ，8M顺Pa纹许用剪切应力
，1M顺P纹a 许用拉应
力
。若t P1=0M4P0akN，作用于正方形形心，试设计b、a及 l。
解：1. 顺纹挤压强度条件为
bs
P ba
bs
ba
P
bs
4801（1006a3 ） 50 104m2
2. 顺纹剪切强度条件为
Q P
A bl
bl
P
4010160（3 b4）00 10 4m2
3. 顺纹拉伸强度条件为
4.
P
b
1 2
(
b
a
)
t
b2 ba
2P
t
2 40 103 10 106
80 10 4m2
联立（a）、（b）、（c）式，解得
3.
b 11.4 10 2m 114mm l 35.1 10 2m 351mm a 4.4 10 2m 44mm
1.截 在待求内力旳截面处,用一假想旳平面将
构件截为两部分。
2.脱 取其中一部分为脱离体，保存该部分上
旳外力，并在截面上用内力替代另一部 分对该部分旳作用。 （未知内力假设为正）
3.平 利用脱离体旳平衡方程，即可求出截面
上旳内力。
轴力及其求法——截面法
Q P 2
为插销横截面上旳剪应力
Q A
15 103 2 20 103
2
23.9 MPa
4
故插销满足剪切强度要求。
例3-2 如图3-8所示冲床，Pmax k40N0 ，冲头 400
MPa，冲剪钢板 b 36M0 Pa，设计冲头旳最小直径值
及钢板厚度最大值。
许用挤压应力 bs ，8M顺Pa纹许用剪切应力
，1M顺P纹a 许用拉应
力
。若t P1=0M4P0akN，作用于正方形形心，试设计b、a及 l。
解：1. 顺纹挤压强度条件为
bs
P ba
bs
ba
P
bs
4801（1006a3 ） 50 104m2
2. 顺纹剪切强度条件为
Q P
A bl
bl
P
4010160（3 b4）00 10 4m2
3. 顺纹拉伸强度条件为
4.
P
b
1 2
(
b
a
)
t
b2 ba
2P
t
2 40 103 10 106
80 10 4m2
联立（a）、（b）、（c）式，解得
3.
b 11.4 10 2m 114mm l 35.1 10 2m 351mm a 4.4 10 2m 44mm
1.截 在待求内力旳截面处,用一假想旳平面将
构件截为两部分。
2.脱 取其中一部分为脱离体，保存该部分上
旳外力，并在截面上用内力替代另一部 分对该部分旳作用。 （未知内力假设为正）
3.平 利用脱离体旳平衡方程，即可求出截面
上旳内力。
轴力及其求法——截面法
工程力学(单辉祖)第二篇第8章_轴向拉伸与压缩
轴力图
FN1 F FN2 F
以横坐标 x 表示横截面位置，以纵坐标 FN
表示轴力，绘制轴力沿杆轴的变化曲线。
表示轴力沿杆轴变化情况的图线 （即 FN-x 图 ）, 称为轴力图
例题
例1：求图示杆1-1、2-2、3-3截面上的轴力
❖ 解：
1
FN1
1 2
FN2
2 3
FN3 3
二、轴力图
FN
以轴力 FN 为纵坐标，截面位置为横坐标，杆件沿轴线方向轴 力的变化曲线
max
[
]
FN,max [ ]
A
变截面变轴力拉压杆 等截面拉压杆
常见强度问题类型
校核强度 已知杆外力、A与[]，检查杆能否安全工作
截面设计 已知杆外力与[]，确定杆所需横截面面积
A
FN,max
[ ]
确定承载能力 已知杆A与[]，确定杆能承受的FN,max
[FN] A[ ]
49
例题
[例 8-4] 图示吊环，最大吊重 F = 500 kN，许用应力[] =120MPa， 夹角 = 20°。试确定斜杆的直径 d。
41
应力集中与应力集中因数 应力集中 由于截面急剧变化引起应力局部增大现象－应力集中
42
应力集中因数
K max n
max－最大局部应力 n －名义应力（不考虑应力
集中条件下求得的应力）
43
n
F (bd
)
－板厚
应力集中对构件强度的影响
对于脆性材料构件，当 max＝b 时，构件断裂，用脆性材料
l11.3 A 或 l5.65 A
GB/T 228-2002《金属材料室温拉伸试验方法》
拉伸试验 试验装置
轴向拉伸与压缩的名词解释
轴向拉伸与压缩的名词解释引言：轴向拉伸与压缩是物理学领域中常见的概念，用于描述物体在力的作用下的变形情况。
本文将对轴向拉伸与压缩进行详细的解释与探讨。
一、轴向拉伸轴向拉伸是指物体在受到拉力作用下沿着其长度方向发生的变形现象。
当外力作用于物体的两端，并朝外拉伸时，物体会在轴向上发生拉伸。
拉伸的大小可以通过物体的伸长率来衡量，伸长率定义为单位长度的伸长与初始长度之比。
轴向拉伸现象广泛应用于工程领域，例如建筑中的钢筋，拉伸试验中的拉力传感器等。
钢筋在混凝土中起到增强材料的作用，能够抵抗建筑物的拉力。
而拉力传感器则是一种能够测量外力大小的传感器，利用了材料的拉伸特性。
二、轴向压缩轴向压缩是指物体在受到压力作用下沿着其长度方向发生的变形现象。
当外力作用于物体的两端，并朝内压缩时，物体会在轴向上发生压缩。
压缩的大小可以通过物体的压缩率来衡量，压缩率定义为单位长度的压缩与初始长度之比。
轴向压缩现象同样广泛应用于工程领域。
例如，桥梁中的墩柱、压缩试验中的压力传感器等。
墩柱是承受桥梁重力和交通荷载的重要结构部件，压缩试验中的压力传感器则是能够测量外力大小的传感器，利用了材料的压缩特性。
三、轴向拉伸与压缩的应用轴向拉伸与压缩的应用十分丰富，不仅在工程领域中有广泛应用，在其他领域中也有其独特的应用价值。
1. 材料科学：轴向拉伸与压缩是材料性能研究的重要手段。
通过对材料在拉伸和压缩条件下的变形进行测试，可以获得材料的各种力学性能参数，例如抗拉强度、抗压强度等。
这对材料的设计和应用具有重要的指导意义。
2. 生物医学：轴向拉伸与压缩在生物医学研究中具有重要的作用。
例如，在骨骼生物力学研究中，可以通过对骨骼的拉伸和压缩测试，了解骨骼力学特性并分析疾病的发生机制。
3. 电子工程：轴向拉伸与压缩的特性也可以应用于电子工程领域。
例如，电子产品中常使用弹性材料来保护内部电路。
这些材料可以在外力作用下发生轴向拉伸或压缩，起到减缓冲击力的作用。
第四章 轴向拉伸和压缩
a
F a P pa a a pa sin a cos a sin a sin 2a a a 2 n 反映：通过构件上一点不同截面上应力变化情况。 当a = 0°时， ( a ) max (横截面上存在最大正应力)
a pa cosa cos a
2
n
联立求解得 FNAB=40（KN） FNBC=－40（KN）
2)求各杆正应力。 AB杆：截面面积AAB=254.34(mm2) σ AB=157. 3MPa(拉) BC杆：截面面积ABC=a2=1002mm2 σ BC=3MPa (压)
4.2.3 斜截面上的应力
设有一等直杆受拉力F作用。 求：斜截面m-n上的应力。 解：采用截面法 由平衡方程：FNa=F F F
轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。 轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。
4.1.2 内力的概念
物体在受到外力作用而变形时，物体内部各质 点间的相对位置将发生变化。其各质点间相互作用 的力也会发生改变。这种相互作用的力由于物体受 到外力作用而引起的改变量，称为附加内力，通常 简称内力。
意 义 ①反映出轴力与截面位置变化关系，较直观； ②确定出最大轴力的数值 及其所在横截面的位置， FN F + x
即确定危险截面位置，为
强度计算提供依据。
【例4．2】
杆件受力如图4．6(a)所示，试 求杆内的轴力并作出轴力图。
【解】 1)为了运算方便，首先求出支座反力，取
整个杆为研究对象[图4．6(b)]，列平衡方程 ∑x=0 一F+6 0+2 0一1 0一3 5=0 F=3 5(kN) 2)求各段杆的轴力。 求AB段轴力： 用1—1截面将杆件在AB段内截开，取左段为研究 对象[图4．6(c)]，以FN1表示截面上的轴力，并假设 为拉力，由平衡方程
工程力学-第六章-轴向拉伸与压缩
σ b ，且较小
算例：
解：（1）求试样横截面上的正应力 （2）根据胡克定律求弹性模量 （3）根据
F σ= A
σ = Eε
Δd ε′ = d
ε ′ = − vε
Δl ε= l
求泊松比
4．金属材料在压缩时的力学性能
4.1 低碳钢压缩时的 σ − ε 曲线
(1) E,
σ s 与 拉伸时大致相同。
压缩
(2) 因越压越扁，名义压应力将 远远偏离实际压应力，最后也得 不到强度极限
= 0.2% 时的应力规定为
3.2 灰口铸铁
（ 1 ）应力应变关系近似服从胡克定 律，没有屈服、强化和局部变形阶段 （2）伸长率很小，是脆性材料
脆性材料：
δ < 2 % ~ %5
−ε
（3）脆性材料的弹性模量 工程上取总应变为 0.1% 时的 σ 曲线的割线斜率为弹性模量。 （4）脆性材料的强度指标只有
FN 1 50 kN σI = = = −0.87 MPa 2 A1 0.24 × 0.24 m
FN 2 − 150 kN σ II = = = −1.1 MPa 2 A2 0.37 × 0.37 m
柱子的最大工作应力在柱子的下段，为1.1MPa的压应力
§6-4 拉（压）杆的变形、胡克定律
1．应变的基本概念 线变形：受力物体变形时，两点间距离的改变量
σe
应力应变特征值 汇总：
1、应力特征值
屈服极限 σ s (σ y ) 强度极限 σ b
其中 σ e , σ s , σ b 为强度指标 2、应变特征值（塑性指标）
比例极限 σ P 弹性极限 σ e
伸长率 断面收缩率
2.3 材料的卸载规律和冷作硬化 卸载规律:
轴向拉伸与压缩—轴向拉(压)杆的内力与轴力图(工程力学课件)
例题2 设一直杆AB 沿轴向受力如图示。 已知P1=2kN，P2=3kN，P3=1kN，试做轴力图。
P1
1
P2 2
P3
N
1
2kN
+
2
-
x
1kN
➢ 2.内力：由外力引起杆件内部之间的相互作用力。
➢ 3.截面法：截面法是显示和确定内力的基本方法。
截面法求内力的步骤
截取
用一个假想的截面，将 杆件沿需求内力的截面 处截为两部分；取其中 任一部分为研究对象。
代替
用内力来代替弃去部分 对选取部分的作用。
平衡
用静力平衡条件，根 据已知外力求出内力。
轴力N——轴向拉压时横截面上的内力。规定拉力为正，压力为负。
用截面法求1-1截面上的轴力：
P
N
X 0
NP0
x
N P(拉力)
例题1
设一直杆 AB 沿轴向受力如图示。
已知P1=2kN，P2=3kN，P3=1kN, 试求杆各段的轴力。
P1
1
P2 2
P3
P1
1NБайду номын сангаас
1
2
x
x
N2
P3
1-1截面： X 0, N1 P1 0,
2-2截面： X 0, N2 P3 0,
第一节 轴向拉（压）杆的内力与轴力图 第二节 轴向拉（压）杆横截面上的正应力 第三节 轴向拉（压）杆的强度计算 第四节 轴向拉（压）杆的变形计算 第五节 材料在拉伸和压缩时的力学性能
➢ 1.轴向拉（压）杆件
• 受力特点：作用在杆件上的外力（或外力的合力）作用线与杆轴线重合。 • 变形特点：杆件沿轴向发生伸长或缩短。 • 外力：外力作用在杆件上的荷载和约束反力。
工程力学(材料力学)1_3轴向拉伸与压缩
BC
D
PB PC N3 C
PC N4
5P +
–
PD D
PD D
PD
P
x
P8-9 例题
A 3F
1
2
B
C
F
2F
1
2
1
2
3F
F
1
2
3.应力
应力的表示：
（1）平均应力
(A上平均内力集度)
p平均
ΔP ΔA
P
M
A
（2）实际应力 (M点内力集度)
lim p
ΔP dP
ΔA0 ΔA dA
应力分解
垂直于截面的应力称为“正应力” (Normal Stress)；
平杆BC为2杆）用截面法取节点B为研究对象
Fx 0 Fy 0
N1 cos 45 N2 0 N1sin 45 P 0
N1 28.3kN (拉力) N2 20kN (压力)
45° B C
p
N1
y
N2 45° B x
P
(2)计算各杆件的应力
1
N1 A1
28.3103 202 106
轴力的正负规定: N 与外法线同向,为正轴力(拉力)； N
N与外法线反向,为负轴力(压力)。 N
轴力图—— N (x) 的图象表示。
N N>0 N
N<0
意 （1）轴力与截面位置的变化关系，较直观；
义
（2）最大轴力的数值及其所在面的位置，即危险截面位
置，为强度计算提供依据。 N
P
+
x
例1 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、 1P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。
工程力学材料力学第一章
直杆、杆的截面无突变、截面到载荷作用点有一定 的距离。
直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力 k
设有一等直杆受拉力P作用。 P 求：斜截面k-k上的应力。 解：采用截面法 由平衡方程：Pα=P P P k P
α α
k Pα k
Pα 则： pα = Aα
Aα：斜截面面积；Pα：斜截面上内力。
A 由几何关系： α = cos Aα
σ 0 ( 45°斜截面上剪应力达到最大 ) |τ 当α = ± 45°时， α |max =
目 录
公式的应用条件： 公式的应用条件： 直杆、杆的截面无突变、 的距离。 直杆、杆的截面无突变、截面到载荷作用点有一定 的距离。 圣维南( 原理： 圣维南 Saint-Venant)原理： 原理 离开载荷作用处一定距离， 离开载荷作用处一定距离，应力分布与大小不受外载荷作 用方式的影响。 用方式的影响。 应力集中（ 应力集中（Stress Concentration）： ）： 在截面尺寸突变处，应力急剧变大。 在截面尺寸突变处，应力急剧变大。
工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定 义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集 度最大处开始。 2. 应力的表示： 应力的表示： ① 平均应力： 平均应力： ∆P M ∆A
ΔP pM = ΔA
全应力（总应力）： ② 全应力（总应力）：
p = lim
∆A → 0
∆P dP = ∆ A dA
目 录
目 录
目 录
例题
图示结构，已知斜杆AB长2m,横截面面积为 图示结构，已知斜杆AB长2m,横截面面积为 AB 水平杆AC的横截面面积为250mm AC的横截面面积为 200mm2。水平杆AC的横截面面积为250mm2。材料的 弹性摸量E=200GPa 载荷F=10kN 试求节点A E=200GPa。 F=10kN。 弹性摸量E=200GPa。载荷F=10kN。试求节点A的位 移。 计算各杆件的轴力。（设斜杆为1 。（设斜杆为 解：1、计算各杆件的轴力。（设斜杆为1杆，水 平杆为2 用截面法取节点A 平杆为2杆）用截面法取节点A为研究对象
工程力学-第七章 绪论 第八章 轴向拉伸与压缩
FN A
或
F A
FN—轴力，FN=F
A—杆横截面面积
第三节 拉压杆的应力与圣维南原理
横截面上各点处的应力：
x
FNx A
FNx F 一侧
第三节 拉压杆的应力与圣维南原理
拉压杆斜截面上的应力 ： 设拉压杆的横截面 积为A，得杆左段 的平衡方程为
p A -F 0 cos Fcos 0 cos A
第二节 材料力学的基本假定
均匀性假设：假设构件在其整个体积内
都由同一种物质组成，即材料的力学性 能与其在构件中的位置无关，认为是均 匀的。则构件内部任何部位所切取的微 小单元体（简称为微体），都具有与构 件完全相同的性质。通过对微体所测得 的力学性质，也可用于构件的任何部位。
第二节 材料力学的基本假定
x
截面法：将杆件用假想截面切开以显示 内力，并用平衡方程求得内力的方法。
第四节 正应力与切应力
应力：内力在截面上连续分布的集度。单位：帕斯 卡（Pa）,兆帕（MPa）,1Pa=1N/m2, 1MPa=106Pa
平均应力：
p av F A
截面m－m上k点处的应力或总应力：
F p lim A 0 A
第二节
轴力与轴力图
例题 试作此杆的轴力图。
(a)
等直杆的受力示意图
第二节
解：
轴力与轴力图
为求轴力方便，先求出约束力 FR=10 kN 为方便，取横截面1－1左 边为分离体，假设轴力为 拉力，得 FN1=10 kN(拉力)
第二节
轴力与轴力图
FN2=50 kN(拉力)
为方便取截面3－3右边为 分离体，假设轴力为拉力。
轴力与轴力图
或
F A
FN—轴力，FN=F
A—杆横截面面积
第三节 拉压杆的应力与圣维南原理
横截面上各点处的应力：
x
FNx A
FNx F 一侧
第三节 拉压杆的应力与圣维南原理
拉压杆斜截面上的应力 ： 设拉压杆的横截面 积为A，得杆左段 的平衡方程为
p A -F 0 cos Fcos 0 cos A
第二节 材料力学的基本假定
均匀性假设：假设构件在其整个体积内
都由同一种物质组成，即材料的力学性 能与其在构件中的位置无关，认为是均 匀的。则构件内部任何部位所切取的微 小单元体（简称为微体），都具有与构 件完全相同的性质。通过对微体所测得 的力学性质，也可用于构件的任何部位。
第二节 材料力学的基本假定
x
截面法：将杆件用假想截面切开以显示 内力，并用平衡方程求得内力的方法。
第四节 正应力与切应力
应力：内力在截面上连续分布的集度。单位：帕斯 卡（Pa）,兆帕（MPa）,1Pa=1N/m2, 1MPa=106Pa
平均应力：
p av F A
截面m－m上k点处的应力或总应力：
F p lim A 0 A
第二节
轴力与轴力图
例题 试作此杆的轴力图。
(a)
等直杆的受力示意图
第二节
解：
轴力与轴力图
为求轴力方便，先求出约束力 FR=10 kN 为方便，取横截面1－1左 边为分离体，假设轴力为 拉力，得 FN1=10 kN(拉力)
第二节
轴力与轴力图
FN2=50 kN(拉力)
为方便取截面3－3右边为 分离体，假设轴力为拉力。
轴力与轴力图
第六章工程力学之拉伸与收缩案例
如图6-7（a）所示等直杆，为了观察变形，加载前在直杆 表面画出表示横截面外轮廓线的横向线ab、cd，与轴线平行 的纵向线qr、st。然后，在直杆两端施加一对大小相等、方 向相反的轴向载荷P，使杆产生轴向拉伸。观察轴向拉伸变 形，可以看到有以下两个特点。
•横向线ab、cd： 仍然为直线、与轴线垂直，间距增大。 •纵向线qr、st： 仍然为直线、与轴线平行，间距变小。
F N 2 P
（2） 如图 6-6（b）所示，用横坐标表示横截面的位置， 垂直于直杆轴线的纵坐标表示对应横截面上的轴力，得到的 图称为轴力图。可见，AB段各截面的轴力都为2P，BC段各 截面的轴力都为-P。
轴力图不仅可以直观地反映出各横截面轴力的大小，而 且还可以显示出各段是拉伸还是压缩。
三、轴向拉压杆横截面上的应力 1. 拉压杆的变形
例6-3 求图 6-4 中 2-2 截面上的内力。
解： （1） 用过 2-2 截面的平面假想地把杆切开，一分为二， 仍取左段为研究对象。
（2） 采用设正法，设2-2截面的轴力为FN2，列平衡方程
2P 3P FN 2 0 F N 2 P 得: FN2为负值，说明实际与所设方向相反，所设为拉，实际为 压。
X 0
FN 1 2P 0 FN 1 2P
由于FN1沿轴线方向，我们把FN1称为轴力。
小结： • 轴向拉压杆横截面上具有沿轴线方向的内力，称之为轴力。
• 通常规定，拉伸时的轴力为正，压缩时的轴力为负。
• 用截面法求轴力时，采用设正法。即在不知道内力正负的 情况下，都先假设为正，如果结果为正，则内力是正的，如 果结果为负，则内力是负的。
FN A
该公式适用于横截面为任意形状的等截面拉压杆，对于图 6-10所示截面变化缓慢的变截面杆，只要外力合力与轴线重 合，该公式仍可以适用。 例6-5 一钢杆，横截面面积为A= 500 m m，所受外力如图611所示。试绘轴力图，并计算各段内横截面上的应力。 解：（1）将整个直杆分为等轴力的三段，用截面法求出每 一段上的轴力。 AB段： FN 1 60kN BC段： FN 2 60 80 20kN CD段： FN 3 30kN
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第四章 轴向拉伸与压缩
本章重点 1、应力与应变的概念 2、拉压正应力及强度计算 3、金属材料拉伸和压缩时的力学性能 4、温度和时间对材料力学性能的影响 5、拉压变形计算 6、拉压超静定问题分析
§4-1 应力、应变及其关系
为何要讨论应力？
杆件的强度取决于横截面上
内力的分布集度
应力
一、应力
是一点处内力的集度，即单位面积上的内力 应力的单位 N / m2 即 帕斯卡 Pa 1GPa =103MPa =109Pa
d
涨大，故在包括圆环轴线的
mm FN
n n 任何径向截面上，作用有相
R
FN 同的法向拉力FN
此半环上的内压力沿y方向的合力R为：
R=∫
л (p·b·d·d/2)·sin 0
FN =R/2= p·b·d/2
= p·b·d 壁厚远小于内径，可 近似认为m-m、n-n 上各点处正应力相等。
当t d/20时，这种近
试校核此杆是否满足强度条件。
解：
max
FN max A
2.5 103 142 106
Pa 162MPa<[ ]
4
满足强度条件
例4：图示三角形托架,其杆AB是由两根
等边角钢组成。已知P=75kN, [σ]=160MPa, 试选择等边角钢的型号。
P
A
45°
B
45° C
解： FNNAB P 75kN
4
请思考：
B
0.8m
C
1.9m
1、Q位于A点时，AB、 AC为何种变形？ 2、Q移至AC中任一 位置时，有何变化？
A
Q
例2 长为b，内径 d =200mm，壁厚 t = 5mm
的薄壁圆环，承受 p = 2MPa的内压力作用， 试求圆环径向截面上的拉应力。
p
200
5
解： y
圆环在内压力作用下要均匀
应力是矢量，反映内力系在某一点的强弱程度。
P A
平均应力 应力
pm
P A
lim p
P
A0 A
p
p
正应力：垂直于截面的应力分量 p cos
剪应力：平行于截面的应力分量 p sin
(切应力)
应力具有以下三个特征：
1、应力是在受力构件的某一截面上某一点 处定义的，因此，讨论应力必须明确是 在哪一个截面上的哪一点处；
P
FN
dA A
A
FN
A
圣维南(Saint Venant)原理：
作用于物体某一局部区域内的外力系，可以用一 个与之静力等效的力系来代替。而两力系所产生的应 力分布只在力系作用区域附近有显著的影响，在离开 力系作用区域较远处，应力分布几乎相同。
P
P
P P
P
P
注意
1、细长压杆易被压弯，属于稳定性问题； 2、上述公式是由等截面直杆推得，对变截面 直杆而言，若截面变化缓慢，可用上式计算， 误差不大，为工程中所允许； 3、由于截面尺寸突变而引起局部应力骤増的
现象，称作应力集中。
例1 悬臂吊车，斜杆AB为直径d=20mm
的钢杆，起吊重物Q=15kN，求AB的最大 工作应力。
B
0.8m
C
A
1.9m
Q
解：1、分析AB受力、并求其内力:
当Q移到A点时AB杆受力最大，取结点A研究
F y 0:
F NAB
FNNAB sinαQ 0
FNNAB
Q
sin
A
FNNAB
[ ]
75 103 4.687 104 m2 160 106
4.687cm2 P
A
45°
B
45° C
选边厚为3mm的4号等边角钢, 其A 2.359 cm2
2、应力是矢量,可分为正应力和剪应力； 3、整个截面上各点处的应力与微面积dA
之乘积的合成，即为该截面上的内力。
二、应变
线位移：
自物体内某一点的原位置到新位置所连线段的距离
角位移：
物体上的某一直线段旋转的角度
B A s u A s B
平均线应变：
m A'B' AB u
线应变 由正应力产生
剪应变 由剪应力产生
三、剪应力互等定理
在相互垂直的两个平面上,剪应力一定成对出现， 其数值相等，方向同时指向或背离两平面的交线。
证明：
微元体 单元体
( t dy)dx ( t dx)dy
dy
t dx
四、胡克定理
线弹性：应力小于某一极限值时，材料的 变形是弹性的，且应力与应变之间常呈 线性关系。
B
F NAC
A
Q
sin 0.8 0.388 0.8m 0.82 1.92
38.7 103 ( N )
C
1.9m
Q
2、 求AB杆的最大工作应力：
其最大工作应力为横截面上的应力
FN AB AAB
38.7 103 123106 Pa (20 103 )2
= FN /A= p·b·d/(2·b·t)= p·d/(2·t) 似足够精确。
=2 ·106 ·0.2 /(2 ·0.005 )Pa=40MPa
二、强度条件
等直轴轴向拉压杆内的最大正应力:
max
FN max A
强度条件：
max
FN max A
[ ]
式中： max 称为最大工作应力 [ ] 称为材料的许用应力
胡克定理： = E ·
E:弹性模量
剪切胡克定理: = G ·
G:剪切弹性模量
轴力 弯矩
正应力 扭矩 正应力 剪力
剪应力 剪应力
主线：强度、刚度、稳定性 分析方法：几何、物理、静力学
§4-2 轴向拉伸与压缩正应力及其强度条件
一、轴向拉伸与压缩正应力
P
P
平面假设：变形前为平面的横截面 变形后仍为平面。
根据上述强度条件，可以进行三种类 型的强度计算：
一、校核杆的强度 已知FNmax、A、[σ]，验算构件是否满足
强度条件
二、设计截面
已知FNmax、[σ],根据强度条件，求A
三、确定许可载荷
已知A、[σ]，根据强度条件,求FNmax
例3：一直径d=14mm的圆杆，许用应力
[σ]=170MPa，受轴向拉力P=2.5kN作用，
AB
s
线应变:
A'B' AB lim u
AB
s0 s
dy
dx
剪应变（角应变）：正交线段夹角的变化
剪应变大小
线应变 和剪应变 是描述一点处变形程度
的两个基本量，它们的量纲均为一。
线应变没有单位，剪应变单位为rad 在后面课程的学习中可知：
本章重点 1、应力与应变的概念 2、拉压正应力及强度计算 3、金属材料拉伸和压缩时的力学性能 4、温度和时间对材料力学性能的影响 5、拉压变形计算 6、拉压超静定问题分析
§4-1 应力、应变及其关系
为何要讨论应力？
杆件的强度取决于横截面上
内力的分布集度
应力
一、应力
是一点处内力的集度，即单位面积上的内力 应力的单位 N / m2 即 帕斯卡 Pa 1GPa =103MPa =109Pa
d
涨大，故在包括圆环轴线的
mm FN
n n 任何径向截面上，作用有相
R
FN 同的法向拉力FN
此半环上的内压力沿y方向的合力R为：
R=∫
л (p·b·d·d/2)·sin 0
FN =R/2= p·b·d/2
= p·b·d 壁厚远小于内径，可 近似认为m-m、n-n 上各点处正应力相等。
当t d/20时，这种近
试校核此杆是否满足强度条件。
解：
max
FN max A
2.5 103 142 106
Pa 162MPa<[ ]
4
满足强度条件
例4：图示三角形托架,其杆AB是由两根
等边角钢组成。已知P=75kN, [σ]=160MPa, 试选择等边角钢的型号。
P
A
45°
B
45° C
解： FNNAB P 75kN
4
请思考：
B
0.8m
C
1.9m
1、Q位于A点时，AB、 AC为何种变形？ 2、Q移至AC中任一 位置时，有何变化？
A
Q
例2 长为b，内径 d =200mm，壁厚 t = 5mm
的薄壁圆环，承受 p = 2MPa的内压力作用， 试求圆环径向截面上的拉应力。
p
200
5
解： y
圆环在内压力作用下要均匀
应力是矢量，反映内力系在某一点的强弱程度。
P A
平均应力 应力
pm
P A
lim p
P
A0 A
p
p
正应力：垂直于截面的应力分量 p cos
剪应力：平行于截面的应力分量 p sin
(切应力)
应力具有以下三个特征：
1、应力是在受力构件的某一截面上某一点 处定义的，因此，讨论应力必须明确是 在哪一个截面上的哪一点处；
P
FN
dA A
A
FN
A
圣维南(Saint Venant)原理：
作用于物体某一局部区域内的外力系，可以用一 个与之静力等效的力系来代替。而两力系所产生的应 力分布只在力系作用区域附近有显著的影响，在离开 力系作用区域较远处，应力分布几乎相同。
P
P
P P
P
P
注意
1、细长压杆易被压弯，属于稳定性问题； 2、上述公式是由等截面直杆推得，对变截面 直杆而言，若截面变化缓慢，可用上式计算， 误差不大，为工程中所允许； 3、由于截面尺寸突变而引起局部应力骤増的
现象，称作应力集中。
例1 悬臂吊车，斜杆AB为直径d=20mm
的钢杆，起吊重物Q=15kN，求AB的最大 工作应力。
B
0.8m
C
A
1.9m
Q
解：1、分析AB受力、并求其内力:
当Q移到A点时AB杆受力最大，取结点A研究
F y 0:
F NAB
FNNAB sinαQ 0
FNNAB
Q
sin
A
FNNAB
[ ]
75 103 4.687 104 m2 160 106
4.687cm2 P
A
45°
B
45° C
选边厚为3mm的4号等边角钢, 其A 2.359 cm2
2、应力是矢量,可分为正应力和剪应力； 3、整个截面上各点处的应力与微面积dA
之乘积的合成，即为该截面上的内力。
二、应变
线位移：
自物体内某一点的原位置到新位置所连线段的距离
角位移：
物体上的某一直线段旋转的角度
B A s u A s B
平均线应变：
m A'B' AB u
线应变 由正应力产生
剪应变 由剪应力产生
三、剪应力互等定理
在相互垂直的两个平面上,剪应力一定成对出现， 其数值相等，方向同时指向或背离两平面的交线。
证明：
微元体 单元体
( t dy)dx ( t dx)dy
dy
t dx
四、胡克定理
线弹性：应力小于某一极限值时，材料的 变形是弹性的，且应力与应变之间常呈 线性关系。
B
F NAC
A
Q
sin 0.8 0.388 0.8m 0.82 1.92
38.7 103 ( N )
C
1.9m
Q
2、 求AB杆的最大工作应力：
其最大工作应力为横截面上的应力
FN AB AAB
38.7 103 123106 Pa (20 103 )2
= FN /A= p·b·d/(2·b·t)= p·d/(2·t) 似足够精确。
=2 ·106 ·0.2 /(2 ·0.005 )Pa=40MPa
二、强度条件
等直轴轴向拉压杆内的最大正应力:
max
FN max A
强度条件：
max
FN max A
[ ]
式中： max 称为最大工作应力 [ ] 称为材料的许用应力
胡克定理： = E ·
E:弹性模量
剪切胡克定理: = G ·
G:剪切弹性模量
轴力 弯矩
正应力 扭矩 正应力 剪力
剪应力 剪应力
主线：强度、刚度、稳定性 分析方法：几何、物理、静力学
§4-2 轴向拉伸与压缩正应力及其强度条件
一、轴向拉伸与压缩正应力
P
P
平面假设：变形前为平面的横截面 变形后仍为平面。
根据上述强度条件，可以进行三种类 型的强度计算：
一、校核杆的强度 已知FNmax、A、[σ]，验算构件是否满足
强度条件
二、设计截面
已知FNmax、[σ],根据强度条件，求A
三、确定许可载荷
已知A、[σ]，根据强度条件,求FNmax
例3：一直径d=14mm的圆杆，许用应力
[σ]=170MPa，受轴向拉力P=2.5kN作用，
AB
s
线应变:
A'B' AB lim u
AB
s0 s
dy
dx
剪应变（角应变）：正交线段夹角的变化
剪应变大小
线应变 和剪应变 是描述一点处变形程度
的两个基本量，它们的量纲均为一。
线应变没有单位，剪应变单位为rad 在后面课程的学习中可知：