2.5二次函数与一元二次方程课件(1)

二次函数y=ax2+bx+c的图 象和x轴交点个数 有两个交点 有一个交点 没有交点
b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
自主学习三： 二次函数图象和x轴交点坐标与 一元二次方程的根有什么关系? 交 点 的 横 坐 标 是 一 元 二 次 方 程 的 根
y=x2+2x与 x轴交点
ax2+bx+c=0
的根.
跟踪练习一
1 . 若方程ax2+bx+c=0的根为x1=-2和x2=3，则二次函数 （-2，0）、（3，0） y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是 。 2.抛物线y=x2-4x+4与轴有 一个交点，坐标是 （2，0） 。 3.抛物线y=0.5x2-x+3与x轴的交点情况是（ c ） A 两个交点 B 一个交点 C 没有交点 D 画出图象后才能说明 4 不画图象，求抛物线y=x2-3x-4与x轴的交点坐标。 解：∵解方程x2-3x-4=0得： x1=-1，x2=4 ∴抛物线y=x2-3x-4与x轴的交点坐标是： (-1，0)和(4，0) 5.若函数 y mx2 6 x 1图象与x 轴是只有一个公共点,求m的值. 解：∵ 图象与x 轴是只有一个公共点 则△=0 即 36-4m=0 ∴ m=9
2 、 二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)图像 是一条 抛物线 ，
自主学习一：
1、二次函数图像与x轴交点个数有几种情况？想一想， 画一画
y
三种可能：①两个交点
②一个交点
0 x
③没有交点。
自主学习二： 二次函数与x轴交点与一元二次方程的根有什么关系? 二次函数y=x2+2x, y=x2-2x+1, y=x2-2x+2的图象如图：
(-2,0)
(0,0）
令
y=0 x2+2x=0方程的根是
X1 =-2 X2 =0
y=x2-6x+8与x轴交点是 （2, 0）（4,0 ）
令 y=0 x2-6x+8=0方程的根是 X1 =2 X2 =4
想一想
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点坐标与一元二次方 ax2+bx+c=0的根有什么关系? 与x轴交点的横坐标是当 y=0 时自变量 x 的值 即方程
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
(1)图象y=x2+2x与x轴交点个数
(
两个交点
) ) ) )
一元二次方程x2+2x=0根的个数 ( △﹥0，有两个不相等实数根 ) (2)图象y=x2-2x+1与x轴交点个数( 一个交点 (3)图象y=x2-2x+2与x轴交点个数(
一元二次方程x2-2x+1=0根的个数(△=0，有两个相等实数根 )
要化成 一般式
跟踪练习三
二次函数的图象与轴交于（2,0）（-1，0)且过点（0， -2）求这个二次函数的解析式
解：设所求的二次函数为 y=a(x-2)(x+1） 因为： 点M( 0,-2 )在抛物线上 所以：a(0-2)(0+1)=-2 得 ： a=1 故所求的抛物线为 y=(x-2)(x+1) 即：y=x2-x-2
100
80
60 40 20
0
2
4
6
8
课堂小结
想一想 议一议
若一元二次方程ax 2+bx+c=0两个根为x 1 , x2 则一 元二次方程可化为 (x-x1)(x-x2)=0 若二次函数y=ax 2+bx+c的图象和x轴交点坐标(X1 ,0) (X2 ,0),则二次函数的表达式可表示为Y=a(x-x1)(x-x2)这种表示 方法称为二次函数的交点式。 友情提示：二次函数有哪几种表达形式？
2
80
60 40 20
0
．
2
4
6
．
8
2） 小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是60m,
你是如何知道的，你有几种方法 (1)方法一：利用图像 （2）方法二：利用方程：把h=60 代入得 解得x1=2 x2=6
3）对于上题来说，方程-5t2+40t=80的根
-5t2+40t=60
h
的实际意义是什么？ -5t2+40t=80 当h=80时，相对应的t
二、基础训练 1、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上，则 a= ；若抛物线与x轴有两个交点，则a的 范围是 ；若抛物线与坐标轴有两个公共 点，则a的范围是 ； 2、已知抛物线y=x2-3x+a+1与x轴最多只有一 个交点，则a的范围是 。
3、已知抛物线y=x2+px+q与x轴的两个交点为 （-2，0），（3，0），则p= ，q= 。
没有交点 一元二次方程x2-2x+2=0根的个数( △﹤0无实数根
想一想 填一填
. 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的个数 与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
一元二次方程 ax2+bx+c=0根的判别式 =b2-4ac
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根的情况 有两个相异的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根
例2 ：已知抛物线与X轴交于A（－1，0），B（2,0）
并经过点M（0,2），求抛物线的解析式？
y x o
思考： 你能用什么方法做呢? 哪个方法更好? 解：设所求的二次函数为 因为 y=a(x＋1)(x－2）
点M( 0,2 )在抛物线上
所以：a(0+1)(0-2)=2 得 ： a=-1 故所求的抛物线为 y=- (x＋1)(x-2) 即：y=－x2+x+2
直线y=k
x2 x
跟踪练习二
函数的图象y=ax2+bx+c如图所示， 那么 (2)关于ax2+bx+c=4的一元二次方程的根的情况是( )
两个不相等的实数根 (1)关于ax2+bx+c=0的一元二次方程的根的情况是 ( ) 无实数根
(3)关于ax2+bx+c=2的一元二次方程的根的情况是( ) 两个相等的实数根 Y=4 Y=2 Y=0
能力升华
y 一元二次方程x2-4x+4=0的根是二次函数 y=x2-4x+4的图象与（ X轴 ）交点的横坐标。
N
y=x2-4x+4
直线y=0
一元二次方程x2-4x+4=1的根是二次函数 y=x2-4x+4的图象与直线（ 直线y=1 ）交点的横坐标。 y
0
1 2
．
直线y=0 x
正确 ？
y=x2-4x+4
-2
1
0
(2,0) _____
(-5,0)
3．二次函数y=kx2＋4x－4的图象与x轴有交点， 则k 的取值范围 ． K>-1且k≠0 4.已知二次函数图象过（-1,0），（3，0）和（1，-8）三点， 求二次函数表达式。 Y=2(x+1)(x-3) 即：Y=2x2-4x-6
课堂小结
1.二次函数y=ax2+bx+c与X轴交点个数的确定 2. 二次函数与一元二次方程的关系 y=ax2+bx+c
与直线 y=k
ax2+bx+c=k y取定值k
交点的横坐标 3.用交点式求二次函数表达式
方程的根
数 形 结 合 的 思 想
目标检测
相信自己，我能行
y
1、已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如 下图所示，请写出方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根 X1=-2 ,x2=1 2、抛物线y=-3（x－2）（x＋5）与x轴的交点坐标为
九年级数学(下)第二章 二次函数
2.5 二次函数与一元二次方程(1) 二次函数与一元二次方程的关系
复习提问
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△ = b2-4ac 。 方程根的情况是：当△﹥0 时方程 有两个不等实数根 ； ；
当△=0时，方程 有两个相等实数根 当△﹤0时，方程 没有实数根 。
N
方程x2-4x+4=1的根（x1= 1 ，x2= 3 )
2 1 0
(x-2)2=1 (x-2)=±1 X-2=-1 或 x-2=1 x1= 1 ，x2= 3
．．
M
1 2 3
直线y=1
x
想一想
一元二次方ax2+bx+c=k的根是函数y=ax2+bx+c 的图象和 直线y=k
y
交点横坐标
． ．
x1
0
4 2
y
0
-2
x
例1学以致用
由上抛小球落地的时间想到
竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式 h=-5t2+40t表示
1).小球经过多少秒后落地?Hale Waihona Puke 有几种 求解方法?与同伴进行交流.
h
100
1.8s, 可以利用图象,
也可以把h 0代入函数h 5t 2 40t 解方程 5t 40t 0.