第五章 微分方程模型

1/~ 阈值
模型4
预防传染病蔓延的手段
SIR模型
传染病不蔓延的条件——s0<1/ • 提高阈值 1/ 降低 (=/)
,
(日接触率) 卫生水平 (日治愈率) 医疗水平
• 降低 s0
s0 i0 r0 1
提高 r0
群体免疫
的估计
1
s s0 i0 s ln 0 s0
~ 日接触率
1/ ~感染期
/
~ 一个感染期内每个病人的
有效接触人数，称为接触数。
模型3
di/dt
di i (1 i ) i dt i
>1
i0
1-1/
di 1 i[i (1 )] / dt
>1
i
1
di/dt < 0
i0
1
i

P1 0 s 1 /
x 2s0 ( s0
s0 - 1/ =
1

)
s0
s
小 , s0 1
x 2
提高阈值1/降低被 传染人数比例 x
5.4
药物在体内的分布与排除
• 药物进入机体形成血药浓度(单位体积血液的药物量) • 血药浓度需保持在一定范围内——给药方案设计 • 药物在体内吸收、分布和排除过程 ——药物动力学 • 建立房室模型——药物动力学的基本步骤 • 房室——机体的一部分，药物在一个房室内均匀 分布(血药浓度为常数)，在房室间按一定规律转移 • 本节讨论二室模型——中心室(心、肺、肾等)和 周边室(四肢、肌肉等)
1 di ds s 1 i s s i0
0
相轨线
相轨线 i ( s) 的定义域
s i ( s ) ( s0 i0 ) s ln s0
i
1
1
D {( s, i ) s 0, i 0, s i 1}
在D内作相轨线 i ( s) 的图形，进行分析
无法求出 i(t ), s(t )
的解析解 在相平面 s ~ i 上
研究解的性质
i0 s0 1 (通常r (0) r0很小）
模型4
di dt si i ds si dt i (0) i0 , s (0) s0
SIR模型
消去dt /
0
1-1/
1 i
i0
0
1 , 1 1 i ( ) 1 0,
t
0
t
接触数 =1 ~ 阈值
1 i(t )按S形曲线增长 感染期内有效接触感染的 i0 小 健康者人数不超过病人数
模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例
1 i (t )
模型4
假设
传染病有免疫性——病人治愈 后即移出感染系统，称移出者
SIR模型
1）总人数N不变，病人、健康人和移 出者的比例分别为 i(t ), s(t ), r (t )
2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = / 建模
s(t ) i(t ) r (t ) 1
需建立
i(t ), s(t ), r (t ) 的两个方程
模型4
SIR模型
N[i(t t ) i(t )] Ns(t )i(t )t Ni(t )t
N[s(t t ) s(t )] Ns(t )i(t )t
di dt si i ds si dt i (0) i0 , s (0) s0
第五章
5.1
微分方程模型
传染病模型
5.2
药物在体内的分布与排除
动态 模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程
• 分析对象特征的变化规律
• 预报对象特征的未来性态
• 研究控制对象特征的手段
微分 方程 建模
• 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 • 根据建模目的和问题分析作出简化假设 • 按照内在规律或用类比法建立微分方程
5.1 传染病模型
问题
• 描述传染病的传播过程 • 分析受感染人数的变化规律
• 预报传染病高潮到来的时刻
• 预防传染病蔓延的手段
• 按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型
模型1
假设 建模
已感染人数 (病人) i(t)
• 每个病人每天有效接触 (足以使人致病)人数为
i(t t ) i(t ) i(t )t
0
s(t)单调减相轨线的方向
1
s 1 / , i im t , i 0
s s满足 s0 i0 s ln 0 s0
im
P1 P3
0
s
S0
1 / s0
1s
P1: s0>1/ i(t)先升后降至0 P2: s0<1/ i(t)单调降至0
传染病蔓延 传染病不蔓延
0, c2 (0) 0
k0 t t 0t T c1 (t ) A1e B1e k V , 13 1 k12 k 0 t t , 0t T c2 (t ) A2 e B2 e k 21 k13V2 V1 ( k12 k13 ) V1 ( k12 k13 ) A1 , B2 B1 A2 k 21V2 k 21V2
t >T, c1(t)和 c2(t)按指数规律趋于零
3.口服或肌肉注射
相当于药物( 剂量D0)先进入吸收室，吸收后进入中心室
吸收室
x0 (t )
中心室
吸收室药量x0(t)
f 0 (t ) V2 c ( t ) ( k k ) c k c 12 13 1 21 2 1 V1 V1 V c 2 (t ) 1 k12 c1 k 21c2 V2
di i dt i (0) i0
i(t ) i0 e
t
t i ?
必须区分已感染者(病 人)和未感染者(健康人)
若有效接触的是病Байду номын сангаас， 则不能使病人数增加
模型2
假设
区分已感染者(病人)和未感染者(健康人) 1）总人数N不变，病人和健康 人的 比例分别为 i(t ), s(t ) 2）每个病人每天有效接触人数 为, 且使接触的健康人致病
传染病无免疫性——病人治愈成 为健康人，健康人可再次被感染 SIS 模型 3）病人每天治愈的比例为
~日治愈率
N[i(t t ) i(t )] Ns(t )i(t )t Ni(t )t
di i (1 i ) i dt i (0) i0
对应齐次 方程通解
c1 (t ) A1e B1e t t c2 (t ) A2 e B2 e
t t
k12 k 21 k13 k 21 k13
几种常见的给药方式
1.快速静脉注射
给药速率 f0(t) 和初始条件
t=0 瞬时注射剂量D0 的药物进入中心室,血 药浓度立即为D0/V1
参数估计
各种给药方式下的 c1(t), c2(t) 取决于参数k12, k21, k13, V1,V2
t=0快速静脉注射D0 ,在ti(i=1,2,n)测得c1(ti)
D0 c1 (t ) [( k 21 )e t ( k 21 )e t ] V1 ( ) D0 (k 21 ) t t c ( t ) e Ae 设 , t充分大 1 V1 ( )
Logistic 模型
1 1 t 1 i 1 e 0
1
t
t=tm, di/dt 最大
tm~传染病高潮到来时刻
1 t m ln i 1 0 t i 1 ?
病人可以治愈！
(日接触率) tm
模型3
增加假设 建模
f 0 (t ) V2 c1 (t ) (k12 k13 )c1 V k 21c2 V 1 1 V1 c 2 (t ) k12 c1 k 21c2 V2
D0 f 0 (t ) 0, c1 (0) , c2 (0) 0 V1
D0 c1 (t ) [( k 21 )e t ( k 21 )e t ] V1 ( ) k12 k21 k13 D0 k12 t t c2 (t ) (e e ) V2 ( ) k21k13
2.恒速静脉滴注
0 t T 药物以速率k0进入中心室
f 0 (t ) V2 1 (t ) (k12 k13 )c1 k 21c2 c V1 V1 V c f 0 (t ) k0 , c1 (0) 2 (t ) 1 k12 c1 k 21c2 V2
由较大的 ti , c1 (ti ) 用最小二乘法定A,
t t ~ c1 (t ) c1 (t ) Ae Be
由较小的
~ ti , c1 (ti )用最小二乘法定B,
参数估计
t , c1 , c2 0
D0 k13V1 0 c1 (t )dt
D0 c1 (0) A B V1
D
0 1
s
模型4
相轨线 i ( s) 及其分析
SIR模型
di i di 1 si i dt 1 s 1 1 i( s) ( s0 i0 ) s ln ds s s0 ds si i s s i0 dt D P4 i (0) i0 , s (0) s0 P2
忽略i0
ln s0 ln s s0 s
模型4
被传染人数的估计
记被传染人数比例 x s0 s
SIR模型
1 x s x ln(1 ) 0 s0 i0 s ln 0 s0 s0 i0 0, s0 1
1
x<<s0
x x(1 2 )0 s0 2s0
k0 1t
f 0 k01 x0
0 (t ) k01 x0 x x0 (0) D0
x0 (t ) D0 e
k0 1t
f 0 (t ) k01 x0 (t ) D0 k01e
t
c1 (t ) Ae
Be
t
Ee
k0 1t
c1 (0) 0, c2 (0) 0 A, B, E
模型假设
• 中心室(1)和周边室(2),容积不变
• 药物从体外进入中心室，在二室间 相互转移,从中心室排出体外
• 药物在房室间转移速率及向体外排除速率， 与该室血药浓度成正比
模型建立
xi (t ) ~ 药量 ci (t ) ~ 浓度 Vi ~ 容积 i 1,2
f 0 (t )
给药
中心室
c1 (t ), x1 (t ) V1
SI 模型
~日
接触率
建模
N[i(t t ) i(t )] [s(t )]Ni (t )t
di si dt
s(t ) i(t ) 1
di i (1 i ) dt i (0) i0
模型2
i 1 1/2 i0 0 tm
di i (1 i ) dt i (0) i0 i (t )
k12
k 21
周边室 c2 (t ), x2 (t )
V2
1 (t ) k12 x1 k13 x1 k21 x2 f 0 (t ) x
k13
排除
2 (t ) k12 x1 k21 x2 x
f 0 ~ 给药速率
模型建立 xi (t ) Vi ci (t ), i 1,2 f 0 (t ) V2 c ( t ) ( k k ) c k c 1 12 13 1 21 2 V1 V1 V1 线性常系数 c 2 (t ) k12 c1 k 21c2 非齐次方程 V2