艺术生高考数学专题讲义：考点12 导数的概念及其运算
导数高考必考知识点
导数高考必考知识点导数是高考数学中的重要知识点，在数学理论和实际应用中具有广泛的作用。
本文将详细介绍导数的定义、性质和计算方法，希望能够帮助到广大考生更好地理解和掌握这一知识点。
一、导数的定义导数是函数在某一点处的变化率，也可以理解为函数的瞬时速度。
对于函数f(x)，若该函数在点x处可导，则导数的定义为：f'(x)=lim┬(Δx→0)((f(x+Δx)-f(x))/Δx)。
其中，lim是极限符号，Δx表示自变量x的增量。
导数的几何意义是函数曲线在该点处的切线的斜率。
二、导数的基本性质1. 导数与函数的连续性：若函数f(x)在某一点x处可导，则该点处的函数必定连续。
2. 导数与函数的增减性：若函数f(x)在某一区间上单调增加（或单调减少），则该区间上的导数大于等于零（或小于等于零）。
3. 导数与函数的极值：若函数f(x)在某一点x处可导，且导数f'(x)经过零点，那么该点处的函数可能有极值。
当导数从正数变为负数时，函数在该点处取极大值；当导数从负数变为正数时，函数在该点处取极小值。
4. 导数与函数的图像：导数可以揭示函数图像的变化趋势。
当导数大于零时，函数图像上升；当导数小于零时，函数图像下降；当导数等于零时，函数图像可能有极值点。
三、导数的计算方法1. 基本函数的导数：对于常见的基本函数，有一些常用的导数公式。
例如，常数的导数为零，幂函数的导数为幂次减一乘以原函数的导数等。
2. 乘积和商的导数：对于乘积和商的函数，可以利用乘积和商的求导法则来求导数。
乘积的导数公式为（f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)，商的导数公式为(f(x)/g(x))'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/g^2(x)。
3. 复合函数的导数：对于复合函数，可以利用链式法则来求导数。
链式法则公式为(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)。
导数知识点归纳及应用
导数知识点归纳及应用导数是微积分的基础知识之一，它描述了一个函数在其中一点的变化率。
导数的概念非常重要，广泛应用于科学和工程领域中的各种问题的建模和解决。
一、导数的定义及基本性质1.导数的定义：对于一个函数f(x)，它的导数可以通过以下极限定义求得：f'(x) = lim ( h -> 0 ) [ f(x+h) - f(x) ] / h导数表示了函数f(x)在x点处的变化率。
如果导数存在，则称f(x)在该点可导。
2.导数的图像表示：导数可以表示为函数f(x)的图像上的斜率线，也就是切线的斜率。
3.导数的几何意义：a.函数图像在特定点的切线的斜率等于该点的导数。
b.导数为正，表示函数在该点上升；导数为负，表示函数在该点下降；导数为零，表示函数在该点取得极值。
4.基本导数公式：a.常数函数的导数为0。
b.幂函数f(x)=x^n的导数为f'(x)=n*x^(n-1)。
c. 指数函数 f(x) = a^x 的导数为 f'(x) = ln(a) * a^x。
d. 对数函数 f(x) = log_a(x) 的导数为 f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
二、导数的计算方法1.导数的基本定义法：根据导数的定义，通过计算极限来求得导数。
2.导数的运算法则：a.和差法则：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
b.乘法法则：(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。
c.商法则：(f(x)/g(x))'=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/(g(x))^2d.复合函数法则：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。
3.链式法则：对于复合函数f(g(x))，可以利用链式法则求导数：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。
2024年高考数学总复习第三章导数及其应用真题分类12导数的概念及其运算
第1题
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真题分类12 导数的概念及其运算
高考·数学
(2013·江西，13,5 分)设函数 f(x)在(0，＋∞)内可导，且 f(ex)＝x＋ex，则 f′(1)＝ 2 .
答案：2∵f(ex)＝x＋ex，∴f(x)＝x＋ln x. ∴f′(x)＝1＋1x，∴f′(1)＝1＋1＝2.
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曲线 y＝
x
在点 P 处的切线方程为 y－
x0
＝1 2 x0
(x－x0)，即
y－2
x x0
－
x0 2
＝0，即为
直线 l 的方程．由直线 l 与圆 x2＋y2＝15 相切，得
x0
2 1＋41x0
＝
5 5
，解得
x0＝1.故直线
l
的方程为 y＝12 x＋12 .
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真题分类12 导数的概念及其运算
高考·数学
答案：C 设曲线 y＝x＋ex 1 在点(1，2e )处的切线方程为 y－2e ＝k(x－1)， 因为 y＝x＋ex 1 ， 所以 y′＝ex（（xx＋＋11））－2 ex ＝（x＋xex1）2 ， 所以 k＝y′|x＝1＝4e ， 所以 y－2e ＝4e (x－1)，所以曲线 y＝x＋ex 1 在点(1，2e )处的切线方程为 y＝4e x＋4e . 故选 C.
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真题分类12 导数的概念及其运算
高考·数学
答案：A 设函数 y＝f(x)图象上的两点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且 x1≠x2，则由题意
知只需函数 y＝f(x)满足 f′(x1)·f′(x2)＝－1 即可．y＝f(x)＝sin x 的导函数为 f′(x)＝cos x，则
高考数学导数及应用知识点
高考数学导数及应用知识点导数是高中数学中重要的概念之一，也是高考数学必考的知识点。
掌握导数的概念和应用是理解数学中许多问题的关键。
本文将以“step by step thinking”为主线，逐步讲解导数的基本概念、性质以及常见的应用。
一、导数的概念导数可以理解为函数在某一点上的变化率。
对于给定的函数f(x)，在某一点x上的导数表示为f’(x)，它的定义如下：f’(x) = lim(h→0)[f(x+h) - f(x)] / h其中，lim表示极限，h表示自变量x的增量。
导数的定义可以理解为当自变量x的增量h趋近于0时，函数f(x)在点x处的变化量与自变量增量的比值。
二、导数的性质 1. 常数函数的导数为0：对于常数函数f(x) = c，其中c为常数，其导数为f’(x) = 0。
因为常数函数在任意一点的函数值都相同，所以其变化率为0。
2. 幂函数的导数：对于幂函数f(x) = x^n，其中n为正整数，其导数为f’(x) = n *x^(n-1)。
幂函数的导数是指数函数。
3. 指数函数的导数：对于指数函数f(x) = a^x，其中a为正实数且不等于1，其导数为f’(x) = ln(a) * a^x。
指数函数的导数是指数函数本身与常数ln(a)的乘积。
4. 对数函数的导数：对于对数函数f(x) = log_a(x)，其中a为正实数且不等于1，其导数为f’(x) = 1 / (x * ln(a))。
对数函数的导数是关于自变量的倒数。
5. 三角函数的导数：常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)。
它们的导数分别为cos(x)、-sin(x)和sec^2(x)。
三、导数的应用导数在数学中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1.切线和法线：导数可以用来求曲线上一点处的切线和法线。
切线是曲线在该点处的斜率，即导数；法线则是与切线垂直的直线，其斜率为导数的负倒数。
高中数学导数定义与计算规则解析
高中数学导数定义与计算规则解析导数是高中数学中的一个重要概念，它在微积分中具有广泛的应用。
理解导数的定义和计算规则对于解题和应用都至关重要。
本文将对导数的定义和计算规则进行详细解析，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用导数。
一、导数的定义导数的定义是描述函数在某一点处的变化率。
具体而言，对于函数f(x)，在点x=a处的导数可以表示为f'(a)或者dy/dx|_(x=a)。
导数表示了函数在该点附近的斜率，可以用来刻画函数的变化趋势。
例如，考虑函数f(x)=x^2，我们希望计算其在x=2处的导数。
根据导数的定义，我们可以使用极限的概念来计算导数。
通过计算函数在x=2处的斜率，我们可以得到f'(2)=4。
这意味着在x=2处，函数f(x)的变化率为4。
二、导数的计算规则导数的计算规则是一系列用于计算导数的公式和规律。
了解这些规则可以帮助我们更快地计算导数，解决各种与导数相关的问题。
1. 常数规则对于常数c，其导数为0。
例如，如果f(x)=3，那么f'(x)=0。
2. 幂函数规则对于幂函数f(x)=x^n，其中n为常数，其导数为f'(x)=n*x^(n-1)。
例如，如果f(x)=x^3，那么f'(x)=3x^2。
3. 和差规则对于函数f(x)和g(x)，有(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)和(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)。
这意味着导数对于函数的和差运算是可分配的。
例如，如果f(x)=x^2和g(x)=2x，那么(f+g)'(x)=(x^2)' + (2x)' = 2x + 2 = 2(x+1)。
4. 乘积规则对于函数f(x)和g(x)，有(f*g)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
这意味着导数对于函数的乘法是可分配的。
例如，如果f(x)=x^2和g(x)=3x，那么(f*g)'(x)=(x^2)'*3x +x^2*(3x)' = 3x^3 + 2x^2。
导数知识点总结与应用
导数知识点总结与应用一、导数的定义导数的定义是一个函数在某一点的变化率，通俗地说就是函数在某一点的斜率。
数学上我们用极限的概念来定义导数，设函数y=f(x)，在点x0处的导数定义为：f'(x0) = lim (Δx→0) (f(x0+Δx)- f(x0))/Δx如果这个极限存在的话，我们就称这个导数为存在的。
导数在几何意义上就是函数在某一点的切线的斜率。
二、导数的意义导数不仅仅是一个数学概念，更是反映了函数在不同点的变化情况。
导数告诉我们了函数在某一点的变化率，也就是函数在该点上的速度。
导数在物理中也有广泛的应用，比如在求物体的速度、加速度等等。
在经济学中，导数也有广泛的应用，比如在边际收益、边际成本等等。
三、导数的常用性质1、导数的和差规则：设函数f(x)和g(x)都在点x0具有导数，那么它们的和、差的导数就可以用下面的关系式来表示：(f(x)±g(x))' = f'(x)±g'(x)2、导数的数乘规则：设函数f(x)在点x0具有导数，那么它的数乘k的导数可以用下面的关系式来表示：(k*f(x))' = k*f'(x)3、导数的积法则：设函数f(x)和g(x)都在点x0具有导数，那么它们的积的导数可以用下面的关系式来表示：(f(x)*g(x))' = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)4、导数的商法则：设函数f(x)和g(x)都在点x0具有导数，并且g(x0)≠0，那么它们的商的导数可以用下面的关系式来表示：(f(x)/g(x))' = (f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x))/[g(x)]^2四、高阶导数由导函数可以得到二阶导数，三阶导数···，n阶导数的定义分别为f''(x) = [f'(x)]'f'''(x) = [f''(x)]'···f^(n)(x) = [f^(n-1)(x)]'几何意义上就是函数在该点的曲率、弯曲程度。
导数定义运算知识点总结
导数定义运算知识点总结一、导数的定义在微积分中，导数是描述函数变化率的一个重要概念。
具体来说，如果一个函数在某一点处的导数存在，那么这个导数就描述了函数在该点处的变化速率。
导数的定义可以通过极限的概念来给出，具体来说，对于函数y=f(x)，如果在某一点x处函数f(x)的变化率为：f'(x) = lim(h->0) (f(x+h) - f(x)) / h其中f'(x)表示函数f(x)在x处的导数，lim表示极限运算，h表示自变量x的增加量。
上面的定义是导数的一般形式，通过这个定义可以得到一些常用的导数计算方法。
比如对于幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等一些基本函数，我们可以通过导数的定义来计算它们在某一点处的导数。
另外，还可以通过导数的定义来证明某一函数在某一点处的导数的存在性和计算导数的值。
二、导数的基本运算法则导数的基本运算法则是微积分中的一个重要内容，它包括导数的四则运算法则、复合函数的导数、反函数的导数、隐函数的导数等方面的内容。
1. 导数的四则运算法则对于两个函数y=f(x)和y=g(x)，它们的导数满足一些基本运算法则。
具体来说，如果函数f(x)和函数g(x)分别在某一点x处的导数存在，那么它们的和、差、积、商的导数可以通过以下公式求得：- (f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)- (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)- (f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x)) / [g(x)]^2这些公式可以帮助我们在实际计算中求解复合函数的导数、隐函数的导数等问题。
2. 复合函数的导数复合函数是指一个函数中包含了另一个函数。
如果函数y=f(g(x))是一个复合函数，那么它的导数可以通过链式法则来求解。
《导数的概念及运算》知识点
一、导数的概念1、定义如果函数y ＝f (x )的自变量x 在x 0处有增量Δx ，那么函数y 相应地有增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，比值Δy Δx 就叫函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，即Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx .如果当Δx →0时，Δy Δx有极限，我们就说函数y ＝f (x )在点x 0处可导，并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx. 2、导函数当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的导函数(简称导数)．y ＝f (x )的导函数有时也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx . 3、用定义求函数y ＝f (x )在点x 0处导数的方法（1）求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；（2）求平均变化率Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx； （3）取极限，得导数f ′(x 0)＝Δy Δx . 二、导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是f ′(x 0)．相应的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．三、基本初等函数的导数公式1、c ′＝0 (c 为常数)， (x α)′＝αx α－1 (α∈Q *)．2、(sin x )′＝cos x ， (cos x )′＝－sin x.3、(ln x )′＝1x ， (log a x )′＝1x ln a． 4、(e x )′＝e x ， (a x )′＝a x ln a.四、导数运算法则1、[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x ).2、f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；当g (x )＝c (c 为常数)时，即[cf (x )]′＝cf ′(x ).3、⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2 (g (x )≠0)． 五、复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y ′u ·u ′x ．即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．。
数学高考知识点导数
数学高考知识点导数导数，作为高考中的一项重要数学知识点，是理解和掌握微积分的基础。
在应用数学题中，导数有着广泛的应用，通过求导可以找到函数的最值、研究函数的变化趋势等。
本文将详细介绍导数的概念、性质以及求导的方法，以帮助广大学生更好地掌握这一知识点。
一、导数的概念在微积分中，导数描述了函数在某一点上的变化率。
具体地说，如果函数在某一点上的导数存在，那么这个导数就表示了函数在该点上的切线斜率。
一般地，我们用f'(x)或dy/dx来表示函数f(x)的导数。
导数的定义如下：\[f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h}\]二、导数的性质导数具有以下几个重要的性质：1. 若函数f(x)在点x处可导，则函数在该点连续。
2. 若函数在某一点上可导，则该点一定是函数的点。
3. 函数的导数表示了函数的变化趋势，当导数大于0时，函数递增；当导数小于0时，函数递减；当导数等于0时，函数取极值。
4. 导数可以进行四则运算，即导数的和、差、积、商仍然是函数的导数。
三、求导的方法求导是数学高考中非常重要的一部分，因此我们需要掌握一些常见的求导方法。
下面列举了一些常见函数的导数求解方式：1. 常数函数的导数为0。
即对于常数a，有导数\[f'(x) = 0\]。
2. 幂函数的导数可以通过幂函数求导法则求解。
如果函数为f(x) =x^n (n为常数)，则导数为\[f'(x) = nx^{n-1}\]。
3. 指数函数的导数为该函数的自变量的指数与以自然对数为底的指数函数之积。
即对于函数f(x) = e^x，其导数为\[f'(x) = e^x\]。
4. 对数函数的导数为该函数的自变量的倒数。
即对于函数f(x) =ln(x)，其导数为\[f'(x) = \frac{1}{x}\]。
5. 三角函数的导数可以通过三角函数求导法则求解。
高中数学一轮复习考点专题训练：专题12 导数的概念及其运算(解析版)
高考数学一轮考点扫描专题12 导数概念及其运算一、【知识精讲】1.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝lim x ∆→Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0lim x ∆→ Δy Δx ＝0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx.(2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 2.函数y ＝f (x )的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，函数f ′(x )＝0lim x ∆→f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数.3.基本初等函数的导数公式4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0).5.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′. [微点提醒]1.f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，且(f (x 0))′＝0.2.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f （x ）′＝－f ′（x ）[f （x ）]2.3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”. 二、【典例精练】 考点一 导数的运算角度1 根据求导法则求函数的导数 例1. 分别求下列函数的导数： (1)y ＝e xln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)f (x )＝ln 1＋2x .【解析】 (1)y ′＝(e x)′ln x ＋e x(ln x )′＝e xln x ＋e xx＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x .(2)因为y ＝x 3＋1＋1x 2，所以y ′＝3x 2－2x3.(3)因为y ＝ln 1＋2x ＝12ln ()1＋2x ，所以y ′＝12·11＋2x ·(1＋2x )′＝11＋2x .角度2 抽象函数的导数计算例2. (2019·福州联考)已知函数f (x )的导函数是f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln 1x，则f (1)＝( )A.－eB.2C.－2D.e【答案】B【解析】 由已知得f ′(x )＝2f ′(1)－1x，令x ＝1得f ′(1)＝2f ′(1)－1，解得f ′(1)＝1，则f (1)＝2f ′(1)＝2.【解法小结】 1.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.2.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.3.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. 考点二 导数的几何意义 角度1 求切线方程例3. (2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax .若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( ) A.y ＝－2x B.y ＝－x C.y ＝2xD.y ＝x【答案】D【解析】 因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以a －1＝0，则a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x .角度2 求切点坐标例4.)设曲线y ＝e x在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x(x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________.【答案】(1，1)【解析】∵函数y ＝e x 的导函数为y ′＝e x， ∴曲线y ＝e x在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1.设P (x 0，y 0)(x 0>0)，∵函数y ＝1x 的导函数为y ′＝－1x 2，∴曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线的斜率k 2＝－1x 20，由题意知k 1k 2＝－1，即1·⎝⎛⎭⎪⎫－1x20＝－1，解得x 20＝1，又x 0>0，∴x 0＝1.又∵点P 在曲线y ＝1x(x >0)上，∴y 0＝1，故点P 的坐标为(1，1).角度3 求参数的值或取值范围例5. (2018·全国Ⅱ卷)曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为________________. 【答案】y ＝2x . 【解析】由题意得y ′＝2x ＋1.在点(0，0)处切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝2.∴曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y －0＝2(x －0)，即y ＝2x .例6.(2016山东高考)若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（ ）（A ）sin y x = （B ）ln y x =（C ）e x y =（D ）3y x =【答案】A【解析】由函数的图象在两点处的切线互相垂直可知，存在两点处的切线斜率的积，即导函数值的乘积为负一.当sin y x =时，cos y x '=，有cos0cos 1π⋅=-，所以在函数sin y x =图象存在两点0,x x π==使条件成立，故A 正确；函数3ln ,,x y x y e y x ===的导数值均非负，不符合题意，故选A【解法小结】 1.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上. 【思维升华】]1.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.对于复合函数求导，关键在于分清复合关系，适当选取中间变量，然后“由外及内”逐层求导.2.求曲线的切线方程要注意分清已知点是否是切点.若已知点是切点，则可通过点斜式直接写方程，若已知点不是切点，则需设出切点.3.处理与切线有关的参数问题时，一般利用曲线、切线、切点的三个关系列方程求解. 【易错注意点】1.求导常见易错点：①公式(x n)′＝nx n －1与(a x )′＝a xln a 相互混淆；②公式中“＋”“－”号记混，如出现如下错误：⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）＋f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2，(cosx )′＝sin x ；③复合函数求导分不清内、外层函数.2.求切线方程时，把“过点切线”问题误认为“在点切线”问题. 三、【名校新题】1.(2018·日照质检)已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于( ) A.e 2B.eC.ln 22D.ln 2【答案】B【解析】 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2，即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e. 2． (2019·郑州月考)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A.3B.2C.1D.12【答案】A【解析】设切点的横坐标为x 0(x 0>0)， ∵曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，∴y ′＝x 2－3x ，即x 02－3x 0＝12，解得x 0＝3或x 0＝－2(舍去，不符合题意)，即切点的横坐标为3.3.（2019开封市高三定位考试）曲线y= 在x=1处的切线与坐标轴所围成的三角形面积是（ ） A.B. C. D.【答案】A【解析】由y= ，得 曲线y= 在x=1处的切线斜率k=e,所以曲线y= 在x=1处的切线方程是y-(e+1)=e(x-1),令x=0,则y=1,令y=0,得x=,所以所求围成的三角形面积为.故选A4.(2019·合肥一模)函数f (x )＝x －g (x )的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝－x －1，则g (2)＋g ′(2)＝( ) A.7 B.4 C.0 D.－4【答案】A【解析】 ∵f (x )＝x －g (x )，∴f ′(x )＝1－g ′(x )，又由题意知f (2)＝－3，f ′(2)＝－1，∴g (2)＋g ′(2)＝2－f (2)＋1－f ′(2)＝7.5.已知e 为自然对数的底数，曲线y ＝a e x＋x 在点(1，a e ＋1)处的切线与直线2e x －y －1＝0平行，则实数a ＝( )A.e －1eB.2e －1eC.e －12eD.2e －12e【答案】B【解析】 ∵y ′＝a e x＋1，∴在点(1，a e ＋1)处的切线的斜率为y ′|x ＝1＝a e ＋1，又切线与直线2e x －y －1＝0平行，∴a e ＋1＝2e ，解得a ＝2e －1e.6.（2019福建五校第二次联考）已知函数 ，若 ，则实数m 的取值范围是（ ）A. B. C. D. ， 【答案】B【解析】令 ,则 ,所以函数 在原点处的切线方程为y=3x,故函数 的图像在原点处的切线方程为y=3x ，作出 的图像以及切线y=3x ，再让y= 绕原点旋转，则可得 解得 故选B7.(2019·广州调研)已知直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 相切，则实数k 的值为( ) A.ln 2 B.1 C.1－ln 2D.1＋ln 2【答案】D【解析】 由y ＝x ln x 得y ′＝ln x ＋1，设切点为(x 0，y 0)，则k ＝ln x 0＋1，∵切点(x 0，y 0)(x 0>0)既在曲线y ＝x ln x 上又在直线y ＝kx －2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0－2，y 0＝x 0ln x 0，∴kx 0－2＝x 0ln x 0，∴k ＝ln x 0＋2x 0，则ln x 0＋2x 0＝ln x 0＋1，∴x 0＝2，∴k ＝ln 2＋1.8.(2018·深圳二模)设函数f (x )＝x ＋1x＋b ，若曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处的切线经过坐标原点，则ab＝( ) A.1 B.0C.－1D.－2【答案】D【解析】 由题意可得，f (a )＝a ＋1a ＋b ，f ′(x )＝1－1x 2，所以f ′(a )＝1－1a 2，故切线方程是y －a －1a－b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 2(x －a )，将(0，0)代入得－a －1a－b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a2(－a )，故b ＝－2a，故ab ＝－2.9.（2019荆州市八校联考）．已知函数2()ln (1)1h x a x a x =+-+(0)a < ，在函数()h x 图象上任取两点,A B ，若直线AB 的斜率的绝对值都不小于5，则实数a 的取值范围是（）A ．(,0)-∞B．⎛-∞ ⎝⎦C．,⎛-∞ ⎝⎦D．⎫⎪⎪⎝⎭【答案】B【解析】22(1)()0a x ah x x-+'=<，()h x 在()0,+∞单调递减， 12112212()()(,),(,)5h x h x A x y B x y x x --，≥ 设1211220,()5()5x x h x x h x x >>++则≤设()()5,f x h x x =+则()f x 在(0,)+∞上单调递减则22(1)5()0a x x af x x-++'=≤对(0,)x ∈+∞恒成立 则22(1)50a x x a -++≤对(0,)x ∈+∞恒成立 则20,88250a a ∆--即≤≥解之得24a -≤或24a +≥ 又0a <，所以24a -≤ 10．（2019济南市三模）已知函数2()||2x f x ax b x -=--+，若对任意的实数a b ，，总存在0[12]x ，∈-，使得0()f x m …成立，则实数m 的取值范围是 ．【答案】【解析】记()[12]y f x x ，，=∈-的最大值为()M a b ，，则由题意知，()m M a b a b R ，对，恒成立∀∈…. 所以 min ()m M a b ，…. 借助纵向距离法（切比雪夫最佳逼近线） 记2()[12]2x g x x x ，，-=∈-+， 则对于2()|()|[12]2x f x ax+b x x ，，-=-∈-+，可以看作横坐标相同时， 2()2x g x x -=+与()h x ax b =+图像上点的纵向距离（或铅锤距离）. 记(1,3)(2,4)A ,B --，连接AB ，则图中直线AB 的斜率为0(3)12(1)AB k --==--， 则直线1L 的方程为2y x =-;直线2L 与直线AB 平行，且与()g x 切于点00(,y )C x ， 由'002204()1=0.01 1.(2)g x x C L y x x ==-=-+得，所以（，）,则的方程为L 2:与L 1平行且与g(x )当直线()h x 与直线12,L L 平行且与两直线距离相等时， 即恰好处于两直线正中间的位置时，2()2x g x x -=+与()h x ax b =+图像上点的纵向距离的最大值最小. 此时, min 3311:()|(2)|= B.2222L y x M a b m ，，，所以，选-=-=--… 另：min 111()|1(2)|= B.222M a b m ，，所以，选=---…11. (2019·东北三省四校联考)已知曲线f (x )＝x ＋ax＋b (x ≠0)在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝2x ＋5，则a －b ＝________. 【答案】-8【解析】f ′(x )＝1－a x2，∴f ′(1)＝1－a ，又f (1)＝1＋a ＋b ，∴曲线在(1，f (1))处的切线方程为y －(1＋a ＋b )＝(1－a )(x －1)，即y ＝(1－a )x ＋2a ＋b ，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＝2，2a ＋b ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝7，∴a －b ＝－1－7＝－8.12.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)＝________. 【答案】－94【解析】因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ， 所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x，所以f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12＝3f ′(2)＋92，所以f ′(2)＝－94.13.已知函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝2x －1，则曲线g (x )＝x 2＋f (x )在点(2，g (2))处的切线方程为________________. 【答案】 6x －y －5＝0【解析】由题意，知f (2)＝2×2－1＝3，∴g (2)＝4＋3＝7， ∵g ′(x )＝2x ＋f ′(x )，f ′(2)＝2，∴g ′(2)＝2×2＋2＝6，∴曲线g (x )＝x 2＋f (x )在点(2，g (2))处的切线方程为y －7＝6(x －2)，即6x －y －5＝0.14.(2019·西安一模)定义1：若函数f (x )在区间D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在区间D 上也可导，则称函数f (x )在区间D 上存在二阶导数，记作f ″(x )＝[f ′(x )]′.定义2：若函数f (x )在区间D 上的二阶导数恒为正，即f ″(x )>0恒成立，则称函数f (x )在区间D 上为凹函数.已知函数f (x )＝x 3－32x 2＋1在区间D 上为凹函数，则x 的取值范围是________.【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 【解析】因为f (x )＝x 3－32x 2＋1，因为f ′(x )＝3x 2－3x ，f ″(x )＝6x －3，令f ″(x )>0，解得x >12，故x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.15（2019江西七校第一次联考）．（本小题满分12分） 已知函数f （x ）=x 2﹣ax ﹣alnx （a∈R）．（Ⅰ）若函数f （x ）在x=1处取得极值，求a 的值． （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：f （x ）≥﹣+﹣4x+【解析】（1）解：，由题意可得f′（1）=0，解得a=1；经检验，a=1时f （x ）在x=1处取得极值，所以a=1． （2）证明：由（1）知，f （x ）=x 2﹣x ﹣lnx ． 令，由，可知g（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，所以g（x）≥g（1）=0，所以成立16.（2019武汉部分高中联考）.已知函数.（1）若函数在点处的切线与直线平行，求实数的值；（2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）∵,∴,∴,∵函数在处的切线与直线平行，∴,∴.（2）∵对于任意，恒成立，∴即对于任意，恒成立，令，，，令，得，令，得，∴函数在区间上的最大值，∴，即实数的取值范围是.。
导数的定义与基本运算法则
导数的定义与基本运算法则导数是微积分中的重要概念，它描述了函数变化的速度。
在本文中，将介绍导数的定义以及导数的基本运算法则。
一、导数的定义在数学中，导数描述了函数在某一点的变化率。
假设有一个函数f(x)，它在点x处的导数记为f'(x)或dy/dx。
导数的定义如下：f'(x) = lim(Δx→0) [f(x+Δx) - f(x)] / Δx上述定义表示当Δx趋近于0时，函数f(x)在点x处的变化率。
如果该极限存在，那么函数在该点处是可导的。
二、导数的基本运算法则导数的基本运算法则是对导数进行运算的规则，它包括常数倍法则、和差法则、乘积法则和商法则。
1. 常数倍法则对于函数f(x)和常数k，有以下结果：(f(x)·k)' = f'(x)·k这意味着在函数中乘以一个常数时，导数等于常数倍的导数。
2. 和差法则对于函数f(x)和g(x)，有以下结果：(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)这意味着对于两个函数的和或差，它们的导数等于各自函数的导数之和或差。
3. 乘积法则对于函数f(x)和g(x)，有以下结果：(f(x) · g(x))' = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x)这意味着对于两个函数的乘积，其导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数。
4. 商法则对于函数f(x)和g(x)，有以下结果：(f(x) / g(x))' = (f'(x) · g(x) - f(x) · g'(x)) / g(x)^2这意味着对于两个函数的商，其导数等于分子的导数乘以分母减去分子乘以分母的导数，再除以分母的平方。
高考数学导数专题1：导数的概念及运算
导数的概念及运算1．导数的概念及几何意义(1)了解导数概念的实际背景．(2)理解导数的几何意义．2．导数的运算(1)能根据导数的定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝x(1)，y＝x2，y＝x3，y＝的导数．(2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．(3)能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数．一导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0Δx(f(x0＋Δx)－f(x0))＝limΔx→0Δx(Δy)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0Δx(Δy)＝limΔx→0Δx(f(x0＋Δx)－f(x0)).(2)导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(3)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝limΔx→0Δx(f(x＋Δx)－f(x))为f(x)的导函数．易错点1．求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．2．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．二导数的运算1．基本初等函数的导数公式2．导数的运算法则2．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2(g (x )≠0)．3．复合函数的导数复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为yx ′＝yu ′·ux ′，即y 对x的导数等于y 对u 的导数与 u 对x 的导数的乘积． 易误提醒1．利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(xn)′＝nxn －1中n ≠0且n ∈Q ，(cos x)′＝－sin x.2．注意公式不要用混，如(ax)′＝axln a ，而不是(ax)′＝xax －1. 3．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆易误提醒1．利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(x n)′＝nxn －1中n ≠0且n ∈Q ，(cosx )′＝－sin x .2．注意公式不要用混，如(a x)′＝a xln a ，而不是(a x)′＝xax －1.3．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 题型一 导数的概念1.已知函数f(x)＝2ln 3x ＋8x ， 求f(1－2Δx)－f(1)Δx的值.解析f(1－2Δx)－f(1)Δx＝－2f(1－2Δx)－f(1)－2Δx＝－2f ′(1)＝－20.【点拨】导数的实质是求函数值相对于自变量的变化率，即求当Δx →0时， 平均变化率ΔyΔx2.某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可以近似地表示为f(t)＝t2100，则在时刻t ＝10 min 的降雨强度为( ) A.15 mm/min B.14 mm/min C.12mm/minD.1 mm/min【解析】选A.3．(2015·陕西一检)已知直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x 的一条切线，则m 的值为( )A ．0B ．2C ．1D ．3解析：因为直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x 的切线，所以令y ′＝2x －3x ＝－1，得x ＝1，x ＝－32(舍)，即切点为(1,1)，又切点(1,1)在直线y ＝－x ＋m 上，所以m ＝2，故选B.4．(2015·洛阳期末)函数f (x )＝e xsin x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( )A.3π4 B.π3 C.π4D.π6解析：因为f ′(x )＝e xsin x ＋e xcos x ，所以f ′(0)＝1，即曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率为1， 题型二 导数运算 1. 求下列函数的导数. (1)y ＝ln(x ＋1＋x2)； (2)y ＝(x2－2x ＋3)e2x ；(3)y ＝3x 1－x. 【解析】运用求导数公式及复合函数求导数法则.(1)y ′＝1x ＋1＋x2(x ＋1＋x2)′＝1x ＋1＋x2(1＋x 1＋x2)＝11＋x2. (2)y ′＝(2x －2)e2x ＋2(x2－2x ＋3)e2x ＝2(x2－x ＋2)e2x.Δlim →x 0Δlim →x 0Δlim →x(3)y ′＝13(x 1－x 1－x ＋x(1－x)2＝13(x 1－x1(1－x)2＝13x (1－x) 2. 如下图，函数f(x)的图象是折线段ABC ，其中A 、B 、C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝（ ）；f(1＋Δx)－f(1)Δx＝（ ） (用数字作答).【解析】f(0)＝4，f(f(0))＝f(4)＝2， 由导数定义f(1＋Δx)－f(1)Δx＝f ′(1).当0≤x ≤2时，f(x)＝4－2x ，f ′(x)＝－2，f ′(1)＝－2.3．(2015·济宁模拟)已知f (x )＝x (2 014＋ln x )，f ′(x 0)＝2 015，则x 0＝( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e解析：由题意可知f ′(x )＝2 014＋ln x ＋x ·1x＝2 015＋ln x ．由f ′(x 0)＝2 015，得ln x 0＝0，解得x 0＝1.答案：B4．若函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________.解析：∵f ′(x )＝1x－2f ′(－1)x ＋3，∴f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3，解得f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8. 答案：85．下列求导运算正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3xlog 3eD ．(x 2cos x )′＝－2sin x解析：选B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1－1x 2；(log 2x )′＝1x ln 2；(3x )′＝3x ln 3；(x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，故选B.32)-32)-32-34-0Δlim →x 0Δlim →x6．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( )A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：选C ∵f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2＝x 3－3a 2x ＋2a 3， ∴f ′(x )＝3(x 2－a 2)．6．函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( )A.193B.163C.133D.103解析：选D 因为f ′(x )＝3ax 2＋6x ， 所以f ′(－1)＝3a －6＝4， 所以a ＝103.4．(2016·天津高考)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________．解析：因为f (x )＝(2x ＋1)e x，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x， 所以f ′(0)＝3e 0＝3. 答案：3题型三 导数的几何意义导数的几何意义为高考热点内容，考查题型多为选择、填空题，也常出现在解答题中前几问，难度较低．归纳起来常见的命题探究角度有： 1．求切线方程问题． 2．确定切点坐标问题． 3．已知切线问题求参数． 4．切线的综合应用．求切线方程问题1．(2015·云南一检)函数f (x )＝ln x －2xx的图象在点(1，－2)处的切线方程为( )已知切线求参数范围3．(2015·河北五校联考)若曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x存在公共切线，则a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 28，＋∞ B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，e 28C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 24，＋∞ D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，e 24 解析：结合函数y ＝ax 2(a >0)和y ＝e x的图象可知，要使曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x存在公共切线，只要ax 2＝e x在(0，＋∞)上有解，从而a ＝ex x 2.令h (x )＝e x x 2(x >0)，则h ′(x )＝e x ·x 2－e x·2xx4＝x －2e x x 3，令h ′(x )＝0，得x ＝2，易知h (x )min ＝h (2)＝e 24，所以a ≥e 24.答案：C 切线的综合应用4．(2015·重庆一诊)若点P 是函数f (x )＝x 2－ln x 图象上的任意一点，则点P 到直线x －y －2＝0的最小距离为( )A.22B. 2C.12D ．3解析：由f ′(x )＝2x －1x＝1得x ＝1(负值舍去)，所以曲线y ＝f (x )＝x 2－ln x 上的切线斜率为1的点是(1,1)，所以点P 到直线x －y －2＝0的最小距离为|1－1－2|2＝2，故选B.答案：B导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下三个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f x 1－f x 0x 1－x 0求解．易错题：混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”致误1. 若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7[解析] 因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2， 设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)， 则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－2564，当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－1，所以选A.[答案] A2.(2015·兰州一模)已知直线y ＝2x ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点(1,3)，则实数b 的值为________．解析：因为函数y ＝x 3＋ax ＋b 的导函数为y ′＝3x 2＋a ，所以此函数的图象在点(1,3)处的切线斜率为3＋a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＋a ＝2，3＝1＋a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.答案：3[易误点评] 没有对点(1,0)的位置进行分析，误认为是切点而失误． [防范措施]对于曲线切线方程问题的求解，对曲线的求导是一个关键点，因此求导公式，求导法则及导数的计算原则要熟练掌握．(2)对于已知的点，应首先确定其是否为曲线的切点，进而选择相应的方法求解． 随堂测试1、已知函数y ＝f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程x －2y ＋1＝0，则f (1)＋2f ′(1)的值是( ) A.12 B ．1 C ．32D ．2【答案】D【解析】∵函数y ＝f (x )的图象在点(1, f (1))处的切线方程是x －2y ＋1＝0，∴f (1)＝1, f ′(1)＝12.∴f (1)＋2f ′(1)＝2.故选D.2、曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程是( ) A ．x －3y ＋3＝0 B ．x －2y ＋2＝0 C ．2x －y ＋1＝0 D ．3x －y ＋1＝0 【答案】C【解析】y ′＝cos x ＋e x ，故切线斜率为k ＝2，切线方程为y ＝2x ＋1，即2x －y ＋1＝0.3、.已知奇函数y=f (x )在区间(-∞,0]上的解析式为f (x )=x 2+x ,则曲线y=f (x )在横坐标为1的点处的切线方程是( ) A.x+y+1=0 B.x+y-1=0 C.3x-y-1=0 D.3x-y+1=0【答案】B【解析】由函数y=f (x )为奇函数,可得f (x )在[0,+∞)内的解析式为f (x )=-x 2+x ,故切点为(1,0). 因为f'(x )=-2x+1, 所以f'(1)=-1,故切线方程为y=-(x -1), 即x+y -1=0.4、已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝12f (x )，则tan 2x 的值是( )A ．－23B ．－43C ．43D ．34【答案】D【解析】因为f ′(x )＝cos x ＋sin x ＝12sin x －12cos x ，所以tan x ＝－3，所以tan 2x ＝2tan x1－tan 2x ＝－61－9＝34.故选D.5、过函数f (x )＝13x 3－x 2图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为( )A.⎣⎡⎦⎤0，3π4 B ．⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎭⎫3π4，π D ．⎝⎛⎦⎤π2，3π4 【答案】B【解析】设切线的倾斜角为α.由题意得k ＝f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，即k ＝tan α≥－1，解得0≤α<π2或3π4≤α<π，即切线倾斜角的范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π.故选B. 6．(2015·长春二模)若函数f (x )＝ln xx ，则f ′(2)＝________.解析：由f ′(x )＝1－ln x x 2，得f ′(2)＝1－ln 24.答案：1－ln 247．如果f ′(x )是二次函数，且f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y ＝f (x )上任意一点的切线的倾斜角α的取值范围是________．解析：根据已知可得f ′(x )≥ 3，即曲线y ＝f (x )上任意一点的切线的斜率k ＝tan α≥ 3，结合正切函数的图象，可知α∈⎣⎡⎭⎫π3，π2.答案：⎣⎡⎭⎫π3，π28．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或1.(2)∵曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，∴关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0，即4a 2＋4a ＋1>0， ∴a ≠－12.∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 94．(2016·临沂一模)已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围． 解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3， 则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k <0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3<0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．。
导数高考知识点讲解
导数高考知识点讲解导数是高中数学中重要的概念，也是高考数学必考的知识点之一。
它是微积分的基础，对于理解和应用数学具有重要的作用。
本文将对导数的定义、性质以及常见的求导方法进行详细讲解，帮助同学们更好地掌握导数的知识。
一、导数的定义导数是函数在某一点处的变化率，用符号f'(x)表示，也可以用dy/dx来表示。
导数的定义可以表示为：若函数f(x)在点x0处的导数存在，则导数f'(x0)是函数在该点的切线的斜率。
导数的定义可以通过极限的概念来进行表示，即f'(x0) = lim(x→x0) [(f(x) - f(x0))/(x - x0)]。
二、导数的性质1. 可导性：函数在某一点处可导，意味着该点处的导数存在。
函数的可导性与其连续性有关，如果函数在某一点处可导，则必定在该点连续。
2. 和差法则：(u ± v)' = u' ± v'，即两个函数的和（或差）的导数等于这两个函数分别的导数之和（或差）。
3. 常数倍法则：(cu)' = cu'，即对于一个函数乘以一个常数，其导数等于函数的导数乘以该常数。
4. 乘积法则：(uv)' = u'v + uv'，即两个函数的乘积的导数等于其中一个函数的导数乘以另一个函数，再加上另一个函数的导数乘以第一个函数。
5. 商法则：(u/v)' = (u'v - uv')/v²，即两个函数的商的导数等于分子函数的导数乘以分母函数，再减去分母函数的导数乘以分子函数，最后再除以分母函数的平方。
6. 复合函数求导法则：若y = f(u)和u = g(x)都可导，则复合函数y = f(g(x))可导，且有(dy/dx) = (dy/du)(du/dx)。
三、常见的求导方法1. 常数函数的导数为0：例如f(x) = 5，导数f'(x) = 0。
高三数学知识点总结35之12：导数
（十四）导数的概念及运算1.函数)(x f 在区间],[21x x 上的平均变化率是.)()(1212x x x f x f --2.导数（瞬时变化率）的定义：设函数)(x f y=在区间),(b a 上有定义，且),,(0b a x ∈若x ∆无限趋近于0时，xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00无限趋近于一个常数A ，则称)(x f 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数)(x f 在0x x =处的导数，记作)(0'x f .3.导数的几何意义：导数)(0'x f 的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率. （1）设)(t s s =是位移函数，则)(0't s 表示物体在0t t =时刻的瞬时速度；（2）设)(t v v=是速度函数，则)(0't v 表示物体在0t t =时刻的瞬时加速度.4.导函数（导数）：若函数)(x f 对于区间),(b a 内任一点都可导，则)(x f 在各点的导数也随着x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为)(x f 的导函数，记作).('x f注：函数)(x f 在0x x =处的导数)(0'x f 就是导函数)('x f 在0x x =处的函数值.5.了解曲线的切线的定义，即：过曲线)(x f y =上一点P 作曲线的割线,PQ 当点Q 沿着曲线无限趋近于点P 时，若割线PQ 趋近于某一确定的直线,PT 则这一确定的直线PT 称为曲线)(x f y =在点P 处的切线.在解析几何中，求椭圆的切线时，用方程联立消元后一元二次方程的判别式0=∆来解的方法不能扩展到一般情况，曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定就一个.6.基本初等函数的求导公式 （1）k b kx =+')(；（2）0)('=C ；（3）1')(-=αααx x ；（4）a a a x x ln )('=；（5）x x e e =')(；（6）a x x a ln 1)(log '=；（7）xx 1)(ln '=；（8）x x cos )(sin '=；（9）x x sin )(cos '-=.补充：三个常用的公式：'='211()xx =-；'21(tan ).cos x x= 7.导数的四则运算法则默写（1）)()()]()(['''x g x f x g x f +=+；（2）)()()]()(['''x g x f x g x f -=-； （3）)()]([''x Cf x Cf =；（4）)()()()()]()(['''x g x f x g x f x g x f +=；（5）)()()()()(])()([2'''x g x g x f x g x f x g x f -=. 8.复合函数求导的运算法则设函数)(x u ϕ=在点x 处有导数)(''x u x ϕ=，函数)(u f y =在u 处有导数),(''u f y u=则复合函数))((x f y ϕ=在点x 处也有导数，且.'''x u xu y y ⋅= 如：（1）x x 2cos 2)2(sin '=； （2）xx 515)]51[ln('--=-. 9.（重点）曲线y ＝f (x )“在点),(00y x P 处的切线”与“过点),(00y x P 的切线”的区别与联系：（1）曲线y ＝f (x )在点),(00y x P 处的切线是指P 为切点，切线斜率为)(0'x f k =的切线，是唯一的一条切线，此时曲线在点),(00y x P 处的切线方程为))((00'0x x x f y y -=-.（2）曲线y ＝f (x )过点),(00y x P 的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 曲线过点),(11y x P 的切线方程求法：①设切点坐标为))(,(00x f x Q ；②则切线方程为)(*))(()(00'0x x x f x f y -=-；③将),(11y x P 的坐标代入(*)式解出0x ；④将0x 代入(*)式得切线方程.（十五）利用导数研究函数的单调性、极值和最值1.函数的单调性设函数)(x f y =在某个区间上可导， ①函数)(x f y =在这个区间上单调递增⇔0)('≥x f 在区间上恒成立且在区间的任意子区间上不恒为0；②函数)(x f y=在这个区间上单调递减⇔0)('≤x f 在区间上恒成立且在区间的任意子区间上不恒为0.注1：若,0)('=x f 则函数)(x f y=在这个区间内为常值函数；注2：一次分式型函数注意检查是否恒为0，如函数11)(+-=x ax x f 在区间)1,(--∞上是减函数，则a 的取值范围为).1,(--∞ 注3：利用导数求函数)(x f 单调区间的步骤:（1）确定)(x f 的定义域（定义域优先考虑）（2）求导数)('x f ；（3）解不等式0)('>x f （或0)('<x f ）；（4）取交集（求不等式解集与定义交集）；（5）下结论（若某个单调区间不只一个，中间不能用“ ”连接，用要“和”或“，”连接）2.利用函数的单调性求参数的范围方法小结：函数在某一区间上单调增（或减），即0)('≥x f （或0)('≤x f ）在该区间上恒成立（且)('x f 不恒等于0），然后通常利用分离参数或原函数性质转化成求函数的最值问题，求出参数的范围.3.函数的极值（局部性质）（1）定义：若在函数)(x f y =的定义域I 内存在,0x 使得在0x 附近的所有点x ，都有),()(0x f x f <则称函数)(x f y =在点0x x =处取得极大值，那么)(0x f 是极大值，0x 称为极大值点；若在0x 附近的所有点x ，都有),()(0x f x f >则称函数)(x f y =在点0x x =处取得极小值，那么)(0x f 是极小值，0x 称为极小值点.（2）求极值方法：解方程,0)('=x f 当0)(0'=x f 时，①如果)('x f 的符号由正变负，则)(x f y =在0x 附近左侧单调递增，右侧单调递减，那么)(0x f 是极大值.②如果)('x f 的符号由负变正，则)(x f y =在0x 附近左侧单调递减，右侧单调递增，那么)(0x f 是极小值.4.函数的最值（整体性质）（1）定义：如果在函数定义域D 内存在,0x 使得对任意的,D x ∈都有)()(0x f x f ≤，则称)(0x f 为函数在定义域上的最大值；如果在函数定义域D 内存在,0x 使得对任意的,D x ∈都有)()(0x f x f ≥，则称)(0x f 为函数在定义域上的最小值. （2）求)(x f y =在区间],[b a 上的最值 ①求)(x f y =在),(b a 内的极值；②将)(x f y =的各极值与)(),(b f a f 比较，其中值最大的一个是最大值，值最小的一个是最小值.注：解答题中求函数的极值和最值记得要列表，注意解题规范. 特殊情况：(1)若函数在区间],[b a 上单调递增，则函数在区间],[b a 上无极值，此时)(a f 为最小值，)(b f 为最大值；若函数在区间],[b a 上单调递减，则函数在区间],[b a 上无极值，此时)(a f 为最大值，)(b f 为最小值；(2) 函数)(x f 在区间),(b a 上有一个唯一一个极值点，这个极值点就是最大（或小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.1：集合与常用逻辑用语与不等式的性质；2：一元二次不等式；3：基本不等式；4：函数的概念和求函数解析式；5：函数的定义域和值域；6：函数的单调性；7：奇偶性；8：函数的图像和周期性；9：二次函数和幂函数；10：指数函数与对数函数；11：函数与方程；12：导数；13：平面向量；14：平面向量的数量积；15：复数；16：任意角的三角函数和同角关系；17：诱导公式，两角和与差的三角函数，几个三角恒等式；18：三角求值问题归类；19：三角函数的图像和性质；20：三角函数的图像和性质2+题目；21：解三角形；22：数列的概念和等差数列；23：等比数列；24：数列通项；25：数列求和；26：立体几何；27：空间向量；28：直线方程和两条直线的位置关系；29：圆的方程和直线与圆的位置关系；30：椭圆；31：双曲线；32：抛物线；33：统计；34：概率；35：排列组合和二项式定理。
2020年高考数学(理)函数与导数 专题12 导数的概念及运算(解析版)
函数与导数12 导数及其应用 导数的概念及运算一、具体目标：1.导数概念及其几何意义：(1）了解导数概念的实际背景；（2）理解导数的几何意义.2.导数的运算：（1）根据导数定义，求函数y c y x ==，，2y x =，1y x=的导数； (2)能利用下面给出的基本初等函数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 【考点透析】 【备考重点】(1) 熟练掌握基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则； (2) 熟练掌握直线的倾斜角、斜率及直线方程的点斜式. 二、知识概述： 1．由0()()'()limx f x x f x f x x∆→+∆-=∆可以知道，函数的导数是函数的瞬时变化率，函数的瞬时变化率是平均变化率的极限.2.基本初等函数的导数公式及导数的运算法则原函数导函数 f (x )＝c (c 为常数)f ′(x )＝0()()Q n x x f n ∈= ()1-='n nx x f()x x f sin = ()x x f cos =' ()x x f cos =()x x f sin -=' ()x a x f =()a a x f x ln ='【考点讲解】1）基本初等函数的导数公式2）导数的运算法则（1） [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；（和或差的导数是导数的和与差）（2） [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；（积的导数是，前导后不导加上后导前不导） （3）2()'()()'()()'()()f x f x g x g x f x g x g x ⎡⎤⋅-⋅=⎢⎥⎣⎦(g (x )≠0)．（商的导数是上导下不导减去上不导下导与分母平方的商）(4) 复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．3．函数()y f x =在0x x =处的导数几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．【温馨提示】1.求函数()f x 图象上点00(,())P x f x 处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率k ，由导数的几何意义知0'()k f x =，故当0'()f x 存在时，切线方程为000()'()()y f x f x x x -=-.()x e x f = ()x e x f ='()x x f a log =()a x x f ln 1=' ()x x f ln =()xx f 1='2.可以利用导数求曲线的切线方程，由于函数()y f x =在0x x =处的导数表示曲线在点00(,())P x f x 处切线的斜率，因此，曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线方程，可按如下方式求得：第一，求出函数()y f x =在0x x =处的导数，即曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的斜率； 第二，在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程000'()()y y f x x x =+-；如果曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线平行于y 轴(此时导数不存在)时，由切线的定义可知，切线的方程为0x x =. 【提示】解导数的几何意义问题时一定要抓住切点的三重作用：①切点在曲线上；②切点在切线上；③切点处的导数值等于切线的斜率．1. 【2019年高考全国Ⅲ卷】已知曲线e ln xy a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则（ ） A ．e 1a b ==-，B ．a=e ，b =1C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-【解析】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a ，b 的等式，从而求解，属于常考题型.∵e ln 1,xy a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=，将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-.故选D ． 【答案】D2.【2019年高考全国Ⅱ卷】曲线y =2sin x +cos x 在点(π，-1)处的切线方程为（ ）A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=【解析】本题要注意已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．【真题分析】2cos sin ,y x x '=-Q π2cos πsin π2,x y =∴=-=-'则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=．故选C ．【答案】C3.【2018年高考全国Ⅰ卷】设函数32()(1)f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为（ ）A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x = 【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，所以，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，化简可得.故选D. 【答案】D4.【2017年高考浙江】函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数y=f (x )的图象可能是（ ）【解析】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x 轴的交点为0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数()f x '的正负，得出原函数()f x 的单调区间．原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，因此选D ． 【答案】D5.【2019年高考全国Ⅰ卷】曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________．【解析】223(21)e 3()e 3(31)e ,x x xy x x x x x '=+++=++所以切线的斜率0|3x k y ='==，则曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=． 【答案】30x y -=6.【变式】【2018年理数全国卷II 】曲线()1ln 2+=x y在点()00，处的切线方程为__________． 【解析】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程.由题中条件可得：12+='x y ，所以切线的斜率为2102=+=k ，切线方程为()020-=-x y ，即x y 2=.【答案】x y 2=7.【2019年高考天津文数】曲线cos 2xy x =-在点(0,1)处的切线方程为__________. 【解析】∵1sin 2y x '=--，∴01|sin 0212x y ='=---=，故所求的切线方程为112y x -=-，即220x y +-=. 【答案】220x y +-=8．【2018年高考天津文数】已知函数f (x )=e x ln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′（1）的值为__________． 【解析】由函数的解析式可得，则.即的值为e.【答案】e9.【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 .【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标.设点()00,A x y ， 则00ln y x =.又1y x'=，当0x x =时，01y x '=，则曲线ln y x =在点A 处的切线为0001()y y x x x -=-，即00ln 1x y x x -=-，将点()e,1--代入，得00e 1ln 1x x ---=-，即00ln e x x =， 考察函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >，且()ln 1H x x '=+， 当1x >时，()()0,H x H x '>单调递增，注意到()e e H =，故00ln e x x =存在唯一的实数根0e x =， 此时01y =，故点A 的坐标为()e,1. 【答案】(e, 1)10.【2018年全国卷Ⅲ理】曲线()()x e ax x f 1+=在点()10，处的切线的斜率为2-，则=a ________．【解析】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，并利用导数的几何意义求参数的值.由题意可知：()()x x e ax ae x f 1++='，则()210-=+='a f ，所以3-=a ，故答案为-3.【答案】3-【变式】已知函数错误!未找到引用源。
艺术生高考数学专题讲义：考点12 导数的概念及其运算
考点十二 导数的概念及其运算知识梳理1．导数的概念在数学中，称瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x 0点的导数，通常用符号f ′(x 0)表示，记作f ′(x 0)＝lim x 1→x 0f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .2．导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率． 相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3．函数f (x )的导函数如果一个函数f (x )在区间(a ，b )上的每一点x 处都有导数，导数值记为f ′(x )： f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx，则f ′(x )是关于x 的函数，称f ′(x )为f (x )的导函数，通常也简称为导数．4．基本初等函数的导数公式 (1) C′＝0 (C 为常数)； (2) (x α)′＝αx α－1(α为实数)； (3) (sin x )′＝cos_x ； (4) (cos x )′＝－sin_x ； (5) (a x )′＝a x ln_a (a >0，a ≠1)； (6) (e x )′＝e x ； (7) (log a x )′＝1x ln a(a >0，且a ≠1)； (8) (ln x )′＝1x .5.导数的运算法则(1) [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2) [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3) ⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．典例剖析题型一 导数的运算 例1 求下列函数的导数 (1)y ＝e x ·ln x ； (2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； (3)y ＝ln xx 2＋1．解析 (1)y ′＝(e x ·ln x )′＝e x ln x ＋e x ·1x＝e x (ln x ＋1x)．(2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3.(3)y ′＝(ln x )′(x 2＋1)－ln x (x 2＋1)′(x 2＋1)2＝1x (x 2＋1)－2x ln x (x 2＋1)2＝x 2＋1－2x 2ln x x (x 2＋1)2. 变式训练 求下列函数的导数 (1)y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)； (2)y ＝x 2sin x ；解析 (1)∵y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1) ＝6x 3＋3x 2－8x 2－4x ＝6x 3－5x 2－4x ， ∴y ′＝18x 2－10x －4.(2)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . 解题要点 求函数的导数一般有如下法则：(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导．(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，可以避免使用商的求导法则，减少运算量． 题型二 曲线的切线问题例2 曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为________________． 答案 5x ＋y ＋2＝0解析 易知点(0，－2)在曲线上， 又因为y ′|x ＝0＝－5e 0＝－5，所以曲线在点(0，－2)处的切线方程为y －(－2)＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0. 变式训练 若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________． 答案 (－ln 2，2)解析 设P (x 0，y 0)，∵y ＝e －x ，∴y ′＝－e －x ， ∴点P 处的切线斜率为k ＝－e －x 0＝－2， ∴－x 0＝ln 2，∴x 0＝－ln 2，∴y 0＝e ln 2＝2，∴点P 的坐标为(－ln 2，2)．例3 若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于___________．答案 －1或－2564解析 因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2，设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)， 则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－2564，当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－1.变式训练 已知函数f (x )＝x 3－3x ，若过点A (0,16)且与曲线y ＝f (x )相切的直线方程为y ＝ax ＋16，则实数a 的值是________． 答案 9解析 ∵点A (0,16)不在曲线y ＝f (x )上，∴先设切点为M (x 0，y 0)，则切点在曲线上有y 0＝x 30－3x 0，① 求导数得到切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3，又切线l 过A 、M 两点，所以k ＝y 0－16x 0，则3x 20－3＝y 0－16x 0，② 联立①②可解得x 0＝－2，y 0＝－2， 从而实数a 的值为a ＝k ＝－2－16－2＝9.解题要点 解决切线问题的理论依据是：导数的几何意义是切点处切线的斜率.解题时需弄清所给点是否为切点，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．常见题型有三种：(1)已知切点为A (x 0，f (x 0))，求切线方程，则先求出斜率k ＝f ′(x 0)，从而切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；(2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0求解．当堂练习1．已知函数f (x )＝1x cos x ，则f ′(x )＝________．答案 －cos x ＋x sin xx 2解析 f ′(x )＝－1x 2cos x －sin xx ＝－cos x ＋x sin x x 2.2．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则切线l 的方程为________． 答案 4x －y －3＝0解析 设切点为P (x 0，y 0)，则斜率k ＝4x 30＝4， ∴x 0＝1，故切点为P (1,1)，所求切线方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.3. 若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则________．(填序号) ① a ＝1，b ＝1 ② a ＝－1，b ＝1 ③a ＝1，b ＝－1 ④ a ＝－1，b ＝－1 答案 ①解析 ∵y ′＝2x ＋a ，∴曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在(0，b )处的切线方程斜率为a ，切线方程为y －b ＝ax ，即ax －y ＋b ＝0.∴a ＝1，b ＝1.4．已知函数f (x )＝x sin(x ＋π2)，则f ′(π2)＝________．答案 －π2解析 ∵f (x )＝x sin(x ＋π2)＝x cos x ，∴f ′(x )＝cos x －x sin x ， ∴f ′(π2)＝cos π2－π2sin π2＝－π2.5．已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，则a ＝________．答案 －6解析 由题意知y ′|x ＝－1＝(4x 3＋2ax )|x ＝－1＝－4－2a ＝8，则a ＝－6．课后作业一、 填空题1．曲线y ＝x ln x 在点(e ，e)处的切线与直线x ＋ay ＝1垂直，则实数a 的值为________． 答案 2解析 ∵y ′＝1＋ln x ，∴y ′|x ＝e ＝1＋ln e ＝2，∴－1a ×2＝－1，∴a ＝2.2．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数f ′(x )＝________． 答案 3(x 2－a 2)解析 f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )[2(x －a )]＝3(x 2－a 2)．3．若曲线y ＝x 3在点P 处的切线的斜率为3，则点P 的坐标为________． 答案 (1,1)或(－1，－1)解析 y ′＝3x 2，∴3x 2＝3.∴x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝1，当x ＝－1时，y ＝－1.4．与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是________． 答案 2x －y －1＝0解析 对y ＝x 2求导得y ′＝2x .设切点坐标为(x 0，x 20)，则切线斜率为k ＝2x 0. 由2x 0＝2得x 0＝1，故切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0. 5．若f (x )＝x e x ，则f ′(1)＝________． 答案 2e解析 f ′(x ) ＝e x ＋x e x ，f ′(1)＝2e6．曲线y ＝x x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________．答案 y ＝2x ＋1 解析 因为y ′＝2(x ＋2)2，所以，在点(－1，－1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝－1＝2(－1＋2)2＝2，所以，切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.7．曲线y ＝x 2＋1在P ⎝⎛⎭⎫12，54处的切线的倾斜角为________． 答案 45°解析 ∵y ′＝2x ，∴y ′|x ＝12＝1.∴切线的倾斜角为45°. 8．曲线y ＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形面积为________．答案 13解析 ∵y ′＝e－2x·(－2)，∴k ＝y ′|x ＝0＝－2;切线方程为y －2＝－2x ，即y ＝－2x ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－2x ＋2得⎩⎨⎧x ＝23，y ＝23，S ＝12×1×23＝13. 9．若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上的一点P 的横坐标是－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则实数c 的值为________． 答案 4解析 ∵y ′＝2x －1，∴y ′|x ＝－2＝－5. 又P (－2,6＋c )，∴6＋c－2＝－5.∴c ＝4.10． (2015新课标Ⅰ文)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________. 答案 1解析 f ′(x )＝3ax 2＋1，f ′(1)＝1＋3a ，f (1)＝a ＋2. (1，f (1))处的切线方程为y －(a ＋2)＝(1＋3a )(x －1)． 将(2,7)代入切线方程，得7－(a ＋2)＝(1＋3a )，解得a ＝1.11．设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________． 答案 (1,1)解析 y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n )，y ＝1x (x >0)的导数为y ′＝－1x 2 (x >0)，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2 (m >0)，因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)． 二、解答题12．求下列函数的导数： (1)y ＝cos xsin x ；(2)y ＝3x e x －2x ＋e.解析 (1)y ′＝－sin 2x －cos 2x sin 2x ＝－1sin 2x . (2)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′ ＝3x e x ln 3＋3x e x －2x ln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2.13．已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．解析(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1.∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.∴切线的方程为y＋6＝13(x－2).即y＝13x－32.(2)设切点坐标为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x20＋1，y0＝x30＋x0－16，∴直线l的方程为y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16.又∵直线l过点(0,0)，∴0＝(3x20＋1)(－x0)＋x30＋x0－16，整理得，x30＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，得切点坐标(－2，－26)，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．。
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考点十二 导数的概念及其运算知识梳理1．导数的概念在数学中，称瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x 0点的导数，通常用符号f ′(x 0)表示，记作f ′(x 0)＝lim x 1→x 0 f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 2．导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率． 相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．3．函数f (x )的导函数如果一个函数f (x )在区间(a ，b )上的每一点x 处都有导数，导数值记为f ′(x )：f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx，则f ′(x )是关于x 的函数，称f ′(x )为f (x )的导函数，通常也简称为导数．4．基本初等函数的导数公式(1) C′＝0 (C 为常数)；(2) (x α)′＝αx α－1(α为实数)； (3) (sin x )′＝cos_x ；(4) (cos x )′＝－sin_x ；(5) (a x )′＝a x ln_a (a >0，a ≠1)；(6) (e x )′＝e x ；(7) (log a x )′＝1x ln a(a >0，且a ≠1)； (8) (ln x )′＝1x. 5.导数的运算法则(1) [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2) [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3) ⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．典例剖析题型一 导数的运算例1 求下列函数的导数(1)y ＝e x ·ln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； (3)y ＝ln x x 2＋1． 解析 (1)y ′＝(e x ·ln x )′＝e x ln x ＋e x ·1x＝e x (ln x ＋1x)． (2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3. (3)y ′＝(ln x )′(x 2＋1)－ln x (x 2＋1)′(x 2＋1)2＝1x (x 2＋1)－2x ln x (x 2＋1)2＝x 2＋1－2x 2ln x x (x 2＋1)2. 变式训练 求下列函数的导数(1)y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)；(2)y ＝x 2sin x ；解析 (1)∵y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)＝6x 3＋3x 2－8x 2－4x ＝6x 3－5x 2－4x ，∴y ′＝18x 2－10x －4.(2)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x .解题要点 求函数的导数一般有如下法则：(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导．(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，可以避免使用商的求导法则，减少运算量．题型二 曲线的切线问题例2 曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为________________．答案 5x ＋y ＋2＝0解析 易知点(0，－2)在曲线上，又因为y ′|x ＝0＝－5e 0＝－5，所以曲线在点(0，－2)处的切线方程为y －(－2)＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.变式训练 若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．答案 (－ln 2，2)解析 设P (x 0，y 0)，∵y ＝e －x ，∴y ′＝－e －x ， ∴点P 处的切线斜率为k ＝－e －x 0＝－2，∴－x 0＝ln 2，∴x 0＝－ln 2，∴y 0＝e ln 2＝2，∴点P 的坐标为(－ln 2，2)．例3 若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于___________． 答案 －1或－2564解析 因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2，设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32. 当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－2564， 当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－1. 变式训练 已知函数f (x )＝x 3－3x ，若过点A (0,16)且与曲线y ＝f (x )相切的直线方程为y ＝ax ＋16，则实数a 的值是________．答案 9解析 ∵点A (0,16)不在曲线y ＝f (x )上，∴先设切点为M (x 0，y 0)，则切点在曲线上有y 0＝x 30－3x 0，①求导数得到切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3，又切线l 过A 、M 两点，所以k ＝y 0－16x 0，则3x 20－3＝y 0－16x 0，② 联立①②可解得x 0＝－2，y 0＝－2，从而实数a 的值为a ＝k ＝－2－16－2＝9. 解题要点 解决切线问题的理论依据是：导数的几何意义是切点处切线的斜率.解题时需弄清所给点是否为切点，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．常见题型有三种：(1)已知切点为A (x 0，f (x 0))，求切线方程，则先求出斜率k ＝f ′(x 0)，从而切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；(2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0求解． 当堂练习1．已知函数f (x )＝1xcos x ，则f ′(x )＝________． 答案 －cos x ＋x sin x x 2解析 f ′(x )＝－1x 2cos x －sin x x ＝－cos x ＋x sin x x 2. 2．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则切线l 的方程为________． 答案 4x －y －3＝0解析 设切点为P (x 0，y 0)，则斜率k ＝4x 30＝4，∴x 0＝1，故切点为P (1,1)，所求切线方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.3. 若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则________．(填序号) ① a ＝1，b ＝1 ② a ＝－1，b ＝1 ③a ＝1，b ＝－1 ④ a ＝－1，b ＝－1 答案 ①解析 ∵y ′＝2x ＋a ，∴曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在(0，b )处的切线方程斜率为a ，切线方程为y －b ＝ax ，即ax －y ＋b ＝0.∴a ＝1，b ＝1.4．已知函数f (x )＝x sin(x ＋π2)，则f ′(π2)＝________． 答案 －π2解析 ∵f (x )＝x sin(x ＋π2)＝x cos x ， ∴f ′(x )＝cos x －x sin x ，∴f ′(π2)＝cos π2－π2sin π2＝－π2. 5．已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，则a ＝________． 答案 －6解析 由题意知y ′|x ＝－1＝(4x 3＋2ax )|x ＝－1＝－4－2a ＝8，则a ＝－6．课后作业一、 填空题1．曲线y ＝x ln x 在点(e ，e)处的切线与直线x ＋ay ＝1垂直，则实数a 的值为________． 答案 2解析 ∵y ′＝1＋ln x ，∴y ′|x ＝e ＝1＋ln e ＝2，∴－1a×2＝－1，∴a ＝2. 2．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数f ′(x )＝________．答案 3(x 2－a 2)解析 f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )[2(x －a )]＝3(x 2－a 2)．3．若曲线y ＝x 3在点P 处的切线的斜率为3，则点P 的坐标为________．答案 (1,1)或(－1，－1)解析 y ′＝3x 2，∴3x 2＝3.∴x ＝±1.当x ＝1时，y ＝1，当x ＝－1时，y ＝－1.4．与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是________．答案 2x －y －1＝0解析 对y ＝x 2求导得y ′＝2x .设切点坐标为(x 0，x 20)，则切线斜率为k ＝2x 0.由2x 0＝2得x 0＝1，故切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.5．若f (x )＝x e x ，则f ′(1)＝________．答案 2e解析 f ′(x ) ＝e x ＋x e x ，f ′(1)＝2e6．曲线y ＝x x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________． 答案 y ＝2x ＋1解析 因为y ′＝2(x ＋2)2，所以，在点(－1，－1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝－1＝2(－1＋2)2＝2，所以，切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.7．曲线y ＝x 2＋1在P ⎝⎛⎭⎫12，54处的切线的倾斜角为________．答案 45°解析 ∵y ′＝2x ，∴y ′|x ＝12＝1. ∴切线的倾斜角为45°.8．曲线y ＝e－2x ＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形面积为________． 答案 13解析 ∵y ′＝e－2x ·(－2)，∴k ＝y ′|x ＝0＝－2;切线方程为y －2＝－2x ，即y ＝－2x ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－2x ＋2得⎩⎨⎧ x ＝23，y ＝23，S ＝12×1×23＝13. 9．若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上的一点P 的横坐标是－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则实数c 的值为________．答案 4解析 ∵y ′＝2x －1，∴y ′|x ＝－2＝－5.又P (－2,6＋c )，∴6＋c －2＝－5.∴c ＝4. 10． (2015新课标Ⅰ文)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.答案 1解析 f ′(x )＝3ax 2＋1，f ′(1)＝1＋3a ，f (1)＝a ＋2.(1，f (1))处的切线方程为y －(a ＋2)＝(1＋3a )(x －1)．将(2,7)代入切线方程，得7－(a ＋2)＝(1＋3a )，解得a ＝1.11．设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．答案 (1,1)解析 y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n )，y ＝1x(x >0)的导数为y ′＝－1x 2 (x >0)，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2 (m >0)，因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)．二、解答题12．求下列函数的导数：(1)y ＝cos x sin x； (2)y ＝3x e x －2x ＋e.解析 (1)y ′＝－sin 2x －cos 2x sin 2x ＝－1sin 2x. (2)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′＝3x e x ln 3＋3x e x －2x ln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2.13．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．解析(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1.∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.∴切线的方程为y＋6＝13(x－2).即y＝13x－32.(2)设切点坐标为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x20＋1，y0＝x30＋x0－16，∴直线l的方程为y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16.又∵直线l过点(0,0)，∴0＝(3x20＋1)(－x0)＋x30＋x0－16，整理得，x30＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，得切点坐标(－2，－26)，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．。