高中数学苏教版选修2-2学案：章末分层突破1含解析
高中数学苏教版选修2-1课件：章末分层突破 03
设 AB＝1，则 AE＝1，B(0,1,0)，E(0,0,1)，C(1,1,0)． 因为 FA＝FE，∠AEF＝45° ， 所以∠AFE＝90° ， 从而
3 ∴F 2a， 3 a ， 0 . 2
→ → → 3 3 (1)易知，AF＝ a， a，0，BE＝(a， 3a，a)，BC＝(2a,0，－a)． 2 2
→ 1 → → ∵AF＝2(BE＋BC)，AF⊄平面 BCE， ∴AF∥平面 BCE.
→ → → 3 3 (2)∵AF＝ a， a，0，CD＝(－a， 3a,0)，ED＝(0,0，－2a)， 2 2
巩 固 层 · 知 识 整 合
章末分层突破
提 升 层 · 能 力 强 化
拓 展 层 · 链 接 高 考
①数乘运算 ②空间向量的数量积 ③垂直 ④夹角 ⑤数乘结合律 ⑥线面关系 ⑦点面距
________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________
和 3 的三个力 f1，f2，f3，试求此三个力的合力 f 的大小以及此合力与三条棱所 夹角的余弦值． 【精彩点拨】
2.2.2 间接证明 学案(苏教版高中数学选修2-2)
2.2.2 间接证明学案（苏教版高中数学选修2-2）222间接证明间接证明学习目标1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题知识点一间接证明思考阅读下列证明过程，若a2b2c2，则a，b，c不可能都是奇数证明假设a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数，a2b2为偶数，a2b2c2，这与已知矛盾a，b，c不可能都是奇数请问上述证法是直接证明吗为什么答案不是直接证明，因为这种证明既不是直接从条件出发，也不是从结论出发梳理间接证明不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，像这种不是直接证明的方法通常称为间接证明反证法就是一种常用的间接证明方法间接证明还有同一法.枚举法等知识点二反证法王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的他们都问王戎“你怎么知道李子是苦的呢”王戎说“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的”思考1本故事中王戎运用了什么论证思想答案运用了反证法思想思考2反证法解题的实质是什么答案否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确梳理1反证法证明过程反证法证明时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定即肯定原命题2反证法证明命题的步骤反设假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真归谬从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果存真由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立1反证法属于间接证明问题的方法2反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是演绎推理3反证法的实质是否定结论导出矛盾类型一用反证法证明否定性命题例1已知a，b，c，dR，且adbc1，求证a2b2c2d2abcd1.考点反证法及应用题点反证法的应用证明假设a2b2c2d2abcd1.因为adbc1，所以a2b2c2d2abcdbcad0，即ab2cd2ad2bc20.所以ab0，cd0，ad0，bc0，则abcd0，这与已知条件adbc1矛盾，故假设不成立所以a2b2c2d2abcd1.反思与感悟1用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法2用反证法证明数学命题的步骤跟踪训练1已知三个正数a，b，c成等比数列但不成等差数列求证a，b，c不成等差数列证明假设a，b，c成等差数列，则2bac，4bac2ac.a，b，c成等比数列，b2ac，由得bac，代入式，得ac2acac20，ac，从而abc.这与已知a，b，c不成等差数列相矛盾，假设不成立故a，b，c不成等差数列类型二用反证法证明“至多.至少”类问题例2a，b，c0,2，求证2ab，2bc，2ca不能都大于1.证明假设2ab，2bc，2ca都大于1.因为a，b，c0,2，所以2a0,2b0,2c0.所以2ab22ab1.同理，2bc22bc1，2ca22ca1.三式相加，得2ab22bc22ca23，即33，矛盾所以2ab，2bc，2ca不能都大于1.反思与感悟应用反证法常见的“结论词”与“反设词”当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下结论词反设词结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x不成立至多有一个至少有两个对任意x 不成立存在某个x成立至少有n个至多有n1个p或q綈p且綈q 至多有n个至少有n1个p且q綈p或綈q跟踪训练2已知a，b，c，dR，且abcd1，acbd1.求证a，b，c，d中至少有一个是负数证明假设a，b，c，d 都不是负数，即a0，b0，c0，d0.abcd1，b1a0，d1c0，acbdac1a1c2acac1acaacc1ac1ca11.ac10，ca10，ac1ca111，即acbd1，与acbd1相矛盾，假设不成立，a，b，c，d中至少有一个是负数类型三用反证法证明唯一性命题例3求证方程2x3有且只有一个根证明2x3，xlog23.这说明方程2x3有根下面用反证法证明方程2x3的根是唯一的假设方程2x3至少有两个根b1，b2b1b2，则12b3,22b3，两式相除得122bb1，b1b20，则b1b2，这与b1b2矛盾假设不成立，从而原命题得证反思与感悟用反证法证明唯一性命题的一般思路证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性跟踪训练3若函数fx在区间a，b上是增函数，求证方程fx0在区间a，b上至多有一个实根证明假设方程fx0在区间a，b上至少有两个实根，设，为其中的两个实根因为，不妨设，又因为函数fx在a，b上是增函数，所以ff这与假设f0f矛盾，所以方程fx0在区间a，b 上至多有一个实根.1证明“在ABC中至多有一个直角”，第一步的假设应是________答案三角形中至少有两个直角2用反证法证明“在三角形中至少有一个内角不小于60”，应先假设这个三角形中________________答案每一个内角都小于603反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾这个矛盾可以是________与已知条件矛盾；与假设矛盾；与定义.公理.定理矛盾；与事实矛盾答案4用反证法证明“在同一平面内，若ac，bc，则ab”时，应假设________答案a与b相交5已知平面和一点P.求证过点P与垂直的直线只有一条证明如图所示，不论点P在内还是在外，设PA，垂足为A或P假设过点P不止有一条直线与垂直，如还有另一条直线PB，设PA，PB确定的平面为，且a，于是在平面内过点P有两条直线PA，PB垂直于a，这与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，假设不成立，原命题成立用反证法证题需把握三点1必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的2反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法3反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义.公理.定理.事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的.。
2021高中数学苏教版选修2-2教学案：第1章 章末小结 知识整合与阶
2021高中数学苏教版选修2-2教学案：第1章章末小结知识整合与阶[对应学生用书P31]一、导数的概念 1．导数函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋近于0时，比Δyf?x0＋Δx?－f?x0?值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点x＝x0处可导，称ΔxΔx常数A为函数f(x)在点x＝x0处的导数，记作f′(x0)．2．导函数若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f′(x)在各点的导数中随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数．记作f′(x)．二、导数的几何意义1．f′(x0)是函数y＝f(x)在x0处切线的斜率，这是导数的几何意义． 2．求切线方程：常见的类型有两种：一是函数y＝f(x)“在点x＝x0处的切线方程”，这种类型中(x0，f(x0))是曲线上的点，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．二是函数y＝f(x)“过某点的切线方程”，这种类型中，该点不一定为切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)，又y1＝f(x1)，由上面两个方程可解得x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．三、导数的运算 1．基本初等函数的导数(1)f(x)＝C，则f′(x)＝0(C为常数)； (2)f(x)＝xα，则f′(x)＝α・xα－1(α为常数)； (3)f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则f′(x)＝axln a；1(4)f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，则f′(x)＝(5)f(x)＝sin x，则f′(x)＝cos x；(6)f(x)＝cos x，则f′(x)＝－sin x. 2．导数四则运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；；xln a?f?x??f′?x?g?x?－f?x?g′?x???(3)?(g(x)≠0)．?′＝2?x?g?x?g??四、导数与函数的单调性利用导数求函数单调区间的步骤： (1)求导数f′(x)；(2)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0； (3)写出单调增区间或减区间．特别注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．五、导数与函数的极值利用导数求函数极值的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检验f′(x)＝0的根的两侧的f′(x)的符号，若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值．若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值，否则此根不是f(x)的极值点．六、求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤 (1)求f(x)在(a，b)内的极值；(2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．特别地，①当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以判断f(x)在该点处取得最大(或最小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．七、导数的实际应用利用导数求实际问题的最大(小)值时，应注意的问题：(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的值应舍去．(2)在实际问题中，由f′(x)＝0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x 的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值．感谢您的阅读，祝您生活愉快。
高二数学苏教版选修2-2讲义：第2章 章末小结 知识整合与阶段检测 Word版含解析
[对应学生用书P52]一、合情推理和演绎推理1．归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理．从推理形式上看，归纳是由部分到整体，个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理．2．从推理所得结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．从二者在认识事物的过程中所发挥作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的．合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得．合情推理可以为演绎推理提供方向和思路．二、直接证明和间接证明1．直接证明包括综合法和分析法：(1)综合法是“由因导果”．它是从已知条件出发，顺着推证，用综合法证明命题的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒B n⇒B(A为已经证明过的命题，B为要证的命题)．它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．(2)分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，包括学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2⇐…⇐B n⇐A.它的常见书面表达是“要证……只需……”或“⇐”．2．间接证明主要是反证法：反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法，反证法是间接证明的一种方法．反证法主要适用于以下两种情形：(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；(2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．三、数学归纳法数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为归纳奠基，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为归纳递推，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可，第二步中证明“当n ＝k ＋1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的．⎣⎢⎡⎦⎥⎤对应阶段质量检测(二) 见8开试卷一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上) 1．(新课标全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一个城市． 由此可判断乙去过的城市为________．解析：由甲、丙的回答易知甲去过A 城市和C 城市，乙去过A 城市或C 城市，结合乙的回答可得乙去过A 城市．答案：A2．周长一定的平面图形中圆的面积最大，将这个结论类比到空间，可以得到的结论是________．解析：平面图形中的图类比空间几何体中的球，周长类比表面积，面积类比体积． 故可以得到的结论是：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大． 答案：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大3．下列说法正确的是________．(写出全部正确命题的序号)①演绎推理是由一般到特殊的推理 ②演绎推理得到的结论一定是正确的 ③演绎推理的一般模式是“三段论”形式 ④演绎推理得到的结论的正误与大、小前提和推理形式有关解析：如果演绎推理的大前提和小前提都正确，则结论一定正确．大前提和小前提中，只要有一项不正确，则结论一定也不正确．故②错误．答案：①③④4．“因为AC ，BD 是菱形ABCD 的对角线，所以AC ，BD 互相垂直且平分．”以上推理的大前提是________．答案：菱形对角线互相垂直且平分5．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：V 1V 2＝13S 1h113S 2h 2＝⎝⎛⎭⎫S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18.答案：1∶86．(陕西高考)观察分析下表中的数据：解析：三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F ＋V －E ＝2.答案：F ＋V －E ＝27．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的一个性质为________．解析：正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心，故可猜想：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心．答案：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心8．已知x ，y ∈R ＋，当x 2＋y 2＝________时，有x 1－y 2＋y 1－x 2＝1.解析：要使x 1－y 2＋y 1－x 2＝1， 只需x 2(1－y 2)＝1＋y 2(1－x 2)－2y 1－x 2， 即2y 1－x 2＝1－x 2＋y 2. 只需使(1－x 2－y )2＝0， 即1－x 2＝y ，∴x 2＋y 2＝1. 答案：19．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下：①当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立；②假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1；③则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，则当n ＝k ＋1时等式成立．由此可知，对任何n ∈N *，等式都成立．上述证明步骤中错误的是________．解析：因为③没有用到归纳假设的结果，错误． 答案：③10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)内切于正方形ABCD ，任取圆上一点P ，若OP ＝m OA ＋n OB (m ，n ∈R )，则14是m 2，n 2的等差中项；现有一椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)内切于矩形ABCD ，任取椭圆上一点P ，若OP ＝m OA ＋n OB (m ，n ∈R )，则m 2，n 2的等差中项为________．解析：如图，设P (x ，y )，由x 2a 2＋y 2b2＝1知A (a ，b )，B (－a ，b )，由OP＝m OA ＋n OB 可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝(m －n )a ，y ＝(m ＋n )b ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1可得(m －n )2＋(m ＋n )2＝1，即m 2＋n 2＝12，所以m 2＋n 22＝14，即m 2，n 2的等差中项为14.答案：1411．(安徽高考)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2 2.过点 A 作BC 的垂线，垂足为A 1 ；过点 A 1作 AC 的垂线，垂足为 A 2；过点A 2 作A 1C 的垂线，垂足为A 3 ；…，依此类推．设BA ＝a 1 ，AA 1＝a 2 , A 1A 2＝a 3 ，…， A 5A 6＝a 7 ，则 a 7＝________.解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，A 1A 2＝a 3＝1，…，A 5A 6＝a 7＝a 1×⎝⎛⎭⎫226＝14. 法二：求通项：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，…，A n －1A n ＝a n ＋1＝sin π4·a n ＝22a n ＝2×⎝⎛⎭⎫22n ，故a 7＝2×⎝⎛⎭⎫226＝14.答案：1412．已知x >0，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，可推广为x ＋ax n ≥n ＋1，则a 的值为________．解析：由x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x ＋22x 2≥3，x ＋27x 3＝x ＋33x 3≥4，…，可推广为x ＋n nx n ≥n ＋1，故a ＝n n .答案：n n13．如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1,2,3，…)，则第n 个图形中共有________个顶点．解析：设第n 个图形中有a n 个顶点， 则a 1＝3＋3×3，a 2＝4＋4×4，…， a n －2＝n ＋n ·n ，a n ＝(n ＋2)2＋n ＋2＝n 2＋5n ＋6. 答案：n 2＋5n ＋614．(湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ，……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________.解析：N (n ，k )＝a k n 2＋b k n (k ≥3)，其中数列{a k }是以12为首项，12为公差的等差数列；数列{b k }是以12为首项，－12为公差的等差数列；所以N (n,24)＝11n 2－10n ，当n ＝10时，N (10,24)＝11×102－10×10＝1 000.答案：1 000二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab ≥8.证明：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1. ∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，∴1ab ≥4⎝⎛⎭⎫当a ＝12，b ＝12时等号成立，又1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥4. ⎝⎛⎭⎫当a ＝12，b ＝12时等号成立∴1a ＋1b ＋1ab≥8. 16．(本小题满分14分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫15n (n ∈N *)，若T n ＝a 1＋a 2·5＋a 3·52＋…＋a n ·5n －1，b n ＝6T n －5n a n ，类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，求数列{b n }的通项公式．解：因为T n ＝a 1＋a 2·5＋a 3·52＋…＋a n ·5n －1，①所以5T n ＝a 1·5＋a 2·52＋a 3·53＋…＋a n －1·5n －1＋a n ·5n ，②由①＋②得：6T n ＝a 1＋(a 1＋a 2)·5＋(a 2＋a 3)·52＋…＋(a n －1＋a n )·5n －1＋a n ·5n＝1＋15×5＋⎝⎛⎭⎫152×52＋…＋⎝⎛⎭⎫15n －1×5n －1＋a n ·5n ＝n ＋a n ·5n ， 所以6T n －5n a n ＝n ，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝n . 17．(本小题满分14分)观察①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两式的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想． 解：观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°， 由此猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝34.证明：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α(cos 30°cos α－sin 30°sin α) ＝sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋32sin αcos α－12sin 2α ＝12sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋34sin 2α ＝1－cos 2α4＋1＋cos (60°＋2α)2＋34sin 2α ＝1－cos 2α4＋12＋14cos 2α－34sin 2α＋34sin 2α＝34. 18．(本小题满分16分)已知实数a 、b 、c 满足0<a ，b ，c <2，求证：(2－a )b ，(2－b )c ，(2－c )a 不可能同时大于1.证明：假设(2－a )b >1，(2－b )c >1，(2－c )a >1， 则三式相乘：(2－a )b (2－b )c (2－c )a >1① 而(2－a )a ≤⎝⎛⎭⎫2－a ＋a 22＝1，同理，(2－b )b ≤1，(2－c )c ≤1， 即(2－a )b (2－b )c (2－c )a ≤1， 显然与①矛盾， 所以原结论成立．19．(本小题满分16分)数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *)． (1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．解：(1)由S n ＝2n －a n ，得，a 1＝2－a 1，即a 1＝1. S 2＝a 1＋a 2＝4－a 2，解得a 2＝32.S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝6－a 3，解得a 3＝74.S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝8－a 4，解得a 4＝158.由此猜想a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)．(2)①当n ＝1时，a 1＝1，结论成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝2k －12k －1，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1， 则a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k －12k －12＝2k ＋1－12k ＝2k ＋1－12(k ＋1)－1，这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立． 根据①和②，可知猜想对任何n ∈N *都成立， 即a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)．20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝13x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，a n ＋1≥f ′(a n＋1)，(1)证明：a n ≥2n －1(n ∈N *)． (2)试比较11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a n与1的大小，并说明理由． 解：(1)证明：∵f ′(x )＝x 2－1， ∴a n ＋1≥(a n ＋1)2－1＝a 2n ＋2a n .①当n ＝1时，a 1≥1＝21－1，命题成立； ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时命题成立， 即a k ≥2k －1；那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1≥a 2k ＋2a k ＝a k (a k ＋2)≥(2k －1)(2k－1＋2)＝22k －1≥2k ＋1－1.即当n ＝k ＋1时，命题成立， 综上所述，命题成立．(2)∵a n ≥2n －1，∴1＋a n ≥2n ，∴11＋a n ≤12n .∴11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a n ≤12＋122＋…＋12n ＝1－12n <1.。
高二数学苏教版选修2-2讲义：第2章章末小结知识整合与阶段检测Word版含解析
(1)1⑴A? B i ? B 2?? B n ? B(A?⑵)2核丿必龙石纳P52](B?B i ?B 2? ?B n ?A.V 1 3$h 1的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可，第二步中证明“当 论正确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的.对应阶段质量检测二I L 见8开试卷、填空题（本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上 ） 1.（新课标全国卷I ）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A , B , C 三个城市时,甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市；乙说：我没去过 C 城市； 丙说：我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 _________ .解析：由甲、丙的回答易知甲去过 A 城市和C 城市，乙去过 A 城市或C 城市，结合乙 的回答可得乙去过 A 城市.答案：A2•周长一定的平面图形中圆的面积最大，将这个结论类比到空间，可以得到的结论是解析：平面图形中的图类比空间几何体中的球，周长类比表面积，面积类比体积. 故可以得到的结论是：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大. 答案：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大3. ________________________ 下列说法正确的是 .（写出全部正确命题的序号） ①演绎推理是由一般到特殊的推理②演绎推理得到的结论一定是正确的③演绎推理的一般模式是“三段论”形式④演绎推理得到的结论的正误与大、 小前提和推理形式有关解析：如果演绎推理的大前提和小前提都正确，则结论一定正确.大前提和小前提中， 只要有一项不正确，则结论一定也不正确•故②错误.答案：①③④4. ___________ “因为AC , BD 是菱形ABCD 的对角线，所以 AC , BD 互相垂直且平分.”以上推理 的大前提是 .答案：菱形对角线互相垂直且平分 5.在平面上，若两个正三角形的边长比为 1 : 2,则它们的面积比为 1 : 4.类似地，在 空间中，若两个正四面体的棱长比为1 : 2,则它们的体积比为 __________ .n = k +1时结V 1 3$h 1i&'h L — 1 乂 1 _ 1S 2 h 2= 4 2 =8.解析:V 2 13皈6 ()10.F V E6 6 10 26 8 12 2F V E 2.—x J ―y 2 亦—x 2 1._2 x— 22 2,小、xOyx y r (r 0)1 121 2 22k 12k 1k 1?k 1 ?k22k 11n k 11 2ABCD2n 12n 1(n N *)2xmOA nOB (m n R ) 1 m 2 n 21(a b 0)ABCDm 2 n 2 mOA n)2 1m 2 n 2m n a m n p2 2m n2A(a b) B( a b) x 2 a 2狰12P （x y ）拿沽OP mOA nOB (m n R )(m11A 1A i ACBA a 1AA 1 a 2m 2n 2ABCA 2,A 1A 2a 3A 5A 62 AA 1 a 22 A 1A 2 a3 1A n 1A n12 a n nABCx>0n n4 x -2 x x 22 2x 1 4.n)2 BC 2/2. A BCA 1CA 3a 7a 7BC 2 2A 5A 62 21 4..n亚sin4 a n 2 a n27 x 飞 4 x27 3 x T xX x 3 4 AB ACa 7a 1 2 AA 1nn_ x n 1 x13.如图，第n 个图形是由正n + 2边形“扩展”而来(n = 1,2,3，…)，则第n 个图形中 共有 个顶点.解析：设第n 个图形中有a n 个顶点， 贝U a i = 3 + 3X 3, a 2= 4+ 4 X 4,…， a n -2 = n + n n ,a n =(n + 2)2+ n + 2 =『+ 5n + 6. 答案：n 2+ 5n + 614 .(湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n 罗1 = 扩+芜记第n 个k 边形数为N(n , k)(k >3)，以 下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：1 2 1三角形数 N(n ,3) = ?n + §n , 正方形数 N( n,4) = n 2, 五边形数 N( n,5)=为2 — *n , 六边形数N( n,6) = 2n 2— n ,可以推测N(n , k)的表达式，由此计算 N(10,24) = ____________ .解析：N(n , k) = a k n 2 + b k n(k 》3),其中数列｛a k ｝是以殳为首项，殳为公差的等差数列；数 1 1 o列｛b k ｝是以乙为首项，一1为公差的等差数列；所以N(n,24)= 11n 2— 10n ,当n = 10时，N(10,24)=11 X 102— 10 X 10= 1 ooo.答案：1 000、解答题(本大题共6个小题，共90分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分14分)设a>0 , b>0, a + b = 1，求证: 证明：■/ a>0, b>0, a + b = 1. 1 11 = a + b >2 ab , ab <?, ab <4, •••4当a = * b = 1时等号成立，1+ £ + + > 8.a b ab2(ab)1a 4. b1ab8. 16 14a 1 1 a ng"n N *) T n a 1 a 2 5a 3 52 a n 5n 1b n 6T n 5na n{b n } T na 1a 25a 3 52a n5n 1 5T n a 123a 2 5 a 3 5a n 15n 1a n 5n6T n a 1a 2)5 (a 2 a 3)(a n 1a n ) a n12521n5na n 5na n 5n6T n 5n a n17{b n }14 b n n ・sin 210 2 “cos 40 sin 10 cos 40sin 262 ccos 36sin 6 cos 363 4.40 10 30 36 6 302sincos 2(30 )sin cos(30 3 4.sin 2 sin 2sin 22cos (30cos 2(30 )sin cos(30 sin (cos 30 cos sin 30 sin cos 2(30 ,31 2 sin cos 2sin 2cos 2(301 cos2 4 1 cos(60◎咅sin 24 1 cos 2 4兴in 2 咅sin 2 4 4+ 1),18. (本小题满分16分)已知实数a 、b 、c 满足0<a , b , c<2，求证：(2 — a)b , (2- b)c ,(2 - c)a 不可能同时大于 1.证明：假设(2 - a)b>1，(2 - b)c>1，(2 - c)a>1， 则三式相乘：(2 - a)b(2 - b)c(2 - c)a>1 ① 而(2 - a)a < 1—严 2= 1, 同理，(2 - b)b < 1, (2 - c)c < 1, 即(2 - a)b(2 - b)c(2 - c)a < 1, 显然与①矛盾， 所以原结论成立.19. (本小题满分16分)数列｛a n ｝满足S n = 2n - a .(n € N *). (1)计算a 1, a 2, a 3, a 4,并由此猜想通项 a n 的表达式； ⑵用数学归纳法证明(1)中的猜想.解：(1)由 Si = 2n — a n ，得，a 1 = 2— a 1 ,即卩 a 1 = 1. 3S 2= a 1 + a 2= 4 — a ?，解得 a ?=S 3= a 1 + a 2 + a 3= 6 — a 3,解得 a 3= 4. Si = a 1 + a 2 + a 3+ a 4= 8— a 4,解得 a 4=. 820. (本小题满分16分)已知函数f(x) = 3X 2-x ，数列｛a n ｝满足条件：a 1> 1, a .+&f ' (a .1n -1 *由此猜想a n =~2^(n € N ). ⑵①当n = 1时，a 1= 1,结论成立. ②假设当n = k(k € N *)时，结论成立，即那么当 n = k + 1 时，a k +1 = S k +1 — S k = 2(k + 1) — a k +1 — 2k + a k = 2 + a k — a k +1,2k - 1 2+ok —1」+1 彳 ck +1 彳2 + a k22 -1 2 -1 则 a k +1= 2 =2= 2k - = 2 k +1 —1，这就是说当n = k + 1时，结论也成立. 根据①和②，可知猜想对任何 n € N *都成立, 2k - 1 a k = g k-1 ,即a n = 2n -1 *■^Fn G N ).n*(1)证明：a n 》2 - 1(n € N ).解：(1)证明：••• f '(X )= x 2 — 1, a n +1 >(a n +1)2— 1= a *+ 2a “.① 当n = 1时，a 1 > 1 = 21 — 1，命题成立;② 假设当n = k(k > 1, k € N *)时命题成立, 即a k > 2k — 1;那么当n = k + 1时，a k +1 》a k + 2a k = a k (a k + 2) > (2^— 1)(2k — 1 + 2)即当n = k + 1时，命题成立, 综上所述，命题成立. 1 1⑵••• an 》2n - 1，二 1 +爪2一 话三十丄+亠+•••+丄 J+1+ 1 + a 1+ 1 + a 2+ + 1 + a n 2 +2 十1⑵试比较订和• ••+古与1的大小，并说明理由.=22k — 1> 2—1.1 1+ 歹=1—歹 <1.。
高中数学(苏教版 选修2-2)章末分层突破3 Word版含答案
章末分层突破
[自我校对]
①－②＝，＝③＝－④(，)
⑤⑥(＋)＋(＋)⑦(－)＋(－)
数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提.
两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据.
求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义.
复数＝(－－)＋(－)，当为何实数时，
()∈；()为虚数.
【精彩点拨】根据复数的分类列方程求解.
【规范解答】()因为一个复数是实数的充要条件是虚部为，
所以(\\(－－>，①(－(＝，②－>，③))
由②得＝，经验证满足①③式.
所以当＝时，∈.
()因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为，
所以(\\(－－>，①(－(≠，②－>，③))
由①得>或<.
由②得≠，由③得>.
所以当>且≠时，为虚数.
[再练一题]
.()复数＝(－)＋(为虚数单位)，则复数的共轭复数为.
()设＝＋，则＝.
【导学号：】【解析】()∵(－)＝＋，∴(－)＝＋＝
∴＝＋＝＋，∴复数的共轭复数为－.
()＝＋＝＋＝＋，则＝＝.
【答案】()－()
(＝－)，除法运算注意应用共轭的性质·为实数.
()若(＋)＝＋，(，∈)，则复数＋的模是.
()已知(＋)＝＋，则的值为.
【精彩点拨】()先利用复数相等求，，再求模；
()先求，进而求，再计算.
【规范解答】()法一：因为(＋)＝＋，所以＋＝＝＝－，故＋＝－＝＝.
法二：因为(＋)＝＋，所以－＋＝＋，所以＝，＝－，故＋＝－＝＝.
法三：因为(＋)＝＋，所以(－)(＋)＝(－)·(＋)＝－，即＋＝－，故＋＝－＝。
高二数学苏教版选修2-2讲义：第1章章末小结知识整合与阶段检测
核丿J、归纳P31]y f(x)(a b)f (x o x ) f"无 xAx X o f (X o )2f(x) (a b)x1x o (a b) x o A x f(x)x x oAf(x)f (x)xf(x) f (x)1 f (x o )2 y f(x) x oy f(x) x x oy f(x o )f (x o )(x x o )y f(x)Q(x i y i )y y i f(x i )(x x i )xi ) y if(X i )x i y i1(i)f(x)Cf(x) o(c)(2)f(x) x f (x)x i ()(3)f(x) a x (a>o a i) f (x) a x ln a (4)f(x) log a x(a oa i)if (x)|xln a(5)f(x) sin xf (x) cos x(x o f(x o ))P(x o y o ) y o y if (X i )(x oP(x ° y o )(6)f(x)= cos x,贝U f' (x)=—sin x.2.导数四则运算法则(1) [f(x) ±(x)] '= f' (x) ±' (x)；(2) [f(x)g(x)] '= f' (x)g(x) + f(x)g' (x);⑶釜'=七严—丽’ 0).四、导数与函数的单调性利用导数求函数单调区间的步骤：(1) 求导数f' (x)；⑵解不等式f' (x)>0或f' (x)<0;(3) 写出单调增区间或减区间.特别注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“U”连接.五、导数与函数的极值禾U用导数求函数极值的步骤：(1) 确定函数f(x)的定义域；(2) 求方程f' (x)= 0的根；⑶检验f' (x)= 0的根的两侧的f' (x)的符号，若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值.若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值，否则此根不是f(x)的极值点.六、求函数f(x)在闭区间[a, b]上的最大值、最小值的方法与步骤(1) 求f(x)在(a, b)内的极值;(2) 将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值.特别地，①当f(x)在[a, b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f(x)在(a, b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以判断f(x)在该点处取得最大(或最小)值，这里(a, b)也可以是(—^o,+^o ).七、导数的实际应用禾U用导数求实际问题的最大(小)值时，应注意的问题：(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的值应舍去.⑵在实际问题中，由f' (x)= 0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值.八、定积分(1)定积分是一个数值.定积分的定义体现的基本思想是：先分后合、化曲为直(以不变代变).|f(x)|dx及三者的不同.(2)微积分基本定理是计算定积分的一般方法，关键是求被积函数的原函数•而求被积函数的原函数和求函数的导函数恰好互为逆运算，要注意它们在计算和求解中的不同，避免混淆.对应阶段质量检测见8开试卷一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上)1 .已知函数f(x) = ax2+ c,且f' (1)= 2,贝V a的值为____________ •解析：T f(x) = ax2+ c,「. f' (x) = 2ax,••• f' (1) = 2a,又••• f' (1) = 2,「. a= 1.答案：12•曲线y= x3—4x在点(1, - 3)处的切线的倾斜角为___________ .解析：T y'= 3x2—4,•••当x= 1 时，y'=—1，即tan a=—1.又T a€ (0, n3答案：［冗3•已知函数f(x) = —x3+ ax2—x+ 18在( —m,+m )上是单调函数，则实数a的取值范围是____________ •解析：由题意得f' (x) = —3x2+ 2ax—K 0在(— 8,+^ )上恒成立，因此△= 4a2—12 <0? —■.3< a w 3，所以实数a的取值范围是[—3, ■. 3] •答案：[—3, 3]4・y= 2x3—3x2+ a的极大值为6，贝V a = _______ .解析：y'= 6x2—6x= 6x(x—1),令y '= 0,贝U x= 0 或x= 1.当x = 0 时，y= a,当x= 1 时，y= a — 1.由题意知a = 6.答案：65 •函数y= SiQ^的导数为x4.4sin xx (sin x )sin xx xcos x sin x2xxcos x sin x2x13J 0(x k)dxk 1.2f(x) x ln x2x2 I <0<x普f(x) x 2 In xf(x) [0,1]y 4xI 1()k)dx gx 21 2f(x) 3x 4x [0,1] 3 12x 2f (x) f (x) 0f(0) 0 f(1)13 12 2 4x x 32()y 4xf (x)<0x (01.10 .x) F3(x 0x x<0 广1 1f(x)dx11a2x X na n12f (x)>013141 '0■f(x) dx1( x) dx f°(x23)dx.1x33x x2f 1f(x)dx 3x |J 23"6.23~61(n N ) (1,1) Xna n Ig X na99|x 1 (1,1) (n 1)(x 1)lg nf(x)203 f(xiglg i100lg199而2.2f(x) 2x In x(x) 4x20 cmx2(10 x)(2x 3x2)(k 1)4 00027f(x)3cm20321) (x 1) f(x24x2xx cm(102(01)1-x>00<x<1 f (x)<0f(x)1x>112<kX3)0(11<-'<21<k 1.(104 00027（品)f (x) f(x)x)cmf(x) xf (x)解析：令g(x)= x f(x)则g ' (x)= f(x) + xf' (x)v 0.••• g(x)在(0 ,+s )上为减函数.又••• f(x+ 1)> (x- 1)f(x2—1),• (x+ 1)f(x+ 1) > (x2—1)f(x2—1),|x+ 1> 0, x>—1, ••• x2—1 > 0, ? X V—1 或x> 1, x+ 1 V x —1 x v—1 或x> 2. • x> 2.答案：{x|x > 2}二、解答题(本大题共6个小题，共90分.解答应写出文字说明、2 415. (本小题满分14分)已知函数f(x) = ax —§ax+ b, f(1) = 2,(1)求f(x)的解析式；⑵求f(x)在(1,2)处的切线方程.4解:(1)f' (x) = 2ax—4a,所以f(x) = |x2—2x + 2.⑵函数f(x)在(1,2)处的切线方程为y— 2 = x—1,即x —y+ 1 = 0.16. (本小题满分14分)求下列定积分.广1一 2 3⑴.2(1 —t)dt ；(2) 一n(cos x+ e x)dx;:"42X’ 一3x2 + 5(3) . 2x2dx.解: (1) ：t- 4t4' = 1 —t3,• " —2(1 —t3)dt= t —44 |〔2= 1 —1—(—2—4) = Jx f x(2) ■/ (sin x+ e) = cos x+ e ,—n^ x x、［0(cos x+ e )dx= (sin x+ e )|— n 证明过程或演算步骤) (1)= 1.由已知得C 4f' 1 = 2a—3a =1,"a = I,解得J f 1 = a —3a + b = 2,3(3)「2x- 5 3 x 23x 2 5x 2 —dxF(x) 2x 2 F (x) x 3 3 242x __3L _5 dx x F(4) F(2)i 1 223 254. 17 (14) x 1(1)f(x)⑵y f(x)y 2x m (1) f (x)2ax 3x a f (1) 0 a 11f(x)f(x)1ax3|x 2 (a 1)x 5y f(x) 1 3 3x|x 2 2x 51 3f(x)扩尹2 2x5.y 2x m 2x m 0g(x) 3x 3 |x 2 2x 5 2x m 討 |x 2 5 m g(x)2g (x) x 23x 0 x 3.g (x)>0x<0x>3 g (x)<00<x<3. g(x)(0)(0,3)(3g(x)00>0 g(3<02<m<5.18 ( 16 (1) y f(x)⑵ xm) (1 f(1))f(x)xln x g(x)y f(x) g(x)x2ax 2(e 2.71 a R )y g(x)解：(l)f' (x) = In x+ 1，所以斜率k= f' (1) = 1. 又f(1) = 0,曲线在点(1,0)处的切线方程为y= x- 1.2y= —x + ax—22由？ /+ (1 —a)x+ 1= 0.y=x—1由△= (1 —a)2— 4 = a2—2a—3 可知：当△> 0时，即a v—1或a>3时，有两个公共点；当△= 0时，即a=—1或a= 3时，有一个公共点；当Av 0时，即一1 v a v 3时，没有公共点.2(2)y= f(x)—g(x)= x —ax+ 2+ xl n x,2由y = 0 得 a = x+ 一+ In x.x2令h(x) = x + ~+ In x,x则h ' (x)= x —12x+2 .x当x € e，e，由h ' (x) = 0 得x= 1.所以h(x)在e，1上单调递减，在[1 , e]上单调递增，故h min(x)= h(1) = 3.由h 1 = e+ 2e—1, h(e) = e+1+ 1,比较可知h e > h(e).2所以，当3 v a< e+-+ 1时，函数y= f(x)—g(x)有两个零点.e19. (本题满分16分)某公司将进货单价为a元(a为常数，3< a<6)一件的商品按x元(7< x w 10) 一件销售，一个月的销售量为(12 —x)2万件.(1) 求该公司经销此种商品一个月的利润L(x)(万元)与每件商品的售价x(元)的函数关系式；⑵当每件商品的售价为多少元时，L(x)取得最大值？并求L(x)的最大值.解：(1)L(x)= (x—a)(12 —x)2(7< x w 10).2(2) L ' (x) = (12 —x) + (x—a)(2x—24)=(12 —x)(12 + 2a—3x).令L ' (x)= 0 得x= 12或x = 12.2a+ 12 由 a € [3,6]得—€ [6,8].3当筈掘［6,7］，即3< a w号时,L(x)在［7,10］上是减函数，L(x)的最大值为L(7) = 25(7 —a);当2a y^C(7,8］，即|<a< 6 时，L(x)在7, 筈上上是增函数，2a 亠12在［虫亍2 10］上是减函数.L(x)的最大值为L空尹=4；—a 综上可知，若3w a w 2，则当x= 7时,L(x)取得最大值，最大值是25(7 —a);若2<a w 6,则当x=空尹时，L(x)取得最大值，最大值是4；—a .x 120. (本小题满分16分)(山东高考)设函数f(x)= aln x+ -，其中a为常数.I I(1)若a= 0，求曲线y= f(x)在点(1, f(1))处的切线方程；⑵讨论函数f(x)的单调性.x一1解：(1)由题意知 a = 0 时，f(x) = ------- , x€ (0,—g ).x I 1此时f'(x)=—^-2x— 1.可得f'1(1)=2，又f(1)=0,所以曲线y= f(x)在(1, f(1))处的切线方程为x —2y— 1 = 0.⑵函数f(x)的定义域为(0, —m ).2a , 2 ax + (2a + 2 x—af (x) = _+ ~~2 = 7"2 .' 7 x (x+ 1 ) x(x+ 1 )当a>0时，f' (x)>0,函数f(x)在(0,—m )上单调递增.当a v0 时，令g(x)= ax2—(2a—2)x—a,由于△= (2a —2)2—4a2= 4(2a —1),①当a=—2时，△= 0,f' (x)=1- ？x-1x(x—1 2w 0,函数f(x)在(0,—m )上单调递减.高中数学0 g(x) 0f (x) 0 f(x) (0 )1 a 0 0.X i X2(x i X2)g(x)p a 2a i羽厂iax (0 x i) g(x) 0 f (x) 0 f(x) x (x i x2)g(x) 0 f (x) 0 f(x)X (X2 ) g(x) 0 f (x) 0 f(x)f(x) (0 )f(x) (0 )J：(4x x'x ^x2”|0 (a i } yj2a i、0a丿X i x2aX i a 1 p2a 1a。
高中数学苏教版选修2-2学案：章末分层突破3含解析
章末分层突破[自我校对]①－1 ②a ＝c ，b ＝d ③z ＝a －bi ④Z(a ，b)⑤O Z →⑥(a ＋c)＋(b ＋d)I ⑦(a －c)＋(b －d)i______________________________________________________________________________________________ _______________________________________________数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提.两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据.求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义.复数z ＝log 3(x 2－3x －3)＋ilog 2(x －3)，当x 为何实数时，(1)z ∈R ；(2)z 为虚数.【精彩点拨】 根据复数的分类列方程求解.【规范解答】 (1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，所以⎩⎨⎧x 2－3x －3>0， ①log 2(x －3)＝0， ②x －3>0， ③ 由②得x ＝4，经验证满足①③式. 所以当x ＝4时，z ∈R.(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，所以⎩⎨⎧ x 2－3x －3>0，①log 2(x －3)≠0， ②x －3>0， ③由①得x>3＋212或x<3－212. 由②得x ≠4，由③得x>3.所以当x>3＋212且x ≠4时，z 为虚数. [再练一题]1.(1)复数z ＝|(3－i)i|＋i 5(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数为________.(2)设z ＝11＋i＋i ，则|z|＝________. 【01580071】【解析】 (1)∵(3－i)i ＝3i ＋1，∴|(3－i)i|＝|3i ＋1|＝2 ∴z ＝2＋i 5＝2＋i ，∴复数z 的共轭复数为2－i.(2)z ＝11＋i ＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，则|z|＝12＝22. 【答案】 (1)2－i (2)22(i 2＝－1)，除法运算注意应用共轭的性质z ·z 为实数.(1)若i(x ＋yi)＝3＋4i ，(x ，y ∈R)，则复数x ＋yi 的模是________.(2)已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，则zz 的值为________. 【精彩点拨】 (1)先利用复数相等求x ，y ，再求模；(2)先求z ，进而求z ，再计算zz .【规范解答】 (1)法一：因为i(x ＋yi)＝3＋4i ，所以x ＋yi ＝3＋4i i＝(3＋4i )(－i )i (－i )＝4－3i ，故|x ＋yi|＝|4－3i|＝42＋(－3)2＝5. 法二：因为i(x ＋yi)＝3＋4i ，所以－y ＋xi ＝3＋4i ，所以x ＝4，y ＝－3，故|x ＋yi|＝|4－3i|＝42＋(－3)2＝5.法三：因为i(x ＋yi)＝3＋4i ，所以(－i)i(x ＋yi)＝(－i)·(3＋4i)＝4－3i ，即x ＋yi ＝4－3i ，故|x ＋yi|＝|4－3i|＝42＋(－3)2＝5.(2)因为(1＋2i)z ＝4＋3i ，所以z ＝4＋3i 1＋2i ＝(4＋3i )(1－2i )5＝2－i ，所以z ＝2＋i ，所以z z＝2＋i 2－i ＝(2＋i )25＝35＋45i. 【答案】 (1)5 (2)35＋45i [再练一题]2.(1)(2014·四川高考)复数2－2i 1＋i ＝________. (2)(2015·山东实验中学三模)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 014＝________.。
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章末分层突破
[自我校对]
①导数的运算
②函数的和、差、积、商的导数
③单调性
④极大值与极小值
⑤最大值与最小值
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_______________________________________________
_______________________________________________
导数的几何意义及其应
用
利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的
类型有两种，一是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再
求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的
点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，
再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)，①
又y1＝f(x1)，②
由①②求出x1，y1的值，
即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．
(1)曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于________．
(2)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图
象如图1-1所示，则该函数的图象是________．(填序号)
图1-1
【精彩点拨】 (1)曲线在点(1,1)处的切线斜率即为该点处的导数．
(2)由导数值的大小变化，确定原函数的变化情况，从而得出结论．
【规范解答】 (1)y′＝ex－1＋xex－1＝(x＋1)ex－1，故曲线在点(1,1)处的切
线斜率为y′ x＝1＝2.
(2)从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x＝0时最大，所以
函数f(x)的图象的变化率也先增大后减小，在x＝0时变化率最大．①中，在x
＝0时变化率最小，故错误；③中，变化率是越来越大的，故错误；④中，变化
率是越来越小的，故错误；②正确．
【答案】 (1)2 (2)②
[再练一题]
1．已知曲线y＝13x3＋43.
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；
(3)求斜率为4的曲线的切线方程．
【解】 (1)∵P(2,4)在曲线y＝13x3＋43上，且y′＝x2，