复变函数第五章

f ( n ) ( z0 ) 0, ( n 0,1,2,m 1); f ( m ) ( z0 ) 0.
证 (必要性)
由定义: 如果 z0 为 f (z ) 的 m 级零点
f ( z ) ( z z0 ) m ( z )
设 ( z )在z0的泰勒展开式为:
( z ) c0 c1 ( z z0 ) c2 ( z z0 ) ,
z z0
为.
本性奇点的判定 常用定义判定（因极限特点不好说明）
例6
1 求函数 sin z
的奇点并判断类型.
综上所述:
孤立奇点 可去奇点 洛朗级数特点 无负幂项
lim f ( z )
z z0
存在且为 有限值

含有限个负幂项 关于( z z0 )1的最高幂 m级极点 为 ( z z0 ) m 本性奇点 含无穷多个负幂项
3.零点与极点的关系
定理
如果 z0 是 f (z ) 的 m 级极点, 那末 z0 就是 1 的 m 级零点. 反过来也成立. f (z) 如果 z0 是 f (z ) 的 m 级极点, 则有
1 f (z) m g( z ) ( z z0 )
证
( g( z0 ) 0)
1 m 1 ( z z0 ) 当 z z0 时 , ( z z0 )m h( z ) f (z) g( z )
函数 h( z0 ) 在 z0 解析且 h( z0 ) 0.
1 1 0, 0, 只要令 由于 lim z z0 f ( z ) f ( z0 )
1 的 m 级零点. 那末 z0 就是 f (z) 1 反之如果 z0 是 的 m 级零点, f (z) 1 解析且 ( z0 ) 0 ( z z0 )m ( z ), 那末 f (z) 1 1 (z) 当 z z0 时, f ( z ) m ( z ), (z) ( z z0 )
z0 为 f (z ) 的孤立奇点.
例1 z 0 是函数 e ,
1 z
sin z 的孤立奇点. z
1 z 1是函数 的孤立奇点. z 1 注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤 立奇点.
例2 指出函数 f ( z )
z2 sin
在点 z 0 的奇点特性. 1
z
解 函数的奇点为 1 z 0, z ( k 1 , 2 ,) k 1 因为 lim 0， k k 即在 z 0 的不论怎样小的去心邻域内, 总有 f (z ) 的奇点存在, 所以 z 0 不是孤立奇点. 并非所有奇点都是孤立奇点
f ( z0 ) lim f ( z )
z z0
补充定义
F ( z ) , z z0 f (z) c0 , z z0
可去奇点的判定 (1) 由定义判断: 如果 f (z ) 在 z0 的洛朗级数无负 幂项则 z0 为 f (z ) 的可去奇点. (2) 判断极限 lim f ( z ) : 若极限存在且为有限值, z z
极点的判定方法
(1) 由定义判别
f (z ) 的洛朗展开式中含有 z z0 的负幂项为有 有限项.
(2) 由定义的等价形式判别
g( z ) 在点 z0 的某去心邻域内 f ( z ) ( z z0 ) m
其中 g (z ) 在 z0 的邻域内解析, 且 g( z0 ) 0. (3) 利用极限
特点: 1. 在 z z0 内是解析函数 2. g( z0 ) 0 (2) 如果 z0 为函数 f (z ) 的极点 , 则
lim f ( z ) .
3z 2 , 例5 有理分式函数 f ( z ) 2 z ( z 2)
z z0
z 0 是二级极点, z 2 是一级极点.
z
ez 1 因为 lim lim e z 1, z 0 z 0 z
（2） 极点 定义 如果洛朗级数中只有有限多个 z z0 的
( z z0 )1 的最高幂为 ( z z0 ) m , 负幂项, 其中关于
即
f ( z ) cm ( z z0 ) c2 ( z z0 ) c1 ( z z0 )
确定函数f ( z ) 1 z (e 1)
3 z3
的孤立奇点的类型 .
思考题答案
z 0是分母的6级零点, 也即是函数 f ( z )的6级极点.
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第二节
留 数
一、留数的定义
二、利用留数求积分
三、典型例题 四、小结与思考
一、留数的定义
设 z 0 为 f (z ) 的一个孤立奇点;
c0 c1 ( z z0 )
m
2
1
( m 1, cm 0)
或写成
1 f (z) m g( z ) , ( z z0 )那末孤立奇点 z0 称源自函数 f (z ) 的 m 级极点.
说明: (1)
g( z ) c m c m 1 ( z z0 ) c m 2 ( z z0 )2
c
有一个不解析点 .
二、利用留数求积分
1.留数定理
函数 f (z ) 在区域 D内除有限个孤
立奇点 z1 , z2 ,, zn 外处处解析, C 是 D内包围诸奇
点的一条正向简单闭曲线, 那末
C
f ( z )dz 2i Res[ f ( z ), zk ]. k 1
n
说明: 1. f ( z )在C内部有n个不解析点； 2. 留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求 被积函数在C内各孤立奇点处的留数.
的洛朗级数中负幂次项 (z- z0)–1 的系数 c–1 称为f (z)
在 z0 的留数，记作 Res [f (z), z0] 或 Res f (z0)。 由留数定义, Res [f (z), z0]= c–1
0
故
f ( z)dz 2i Re s[ f ( z), z ], 其中f ( z)在C内
第五章 留数
第一节 孤立奇点 第二节 留数
第一节
孤立奇点
一、孤立奇点的定义及分类 二、函数的零点与极点的关系 三、小结与思考
一、孤立奇点的定义及分类
1. 孤立奇点定义 定义 如果函数 f (z )在 z0 不解析, 但 f (z ) 在 z0
的某一去心邻域 0 z z0 内处处解析, 则称
0
则 z0 为 f (z ) 的可去奇点.
例3
sin z 1 2 1 4 1 z z 中不含负幂项, z 3! 5!
sin z z0 是 的可去奇点 . z
如果补充定义:
z 0 时,
sin z 1, z
sin z 那末 在 z 0 解析. z
ez 1 例4 说明 z 0 为 的可去奇点. z
f ( z ) c0 c1 ( z z0 ) cn ( z z0 )n .
( 0 z z0 )
其和函数 F (z ) 为在 z0 解析的函数. (2) 无论 f (z ) 在 z0 是否有定义,
f ( z0 ) c0 , 则函数 f (z ) 在 z0 解析.
1 2 1 n ez 1 1 解 (1 z z z 1) z 2! n! z 1 1 n 1 1 z z , 0 z 2! n! 无负幂项
ez 1 所以 z 0 为 的可去奇点. z
另解
e 1 所以 z 0 为 的可去奇点. z
所以 z0 是 f (z ) 的 m 级极点.
说明
此定理为判断函数的极点提供了一个较为
简便的方法. 1 例8 函数 sin z 有些什么奇点, 如果是极点, 指出 它的级.
解
函数的奇点是使 sin z 0 的点,
这些奇点是 z k ( k 0 , 1 , 2) . 是孤立奇点.
那末孤立奇点 z 0 称为 f (z ) 的本性奇点.
1 2 1 n 例如， e 1 z z z , 2! n! 含有无穷多个z的负幂项 (0 z )
1 1 z
所以 z 0 为本性奇点，同时 lim e 不存在.
z 0
1 z
说明: 在本性奇点的邻域内 lim f ( z )不存在且不
z0 的某去心邻域 0 z z0 R
C
.z
0
邻域内包含 z0 的任一条正向简单闭曲线C
积分 f ( z )dz 2ic1
C
由此可见，一般积分可利用洛朗级数求得结果，所以洛 朗级数的负一次幂系数很重要，为此给出留数定义.
定义
设 z0 为 f (z) 的孤立奇点， f (z) 在 z0 邻域内
并且
f
(m)
( z0 ) c0 0. m!
充分性证明略 .
例7 求下列函数的零点，并指明级数.
1. z sin z 3. z sinz (1 cosz )
3
2. z 1
3
课堂练习 求 f ( z ) z 5 ( z 2 1)2 的零点及级数 . 答案
z 0 是五级零点, z i 是二级零点.
2
其中 c0 ( z0 ) 0 ,
从而f ( z )在z0的泰勒展开式为
f ( z ) c0 ( z z0 ) c1 ( z z0 ) c2 ( z z0 )
m
m 1
m 2

展开式的前m项系数都为零 ,由泰勒级数的系数
f ( n ) ( z0 ) 0, ( n 0,1,2,m 1); 公式知:
2. 孤立奇点的类型 依据 f (z ) 在其孤立奇点 z0 的去心邻域
0 z z0 内的洛朗级数的情况分为三类:
（1）可去奇点; （2）极点; (3）本性奇点.
(1)可去奇点
定义
如果洛朗级数中不含 z z0 的负幂项,
那末孤立奇点 z0 称为 f (z ) 的可去奇点.
说明: (1) z0若是f ( z )的孤立奇点 ,
因为 (sin z ) z k cos z z k ( 1)k 0, 1 即 所以 z k 是 sin z的一级零点， 的一级极点. sin z
三、小结与思考
理解孤立奇点的概念及其分类; 掌握可去奇 点、极点与本性奇点的特征及判别方法; 熟悉零 点与极点的关系.
思考题
f (z ) 的 m 级零点.
例6
z 0是函数 f ( z ) z( z 1)3 的一级零点， z 1是函数 f ( z ) z( z 1)3 的三级零点 .
注意: 不恒等于零的解析函数的零点是孤立的.
2.零点的判定
如果 f (z ) 在 z0 解析, 那末 z0 为 f (z ) 的 m 级 零点的充要条件是
证
C
如图
C1 C2 Cn
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz
.zn
z1 . .z2
C

D
两边同时除以 2i 且
1 1 1 f ( z )dz 2i f ( z )dz 2i f ( z )dz 2i C1 C2 Cn
Res[ f ( z ), z1 ] Res[ f ( z ), z2 ] Res[ f ( z ), zn ]
lim f ( z ) 判断 . z z
0
课堂练习
求下列函数的奇点，并指明类型，若为极点， 请指明级数。
sin z 1. z
1 3. 2 ( z 1)(z i) 2
ln(1 z ) 2. z
e z 1 4. 3 z
（3） 本性奇点 如果洛朗级数中含有无穷多个 z z0 的负幂项,
不存在 且不为
练习：求下列函数的奇点，并指明类型，若为极点， 请指明级数。
sin z z 1. 3 z 1 3. cos z 1
2.
1 z ( z 1)
2
cos z 1 4. z5
二、函数的零点与极点的关系
1.零点的定义
不恒等于零的解析函数 f (z ) 如果
m
能表示成 f ( z ) ( z z0 ) ( z ), 其中 (z ) 在 z0 解析且 ( z0 ) 0, m为某一正整数, 那末 z0 称为