复变函数1-5 习题课解析

4
2. 复数的代数运算
设两复数 z1 x1 iy1, z2 x2 iy2 , 1) 两复数的和
z1 z2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 ). 2) 两复数的积
z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i( x2 y1 x1 y2 ).
3)两复数的商
z1 z2
x1 x2 x22
y
P(x, y)
z r
o
x
x
复数的模(或绝对值)
向量的wk.baidu.com度称为z 的模或绝对值,
记为 z r x2 y2 .
8
模的性质 x z, y z, z x y, z z z 2 z2 .
三角不等式 (1) z1 z2 z1 z2 ; (2) z1 z2 z1 z2 . 复数的辐角
(2) z z; (3) z z Re(z)2 Im( z)2;
(4) z z 2Re(z), z z 2i Im(z).
6
3.复数的其它表示法
（1）几何表示法
复数 z x iy 与有序实数对( x, y) 成一一
对应. 因此, 一个建立了直角坐标系的平面可以
用来表示复数, 通常把横轴叫实轴或x 轴, 纵轴
判别定理
三角及指数表示法
3
1.复数的概念
对于任意两实数 x, y, 我们称 z x yi 或 z x iy 为复数. 其中 x, y 分别称为z 的实部和虚部, 记作 x Re(z), y Im( z). 当 x 0, y 0 时, z iy 称为纯虚数; 当 y 0 时, z x 0i, 我们把它看作实数x. 当 x 0, y 0时, z 0.
若 则有
z1 r1(cos1 i sin1）, z2 r2(cos2 i sin2）,
z2 z2 , z1 z1
Arg
z2 z1
Argz2
Argz1 .
设复数z1和z2的指数形式分别为 z1 r1ei1 , z2 r2ei2 ,
则 z2 r2 e . i(2 1 ) z1 r1
14
两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.
若 z1 r1(cos1 i sin1）,
则有
z2 r2(cos2 i sin2）,
z1 z2 r1 r2[cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
Arg(z1z2 ) Argz1 Argz2.
12
几何意义
y1 y2 y22
i
x2 y1 x22
x1 y2 y22
.
5
4)共轭复数
实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两 个复数称为共轭复数.
与 z 共轭的复数记为z, 若 z x iy, 则 z x iy.
共轭复数的性质
(1) z1 z2 z1 z2 ; z1 z2 z1 z2 ;
z1 z1 ; z2 z2
从几何上看,
两复数对应的向量分别为
z1 ,
z2 ,
先把
z1
按逆时针方向
•z
y
旋转一个角2 ,
r • z1
再把它的模扩大到 r2 倍, 所得向量 z 就表示积 z1 z2 .
o
2 1
r1
•
r2
z2
x
复数相乘就是把模相乘, 辐角相加.
13
两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个 复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.
9
辐角的主值
在 z( 0)的辐角中, 把满足 π 0 π 的0
称为 Argz 的主值, 记作0 arg z.
arctan
y x
,
z0 辐角的主值arg
z
2
,
x 0, x 0, y 0,
arctan
y x
,
x 0, y 0,
,
x 0, y 0.
(其中 arctan y )
叫虚轴或 y 轴. 这种用来表示复数的平面叫复平
面. 复数 z x iy 可以用复平
y z x iy
y
(x, y)
面上的点( x, y) 表示.
o
x
x
7
（2）向量表示法
在复平面上,复数 z 与从原点指向点z x iy 的
平面向量成一一对应,因此,复数z也可用向量OP
来表示.
y z x iy
2) 幂与根 (a) n次幂:
n 个相同复数 z 的乘积称为z 的 n 次幂,
记作 zn , zn z z z .
n个
对于任何正整数n, 有 zn rn(cosn i sin n ).
n 为负整数时,
有z n
1 zn
.
因而有 zn z n , Arg zn n Arg z.
15
(b)棣莫佛公式
一、重点与难点
重点：1. 复数运算和各种表示法
2. 复变函数以及映射的概念
难点：1. 复数方程表示曲线以及不等式表示区域
2. 映射的概念
2
二、内容提要
复 球 面
扩 充
复 平 面
曲线 与区域
极限 的计算
复数
代 数 运 算
乘 幂 与 方 根
复 数 表 示 法
复变函数
几何表示法 向量表示法
极限 连续性
5.复球面与扩充复平面
(1) 复球面
南极、北极的定义
取一个与复平面切于原点 z 0的球面,
球面上一点S 与原点重合,
N
通过 S 作垂直于复平面的
P
直线与球面相交于另一点 N , 我们称 N 为北极, S 为南极.
SO
y
x
17
复球面的定义
球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内 的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用 球面上的点来表示复数. 我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与 复平面上的无穷远点相对应, 记作. 因而球面上 的北极 N 就是复数无穷大的几何表示.
2
x2
10
（3）三角表示法
利用直角坐标与极坐标的关系
x y
r r
cos , sin ,
复数可以表示成 z r(cos i sin )
（4）指数表示法
利用欧拉公式 ei cos i sin ,
复数可以表示成 z rei 称为复数 z 的指数表示式.
11
4.复数的乘幂与方根
1) 乘积与商
在 z 0的情况下, 以正实轴为始边, 以表示
z 的向量OP 为终边的角的弧度数 称为 z 的辐角, 记作 Argz . 当 z 0时, z 0, 而辐角不确定. 任何一个复数z 0有无穷多个辐角. 如果1 是其中一个辐角, 那么z 的全部辐角为
Arg z 1 2kπ (k为任意整数).
(cos i sin )n cosn i sin n .
(c) 计算方程 wn z 的根 w, 其中 z 为已知复数.
w
n
z
r
1 n
cos
2kπ
i sin
2kπ
n
n
(k 0,1,2,,n 1)
在几何上, n z的n个值就是以原点为中心, n r为半径 的圆的内接正n边形的n个顶点.
16