数学建模集训讲义(10-10)节

§10 自动化车床管理
（1999年全国大学生数学建模竞赛A题）一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等原因该工序会出现故障，其中刀具损坏故障占95%, 其它故障仅占5%．工序出现故障是完全随机的, 假定在生产任一零件时出现故障的机会均相同．工作人员通过检查零件来确定工序是否出现故障．现积累有100次刀具故障记录，故障出现时该刀具完成的零件数如附表．现计划在刀具加工一定件数后定期更换新刀具．已知生产工序的费用参数如下：
故障时产出的零件损失费用f=200元/件；
进行检查的费用t=10元/次；
发现故障进行调节使恢复正常的平均费用d=3000元/次(包括刀具费)；
未发现故障时更换一把新刀具的费用k=1000元/次．
1)假定工序故障时产出的零件均为不合格品，正常时产出的零件均为合格品, 试对该工序设计效益最好的检查间隔（生产多少零件检查一次）和刀具更换策略．
2)如果该工序正常时产出的零件不全是合格品，有2%为不合格品；而工序故障时产出的零件有40%为合格品，60%为不合格品．工序正常而误认有故障停机产生的损失费用为1500元/次．对该工序设计效益最好的检查间隔和刀具更换策略．
3）在2)的情况, 可否改进检查方式获得更高的效益．
附:100次刀具故障记录(完成的零件数)
459 362 624 542 509 584 433 748 815 505
612 452 434 982 640 742 565 706 593 680
926 653 164 487 734 608 428 1153 593 844
527 552 513 781 474 388 824 538 862 659
775 859 755 649 697 515 628 954 771 609
402 960 885 610 292 837 473 677 358 638
699 634 555 570 84 416 606 1062 484 120
447 654 564 339 280 246 687 539 790 581
621 724 531 512 577 496 468 499 544 645
764 558 378 765 666 763 217 715 310 851 一）基本模型
假设1)刀具每加工u件零件后定期更换，更换费用为k（已知）；2）每生产n件零件定期进行检查，检查费用为t（已知）；
3）在两次相邻的检查之间，生产任一零件时工序出现故障的概率均相等，记作p；
4）检查时工序停止生产[注]，若发现该零件为不合格品，则进行调节使恢复正常，费用为d（已知）；
5）工序故障时生产的零件均为不合格品，正常时均为合格品，而刀具故障占工序故障的95℅；
6）每件不合格品的损失费为f （已知）；
7）刀具故障（寿命）的概率分布由所给100次故障记录确定． 模型：
1）目标函数（工序效益）为生产每个零件的平均费用L ，包括预防保全费用1L （刀具定期更换），检查费用2L ，工序故障造成不合格品
的损失费用3L ．
由假设1，1L k u =；由假设2，2L t n =；由假设4，6，()3L mf d =+，其中m 为当相邻两次检查的后一次检查发现故障时，n 件零件中不合格品的平均数，c 为平均故障间隔．于是问题为确定,u n 使
(),k t mf d L u n u n c
+=++ （1） 最小．下面计算m ,c ．
2）m 的计算
由假设3，在相邻两次检查的后一次检查发现故障（概率为p
）的条件下，出现i 件不合格品（前n i -件合格，下一件不合格）的概率为()1n i p p p -- ，()11n
p p =-- ，于是 ()()1111n n i n i m i p p p -=⎡⎤=---∑⎣⎦
（2） 上式经代数运算可得
()()1
1(1)111n n p n p m p p +-++-=
⎡⎤--⎣⎦
将上式在0p =处展开得
2111()222
n n n m p o p +-+=++= 其中由于1p c =很小（见后面计算结果），将()o p 忽略．代入（1）得
()()1,2n f k t d L u n u n c c
+=+++ （3） 3）c 的计算
首先，根据给出的100个数据算出无．
预防性更换时刀具故障平均间隔（即100个数据的平均值）为0600a =（件）．设非刀具故障平均间隔为b ，由假设5刀具故障占95℅，非刀具故障占5℅，则160095%15%
b = ，从而11400b =（件）． 其次，在不考虑非刀具故障的条件下，计算定期（u 件）更换时刀具故障的平均间隔()a u ．由100个数据统计出刀具故障的经验概率分布，例如对完成的零件数作如下分组：
如若300u =件，则平均刀具故障间隔为(300)a ，而由上表可知100次更换有1+1+1+2+2=7次刀具故障，相邻两次换刀之间刀具故障的平均
间隔为()501125117512252275230093%%%%%%⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，显然它等于(300)7a %⨯，从而
()501125117512252275230093(300)7%%%%%%a %
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
()150112511751225227523009341797
=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦ 一般地，记刀具完成件数为i N ，频率为i f ，若对于给定的u 有k N u <，1k N u +>，则定期（u 件）更换时刀具故障的平均间隔为
()()
1111k k i i i i i k i i N f u f a u f ===+-∑∑=∑ （4）
工序的平均故障间隔()c u 由()a u 和b (b 为非刀具故障平均间隔)决定，满足1()1()1c u a u b =+，于是
1()1()1c u a u =+ （5） 如若300u =件，则1305814179111400
c ==+ 求解：
求u ，n 使（3）式之L 达到最小．给定u 并如上计算出c 后，则L 是n 的函数，由（3）显然当
n =（6） 时，L 达到最小．对于一系列的u =100，150，200，……（比如步长取50），逐个求出L 的极小值及相应的n 值，其中使L 最小者所对应
的u 和n 即为所求．代入数值可解出
400u =，15n =
时L 最小，此即有最好效益的刀具更换间隔和检查间隔．
注1：当经验概率分布的分组取得不同，或直接用100个数据为经验分布函数，或作分布拟合得一连续分布函数（根据直方图，作正态拟合较适宜），求平均故障间隔，可能会使答案稍有差异．
注2：如在假设4中设检查时工序不停止生产，而有h 个不合格零件产出（h 可取一适当数值），则（3）增加一项hf c ，这对问题的解法无影响，但可能使答案有差异．
二）进一步的问题
1）对问题2
要考虑两种误判：一是工序正常时检查到不合格品误判停机，将承担误判停机的损失费用1500s =元；二是工序故障时检查到合格品，将继续生产直到下一次检查，使不合格品的损失费增加．此时效益函数应为
()11121n k f n w d L t p vs n u n c w c
+⎛⎫⎡⎤=++-+++ ⎪⎣⎦-⎝⎭， （7） 与（3）式相比（7）式多了两项()1n p vs n -和1f w n c w
⋅-． ()
1n p vs n -是由于第一种误判停机而产生的摊在每件产品上的
损失费：其中()1n p -是两次检查间工序正常的概率（1p c =），2v %
=是工序正常时的不合格品率，1500s =为第一种误判停机的损失费；
1f w n c w
⋅-是由于第二种误判停机而产生的摊在每件产品上的损失费：其中40w %=是工序故障时的合格品率，21w n
nw nw w
=++- 是第二种误判增加的不合格品数．
然后按上面的求解方法可得350u =，22n =时有最好的效益．
2）对问题3
由于工序故障时的合格品率相当高，可考虑检查时当检查到的那个零件为合格品时，再查一个零件，若仍是合格品则判定工序正常，若为次品则判定工序故障，这样虽然使检查费用增加，但不合格品的损失费将减少．这时效益函数为 ()()()()(){}
22111111121n n n k L t p v p w t p vs u n f n w d n c w c ⎡⎤=++--+--+-⎣⎦⎡⎤++++⎢⎥-⎣⎦ （8） 其中，()()11n
p v t n --是两次检查间工序正常且检查到合格品时，再检查一次的费用；()()11n p wt
n
--是工序故障而检查到合格品，再检查一次的费用；()1n p vs n
-是第一种误判的损失费用；221f w n c w ⋅-是第二种误判的损失费用．按上面的求解方法可得350u =，32n =时有更高的效益．。