必修二数学空间图形的基本关系与公理
北师大版高数必修二第4讲：空间图形的基本关系与公理—(1)
空间图形的基本关系与公理__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________理解和掌握平面的性质定理，能合理运用；掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系； 会判断异面直线、掌握异面直线的求法；会用图形语言、符号语言表示点、线、面的位置关系．一、平面1.平面的概念：平面是一个不加定义，只需理解的原始概念．立体几何里所说的的平面是从现实生活中常见的平面抽象出来的．常见的桌面、平静的水面等都给我们以平面的部形象．平面是理想的、绝对的平且无大小，无厚度，不可度量． 2.平面的表示方法：(1)一个平面： 当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角 画成45o，横边画成邻边的2倍长，如右图． (2)两个相交平面：画两个相交平面时，通常要化出它们的交线，当一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如下图）3. 运用集合观点准确使用图形语言、符号语言和文字语言空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此还可借用集合中的符号语言来表示点、线、面的基本位置关系如下表所示：αBAβαABαβαβBAAβαBA a ∈ 点A 在直线a 上A a ∉ 点A 不在直线a 上A α∈ 点A 在平面α内A α∉ 点A 不在平面α内a b A =I 直线a 、b 交于A 点a α⊂直线a 在平面α内a α=∅I 直线a 与平面α无公共点a A α=I直线a 与平面α交于点Al αβ=I 平面α、β相交于直线l二、平面的基本性质1. 公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的_____都在这个平面内推理模式：A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭． 如图示： 或者：∵,A B αα∈∈，∴AB α⊂ 公理1的作用：①判定直线是否在平面内；②判定点是否在平面内； ③检验面是否是平面．2. 公理2 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的______推理模式：A A l A ααββ∈⎫⇒∈=⎬∈⎭I 如图示： 或者：∵,A A αβ∈∈，∴,l A l αβ=∈I 公理2的作用：(1)判断两个平面是否相交及交线位置； (2)判断点是否在线上今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线)．(1)以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、辅助面的依据．(2)有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． 3. 公理3____________________________________________推理模式：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合或者：∵,,A B C 不共线，∴存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈. 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．(1)以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、辅助面的依据．(2)“有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． 三、空间两直线的位置关系四、平行直线 1. 公理4 平行公理__________________________________________推理模式：//,////a b b c a c ⇒．(1)它是判断空间两条直线平行的依据； (2)它说明平行关系具有传递性 2.等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，且方向相同，那么这两个角_______． 由球的半径R 计算球表面积的公式：S 球＝4πR 2.即球面面积等于它的大圆面积的4倍． 五、异面直线 1. 定义：不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线(1)异面直线既不平行，也不相交，永远不存在一个平面能同时包含这两直线； (2)不能把异面直线误认为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线 (3)异面直线一般是对两条直线而言的，没有三条异面直线的说法． 2．异面直线的画法画异面直线时，为了充分显示不共面的特点，常常需要以辅助平面为衬托，以加强直观性．ba αbaαβbaα3．异面直线判定定理过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线推理模式：l A B B L ααα⊂⎫⎪∉⎪⇒⎬∈⎪⎪∉⎭直线AB 与直线l 是异面直线六、异面直线所成的角 1. 定义：已知a ，b 是两条异面直线，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把直线a '和b '所成的锐角（或直角）叫做异面直线a ，b 所成的角．(1)异面直线所成的角与O 点的位置无关．(2)如果两条异面直线所成角是直角，则说这两条异面直线互相垂直，记作a b ⊥． (3)异面直线所成角的范围是______． 2. 求异面直线所成角的步骤（1）恰当选点，由平移构造出一个交角； （2）证平行关系成立；（3）把角放入三角形或其它平面图形中求出；（4）作结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是所求异面直线所成的角． 七、直线、平面的位置关系1．空间直线与平面的位置关系有以下三种：(1)直线在平面内：如果一条直线a 与平面α有两个不同的公共点，那么这条直线就在这个平面内，记作a ⊂α.(2)直线与平面相交：直线a 与平面α只有一个公共点A ，叫做直线与平面相交，记作a ∩α＝A ，公共点A 叫做直线a 与平面α的交点．(3)直线与平面平行：如果一条直线a 与平面α没有公共点，叫做直线与平面平行，记作a ∥α. 2.两个平面的位置关系有且只有一下两种： (1)两个平面平行---没有交点 (2)两个平面相交---有一条公共直线3.顺次连接不共面的四点A 、B 、C 、D 所构成的图形，叫做空间四边形．这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点；所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．类型一 平面及其性质例1：(2014·邵阳一中月考)对下图的几何图形，下列表示错误的是( )A ．l ∈αB ．P ∉lC ．l ⊂αD ．P ∈α练习1：判断下列说法是否正确，并说明理由．（1）平面的形状是平行四边形（ ） （2）任何一个平面图形都可以表示平面（ ） （3）平面ABCD 的面积为10㎡（ ） （4）空间图形中，后引的辅助线是虚线（ ） 练习2：1、下列说法正确的个数（ ）①铺的很平的一张纸是一个平面；②可以一个长20cm 、宽30cm 的平面；③通常300页的书要比10页的书厚一些，那么300个平面重合在一起时一定比10个平面重合在一起厚．A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个 练习3：若点Q 在直线b 上，b 在直线平面β内，则,,Q b β之间的关系可记作（ ）A 、Q b β∈∈B 、Q b β∈⊂C 、Q b β⊂⊂D 、Q b β⊂∈例2：如右图，已知,,,E F G H 分别为空间四边形ABCD 各边,,,AB AD BC CD 上的点，且EF GH P =I ，求证：,,B D P 共线．练习1：已知l 与三条平行线,,a b c 都相交，求证：l 与,,a b c 共面． 练习2：两个不重合的平面有公共点，则公共点的个数是（ ）A 、2个B 、有无数个且在一条直线上C 、一个或无数个D 、1个练习3：下列命题：①公理1可用集合符号叙述为：若,A l B l ∈∈且,A B αα∈∈，则必有l α∈；②四边形的两条对角线必交于一点；③用平行四边形表示的平面，以平行四边形的四边作为平面边界线；④梯形是平面图形．其中正确的命题个数为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 类型二 直线及其位置关系例3：(2014·甘肃嘉峪关市一中高一期末测试)若a 、b 是异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是( ) A ．相交 B ．异面 C ．平行 D ．异面或相交练习1：在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BD 和CD 的中点，长方体的各棱中与EF 平行的有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 练习2：空间四边形ABCD 中，给出下列说法：①直线AB 与CD 异面； ②对角线AC 与BD 相交； ③四条边不能都相等；④四条边的中点组成一个平行四边形． 其中正确说法的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个PH GF EDC BA练习3：a 、b 、c 是空间中三条直线，下面给出几种说法：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 也相交；③若a 、b 分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行． 上述说法中正确的是________(仅填序号)．例4：已知正方体1111ABCD A B C D -,E 、F 分别为1AA 、1CC 的中点，求证:1//BF ED 练习1：已知棱长为a 正方体1111ABCD A B C D -,M 、N 分别为CD 、AD 的中点， 求证:四边形11MNA C 是梯形练习2：已知E 、F 、G 、H 为空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，若AE AB ＝AH AD ＝12，CF CB ＝CG CD ＝13，则四边形EFGH 形状为________． 例5：已知E 、1E 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱AD 、11A D 的中点． 求证：111BEC B E C ∠=∠练习1：如右图，111,,AA BB CC 不共面，且1111//,//BB AA CC AA ,求证：△ABC ≌△111A B C练习2：在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别是CC 1、B 1C 1、C 1D 1的中点．求证：∠NMP ＝∠BA 1D .例6：如右图，已知不共面的直线,,a b c 相交于O 点，M 、P 是直线a 上 两点，N 、Q 分别是直线b 、c 上一点．求证：MN 和PQ 是异面直线． 练习1：两条异面直线是指（ ）A 、空间没有公共点的两条直线B 、分别位于两个平面内的直线C 、平面内的一条直线与平面外的一条直线D 、既不平行也不相交的两条直线练习2：下列说法正确的有__________．c ba OQP NM①两直线无公共点，则两直线平行；②两直线若不是异面直线，则必相交或平行；③过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任一直线均构成异面直线；④和两条一面直线都相交的直线的两直线必是异面直线．练习3：已知,,a b a b A αββ=⊂=I I 且,//c c a α⊂，求证：b ，c 为异面直线．例7：正四面体A BCD -的棱长为a ，E 、F 分别为棱AD 、BC 的中点，求异面直线AF 和CE 所成角的余弦值．练习1：已知m 、n 为异面直线，m α⊂，n β⊂，l αβ=I ，则直线l （ ）A 、与m 、n 都相交B 、与m 、n 至少一条相交C 、与m 、n 都不相交D 、至多与m 、n 中的一条相交练习2：在棱长为1的1111ABCD A B C D -中，M 和N 分别为11A B 和1BB 的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ）ABC 、35D 、25练习3：如右图，等腰直角三角形ABC中，90,,A BC DA AC DA AB ∠==⊥⊥o,若1DA =，且E 为DA 的中点．求异面直线BE 与CD 所成角的余弦值．1．在空间内，可以确定一个平面的条件是（ ）A 、两两相交的三条直线B 、三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交C 、三个点D 、三条直线，它们两两相交，但不交于同一点E 、两条直线 2．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( )A ．异面B ．相交C ．平行D ．异面或相交3．一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，那么它与另一条的位置关系是（ ）A 、相交B 、异面C 、平行D 、相交或异面4．从空间一点P 分别向BAC ∠的两边,AB AC 作垂线,PE PF ，垂足分别为,E F ，则EPF ∠与BAC ∠的关系为（ ）A 、互补B 、相等C 、互补或相等D 、以上都不对5．在正四面体A BCD -中，E 为AD 的中点，则AB 与CE 所成角的余弦值为_______．_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1. 空间有四个点，其中无三点共线，可确定_______个平面；若将此四点两两相连，再以所得线段FE D CBA中点为顶点构成一个几何体，则这个几何体至多有_______个面． 2、三个两两相交的平面最多可把空间分为_______个部分． 3、下面6个命题：①四边相等的四边形是菱形；②两组对边相等的四边形是平行四边形；③若四边形有一组对角相等，则该四边形是圆内接四边形；④在空间，过已知直线外一点，引该直线的平行线，可能不只一条；⑤四条直线两两平行，无三线共面，它们共可确定6个平面．其中正确命题的个数是（ ）A 、0B 、1C 、2D 、34. 在正方体1111ABCD A B C D 中，与1AD 成60o 的面对角线共有（ ）A 、4条B 、6条C 、8条D 、10条5. 已已知棱长为a 的正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，M 、N 分别为CD 、AD 的中点，则MN 与A ′C ′的位置关系是________．能力提升6. (2014·山东泰安肥城高一期末测试)如图，点P 、Q 、R 、S 分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS 是异面直线的一个图是________．7. 若直线a 、b 与直线l 相交且所成的角相等，则a 、b 的位置关系是( )A ．异面B ．平行C ．相交D ．三种关系都有可能8. 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1∩D 1B 1＝O ，E 、F 分别是B 1O 和C 1O 的中点，则在长方体各棱中与EF 平行的有________条．9. 如图，a ∥α，A 是α的另一侧的点，B ，C ，D ∈a ，线段AB ，AC ，AD 分别交平面α于E ，F ，G ，若BD ＝4，CF ＝4，AF ＝5，则EG ＝________.10. 如右图，正方体1111ABCD A B C D 中，求AC 与1A D 所成角的大小课程顾问签字： 教学主管签字：F ED 1C 1B 1A 1DCBA。
空间图形的基本关系与公理
6、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若M为棱BB1的中点，
则异面直线B1D与AM所成角的余弦值是
.
解析：如图所示，取CC1的中点N，连结MN，DN，
则MN AD，
∴四边形AMND为平行四边形， ∴AM DN，∴∠B1DN即为异面直线所成角.
连结B1N，设正方体棱长为a，则B1D＝ a， DN＝ a，B1N＝ a，
∴cos∠B1DN＝
＝
.
如图，四边形ABEF和ABCD 都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB ＝90°，BC AD,BE FA，
G、H分别为FA、FD的中点. (1)证明：四边形BCHG是平行四边形； (2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？
[思路点拨]
(2)法一：证明D点在EF、CH确定的平面内. 法二：延长FE、DC分别与AB交于M，M′，
们有且只有一条过这个点的公共直线.
2.证明共线问题的常用方法 (1)可由两点连一条直线，再验证其他各点均在这条直线上； (2)可直接验证这些点都在同一条特定的直线上——相交 两平面的唯一交线，关键是通过绘出图形，作出两个 适当的平面或辅助平面，证明这些点是这两个平面的
公共点.
如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分 别是A1B1、B1C1的中点，问： (1)AM和CN是否是异面直线？说明理由； (2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．
1.理解空间直线、平面位置关系的定义． 2．了解可以作为推理依据的公理和定理． 3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些 空间图形的位置关系的简单命题．
热 点 提 示
1.以空间几何体为载体，考查逻辑推理能力.
2.通过判断位置关系，考查空间想像能力.
3.应用公理、定理证明点共线、线共面等问题. 4.多以选择、填空的形式考查，有时也出现在解答题中.
北师大版高中数学必修二第一章4空间图形的基本关系与公理第1课时
§4 空间图形的基本关系与公理第1课时空间图形的基本关系与公理1～公理3 问题导学1．公理1的应用活动与探究1如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，M，N分别是所在棱的中点，连接D′M，交C′B′的延长线于点E，连接C′N，交CB的延长线于点F.求证：直线EF平面BCC′B′.迁移与应用如图，在△ABC中，若AB，BC在平面α内，试判断AC是否在平面α内．公理1的作用：(1)用直线检验平面；(2)判断直线是否在平面内，要证明直线在平面内，我们需要在直线上找到两个点，这两个点都在这个平面内，那么直线就在这个平面内．解决问题的关键就在于寻找这样的点．2．公理2的应用活动与探究2已知a∥b，a∩c＝A，b∩c＝B，求证：a，b，c三条直线在同一平面内．迁移与应用1．经过同一直线上的三个点的平面( )．A．有且只有一个B．有且只有三个C．有无数个D．不存在2．已知A∈l，B∈l，C∈l，D l(如图)，求证：直线AD，BD，CD共面．公理2的作用：(1)确定一个平面；(2)证明点、线的共面问题；(3)判断一图形是否为平面图形．对于平面的确定问题，务必分清它们的条件，对于证明几点(或几条直线)共面问题，可先由其中几个点(或直线)确定一个平面后，再证明其他点(或直线)也在该平面内即可．3．公理3的应用活动与探究3已知△ABC在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于P，Q，R三点(如图)，求证：P，Q，R三点共线．迁移与应用如图，在三棱锥S－ABC的边SA，SC，AB，BC上分别取点E，F，G，H，若EF∩GH=P，求证：EF，GH，AC三条直线交于一点．1．公理3的作用：(1)判断两平面是否相交；(2)证明点在直线上；(3)证明共线问题；(4)证明共点问题．证明三点共线问题的常用方法有：方法一是首先找出两个平面，然后证明这三个点都是这两个平面的公共点，根据公理3，这些点都在交线上．方法二是选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点在其上．2．证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．当堂检测1．点P在直线l上，而直线l在平面α内，用符号表示为( )．A．P l，lαB．P∈l，l∈αC．P l，l∈αD．P∈l，lα2．如图所示是表示两个相交平面，其中画法正确的是( )．3．下列说法正确的是( )．A．线段AB在平面α内，直线AB不会在α内B．平面α和β有时只有一个公共点C．三点确定一个平面D．过一条直线可以作无数个平面4．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1B1，BB1的中点，则D1E与CF的延长线交于一点，此点在直线( )．A．AD上B．B1C1上C．A1D1上D．BC上5．如图，O1是正方体ABCD－A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心，M是对角线A1C和截面B1D1A 的交点．求证：O1，M，A三点共线．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.答案：课前预习导学预习导引1．(1)点在直线上点在直线外A∈l B l(2)点在平面内点在平面外(3)同一平面没有公共点a∥b只有一个公共点a∩b＝P不同在任何一个平面内(4)有无数个公共点只有一个公共点l ∩α＝P没有公共点l∥α(5)没有公共点α∥β不重合但有公共点预习交流1 提示：不能．如图所示，a在平面α内，b在平面β内，但是a与b平行．预习交流2 提示：当两直线在同一平面内时，没有公共点就一定平行；在空间中，当两直线不同在任何一个平面内时，没有公共点，是异面直线．2．两点所有的点在平面内lα不在同一条直线上有且只有确定有且只有一个平面α有一个公共点有且只有α∩β＝l且A∈l预习交流 3 提示：“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一．“有且只有”强调的是存在性和唯一性两个方面，确定一个平面中的“确定”是“有且只有”的同义词，也是指存在性和唯一性这两个方面．预习交流4 提示：(1)能；(2)能；(3)能．课堂合作探究问题导学活动与探究1 思路分析：要证明直线在平面内，只需证明直线上有两个点在这个平面内．证明：∵B∈平面BCC′B′，C∈平面BCC′B′，∴直线BC平面BCC′B′.又∵C′N∩CB＝F，∴F∈CB，∴F∈平面BCC′B′.同理可得E∈平面BCC′B′.∴直线EF平面BCC′B′.迁移与应用解：AC在平面α内，证明如下：∵AB在平面α内，∴A点一定在平面α内．∵BC在平面α内，∴C点一定在平面α内．∴A点、C点都在平面α内．∴直线AC在平面α内．活动与探究2 思路分析：依题意，可先证a与b确定一个平面，再证明c在这个平面内，从而可证a，b，c在同一平面内．证明：∵a∥b，∴a与b确定一个平面α，∵a∩c＝A，∴A∈a，从而A∈α；∵b∩c＝B，∴B∈b，从而B∈α.于是ABα，即cα，故a，b，c三条直线在同一平面内．迁移与应用1．C2．证明：因为直线l与点D可以确定平面α，所以只需证明AD，BD，CD都在平面α内即可．因为A∈l，所以A∈α.又D∈α，所以ADα.同理BDα，CDα.所以AD，BD，CD都在平面α内，即它们共面．活动与探究3 思路分析：只需证明P，Q，R三点在平面ABC内，又在平面α内，再利用公理3推得结论．证明：方法一：∵AB∩α＝P，-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------∴P∈AB，P∈平面α.又AB平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知，点P在平面ABC与平面α的交线上．同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上，∴P，Q，R三点共线．方法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.又B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC平面APR.又∵Q∈直线BC，∴Q∈平面APR.又Q∈α，∴Q∈PR.∴P，Q，R三点共线．迁移与应用证明：∵E∈SA，SA平面SAC，F∈SC，SC平面SAC，∴E∈平面SAC，F∈平面SAC，∴EF平面SAC.同理可得GH平面ABC.又∵EF∩GH＝P，∴P∈平面SAC，P∈平面ABC.∵平面SAC∩平面ABC＝AC，∴P∈AC，即直线EF，GH，AC共点于P.当堂检测1．D 2．D 3．D 4．B5．证明：因为上底面中A1C1∩B1D1＝O1，A1C 1平面A1C1CA，B1D 1平面AB1D1，所以，O1是平面A1C1CA与平面AB1D1的公共点．又因为A1C∩平面AB1D1＝M，A1C平面A1C1CA，所以，M是平面A1C1CA与平面AB1D1的公共点．又因为A∈平面AB1D1，A∈平面A1C1CA，所以，A是平面A1C1CA与平面AB1D1的公共点．所以，O1，M，A都是平面A1C1CA与平面AB1D1的公共点，由公理3可知，O1，M，A三点共线．信达。
北师大版高中数学必修二§4 空间图形的基本关系与公理
§4 空间图形的基本关系与公理4．1空间图形基本关系的认识【课时目标】学会观察长方体模型中点、线、面之间的关系，并能结合长方体模型，掌握五类位置关系的分类及其有关概念．1．空间点与直线的位置关系有两种：______________________________．2．空间点与平面的位置关系有两种：________________________________．3．空间两条直线的位置关系有三种(1)________直线——在同一平面内，没有公共点；(2)________直线——在同一平面内，只有一个公共点；(3)________直线——不同在任何一个平面内．4．空间直线与平面的位置关系有三种(1)直线在平面内——直线和平面有无数个公共点；(2)直线和平面相交——直线和平面只有一个公共点；(3)直线和平面平行——直线和平面没有公共点．5．空间平面与平面的位置关系(1)两个平面平行——两个平面没有公共点；(2)两个平面相交——两平面不重合且有公共点．一、选择题1．已知直线a∥平面α，直线bα，则a与b的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．平行或异面2．若有两条直线a，b，平面α满足a∥b，a∥α，则b与α的位置关系是()A．相交B．b∥αC．bα D．b∥α或bα3．若直线m不平行于平面α，且m α，则下列结论成立的是()A．α内的所有直线与m异面B．α内不存在与m平行的直线C．α内存在唯一的直线与m平行D．α内的直线与m都相交4．三个互不重合的平面把空间分成6部分时，它们的交线有()A．1条B．2条C．3条D．1条或2条5．平面α∥β，且aα，下列四个结论：①a和β内的所有直线平行；②a和β内的无数条直线平行；③a和β内的任何直线都不平行；④a和β无公共点．其中正确的个数为()A．0 B．1 C．2 D．36．若一直线上有一点在已知平面外，则下列命题正确的是()A．直线上所有的点都在平面外B．直线上有无数多个点都在平面外C．直线上有无数多个点都在平面内。
1.4.1 空间图形基本关系的认识与公理1~3 课件(北师大必修2)
[通一类] 1．已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C，求证： 直线a，b，c和l共面．
证明：∵a∥b，∴直线a与b确定一个平面，设为α ，
∵l∩a＝A，l∩b＝B， ∴A∈a，B∈b，则A∈α ，B∈α . 而A∈l，B∈l， ∴由公理1可知：lα . Þ ∵b∥c，∴直线b与c确定一个平面，设为β ， 同理可知lβ . Þ
Þ ∴A∈α ，B∈α ，∴ABα . Þ 即aα ，
∵b∥c，∴直线b与c确定
∴a，b，c三线共面．
[悟一法]
证明点线共面的常用方法：
①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线 在此平面内． ②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α ，再 证明其余元素确定平面β ，最后证明平面α 、β 重合．
[通一ห้องสมุดไป่ตู้] 2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段
A1C与平面ABC1D1交于Q，求证：B，Q，D1三点共线．
证明：∵D1∈平面ABC1D1，
D1∈平面A1D1CB，
B∈平面ABC1D1， B∈平面A1D1CB，
∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1. ∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，
[读教材·填要点]
一、空间图形的基本位置关系
点在直线上 点与直线 点在直线外 (1)点 点在平面内 点与平面点在平面外
(2)空间两条直线的位置关系. 位置关系 相交直线 共面情况 在同一个平面内 公共点个数 1个 没有 没有
平行直线
异面直线
在同一个平面内
[错因]
在证明共面问题时，必须注意平面是确
定的．上述错解中， 由于没有注意到B，C，D三点不 一定确定平面，即默认了B，C，D三点一定不共线， 因而出错．也即题知条件由B，C，D三点不一定确定 平面，因此就使得五点的共面失去了基础．
高中数学 空间图形的基本关系与公理 1_4_2 公理4(平行公理)与异面直线所成的角课件
目标导航
预习引导
2.等角定理 空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或 互补.
预习交流 2
如果两个角的两条边分别对应平行且方向相同 ,那么这两个角的 关系如何?如果有一组对应边方向相同,另一组对应边方向相反,那么这 两个角的关系如何? 提示:相等;互补.
目标导航
预习引导
3.空间四边形 四个顶点不在同一平面内的四边形叫作空间四边形.
第 2 课时
公理 4(平行公理)与异面直线所成的角
目标导航
预习引导
学习目标
1.记住并会应用公理 4. 2.理解等角定理的条件和结论. 3.知道什么是空间四边形. 4.知道什么是异面直线所成的角,会求简单的异面直线所成的角. 重点:公理 4 及其应用以及异面直线所成角的求法. 难点:对异面直线所成的角的理解和求法. 疑点:怎样求异面直线所成的角?
= ,请回答并证明当空间四边形 ABCD 的四条边及点
2 3
G,H 满足什么条件时,四边形 EFGH,
(1)为平行四边形? (2)为菱形?
问题导学
当堂检测
思路分析:由
������������ ������������
=
������������ ������������
= ,可想到证明 EF∥AC;为使四边形 EFGH
2 3
2 3
理由:由(1)知,若
=
������������ ������������
= ,
3 5 2 5 2 3
2 3
则四边形 EFGH 为平行四边形,且 EF= AC,EH= BD.若 AC= BD, 则 EF= AC= BD=EH. ∴ 平行四边形 EFGH 为菱形.
3 5 2 5
高一必修2空间图形的基本关系
1 2
1 2
1 2
所以四边形EFGH为平行四边形。 如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形？
答案：菱形
• 公理4：平行于同一条直线的两条直线平 行。
符号表示：a // b , b // c , a // c 公理4可以帮助我们解决哪些几何问题？ 可以证明线线平行。
平行直线：在同一平面内但没有公共点的两条直线， 记作：a∥b 相交直线：在同一平面内有且只有一个公共点的两 条直线，记作a∩b=P
异面直线：不共面（不同在任何一个平面内） 的两条直线。 作图时为了表示异面直线不共面的特点通常用 一个或两个平面来衬托
定理 空间中，如果两个角的两条边 分别对应平行，那么这两个角相等或 者互补。
• 异面直线所成的角 • 垂直
例：如图：空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC， CD，DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。 证明：连接BD， 因为 EH是△ABD的中位直线和直线外的一点确定一个 平面.
图形语言：
符号语言： A l 有且只有一个平面 , 使A , l
推论2：两条相交直线确定一个平面.
图形语言：
符号语言：a b P 有且只有一个平面 , 使a , b
推论3：两条平行直线确定一个平面.
• 空间点与直线的位置关系有两种：
点 P 在直线 上：
点 P 在直线 外： ；
空间点与线的关系
空间点与平面的关系
• 空间点与平面的位置关系有两种：
公理1 过不在一条直线上的 三点，有且只有一个平面 (可以 确定一个平面)
过不共线的三点A,B,C的 平面通常记作〝平面ABC 〞
高中数学-8.3 空间图形的基本关系与公理
考纲要求
-3-
1.空间图形的公理 (1)公理1:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面(即可 以确定一个平面). 推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. (2)公理2:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上 所有的点都在这个平面内(即直线在平面内). (3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只 有一条过这个点的公共直线. (4)公理4:平行于同一条直线的两条直线平行.
考点1 考点2 考点3
8.3
空间图形的基本关系与公理
知识梳理 双击自测 核心考点 核心考点 学科素养
考纲要求
-18-
知识方法
易错易混
对点训练2 (1)如图,G,N,M,H分别是三棱柱的顶点或所在棱的 中点,则直线GH,MN是异面直线的图形有 .(填上所有正 确答案的序号)
关闭
题图①中,直线GH∥MN; 题图②中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,因此直线GH与MN异面; 题图③中,连接MG,GM∥HN, 因此GH与MN共面; 题图④中,G,M,N共面,但H∉平面GMN,因此GH与MN异面.
解析
答案
第八章 1 2 3 4 5
8.3
空间图形的基本关系与公理
知识梳理 双击自测 双击自测 核心考点 学科素养
考纲要求
-11-
自测点评 1.做有关平面基本性质的判断题时,要抓住关键词,如“有且只 有”“只能”“最多”等. 2.两个不重合的平面只要有一个公共点,那么两个平面一定相交 且得到的是一条直线. 3.异面直线是指不同在任何一个平面内,没有公共点的直线.不能 错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线.
第三节 空间图形的基本关系与公理(知识梳理)
第三节空间图形的基本关系与公理复习目标学法指导1.平面的基本性质.2.空间点、线、面位置关系.3.异面直线及其夹角.1.平面的基本性质作用分别是:性质1可用来证明点、直线在平面内;性质2可用来确定一个平面,证明点线共面;性质3可用来确定两个平面的交线,判断或证明多点共线,以及多线共点问题.2.空间点、线、面的位置关系要结合图形去记忆符号表示.3.异面直线所成角问题一般采取两种方案:(1)平移法作出平面角;(2)补形法作出平面角.一、平面的基本性质及相关公(定)理文字语言图形语言符号语言作用公理1如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内A lB lABαα∈⎫⎪∈⎪⎬∈⎪⎪∈⎭⇒l⊂α判断直线在平面内公理2过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面A,B,C三点是确定平面的依据,可证明不共线⇒有且只有一个平面α,使A∈α,B∈α,C∈α点、线共面公理3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线PPαβ∈⎫⎬∈⎭⇒α∩β=l,且P∈l寻找两平面的交线,证明线共点公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行l ml n////⎫⎬⎭⇒m∥n证明线线平行两角相等或互补的定空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补A BACAA CB''//''//⎫⎬⎭⇒∠A=∠A′或∠A+∠A′=π判断或证明两角相等或互补理1.概念理解(1)平面的基本性质即三个公理要能用三种语言来表示(文字语言、图形语言、符号语言).(2)公理4是判断空间两直线平行的依据.(3)等角定理为解决空间角相等提供了依据.2.与平面性质相关联的结论(1)直线及直线外一点可以确定一个平面.(2)两相交直线确定一个平面.(3)两平行直线确定一个平面.二、空间中点、线、面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面图形语言符号a∥b a∥αα∥β语言交点0 0 0个数图形语言符号a∩b=A a∩α=A α∩β=l语言交点个数1 1 无数个图形语言符号语言a,b是异面直线a⊂α交点个数0 无数个1.概念理解(1)空间两直线的位置关系有三种:相交、平行、异面.(2)空间直线与平面的位置关系有三种:平行、相交、直线在平面内.(3)空间两平面的位置关系有两种:平行、相交.2.与这些位置关系相关联的结论(1)空间两直线的位置关系中相交、平行也叫共面.(2)空间直线与平面平行、相交也叫线在面外.三、异面直线所成角1.定义设a,b是两条异面直线,经过空间中任一点O作直线 a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角.2.范围:π0,2⎛⎤⎥⎝⎦.1.概念理解(1)异面直线所成角是个空间角,求解时我们通过平移法变为平面角.(2)范围中有两异面直线垂直,因此空间中两直线垂直位置关系可以相交、异面.2.与异面直线相关联的结论(1)一个三棱锥中六条棱构成“三对”异面关系;(2)平移法求角时点的选取常常是特殊点(中点或端点上).1.如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,则这四个点不共面的一个图是( D )解析:A,B,C图中四点一定共面,D中四点不共面.故选D.2.若a,b是异面直线,且a∥平面α,则b与α的位置关系是( D )(A)b∥α (B)相交(C)b⊂α (D)b⊂α、相交或平行解析:三种情况都有.故选D.3.下列结论中正确的是( B )①在空间中,若两条直线不相交,则它们一定平行;②与同一直线都相交的三条平行线在同一平面内;③一条直线与两条平行直线中的一条相交,那么它也与另一条相交;④空间四条直线a,b,c,d,如果a∥b,c∥d,且a∥d,那么 b∥c.(A)①②③(B)②④(C)③④(D)②③解析:①错,两条直线不相交,则它们可能平行,也可能异面;②显然正确;③错,若一条直线和两条平行直线中的一条相交,则它和另一条直线可能相交,也可能异面;④由平行直线的传递性可知正确.故选B.4.下列命题中正确的个数是( B )①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α;②若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都平行;③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行;④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:①l与α可能相交,错误;②可能异面,错误;③另一条可能在平面内,错误;④正确.故选B.考点一平面的基本性质及应用[例1] (1)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点.求证:①E,C,D1,F四点共面;②CE,D1F,DA三线共点;(2)如图所示,ABCD-A1B1C1D1是正方体,在图②中F是B1B的中点,在图①中画出平面BC1D与平面ACD1的交线,在图②中画出平面AD1F与平面ABCD的交线,在图③中画出平面A1BC1与平面ABCD的交线.(1)证明:①连接EF,CD1,A1B,因为E,F分别是AB,AA1的中点,所以EF∥BA1.又因为A1B∥D1C,所以EF∥CD1,所以E,C,D1,F四点共面.证明:②因为EF∥CD1,EF<CD1,所以CE与D1F必相交,设交点为P,则由P∈CE,CE⊂平面ABCD,得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,所以P∈直线DA,所以CE,D1F,DA三线共点.(2)解:作法:在图①中连接AC,CD1,分别交BD,C1D于点O,E,连接AD1,OE,则OE是平面BC1D与平面ACD1的交线;在图②中,延长D1F交DB的延长线于G,连接AG,则AG是平面AD1F与平面ABCD的交线;在图③中,延长DC使得CH=DC,连接BH,则BH是平面A1BC1与平面ABCD 的交线.共面、共线、共点问题的证明(1)证明点或线共面问题,一般有两种途径:①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内;②将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合.(2)证明点共线问题,一般有两种途径:①先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上;②直接证明这些点都在同一条特定的直线上.(3)证明线共点问题,常用的方法是:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点.(4)画几何体的截面,关键是画截面与几何体各面的交线,此交线只需两个公共点即可确定,作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件,可以更快地确定交线的位置.以下四个命题中,正确命题的个数是( B )①不共面的四点中,其中任意三点不共线;②若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则A,B,C,D,E共面;③若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面;④依次首尾相接的四条线段必共面.(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:①显然是正确的,可用反证法证明;②中若A,B,C三点共线,则A,B,C,D,E五点不一定共面;③构造长方体或正方体,如图,显然b,c 异面,故不正确;④中空间四边形中四条线段不共面.故正确的个数为1.故选B.考点二空间两直线的位置关系[例2] 关于直线m,n与平面α,β,有以下四个命题:①若m∥α,n∥β且α∥β,则m∥n;②若m⊥α,n⊥β且α⊥β,则m⊥n;③若m⊥α,n∥β且α∥β,则m⊥n;④若m∥α,n⊥β且α⊥β,则m∥n;其中正确命题的序号是.(把你认为正确命题的序号都填上)解析:①错,m,n可能相交,也可能异面.②正确,是利用向量法求二面角的依据.③正确,因为m⊥α,n∥β且α∥β,所以m⊥β,m⊥n.④错,m与n可能异面或相交.答案:②③空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、平行和垂直的判定,对于异面直线,可采用直接法或反证法;对于平行直线,可利用三角形(梯形)中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理;对于垂直关系,往往利用线面垂直的性质来解决.过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线l,使l与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,这样的直线l可以作( D )(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条解析:如图,连接体对角线AC1,显然AC1与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,所2联想正方体的其他体对角线,如连接BD1,则BD1与棱BC,BA,BB1所成的角都相等,因为BB1∥AA1,BC∥AD,所以体对角线BD1与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,同理,体对角线A1C,DB1也与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,过A点分别作BD1,A1C,DB1的平行线都满足题意,故这样的直线l可以作4条.故选D.考点三异面直线所成的角[例3] 如图所示,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,E是PC的中点.(1)求证AE与PB是异面直线;(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值.(1)证明:假设AE与PB共面,设平面为α,因为A∈α,B∈α,E∈α,所以平面α即为平面ABE,所以P∈平面ABE,这与P∉平面ABE矛盾,所以AE与PB是异面直线.(2)解:取BC 的中点F, 连接EF,AF, 则EF ∥PB,所以∠AEF(或其补角)就是异面直线AE 和PB 所成的角. 因为∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,PA ⊥平面ABC, 所以AF=3,AE=2,EF=2,cos ∠AEF=2222AE EF AFAE EF+-⋅⋅ =222⨯⨯=14, 所以异面直线AE 和PB 所成角的余弦值为14. (1)找异面直线所成的角的三种方法①利用图中已有的平行线平移.②利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移. ③补形平移.(2)求异面直线所成角的三个步骤 ①作:通过作平行线,得到相交直线.②证:证明相交直线所成的角或其补角为异面直线所成的角. ③算:通过解三角形,求出该角.如图是三棱锥D-ABC 的三视图,点O 在三个视图中都是所在边的中点,则异面直线DO 和AB 所成角的余弦值等于( A )(A)33(B)12(C)3 (D)22解析:由三视图及题意得如图所示的直观图,从A出发的三条线段AB,AC,AD 两两垂直且AB=AC=2,AD=1,O是BC中点,取AC中点E,连接DE,DO,OE,则OE=1,又可知AE=1,由于OE∥AB,故∠DOE即为所求两异面直线所成的角或其补角.在直角三角形DAE中,DE=2,由于O是BC的中点,在直角三角形ABC中可以求得AO=2,在直角三角形DAO中可以求得DO=3.在三角形DOE中,由余弦定理得cos∠DOE=213⨯⨯=3,故选A.考点四易错辨析[例4] 一个正方体的展开图如图所示,A,B,C,D为原正方体的顶点,则在原来的正方体中( )(A)AB∥CD(B)AB与CD相交(C)AB⊥CD(D)AB与CD所成的角为60°解析:如图,把展开图中的各正方形按图1所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原,得到图2所示的直观图,可见选项A,B,C不正确.图2中,BE∥CD,∠ABE为AB与CD所成的角,△ABE 为等边三角形.所以∠ABE=60°,所以正确选项为D.故选D.侧面展开图问题应还原为原来的几何体,从直观图中观察或求值.如图,侧棱长为23的正三棱锥V-ABC中,∠AVB=∠BVC=∠CVA=40°,过A作截面AEF,则截面△AEF周长的最小值为.解析:沿着侧棱VA把正三棱锥V ABC展开在一个平面内,则AA′即为截面△AEF周长的最小值,且∠AVA′=3×40°=120°.在△VAA′中,由余弦定理可得AA′=6.答案:6类型一平面基本性质及应用1.已知A,B,C,D,E是空间五个不同的点,若点E在直线BC上,则“AC 与BD是异面直线”是“AD与BE是异面直线”的( B )(A)充分不必要条件 (B)充分必要条件(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件解析:若AC与BD是异面直线,则A,B,C,D四点不共面,则AD与BC是异面直线,而点E在BC上,所以AD与BE也是异面直线;若AD与BE是异面直线,而点E在直线BC上,所以AD与BC是异面直线,所以A,B,C,D四点不共面,所以AC与BD是异面直线,所以是充分必要条件,故选B.2.若平面α,β相交,在α,β内各取两点,这四点都不在交线上,这四点能确定个平面.解析:如果这四点在同一平面内,那么确定一个平面;如果这四点不共面,则任意三点可确定一个平面,所以可确定四个.答案:1或4类型二空间两直线的位置关系3.已知直线a,b都与平面α相交,则a,b的位置关系是( D )(A)相交(B)平行(C)异面(D)以上都有可能解析:a,b的位置关系三种情况都有可能.故选D.4.如图为正方体表面的一种展开图,则图中的AB,CD,EF,GH在原正方体中互为异面直线的有对.解析:平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化,则AB,CD,EF 和GH在原正方体中,显然AB与CD,EF与GH,AB与GH都是异面直线,而AB与EF相交,CD与GH相交,CD与EF平行,故互为异面直线的有3对.答案:3类型三异面直线所成的角5.矩形ABCD中,AB=3,BC=1,将△ABC与△ADC沿AC所在的直线进行随意翻折,在翻折过程中直线AD与直线BC所成的角的范围(包含初始状态)为( C )(A)[0,π6] (B)[0,π3](C)[0,π2] (D)[0,2π3]解析:初始状态直线AD与直线BC成的角为0,翻折过程中当BC⊥BD 时,直线AD与直线BC所成的角为直角,因此直线AD与直线BC所成的角范围为[0,π2],故选C.6.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E是CC1的中点,那么异面直线EO和D1A所成的角的余弦值等于( C )(A)12(B)32(C)63(D)33解析:如图,取BC的中点F,连接EF,OF,∠OEF即为EO和D1A所成的角,且△OEF为直角三角形,设OF=1,则EF=2,故OE=3,cos ∠OEF=6.7.在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形,PA=AB,M 是PA的中点,DM和PC所成角的正切值是.解析:如图,连接AC,BD交于点O,连接MO,O是AC的中点,而M是PA的中点,从而MO∥PC,所以∠DMO(或其补角)是DM和PC所成角,设PA=2,经计算得325,所以△MDO是直角三角形,从而tan ∠6.23答案6。
第二节 空间图形的基本关系与公理
数学
首页
上一页
下一页
末页
第二节
空间图形的基本关系与公理
结束
1．异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为 异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异 面直线既不平行，也不相交．
2．直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”．
数学
首页
上一页
下一页
末页
第二节
空间图形的基本关系与公理
空间图形的基本关系与公理
结束
[典例] (1)(2013· 江西省七校联考)已知直线a和平面α， β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和 c，则直线b和c的位置关系是 A．相交或平行 C．平行或异面 B．相交或异面 D．相交、平行或异面 ( )
[解析] 依据题意，b，c分别为a在α，β内的射影，可判断 b，c相交、平行或异面均可．
∵BA1∥CD1， ∴∠A1BE为所求． 在△A1BE中， 设AB＝1，则AA1＝2， ∴A1B＝ 5，A1E＝1，BE＝ 2. 3 10 ∴cos∠A1BE＝ . 10
数学
3 10 答案： 10
下一页 末页
首页
上一页
第二节
空间图形的基本关系与公理
结束
1．(2013· 安徽高考)在下列命题中，不是 公理的是 ．． A．平行于同一个平面的两个平面相互平行
[答案] D
数学
首页
上一页
下一页
末页
第二节
空间图形的基本关系与公理
结束
(2)已知空间四边形ABCD中，E，H分别是边AB，AD的中 点，F，G分别是边BC，CD的中点． 证明两直线是异面直 ①求证：BC与AD是异面直线； ②求证：EG与FH相交．
空间图形的基本关系与公理课件
第七章
立体几何
栏目导引
【变式训练】 3.下列四个命题：
①若直线a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c是异面直线； ②若直线a、b相交，b、c相交，则a、c相交； ③若a∥b，则a、b与c所成的角相等； ④若a⊥b，b⊥c，则a∥c. 其中真命题的个数是( A．4 C．2 ) B．3 D．1
A．1条
C．3条
B．2条
D．4条
解析：
连接AC1，则AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等；过
点A分别作正方体的另外三条体对角线的平行线，则它们与棱AB，AD， AA1所成的角也都相等．故这样的直线l可以作4条． 答案： D
工具
第七章
立体几何
栏目导引
2．(2009·湖南卷)平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也 与CC1共面的棱的条数为( A．3 C．5 ) B．4 D．6
∴EF∥CD1.
故E、F、D1、C四点共面．
工具
第七章
立体几何
栏目导引
(2)在平面EFD1C内，由于EF≠CD1， 所以CE与D1F必相交．设CE∩D1F＝P， ∵D1F在平面A1ADD1内， ∴P在平面A1ADD1内． 同理，P在平面ABCD内， ∴P在平面A1ADD1与平面ABCD的交线DA上，
【阅后报告】
该题难度较小，第(1)问的关键在于“找到角”，
而第(2)问关键在于证明BM⊥平面A1B1M，这些方法是解决立体问题常用
思路．
工具
第七章
立体几何
栏目导引
1．(2010·江西卷)过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l 与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l 可以作( )
北师大版数学必修二课件：1.4.1空间图形的基本关系与公理
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.9.821.9.811:51:2611:51:26September 8, 2021
(2)因为A∈α,B∈α,所以AB⫋α.
又因为C∈AB,所以C∈α.
4.空间平面与平面的位置关系(除重合外)
位置关
文字语言
图形语言
系
两个平
如果平面 α 与平面 β 没有公
面
共点,我们称平面 α 与平面 β
不相交
是平行平面
(平行)
两个平
面
相交
如果平面 α 和平面 β 不重合,
但有公共点,我们称平面 α
14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三上午11时51分26秒11:51:2621.9.8
15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月上午11时51分21.9.811:51September 8, 2021
16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021年9月8日星期三11时51分26秒11:51:268 September 2021
内.
证明:∵B∈平面BCC'B',C∈平面BCC'B',
∴直线BC⫋平面BCC'B'.
又C'N∩CB=F,∴F∈CB,∴F∈平面BCC'B'.
立体几何-空间图形的基本关系与公理1
空间图形的基本关系与公理研究对象：点、线、面的关系 三种语言：文字语言、符合语言、图形语言（看图说话）点线关系：点在线上、点在线外 点面关系：点在面上、点在面外 线线关系：平行、相交、异面线面关系：线面平行、线面相交、线在面内 面面关系：面面平行、面面相交公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
公理2：不共线的三点，可以确定一个平面。
推论1：直线和直线外的一点可以确定一个平面 推论2：两条平行直线可以确定一个平面。
推论3：两条相交直线可以确定一个平面。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线（两个平面的交线）。
公理4：平行于同一条直线的两条直线平行（平行的传递性）。
等角定理：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所组成的锐角（或直角）相等。
异面直线a 、b 所成角：过空间任意一点P 分别引两条异面直线a 、b 的平行线1l 、2l ()12//,//a l b l ，这两条相交直线所成的锐角（或直角）就是异面直线a 、b 所成角。
如果两条异面直线所成的角是直角，我们称这两条直线互相垂直，记作a b ⊥。
论证点、线共面的通法之一，即证部分元素确定一个平面，再证余下元素也在平面内。
论证点、线共面的通法之二，即根据确定平面的条件，先证各部分元素分别确定平面，再证这些平面有相同的确定平面的条件，即重合。
点共线、线共点：依据是公理3，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线（两个平面的交线）。
证明多点共线：通常是过其中两点作一直线，然后证明其他的点在这条直线上，或者根据已知条件设法证明这些点在两个相交平面内，然后根据公理2就得到这些点在两个平面的交线上。
证明多线共点：可把其中一条作为分别过其余两条的两个平面的交线，然后再证另两条直线的交点在此直线上。
必修二数学空间图形的基本关系与公理
空间图形的基本关系与公理2005-09-29 09:57:05一、教学目标1 •使学生学会观察长方体模型中点、线、面之间的关系，并能结合长方体模型，掌握五类位置关系的分类及其有关概念.2•掌握平面的基本性质，即公理1, 2，3.3. 掌握公理4和等角定理，并会应用它们解决问题.4. 培养和发展学生的空间想像能力、运用图形语言进行交流的能力、以及几何直观能力5 •通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念和结论，体会蕴涵在其中的思想方法•二、设计思路1. 本节先给出两幅实物图片，旨在激发学生学习空间图形的兴趣，然后引入最简单的几何体一一长方体模型，有关点、线、面用彩色来突岀，让学生仔细的观察，具有很强的可读性2 •本节设计了一些实例，并给出了两幅实物图片，旨在激发学生学习的兴趣，让学生觉得四个公理确实是显而易见的.3. 设计一幅实物图片和直观图形进行对比，使学生从平面到空间理解等角定理，显得更直观、更可信.三、教学建议本节第一小节的主要内容：空间点与直线的位置关系的分类，空间点与平面的位置关系的分类，空间两条直线的位置关系的分类，空间直线与平面的位置关系的分类，空间平面与平面的位置关系的分类.本节第二小节的主要内容：四个公理，等角定理1 •本节第一小节的重点是五类位置关系的分类及其有关概念，难点是“异面直线”的理解.本节第二小节的重点是四个公理和等角定理的理解与应用，难点是四个公理和等角定理的与应用2. 在教学空间图形基本关系的认识时，应先引导学生对“实例分析”中的长方体进行详细地观察，然后讨论8个顶点、12条棱、6个表面之间的关系.在此基础上，再进入“抽象概括”这一栏目.3•空间点与直线、空间点与平面的位置关系，结合长方体模型和生活中的实物，学生容易理解4. 本书中的空间两条直线指的是不重合直线若从两条直线是否共面的角度看，可以分为两类：(1)同一平面内：平行直线、相交直线；(2)不在同一平面内：异面直线.若从有无公共点的角度看，也可以分为两类：(1)有只有一个公共点：相交直线；(2 )没有公共点：平行直线、异面直线.5. 异面直线的理解是本节的难点，教学中应该结合正反两方面的例子，深刻理解“两条直线不同在任何一个平面内”的含义.这两条直线构成一个空间图形，绝不是平面图形.在学习了下一小节的公理2后，教师可以结合“思考交流”栏目的三个问题，向学生指岀：能够同在一个平面内的两条直线有且只有平行和相交这两种情况，所以，两条直线是异面直线等价于这两条直线既不平行也不相交6 •在画异面直线时，一般要以平面为衬托，这样显示得更直观和清楚(如图1).不然，就容易画成两条直线相交的情况（如图2）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
空间图形的基本关系与公理
2005-09-29 09:57:05
一、教学目标
1．使学生学会观察长方体模型中点、线、面之间的关系，并能结合长方体模型，掌握五类位置关系的分类及其有关概念.
2．掌握平面的基本性质，即公理1，2，3.
3. 掌握公理4和等角定理，并会应用它们解决问题.
4. 培养和发展学生的空间想像能力、运用图形语言进行交流的能力、以及几何直观能力.
5．通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念和结论，体会蕴涵在其中的思想方法.
二、设计思路
1．本节先给出两幅实物图片，旨在激发学生学习空间图形的兴趣，然后引入最简单的几何体――长方体模型，有关点、线、面用彩色来突出，让学生仔细的观察，具有很强的可读性.
2．本节设计了一些实例，并给出了两幅实物图片，旨在激发学生学习的兴趣，让学生觉得四个公理确实是显而易见的.
3．设计一幅实物图片和直观图形进行对比，使学生从平面到空间理解等角定理，显得更直观、更可信.
三、教学建议
本节第一小节的主要内容：空间点与直线的位置关系的分类，空间点与平面的位置关系的分类，空间两条直线的位置关系的分类，空间直线与平面的位置关系的分类，空间平面与平面的位置关系的分类.
本节第二小节的主要内容：四个公理，等角定理.
1．本节第一小节的重点是五类位置关系的分类及其有关概念，难点是“异面直线”的理解.本节第二小节的重点是四个公理和等角定理的理解与应用，难点是四个公理和等角定理的与应用.
2．在教学空间图形基本关系的认识时，应先引导学生对“实例分析”中的长方体进行详细地观察，然后讨论8个顶点、12条棱、6个表面之间的关系.在此基础上，再进入“抽象概括”这一栏目.
3．空间点与直线、空间点与平面的位置关系，结合长方体模型和生活中的实物，学生容易理解.
4.本书中的空间两条直线指的是不重合直线.
若从两条直线是否共面的角度看，可以分为两类：
（1）同一平面内：平行直线、相交直线；
（2）不在同一平面内：异面直线.
若从有无公共点的角度看，也可以分为两类：
（1）有只有一个公共点：相交直线；
（2）没有公共点：平行直线、异面直线.
5．异面直线的理解是本节的难点，教学中应该结合正反两方面的例子，深刻理解“两条直线不同在任何一个平面内”的含义.这两条直线构成一个空间图形，绝不是平面图形.在学习了下一小节的公理2后，教师可以结合“思考交流”栏目的三个问题，向学生指出：能够同在一个平面内的两条直线有且只有平行和相交这两种情况，所以，两条直线是异面直线等价于这两条直线既不平行也不相交.
6．在画异面直线时，一般要以平面为衬托，这样显示得更直观和清楚（如图1）.不然，就容易画成
两条直线相交的情况（如图2）.。