浙江省高三数学理一轮复习专题突破训练：复数、推理与证明(含答案解析)
(完整版)高考数学第一轮复习总结精品试题：复数(含全部习题答案),推荐文档
2(1
i ).当实数 m 取什么值时,复数 z 是:
（1）零；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的
复数。
2 / 13
高考数学第一轮复习总结精品试题：复数(含全部习题答案)
16、计算[(1
2i)
i100
1 (
i
)5 ]2
1 (
i )20
1 i
2
17． 设 z 4m 1 (2m 1)i, m R，若 z 对应的点在直线 x 3y 0 上。求 m 的值。
）象限。
9.复数 (a2 a 2) ( a 1 1)i (a R) 不是纯虚数，则有（ ）
A. a 0 B. a 2 C . a 0且a 2 D. a 1
10.设 i 为虚数单位，则 (1 i)4 的值为 （ ）
A．4
B.－4
C.4i
D.－4i
11.设 z C,且(1 i)z 2i （ i 为虚数单位），则 z=
；|z|=
.
2 12.复数 1 i 的实部为
，虚部为
。
13.已知复数 z 与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z =
14.设 Z1 1 i ， Z2 1 i ，复数 Z1 和 Z2 在复平面内对应点分别为 A、B，O 为原点，
则 AOB 的面积为
。
15.
m2 已知复数 z=(2+ i )
6m 1i
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
1 3i 3． ( 3 i)2 （ ）
1 3i 1 3i
1 3i 1 3i
A． 4 4 B． 4 4 C． 2 2 D． 2 2
2023届高考复习数学专项(复数及推理与证明)好题练习(附答案)
2023届高考复习数学专项（复数及推理与证明）好题练习1.若复数：：：满足(l�i)z=3+i<其中i是虚数单位），则()A.二的实部是2B.=的虚部是2iC.乞=1-2i2.已知复数z=3-4i, 则下列命题中正确的为（）A.l z l= 5B.z=3+4iC. z的虚部为-4iD.z在复平而上对应点在第四象限3.下面四个命题中的真命题为（）1A.若复数z满足-ER,则zERB.若复数z满足/ER,则zERC.若复数Z1,Z2满足z亿2ER,则z1=D.若复数zE R,则豆ER Z2D.lzl=✓S4.已知复数二满足i2k+1z=2+i,-(kE z), 则z在复平面内对应的点可能位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.设z是复数，则下列命题中的真命题是()A.若z2�o.则z是实数B.若z2<o,则z是虚数C.若z是虚数，则z2�oo.若z是纯虚数，则z2<o6.已知Z1与Z-2是共枙虚数，以下四个命题一定正确的是（）2 2A. Z l <i z2B. zi z2=z Z2C.z1+z2E Rz+l.7设复数z满足——=i,则下列说法错误的是（）A.z为纯虚数B.z的虚部为一-i2C.在复平而内，z对应的点位千第二象限D.z=-—ZtD .• —ERZ28.某大学进行自主招生测试，盂要对逻辑思维和阅读表达进行能力测试．学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示，下列叙述正确的是（ ）A ．甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前B ．乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前C ．甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前D ．甲同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前 9．在0,0a b >>的条件下，下列四个结论正确的是（ ） A ．22a b aba b+≥+B ．2a b +≤C ．22a b a b b a+≤+D ．设,,a b c 都是正数，则三个数111,,a b c b c a+++至少有一个不小于2 10．如图是国家统计局发布的2018年3月到2019年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图（注：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比），根据该折线图，下列结论正确的是（ ）A．2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨B．2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比有涨有跌C．2019年3月全国居民消费价格同比涨幅最大D．2019年3月全国居民消费价格环比变化最快参考答案1.若复数：：：满足(l�i)z=3+i<其中i是虚数单位），则()D.lzl=✓S A. 二的实部是2 B.=的虚部是2i C.乞=1-2i【参考答案】CD3 +i(3 +i)(l +i) 2 + 4i—= = = 1+2i,【答宋解析】z=l—1 2 2即二的实部是1,虚部是2'故A错误，B铅误，又亏=1—2i,121 =✓1三了-= Js'故C,D均正确故选CD2. 已知复数z=3-4i, 则下列命题中正确的为（）A.l z l= 5B.z=3+4iC. z的虚部为-4iD. z在复平面上对应点在第四象限【参考答案】ABD【答案解析】:;=3-4i, 则仁l=F五二正=5.故A正确；�=3+4i, 故B正确；二的虚部为4,故C铅误；二在复平面上对应点的坐标为(3,-4), 在第四象限，故D正确．:．命题中正确的个数为3.故选ABD.3.下而四个命题中的真命题为（）1A. 若复数z满足-E R,则zE RB.若复数z满足/E R,则zE RC. 若复数Z1,Z2满足z亿2R,则z=22D.若复数zE R,则�E R【参考答案】AD1【答案解析】若复数二满足-E R,则二E R,故命题A为真命题；复数z ＝i 满足z 2＝﹣1∈R ，则z ∉R ，故命题B 为假命题； 若复数z 1＝i ，z 2＝2i 满足z 1z 2∈R ，但z 1≠，故命题C 为假命题；若复数z ∈R ，则＝z ∈R ，故命题D 为真命题． 故选：AD ．4.已知复数z 满足212k i z i +=+，()k z ∈，则z 在复平面内对应的点可能位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【参考答案】BD【答案解析】212k i z i +=+ ，212k iz i ++∴=15i i i === ，37i i i ===-当k 为奇数时 ()2122212k i ii i z i i i i i++++∴====-+--⨯ 在复平面上对应的点为()1,2-位于第二象限； 当k 为偶数时 ()2122212k i ii i z i i i i i++++∴====-⨯ 在复平面上对应的点为()1,2-位于第四象限；故复数z 在复平面内对应的点位于第二象限或第四象限. 故选BD5．设z 是复数，则下列命题中的真命题是（ ） A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2＜0，则z 是虚数C ．若z 是虚数，则z 2≥0 D ．若z 是纯虚数，则z 2＜0 【参考答案】ABD【答案解析】设z ＝a +bi ，a ，b ∈R ，z 2＝a 2﹣b 2+2abi ， 对于A ，z 2≥0，则b ＝0，所以z 是实数，真命题；对于B ，z 2＜0，则a ＝0，且b ≠0，⇒z 是虚数；所以B 为真命题； 对于C ，z 是虚数，则b ≠0，所以z 2≥0是假命题．对于D ，z 是纯虚数，则a ＝0，b ≠0，所以z 2＜0是真命题；故选ABD．6．已知z1与z2是共轭虚数，以下四个命题一定正确的是（ ）A．z12＜|z2|2B．z1z2＝|z1z2| C．z1+z2∈R D．∈R【参考答案】BC【答案解析】解：z1与z2是共轭虚数，设z1＝a+bi，z2＝a﹣bi（a，b∈R）．z12＜|z2|2；＝a2﹣b2+2abi，复数不能比较大小，因此A不正确；z1z2＝|z1z2|＝a2+b2，B正确；z1+z2＝2a∈R，C正确；＝＝＝+i不一定是实数，因此D不一定正确．故选：BC．7.设复数z满足，则下列说法错误的是（ ）A．z为纯虚数B．z的虚部为C．在复平面内，z对应的点位于第二象限D．|z|＝【参考答案】ABC【答案解析】∵z+1＝zi，设z＝a+bi，则（a+1）+bi＝﹣b+ai，∴，解得．∴z＝．∴|z|＝，复数z的虚部为，8．某大学进行自主招生测试，需要对逻辑思维和阅读表达进行能力测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示，下列叙述正确的是（）A ．甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前B ．乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前C ．甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前D ．甲同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前 【参考答案】AC【答案解析】根据图示，可得甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前, 他的阅读表达成绩排名靠后.故选AC.9．在0,0a b >>的条件下，下列四个结论正确的是（ ）A ．22a b aba b+≥+ B ．2a b +≤C ．22a b a b b a +≤+D ．设,,a b c 都是正数，则三个数111,,a b c b c a+++至少有一个不小于2 【参考答案】ABD 【答案解析】选项A:222()4()22022()2()220,0a b ab a b ab a b a b ab a b aba b a b a b a b a b a b++--++-==∴-≥∴≥+++>+>+ ,故本选项是正确的；选项B:因为0,0a b >>,22222222()()02244a b a b a b ab a b ++++--=-=≥,所以2a b +≤,因此本选项是正确的； 选项C:222233222()()()()()a b a b ab a b a b a b a b a b b a a b b a ab ab ab +---+-+-+-+===-,因为0,0a b >>,所以22222()()()0a b b a b a a b a b a b b a ab b a+-+-+=-≤⇒+≥+,因此本选项是不正确的；选项D:根据本选项特征,用反证法来解答.假设三个数111,,a b c b c a+++至少有一个不小于2不成立,则三个数111,,a b c b c a+++都小于2,所以这三个数的和小于6,而111111()(()6a b c a b cb c a a b c+++++=+++++≥++=（当且仅当1a b c===时取等号）,显然与这三个数的和小于6矛盾,故假设不成立,即三个数111,,a b cb c a+++至少有一个不小于2,故本选项是正确的.故选：ABD10．如图是国家统计局发布的2018年3月到2019年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图（注：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比），根据该折线图，下列结论正确的是（）A．2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨B．2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比有涨有跌C．2019年3月全国居民消费价格同比涨幅最大D．2019年3月全国居民消费价格环比变化最快【参考答案】ABD【答案解析】对于选项A，从图可以看出同比涨跌幅均为正数，故A正确；对于选项B，从图可以看出环比涨跌幅有正数有负数，故B正确；对于选项C，从图可以看出同比涨幅最大的是2018年9月份和2018年10月份，故C错误；对于选项D，从图可以看出2019年3月全国居民消费价格环比变化最快，故D正确.故选ABD.。
(浙江专用)高考数学一轮复习 阶段回扣练9 导数、复数、推理与证明 理-人教版高三全册数学试题
阶段回扣练9 导数、复数、推理与证明(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题1．(2015·哈师大附中检测)设函数f (x )＝ax ln x (a ∈R ，a ≠0)，若f ′(e)＝2，则f (e)的值为( )A ．1 B.e2C ．eD ．2e解析 f ′(x )＝a ln x ＋a ，故f ′(e)＝2a ＝2，得a ＝1， 故f (x )＝x ln x ，f (e)＝e. 答案 C2．(2015·某某模拟)曲线y ＝x 2＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为( )A ．3x －y －2＝0B ．x －3y ＋2＝0C ．3x ＋y －4＝0D ．x ＋3y －4＝0解析 y ′＝2x ＋1x，故y ′|x ＝1＝3，故在点(1,1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)，化简整理得3x －y －2＝0. 答案 A3．三次函数f (x )＝mx 3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，则m 的取值X 围是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，1)C ．(－∞，0]D ．(－∞，1]解析 f ′(x )＝3mx 2－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，①x ＝0时，－1≤0恒成立，即m ∈R ；②x ≠0时，有m ≤13x 2在R 上恒成立，∵13x2>0，∴m ≤0，综上m ≤0，故选C. 答案 C4．给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③若“a ，b ∈R ，则a －b >0⇒a >b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b >0⇒a >b ”． 其中类比结论正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析 ①②正确，③错误．因为两个复数如果不全是实数，不能比较大小．答案 C5．(2015·某某一模)已知函数f(x)的导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能是( )解析由导数的图象可得原函数f(x)图象在(－∞，0)上“减”，在(0，＋∞)上先“增”后“减”，与之相符的只有D.答案 D6．设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f′(x)＞g′(x)，则当a＜x＜b时，有( ) A．f(x)＞g(x)B．f(x)＜g(x)C．f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)D．f(x)＋g(b)＞g(x)＋f(b)解析∵f′(x)－g′(x)＞0，∴(f(x)－g(x))′＞0，∴f(x)－g(x)在[a，b]上是增函数，∴当a＜x＜b时f(x)－g(x)＞f(a)－g(a)，∴f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)．答案 C7．(2014·某某模拟)已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝( ) A．－2或2 B．－9或3C．－1或1 D．－3或1解析 ∵y ′＝3x 2－3，∴当y ′＝0时，x ＝±1.则y ′，y 的变化情况如下表；x (－∞，－1)－1 (－1,1) 1 (1，＋∞)Y ′ ＋－＋ yc ＋2c －2因此，当函数图象与x 轴恰有两个公共点时，必有c ＋2＝0或c －2＝0， ∴c ＝－2或c ＝2. 答案 A8．(2014·某某模拟)若不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3对x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，4]C ．(0，＋∞) D．[4，＋∞)解析 2x ln x ≥－x 2＋ax －3，则a ≤2ln x ＋x ＋3x ，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x(x ＞0)，则h ′(x )＝x ＋3x －1x2.当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0，函数h (x )单调递减；x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，函数h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4.所以a ≤h (x )min ＝4.故a 的取值X 围是(－∞，4]． 答案 B 二、填空题9．设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝________；当n >4时，f (n )＝________(用n 表示)．解析 f (3)＝2，f (4)＝f (3)＋3＝2＋3，f (5)＝f (4)＋4＝2＋3＋4，f (6)＝f (5)＋5＝2＋3＋4＋5，猜想f (n )＝2＋3＋4＋…＋(n －1)＝n ＋1n －22(n >4)．答案 5 12(n ＋1)(n －2)10．(2014·某某三模)f (x )＝12x －14sin x －34cos x 的图象在点A (x 0，f (x 0))处的切线斜率为12，则tan 2x 0的值为________． 解析 f ′(x )＝12－14cos x ＋34sin x ，∴f ′(x 0)＝12－14cos x 0＋34sin x 0 ＝12，即3sinx 0－cos x 0＝0，∴tan x 0＝33，∴tan 2x 0＝2tan x 01－tan 2x 0＝2×331－13＝ 3. 答案311．(2014·某某模拟)设0＜a ≤1，函数f (x )＝x ＋a 2x，g (x )＝x －ln x ，若对任意的x 1，x 2∈[1，e]，都有f (x 1)≥g (x 2)成立，则实数a 的取值X 围是________．解析 f ′(x )＝1－a 2x 2＝x 2－a 2x2，当0＜a ≤1，且x ∈[1，e]时，f ′(x )＞0，∴f (x )在[1，e]上是增函数，f (x 1)min ＝f (1)＝1＋a 2，又g ′(x )＝1－1x(x ＞0)，易求g ′(x )＞0，∴g (x )在[1，e]上是增函数，g (x 2)max ＝g (e)＝e －1.由条件知只需f (x 1)min ≥g (x 2)max .即1＋a 2≥e －1.∴a 2≥e－2.即e －2≤a ≤1. 答案 [e －2，1]12．若f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，f (2)的大小关系为________．解析 函数f (x )为偶函数，因此f (－3)＝f (3)．又f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，f ′(x )<0.∴f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上是减函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (2)>f (3)＝f (－3)．答案 f (－3)<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 13．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是________．解析 依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知每组中每个“整数对”的和为n ＋1，且每组共有n 个“整数对”，这样的前n 组一共有n n ＋12个“整数对”，注意到1010＋12<60<1111＋12，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)． 答案 (5,7)14．(2015·某某模拟)已知函数f (x )＝ln x －m x(m ∈R )在区间[1，e]上取得最小值4，则m ＝________.解析 f ′(x )＝1x ＋m x 2＝x ＋mx2(x ＞0)，①当m ＞0时，f ′(x )＞0，f (x )在区间[1，e]上为增函数，f (x )有最小值f (1)＝－m ＝4，得m ＝－4，与m ＞0矛盾．②当m ＜0时，若－m ＜1，即m ＞－1，f (x )min ＝f (1)＝－m ＝4， 得m ＝－4，与m ＞－1矛盾；若－m ∈[1，e]， 即－e≤m ≤－1，f (x )min ＝f (－m )＝ln(－m )＋1＝4， 解得m ＝－e 3，与－e≤m ≤－1矛盾；若－m ＞e ， 即m ＜－e 时，f (x )min ＝f (e)＝1－me ＝4，解得m ＝－3e ，符合题意． 答案 －3e15．已知函数f (x )的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表：x －1 0 4 5 f (x )1221f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示．下列关于f (x )的命题：①函数f (x )的极大值点为0,4； ②函数f (x )在区间[0,2]上是减函数；③如果当x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当1＜a ＜2时，函数y ＝f (x )－a 有4个零点． 其中真命题的序号是________．解析 由导函数的图象得：①为真命题；②为真命题，因为在区间[0,2]上导函数为负，故原函数递减；③为假命题，当t ＝5，x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值是2；④为假命题，当1＜a ＜2时，y ＝f (x )－a 可以有2个零点，可以有3个零点，也可以有4个零点．综上，真命题只有①②. 答案 ①② 三、解答题16．(2015·某某质量检测)已知函数f (x )＝(a ＋1)x 2－2ax －2ln x .(1)求证：a ＝0时，f (x )≥1恒成立； (2)当a ∈[－2，－1]时，求f (x )的单调区间． (1)证明 a ＝0时，f (x )＝x 2－2ln x ，x ∈(0，＋∞)．f ′(x )＝2x －2x＝2x ＋1x －1x，令f ′(x )＝0，解得x ＝1(x ＝－1舍去)．当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，f (x )在(0,1)上单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(1，＋∞)上单调递增． ∴f (x )min ＝f (1)＝1.所以，∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≥1. (2)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝2[a ＋1x 2－ax －1]x，①当a ＝－1时，f ′(x )＝2x －1x，此时f (x )在(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减．②当－2＜a ＜－1时，－1＜a ＋1＜0,1＜－1a ＋1. ∵f ′(x )＝2x －1a ＋1⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1a ＋1x，∴解f ′(x )＜0得x ∈(0,1)或x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＋1，＋∞； 解f ′(x )＞0得x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，－1a ＋1. 即f (x )的单调增区间为⎝⎛⎭⎪⎫1，－1a ＋1，单调减区间为(0,1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＋1，＋∞. ③当a ＝－2时，此时f ′(x )＝－2x －12x，∴x ∈(0，＋∞)均有f ′(x )≤0，f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减，无单调增区间． 综上，a ＝－1时，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)；－2＜a ＜－1时，f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫1，－1a ＋1，单调递减区间为(0,1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＋1，＋∞； a ＝－2时，f (x )的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调增区间．17．(2015·某某模拟)已知数列{a n }满足：a 1＝12，31＋a n ＋11－a n ＝21＋a n1－a n ＋1，a n a n ＋1<0(n ≥1)，数列{b n }满足：b n ＝a 2n ＋1－a 2n (n ≥1)．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)证明：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列． (1)解 由题意可知，1－a 2n ＋1＝23(1－a 2n )．令＝1－a 2n ，则＋1＝23.又c 1＝1－a 21＝34，则数列{}是首项为c 1＝34，公比为23的等比数列，即＝34·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，故1－a 2n ＝34·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1⇒a 2n ＝1－34·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1.又a 1＝12>0.a n a n ＋1<0，故a n ＝(－1)n －11－34·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1. b n ＝a 2n ＋1－a 2n＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－34·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－34·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1 ＝14·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1. (2)证明 用反证法证明．假设数列{b n }存在三项b r ，b s ，b t (r <s <t )按某种顺序成等差数列， 由于数列{b n }是首项为14，公比为23的等比数列，于是有b r >b s >b t ，则只能有2b s ＝b r ＋b t 成立． ∴2·14⎝ ⎛⎭⎪⎫23s －1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫23r －1＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫23t －1，两边同乘以3t －121－r，化简得3t －r＋2t －r＝2·2s －r 3t －s.由于r <s <t ，∴上式左边为奇数，右边为偶数， 故上式不可能成立，导致矛盾．故数列{b n }中任意三项不可能成等差数列．18．等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x＋r (b >0，且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上． (1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)．证明：对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立． (1)解 由题意，S n ＝b n＋r ， 当n ≥2时，S n －1＝bn －1＋r ，所以a n ＝S n －S n －1＝bn －1(b －1)，由于b >0，且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列，又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)，a 2a 1＝b ，即b b －1b ＋r＝b ，解得r ＝－1.(2)证明 由(1)知a n ＝2n －1，因此b n ＝2n (n ∈N *)，所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n>n ＋1. ①当n ＝1时，左式＝32，右式＝2，左式>右式，所以结论成立．②假设n ＝k 时结论成立，即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k>k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋32k ＋1>k ＋1·2k ＋32k ＋1＝2k ＋32k ＋1，要证当n ＝k ＋1时结论成立， 只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥k ＋1k ＋2，由均值不等式可得 2k ＋32＝k ＋1＋k ＋22≥k ＋1k ＋2成立，故2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立，所以，当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知，n ∈N *时， 不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立． 19．(2014·卷)已知函数f (x )＝x cos x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求证：f (x )≤0；(2)若a ＜sin x x ＜b 对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立，求a 的最大值与b 的最小值．(1)证明 由f (x )＝x cos x －sin x ，得f ′(x )＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .因为在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上f ′(x )＝－x sin x ＜0，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减．从而f (x )≤f (0)＝0.(2)解 当x ＞0时，“sin x x ＞a ”等价于“sin x －ax ＞0”；“sin xx＜b ”等价于“sinx －bx ＜0”．令g (x )＝sin x －cx ，则g ′(x )＝cos x －c .当c ≤0时，g (x )＞0对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立．当c ≥1时，因为对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，g ′(x )＝cos x －c ＜0，所以g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减．从而g (x )＜g (0)＝0对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立．当0＜c ＜1时，存在唯一的x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2使得 g ′(x 0)＝cos x 0－c ＝0.于是，当x 变化时，g (x )，g ′(x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2的变化情况如下：x (0，x 0) x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，π2g ′(x ) ＋0 － g (x )极大值因为g (x 00)＞0对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立”当且仅当g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1－π2c ≥0，即0＜c ≤2π.综上所述，当且仅当c ≤2π时，g (x )＞0对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立；当且仅当c ≥1时，g (x )＜0对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立．所以，若a ＜sin x x ＜b 对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1.20．(2014·某某卷)已知函数f (x )＝x cos x －sin x ＋1(x ＞0)．(1)求f (x )的单调区间；(2)记x i 为f (x )的从小到大的第i (i ∈N *)个零点，证明：对一切n ∈N *，有1x 21＋1x 22＋…＋1x 2n ＜23. (1)解 f ′(x )＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . 令f ′(x )＝0，得x ＝k π(k ∈N *)．当x ∈(2k π，(2k ＋1)π)(k ∈N )时，sin x ＞0，此时f ′(x )＜0. 当x ∈((2k ＋1)π，(2k ＋2)π)(k ∈N )时，sin x ＜0，此时f ′(x )＞0.故f (x )的单调递减区间为(2k π，(2k ＋1)π)(k ∈N )，单调递增区间为((2k ＋1)π，(2k ＋2)π)(k ∈N )．(2)证明 由(1)知，f (x )在区间(0，π)上单调递减，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，故x 1＝π2. 当n ∈N *时，因为f (n π)f ((n ＋1)π)＝[(－1)n n π＋1]·[(－1)n ＋1(n ＋1)π＋1]＜0，且函数f (x )的图象是连续不断的，所以f (x )在区间(n π，(n ＋1)π)内至少存在一个零点．又f (x )在区间(n π，(n ＋1)π)上是单调的，故n π＜x n ＋1＜(n ＋1)π. 因此当n ＝1时，1x 21＝4π2＜23；当n ＝2时，1x 21＋1x 22＜1π2(4＋1)＜23；当n ≥3时，1x 21＋1x 22＋…＋1x 2n ＜1π2[4＋1＋122＋…＋1n －12]＜1π2[5＋11×2＋…＋1n －2n －1] ＝1π2[5＋(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －2－1n －1)] ＝1π2(6－1n －1)＜6π2＜23. 综上所述，对一切n ∈N *，1x 21＋1x 22＋…＋1x 2n ＜23.。
届数学一轮复习第十二章推理与证明算法复数第三节算法初步学案理含解析
第三节算法初步［最新考纲］［考情分析]［核心素养］1.了解算法的含义，了解算法的思想。
2.理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构.3。
理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义。
依据程序框图直接得出结论，填写部分内容以及程序框图与其他知识交汇是2021年高考考查的热点，题型为选择题或填空题，分值为5分.1.逻辑推理2。
数学运算‖知识梳理‖1．算法(1）算法通常是指按照错误!一定规则解决某一类问题的错误!明确和错误!有限的步骤．（2）应用：算法通常可以编成计算机错误!程序，让计算机执行并解决问题．2．程序框图定义：程序框图又称流程图，是一种用5程序框、流程线及6文字说明来表示算法的图形．3．三种基本逻辑结构名称内容顺序结构条件结构循环结构定义由若干个错误!依次执行的步骤组成,这是任何一个算法都离不开的错误!基本结构算法的流程根据9条件是否成立有不同的流向，条件结构就是处理这种过程的结构从某处开始，按照一定的条件错误!反复执行某些步骤的情况，反复执行的步骤称为错误!循环体程序框图‖基础自测‖一、疑误辨析1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√"或“×”)．(1)算法的每一步都有确定的意义,且可以无限地运算．()（2）一个程序框图一定包含顺序结构，也包含条件结构和循环结构．(）（3）一个循环结构一定包含条件结构．（)(4)当型循环是给定条件不成立时，执行循环体，反复进行，直到条件成立为止．（)答案:（1）×(2)×（3)√(4)×二、走进教材2．（必修3P25例5改编）给出如图程序框图,其功能是(）A．求a－b的值B．求b－a的值C．求|a－b｜的值D．以上都不对答案:C3．(必修3P33B3改编)执行如图所示的程序框图，若输出的S 为4,则输入的x应为（)A．－2 B．16C．－2或8 D．－2或16答案：D三、易错自纠4．如图给出的是计算错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是(）A．i<50? B．i>50？C．i〈25？D．i>25?解析：选B因为该循环体需要运行50次，i的初始值是1,间隔是1，所以i＝50时不满足判断框内的条件，而i＝51时满足判断框内条件,所以判断框内的条件可以填入i>50？故选B．5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s的值等于（)A．－3 B．－10C．0 D．－2解析：选A第一次循环：k＝0＋1＝1,满足k<4，s＝2×1－1＝1；第二次循环：k＝1＋1＝2，满足k<4,s＝2×1－2＝0;第三次循环：k＝2＋1＝3,满足k<4，s＝2×0－3＝－3;第四次循环：k ＝3＋1＝4,不满足k<4,故输出的s＝－3.故选A．错误!｜题组突破|1．(2019年全国卷Ⅲ）执行如图所示的程序框图，如果输入的ε为0。
高三数学一轮复习推理与证明、算法、复数知识点突破训练带答案解析
第十二章| 推理与证明、算法、复数 第一节合情推理与演绎推理突破点(一) 合情推理基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 类型 定义特点归纳推理 根据某类事物的部分对象具有某种特征，推出这类事物的全部对象都具有这种特征的推理 由部分到整体、由个别到一般类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理由特殊到特殊考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”归纳推理运用归纳推理时的一般步骤(1)通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)； (2)把这种相似性推广到一个明确表述的一般命题(猜想)； (3)对所得出的一般性命题进行检验． 类型(一) 与数字有关的推理 [例1] 给出以下数对序列： (1,1) (1,2)(2,1) (1,3)(2,2)(3,1) (1,4)(2,3)(3,2)(4,1) ……记第i 行的第 j 个数对为a ij ，如a 43＝(3,2)，则a nm ＝( )本节主要包括2个知识点： 1.合情推理； 2.演绎推理.A ．(m ，n －m ＋1)B ．(m －1，n －m )C ．(m －1，n －m ＋1)D ．(m ，n －m )[解析] 由前4行的特点，归纳可得：若a nm ＝(a ，b )，则a ＝m ，b ＝n －m ＋1，∴a nm＝(m ，n －m ＋1)．[答案] A [易错提醒]解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．类型(二) 与式子有关的推理[例2] (1)(2016·山东高考)观察下列等式：⎝⎛⎭⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π3－2＝43×1×2； ⎝⎛⎭⎫sin π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝⎛⎭⎫sin π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝⎛⎭⎫sin π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …… 照此规律，⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________.(2)已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x3＋27x3≥4，…，类比得x ＋a x n ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝________. [解析] (1)观察前4个等式，由归纳推理可知⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝43×n ×(n ＋1)＝4n (n ＋1)3.(2)第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝11＝1；第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝22＝4；第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33＝27，归纳可知a ＝n n .[答案] (1)4n (n ＋1)3 (2)n n[方法技巧]与式子有关的推理类型及解法(1)与等式有关的推理．观察每个等式的特点，找出等式左右两侧的规律及符号后可解． (2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．类型(三)与图形有关的推理[例3]某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为()A．21 B．34 C．52 D．55[解析]因为2＝1＋1,3＝2＋1,5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55.[答案] D[方法技巧]与图形有关的推理的解法与图形变化相关的归纳推理，解决的关键是抓住相邻图形之间的关系，合理利用特殊图形，找到其中的变化规律，得出结论，可用赋值检验法验证其真伪性．类比推理1．类比推理的应用一般分为类比定义、类比性质和类比方法，常用技巧如下：类比定义在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解类比性质从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键类比方法有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移2．平面中常见的元素与空间中元素的类比：平面点线圆三角形角面积周长…空间线面球三棱锥二面角体积表面积…[例4]如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝a，CD＝b(a>b)．若EF∥AB，EF到CD与AB的距离之比为m∶n，则可推算出：EF＝ma＋nbm＋n.用类比的方法，推想出下面问题的结果．在上面的梯形ABCD中，分别延长梯形的两腰AD和BC交于O点，设△OAB，△ODC的面积分别为S1，S2，则△OEF的面积S0与S1，S2的关系是()A ．S 0＝mS 1＋nS 2m ＋nB ．S 0＝nS 1＋mS 2m ＋nC.S 0＝m S 1＋n S 2m ＋nD.S 0＝n S 1＋m S 2m ＋n[解析] 在平面几何中类比几何性质时，一般是由平面几何中点的性质类比推理线的性质；由平面几何中线段的性质类比推理面积的性质．故由EF ＝ma ＋nbm ＋n 类比到关于△OEF 的面积S 0与S 1，S 2的关系是S 0＝m S 1＋n S 2m ＋n.[答案] C [方法技巧]类比推理的步骤和方法(1)类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为： ①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)． (2)类比推理的关键是找到合适的类比对象．平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论．1．[考点二]由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a·b ＝b·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a·b )·c ＝a·(b·c )”；④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a·p ＝x·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”； ⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a·c b·c ＝ab”．以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选B ①②正确，③④⑤⑥错误．2．[考点二]在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则S1S2＝14，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P-ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则V1V2＝()A.18 B.19 C.164 D.127解析：选D正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V1V2＝127.3．[考点一·类型(一)]两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是()窗口1 2过道34 5窗口67 89101112 131415……………A．48,49 B．62,63 C．75,76 D．84,85解析：选D由已知图形中座位的排序规律可知，被5除余1的数和能被5整除的座位号靠窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析选项中的4组座位号知，A、B两组座位号都不靠窗，C中两个座位没有连在一起，只有D符合条件．4．[考点一·类型(二)]设n为正整数，f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n，计算得f(2)＝32，f(4)>2，f(8)>52，f(16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．解析：∵f(21)＝32，f(22)>2＝42，f(23)>52，f(24)>62，∴归纳得f(2n)≥n＋22(n∈N*)．答案：f(2n)≥n＋22(n∈N*)5．[考点一·类型(三)]蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数．则f(4)＝________，f(n)＝________.解析：因为f(1)＝1，f(2)＝7＝1＋6，f(3)＝19＝1＋6＋12，所以f(4)＝1＋6＋12＋18＝37，所以f(n)＝1＋6＋12＋18＋…＋6(n－1)＝3n2－3n＋1.答案：373n2－3n＋1突破点(二) 演绎推理基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．(2)模式：“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断． (3)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”演绎推理[典例] 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ∈N *)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .[证明] (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )， 即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，(小前提)故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义)(2)由(1)可知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列，(大前提)所以S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， 即S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) 所以对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)[方法技巧]演绎推理的推证规则(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略，本例中，等比数列的定义在解题中是大前提，由于它是显然的，因此省略不写．(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．1．已知函数f (x )＝－aa x ＋a(a >0，且a ≠1)．(1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫12，－12对称； (2)求f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)的值．解：(1)证明：函数f (x )的定义域为全体实数，任取一点(x ，y )，它关于点⎝⎛⎭⎫12，－12对称的点的坐标为(1－x ，－1－y )．(大前提)由已知y ＝－aa x ＋a，则－1－y ＝－1＋a a x ＋a ＝－a xa x ＋a，f (1－x )＝－a a 1－x ＋a ＝－a a a x ＋a＝－a ·a x a ＋a ·a x ＝－a xa x＋a ，(小前提) ∴－1－y ＝f (1－x )，即函数y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫12，－12对称．(结论) (2)由(1)知－1－f (x )＝f (1－x )， 即f (x )＋f (1－x )＝－1.∴f (－2)＋f (3)＝－1，f (－1)＋f (2)＝－1，f (0)＋f (1)＝－1. 故f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝－3.2．已知函数y ＝f (x )满足：对任意a ，b ∈R ，a ≠b ，都有af (a )＋bf (b )>af (b )＋bf (a )，试证明：f (x )为R 上的单调增函数．证明：设任意x 1，x 2∈R ，取x 1<x 2， 则由题意得x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，所以x 1[f (x 1)－f (x 2)]＋x 2[f (x 2)－f (x 1)]>0，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0， 因为x 1<x 2，即x 2－x 1>0，所以f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)．(小前提) 所以y ＝f (x )为R 上的单调增函数．(结论)[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1．(2016·全国甲卷)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．解析：由丙所言可能有两种情况．一种是丙持有“1和2”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和3”，符合甲所言情况；另一种是丙持有“1和3”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和2”，不符合甲所言情况．故甲持有“1和3”．答案：1和32．(2014·新课标全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三个去过同一城市． 由此判断乙去过的城市为________．解析：由于甲、乙、丙三人去过同一城市，而甲没有去过B 城市，乙没有去过C 城市，因此三人去过的同一城市应为A ，而甲去过的城市比乙多，但没去过B 城市，所以甲去过A ，C 城市，乙去过的城市应为A.答案：A[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．(1)已知a 是三角形一边的长，h 是该边上的高，则三角形的面积是12ah ，如果把扇形的弧长l ，半径r 分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为12lr ；(2)由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2，则(1)(2)两个推理过程分别属于( )A ．类比推理、归纳推理B ．类比推理、演绎推理C ．归纳推理、类比推理D ．归纳推理、演绎推理解析：选A (1)由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处，此种推理为类比推理；(2)由特殊到一般，此种推理为归纳推理，故选A.2．“因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提)，而y ＝⎝⎛⎭⎫13x 是指数函数(小前提)，所以y ＝⎝⎛⎭⎫13x是增函数(结论)”，上面推理的错误在于( ) A ．大前提错导致结论错 B ．小前提错导致结论错 C ．推理形式错导致结论错D．大前提和小前提都错导致结论错解析：选A y＝a x是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错误．3．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．121 B．123 C．231 D．211解析：选B令a n＝a n＋b n，则a1＝1，a2＝3，a3＝4，a4＝7，…，得a n＋2＝a n＋a n＋1，从而a6＝18，a7＝29，a8＝47，a9＝76，a10＝123.4．下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是________．解析：由题图知第1个图形的小正方形个数为1，第2个图形的小正方形个数为1＋2，第3个图形的小正方形个数为1＋2＋3，第4个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋4，…，则第n个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2.答案：n(n＋1)25．在平面几何中：△ABC中∠C的角平分线CE分AB所成线段的比为ACBC＝AEBE.把这个结论类比到空间：在三棱锥A-BCD中(如图)，DEC平分二面角A-CD-B且与AB相交于E，则得到类比的结论是_____________________．解析：由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得AEEB＝S△ACDS△BCD.答案：AEEB＝S△ACDS△BCD[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．给出下面类比推理(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋b i＝c＋d i⇒a＝c，b＝d”类比推出“a，b，c，d∈Q，则a＋b2＝c＋d2⇒a＝c，b＝d”；③“a ，b ∈R ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”； ④“若x ∈R ，则|x |＜1⇒－1＜x ＜1”类比推出“若z ∈C ，则|z |＜1⇒－1＜z ＜1”． 其中类比结论正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 类比结论正确的有①②.复数不能比较大小，③④错误．2．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是( )A ．(7,5)B ．(5,7)C ．(2,10)D ．(10,1)解析：选B 依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n 组中每个“整数对”的和均为n ＋1，且第n 组共有n 个“整数对”，这样的前n 组一共有n (n ＋1)2个“整数对”，注意到10×(10＋1)2＜60＜11×(11＋1)2，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)．3．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125，……，则52 016的末四位数字为( )A ．3 125B ．5 625C ．0 625D ．8 125解析：选C 55＝3 125 ,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125，……，可得59与55的后四位数字相同，由此可归纳出5m＋4k与5m (k ∈N *，m ＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2 016＝4×502＋8，所以52 016与58的后四位数字相同，为0 625，故选C.4．若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }⎝⎛⎭⎫b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝ n c n 1＋c n 2＋…＋c n nnD ．d n ＝n c 1·c 2·…·c n解析：选D 若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∴b n ＝a 1＋(n －1)2d ＝d 2n ＋a 1－d 2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n 1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·q n (n －1)2，∴d n ＝n c 1·c 2·…·c n ＝c 1·q n －12，即{d n }为等比数列，故选D. 5．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A ．289B ．1 024C ．1 225D ．1 378解析：选C 观察三角形数：1,3,6,10，…，记该数列为{a n }，则a 1＝1，a 2＝a 1＋2，a 3＝a 2＋3，…a n ＝a n －1＋n .∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n －1)＋(1＋2＋3＋…＋n )，∴a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，观察正方形数：1,4,9,16，…，记该数列为{b n }，则b n ＝n 2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n 都为正整数的只有 1 225.6．某市为了缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有A ，B ，C ，D ，E 五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E 车周四限行，B 车昨天限行，从今天算起，A ，C 两车连续四天都能上路行驶，E 车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是( )A ．今天是周六B ．今天是周四C ．A 车周三限行D ．C 车周五限行解析：选B 因为每天至少有四辆车可以上路行驶，E 车明天可以上路，E 车周四限行，所以今天不是周三；因为B 车昨天限行，所以今天不是周一，也不是周日；因为A ，C 两车连续四天都能上路行驶，所以今天不是周五，周二和周六，所以今天是周四，选B.二、填空题7．对于实数x ，[x ]表示不超过x 的最大整数，观察下列等式： [ 1 ]＋[ 2 ]＋[ 3 ]＝3，[ 4 ]＋[ 5 ]＋[ 6 ]＋[7 ]＋[8 ]＝10，[9 ]＋[10 ]＋[11 ]＋[12 ]＋[13 ]＋[14 ]＋[15 ]＝21， ……按照此规律第n 个等式的等号右边的结果为________．解析：因为[ 1 ]＋[ 2 ]＋[ 3 ]＝1×3，[ 4 ]＋[ 5 ]＋[ 6 ]＋[7 ]＋[8 ]＝2×5，[9 ]＋[10 ]＋[11 ]＋[12 ]＋[13 ]＋[14 ]＋[15 ]＝3×7，……，以此类推，第n 个等式的等号右边的结果为n (2n ＋1)，即2n 2＋n .答案：2n 2＋n8．如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .若y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．解析：由题意知，凸函数满足f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，又y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin A ＋B ＋C 3＝3sin π3＝332.答案：3329．设函数f (x )＝xx ＋2(x >0)，观察： f 1(x )＝f (x )＝xx ＋2， f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x3x ＋4， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x7x ＋8， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________.解析：根据题意知，各式中分子都是x ，分母中的常数项依次是2,4,8,16，…，可知f n (x )的分母中常数项为2n ，分母中x 的系数为2n －1，故f n (x )＝f (f n －1(x ))＝x(2n －1)x ＋2n.答案：x(2n－1)x ＋2n10.如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1,0)处标5，点(－1,1)处标6，点(0,1)处标7，依此类推，则标签为2 0172的格点的坐标为________．解析：因为点(1,0)处标1＝12，点(2,1)处标9＝32，点(3,2)处标25＝52，点(4,3)处标49＝72，依此类推得点(1 009，1 008)处标2 0172.答案：(1 009,1 008)三、解答题11．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：1AD2＝1AB2＋1AC2.在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．解：如图所示，由射影定理AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴1AD2＝1BD·DC＝BC2BD·BC·DC·BC＝BC2 AB2·AC2.又BC2＝AB2＋AC2，∴1AD2＝AB2＋AC2AB2·AC2＝1AB2＋1AC2.猜想，在四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.证明：如图，连接BE并延长交CD于F，连接AF. ∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，∴AB⊥平面ACD.∵AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴1AE2＝1AB2＋1AF2.∵AB⊥平面ACD，∴AB⊥CD.∵AE⊥平面BCD，∴AE⊥CD.又AB∩AE＝A，∴CD⊥平面ABF，∴CD⊥AF.∴在Rt△ACD中1AF2＝1AC2＋1AD2，∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.12．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.第二节直接证明与间接证明、数学归纳法突破点(一)直接证明基础联通抓主干知识的“源”与“流”内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止思维过程由因导果执果索因框图表示P(已知)⇒Q1→Q1⇒Q2→…→Q n⇒Q(结论)Q(结论)⇐P1→P1⇐P2→…→得到一个明显成立的条件书写格式因为…，所以…或由…，得…要证…，只需证…，即证…考点贯通抓高考命题的“形”与“神”综合法综合法是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围是：(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式；(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型．[例1](2017·武汉模拟)已知函数f(x)＝(λx＋1)ln x－x＋1.(1)若λ＝0，求f(x)的最大值；(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋y＋1＝0垂直，证明：f(x)x－1>0. [解](1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．当λ＝0时，f(x)＝ln x－x＋1.则f′(x)＝1x－1，令f′(x)＝0，解得x＝1.本节主要包括3个知识点：1.直接证明；2.间接证明；3.数学归纳法.当0<x <1时，f ′(x )>0，故f (x )在(0,1)上是增函数； 当x >1时，f ′(x )<0，故f (x )在(1，＋∞)上是减函数． 故f (x )在x ＝1处取得最大值f (1)＝0.(2)证明：由题可得，f ′(x )＝λln x ＋λx ＋1x －1. 由题设条件，得f ′(1)＝1，即λ＝1. ∴f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1.由(1)知，ln x －x ＋1<0(x >0，且x ≠1)．当0<x <1时，x －1<0，f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1＝x ln x ＋(ln x －x ＋1)<0，∴f (x )x －1>0.当x >1时，x －1>0，f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1＝ln x ＋(x ln x －x ＋1)＝ln x －x ⎝⎛⎭⎫ln 1x －1x ＋1>0， ∴f (x )x －1>0. 综上可知，f (x )x －1>0.[方法技巧] 综合法证题的思路分析法分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中需要用到的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不易推导时，常考虑用分析法．[例2] 已知a >0，证明 a 2＋1a2－2≥a ＋1a －2.[证明] 要证a 2＋1a2－2≥a ＋1a －2，只需证a 2＋1a 2≥⎝⎛⎭⎫a ＋1a －(2－2)． 因为a >0，所以⎝⎛⎭⎫a ＋1a －(2－2)>0， 所以只需证⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 22≥⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋1a －(2－2)2， 即2(2－2)⎝⎛⎭⎫a ＋1a ≥8－42，只需证a ＋1a≥2. 因为a >0，a ＋1a ≥2显然成立当且仅当a ＝1a ＝1时，等号成立，所以要证的不等式成立．[方法技巧]分析法证题的思路(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．1．[考点一]命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的证明：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”过程应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．间接证明法解析：选B 因为证明过程是“从左向右”，即由条件逐步推向结论，故选B. 2．[考点一](2017·广州调研)若a ，b ，c 为实数，且a ＜b ＜0，则下列命题正确的是( ) A ．ac 2＜bc 2 B ．a 2＞ab ＞b 2 C.1a ＜1bD.b a ＞a b解析：选B a 2－ab ＝a (a －b )， ∵a ＜b ＜0，∴a －b ＜0，∴a (a －b )>0，即a 2－ab ＞0，∴a 2＞ab .① 又∵ab －b 2＝b (a －b )＞0，∴ab ＞b 2，② 由①②得a 2＞ab ＞b 2.3．[考点一]已知实数a 1，a 2，…，a 2 017满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 017＝0，且|a 1－2a 2|＝|a 2－2a 3|＝…＝|a 2 017－2a 1|，证明：a 1＝a 2＝a 3＝…＝a 2 017＝0.证明：根据条件知：(a 1－2a 2)＋(a 2－2a 3)＋(a 3－2a 4)＋…＋(a 2 017－2a 1)＝－(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 017)＝0.①另一方面，令|a 1－2a 2|＝|a 2－2a 3|＝|a 3－2a 4|＝…＝|a 2 017－2a 1|＝m ， 则a 1－2a 2，a 2－2a 3，a 3－2a 4，…，a 2 017－2a 1中每个数或为m 或为－m . 设其中有k 个m ，(2 017－k )个－m ，则(a 1－2a 2)＋(a 2－2a 3)＋(a 3－2a 4)＋…＋(a 2 017－2a 1)＝k ×m ＋(2 017－k )×(－m )＝(2k －2 017)m .②由①②知：(2k －2 017)m ＝0.③而2k －2 017为奇数，不可能为0，所以m ＝0.于是知：a 1＝2a 2，a 2＝2a 3，a 3＝2a 4，…，a 2 016＝2a 2 017，a 2 017＝2a 1. 所以a 1＝22 017·a 1，即得a 1＝0.从而a 1＝a 2＝a 3＝…＝a 2 017＝0.命题得证．4．[考点二]已知m >0，a ，b ∈R ，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m .证明：因为m >0，所以1＋m >0.所以要证原不等式成立，只需证(a ＋mb )2≤(1＋m )·(a 2＋mb 2)，即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0，即证m (a －b )2≥0，即证(a －b )2≥0，而(a －b )2≥0显然成立，故原不等式得证．突破点(二) 间接证明1．反证法假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．2．用反证法证明问题的一般步骤至多有n 个至少有(n ＋1)个都是 不都是 对任意x 成立 存在某个x 不成立 对任意x 不成立 存在某个x 成立 p 或q 綈p 且綈q p 且q 綈p 或綈q 不都是都是考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”证明否定性命题[例1] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：数列{a n }中任意三项不可能按原来顺序成等差数列． [解] (1)当n ＝1时，a 1＋S 1＝2a 1＝2，则a 1＝1. 又a n ＋S n ＝2， 所以a n ＋1＋S n ＋1＝2， 两式相减得a n ＋1＝12a n ，所以{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，所以a n ＝12n －1.(2)证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为a p ＋1，a q ＋1，a r ＋1(p <q <r ，且p ，q ，r ∈N *)，则2·12q ＝12p ＋12r ，所以2·2r －q ＝2r －p ＋1.(*) 又因为p <q <r ， 所以r －q ，r －p ∈N *.所以(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立． 所以假设不成立，原命题得证．证明存在性问题[例2] 若f (x )的定义域为[a ，b ]，值域为[a ，b ](a <b )，则称函数f (x )是[a ，b ]上的“四维光军”函数．(1)设g (x )＝12x 2－x ＋32是[1，b ]上的“四维光军”函数，求常数b 的值；(2)是否存在常数a ，b (a >－2)，使函数h (x )＝1x ＋2是区间[a ，b ]上的“四维光军”函数？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．[解] (1)由已知得g (x )＝12(x －1)2＋1，其图象的对称轴为x ＝1，区间[1，b ]在对称轴的右边，所以函数在区间[1，b ]上单调递增．由“四维光军”函数的定义可知，g (1)＝1，g (b )＝b ， 即12b 2－b ＋32＝b ，解得b ＝1或b ＝3. 因为b >1，所以b ＝3. (2)假设函数h (x )＝1x ＋2在区间[a ，b ](a >－2)上是“四维光军”函数， 因为h (x )＝1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递减， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧h (a )＝b ，h (b )＝a ，即⎩⎨⎧1a ＋2＝b ，1b ＋2＝a ，解得a ＝b ，这与已知矛盾．故不存在．证明“至多”“至少”“唯一”命题[例3] 已知f (x )＝ln(1＋e x )－mx (x ∈R)，对于给定区间(a ，b )，存在x 0∈(a ，b )，使得f (b )－f (a )b －a＝f ′(x 0)成立，求证：x 0唯一． [证明] 假设存在x ′0，x 0∈(a ，b )，且x ′0≠x 0，使得f (b )－f (a )b －a ＝f ′(x 0)，f (b )－f (a )b －a＝f ′(x ′0)成立，即f ′(x 0)＝f ′(x ′0)．因为f ′(x )＝e x1＋e x－m ，记g (x )＝f ′(x )，所以g ′(x )＝e x(1＋e x )2>0，f ′(x )是(a ，b )上的单调递增函数．所以x 0＝x ′0，这与x ′0≠x 0矛盾，所以x0是唯一的．1．[考点三]用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0 至少有一个实根”时，要作的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0 至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0 恰好有两个实根解析：选A用反证法证明命题时，应先假设结论的否定成立，而至少有一个实根的否定是没有实根，故作的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．2．[考点一、三]若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c －a)2≠0；②a>b与a<b及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3解析：选C由于a，b，c不全相等，则a－b，b－c，c－a中至少有一个不为0，故①正确；②显然正确；令a＝2，b＝3，c＝5，满足a≠c，b≠c，a≠b，故③错误．3．[考点三]已知x∈R，a＝x2＋12，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明a，b，c至少有一个不小于1.证明：假设a，b，c均小于1，即a<1，b<1，c<1，则有a＋b＋c<3，而a＋b＋c＝x2＋12＋2－x＋x2－x＋1＝2x2－2x＋12＋3＝2⎝⎛⎭⎫x－122＋3≥3，两者矛盾，所以假设不成立，故a，b，c至少有一个不小于1.4．[考点一]设{a n}是公比为q的等比数列．(1)推导{a n}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明数列{a n＋1}不是等比数列．解：(1)设{a n}的前n项和为S n，当q＝1时，S n＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；当q≠1时，S n＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1q n－1，①qS n＝a1q＋a1q2＋…＋a1q n，②①－②得，(1－q)S n＝a1－a1q n，∴S n＝a1(1－q n)1－q，∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧na1，q＝1，a1(1－q n)1－q，q≠1.(2)证明：假设数列{a n＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，(a k＋1＋1)2＝(a k＋1)(a k＋2＋1)，a2k＋1＋2a k＋1＋1＝a k a k＋2＋a k＋a k＋2＋1，a21q2k＋2a1q k＝a1q k－1·a1q k＋1＋a1q k－1＋a1q k＋1.∵a1≠0，∴2q k＝q k－1＋q k＋1.∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，∴q＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故数列{a n＋1}不是等比数列．5．[考点二]已知四棱锥S-ABCD中，底面是边长为1的正方形，又SB＝SD＝2，SA ＝1.(1)求证：SA⊥平面ABCD；(2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD？若存在，确定F点的位置；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：由已知得SA2＋AD2＝SD2，故SA⊥AD.同理SA⊥AB.又AB∩AD＝A，所以SA⊥平面ABCD.(2)假设在棱SC上存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD.∵BC∥AD，BC⊄平面SAD.∴BC∥平面SAD.而BC∩BF＝B，∴平面FBC∥平面SAD.这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，∴假设不成立．故在棱SC上不存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD.突破点(三)数学归纳法基础联通抓主干知识的“源”与“流”一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”用数学归纳法证明等式[例1] 设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)．求证：f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N *)．[证明] (1)当n ＝2时，左边＝f (1)＝1，右边＝2⎝⎛⎭⎫1＋12－1＝1，左边＝右边，等式成立． (2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，结论成立，即 f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＝k [f (k )－1]， 那么，当n ＝k ＋1时，f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＋f (k )＝k [f (k )－1]＋f (k ) ＝(k ＋1)f (k )－k ＝(k ＋1)⎣⎡⎦⎤f (k ＋1)－1k ＋1－k＝(k ＋1)f (k ＋1)－(k ＋1)＝(k ＋1)[f (k ＋1)－1]， ∴当n ＝k ＋1时结论仍然成立．由(1)(2)可知：f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N *)． [方法技巧]用数学归纳法证明等式的策略(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值n 0的值．(2)由n ＝k 到n ＝k ＋1时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用n ＝k 时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．用数学归纳法证明不等式[例2] 用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n (n ∈N *，n ≥2)．[证明] (1)当n ＝2时，1＋122＝54<2－12＝32，命题成立．(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时命题成立， 即1＋122＋132＋ (1)2<2－1k .当n ＝k ＋1时，1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2<2－1k ＋1(k ＋1)2<2－1k ＋1k (k ＋1)＝2－1k ＋1k －1k ＋1＝2－1k ＋1命题成立． 由(1)(2)知原不等式在n ∈N *，n ≥2时均成立．[方法技巧]用数学归纳法证明不等式的策略(1)当遇到与正整数n 有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 成立，推证n ＝k ＋1时也成立，用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明．归纳—猜想—证明[例3] 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a n 2＋1a n －1，且a n ＞0，n ∈N *.(1)求a 1，a 2，a 3，并猜想{a n }的通项公式； (2)证明通项公式的正确性．[解] (1)当n ＝1时，由已知得a 1＝a 12＋1a 1－1，即a 21＋2a 1－2＝0.∴a 1＝3－1(a 1＞0)．当n ＝2时，由已知得a 1＋a 2＝a 22＋1a 2－1，将a 1＝3－1代入并整理得a 22＋23a 2－2＝0. ∴a 2＝5－3(a 2＞0)． 同理可得a 3＝7－ 5.猜想a n ＝2n ＋1－2n －1(n ∈N *)．(2)证明：①由(1)知，当n ＝1时，通项公式成立． ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，通项公式成立， 即a k ＝2k ＋1－2k －1. 由于a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝a k ＋12＋1a k ＋1－a k 2－1a k， 将a k ＝2k ＋1－2k －1代入上式，整理得 a 2k ＋1＋22k ＋1a k ＋1－2＝0， ∴a k ＋1＝2k ＋3－2k ＋1，即n ＝k ＋1时通项公式成立．由①②可知对所有n ∈N *，a n ＝2n ＋1－2n －1都成立．[方法技巧]归纳—猜想—证明类问题的解题步骤利用数学归纳法可以探索与正整数n 有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理(即演绎推理)论证结论的正确性．1．[考点一]求证：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)．证明：(1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝11＋1＝12，左边＝右边，等式成立． (2)假设n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k， 则当n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎫1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋⎝⎛⎭⎫12k ＋1－12k ＋2＝⎝⎛⎭⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋⎝⎛⎭⎫12k ＋1－12k ＋2 ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2. 即当n ＝k ＋1时，等式也成立．综合(1)，(2)可知，对一切n ∈N *，等式成立．2．[考点二]用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n ，不等式⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15·…·⎝⎛⎭⎫1＋12n －1>2n ＋12均成立． 证明：(1)当n ＝2时，左边＝1＋13＝43；右边＝52.∵左边>右边，∴不等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥2，且k ∈N *)时不等式成立，。
(浙江通用)高考数学一轮复习 第十章 推理与证明、复数 10.3 复数-人教版高三全册数学试题
【步步高】（某某通用）2017版高考数学一轮复习 第十章 推理与证明、复数 10.3 复数1.复数的有关概念(1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做实部，b 叫做虚部.(i 为虚数单位) (2)分类：满足条件(a ，b 为实数)复数的分类a ＋b i 为实数⇔b ＝0a ＋b i 为虚数⇔b ≠0 a ＋b i 为纯虚数⇔a ＝0且b ≠0(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R ). (4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R ).(5)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R ). 2.复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ →＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系. 3.复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行. 如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解.( × )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( × )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( × ) (4)原点是实轴与虚轴的交点.( √ )(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( √ )1.(2015·某某)设i 是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)等于( ) A.3＋3i B.－1＋3i C.3＋i D.－1＋i 答案 C解析 (1－i)(1＋2i)＝1＋2i －i －2i 2＝1＋i ＋2＝3＋i ，故选C. 2.(2015·课标全国Ⅰ)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z 等于( ) A.－2－i B.－2＋i C.2－i D.2＋i 答案 C解析 由(z －1)i ＝1＋i ，两边同乘以－i ，则有z －1＝1－i ，所以z ＝2－i.3.在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A.4＋8iB.8＋2iC.2＋4iD.4＋i 答案 C解析 ∵A (6,5)，B (－2,3)，∴线段AB 的中点C (2,4)， 则点C 对应的复数为z ＝2＋4i.4.已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位.若a ＋i ＝2－b i ，则(a ＋b i)2等于( ) A.3－4i B.3＋4i C.4－3i D.4＋3i 答案 A解析 ∵a ，b ∈R ，a ＋i ＝2－b i ，∴a ＝2，b ＝－1， ∴(a ＋b i)2＝(2－i)2＝3－4i.5.已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________.答案 2＋i 解析 ∵z ＝4＋3i 1＋2i ＝4＋3i1－2i 1＋2i1－2i ＝10－5i5＝2－i ，∴z ＝2＋i.题型一 复数的概念例1 (1)设i 是虚数单位.若复数z ＝a －103－i (a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( )A.－3B.－1C.1D.3(2)已知a ∈R ，复数z 1＝2＋a i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2为纯虚数，则复数z 1z 2的虚部为( ) A.1 B.i C.25D.0(3)若z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i(m ∈R )，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案 (1)D (2)A (3)A解析 (1)z ＝a －103－i ＝a －(3＋i)＝(a －3)－i ，由a ∈R ，且z ＝a －103－i为纯虚数知a ＝3. (2)由z 1z 2＝2＋a i 1－2i＝2＋a i1＋2i5＝2－2a 5＋4＋a 5i 是纯虚数，得a ＝1，此时z 1z 2＝i ，其虚部为1.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＋1＝3，m 2＋m －4＝－2，解得m ＝－2或m ＝1，所以“m ＝1”是“z 1＝z 2”的充分不必要条件. 引申探究1.对本例(1)中的复数z ，若|z |＝10，求a 的值. 解 若|z |＝10，则(a －3)2＋1＝10， ∴|a －3|＝3，∴a ＝0或a ＝6.2.在本例(2)中，若z 1z 2为实数，则a ＝________. 答案 －4解析 若z 1z 2为实数，则4＋a5＝0.∴a ＝－4.思维升华 解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部.(1)若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( )A.－1B.0C.1D.－1或1(2)(2014·某某)已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 (1)A (2)A解析 (1)由复数z 为纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，解得x ＝－1，故选A.(2)当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ；当(a ＋b i)2＝2i 时，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，ab ＝1，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i”的充分不必要条件. 题型二 复数的运算 命题点1 复数的乘法运算例2 (1)(2015·某某)i 为虚数单位，i 607的共轭复数为( ) A.i B.－i C.1 D.－1(2)(2015·)复数i(2－i)等于( ) A.1＋2i B.1－2i C.－1＋2i D.－1－2i 答案 (1)A (2)A 解析 (1)方法一 i 607＝i4×151＋3＝i 3＝－i ，其共轭复数为i.故选A.方法二 i 607＝i 608i ＝i 4×152i ＝1i＝－i ，其共轭复数为i.故选A.(2)i(2－i)＝2i －i 2＝1＋2i. 命题点2 复数的除法运算 例3 (1)(2015·某某)已知1－i2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z 等于( )A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i(2)(1＋i 1－i )6＋2＋3i3－2i ＝________.答案 (1)D (2)－1＋i 解析 (1)由1－i2z＝1＋i ，知z ＝1－i21＋i＝－2i1＋i ＝－1－i ，故选D. (2)原式＝[1＋i22]6＋2＋3i3＋2i 32＋22＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.命题点3 复数的运算与复数概念的综合问题例 4 (1)(2015·某某)i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________.(2)(2014·某某)已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________. 答案 (1)－2 (2)21解析 (1)(1－2i)(a ＋i)＝a ＋2＋(1－2a )i ，由已知，得a ＋2＝0,1－2a ≠0，∴a ＝－2. (2)因为z ＝(5＋2i)2＝25＋20i ＋(2i)2 ＝25＋20i －4＝21＋20i ， 所以z 的实部为21. 命题点4 复数的综合运算例5 (1)(2014·某某)设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数.若z ＝1＋i ，则zi ＋i·z等于( )A.－2B.－2iC.2D.2i(2)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A.－4 B.－45C.4 D.45答案 (1)C (2)D解析 (1)∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ，z i ＝1＋i i＝－i 2＋ii＝1－i ，∴zi ＋i·z ＝1－i ＋i(1－i)＝(1－i)(1＋i)＝2.故选C.(2)设z ＝a ＋b i ，故(3－4i)(a ＋b i)＝3a ＋3b i －4a i ＋4b ＝|4＋3i|，所以⎩⎪⎨⎪⎧3b －4a ＝0，3a ＋4b ＝5，解得b ＝45.思维升华 复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可.(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题，先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合相关定义解答.(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合复数的几何意义解答.(5)复数的综合运算.分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的.(1)(2015·某某)若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z 等于( )A.1－iB.1＋iC.－1－iD.－1＋i (2)⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 016＝________.(3)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 016＝________.答案 (1)A (2)1 (3)1＋i解析 (1)∵z1－i ＝i ，∴z ＝i(1－i)＝i －i 2＝1＋i ，∴z ＝1－i.(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 1 008＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2i ＋i 21－2i ＋i 2 1 008＝1. (3)原式＝i 1＋23i 1＋23i＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫21－i 2 1 008＝i ＋⎝⎛⎭⎪⎫2－2i 1 008＝i ＋i 1 008＝i ＋i 4×252＝1＋i.题型三 复数的几何意义例6 (1)(2014·某某)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 B解析 由题意可得复数z ＝－2＋i ，故在复平面内对应的点为(－2,1)，在第二象限，故选B. (2)△ABC 的三个顶点对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，若复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点为△ABC 的( ) A.内心 B.垂心 C.重心 D.外心 答案 D解析 由几何意义知，复数z 对应的点到△ABC 三个顶点距离都相等，z 对应的点是△ABC 的外心.思维升华 因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.(1)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A.AB.BC.CD.D 答案 B解析 表示复数z 的点A 与表示z 的共轭复数的点关于x 轴对称，∴B 点表示z .选B. (2)已知z 是复数，z ＋2i 、z2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，某某数a 的取值X 围. 解 设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2. ∵z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i)＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ， 由题意得x ＝4.∴z ＝4－2i.∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8a －2>0，解得2<a <6，∴实数a 的取值X 围是(2,6).24.解决复数问题的实数化思想典例 (14分)已知x ，y 为共轭复数，且(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，求x ，y . 思维点拨 (1)x ，y 为共轭复数，可用复数的基本形式表示出来； (2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题. 规X 解答解 设x ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，则y ＝a －b i ，x ＋y ＝2a ，xy ＝a 2＋b 2，[3分] 代入原式，得(2a )2－3(a 2＋b 2)i ＝4－6i ，[5分]根据复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝4，－3a 2＋b 2＝－6，[8分]解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1.[11分]故所求复数为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋i ，y ＝1－i ，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－i ，y ＝1＋i ，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋i ，y ＝－1－i ，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－i ，y ＝－1＋i.[14分]温馨提醒 (1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法.(2)本题求解的关键是先把x 、y 用复数的基本形式表示出来，再用待定系数法求解.这是常用的数学方法.(3)本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解.[方法与技巧]1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.2.复数z＝a＋b i(a，b∈R)是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的主要方法.对于一个复数z＝a＋b i(a，b∈R)，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识.3.在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则，其方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合.[失误与防X]1.判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.2.两个虚数不能比较大小.3.注意复数的虚部是指在a＋b i(a，b∈R)中的实数b，即虚部是一个实数.A组专项基础训练(时间：30分钟)1.(2015·某某)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋b i(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于( )A.3，－2B.3,2C.3，－3D.－1,4答案 A解析∵(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋b i，∴a＝3，b＝－2，故选A.2.设z＝11＋i＋i，则|z|等于( )A.12B.22C.32D.2答案 B解析∵z＝11＋i＋i＝1－i1＋i1－i＋i＝1－i2＋i＝12＋12i，∴|z|＝⎝⎛⎭⎪⎫122＋⎝⎛⎭⎪⎫122＝22，故选B.3.(2015·课标全国Ⅱ)若a为实数，且(2＋a i)(a－2i)＝－4i，则a等于( )A.－1B.0C.1D.2答案 B解析因为a为实数，且(2＋a i)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i，得4a＝0且a2－4＝－4，解得a＝0，故选B.4.若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )A.EB.FC.GD.H 答案 D解析 由题图知复数z ＝3＋i ， ∴z1＋i ＝3＋i 1＋i ＝3＋i 1－i 1＋i1－i ＝4－2i2＝2－i. ∴表示复数z1＋i的点为H .5.(2014·某某)z 是z 的共轭复数，若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z 等于( )A.1＋iB.－1－iC.－1＋iD.1－i 答案 D解析 方法一 设z ＝a ＋b i ，a ，b 为实数，则z ＝a －b i. ∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1.又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2，∴b ＝－1.故z ＝1－i. 方法二 ∵(z －z )i ＝2，∴z －z ＝2i ＝－2i.又z ＋z ＝2，∴(z －z )＋(z ＋z )＝－2i ＋2， ∴2z ＝－2i ＋2，∴z ＝1－i.6.(2015·某某)设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________. 答案5解析 ∵z 2＝3＋4i ，∴|z |2＝|3＋4i|＝5，即|z |＝ 5.7.若3＋b i 1－i ＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________.答案 3 解析3＋b i 1－i ＝3＋b i1＋i2＝12[(3－b )＋(3＋b )i]＝3－b 2＋3＋b 2i. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3－b 2，3＋b 2＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝3.∴a ＋b ＝3.8.复数(3＋i)m －(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m 的取值X 围是________.答案 m <23解析 z ＝(3m －2)＋(m －1)i ，其对应点(3m －2，m －1)在第三象限内，故3m －2<0且m －1<0，∴m <23. 9.计算：(1)－1＋i 2＋i i 3； (2)1＋2i 2＋31－i 2＋i ； (3)1－i1＋i 2＋1＋i1－i 2；(4)1－3i3＋i 2.解 (1)－1＋i 2＋ii 3＝－3＋i －i ＝－1－3i. (2)1＋2i 2＋31－i 2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i 2＋i ＝i 2－i 5＝15＋25i. (3)1－i 1＋i 2＋1＋i1－i 2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i 2＝－1. (4)1－3i 3＋i2＝3＋i －i3＋i 2 ＝－i 3＋i ＝－i 3－i 4＝－14－34i. 10.复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，某某数a 的值. 解 z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a ＋(2a －5)i＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13a ＋5a －1＋(a 2＋2a －15)i. ∵z 1＋z 2是实数，∴a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3.又(a ＋5)(a －1)≠0，∴a ≠－5且a ≠1，故a ＝3.B 组 专项能力提升(时间：15分钟)11.复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值X 围是( )A.[－1,1]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤916，7 答案 C解析 由复数相等的充要条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ， 化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－382－916，因为sin θ∈[－1,1]，所以4sin 2θ－3sin θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7. 12.设f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n (n ∈N *)，则集合{f (n )}中元素的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.无数个答案 C解析 f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n ＝i n ＋(－i)n ， f (1)＝0，f (2)＝－2，f (3)＝0，f (4)＝2，f (5)＝0，…∴集合中共有3个元素.13.已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则y x的最大值为________.答案 3 解析 ∵|z －2|＝x －22＋y 2＝3， ∴(x －2)2＋y 2＝3.由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3. 14.设a 是实数，若复数z ＝a1－i ＋1－i 2(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x ＋y ＝0上，则a 的值为__________________________________________________________________. 答案 0解析 ∵z ＝a 1＋i 2＋1－i 2＝a ＋12＋a －12i ， ∴依题意得a ＋12＋a －12＝0，∴a ＝0.15.若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则b ＝________，c ＝________.答案 －2 3解析 ∵实系数一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个虚根为1＋2i ，∴其共轭复数1－2i 也是方程的根.由根与系数的关系知， ⎩⎨⎧ 1＋2i ＋1－2i ＝－b ，1＋2i 1－2i ＝c ，∴b ＝－2，c ＝3.。
高考数学试题解析分项版 专题14 复数、推理与证明 理
高考数学试题解析分项版 专题14 复数、推理与证明 理一、选择题:1. (2011年高考山东卷理科2)复数z=22ii-+(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为 （A ）第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限4.(2011年高考浙江卷理科2)把复数z 的共轭复数记作z ，若1z i =+，i 为虚数单位，则(1)z z +=（A ）3i - （B ）3i + （C ）13i +（D ）3 【答案】 A【解析】(1)1(1)(1)123z z z zz i i i i i +=+=-++-=-+=- 故选A5．(2011年高考广东卷理科1)设复数z 满足(1+i)z=2，其中i 为虚数单位，则Z=（ ） A ．1+i B ．1-i C ．2+2i D ．2-2i 【解析】B.由题得i i i z -=-=+=1)1(2212所以选B. 6.(2011年高考辽宁卷理科1)a 为正实数，i 为虚数单位，2a ii+=，则a=（ ）（A ）2 （B ）3 (C)2 (D)1 答案： B 解析：2|1|12a iai a i+=-=+=,a>0,故a=3. 7. (2011年高考全国新课标卷理科1)复数ii212-+的共轭复数是（ ） A i 53- B i 53 C i - D i ;解析：C ，因为i i 212-+=i ii i =--21)21(，所以，共轭复数为i -，选C点评：本题考查复数的概念和运算，先化简后写出共轭复数即可。
8.(2011年高考江西卷理科1)若iz i1+2=，则复数z = A. i -2- B. i -2+ C. i 2- D. i 2+ 【答案】D 【解析】因为iz i1+2==()()i i i 1+2-=2-，所以复数z =i 2+,选D. 9. (2011年高考江西卷理科7)观察下列各式：55=3125，65=15625，75=78125，…，则20115的末四位数字为A ．3125B ．5625C ．0625D ．8125 【答案】D【解析】观察发现幂指数是奇数的,结果后三位数字为125,故排除B 、C 选项;而201153125>,故A 也不正确, 所以选D.10．(2011年高考江西卷理科10)如右图，一个直径为l 的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M ，N 在大圆内所绘出的图形大致是12．(2011年高考湖北卷理科1)i 为虚数单位，则20111()1i i+-= A.－i B.－1C.iD.1答案：A解析：因为11i i i +=-,故2011201125051()(),1i i i i i i +==⋅=--所以选A.13．(2011年高考陕西卷理科7)设集合{}22||cos sin |,M y y x x x R ==-∈，1{|||2,N x x i=-<}i x R ∈为虚数单位，则MN 为（A ）(0,1) （B ）(0,1] （C ）[0,1) （D ）[0,1] 【答案】C【解析】：由22|cos sin ||cos 2|[0,1]y x x x =-=∈即M =[0,1] 由1||2x i-<2||1211x i x x +=+<-<<即N =(1,1)-[0,1)M N =故选C14.(2011年高考重庆卷理科1)复数2341i i i i++=-（A ）1122i -- (B) 1122i -+ (C) 1122i - (D) 1122i +解析：选B. ()()()234111111112i i i i i i ii i i i -+++--+-===---+。
2021届高考数学一轮温习 推理与证明、算法初步、复数专题训练(1)
推理与证明、算法初步、复数一、基础知识要记牢 (1)复数的模： 复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2.(2)复数相等的充要条件：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．专门地，a ＋b i ＝0⇔a ＝0且b ＝0(a ，b ∈R )．(3)复数的除法一样是将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数再进一步化简． 二、经典例题领会好[例1] (1)(2021·安徽高考)设i 是虚数单位，假设复数a －103－i (a ∈R )是纯虚数，那么a 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)(2021·陕西高考)设z 1，z 2是复数，那么以下命题中的假命题是( ) A ．假设|z 1－z 2|＝0，那么z 1＝z 2 B ．假设z 1＝z 2，那么z 1＝z 2 C ．假设|z 1|＝|z 2|，那么z 1·z 1＝z 2·z 2D ．假设|z 1|＝|z 2|，那么z 21＝z 22[解析] (1)因为a －103－i ＝a －103＋i3－i 3＋i ＝a －103＋i10＝(a －3)－i ，由纯虚数的概念，知a －3＝0，因此a ＝3.(2)A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1－z 2＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1＝z 2，真命题；B ，z 1＝z 2⇒z 1＝z 2＝z 2，真命题；C ，|z 1|＝|z 2|⇒|z 1|2＝|z 2|2⇒z 1·z 1＝z 2·z 2，真命题；D ，当|z 1|＝|z 2|时，可取z 1＝1，z 2＝i ，显然z 21＝1，z 22＝－1，即z 21≠z 22，假命题．[答案] (1)D (2)D1与复数z 有关的复杂式子为纯虚数，可设为m i m ≠0，利用复数相等去运算较简便.2在有关复数z 的等式中，可设出z ＝a ＋b i a ，b ∈R ，用待定系数法求解.3熟记一些常见的运算结果可提高运算速度：1±i2＝±2i，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i ，设ω＝－12＋32i ，则ω3＝1，|ω|＝1，ω2＝ω，1＋ω＋ω2＝0.三、预测押题不能少1．(1)设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，那么|(1－z )·z |＝( ) B ．2D ．1解析：选A 依题意得(1－z )·z ＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i ，|(1－z )·z |＝|－3＋i|＝－32＋12＝10.(2)已知i 是虚数单位，z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，那么复数z 2z在复平面上对应的点的坐标为________． 解析：z ＝1＋i ，那么z 2z＝1＋i 21－i＝2i 1－i＝2i 1＋i 1－i1＋i＝－1＋i ，那么复数z 2z在复平面上对应的点的坐标为(－1,1)． 答案：(－1,1)合情推理一、基础知识要记牢 (1)类比推理的一样步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．(2)归纳推理的一样步骤：①通过观看个别事物发觉某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一样性命题．一样情形下，归纳的个别事物越多，越具有代表性，推行的一样性结论也就越靠得住．二、经典例题领会好[例2] (2021·陕西高考)观看以劣等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，……照此规律，第n个等式可为________．[解析] 12＝1，12－22＝－(1＋2)，12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)，……12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1(1＋2＋…＋n)＝(－1)n＋1n n＋12.[答案] 12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1n n＋12合情推理的解题思路(1)在进行归纳推理时，要先依照已知的部份个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一样结论．(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理进程，然后通过类比，推导出类比对象的性质．(3)归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性． 三、预测押题不能少2．(1)21×1＝2,22×1×3＝3×4,23×1×3×5＝4×5×6,24×1×3×5×7＝5×6×7×8，….依此类推，第n 个等式为__________________________．解析：由归纳推理可知，第n 个等式为2n ×1×3×...×(2n －1)＝(n ＋1)×(n ＋2)×...×2n . 答案：2n ×1×3×...×(2n －1)＝(n ＋1)×(n ＋2)× (2)(2)关于命题：假设O 是线段AB 上一点，那么有|OB |·OA ＋|OA |·OB ＝0. 将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，那么有S △OBC ·OA ＋S △O CA ·OB ＋S △OBA ·OC ＝0，将它类比到空间的情形应该是：假设O 是四面体ABCD 内一点，那么有________．解析：将平面中的相关结论类比到空间，一般是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积，因此依题意可知：假设O 为四面体ABCD 内一点，那么有V O －BCD ·OA ＋V O －ACD ·OB ＋V O －ABD ·OC ＋V O －ABC ·OD ＝0.答案：V O －BCD ·OA ＋V O －ACD ·OB ＋V O －ABD ·OC ＋V O －ABC ·OD ＝0程序框图一、经典例题领会好[例3] (2021·新课标全国卷Ⅱ)执行下面的程序框图，若是输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )A ．1＋12＋13＋…＋110B ．1＋12！＋13！＋…＋110！C ．1＋12＋13＋…＋111D ．1＋12！＋13！＋…＋111！[解析] 当输入N ＝10时，由于k ＝1，S ＝0，T ＝1，因此T ＝11＝1，S ＝1，k ＝2，现在不知足k >10；当k ＝2时，T ＝11×2＝12！，S ＝1＋12！，k ＝3，现在不知足k >10；当k ＝3时，T ＝11×2×3＝13！，S ＝1＋12！＋13！，k ＝4，现在不知足k >10； 当k ＝4时，T ＝11×2×3×4＝14！，S ＝1＋12！＋13！＋14！，k ＝5，现在不知足k >10 ； ……当k ＝10时，T ＝11×2×3×4×…×10＝110！，S ＝1＋12！＋13！＋14！＋…＋110！，k ＝11，现在知足k >10.因此输出S ＝1＋12！＋13！＋14！＋…＋110！. [答案] B1解答有关程序框图问题，首先要读懂程序框图，要熟练掌握程序框图的三种基本结构.2利用循环结构表示算法要注意：①要选择准确的表示累计的变量；②要注意在哪一步结束循环；③执行完整每一次循环，防止执行程序不彻底，造成错误.二、预测押题不能少3．(1)程序框图如图，若是程序运行的结果为S ＝132，那么判定框中可填入( ) A ．k ≤10 B ．k ≥10 C ．k ≤11D ．k ≥11解析：选A 输出的S 值是一个逐次积存的结果，第一次运行S ＝12，k ＝11；第二次运行S＝132，k＝10.若是现在输出结果，那么判定框中的k的最大值是10.(2)假设某程序框图如下图，那么该程序运行后输出的值是( ) A．2 B．3C．4 D．5解析：选C 逐次运行的结果是n＝3，i＝2；n＝4，i＝3；n＝2，i＝4.故输出的值是4.程序框图与概率的交汇算法是新课标高考中的一大热点，专门体此刻算法的交汇性问题上，这些问题题目背景新颖，交汇自然，要紧表此刻算法与函数、数列、不等式、概率及统计的交汇．一、经典例题领会好[例] (2021·四川高考节选)某算法的程序框图如下图，其中输入的变量x在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．(1)别离求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P i(i＝1,2,3)；(2)甲、乙两同窗依据自己对程序框图的明白得，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1,2,3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部份数据．甲的频数统计表(部份)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3014610…………2 100 1 027376697乙的频数统计表(部份)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3012117…………2 100 1 051696353当n＝2 100时，依照表中的数据，别离写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判定两位同窗中哪一名所编程序符合算法要求的可能性较大；(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y 的值为2的次数ξ的散布列及数学期望． (1)学审题——审条件之审视图表和数据程序框图――→审图 计算输出y 的值为1,2,3的数的个数―――――――→古典概型公式 概率． (2)学审题 频数统计表――→审表 各小组频数―→频率―――――→与1比较 结论．(3)学审题 条件―→确信y 的取值13−−−−−−→每次发生的概率为求出散布列―→期望值． [解] (1)变量x 是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能． 当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1＝12；当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝13；当x 从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3＝16.因此，输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16.(2)当n ＝2 100时，甲、乙所编程序各自输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频率如下：输出y 的值为1的频率 输出y 的值为2的频率 输出y 的值为3的频率 甲1 0272 1003762 1006972 100 乙1 0512 1006962 1003532 100比较频率趋势与概率，可得乙同窗所编程序符合算法要求的可能性较大． (3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫130×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827， P (ξ＝1)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫131×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49，P (ξ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝29， P (ξ＝3)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫133×⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝127， 故ξ的散布列为因此，E (ξ)＝3×13＝1.即ξ的数学期望为1.此题要紧考查算法与程序框图、古典概型、频数、频率、随机变量的散布列、数学期望等概念及相关计算，考查运用统计与概率的知识与方式解决实际问题的能力，考查数据处置能力、应用意识和创新意识.解答此题的易错点为：一是错读程序框图使此题在求解第一步时就显现错误，二是处置频数散布表中数据时运算错误. 二、预测押题不能少某工厂欲加工一件艺术品，需要用到三棱锥形状的坯材，工人将如下图的长方体ABCD EFGH 材料切割成三棱锥H ACF .(1)假设点M ，N ，K 别离是棱HA ，HC ，HF 的中点，点G 是NK 上的任意一点，求证：MG ∥平面ACF ；(2)已知原长方体材料中，AB ＝2 m ，AD ＝3 m ，DH ＝1 m ，依照艺术品加工需要，工程师必需求出该三棱锥的高．工程师设计了一个求三棱锥的高度的程序，其框图如下图，那么运行该程序时乙工程师应输入的t 的值是多少？解：(1)证明：∵HM ＝MA ，HN ＝NC ，HK ＝KF ，∴MK ∥AF ，MN ∥AC . ∵MK ⊄平面ACF ，AF ⊂平面ACF ，∴MK ∥平面ACF ， 同理可证MN ∥平面ACF ，∵MN ，MK ⊂平面MNK ，且MK ∩MN ＝M ，∴平面MNK∥平面ACF，又MG⊂平面MNK，故MG∥平面ACF.(2)由程序框图可知a ＝CF ，b ＝AC ，c ＝AF ， ∴d ＝b 2＋c 2－a 22bc＝AC 2＋AF 2－CF 22AC ·AF＝cos ∠CAF ，∴e ＝12bc1－d 2＝12AC ·AF ·sin∠CAF ＝S △ACF .又h ＝3t e ，∴t ＝13he ＝13h ·S △ACF ＝V 三棱锥H ACF .∵三棱锥H ACF 为将长方体ABCD EFGH 切掉4个体积相等的小三棱锥所得， ∴V 三棱锥H ACF ＝2×3×1－4×13×12×3×2×1＝6－4＝2，故t ＝2.1．(2021·四川高考)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，那么图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D解析：选B 因为x ＋y i 的共轭复数是x －y i ，应选B.2．(2021·福建质检)执行如下图的程序框图，假设输入的x 值为2，那么输出的x 值为( ) A ．3 B ．126C ．127D ．128解析：选C 假设输入的x ＝2，那么x ＝22－1＝3，而3<126，故x ＝23－1＝7，而7<126，故x ＝27－1＝127.因为127>126，因此输出的x 值为127. 3．(2021·郑州质量预测)假设复数z ＝2－i ，那么z ＋10z＝( )A ．2－iB ．2＋iC ．4＋2iD ．6＋3i解析：选D ∵z＝2－i，∴z＋10z＝(2＋i)＋102－i＝(2＋i)＋102＋i2－i2＋i＝6＋3i.4．(2021·江西高考)阅读如下程序框图，若是输出i＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为( )A ．S ＝2*i －2 ＝2*i －1C ．S ＝2*i ＝2*i +4解析：选C 此框图依次执行如下循环：第一次：i ＝1，S ＝0，i ＝1＋1＝2，i 是奇数不成立，S ＝2*2＋1＝5，继续循环； 第二次：i ＝2＋1＝3，i 是奇数成立，继续循环；第三次：i ＝3＋1＝4，i 是奇数不成立，S ＝2*4+1=9，继续循环；第四次：i ＝4+1=5，i 是奇数成立，由题意知现在应跳出循环，输出i ＝5，即S ＜10不成立. 故应填S =2*i (现在S =10＜10不成立).假设填S ＝2*i ＋4，那么在第二次循环中就跳出循环．应选C. 5．(2021·河南洛阳模拟)执行如下图的程序框图，任意输入一次x (0≤x ≤1)与y (0≤y ≤1)，那么能输出数对(x ，y )的概率为( )解析：选B 依题意，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1表示的平面区域的面积等于12＝1；不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1，y ≤x2表示的平面区域的面积等于∫10x 2d x ＝13x 310＝13，因此所求的概率为13.6．假设数列{a n }是等差数列，那么数列{b n }b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn也为等差数列．类比这一性质可知，假设正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，那么d n 的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝n c n 1＋c n 2＋…＋c nnnD ．d n ＝nc 1·c 2·…·c n解析：选D 假设{a n }是等差数列，那么a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n n －12d ，∴b n ＝a 1＋n －12d ＝d 2n ＋a 1－d 2，即{b n }为等差数列；假设{c n }是等比数列，那么c 1·c 2·…·c n＝c n 1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·q 12n n (-)，∴d n ＝nc 1·c 2·…·c n ＝c 1·q12n -，即{d n }为等比数列，应选D.7．已知复数z ＝1－i ，那么z 2－2z z －1＝________.解析：z 2－2z z －1＝z －12－1z －1＝z －1－1z －1＝(－i)－1－i ＝－i －i－i·i＝－2i.答案：－2i8．(2021·山东高考)执行下面的程序框图，假设输入的ε的值为，那么输出的n 的值为________．解析：逐次计算的结果是F 1＝3，F 0＝2，n ＝2；F 1＝5，F 0＝3，n ＝3，现在输出， 故输出结果为3. 答案：39．(2021·福建质检)观看以劣等式： 13＋23＝1； 73＋83＋103＋113＝12； 163＋173＋193＋203＋223＋233＝39； ……那么当m <n 且m ，n ∈N 时，3m ＋13＋3m ＋23＋3m ＋43＋3m ＋53＋…＋3n －23＋3n －13＝________(最后结果用m ，n 表示)． 解析：由13＋23＝1，知m ＝0，n ＝1,1＝12－02；由73＋83＋103＋113＝12，知m ＝2，n ＝4,12＝42－22； 由163＋173＋193＋203＋223＋233＝39，知m ＝5，n ＝8,39＝82－52；………依此规律可归纳，3m ＋13＋3m ＋23＋3m ＋43＋3m ＋53＋…＋3n －23＋3n －13＝n 2－m 2.答案：n 2－m 210．已知复数z 1知足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.解：∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，∴z1＝2－i.设z2＝a＋2i，a∈R，则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.∵z1·z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i.11．(2021·郑州质量预测)每一年的3月12日，是中国的植树节．林管部门在植树前，为保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测．现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，规定高于128厘米的树苗为“良种树苗”，测得高度如下(单位：厘米)：甲：137,121,131,120,129,119,132,123,125,133；乙：110,130,147,127,146,114,126,110,144,146.(1)依照抽测结果，画出甲、乙两种树苗高度的茎叶图，并依照你填写的茎叶图，对甲、乙两种树苗的高度作比较，写出对两种树苗高度的统计结论；(2)设抽测的10株甲种树苗高度平均值为x，将这10株树苗的高度依次输入按程序框图进行运算(如图)，问输出的S大小为多少？并说明S的统计学意义；(3)假设小王在甲种树苗中随机领取了5株进行种植，用样本的频率散布估量整体散布，求小王领取到的“良种树苗”的株数X的散布列．解：(1)茎叶图如下图：统计结论：①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度；②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐；③甲种树苗高度的中位数为127，乙种树苗高度的中位数为；④甲种树苗的高度大体上是对称的，而且大多数集中在均值周围，乙种树苗的高度散布较为分散．(2)依题意，x ＝127，S ＝35.S 表示10株甲种树苗高度的方差，是描述树苗高度的离散程度的量． S 值越小，表示树苗长得越整齐，S 值越大，表示树苗长得越良莠不齐．(3)由题意可知，领取一株甲种树苗取得“良种树苗”的概率为12，那么X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，因此随机变量X 的散布列为12．(2021·北京高考)已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．(1)当点B 是W 的右极点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积； (2)当点B 不是W 的极点时，判定四边形OABC 是不是可能为菱形，并说明理由． 解：(1)椭圆W ：x 24＋y 2＝1的右极点B 的坐标为(2,0)．因为四边形OABC 为菱形，因此AC 与OB 彼此垂直平分． 因此可设A (1，m )，代入椭圆方程得14＋m 2＝1，即m ＝±32.因此菱形OABC 的面积是12|OB |·|AC |＝12×2×2|m |＝3.(2)四边形OABC 不可能为菱形．理由如下： 假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的极点，且直线AC 只是原点，因此可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m 消y 并整理得 (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，那么x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k 2.因此AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2. 因为M 为AC 和OB 的交点，因此直线OB 的斜率为－14k.因为k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k ≠－1，因此AC 与OB 不垂直．因此四边形OABC 不是菱形，与假设矛盾．因此当点B 不是W 的极点时，四边形OABC 不可能是菱形．。
2023届高考数学一轮难题复习 复数典型解答题含答案
2023届高考数学一轮难题复习复数典型解答题1．复数的相关概念及运算法则(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的分类①z 是实数⇔b ＝0；②z 是虚数⇔b ≠0；③z 是纯虚数⇔a ＝0且b ≠0.(2)共轭复数复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的共轭复数z ＝a －b i.(3)复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2.(4)复数相等的充要条件a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．特别地，a ＋b i ＝0⇔a ＝0且b ＝0(a ，b ∈R )．(5)复数的运算法则加减法：(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i ；乘法：(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；除法：(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)．(其中a ，b ，c ，d ∈R )2．复数的几个常见结论(1)(1±i)2＝±2i.(2)1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i.(3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈Z )．3．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值一般地，任何一个复数z ＝a ＋b i 都可以表示成r (cos θ＋isin θ)的形式，其中，r 是复数z 的模；θ是以x 轴的非负半轴为始边，向量OZ →所在射线(射线OZ )为终边的角，叫做复数z ＝a ＋b i 的辐角，我们规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z ．r (cos θ＋isin θ)叫做复数z ＝a ＋b i 的三角表示式，简称三角形式．a ＋b i 叫做复数的代数表示式，简称代数形式．特别提醒：(1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．(2)复数0的辐角是任意的．(3)在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z ，且0≤arg z ＜2π.(4)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．4.复数的代数形式化为三角形式的步骤(1)先求复数的模.(2)决定辐角所在的象限.(3)根据象限求出辐角.(4)求出复数的三角形式.特别提醒：一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值，这使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值.5．复数三角形式的乘、除运算若复数z 1＝r 1(cos θ1＋isin θ1)，z 2＝r 2(cos θ2＋isin θ2)，且z 1≠z 2，则(1)z 1z 2＝r 1(cos θ1＋isin θ1)·r 2(cos θ2＋isin θ2)＝r 1r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．(2)z 1z 2＝r 1(cos θ1＋isin θ1)r 2(cos θ2＋isin θ2)＝r 1r 2[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．即：（1）乘法法则：模相乘，辐角相加．（2）除法法则：模相除，辐角相减．（3）复数的n 次幂，等于模的n 次幂，辐角为n 倍．6.复数三角形式乘、除运算的几何意义两个复数z 1，z 2相乘时，先分别画出与z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→，然后把向量OZ 1→绕点O 按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2＜0，就要把OZ 1→绕点O 按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r 2倍，得到向量OZ →，OZ →表示的复数就是积z 1z 2.7．平面向量的概念名称定义记法零向量长度为0的向量叫做零向量单位向量长度等于1个单位的向量，叫做单位向量相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量a ＝b 说明，任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且方向一致的有向线段表示同一个向量平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量a ∥b 规定：零向量与任何向量都平行0∥a 说明：任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此，平行向量也叫有线向量8.平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.我们把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．9．向量a 与b 的夹角已知两个非零向量a 和b .作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角．当θ＝0°时，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向．如果a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b .10．平面向量的数量积(1)若a ，b 为非零向量，夹角为θ，则a·b ＝|a||b |cos θ.(2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(3)a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．11．两个非零向量平行、垂直的充要条件若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.12．利用数量积求长度(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2.(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.13．利用数量积求夹角设a ，b 为非零向量，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a·b|a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.14．三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则(1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a2sin A .(2)O 为△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →.(4)O 为△ABC 的内心⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0.例题1．设z C ∈，且()()()Re 0Re 0zz f z zz ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩.（1）已知()()()2429f z f z z i z C +-=-+∈，求z 的值；（2）若Re 0z ≥，设集合()()()(){}122120,P z f z f z i f z i f z z C =⋅-⋅+⋅-=∈，{}21,P iz z P ωω==∈，求复平面内2P 对应的点集表示的曲线的对称轴；（3）若()1z u u C =∈，()()211n n n z f z z n *+=++∈N ，是否存在u ，使得数列1z 、2z 、L 满足n m n z z +=（m 为常数，且m *∈N ）对一切正整数n 均成立？若存在，试求出所有的u ，若不存在，请说明理由.一轮难题复习复数典型解答题1．复数的相关概念及运算法则(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的分类①z 是实数⇔b ＝0；②z 是虚数⇔b ≠0；③z 是纯虚数⇔a ＝0且b ≠0.(2)共轭复数复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的共轭复数z ＝a －b i.(3)复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2.(4)复数相等的充要条件a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．特别地，a ＋b i ＝0⇔a ＝0且b ＝0(a ，b ∈R )．(5)复数的运算法则加减法：(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i ；乘法：(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；除法：(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)．(其中a ，b ，c ，d ∈R )2．复数的几个常见结论(1)(1±i)2＝±2i.(2)1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i.(3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈Z )．3．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值一般地，任何一个复数z ＝a ＋b i 都可以表示成r (cos θ＋isin θ)的形式，其中，r 是复数z 的模；θ是以x 轴的非负半轴为始边，向量OZ →所在射线(射线OZ )为终边的角，叫做复数z ＝a ＋b i 的辐角，我们规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z ．r (cos θ＋isin θ)叫做复数z ＝a ＋b i 的三角表示式，简称三角形式．a ＋b i 叫做复数的代数表示式，简称代数形式．特别提醒：(1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．(2)复数0的辐角是任意的．(3)在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z ，且0≤arg z ＜2π.(4)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．4.复数的代数形式化为三角形式的步骤(1)先求复数的模.(2)决定辐角所在的象限.(3)根据象限求出辐角.(4)求出复数的三角形式.特别提醒：一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值，这使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值.5．复数三角形式的乘、除运算若复数z 1＝r 1(cos θ1＋isin θ1)，z 2＝r 2(cos θ2＋isin θ2)，且z 1≠z 2，则(1)z 1z 2＝r 1(cos θ1＋isin θ1)·r 2(cos θ2＋isin θ2)＝r 1r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．(2)z 1z 2＝r 1(cos θ1＋isin θ1)r 2(cos θ2＋isin θ2)＝r 1r 2[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．即：（1）乘法法则：模相乘，辐角相加．（2）除法法则：模相除，辐角相减．（3）复数的n 次幂，等于模的n 次幂，辐角为n 倍．6.复数三角形式乘、除运算的几何意义两个复数z 1，z 2相乘时，先分别画出与z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→，然后把向量OZ 1→绕点O 按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2＜0，就要把OZ 1→绕点O 按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r 2倍，得到向量OZ →，OZ →表示的复数就是积z 1z 2.7．平面向量的概念名称定义记法零向量长度为0的向量叫做零向量单位向量长度等于1个单位的向量，叫做单位向量相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量a ＝b 说明，任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且方向一致的有向线段表示同一个向量平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量a ∥b 规定：零向量与任何向量都平行0∥a 说明：任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此，平行向量也叫有线向量8.平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.我们把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．9．向量a 与b 的夹角已知两个非零向量a 和b .作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角．当θ＝0°时，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向．如果a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b .10．平面向量的数量积(1)若a ，b 为非零向量，夹角为θ，则a·b ＝|a||b |cos θ.(2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(3)a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．11．两个非零向量平行、垂直的充要条件若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.12．利用数量积求长度(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2.(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.13．利用数量积求夹角设a ，b 为非零向量，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a·b|a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.14．三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则(1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a2sin A .(2)O 为△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →.(4)O 为△ABC 的内心⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0.例题1．设z C ∈，且()()()Re 0Re 0zz f z zz ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩.（1）已知()()()2429f z f z z i z C +-=-+∈，求z 的值；（2）若Re 0z ≥，设集合()()()(){}122120,P z f z f z i f z i f z z C =⋅-⋅+⋅-=∈，{}21,P iz z P ωω==∈，求复平面内2P 对应的点集表示的曲线的对称轴；（3）若()1z u u C =∈，()()211n n n z f z z n *+=++∈N ，是否存在u ，使得数列1z 、2z 、L 满足n m n z z +=（m 为常数，且m *∈N ）对一切正整数n 均成立？若存在，试求出所有的u ，若不存在，请说明理由.【答案】（1）23z i =-；（2）2x =；（3）存在u i =±符合要求，详见解析.【解析】【分析】（1）设z a bi =+，分0a ≥和0a <两种情况讨论，即可求出z 的值；（2）求解集合1P 、2P ，得到两集合的关系，再求两集合所表示的曲线的对称轴即可；（3）假设存在u C ∈满足题设要求，令Re n n a z =，Im n n b z =，易得对一切n *∈N 均有0n a ≥，且2211n nn n a a a b +=++-，()121n n n b a b +=+，根据数学归纳法可证：对任意的n *∈N ，()()(){},0,1,0,1n n a b ∈-，再记222n n n x a b =+，证明对任意m 、n *∈N ，均有m n n x x +>，可得n m n z z +=，从而，此时的{},u i i ∉-不满足要求，从而得出结论.【详解】（1）设(),z a bi a b R =+∈，则Re z a =.若0a ≥，则()f z z =，由已知条件可得329a bi i --=-+，a 、b R ∈，239a b -=-⎧∴⎨-=⎩，解得23a b =⎧⎨=-⎩，23z i ∴=-；若0a <，则()f z z =-，由已知条件可得7529a bi i --=-+，a 、b R ∈，7259a b -=-⎧∴⎨-=⎩，解得27a =（舍去），95b =-.综上所述，23z i =-；（2）设(),z a bi a b R =+∈，则Re z a =，且0a ≥.集合()()()(){}122120,P z f z f z i f z i f z z C =⋅-⋅+⋅-=∈，得()()()()22120a bi a bi i a bi i a bi +--++--=，化简得224120a b b ++-=，且0a ≥，()22216a b ++=.则点(),a b 是表示在以()0,2-为圆心，半径为4的右侧半圆周上的点.{}21,P iz z P ωω==∈，可得iz b ai ω==-+，集合2P 中的点为(),b a -，由于(),a b 是表示在以()0,2-为圆心，半径为4的右侧半圆周上的点.且点(),b a -与点(),a b 关于直线y x =-对称，则点(),b a -是表示在以点()2,0为圆心，半径为4的上侧半圆周上的点，故其对称轴为直线2x =；（3）设存在u C ∈满足题设要求，令Re n n a z =，Im n n b z =，易得对一切n *∈N ，都有0n a ≥，且2211n n n n a a a b +=++-，()121n n n b a b +=+.①（i ）若{},u i i ∈-，则{}n z 显然为常数数列，故u i =±满足题设要求；（ii ）若{},u i i ∉-，则用数学归纳法可证：对任意的n *∈N ，()()(){},0,1,0,1n n a b ∉-.证明：当1n =时，由{},u i i ∉-，可知()()(){}11,0,1,0,1a b ∉-.假设当n k =时，()()(){},0,1,0,1k k a b ∉-，那么当1n k =+时，若()()(){}11,0,1,0,1k k a b ++∈-，则10k a +=，11k b +=，故2210k k k a a b ++-=，()211k k a b +=，②如果0k a =，那么()()(){},0,1,0,1k k a b ∉-，可知1k b ≠，这与②矛盾；如果0k a >，那么()()(){}11,0,1,0,1a b ∉-，可知1k b ≠，这与②矛盾.综上可得，对任意的n *∈N ，()()(){},0,1,0,1n n a b ∉-.记222n n n x a b =+，注意到()()222211122n n n n n n x x a b a b +++-=+-+()()22222210n n n n n a a a a b ⎡⎤=++++-≥⎢⎥⎣⎦，即10n n x x +-≥，当且仅当0n a =，1n b =±，即()()(){},0,1,0,1n n a b ∈-时等号成立，于是有()1n n x x n N *+<∈，进而对任意的m 、n *∈N ，均有n m n x x +>，所以n m n z z +=.从而，此时的{},u i i ∉-不满足要求.综上所述，存在u i =±，使得数列1z 、2z 、L 满足n m n z z +=（m 为常数，且m *∈N ）对一切正整数n 均成立.【点睛】本题考查了复数的有关概念，考查复数的几何意义，同时也考查了以复数为载体的数列问题，涉及到数学归纳法的应用，综合性较强，属于难题.。
浙江省高三数学一轮复习 推理与证明单元训练
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是（）A．25 B．66 C．91 D．120【答案】C2．观察下图：则第( )行的各数之和等于20112.( )A．2010 B．2009C．1006 D．1005【答案】C3．设()|1|||f x x x=--, 则1[()]2f f=( )A．12-B． 0 C．12D． 1【答案】D4．有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为 ( )A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误【答案】C5．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A．62n-B．82n-C．62n+D．82n+【答案】C6．在十进制中01232004410010010210=⨯+⨯+⨯+⨯，那么在5进制中数码2004折合成十进制为( )A ．29B ． 254C ． 602D ． 2004 【答案】B7． 下面使用类比推理，得出正确结论的是 ( ）A ．“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =”B ．“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”C ．“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a bc c c+=+ (c ≠0）” D ．“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n（b ）”【答案】C8．已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为( )A ．4()22x f x =+ B ．2()1f x x =+ C ．1()1f x x =+D ．2()21f x x =+【答案】B9． 对于函数()f x ，若存在区间[,],()M a b a b =<，使得{|(),}y y f x x M M =∈=，则称区间M 为函数()f x 的一个“稳定区间”．现有四个函数：①()x f x e ；②3()f x x ，③()sin2f x x π= ④()ln f x x =．其中存在“稳定区间”的函数有（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④ 【答案】B10．下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象比较合适A ．三角形B ．梯形C ．平行四边形D ．矩形 【答案】C11． 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：.他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数.下列数中及时三角形数又是正方形数的是（ ）A．289 B．1024 C．1225 D．1378【答案】C12．把正整数按一定的规则排成了如图11－2所示的三角形数表．设a ij(i，j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a42＝8.若a ij＝2011，则i 与j的和为( )A．105B．106C．107D．108【答案】D第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13． 观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，则可归纳出________．【答案】1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n14．若数列{a n }满足a 1=1,a 2=2，a n =n 1n 2a a --(n ≥3且n ∈N *)，则a 17=_______. 【答案】1215．下面几种推理是合情推理的序号的是________． ①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°；③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n －2)·180°. 【答案】①②④16．观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，则52011的末四位数字为________． 【答案】8125三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．已知{a n }是由非负整数组成的数列，满足a 1＝0，a 2＝3，a 3＝2，a n ＋1a n ＝(a n －1＋2)(a n －2＋2)，n ＝3,4,5，….试用数学归纳法证明：a n ＝a n －2＋2，n ＝3,4,5，…；证明：①当n ＝3时，a 3＝2＝a 1＋2，所以等式成立；②假设当n ＝k ≥3时等式成立，即a k ＝a k －2＋2. 【答案】由题设有a k ＋1a k ＝(a k －1＋2)(a k －2＋2)． 由a k －2是非负整数，得a k ＝a k －2＋2≠0， ∴a k ＋1＝a k －1＋2，即当n ＝k ＋1时，等式也成立． 综合①②得：对任意正整数n ≥3， 都有a n ＝a n －2＋2.18．设n 为正整数，规定：f n (x)= ()n ff (f (f x ))个，已知f(x)= ()21x (0x 1)x 1 (1x 2)-≤≤⎧⎪⎨-≤⎪⎩， ，＜.(1)解不等式：f(x)≤x ；(2)设集合A={0,1,2}，对任意x ∈A,证明：f 3(x)=x ； (3)探求f 2 005(89)； (4)若集合B={x ︱f 12(x)=x ，x ∈［0，2］}，证明：B 中至少包含有8个元素. 【答案】(1)①当0≤x ≤1时，由2(1-x)≤x 得，x ≥23. ∴23≤x ≤1. ②当1＜x ≤2时，因x-1≤x 恒成立.∴1＜x ≤2. 由①②得，f(x)≤x 的解集为{x ︱23≤x ≤2}. (2)∵f(0)=2，f(1)=0，f(2)=1，∴当x=0时，f 3(0)=f(f(f(0)))=f(f(2))=f(1)=0； 当x=1时，f 3(1)=f(f(f(1)))=f(f(0))=f(2)=1； 当x=2时，f 3(2)=f(f(f(2)))=f(f(1))=f(0)=2. 即对任意x ∈A ，恒有f 3(x)=x.(3)f 1(89)=2(1-89)=29，f 2(89)=f(f(89))=f(29)=149, f 3(89)=f(f 2(89))= f(149)=149-1=59,f 4(89)=f(f 3(89))=f(59)=2(1-59)= 89， 一般地，f 4k+r (89)=f r (89)(k ∈N ，r=1,2,3,4)，∴f 2 005(89)=f 1(89)=29.(4)由题意知，f(23)=23,∴f n (23)=23.则f 12(23)=23.∴23∈B.由(2)知，对x=0或1或2，恒有f 3(x)=x ，∴f 12(x)=f 3×4(x)=x.则0，1，2∈B.由(3)知，对x=821459999，，，，恒有f 12(x)=f 3×4(x)=x ，∴821459999，，，∈B.综上所述，23，0，1，2，821459999，，，∈B.∴B 中至少含有8个元素.19．已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值.试对双曲线2222x y 1a b-=写出具有类似特征的性质，并加以证明.【答案】类似的性质为：若M ，N 是双曲线2222x y 1a b-=上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，k PM 与k PN 之积是与点P的位置无关的定值.证明：设点M ，P 的坐标分别为(m,n)，(x,y)，则N(-m ，-n).因为点M(m,n)在已知的双曲线上，所以n 2=22b a m 2-b 2.同理：y 2=22b a x 2-b 2.则k PM ·k PN =y n y n x m x m-+=-+222222222222y n b x m b x m a x m a--==--(定值). 20．用三段论证明：函数y=-x 2+2x 在(-∞,1］上是增函数. 【答案】设x 1,x 2∈(-∞,1］，且x 1<x 2.21．已知函数f (x )＝x 3，g (x )＝x ＋x ．(1)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数，并说明理由；(2)设数列{an }(n ∈N *)满足a 1＝a (a >0)，f (an ＋1)＝g (an )，证明：存在常数M ，使得对于任意的n ∈N *，都有an ≤M .【答案】(1)由h (x )＝x 3－x －x 知，x ∈[0，＋∞)，而h (0)＝0，且h (1)＝－1<0，h (2)＝6－2>0，则x ＝0为h (x )的一个零点，且h (x )在(1,2)内有零点．因此，h (x )至少有两个零点．解法一：h ′(x )＝3x 2－1－12x －12，记φ(x )＝3x 2－1－12x －12，则φ′(x )＝6x ＋14x －32．当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )>0，因此φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．又因为φ(1)>0，φ⎝⎛⎭⎪⎫33<0，则φ(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1内有零点，所以φ(x )在(0，＋∞)内有且只有一个零点．记此零点为x 1，则当x ∈(0，x 1)时，φ(x )<φ(x 1)＝0；当x ∈(x 1，＋∞)时，φ(x )>φ(x 1)＝0.所以，当x ∈(0，x 1)时，h (x )单调递减．而h (0)＝0，则h (x )在(0，x 1]内无零点；当x ∈(x 1，＋∞)时，h (x )单调递增，则h (x )在(x 1，＋∞)内至多只有一个零点，从而h (x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点． 综上所述，h (x )有且只有两个零点．解法二：由h (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1－x －12，记φ(x )＝x 2－1－x －12，则φ′(x )＝2x ＋12x －32．当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )>0，从而φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．φ(1)<0，φ(2)>0，所以φ(x )在(0，＋∞)上有一个零点．因此h (x )在(0，＋∞)内也有一个零点．综上所述，h (x )有且只有两个零点． (2)记h (x )的正零点为x 0，即x 30＝x 0＋x 0． (i)当a <x 0时，由a 1＝a ，即a 1<x 0.而a 32＝a 1＋a 1<x 0＋x 0＝x 30，因此a 2<x 0.由此猜测：a n <x 0.下面用数学归纳法证明． ①当n ＝1时，a 1<x 0显然成立．②假设当n ＝k (k ≥1)时，a k <x 0成立， 则当n ＝k ＋1时，由a 3k ＋1＝a k ＋a k <x 0＋x 0＝x 30知，a k ＋1<x 0. 因此，当n ＝k ＋1时，a k ＋1<x 0成立．故对任意的n ∈N *，a n <x 0成立．(ii)当a ≥x 0时，由(1)知，h (x )在(x 0，＋∞)上单调递增，则h (a )≥h (x 0)＝0，即a 3≥a ＋a ．从而a 32＝a 1＋a 1＝a ＋a ≤a 3，即a 2≤a .由此猜测：a n ≤a .下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，a 1≤a 显然成立．②假设当n ＝k (k ≥1)时，a k ≤a 成立，则当n ＝k ＋1时，由a 3k ＋1＝a k ＋a k ≤a ＋a ≤a 3知，a k ＋1≤a .因此，当n ＝k ＋1时，a k ＋1≤a 成立．故对任意的n ∈N *，a n ≤a 成立．综上所述，存在常数M ＝max{x 0，a }，使得对于任意的n ∈N *，都有a n ≤M .22．设f(n)=n n+1，g(n)=(n+1)n ,n ∈N *.(1)当n=1，2，3，4时，比较f(n)与g(n)的大小.[ (2)根据(1)的结果猜测一个一般性结论，并加以证明.【答案】(1)f(1)＜g(1),f(2)＜g(2),f(3)＞g(3), f(4)＞g(4).(2)猜想：当n ≥3，n ∈N *时，有n n+1＞(n+1)n. 证明：①当n=3时，由(1)知猜想成立.。
高考数学不等式、推理与证明、复数(含高考真题)
高中数学不等式、推理与证明、复数（含高考真题及解析）1．【2022年全国甲卷】若z=1+i．则|i z+3z̅|=（）A．4√5B．4√2C．2√5D．2√2【答案】D【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．【详解】因为z=1+i，所以i z+3z̅=i(1+i)+3(1−i)=2−2i，所以|i z+3z̅|=√4+4=2√2．故选：D.2．【2022年全国甲卷】若z=−1+√3i，则zzz̅−1=（）A．−1+√3i B．−1−√3i C．−13+√33iD．−13−√33i【答案】C【解析】【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.【详解】z̅=−1−√3i,zz̅=(−1+√3i)(−1−√3i)=1+3=4.z zz̅−1=−1+√3i3=−13+√33i故选：C3．【2022年全国乙卷】设(1+2i)a+b=2i，其中a,b为实数，则（）A．a=1,b=−1B．a=1,b=1C．a=−1,b=1D．a=−1,b=−1【答案】A【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．因为a,b∈R，(a+b)+2a i=2i，所以a+b=0,2a=2，解得：a=1,b=−1．故选：A.4．【2022年全国乙卷】若x，y满足约束条件{x+y⩾2,x+2y⩽4,y⩾0,则z=2x−y的最大值是（）A．−2B．4C．8D．12【答案】C【解析】【分析】作出可行域，数形结合即可得解.【详解】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，转化目标函数z=2x−y为y=2x−z，上下平移直线y=2x−z，可得当直线过点(4,0)时，直线截距最小，z最大，所以z max=2×4−0=8.故选：C.5．【2022年全国乙卷】已知z=1−2i，且z+az̅+b=0，其中a，b为实数，则（）A．a=1,b=−2B．a=−1,b=2C．a=1,b=2D．a=−1,b=−2【答案】A【解析】先算出z̅,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可 【详解】z̅=1+2iz +az̅+b =1−2i +a(1+2i )+b =(1+a +b)+(2a −2)i由z +az̅+b =0,得{1+a +b =02a −2=0 ,即{a =1b =−2 故选:A6．【2022年新高考1卷】若i (1−z)=1，则z +z̅=（ ） A ．−2 B ．−1 C ．1 D ．2【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法可求z ，从而可求z +z̅. 【详解】由题设有1−z =1i =i i2=−i ，故z =1+i ，故z +z̅=(1+i )+(1−i )=2，故选：D7．【2022年新高考2卷】(2+2i )(1−2i )=（ ） A ．−2+4i B ．−2−4iC ．6+2iD ．6−2i【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的乘法可求(2+2i )(1−2i ). 【详解】(2+2i )(1−2i )=2+4−4i +2i =6−2i ， 故选：D.8．【2022年北京】若复数z 满足i ⋅z =3−4i ，则|z |=（ ） A ．1 B ．5C ．7D ．25【答案】B 【解析】利用复数四则运算，先求出z，再计算复数的模．【详解】由题意有z=3−4ii =(3−4i)(−i)i⋅(−i)=−4−3i，故|z|=√(−4)2+(−3)2=5．故选：B．9．【2022年浙江】已知a,b∈R,a+3i=(b+i)i（i为虚数单位），则（）A．a=1,b=−3B．a=−1,b=3C．a=−1,b=−3D．a=1,b=3【答案】B【解析】【分析】利用复数相等的条件可求a,b.【详解】a+3i=−1+b i，而a,b为实数，故a=−1,b=3，故选：B.10．【2022年浙江】若实数x，y满足约束条件{x−2≥0,2x+y−7≤0,x−y−2≤0,则z=3x+4y的最大值是（）A．20B．18C．13D．6【答案】B【解析】【分析】在平面直角坐标系中画出可行域，平移动直线z=3x+4y后可求最大值.【详解】不等式组对应的可行域如图所示：当动直线3x +4y −z =0过A 时z 有最大值. 由{x =22x +y −7=0可得{x =2y =3，故A(2,3)， 故z max =3×2+4×3=18， 故选：B.11．【2022年浙江】已知a,b ∈R ，若对任意x ∈R,a|x −b|+|x −4|−|2x −5|≥0，则（ ） A ．a ≤1,b ≥3 B ．a ≤1,b ≤3 C ．a ≥1,b ≥3 D ．a ≥1,b ≤3【答案】D 【解析】 【分析】将问题转换为a|x −b|≥|2x −5|−|x −4|，再结合画图求解． 【详解】由题意有：对任意的x ∈R ，有a|x −b|≥|2x −5|−|x −4|恒成立．设f(x)=a|x −b|，g(x)=|2x −5|−|x −4|={1−x,x ≤523x −9,52<x <4x −1,x ≥4，即f(x)的图像恒在g(x)的上方（可重合），如下图所示：由图可知，a≥3，1≤b≤3，或1≤a<3，1≤b≤4−3a≤3，故选：D．12．【2022年新高考2卷】（多选）若x，y满足x2+y2−xy=1，则（）A．x+y≤1B．x+y≥−2C．x2+y2≤2D．x2+y2≥1【答案】BC【解析】【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．【详解】因为ab≤(a+b2)2≤a2+b22（a,b∈R），由x2+y2−xy=1可变形为，(x+y)2−1=3xy≤3(x+y2)2，解得−2≤x+y≤2，当且仅当x=y=−1时，x+y=−2，当且仅当x=y=1时，x+y=2，所以A错误，B正确；由x2+y2−xy=1可变形为(x2+y2)−1=xy≤x2+y22，解得x2+y2≤2，当且仅当x=y =±1时取等号，所以C正确；因为x2+y2−xy=1变形可得(x−y2)2+34y2=1，设x−y2=cosθ,√32y=sinθ，所以x=cosθ+√3y=√3，因此x2+y2=cos2θ+53sin2θ√3=1+√3−13cos2θ+13=43+23sin(2θ−π6)∈[23,2]，所以当x=√33,y=−√33时满足等式，但是x2+y2≥1不成立，所以D错误．故选：BC ．1．（2022·北京四中三模）在复平面内，复数12iiz -=对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则求复数z 的代数形式，根据复数的几何意义确定对应点的象限. 【详解】()()()12i i 12i 2i i i i z -⋅--===--⋅-， 所以复数z 在复平面上的对应点为()2,1--，该点在第三象限. 故选：C.2．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知复数23i i i 1iz ++=+，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（ ）A ．0B ．12C ．1D ．2【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法可求z ，进而可求z z ⋅. 【详解】∵()()23i i i 11i 11i 1i 1i 1i 1i 22z ++--+====-++++-， 所以1111111i i =2222442z z ⎛⎫⎛⎫⋅=---++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B ．3．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））复数z 满足()12i 3i z +=-，则z 的虚部为（ ） A ．75-B ．7i 5-C ．7i 5D ．15【答案】A 【解析】 【分析】化简方程求出复数z 的代数形式，结合复数虚部的定义确定其虚部. 【详解】因为()12i 3i z +=-，所以()()()()3i 12i 3i 17i 17i 12i 12i 12i 555z ----====-++-， 所以复数z 的虚部为75-，故选：A.4．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（文））观察下列等式，3211=，332123+=，33321236++=，33332123410+++=，根据上述规律，3333333123456n ++++++⋅⋅⋅+=（ ） A ．43224n n n ++B ．43224n n n ++C ．43224n n n -+D ．43224n n n -+【答案】B 【解析】 【分析】根据3211=，23()212=+，26()2123=++，210()21234=+++，观察其规律，可得3333333123456n ++++++⋅⋅⋅+=()21234n +++++.【详解】3211=，332123+=()212=+，33321236++=()2123=++， 33332123410+++=()21234=+++，根据上述规律，得3333333123456n ++++++⋅⋅⋅+=()21234n +++++2(1)2n n +⎛⎫= ⎪⎝⎭=43224n n n++. 故选：B.5．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）若复数z 满足1i 1i z -=+（） ，则z =（ ） A ．i - B ．i C ．1 D ．1-【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求得复数z ，继而可得其共轭复数. 【详解】由题意1i 1i z -=+（），得21i (1i)i 1i 2z ++===-， 故i z =-， 故选：A6．（2022·四川眉山·三模（文））由若干个完全一样的小正方体无空隙地堆砌（每相邻两层堆砌的规律都相同）成一个几何体，几何体部分如图所示.用下面公式不能计算出该几何体三视图中所看到的小正方体或全部小正方体个数的是（ ）A ．()1122n n n +++⋅⋅⋅+=B ．()21321n n ++⋅⋅⋅+-=C ．()()222121126n n n n ++++⋅⋅⋅+=D ．()223331124n n n +++⋅⋅⋅+=【答案】D 【解析】 【分析】计算正视图或左视图看到的小正方形的个数是相同的，再计算俯视图中看到的小正方形的个数和几何体的全部小正方体个数即可. 【详解】从正视图或左视图可以看出小正方形的个数为()1122n n n +++⋅⋅⋅+= 从俯视图可以看到小正方形的个数为()21321n n ++⋅⋅⋅+-=几何体的全部小正方体个数为()()222121126n n n n ++++⋅⋅⋅+=故选：D.7．（2022·北京·北大附中三模）已知0a b >>，下列不等式中正确的是（ ） A ．c ca b> B ．2ab b < C ．12a b a b-+≥- D ．1111a b <-- 【答案】C 【解析】 【分析】由0a b >>，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论. 【详解】解：对于选项A ，因为110,0a b a b>><<，而c 的正负不确定，故A 错误； 对于选项B ，因为0a b >>，所以2ab b >，故B 错误；对于选项C ，依题意0a b >>，所以10,0a b a b ->>-，所以12a b a b-+≥=-，故C 正确；对于选项D ，因为10,111,1a b a b a >>->->--与11b -正负不确定，故大小不确定，故D 错误； 故选：C.8．（2022·山东泰安·模拟预测）已知42244921x x y y ++=，则2253x y +的最小值是（ ）A ．2B ．127 C ．52D ．3【答案】A 【解析】 【分析】对原式因式分解得()()2222421x y x y ++=，然后利用基本不等式即可求解. 【详解】由42244921x x y y ++=，得()()222222222222425342122x y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++++++=≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()222453x y ≤+，所以22532x y +≥，当且仅当222242x y x y +=+，即22337y x ==时，等号成立，所以2253x y +的最小值是2. 故选：A.9．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知实数a ，b 满足()2log 1,01a a b a +=<<，则21log 4b a a -的最小值为（ ） A ．0 B ．1- C ．1 D ．不存在【答案】A 【解析】 【分析】由题设条件可得2log 1a b a =-，从而利用换底公式的推论可得21log 1b a a =-，代入要求最小值的代数式中，消元，利用均值不等式求最值 【详解】2log 1a a b +=2log 1a b a ⇒=-21log 1b a a ⇒=- 又01a <<，则2011a <-<()()22211log 11441b a a a a -=+---10≥=当且仅当()221141a a =--即a = 故选：A10．（2022·全国·模拟预测）已知正实数x ，y 满足()21x y =，则2x y+的最小值为（ ） A ．1 B ．2C ．4D ．32【答案】B【解析】 【分析】将已知的式子12x y ==()f t t =0t >，的单调性，从而可得12x y =，即21xy =，再利用基本不等式可求得结果 【详解】因为()21x y =，所以12x y ==设()f t t =0t >，易知()f t t =()0,∞+上单调递增，故12x y =，即21xy =，又0x >，0y >，所以22x y +≥=， 当且仅当2x y =时取等号， 所以2x y +的最小值为2． 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：此题考查函数单调性的应用，考查基本不等式的应用，解题的关键是将已知等式转化为等式两边结构相同的形式，然后构造函数判断其单调性，从而可得21xy =，再利用基本不等式可求得结果，考查数学转化思想，属于较难题11．（2022·北京·101中学三模）设m 为实数，复数1212i,3i z z m =+=+（这里i 为虚数单位），若12z z ⋅为纯虚数，则12z z +的值为______．【答案】【解析】 【分析】先根据12z z ⋅为纯虚数计算出m 的值，再计算12z z + ，最后计算12z z +的值 【详解】1212i,3i z z m =+=+，23i z m ∴=-12(12i)(3i)3i 2i 6(6)(23)i z z m m m m m ⋅=+-=-++=++-∴ 12z z ⋅为纯虚数 606m m ∴+=⇒=-12(12i)(63i)55i z z ∴+=++-+=-+12z z ∴+故答案为：12．（2022·全国·模拟预测）已知正数a ，b 满足21a b +=，则2221a b ab++的最小值为______．【答案】4##4+【解析】 【分析】根据题意得()222222221a b a b a b ab ab+++++=，再化简整理利用基本不等式求解即可. 【详解】()22222222221246a b a b a b a ab b ab ab ab+++++++==26444a b b a =++≥=，当且仅当2621a bba ab ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即3a =，2b =故答案为：4.13．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）已知正数,,a b c ，则2222ab bca b c +++的最大值为_________．【解析】 【分析】将分母变为222212233a b b c ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，分别利用基本不等式即可求得最大值.【详解】2222222122233abbc ab bca b ca b b c++=≤++⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当=c=时取等号），2222ab bca b c+∴++14．（2022·宁夏·吴忠中学三模（理））在第24届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花飘拂在国家体育场上空，畅想着“一起向未来”的美好愿景.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：图1，正三角形的边长为1，在各边取两个三等分点，往外再作一个正三角形，得到图2中的图形；对图2中的各边作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形，记第n个图形（图1为第一个图形）中的所有外围线段长的和为n c，则满足12381nc c c c++++>的最小正整数n的值为______.（参考数据：lg20.3010≈，lg30.4771≈）【答案】9【解析】【分析】根据图形变化规律分析出n c的通项公式，然后求和确定.【详解】由图形变化规律可得11231643,4,,,3()33nnc c c c-===⋅⋅⋅=⨯，12343(1())439(()1)814313nnnc c c c-++++==->-，则有441()10lg()lg108.006332lg2lg3n n n>⇒>⇒>=-，所以最小正整数n的值为9.故答案为：9.15．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）若i为虚数单位，复数z满足11iz≤++≤则1i z --的最大值为_______.【答案】【解析】 【分析】利用复数的几何意义知复数z 对应的点Z 到点(1,1)C --的距离d 满足1d ≤≤1i z --表示复数z 对应的点Z 到点(1,1)P 的距离，数形结合可求得结果. 【详解】复数z 满足11z i ≤++()11i z ≤---≤即复数z 对应的点Z 到点(1,1)C --的距离d 满足1d ≤设(1,1)P ，1i z --表示复数z 对应的点Z 到点(1,1)P 的距离数形结合可知1i z --的最大值||||AP CP ==故答案为：。
高考数学大一轮复习配套课时训练：第十一篇 复数、算法、推理与证明 第3节 合情推理与演绎推理(含答案)
第3节合情推理与演绎推理课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.推理“①矩形是平行四边形;②三角形不是平行四边形;③三角形不是矩形”中的小前提是( B )(A)① (B)② (C)③ (D)①和②解析:由演绎推理三段论可知,①是大前提;②是小前提;③是结论.故选B.2.(2013河南焦作二模)给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集,R 为实数集,C为复数集):①“若a,b∈R,则a-b=0⇒a=b”类比推出“若a,b∈C,则a-b=0⇒a=b”;②“若a,b,c,d∈R,则复数a+bi=c+di⇒a=c,b=d”类比推出“若a, b,c,d∈Q,则a+b=c+d⇒a=c,b=d”;③若“a,b∈R,则a-b>0⇒a>b”类比推出“若a,b∈C,则a-b>0⇒a>b”.其中类比结论正确的个数是( C )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:①②正确,③错误,因为两个复数如果不是实数,不能比较大小.故选C.3.(2013上海闸北二模)平面内有n条直线,最多可将平面分成f(n)个区域,则f(n)的表达式为( C )(A)n+1 (B)2n(C)(D)n2+n+1解析:1条直线将平面分成1+1个区域;2条直线最多可将平面分成1+(1+2)=4个区域;3条直线最多可将平面分成1+(1+2+3)=7个区域; ……;n条直线最多可将平面分成1+(1+2+3+…+n)=1+=个区域,选C.4.定义A*B,B*C,C*D,D*A的运算分别对应图中的(1)(2)(3)(4),那么如图中(a)(b)所对应的运算结果可能是( B )(A)B*D,A*D (B)B*D,A*C(C)B*C,A*D (D)C*D,A*D解析:观察图形及对应运算分析可知,基本元素为A→|,B→□,C→—,D→○,从而可知图(a)对应B*D,图(b)对应A*C.故选B.5.已知“整数对”按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…,则第60个数对是( B )(A)(7,5) (B)(5,7) (C)(2,10) (D)(10,1)解析:依题意,由和相同的整数对分为一组不难得知,第n组整数对的和为n+1,且有n个整数对.这样前n组一共有个整数对.注意到<60<.因此第60个整数对处于第11组的第5个位置,可得为(5,7).故选B.6.对于a、b∈(0,+∞),a+b≥2(大前提),x+≥2(小前提),所以x+≥2(结论).以上推理过程中的错误为( A )(A)小前提(B)大前提(C)结论 (D)无错误解析:大前提是a,b∈(0,+∞),a+b≥2,要求a、b都是正数;x+≥2是小前提,没写出x的取值范围,因此本题中的小前提有错误.故选A.二、填空题7.(2013山东实验中学一模)以下是对命题“若两个正实数a1,a2满足+=1,则a≤”的证明过程:证明:构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2=2x2-2(a1+a2)x+1,因为对一切实数x,恒有f(x)≥0,所以Δ≤0,从而得4(a1+a2)2-8≤0,所以a 1+a2≤.根据上述证明方法,若n个正实数满足++…+=1时,你能得到的结论为.(不必证明)解析:由题意可构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-a n)2=nx2-2(a1+a2+…+a n)x+1,因为对一切实数x,恒有f(x)≥0,所以Δ=4(a1+a2+…+a n)2-4n≤0,即a 1+a2+…+a n≤.答案:a 1+a2+…+a n≤8.(2013茂名一模)已知21×1=2,22×1×3=3×4,23×1×3×5=4×5×6,24×1×3×5×7=5×6×7×8,…依此类推,第n个等式为.解析:由前4个等式可归纳得出第n个等式为2n×1×3×5×…×(2n-1)=(n+1)(n+2)…(n+n).答案:2n×1×3×5×…×(2n-1)=(n+1)(n+2)…(n+n)9.(2013江西师大附中模拟)若数轴上不同的两点A,B分别与实数x1,x2对应,则线段AB的中点M与实数对应,由此结论类比到平面得,若平面上不共线的三点A,B,C分别与二元实数对(x1,y1),(x2,y2), (x3,y3)对应,则△ABC的重心G与对应.解析:由类比推理得,若平面上不共线的三点A,B,C分别与二元实数对(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)对应,则△ABC的重心G与(,)对应.答案:(,)10.设等差数列{a n}的前n项和为S n,则S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{b n}的前n项积为T n,则T4,, ,成等比数列.解析:对于等比数列,通过类比等差数列的差与等比数列的商,可得T4,,,成等比数列.答案:11.用黑白两种颜色的正方形地砖依照如图所示的规律拼成若干个图形,则按此规律,第100个图形中有白色地砖块;现将一粒豆子随机撒在第100个图中,则豆子落在白色地砖上的概率是.解析:按拼图的规律,第1个图有白色地砖3×3-1(块),第2个图有白色地砖3×5-2(块),第3个图有白色地砖3×7-3(块),…,则第100个图中有白色地砖3×201-100=503(块).第100个图中黑白地砖共有603块,则将一粒豆子随机撒在第100个图中,豆子落在白色地砖上的概率是.答案:503三、解答题12.在锐角三角形ABC中,求证:sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+ cos C.证明:∵△ABC为锐角三角形,∴A+B>,∴A>-B,∵y=sin x在上是增函数,∴sin A>sin=cos B,同理可得sin B>cos C,sin C>cos A,∴sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C.B组13.在实数集R中定义一种运算“*”,对任意给定的a,b∈R,a*b为唯一确定的实数,且具有性质(1)对任意a,b∈R,a*b=b*a;(2)对任意a∈R,a*0=a;(3)对任意a,b∈R,(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(c*b)-2c.关于函数f(x)=(3x)*的性质,有如下说法①函数f(x)的最小值为3;②函数f(x)为奇函数;③函数f(x)的单调递增区间为,.其中所有正确说法的个数为( B )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:f(x)=f(x)*0=*0=0*+[(3x)*0]+-2×0=3x×+3x+=3x++1.当x=-1时,f(x)<0,故①错误;因为f(-x)=-3x-+1≠-f(x),所以②错误;令f'(x)=3->0,得x>或x<-,因此函数f(x)的单调递增区间为,,③正确.故选B. 14.(2013中山市高三期末)如图,对大于或等于2的自然数m的n次幂进行如下方式的“分裂”:仿此,62的“分裂”中最大的数是;20133的“分裂”中最大的数是.解析:22的“分裂”中最大的数是3=2×2-1,32的“分裂”中最大的数是5=2×3-1,42的“分裂”中最大的数是7=2×4-1,…,由归纳推理可得62的“分裂”中最大的数是2×6-1=11;23的“分裂”中最大的数是5=22+1,33的“分裂”中最大的数是11=32+2,43的“分裂”中最大的数是19=42+3,…,由归纳推理可得20133的“分裂”中最大的数是20132+2012.答案:11 20132+201215.已知函数f(x)=,(1)分别求f(2)+f(),f(3)+f(),f(4)+f()的值;(2)归纳猜想一般性结论,并给出证明;(3)求值:f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2013)+f()+f()+…+f().解:(1)∵f(x)=,∴f(2)+f()=+=+=1,同理可得f(3)+f()=1,f(4)+f()=1.(2)由(1)猜想f(x)+f()=1,证明:f(x)+f()=+=+=1.(3)f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2013)+f()+f()+…+f() =f(1)+[f(2)+f()]+[f(3)+f()]+…+[f(2013)+f()]=+=+2012=.。
浙江省高三数学专题复习攻略 第一部分专题六第四讲 推
《优化方案》高三专题复习攻略（新课标）数学浙江理科第一部分专题六第四讲 推理与证明、算法初步、复数专题针对训练一、选择题1．下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( )A ．三角形B ．梯形C ．平行四边形D ．矩形解析：选C.因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C.2．(2011年广东佛山质检)已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(1－2i)(a ＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a >12”是“点M 在第四象限”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.z ＝(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i ，若其对应的点在第四象限，则a＋2>0，且1－2a <0，解得a >12.即“a >12”是“点M 在第四象限”的充要条件．3.如图是求x 1，x 2，…，x 10的乘积S 的程序框图，图中空白框中应填入的内容为( )A ．S ＝S ·(n ＋1)B ．S ＝S ·x n ＋1C ．S ＝S ·nD ．S ＝S ·x n解析：选D.分析循环变量，易知赋值框内应填入S ＝S ·x n .4．设a ，b 是两个数字，给出下列条件：(1)a ＋b >1；(2)a ＋b ＝2；(3)a ＋b >2；(4)a 2＋b 2>2；(5)ab >1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是( )A ．(2)(3)B ．(1)(2)(3)C ．(3)D ．(3)(4)(5)解析：选C.若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1， 但a <1，b <1，故(1)推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故(2)推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，ab >1，故(4)(5)推不出；对于(3)，若a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1，用反证法证明，假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾．5．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程中，第二步假设当n ＝k时等式成立，则当n ＝k ＋1时应得到( )A ．1＋2＋22＋…＋2k －2＋2k －1＝2k ＋1－1B ．1＋2＋22＋…＋2k ＋2k ＋1＝2k －1－1＋2k ＋1C ．1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＋1＝2k ＋1－1D ．1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k －1＋2k解析：选D.把n ＝k ＋1代入1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1，得1＋2＋22＋…＋2k ＝2k －1＋2k .二、填空题6．设z ＝1－i(i 是虚数单位)，则复数(2z＋z 2)·z ＝__________.解析：对于2z ＋z 2＝21－i＋(1－i)2＝1＋i －2i ＝1－i ， 故(2z＋z 2)·z ＝(1－i)(1＋i)＝2.故填2. 答案：27．已知i 是虚数单位，m 和n 都是实数，且m (1＋i)＝1＋n i ，则(m ＋n i m －n i)2011等于__________．解析：由m (1＋i)＝1＋n i ，得m ＝n ＝1，∴(m ＋n i m －n i )2011＝(1＋i 1－i)2011＝i 2011＝－i. 答案：－i8. (2011年山东济南调研)如框图所示，已知集合A ＝{x |框图中输出的x 值}，集合B ＝{y |框图中输出的y 值}，全集U ＝Z ，Z 为整数集．当x ＝－1时，(∁U A )∩B ＝__________.解析：当x ＝－1时，输出y ＝2×(－1)－1＝－3，x ＝－1＋1＝0，且0>5不成立；当x ＝0时，输出y ＝2×0－1＝－1，x ＝0＋1＝1，且1>5不成立；当x ＝1时，输出y ＝2×1－1＝1，x ＝1＋1＝2，且2>5不成立；依次类推，可知A ＝{0,1,2,3,4,5,6}，B ＝{－3，－1,1,3,5,7,9}，故(∁U A )∩B ＝{－3，－1,7,9}．答案：{－3，－1,7,9}三、解答题9．(2011年高考上海卷)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.解：∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，∴z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i ，a ∈R .z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i.∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4，∴z 2＝4＋2i.10．为了让学生更多地了解“数学史”知识，某中学高二年级举办了一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音”的数学史知识竞赛活动，共有800名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计．请你根据频率分布表，解答下列问题：序号(i) 分组(分数) 组中值(G i ) 频数(人数) 频率(F i )1 [60,70) 65 ① 0.122 [70,80) 75 20 ②3 [80,90) 85 ③ 0.244[90,100] 95 ④ ⑤合计 50 1(1)填充频率分布表中的空格(在解答中直接写出对应空格序号的答案)；(2)为鼓励更多的学生了解“数学史”知识，成绩不低于85分的同学能获奖，请估计在参加的800名学生中大概有多少名同学获奖？(3)在上述统计数据的分析中有一项计算见如图所示的程序框图，求输出S 的值．解：(1)①为6，②为0.4，③为12，④为12，⑤为0.24.(2)(12×0.24＋0.24)×800＝288，即在参加的800名学生中大概有288名同学获奖． (3)由程序框图，知S ＝G 1F 1＋G 2F 2＋G 3F 3＋G 4F 4＝65×0.12＋75×0.4＋85×0.24＋95×0.24＝81.11．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．(1)求出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f 1＋1f 2－1＋1f 3－1＋…＋1f n －1的值． 解：(1)f (5)＝41.(2)因为f (2)－f (1)＝4＝4×1，f (3)－f (2)＝8＝4×2，f (4)－f (3)＝12＝4×3，f (5)－f (4)＝16＝4×4，…由上式规律，所以得出f (n ＋1)－f (n )＝4n .因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ⇒f (n ＋1)＝f (n )＋4n ⇒f (n )＝f (n －1)＋4(n －1)＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＝…＝f (1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4＝2n 2－2n ＋1.(3)当n ≥2时，1f n －1＝12n n －1＝12(1n －1－1n)， ∴1f 1＋1f 2－1＋1f 3－1＋…＋1f n －1＝1＋12(1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n )1 2(1－1n)＝32－12n.＝1＋。
浙江省高三数学专题复习回扣九推理与证明、复数理
回扣九 自选模块(推理与证明、复数)陷阱盘点1 忽视复数、实数、虚数、纯虚数相关概念致误复数z 为纯虚数的充要条件是a ＝0且b ≠0(z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ))．还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧．[回扣问题1]设i 是虚数单位，复数z ＝1＋a i 2＋i是纯虚数，则实数a ＝________． 陷阱盘点2 类比目标不清，归纳推理不明致误类比推理易盲目机械类比，不要被表面的假象(某一点表面相似)迷惑，应从本质上类比．[回扣问题2]图1有面积关系：S △PA ′B ′S △PAB ＝PA ′·PB ′PA ·PB，则图2有体积关系：____________．陷阱盘点3 反证法证明命题，反设不当致错，特别是“至多”、“至少”进行否定不全，容易遗漏[回扣问题3]用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设____________．陷阱盘点4 数学归纳法证明中，两个步骤间关系理解错误用数学归纳法证明时，易盲目认为n 0的起始取值n 0＝1，另外注意证明传递性时，必须用n ＝k 成立的归纳假设．[回扣问题4]设数列{a n }的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1(n ∈N *)．(1)求a 1，a 2；(2)猜想数列{S n }的通项公式，并给出证明．回扣九 自选模块(推理与证明、复数)1．－2 [z ＝1＋a i 2＋i ＝（1＋a i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝（2＋a ）＋（2a －1）i 5. 因为z 为纯虚数，a ∈R ，∴2＋a 5＝0且2a －15≠0，则a ＝－2.] 2.V 棱锥P －A ′B ′C ′V 棱锥P －ABC ＝PA ′·PB ′·PC ′PA ·PB ·PC3．三角形三个内角都大于60° [“三角形三个内角至少有一个不大于60°”的反面是“三个内角都大于60°”．]4．解 (1)当n ＝1时，方程x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1，∴(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得a 1＝12，当n ＝2时，方程x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 1＋a 2－1＝a 2－12， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－122－a 2⎝⎛⎭⎪⎫a 2－12－a 2＝0，解得a 2＝16. (2)由题意知(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入上式整理得S n S n －1－2S n ＋1＝0，解得S n ＝12－S n －1. 由(1)得S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝23， 猜想S n ＝n n ＋1(n ∈N *)． 下面用数学归纳法证明这个结论．①当n ＝1时，结论成立．②假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时结论成立，即S k ＝k k ＋1，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝12－S k＝12－k k ＋1＝k ＋1k ＋2. 即当n ＝k ＋1时结论成立． 由①②知S n ＝n n ＋1对任意的正整数n 都成立．。
高考数学一轮复习 125 推理与证明、算法初步、复数课
第5讲 复 数基础巩固题组 (建议用时：20分钟)一、填空题1．(2014·江西卷改编)若复数z 满足z (1＋i)＝2i(i 为虚数单位)，则|z |＝________.解析 ∵z (1＋i)＝2i ，z ＝2i1＋i＝1＋i ，|z |＝ 2. 答案22．(2014·福建卷改编)复数(3＋2i)i 等于________．解析 (3＋2i)i ＝3i ＋2i 2＝－2＋3i. 答案 －2＋3i3．(2014·广东卷改编)已知复数z 满足(3－4i)z ＝25，则z ＝________.解析 z ＝253－4i ＝25×3＋4i 3－4i 3＋4i ＝25×3＋4i 25＝3＋4i.答案 3＋4i4．(2014·陕西卷改编)已知复数z ＝2－i ，则z ·z 的值为________．解析 ∵z ＝2－i ，∴z ＝2＋i ， ∴z ·z ＝(2－i)(2＋i)＝22＋1＝5. 答案 55．(2015·东北三省四市联考)复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则复数z 在复平面内对应的点在第________象限．解析 由(1＋i)z ＝2i 得z ＝2i1＋i＝2i 1－i 1＋i 1－i ＝2i ＋22＝1＋i ，则复数z 在复平面内对应的点为(1,1)，该点在第一象限． 答案 一6．(2015·徐州检测)已知复数z ＝－2i ，则1z ＋1的虚部为________． 解析 复数1z ＋1＝11－2i ＝1＋2i 1－2i 1＋2i ＝1＋2i 5的虚部是25.答案 257．(2014·湖南卷)复数3＋ii2(i 为虚数单位)的实部等于______．解析 ∵3＋i i 2＝3＋i －1＝－3－i ，∴3＋ii 2的实部为－3.答案 －38．(2014·浙江卷)已知i 是虚数单位，计算1－i1＋i2＝________.解析1－i 1＋i2＝1－i 2i ＝1＋i －2＝－12－12i. 答案 －12－12i9．(2014·南京、盐城模拟)已知复数 z 1＝－2＋i ，z 2＝a ＋2i(i 为虚数单位，a ∈R )．若z 1z 2为实数，则a 的值为________．解析 由z 1z 2＝(－2＋i)(a ＋2i)＝－2a －2＋(a －4)i 是实数得虚部a －4＝0，解得a ＝4. 答案 410．(2014·成都诊断)设复数z ＝3＋i(i 为虚数单位)在复平面中对应点A ，将OA 绕原点O 逆时针旋转90°得到OB ，则点B 在第________象限．解析 因为复数z 对应点的坐标为(3,1)，所以点A 位于第一象限，所以逆时针旋转π2后对应的点B 在第二象限． 答案 二11．(2015·武汉调研)若复数(m 2－5m ＋6)＋(m 2－3m )i(m 为实数，i 为虚数单位)是纯虚数，则m ＝________.解析 复数(m 2－5m ＋6)＋(m 2－3m )i 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－5m ＋6＝0，m 2－3m ≠0，解得m ＝2.答案 212．(2015·苏北四市调研)复数(3＋i)m －(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是________．解析 z ＝(3m －2)＋(m －1)i ，其对应点(3m －2，m －1)，在第三象限内，故3m －2<0且m －1<0，∴m <23.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23能力提升题组 (建议用时：10分钟)1．下面是关于复数z ＝2－1＋i的四个命题：p 1：|z |＝2; p 2：z 2＝2i ； p 3：z 的共轭复数为1＋i;p 4：z 的虚部为－1.其中所有的真命题为________．解析 利用复数的有关概念以及复数的运算求解． ∵z ＝2－1＋i＝－1－i ，∴|z |＝－12＋－12＝2，∴p 1是假命题；∵z 2＝(－1－i)2＝2i ，∴p 2是真命题；∵z ＝－1＋i ，∴p 3是假命题；∵z 的虚部为－1，∴p 4是真命题．其中的真命题共有2个：p 2，p 4. 答案 p 2，p 4 2．设f (n )＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n (n ∈N *)，则集合{f (n )}中元素的个数为________．解析 f (n )＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n ＝i n ＋(－i)n ，f (1)＝0，f (2)＝－2，f (3)＝0，f (4)＝2，f (5)＝0，…∴集合中共有3个元素． 答案 33．(2015·岳阳一中检测)已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i2 0141＋i ，则复数z 在复平面内对应的点为________． 解析 ∵i4n ＋1＋i4n ＋2＋i4n ＋3＋i4n ＋4＝i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，而 2 013＝4×503＋1,2 014＝4×503＋2，∴z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i2 0141＋i ＝i ＋i 21＋i ＝－1＋i 1＋i ＝－1＋i 1－i 1＋i1－i ＝2i2＝i ，对应的点为(0,1)． 答案 (0,1)4．定义运算⎪⎪⎪⎪a c b d ＝ad －bc .若复数x ＝1－i 1＋i，y ＝⎪⎪⎪⎪4i 2 x ix ＋i ，则y ＝________.解析 因为x ＝1－i 1＋i ＝1－i22＝－i.所以y ＝⎪⎪⎪⎪4i 2 x i x ＋i ＝⎪⎪⎪⎪4i 2 10＝－2.答案 －2。
浙江省高考数学一轮复习 专题13 复数的运算特色训练
十三、 复数的运算一、选择题1．【2017届浙江省嘉兴一中、杭州高级中学、宁波效实中学等高三下五校联考】若复数z 满足232z z i +=+,其中i 为虚数单位,则z =( ) A. 12i - B. 12i + C. 12i -- D. 12i -+ 【答案】B2．【2017届浙江省湖州、衢州、丽水三市高三4月联考】已知复数()2z i i =-，其中i 是虚数单位，则z 的模z = ( )【答案】B【解析】()22z i i i i =-=-==B ．3．复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】，所以共轭复数是，故选 .4．【2017届浙江省ZDB 联盟高三一模】若复数z 满足： ()1120z i ++=（i 是虚数单位），则复数z 的虚部是（ ） A. 12-B. 12C. 12i -D. 12i 【答案】B【解析】()1120z i ++= ()1111i 12i 2z -⎛⎫⇒=-=- ⎪⎝⎭ ,所以复数z 的虚部是12,选B.5．已知i 为虚数单位，a R ∈，若2(1)(1)1(1)a a i a a i -++=-+-是纯虚数，则a 的值为（ ）A.-1或1B.1C.3D.-1 【答案】D【解析】因为(1)(1)a a i -++=21(1)a a i -+-是纯虚数，则210a -=且10a -≠，所以a =-1，故选D.6．【2018届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初联考】已知i 是虚数范围，若复数z 满足411i z=-+，则•z z =（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】B【解析】由411i z =-+，得41121z i i=-=+-，则25z z z ⋅==，故选B ． 7．在复平面内，复数2334ii-+-（i 是虚数单位）所对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】B8．【2017届浙江省嘉兴一中高三测试】复数z 满足()234z i i ⋅-=-（其中i 为虚数单位），则复数zi=（ ）A. 23x y xy ++=B. ()1,y ∈+∞C. aD. (-∞ 【答案】D【解析】()()()()3423410522225i i i i z i i i i -+--====---+， z zi i ==. 9．【2017届浙江省名校协作体高三下学期考试】已知（为虚数单位），则“”是“为纯虚数”的 （ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由题意，当时，的实部为，虚部为，此时为纯虚数，即充分性成立；当为纯虚数时，有，即必要性成立，故选C.10．【2017届浙江嘉兴市高三上测试】已知复数21a ii++（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a =（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．2 【答案】A 【解析】222122a i a a i i ++-=++，由21a ii++是纯虚数得20,22a a +=∴=-，故选A ．11．【2017届“超级全能生”浙江省高三3月联考】在复平面内，复数1z i =-对应的向量为OP ，复数2z 对应的向量为OQ ，那么向量PQ 对应的复数为（ ） A. 1i - B. 1i + C. 1i -+ D. 1i -- 【答案】D【解析】()()221i 1i 1i PQ z z =-=---=-- ,选D.12．【2017届浙江温州市普通高中高三8月模拟】已知i 是虚数单位，则满足34z i i -=+的复数z 在复平面上对应点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A【解析】345z i i -=+=，5z i =+，对应点(5,1)，在第一象限．故选A ． 二、填空题13．【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】若复数43z i =+，其中i 是虚数单位，则z =________； 2z =__________．【答案】 5 724i +14．【2017年浙江卷】已知a ，b∈R，2i 34i a b +=+（）（i 是虚数单位）则22a b += ______，ab =________。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
浙江省2017届高三数学理一轮复习专题突破训练
复数、推理与证明
一、复数
1、（金华、丽水、衢州市十二校2017届高三8月联考）设a R ∈，若复数1a i
i
++（i 为虚数单位）的实部和虚部相等，则a =_________，z =_________． 2、（浙江省名校协作体2017届高三上学期9月联考）复数
=--i
i
12 A.223i - B. 223i + C. 223i +- D. 2
23i --
3、（浙江省名校新高考研究联盟2017届高三第二次选考联考）已知复数1z =i 是虚数单位），满足2
0z az +=，则实数a ＝＿＿＿＿，||z a +＝＿＿＿
4、（温州市普通高中2017届高三8月模拟考试）已知i 是虚数单位，则满足34z i i -=+的复数z 在复平面上对应点所在的象限为（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
5、设a R ∈，若复数(1)()i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a =_______________.
6、若复数z 满足232i,z z +=- 其中i 为虚数单位，则z=
（A ）1+2i
（B ）1-2i
（C ）12i -+
（D ）12i --
7、已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1)(1)i bi a +-=，则a
b
的值为_______. 8、设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +
（A ）1 （B ） （C （D ）2
9、已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ）
（A ）(31)
-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--， 10、若12z i =+，则
41
i
zz =-
(A)1 (B) -1 (C) i (D)-i
11、复数(12i)(3i),z =+- 其中i 为虚数单位，则z 的实部是________▲________ 12、（2014年浙江省高考）已知i 是虚数单位，a 、b R ∈，则“1a b ==”是“2
()2a b i i +=”
的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
二、推理与证明
1、（宁波市2016届高三上学期期末考试）对于定义在R 上的函数()f x ，如果存在实数a ，使得
()()1f a x f a x +⋅-=对任意实数x R ∈恒成立，则称()f x 为关于a
的“倒函数”.已知定义在R 上的函数()f x 是关于0和1的“倒函数”， 且当]1,0[∈x 时，)(x f 的取值范围为]2,1[，则当[1,2]x ∈时，
()f x 的取值范围为__▲__，当]2016,2016[-∈x 时，()f x 的取值范围为__▲__.
2、（绍兴市柯桥区2016届高三教学质量调测（二模））定义(),max ,,a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩
,若实数,x y
满足11
11
x y -≤≤⎧⎨
-≤≤⎩,则{}max 21,25x x y +-+的最小值为 ．
3、（绍兴市2016届高三下学期第一次教学质量调测）
4、（温州市普通高中2017届高三8月模拟考试）记{},p q
max ,,p p q q p q
≥⎧=⎨
<⎩，设
(){}
22,max 1,1M x y x y y x =++-+，其中,x y R ∈，则(),M x y 的最小值是
__________
5、宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“菱草形段”第一个问题“今有菱草六百八十束，欲令‘落一形’捶（同垛）之，问底子（每层三角形边菱草束数，等价于层数）几何？”中探讨了“垛积术”中的落一形垛（“落一形”即是指顶上1束，下一层3束，再下一层6束，, 成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示第二层开始的每层菱草束数），则本问题中三角垛底层菱草总束数为 ．
6、若函数()f x 满足：在定义域D 内存在实数0x ，使得)1()()1(00f x f x f +=+成立，则称函数()f x 为“1的饱和函数”。
给出下列四个函数：
①1
()f x x
=
； ②x x f 2)(=； ③)2lg()(2+=x x f ； ④()()cos f x x π=． 其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为（ ）
A ．①③
B ．②④
C ．①②
D ．③④
7、下列式子：13=(1×1)2，13+23 +33 =(2×3)2，l 3+23 +33 +43 +53 =(3×5)2，l 3 +23 +33+ 43 +53 +63 +73=(4×7)2，…由归纳思想，第n 个式子为 。
8、观察下列等式
l+2+3+…+n=
1
2n(n+l)； l+3+6+…+12n(n+1)= 1
6n （n+1）（n+2）；
1+4+10+…16n(n+1)(n+2)= 1
24
n(n+1）（n+2）（n+3）；
可以推测，1+5+15+…+1
24
n （n+1）（n+2）（n+3）= .
9、观察下列等式：12133+=，781011123333+++=，161719202223
39333333
+++++=，…，
则当n < m ，且m 、n ∈N *时，3132
3231
33
33
n n m m ++--+++
+= ▲ (最后结果用m 、n 表示)．
10、如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（色括两个端点）有n(n>l ，n ∈N *)个
点，相应的图案中总的点数记为n a 9
a a ++
A ．2012
2013
B ．
2013
2012
C ．
2014
2015
D ．
2014
2013
参考答案 一、复数 1、0
，
2
2、B
3、2，
4、A
5、1-.
6、B
7、2
8、B
9、A 10、C 11、5 12、【答案】A
【解析】当“a=b=1”时，“（a+bi ）2=（1+i ）2=2i”成立，
故“a=b=1”是“（a+bi ）2=2i”的充分条件；
当“（a+bi ）2=a 2﹣b 2+2abi=2i”时，“a=b=1”或“a=b=﹣1”， 故“a=b=1”是“（a+bi ）2=2i”的不必要条件；
综上所述，“a=b=1”是“（a+bi ）2=2i”的充分不必要条件；
二、推理与证明
1、1
[,1]2，1[,2]2 2、2 3、B 4、3
4
5、120
6、B
7、
8、
9、m2－n2
10、C。