2-拉姆齐模型

第三章 无限期界模型（拉姆齐模型）一、问题的提出在索洛模型中，储蓄率s 被假定为外生参数，储蓄率的变动将影响稳态的人均消费和动态的人均消费水平。

当gold s s >时，与最优储蓄（相对应于最优资本存量和最优消费）相比会出现“过度储蓄”（即“过度积累”）的情况，而一个高于黄金率的储蓄率被证明是动态无效的。

当gold s s <时，只有在给定在当前消费与未来消费之间的权衡参数的条件下，才能判断增加储蓄率的合理性。

图示：s 的变动对稳态和动态的人均消费的影响c c gold 那么，储蓄率是如何决定的？必须引入消费者（家庭）行为来分析跨期预算约束条件下的消费和储蓄选择，即储蓄率的“内生化”。

二、模型假定1．完全竞争市场结构2．长生不老的不断扩展的家庭（有限寿命的个人和基于利他主义的代际转让）3．家庭和个人完全同质4．忽略资本的折旧5．暂不考虑政府行为在简单经济中，家庭与厂商之间的关系：三、厂商行为沿用新古典生产函数),(AL K F Y = 根据欧拉定理，AL AL Y K K Y Y )(∂∂+∂∂=其中，资本的边际产品为：r k f KY==∂∂)('（真实利率） 有效劳动的边际产品为：w k kf k f AL Y=-=∂∂)(')()(（工资率）四、家庭行为1.一些假定和符号总人口为L ，以速率n 增长，e L t L nt )0()(=； 家庭的个数为H ，每个家庭有L/H 个人； 每个家庭成员在每一时点上提供1单位劳动；资本最初存量为K(0)，每个家庭初始资本存量为K(0)/H 。

2. 家庭效用函数和即期效用函数定义家庭效用函数（也称作“幸福函数”）为：dt HL t C u dt H t L t C u U o t tn o t te e )0()]([)()]([)(⎰⎰∞=--∞=-==ρρ 其中，C(t)为每个家庭成员的消费，)(•u 为即期效用函数，ρ为贴现率（ρ越大表明与现期消费相比远期消费的价值就越低）。

注意：)]([t C u etρ-表示将第t 期的消费的效用按照ρ贴现到第0期，即t t t e C u C u t C u ρρ)]0([)1)](0([lim )]([=+=∞→，。

即期效用函数的形式为：θθ-=-1)()]([1t C t C u ，0>θ，0)1(>---g n θρ 该函数具有以下三个特点： （1） 边际效用弹性不变，为θ-。

定义边际效用弹性θξ-=-=-='''''u C u u C dC du 。

（2）跨期替代弹性不变，为1/θ，表示相对风险回避系数不变。

【证明】下标1，2表示两期的消费，定义跨期替代弹性为：)2/1/()2/1()2/1(/)2/1(P P C C P P d C C d -=σ由消费者均衡条件得：λ==21)2(')1('P P C u C u代入得，2/1)2('/)1(')]2('/)1('[)2/1(C C C u C u C u C u d C C d -=σ其中，MRS C u C u =)2('/)1('（边际替代率） 图解： C2MRSC1可见，2/1)2/1(C C C C d 是射线比率的变化率，)2('/)1(')]2('/)1('[C u C u C u C u d 是切线斜率的变化率。

令时间1趋近于2，得到瞬时弹性CC u C u )('')('-=σ（常数相对风险回避系数）根据θθ-=-1)()]([1t C t C u 有：θ-=C C u )('，1)(''---=θθC C u ，则θσ/1=例如：一个两期的效用函数为θρθθθ-++-=--11111211C C U ，可以证明θσ/1=（思考：为什么？）。

常数替代弹性意味着与C 无关，因此在消费选择上没有不确定性。

但θ决定了家庭在不同时期转换消费的愿望，θ越小，家庭越愿意接受消费较大的波动。

（3）边际效用)('C u 为正；当θ<1时，边际效用随C 增加而增加，当θ>1时，边际效用随C 增加而减少。

（4）0)1(>---g n θρ是为保证效用不发散（受到约束）。

3．考虑有效劳动的家庭效用函数和即期效用函数考虑劳动增进型的技术进步,并定义每单位有效劳动的平均消费为c(t)，有：gt e A t A )0()(= )()()(t c t A t C =[注意：家庭总消费C(t)L(t)/H=c(t)A(t)L(t)/H] 代入即期效用函数得：θθθθ-=-=--1)]()([1)()]([11t c t A t C t C uθθθ-=--1)(])0([11t c e A gt θθθθ-=---1)()]0([1)1(1t c eA gt 再代入家庭效用函数，得：dt HL t C u dt H t L t C u U o t tn o t te e )0()]([)()]([)(⎰⎰∞=--∞=-==ρρ dt HL t c e A gto t tn e)0(}1)()]0({[1)1(1)(θθθθρ-=---∞=--⎰ dt t c e H L A gt o t t n e θθθρθ-=--∞=---⎰1)()0()]0([1)1()(1 dt t c H L A o t gt n e θθθρθ-=-∞=-----⎰1)()0()]0([1)]1()[(1 dt t c B o t teθθβ-=-∞=-⎰1)(1 其中，HL A B )0()]0([1θ-≡，0)1(>---≡g n θρβ（收敛条件） 4．家庭的跨期预算约束家庭面临的预算约束：其一生消费的现值不能超过其初始财富加上一生的收入（利息r 和工资w ，均为外生变量）。

定义⎰==tod r R τττ)(，因此在0期投资的1单位产品在t 期产生)(t R e 单位的产品，它说明在期间[0,t]上连续以复利计算利息的结果。

)(t R e-为现值因子。

当r 不变为-r 时，则R=-r t 。

（思考：如果r 是变动的，平均r 怎样表示？）家庭t 期的劳动收入为w(t) A(t)L(t)/H ，消费支出是C(t)L(t)/H ，则家庭的跨期预算约束为：⎰⎰∞=-∞=-+≤0)(0)()()()()0()()(t t R t t R dt Ht L t w t A e H K dt H t L t C e类似的，考虑劳动增进型的技术进步，并定义每单位有效劳动的平均消费为c(t)和每单位有效劳动的初始平均资本k(0)，有：gteAtA)0()(=C(t)= A(t)c(t)K(0)= k(0)A(0)L(0)/H代入得：⎰⎰∞=-∞=-+≤)()()()()()0()0()0()()()(ttRttR dtHtLtAtweHLAkdtHtLtAtce再考虑有效劳动的增长，t gneLAtLtA)()0()0()()(+=，代入，并在两边消去A(0)L(0)/H，得：⎰⎰∞=+-+∞=-+≤)()()()()()0()(ttgntRtgnttR dttweekdtetce5．横截面条件利用家庭资本持有量的极限形式来表示预算约束（等价命题）。

已知)()()()()()0()()(≥-+⎰⎰∞=-∞=-dtHtLtCedtHtLtwtAeHKttRttR，故)()()]()([)0()(≥-+⎰∞=-dtHtLtAtctweHKttR将积分改写成为极限形式，有：})()()]()([)0({lim)(≥-+⎰=-∞→dtHtLtAtctweHK vttRv定义第v期的家庭资本持有量的总和为：dtHtLtAtctweHKeHvK vttRvRvR)()()]()([)0()()()()(⎰=--+=右式第一项表示第v期的初始资本存量的贡献（非负），第二项表示两期之间的储蓄贡献（可正可负）。

整理有：})()()]()([)0({)(0)()(dt H t L t A t c t w e H K e H v K v t t R v R ⎰=--+= Hv K e dt H t L t A t c t w e H K v R v t t R )()()()]()([)0()(0)(-=-=-+⎰ 代入极限形式的预算约束得：0)(lim )(≥-∞→Hv K e v R v ，表示家庭持有资产的现值的极限为非负。

由于)()()(v k e v K v g n +=因此，0)(lim )()(≥+-∞→v k e e v g n v R v6．家庭的最优化问题 根据前面的推导已知a. 家庭的最大化目标函数（幸福函数）：dt t c B U o t teθθβ-=-∞=-⎰1)(1 b ．跨期预算约束：⎰⎰∞=+-+∞=-+≤0)()()(0)()()0()(t t g n t R tg n t t R dt t w e e k dt et c e（均从有效劳动的人均情况来考虑） 因此可以构造拉格朗日函数：])()()0([1)()(0)(0)()(1dt e t c e dt t w e e k dt t c B t g n t t R t tg n t R o t te+∞=-∞=+--∞=-⎰⎰⎰-++-=Ωλθθβ 求解最优的c(t)使Ω最大，对c(t)求导数，得到一阶条件为：t g n t R t e e t c Be )()()(+---=λθβ两边取对数得：t g n t R t c t B )()(ln )(ln ln ++-=--λθβ两边再对 t 求导数，有：)()()()(g n t r t c t c ++-=--•θβ因此，θθρθβ])1([)()()()(g n g n t r g n t r t c t c -------=----=•θθρgt r --=)(这就是描述c 调整路径的“欧拉方程”，它表明家庭可以在不改变一生支出的现值的情况下通过调整其消费增加一生的效用。

对欧拉方程的理解：g t r g t r t c t c --=--=•θρθθρ)()()()( θρ-=+=+•••)()()()()()()(t r t A t A t c t c g t c t c 已知，C(t)=c(t)A(t)则θρ-=+=•••)()()()()()()(t r t A t A t c t c t C t C 因此，当ρ>)(t r 时，)(t C •>0；当ρ<)(t r 时，)(t C •<0；θ越小，C 的变化率越大。