2019版高考数学一轮复习 第六章 不等式 第1讲 不等式的概念与性质课时作业 理
高考数学一轮复习第六章不等式第1讲不等式的概念与性质课件理
答案：②④
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(2)(2018 年山东(shān dōnɡ)德州期中)已知a<b<c 且 a＋b＋c＝0，则下
列不等式恒成立(chénglì)的是( )
A.a2<b2<c2 C.ac<bc
B.ab2<cb2 D.ab<ac
解析：方法一，∵a<b<c 且 a＋b＋c＝0，∴a<0，c>0.
答案：D
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(4)(2018 年河北承德一中月考)下面(xiàmian)四个条件中，使 a>b 成 立的充分(chōngfèn)而不必要的条件是( )
A.a>b－1
B.a2>b2
C.a>b＋1
D.a3>b3
解析：显然当 a＝2，b＝2.5 时，a>b－1 a>b，A 错误；
当 a＝－2，b＝1 时，a2>b2 a>b，B 错误；a>b＋1⇒a>b，但
∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1).
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∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4， ∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10. ∴5≤f(－2)≤10.
方法三，由12≤ ≤aa－ ＋bb≤ ≤24， 确定的平面区域如图 6-1-1.
图 6-1-1
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当 f(－2)＝4a－2b 过点 A32，12时， 取得最小值 4×32－2×12＝5.
第六章 不等式
第1讲 不等式的概念(gàiniàn)与性质
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1.了解现实(xiànshí)世界和日常生活中的不等关系. 2.了解不等式(组)的实际背景.
高考数学一轮复习 第6章第1节 不等式的概念与性质课件 文 新课标
所以f(－2)＝3f(－1)＋f(1)． 因为1≤f(－1)≤2，所以3≤3f(－1)≤6. 又因为3≤f(1)≤4，所以6≤f(－2)≤10. 故f(－2)的取值范围是[6,10]． (方法2)设f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，
6．了解二元一次不等式的几何意义，能用平 面区域表示二元一次不等式组．
7．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线 性规划问题，并能加以解决．
8．了解基本不等式的证明过程．
9．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问 题．
10．了解合情推理的含义，能利用归纳和类 比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现 中的作用．
1．实数比较大小的方法 (1)a－b＞0⇔ a＞b ； (2)a－b＝0⇔ a＝b ； (3)a－b＜0⇔ a＜b .
2．不等式的性质 (1)a＞b⇔b a. (2)a＞b，b＞c⇒a ＜ c. (3)a＞b⇔a＋c ＞ b＋c. 推论1 a＋b＞c>⇔a ＞ c－b； 推论2 a＞b，c＞d⇒a＋c ＞b＋d.
所以5≤f(－2)≤11. 该同学的解答是否正确？如果错误，错 在哪里？并给出正确的解答．
关键提示：由已知可设f(x)＝ax＋b，主 要是把f(－2)表示为mf(－1)＋nf(1)的形 式．本题还可以用线性规划的解题思路进行 求解．
解：该同学的解答是错误的，错误的根 源在于②－①时使用了同向不等式相减．正 确解法如下：
所以只需证明C－A＞0，A－B＞0. 因为A－B＝(1＋a2)－(1－a2)＝2a2＞0， 所以A＞B.
高考数学一轮复习 第6章 不等式 第1讲 不等关系与不等式的性质及一元二次不等式讲义 理(含解析)-
第六章不等式第1讲不等关系与不等式的性质及一元二次不等式[考纲解读] 1.不等式性质是进行变形、证明、解不等式的依据，掌握不等式关系与性质及比较大小的常用方法：作差法与作商法．(重点)2.能从实际情景中抽象出一元二次不等式模型，通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数，一元二次方程之间的联系，能解一元二次不等式．(重点、难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容，但一般不会单独命题．预测2020年将会考查：利用不等式的性质判断结论的成立性，求参数的取值X围；一元二次不等式的解法，对含参数的二次不等式的分类讨论等．命题时常将不等式与函数的单调性相结合．试题一般以客观题的形式呈现，属中、低档题型.1．两个实数比较大小的依据2．不等式的基本性质3．必记结论 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b.(2)a <0<b ⇒1a <1b.(3)a >b >0,0<c <d ⇒a c >b d. (4)0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a.(5)若a >b >0，m >0，则b a <b ＋ma ＋m； b a >b －m a －m (b －m >0)；a b >a ＋m b ＋m ； a b <a －m b －m(b －m >0)． 4．一元二次函数的三种形式(1)一般式：□01y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (2)顶点式：□02y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a (a ≠0)． (3)两根式：□03y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 5．三个二次之间的关系1．概念辨析(1)a＞b⇔ac2＞bc2.( )(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．小题热身(1)设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N等于( )A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[－1,0)D ．(－1,0] 答案 B解析 因为M ＝{x |－1<x <4}，N ＝{x |0≤x ≤5}，所以M ∩N ＝[0,4)． (2)已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( ) A ．ab >ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )>0 答案 A解析 因为c <b <a ，且ac <0，所以a >0，c <0.b 的符号不确定，b －a <0，a －c >0，据此判断A 成立，B ，C ，D 不一定成立．(3)设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则有( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <N D ．M ≤N 答案 A解析 M －N ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3)＝a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2>0，故M >N . (4)已知函数f (x )＝ax 2＋ax －1，若对任意实数x ，恒有f (x )≤0，则实数a 的取值X 围是________．答案 [－4,0]解析 当a ＝0时，f (x )＝－1≤0成立， 当a ≠0时，若对∀x ∈R ，f (x )≤0，须有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4×a ×－1≤0，a <0，解得－4≤a ＜0.综上知，实数a 的取值X 围是[－4,0]．题型 一 不等式性质的应用1．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a c ＞b d B.a c ＜b d C.a d ＞b c D.a d ＜b c答案 D 解析 解法一：⎭⎪⎬⎪⎫c ＜d ＜0⇒cd ＞0 c ＜d ＜0⇒⎭⎪⎬⎪⎫c cd ＜d cd ＜0⇒1d ＜1c ＜0⇒－1d ＞－1c ＞0 a ＞b ＞0⇒－a d ＞－b c ⇒a d ＜b c .故选D. 解法二：依题意取a ＝2，b ＝1，c ＝－2，d ＝－1， 代入验证得A ，B ，C 均错误，只有D 正确．故选D.2．已知等比数列{a n }中，a 1>0，q >0，前n 项和为S n ，则S 3a 3与S 5a 5的大小关系为________．答案S 3a 3<S 5a 5解析 当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3<S 5a 5. 当q >0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 11－q 3a 1q 21－q －a 11－q 5a 1q 41－q ＝q 21－q 3－1－q 5q 41－q ＝－q －1q 4<0，所以S 3a 3<S 5a 5.综上可知S 3a 3<S 5a 5.3．已知二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4，求f (－2)的取值X 围．解 由题意知f (x )＝ax 2＋bx ，则f (－2)＝4a －2b ， 由f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，设存在实数x ，y ，使得4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )， 即4a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以f (－2)＝4a －2b ＝(a ＋b )＋3(a －b )． 又3≤a ＋b ≤4,3≤3(a －b )≤6，所以6≤(a ＋b )＋3(a －b )≤10， 即f (－2)的取值X 围是[6,10]．1．判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．2．比较两个数(式)大小的两种方法3．求代数式的取值X 围利用不等式性质求某些代数式的取值X 围时，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体X 围，是避免错误的有效途径．如举例说明3.1．若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④ 答案 C解析 因为1a <1b <0，所以b <a <0，|b |>|a |，所以|a |＋b <0，ln a 2<ln b 2，由a >b ，－1a>－1b 可推出a －1a >b －1b ，显然有1a ＋b <0<1ab，综上知，①③正确，②④错误． 2．若a >0，且a ≠7，则( ) A ．77a a<7a a 7B ．77a a ＝7a a 7C ．77a a >7a a 7D ．77a a与7a a 7的大小不确定 答案 C解析 显然77a a>0,7a a 7>0，因为77a a7a a 7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 7a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7·⎝ ⎛⎭⎪⎫7a －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a.当a >7时，0<7a <1,7－a <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a>1，当0<a <7时，7a>1,7－a >0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a>1. 综上知77a a>7a a 7.3．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值X 围是________． 答案 (－3,3)解析 ∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，∴－4<－|β|≤0. ∴－3<α－|β|<3.题型 二 不等式的解法1．函数f (x )＝1ln －x 2＋4x －3的定义域是( )A ．(－∞，1)∪(3，＋∞) B．(1,3) C ．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1,2)∪(2,3) 答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x －3>0，ln －x 2＋4x －3≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，x 2－4x ＋4≠0.解得1<x <3且x ≠2，所以函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,3)． 2．解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )． 解 本题采用分类讨论思想． 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1.②当a >0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a或x ≤－1.③当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a >－1，即a <－2时，解得－1≤x ≤2a；当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意； 当2a<－1，即0>a >－2，解得2a≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a >0时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≥2a或x ≤－1；当－2<a <0时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2a≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a <－2时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1≤x ≤2a .条件探究 把举例说明2中的不等式改为“ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，a ∈R ”，如何解答？ 解 若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1.若a <0，则原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，解得x <1a或x >1.若a >0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.①当a ＝1时，1a＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1a<x <1；③当0<a <1时，1a>1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1<x <1a.综上所述，当a <0时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <1a或x >1；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1<x <1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1a<x <1.1．解一元二次不等式的四个步骤2．分式不等式的解法求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解． (1)f xg x>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0)；如巩固迁移2.(2)f xg x ≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f x ·g x ≥0≤0，g x ≠0.1．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A.52 B.72 C.154 D.152 答案 A解析 由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2.故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，得a ＝52，故选A.2．不等式2x ＋1x －5≥－1的解集为________．答案 {x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤43或x >5解析 将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧3x －4x －5≥0，x －5≠0，解得x ≤43或x >5.∴原不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤43或x >5.题型 三 二次不等式中的任意性与存在性角度1 任意性与存在性1．(1)若关于x 的不等式x 2－ax －a ＞0的解集为(－∞，＋∞)，某某数a 的取值X 围； (2)若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，某某数a 的取值X 围． 解 (1)设f (x )＝x 2－ax －a ，则关于x 的不等式x 2－ax －a ＞0的解集为(－∞，＋∞)⇔f (x )＞0在(－∞，＋∞)上恒成立⇔f (x )min ＞0，即f (x )min ＝－4a ＋a24＞0，解得－4＜a ＜0(或用Δ<0)．(2)设f (x )＝x 2－ax －a ，则关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集⇔f (x )≤－3在(－∞，＋∞)上能成立⇔f (x )min ≤－3，即f (x )min ＝－4a ＋a24≤－3，解得a ≤－6或a ≥2.角度2 给定区间上的任意性问题2．(1)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值X 围是________．(2)设函数f (x )＝mx 2－mxx ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值X 围． 答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 (2)见解析解析 (1)要满足f (x )＝x 2＋mx －1＜0对于任意x ∈[m ，m ＋1]恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧ f m ＜0，f m ＋1＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2－1＜0，m ＋12＋m m ＋1－1＜0，解得－22＜m ＜0.(2)要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：解法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0，所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值X 围是{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.解法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m 的取值X 围是{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.角度3 给定参数X 围的恒成立问题3．已知a ∈[－1,1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值X 围为()A ．(－∞，2)∪(3，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1,3)答案 C解析 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立，所以f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0，且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3.故选C.形如f (x )≥0(f (x )≤0)恒成立问题的求解思路(1)x ∈R 的不等式确定参数的X 围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解． (2)x ∈[a ，b ]的不等式确定参数X 围时，①根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求参数的X 围；②数形结合，利用二次函数在端点a ，b 处的取值特点确定不等式求X 围．如举例说明2.(3)已知参数m ∈[a ，b ]的不等式确定x 的X 围，要注意变换主元，一般地，知道谁的X围，就选谁当主元，求谁的X 围，谁就是参数．如举例说明3.1．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值X 围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ 解析 由Δ＝a 2＋8>0，知方程x 2＋ax －2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x 2＋ax －2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235，故a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞. 2．函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，某某数a 的取值X 围；(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，某某数a 的取值X 围； (3)当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，某某数x 的取值X 围．解 (1)∵当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，∴实数a 的取值X 围是[－6,2]．(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)： ①如图1，当g (x )的图象恒在x 轴上方且满足条件时，有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2.②如图2，g (x )的图象与x 轴有交点，但当x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2≤－2，g －2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－43－a ≥0，－a 2≤－2，4－2a ＋3－a ≥0， 可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a ≥4，a ≤73，解得a ∈∅. ③如图3，g (x )的图象与x 轴有交点，但当x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0. 即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2≥2，g 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－43－a ≥0，－a 2≥2，7＋a ≥0， 可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥2或a ≤－6，a ≤－4，a ≥－7.∴－7≤a ≤－6.综上，实数a 的取值X 围是[－7,2]．(3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧ h 4≥0，h 6≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6.∴实数x 的取值X 围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．。
高三数学高考一轮复习系列教案第六章 不等式 大纲版
第六章不等式知识结构高考能力要求1．理解不等式的性质及其证明．2．掌握两个（注意不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理，并会简单应用．3．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．4．掌握简单不等式的解法．5．理解不等式| a |－| b| ≤| a＋b |≤| a |＋| b |．高考热点分析不等式部分的内容是高考较为稳定的一个热点，考查的重点是不等式的性质、证明、解法及最值方面的应用．高考试题中有以下几个明显的特点：1．不等式与函数、方程、三角、数列、几何、导数、实际应用等有关内容综合在一起的综合试题多，单独考查不等式的问题很少，尤其是不等式的证明题．2．选择题，填空题和解答题三种题型中均有各种类型不等式题，特别是应用题和综合题几乎都与不等式有关．3．不等式的证明考得比较频繁，所涉及的方法主要是比较法、综合法和分析法，而放缩法作为一种辅助方法不容忽视．高考复习建议1．复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显然成立”的思维定势，要以比较准则和实数的运算法则为依据．2．不等式的证明方法除比较法、分析法、综合法外，还有反证法、换元法、放缩法、判别式法、构造法、几何法，这些方法可作了解，但要控制量和度．3．解（证）某些不等式时，要把函数的定义域、值域和单调性结合起来．4．注意重要不等式和常用思想方法在解题中的作用．5．利用平均值定理解决问题时，要注意满足定理成立的三个条件：“一正、二定、三相等”.6．对于含有绝对值的不等式（问题），要紧紧抓住绝对值的定义实质，充分利用绝对值的几何意义．7．要强化不等式的应用意识，同时要注意到不等式与函数方程的对比与联系．6．1 不等式的概念和性质知识要点1、实数的大小比较法则：设a，b∈R，则a>b⇔；a＝b⇔；a<b⇔ .实数的大小比较法则，它是比较两个实数大小的依据，要比较两个实数的大小，只要考察它们的就可以了.实数的大小比较法则与实数运算的符号法则一起构成了证明其它不等式性质的基础.2、不等式的5个性质定理及其3条推论定理1（对称性）a>b ⇔定理2（同向传递性）a>b，b>c定理3 a>b⇔a＋c > b＋c推论a>b，c>d⇒定理4 a>b，c>0⇒a>b，c<0⇒推论1 (非负数同向相乘法)a>b≥0，c>d≥0⇒推论2 a>b＞0⇒nn ba>(n∈N且n>1)定理5 a>b＞0⇒>n a n b(n∈N且n>1)例题讲练【例1】(1) 若x＜y＜0. 试比较(x2－y2)(x＋y)与(x2＋y2)(x－y)的大小.(2) 设a＞0，b＞0，且a≠b，试比较a a b b与a b b a的大小.【例2】 设f (x )＝1＋log x 3，g(x )＝2log x 2，其中x ＞0，x ≠1．比较f (x )与g(x )的大小. ．【例3】 函数)(x f ＝ax 2＋bx 满足：1≤)1(-f ≤2，2≤)1(f ≤4，求)2(-f 的取值范围．【例4】 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，当p 、q 满足p ＋q ＝1时，试证明：pf (x )＋qf (y )≥f (px ＋qy )对于任意实数x 、y 都成立的充要条件是o ≤p ≤1.小结归纳 1．不等式的性质是证明不等式与解不等式的重要而又基本的依据，必须要正确、熟练地掌握，要弄清每一性质的条件和结论．注意条件的放宽和加强，条件和结论之间的相互联系．2．使用“作差”比较，其变形之一是将差式因式分解，然后根据各个因式的符号判断差式的符号；变形之二是将差式变成非负数（或非正数）之和，然后判断差式的符号．3．关于数(式)比较大小，应该将“相等”与“不等”分开加以说明，不要笼统地写成“A ≥B(或B ≤A)”．基础训练题 一、选择题1． 设a 、b ∈+R 且a ≠b ，x ＝a 3＋b 3，y ＝a 2b ＋ab 2；则x与y 的大小关系为 （ ） A ．x >y B ．x ＝y C ．x < y D ．不能确定 2． 如果－1<a <b <0，则有 （ ）A ．a b 11<<b 2<a 2B ．a b 11<<a 2<b 2 C ．ba 11<<b 2<a 2D ．ba 11<<a 2<b 23． 下列判断：① a 1＞b ，a 2＞b ，则a 1＞a 2；② 若ac ＞bc ，则c ＞0；③ 由lg 41＞lg 51，2＞1；有2lg 41＞lg 51；④ a ＞b ，则a 1＜b1，其中不能成立的个数是 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4． 若p ＝a ＋21-a （a ＞2），q ＝2242-+-a a ，则 （ ）A ．p ＞qB ．p ＜qC ．p ≥qD ．p ≤q5． 已知三个不等式：ab ＞0，bc －ad ＞0，a c－bd ＞0（其中a 、b 、c 、d 均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36． 若a ，b ∈R ，a ＞b ，则下列不等式成立的是 （ ）A ．a 1＜b 1B ．a 2＞b 2C ．12+c a ＞12+c bD ．a | c |＞b | c |二、填空题7． 若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是 .8. a ＞b ＞0，m ＞0，n ＞0，则a b ，ba ，m a mb ++，n b na ++的由大到小的顺序是 .9．使不等式a 2＞b 2，ba ＞1，lg(a －b )＞0，2a ＞2b －1都成立的a 与b 的关系式是 .10．若不等式(－1)na ＜2＋nn 1)1(+-对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题11．已知a ＞2，b ＞2，试比较a ＋b 与ab 的大小. ．12．设a 1≈2，令a 2＝1+111a +. (1) 证明2介于a 1、a 2之间； (2) 求a 1、a 2中哪一个更接近于2；(3) 你能设计一个比a 2更接近于2的一个a 3吗？并说明理由．13．某家庭准备利用假期到某地旅游，有甲、乙两家旅行社提供两种优惠方案，甲旅行社的方案是：如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社的方案是：家庭旅游算集体票，可按七五折优惠．如果甲、乙两家旅行社的原价(一张票)相同，请问该家庭选择哪家旅行社外出旅游合算？提高训练题14．已知a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根为x 1、x 2．(1)证明：－21＜a b＜1；(2)若x 21＋x 1x 2＋x 22＝1，求x 21－x 1x 2＋x 22； (3)求| x 21－x 22|．15．函数f （x ）＝x 2＋（b －1）x ＋c 的图象与x 轴交于（x 1，0）、（x 2，0），且x 2－x 1＞1. 当t ＜x 1时，比较t 2＋bt ＋c 与x 1的大小.6．2 算术平均数与几何平均数知识要点1．a >0，b >0时，称 为a ，b 的算术平均数；称 为a ，b 的几何平均数．2．定理1 如果a 、b ∈R ，那么a 2＋b 2 2ab （当且仅当 时 取“＝”号）3．定理2 如果a 、b ∈+R ，那么2ba +≥ （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）即两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．已知x 、y ∈+R ，x ＋y ＝P ，xy ＝S. 有下列命题： (1) 如果S 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值 ．(2) 如果P 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值 ．例题讲练【例1】 设a 、b ∈R +，试比较2ba +，ab ，222b a +，ba 112+的大小．【例2】 已知a ，b ，x ，y ∈R +（a ，b 为常数），1=+y b x a ，求x ＋y 的最小值.【例3】 在某两个正数x 、y 之间，若插入一个正数a ，使x ，a ，y 成等比数列，若插入两个正数b 、c ，使x 、b 、c 、y 成等差数列，求证：(a ＋1)2≤(b ＋1)(c ＋1).【例4】 甲、乙两地相距S （千米），汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度最大不得超过c （千米/小时）．已知汽车每小时的运输成本（元）由可变部分与固定部分组成．可变部分与速度v （千米/小时）的平方成正比，且比例系数为正常数b ；固定部分为a 元．(1) 试将全程运输成本Y (元)表示成速度V(千米/小时)的函数.(2) 为使全程运输成本最省，汽车应以多大速度行驶？小结归纳1．在应用两个定理时，必须熟悉它们的常用变形，同时注意它们成立的条件．2．在使用“和为常数、积有最大值”和“积为常数、和有最小值”这两个结论时，必须注意三点：“一正”——变量为正数，“二定”——和或积为定值，“三相等”——等号应能取到，简记为“一正二定三相等”．基础训练题一、选择题1．设,b ,a 00>>则以下不等式中不恒成立．．．．的是 （ ） A ．4)11)((≥++ba b aB ．2332ab b a ≥+C ．b a b a 22222+≥++D ．b a |b a |-≥- 2． 若x 2log＋y 2log≥4，则x ＋y 的最小值为（ ）A ．8B ．42C ．2D ．43． 设a 、b ∈R ，已知命题p ：a ＝b ；命题q ：(2b a +)2≤222b a +（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4． 给出四个命题：(1)1222++x x 的最小值为2；(2)xx 432--的最大值为342- (3) x x lg 10log +的最小值为2；(4) xx 22sin 4sin +的最小值为4. 其中正确命题的个数是 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．35．设x ，y ∈R +，且xy －(x ＋y )＝1，则 （ ）A ．x ＋y ≥2(2＋1)B ．xy ≤2＋1C ．x ＋y ≤(2＋1)2D ．xy ≥2(2＋1) 6． 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 等于（ ）A ．20吨B ．15吨C ．25吨D ．40吨二、填空题7． 设0<x <2，则x (8－3x )的最大值为____________，相应的x 为____________. 8． 要使不等式x ＋y ≤k y x +对所有正数x ，y 都成立，试问k 的最小值是 ．9． 若a ＞b ＞0，则a 2＋)(16b a b -的最小值是________．10．已知0,0>>b a 且1222=+b a ，则21b a +的最大值________.三、解答题11．设实数x ，y ，m ，n 满足条件122=+n m ，922=+y x ，求ny mx +的最大值．12．若a ，b ，c 是互不相等的正数，求证：a 4＋b 4＋c 4)(222222c b a abc a c c b b a ++>++>13．已知a ，b ，x ，y ∈R +（a ，b 为常数），a ＋b ＝10，1=+y bx a ，若 x ＋y 的最小值为18，求a ，b 的值．提高训练题 14．已知a 、b 、c ∈R ，求证：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++15． 某单位决定投资3200元建一长方体状仓库，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁珊，每米造价40元，两侧墙砌砖，每米造价45元，顶部每平方米造价20元，计算：（1）仓库面积S 的最大允许值是多少？（2）为了使仓库面积S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面用铁珊应设计为多长？6．3 不等式证明（一）知识要点 1．比较法是证明不等式的一个最基本的方法，分比差、比商两种形式．(1)作差比较法，它的依据是： ⎪⎩⎪⎨⎧<⇔<-=⇔=->⇔>-b a b a b a b a b a b a 000它的基本步骤：作差——变形——判断，差的变形的主要方法有配方法，分解因式法，分子有理化等．(2) 作商比较法，它的依据是：若a >0，b >0，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<⇔<=⇔=>⇔>b a b ab a b ab a b a111 它的基本步骤是：作商——变形——判断商与1的大小．它在证明幂、指数不等式中经常用到．2．综合法：综合法证题的指导思想是“由因导果”，即从已知条件或基本不等式出发，利用不等式的性质，推出要证明的结论．3．分析法：分析法证题的指导思想是“由果索因”，即从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够确定这些充分条件都已具备，那么就可以判定所要证的不等式成立． 例题讲练【例1】 已知0,0>>b a ，求证：b a ab b a +≥+【例2】 已知a 、b ∈R +，求证：)(22)1)((a b b a b a b a +≥+++【例3】 已知△ABC 的外接圆半径R ＝1，41=∆ABC S ，a 、b 、c 是三角形的三边，令c b a s ++=，cb a t 111++=．求证：s t >【例4】 设二次函数)0()(2>++=a c bx ax x f ，方程0)(=-x x f 的两个根1x 、2x 满足ax x 1021<<<． (1) 当x ∈(0，x 1)时，证明：x <f (x )<x 1(2) 设函数f (x )的图象关于直线x ＝x 0对称，证明：x 0<21x ．小结归纳 1．比较法是证明不等式的一个最基本的方法，而又以作差比较最为常见．作差比较的关键在于作差后如何变形来达到判断差值符号之目的，变形的方向主要是因式分解和配方．2．综合法证明不等式要找出条件和结论之间的内在联系，为此要着力分析已知与求证之间，不等式左右两端的差异和联系，合理进行变换，去异存同，恰当选择已知不等式，找到证题的突破口．3．分析法是“执果索因”重在对命题成立条件的探索，寻求不等式成立的充分条件，因此有时须先对原不等式化简．常用的方法有：平方，合并，有理化去分母等．但要注意所有这些变形必须能够逆推，书写格式要严谨规范．4．分析法和综合法是对立统一的两个方法．在不等式的证明中，我们常用分析法探索证明的途径后，用综合法的形式写出证明过程．这种先分析后综合的思路具有一般性，是解决数学问题的一种重要数学思想．基础训练题 一、选择题1． 已知∈b a 、+R 则下列各式中不成立的是（ ）A ．221≥++ab b aB ．4)11)((≥++ba b aC ．ab ab b a 222≥+ D ．ab ba ab≥+2 2． 设0＜2a ＜1，M ＝1－a 2，N ＝1＋a 2，P ＝a-11，Q ＝a+11，那么 （ ） A ．Q ＜P ＜M ＜N B ．M ＜N ＜Q ＜P C ．Q ＜M ＜N ＜P D ．M ＜Q ＜P ＜N3． 设a ＞0，且 a ≠1，P ＝log a (a 3＋1)，Q ＝log a (a 2＋1)，则P ，Q 的大小关系是 （ ） A ．P ＞Q B ．P ＝Q C ．P ＜Q D ．P 与Q 的大小与a 有关4． 设a 、b 、c 是△ABC 的三边，且S ＝a 2＋b 2＋c 2，P ＝ca bc ab ++，则（ ） A ．S ≥2P B ．P ＜S ＜2P C ．S ＞P D ．P ≤S ＜2P 5． 已知∈b a 、+R ，那么“122<+b a ”是“b a ab +>+1”的 （ ） A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知p 、q 是两个正数，且关于x 的方程022=++q px x 和022=++p qx x 都有实根，则q p +的最小可能值是（ ） A ．5 B ．6 C ．8 D ．16二、填空题7． 若1>a ，10<<b ，则abb a l o g l o g +的范围是 ．8． 若1=++c b a ，则222c b a ++的最小值为 ．9． 已知a <b <c 且a ＋b ＋c ＝0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0有_______个实根．10．若x 、y 满足2x y =，则代数式87)22(log 2-+y x 的符号是 ．三、解答题11．已知a 、b 、x 、y ∈R +且a 1＞b1，x ＞y .求证：a x x +＞by y+．12．已知a 、b 、c ∈R ，求证：c b ab c b a 234222++≥+++13．已知a ＋b ＋c ＝0，求证：ab ＋bc ＋ca ≤0提高训练题14．已知正数a 、b 、c 满足c b a 2<+，求证：(1) ab c >2 (2) ab c c a ab c c -+<<--2215．是否存在常数C ，使得不等式y x x +2+yx y2+≤C ≤y x x 2++y x y+2对任意正数x 、y 恒成立?试证明你的结论.6．4 不等式证明（二）知识要点证明不等式的其它方法：反证法、换元法、放缩法、判别式法等．反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原命题是正确的证明方法．换元法：对结构较为复杂，量与量之间关系不甚明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原命题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式的证明方法．放缩法：为证明不等式的需要，有时需舍去或添加一些代数项，使不等式的一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证题的目的，这种方法叫放缩法．判别式法：根据已知的式子或构造出来的一元二次方程的根，一元二次不等式的解集，二次函数的性质等特征，确定其判别式所应满足的不等式，从而推出所证的不等式成立．例题讲练【例1】 已知f (x )＝x 2＋px ＋q ， (1) 求证：f (1)＋f (3)－2f (2)＝2；(2) 求证：｜f (1)｜、｜f (2)｜、｜f (3)｜中至少有一个不小于21．【例2】 （1） 已知x 2＋y 2＝1，求证:2211a ax y a +≤-≤+-. （2） 已知a 、b ∈R ，且a 2＋b 2≤1， 求证:2222≤-+b ab a .【例3】 若2≥∈n N n ，且，求证：1131211121222<+⋅⋅⋅++<+-n n【例4】 证明：23112122≤+++≤x x x ．小结归纳 1．凡是含有“至少”，“至多”，“唯一”，“不存在”或其它否定词的命题适宜用反证法．2．在已知式子中，如果出现两变量之和为正常数或变量的绝对值不大于一个正常数，可进行三角变换，换元法证明不等式时，要注意换元的等价性．3．放缩法证题中，放缩必须有目标，放缩的途径很多，如用均值不等式，增减项、放缩因式等．4．含有字母的不等式，如果可以化成一边为零，另一边是关于某字母的二次三项式时，可用判别式法证明不等式成立，但要注意根的范围和题设条件的限制．基础训练题 一、选择题1． 设∈c b a 、、+R ，那么三个数b a 1+、c b 1+、ac 1+ （ ）A ．都不大于2B ．都不小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2 2． 已知∈d c b a 、、、+R ，S ＝c b a a ++＋db a b++＋a d c c ++＋b dc d++，则有（ ）A ．20<<sB ．21<<sC ．32<<sD ．43<<s3． 若122=++y xy x 且R y x ∈、，则22y x n +=的取值范围是 （ ） A.10≤<n B.32≤≤nC.2≥nD.232≤≤n4． 已知函数f (x )＝(21)x ，a 、b +∈R ，A ＝f (2b a +)，B＝f (ab )，C ＝f (ba ab+2)，则A 、B 、C 的大小关系是（ ）A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A 5． 设x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝1，则a y x ≤+恒成立的a的最小值是（ ）A ．22B ．2C ．2D ．226． 设实数x ，y 满足x 2＋(y －1)2＝1，当x ＋y ＋c ≥0时，c 的取值范围是（ ）A .)12[∞+-，，B . ]12(--∞，，C .)12[∞++，， D .]12(+-∞，，二、填空题 7． 设00>>y x 、，y x y x A +++=1，yyx x B +++=11，则A 、B 大小关系为 ．8． 实数y x yx-=，则x 的取值范围是 ． 9． 若f (n )＝12+n －n ，g (n )＝n －12-n ，ϕ(n )＝n21，则f (n )，g (n )，ϕ(n )的大小顺序为____________． 10．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1； ②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④ a 2＋b 2 >2；⑤ab >1，其中能推出：“a 、b 中至少有一个实数大于1”的条件是____．三、解答题11．设二次函数)0()(2≠∈++=a R c b a c bx ax x f 且、、，若函数)(x f y =的图象与直线x y =和x y -=均无公共点．(1) 求证：142>-b ac(2) 求证：对于一切实数x 恒有||41||2a c bx ax >++12．已知二次函数c bx ax x f ++=2)(且0)1(=-f ，问是否存在实数c b a 、、使不等式)1(21)(2x x f x +≤≤对一切实数都成立，并证明你的结论．13．已知f (x ) ＝12+x ， 且a ≠b 求证： | f (a )－f (b ) | <| a －b |．提高训练题14．设f (x )＝| x 3－1|，实数a 、b 满足f (a )＝f (b )且a <b ，① 求证:a ＋b <2② 若3f (a )＝4f (2ba +)，求a 、b 的值15．已知a 、b 为正数，求证：(1) 若a ＋1＞b ，则对于任何大于1的正数x ，恒有ax ＋1-x x＞b 成立；(2) 若对于任何大于1的正数x ，恒有ax ＋1-x x＞b成立，则a ＋1＞b ．6．5 绝对值不等式的应用知识要点1、有关绝对值不等式的主要性质：① | x |＝ ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0()0(0)0(x x x x x② | x |≥0③ | |a |－|b ||≤|a ±b |≤| a |＋| b |④| ab |＝ ，ba＝ (b ≠0)特别：ab ≥0，|a ＋b |＝ ，|a －b |＝ ． ab ≤0，|a －b |＝ ，|a ＋b |＝ ． 2、最简绝对值不等式的解法．① | f (x ) |≥a ⇔ ； ② | f (x ) |≤a ⇔ ； ③ a ≤| f (x ) |≤b ． ④ 对于类似a | f (x ) |＋b | g (x ) | > c 的不等式，则应找出绝对值的零点，以此划分区间进行讨论求解． 例题讲练【例1】 解不等式：| x 2－3x －4|> x ＋1【例2】设f(x)＝x2－x＋b，| x－a |<1，求证：| f(x) －f(a) |<2(| a |＋1).【例3】已知f(x)＝x，g(x)＝x＋a(a>0)，⑴当a＝4时，求)() ()(xfx gaxf-的最小值；⑵若不等式) () ()(xfx gaxf->1对x∈[1, 4]恒成立，求a的取值范围．【例4】设a、b∈R，已知二次函数f(x)＝ax2＋bx ＋c，g(x)＝cx2＋bx＋a，当｜x｜≤1时，｜f(x)｜≤２⑴求证：｜g(1)｜≤２；⑵求证：当｜x｜≤1时，| g(x)|≤4.小结归纳1．利用性质｜|a|－|b|｜≤｜a＋b｜≤|a|＋|b|时，应注意等号成立的条件．2．解含绝对值的不等式的总体思想是：将含绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式求解．3．绝对值是历年高考的重点，而绝对值不等式更是常考常新，教学中，应注意绝对值与函数问题的结合．基础训练题一、选择题1．方程132+-xxx＝132+-xxx的解集是（）A．(][)∞+⋃-,30,1B．)3,0()1,(⋃--∞C．),3()1,1(∞+⋃-D．),3()1,(∞+⋃--∞2．x∈R，则(1＋x)(1－|x|)>0的解集为（）A．{x|－1<x<1} B．{x|x<1}C．{x| x<－1或x>1} D．{x| x<1且x≠－1} 3．f(x)为R上的增函数，y＝f(x)的图象过点A(0,－1)和下面哪一点时，能确定不等式｜f(x－1)｜<1的解集为{x｜1<x<4} （）A．(3, 1) B．(4, 1)C．(3, 0) D．(4, 0)4．若不等式|x－4|－|x－3|≤a对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜1C．a≤1 D．a≥15．下面四个式子中：⑴ |b－a|＝| a－b |，⑵| a＋b |＋| a －b|≥2|a|，⑶aa=-2)(，⑷|)||(|21ba+≥||ab成立的有几个（）A．1 B．2C．3 D．46．在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1，2)上的任意x1，x2(x1≠x2)，| f(x1)－f(x2)|＜| x1－x2|恒成立”的只有（）A．f(x)＝x1B．f(x)＝| x |C．f(x)＝2x D．f(x)＝x2二、填空题7．已知| a |≠| b |，m＝||||||baba--，n＝||||||baba++，则m，n的大小关系是．8．不等式x2－4| x |＋3＜0的解集为．9．设|x－2|＜a时，不等式|x2－4|＜1成立，则正数a的取值范围是．10．已知方程| x |＝ax＋1有一个负根且无正根，则实数a 的取值范围是．三、解答题11．解不等式：|2x＋1|＋| x－2 |＋| x－1 |＞4．12．若a、b∈R，α, β是方程x2＋a x＋b＝0的两根，且|a|＋| b |＜1，求证：| α |＜1且|β|＜1．13．已知适合不等式| x 2－4x ＋p |＋| x －3 |≤5的x 的最大值是3，求p 的值．提高训练题14．(1) 已知：| a |＜1，| b |＜1，求证：|b a ab--1|＞1； (2) 求实数λ的取值范围，使不等式|ba ab --λλ1|＞1对满足| a |＜1，| b |＜1的一切实数a 、b 恒成立；(3) 已知| a |＜1，若|abba ++1|＜1，求b 的取值范围.15．已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋b 定义在区间[－1，1]上，且f (0)＝f (1)，又P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)是其图象上任意两点(x 1≠x 2)．(1)设直线PQ 的斜率为k ，求证：| k |＜2； (2)若0≤x 1<x 2≤1，求证：| y 1－y 2 |＜1．6．6 含参数的不等式知识要点含有参数的不等式可渗透到各类不等式中去，在解不等式时随时可见含参数的不等式．而这类含参数的不等式是我们教学和高考中的一个重点和难点．解含参数的不等式往往需要分类讨论求解，寻找讨论点（常见的如零点，等值点等），正确划分区间，是分类讨论解决这类问题的关键．在分类讨论过程中要做到不重，不漏．例题讲练【例1】 已知A ＝{x | 2ax 2＋(2－ab )x －b >０}，B ＝{x | x <－2或x >３}，其中b >0，若A ⊇B ，求a 、b 的取值范围．【例2】 已知关于x 的不等式ax ax --25<0的解集为M ，(1) 当a ＝4时，求集合M ；(2) 若3∈M 且5∉M ，求实数a 的取值范围．【例3】 若不等式2x －1>m (x 2－1)对满足－2≤m ≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围．【例4】 解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R)．小结归纳解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，应注意寻找讨论点，以讨论点划分区间进行讨论求解．能避免讨论的应设法避免讨论．基础训练题 一、选择题1． 如果 a >0，b >0，则不等式－b <x1<a 的解集是（ ） A ．{x |－b 1<x <0或0<x <b1} B ．{x | x <－b1或x >a 1}C ．{x |－a 1<x <0或0<x <b 1} D ．{x |－a 1<x <b1}2． 已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (－1)＝f (3)，则（ ）A ．f (1)>c > f (－1)B ．f (1)< c < f (－1)C ．f (1)<f (－1) < cD ．f (1)> f (－1)> c3．设关于x 的不等式ax >b 的解集中有一个元素是3，则（ ）A ．a >0且3a >bB ．a <0且3a <bC ．a >0且b <0D ．以上都不对4． 若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈(0，21)成立，则a 的取值范围是 （ ） A ．[0，＋∞) B ．[－2，2]C ．[－25，＋∞) D ．[－25，－2] 5． 设a 1，b 1，c 1，a 2，b 2，c 2均为非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1>0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2>0的解集分别为集合M和N ，那么“212121c cb b a a ==”是“M ＝N ”的（ ）A ．充要条件B ．必要非充分条件C ．充分非必要条件D ．既非充分也非必要条件6． 已知a ＞0，且a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1，1)时，均有f (x )＜21，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．]21,0(∪[)∞+,2 B ．)1,21[∪(]2,1C ．)1,41[∪(]4,1 D ．]41,0(∪[)∞+,4二、填空题7． 不等式11<-x ax的解集是{x | x <1或x >2}，则a ＝ ． 8． 设f (x )＝3ax －2a ＋1，若存在x 0∈(－1，1)，使f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是 ．9． 若不等式122)31(3+->x ax x 对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．10．若关于x 的不等式组 ⎩⎨⎧>+->01a x ax 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题11．对于任意的x ∈R ，均有x 2－4ax ＋2a ＋30≥0(a ∈R)，求关于x 的方程3+a x＝| a －1|＋1的根的范围．12．解关于x 的不等式01224222>+--a a ax x ．13．已知函数f (x )＝bax x +2(a 、b 为常数)，且方程f (x )－x＋12＝0有两个实根为x 1＝3，x 2＝4． (1)求函数f (x )的解析式；(2)设k ＞1，解关于x 的不等式f (x )＜xkx k --+2)1(．提高训练题14．设函数f (x )＝| x －a |，g (x )＝ax (a ＞0)．(1)解关于x 的不等式| x －a |＜ax ；(2)设F(x )＝f (x ) －g (x )，若F(x )在(0，＋∞)上有最小值，求出这个最小值．15．已知f (x )＝lg(x ＋1)，g (x )＝2lg(2x ＋t )( t ∈R ，t 是参数) (1) 当t ＝－1时，解不等式：f (x ) ≤ g (x )(2) 如果当x ∈[0，1]时，f (x ) ≤ g (x )恒成立，求参数t 的取值范围.6．7 不等式的应用知识要点 1．不等式始终贯穿在整个中学教学之中，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数的定义域，值域的确定，三角、数列、立体几何，解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切关系．2．能够运用不等式的性质、定理和方法分析解决有关函数的性质，方程实根的分布，解决涉及不等式的应用例题讲练【例1】 若关于x 的方程4x ＋a ·2x ＋a ＋1＝0有实数解，求实数a 的取值范围. ．【例2】 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出．设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当a ，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A 、B 孔的面积忽略不计)．【例3】已知二次函数y＝ax2＋2bx＋c，其中a＞b ＞c且a＋b＋c＝0.（1）求证：此函数的图象与x轴交于相异的两个点.（2）设函数图象截x轴所得线段的长为l，求证：3＜l＜23.【例4】一船由甲地逆水匀速行驶至乙地，甲乙两地相距S(千米)，水速为常量p(千米/小时)，船在静水中的最大速度为q(千米/小时)(q＞p)，已知船每小时的燃料费用(以元为单位)与船在静水中速度v(千米/小时)的平方成正比，比例系数为k．⑴把全程燃料费用y(元)表示为静水中速度v的函数，并求出这个函数的定义域．⑵为了使全程燃料费用最小，船的实际前进速度应为多少？小结归纳不等式的应用主要有两类：⑴一类是不等式在其它数学问题中的应用，主要是求字母的取值范围，这类问题所进行的必须是等价转化．注意沟通各知识点之间的内在联系，活用不等式的概念、方法，融会贯通．⑵一类是解决与不等式有关的实际问题，这类问题首先应认真阅读题目，理解题目的意义，注意题目中的关键词和有关数据，然后将实际问题转化为数学问题，即数学建模，再运用不等式的有关知识加以解决．基础训练题一、选择题1．设M＝(a1－1)(b1－1)(c1－1)，若a＋b＋c＝1，(a，b，c∈R+)则M的取值范围是（）A．[)8,0B．⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,81C．[)8,1D．[)∞+,82．已知方程sin2x－4sin x＋1－a＝0有解，则实数a的取值范围是（）A．[－3，6] B．[－2，6]C．[－3，2] D．[－2，2]3．点P(x，y)在椭圆92x＋42y＝1上移动，则x＋y的最大值等于（）A．5 B．3C．6 D．134．已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是（）A．(－∞，－1) B．(－∞，22－1)C．(－1，22－1) D．(－22－1，22－1) 5．一批物资要用11辆汽车从甲地运到360千米外的乙地，若车速为v千米/小时，两车的距离不能小于(10v)2千米，运完这批物资至少需要（）A．10小时B．11小时C．12小时D．13小时6．设函数是定义在R上的奇函数，若f (x)的最小正周期为3,且f (1)>1，f (2)＝132+-mm，则m的取值范围是（）A．m<32B．m<32且m≠－1C．－1< m<32D．m>32且m<－1二、填空题7．如果对任意实数x，不等式| x+1 |≥kx恒成立，则实数k的范围是 .8．已知f (x)＝⎩⎨⎧<-≥11xx，则不等式x＋(x＋2)f (x＋2)≤5的解集是．9．一个盒中装有红球、白球和黑球，黑球的个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的31，白球与黑球的个数之和至少是55，则红球个数的最小值为 . 10．船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度V 1和在静水中的速度V 2的大小关系是 ．三、解答题11．已知实数p 满足不等式0212<++x x ，试判断方程Z 2－2Z ＋5－p 2＝0有无实根，并给出证明．12．已知二次函数f （x ）＝x 2＋bx ＋c （b 、c ∈R ），不论α、β为何实数，恒有f (sin α)≥0，f (2＋cos β)≤0. (1) 求证：b +c ＝－1； (2) 求证：c ≥3；(3) 若函数f (sin α)的最大值为8，求b 、c 的值.13．某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元，使用规定：不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次．某班有48名同学，老师们打算组织同学们集体去游泳，除需要购买若干张游泳卡外，每次游泳还要包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元，若使每个同学游泳8次，每人最少交多少钱？提高训练题14．设函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (c ＜b ＜1)，f (1)＝0，且方程f (x )＋1＝0有实根．(1)证明：－3＜c ≤－1且b ≥0；(2)若m 是方程f (x )＋1＝0的一个实根，判断f (m －4)的正负，并加以证明．15．已知定义域为[0，1]的函数f (x )同时满足：① 对于任意x ∈[0，1]，总有f (x )≥0；②f (1)＝1；③ 若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，则有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)． ⑴ 求f (0)的值．⑵ 求函数f (x )的最大值．⑶ 证明：① 当x ∈(21，1]时，有f (x )＜2x 成立．② 当x ∈[0，21]时，有f (x )≤21f (2x )成立．单 元 测 试一、选择题1. 关于x 的不等式|x －1|>m 的解集为R 的充要条件是（ ）A ．m ＜0B ．m ≤－1C ．m ≤0D ．m ≤1 2. 若a 、b 是任意实数，且b a >，则（ ）A ．22b a >B ．1<abC ．0)lg(>-b aD ．b a )21()21(<3． 若,,h a y h a x <-<-则下列不等式一定成立的是（ ）A ．h y x <-B ．h y x 2<-C ．h y x >-D ．h y x 2>-4． 欲证7632-<-，只需证（ ）A ．22)76()32(-<-B ．22)73()62(-<-C ．22)63()72(+<+D ．22)7()632(-<--5. 设x 1，x 2是方程x 2＋px ＋4＝0的两个不相等的实根，则 （ ） A ．| x 1 |＞2且| x 1 |＝2 B ．| x 1＋x 2|＞4 C ．| x 1＋x 2|＜4 D ．| x 1 |＝４且| x 2 |＝16. 对一切正整数n ，不等式211++<-n n b b 恒成立，则b 的范围是 （ ）A ．(0, 32) B ．(32,0]C ．(52,∞-)),1(∞+⋃D ．(52, 1)7. 已知函数f (x )＝ ⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+-)0()0(22x x x x x x ，则不等式f (x )＋2>0的解区间是 （ ） A ．(－2，2) B ．(－∞, －2)∪(2, ＋∞) C ．(－1，1) D ．(－∞, －1)∪(1, ＋∞) 8. 在R 上定义运算⊗．(1)x y x y ⊗=-若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 恒成立，则 （ ） A ．11a -<< B ．02a <<C ．3122a -<< D ．1322a -<< 9． 某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为（参考数据lg2＝0.3010，lg3＝0.4771） （ ） A ．5 B ．10 C ．14 D ．1510.（理）集合1{|0}1x A x x -=<+、{}a b x x B <-=，若"1"a =是""Φ≠⋂B A 的充分条件，则b 的取值范围可以是（ ）A ．20b -≤<B ．02b <≤C ．31b -<<-D ．12b -≤< （文）集合1{|0}1x A x x -=<+、{}a x x B <-=1，则"1"a =是""Φ≠⋂B A 的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件二、填空题11．若y x y x 2,2416,4230-<<<<则的取值范围是 . 12．若不等式02<--b ax x 的解集为{32<<x x }，则=+b a .13．实数x 满足θsin 1log 3+=x ，则91-+-x x 的值为 .14．已知a 、b 、c 为某一直角三角形的三条边长，c 为斜边，若点(m ，n )在直线ax ＋by ＋2c ＝0上，则m 2＋n 2的最小值是 ．15．对a ，b ∈R ，记max| a ，b |＝ ⎩⎨⎧<≥ba b ba a ，函数f (x )＝max| | x ＋1 |，| x －2 | | (x ∈R )的最小值是 ．三、解答题16. 若a 、b 、c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc ．17．已知函数f (x )＝xax x ++22，x ∈[)∞+,1．(1) 当a ＝21时，求函数f (x )的最小值；(2) 若对任意x ∈[)∞+,1，f (x )＞0恒成立，求实数a的取值范围．18．（理）解关于x 的不等式222(1)21x a x x ax+--≥+（文）解关于x 的不等式：2(1)10,(0)ax a x a -++<>19．设函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对任意x 、y∈R ＋，f (xy )＝f (x )＋f (y )恒成立，已知f (8)＝3，且当x ＞1时，f (x )＞0．(Ⅰ)证明：函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；(Ⅱ)对一个各项均正的数列{a n }满足f (S n )＝f (a n )＋f (a n＋1)－1 (n ∈N *)，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，求数列{a n }的通项公式； (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，是否存在正整数p 、q ，使不等式)1(211121-+>+++q pn a a a n对n ∈N *恒成立，求p 、q 的值．20．对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：1－)(含污物物体质量污物质量）为0.8，要求洗完后的清洁度是0.99．有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为a (1≤a ≤3)．设用x 单位质量的水初次清洗后的清洁度是18.0++x x (x ＞a －1)，用y 质量的水第二次清洗后的清洁度是ay acy ++，其中c (0.8＜c ＜0.99)是该物体初次清洗后的清洁度．(Ⅰ) 分别求出方案甲以及c ＝0.95时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；(Ⅱ) 若采用方案乙，当a 为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少？并讨论a 取不同数值对最少总用水量多少的影响．21. 已知条件p ：|5x －1|>a 和条件01321:2>+-x x q ，请选取适当的实数a 的值，分别利用所给的两个条件作为A 、B 构造命题：“若A 则B ”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题.则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题.。
高考数学一轮复习 第6章 不等式课件 理
－z＝0，则当xzy取得最大值时，2x＋1y－2z的最大值为(
)．
9
A．0
B．1
C.4
D．3
由 x2－3xy＋4y2－z＝0 可得 z＝x2－3xy＋4y2，
xy
xy
1
1
故
z
＝
x2－3xy＋4y2＝x 4y ≤ y＋ x －3
2
4－3＝1，当且仅
当xy＝4xy即 x＝2y 时等号成立，这时 z＝x2－3xy＋4y2＝2y2.
利用排除法，
设 x＝3.2，则[－x]＝[－3.2]＝－4，而－[x]＝－[3.2]
ab C．若c2<c2，则 a<b
D．若 a>b，c>d，则 a－c>b－d
由不等式的性质知 C 正确．
C
2．已知 x，y 都为正实数，且 3x＋y＝1，则 xy 的最大
值为( )．
1
1
A.12
B.3
C. 3
D．2 3
∵x，y 都为正实数，∴3x＋y＝1≥2 3x·y，得 xy
1 ≤12，故
xy
1 的最大值为12.
四、极值定理
1．若 x，y∈R＋，积 x·y＝p(定值)，则和 x＋y 有最小
值__2 p__，当且仅当__x＝y__时，取“＝”；
2．若 x，y∈R＋，和 x＋y＝s(定值)，则积 x·y 有最大
值__s42__，当且仅当__x＝y__时，取“＝”．
即：“积为常数，和有最小值；和为常数，积有最大值”．
a －b ＝ log36－ log510＝ 1＋ log32－ (1 ＋ log52) ＝ log32－log52＞0，∴a＞b.
b－c＝log510－log714＝1＋log52－(1＋log72)＝log52 －log72＞0，∴b＞c.∴a＞b＞c.
高考数学理一轮复习 61不等式的概念和性质 精品课件
题型四
不等式性质的灵活应用
思维提示
用不等式性质解决函数的定义域、值 域、最值、奇偶性、单调性等问题
例4 设f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，其中x＞0且x≠1， 试比较f(x)与g(x)的大小．
[分析] 运用对数函数的运算性质，对x的范围进行分 类讨论．
[解] ∵f(x)－g(x)＝(1＋logx3)－2logx2 ＝logx34x.
当 x＝43时，f(x)＝g(x)；
当 0＜x＜1 或 x＞43时，f(x)＞g(x)．
[规律总结] 作差比较法是比较两个实数大小的最基本 方法，其关键是作差后进行恒等变形，当差的符号不确定， 要进行分类讨论.
备选例题 4 已知二次函数 y＝ax2＋2bx＋c，其中 a＞b ＞c，a＋b＋c＝0.
()
A．2
B．3
C．4
D．5
[分析] 判断命题的真假，要紧扣不等式的性质，特别
注意条件与结论间的关系．
[解] ①中，c 的符号不确定，故 ac，bc 大小也不能确 定，故为假；
②中，由 ac2＞bc2 知 c≠0.又 c2＞0，则 a＞b，故为真； ③中，由ab＜＜b0 可得 ab＞b2， 由aa＜＜b0 可得 a2＞ab， ∴a2＞ab＞b2 为真；
1 a
＜
1 b
”
不能Leabharlann 变化条件
写
成
“a
＞
b
⇒
1 a
＜
1 b
”
，
又
如
“ac＞＞db＞＞00 ⇒ac＞bd”不能写成“ac＞＞db ⇒ac＞bd”．
6．要注意“a＞b＞0⇔an＞bn”(n∈N*且n＞1)中n的奇偶 性，当n为正奇数时，条件可放宽，即“a＞b⇒an＞bn”是成立 的．
2019版数学一轮高中全程复习方略课件：第六章 不等式
.又当 ab>0 时，a 与 b 同号，由 a
＋b>0 知 a>0，且 b>0. 答案：C
(
1 1 4．(2018· 河南六市模拟)若a<b<0，则下列结论不正确的是 ) A．a2<b2 B．ab<b2 C．a＋b<0 D．|a|＋|b|>|a＋b|
1 1 解析：∵a<b<0，∴b<a<0，∴b2>a2，ab<b2，a＋b<0，∴A、 B、C 均正确，∵b<a<0，∴|a|＋|b|＝|a＋b|，故 D 错误，故选 D. 答案：D
1 5. ________ 3＋1(填“>”或“<”)． 2－1
1 解析： ＝ 2＋1< 3＋1 2－1 答案：<
6．下列不等式中恒成立的是________． ①m－3>m－5；②5－m>3－m；③5m>3m；④5＋m>5－m. 解析：m－3－m＋5＝2>0，故①恒成立； 5－m－3＋m＝2>0，故②恒成立； 5m－3m＝2m，无法判断其符号，故③不恒成立； 5＋m－5＋m＝2m，无法判断其符号，故④不恒成立． 答案：①②
3．倒数性质 1 1 设 ab>0，则 a<b⇔a>b.(双向性) 4．有关分数的性质 若 a>b>0，m>0，则 b b＋m b b－m (1)a< ； > (b－m>0) a＋m a a－m a a＋m a a－m (2)b> ；b< (b－m>0) b＋m b－m
二、必明 2●个易误点 1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如 a≤b，b<c ⇒a<c. 2．在乘法法则中，要特别注意“乘数 c 的符号”，例如当 c≠0 时，有 a>b⇒ac2>bc2；若无 c≠0 这个条件，a>b⇒ac2>bc2 就是错误结论(当 c＝0 时，取“＝”)．
2019版高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明课时分层作业四十6.6数学归纳法理
课时分层作业四十数学归纳法一、选择题(每小题5分,共35分)1.用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取( )A.2B.3C.5D.6【解析】选C.当n=1时,21=2=12+1,当n=2时,22=4<22+1=5,当n=3时,23=8<32+1=10,当n=4时,24=16<42+1=17,当n=5时,25=32>52+1=26,当n=6时,26=64>62+1=37,故起始值n0应取5.2.(2018·淄博模拟)设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:当f(k)≥k+1成立时,总能推出f(k+1)≥k+2成立,那么下列命题总成立的是( )A.若f(1)<2成立,则f(10)<11成立B.若f(3)≥4成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k+1成立C.若f(2)<3成立,则f(1)≥2成立D.若f(4)≥5成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k+1成立【解析】选D.当f(k)≥k+1成立时,总能推出f(k+1)≥k+2成立,说明如果当k=n时,f(n)≥n+1成立,那么当k=n+1时,f(n+1)≥n+2也成立,所以如果当k=4时,f(4)≥5成立,那么当k≥4时,f(k)≥k+1也成立.3.用数学归纳法证明1-+-+…+-=++…+,则当n=k+1时,左端应在n=k的基础上加上( )A. B.-C.-D.+【解析】选C.因为当n=k时,左端=1-+-+…+-,当n=k+1时,左端=1-+-+…+-+-.所以,左端应在n=k的基础上加上-.4.观察下列各等式:+=2,+=2,+=2,+=2,依照以上各式成立的规律,归纳出一般性的等式为( )A.+=2B.+=2C.+=2D.+=2【解析】选A.各等式可化为:+=2,+=2,+=2,+=2,可归纳得一般等式:+=2.5.(2018·沈阳模拟)设n为正整数,f(n)=1+++…+,经计算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,f(32)>,观察上述结果,可推测出一般结论( ) A.f(2n)> B.f(n2)≥C.f(2n)≥D.以上都不对【解析】选C.f(2)=f(21)==,f(4)=f(22)>,f(8)=f(23)>,f(16)=f(24)>,f(32)=f(25)>,由此可推知f(2n)≥.6.用数学归纳法证明1+2+3+…+2n=2n-1+22n-1(n∈N*)时,假设n=k时命题成立,则当n=k+1时,左端增加的项数是( )A.1项B.k-1项C.k项D.2k项【解析】选D. 运用数学归纳法证明1+2+3+…+2n=2n-1+22n-1(n∈N*)当n=k时,则有1+2+3+…+2k=2k-1+22k-1(k∈N*)左边表示的为2k项的和.当n=k+1时,则左边=1+2+3+…+2k+(2k+1)+…+2k+1,表示的为2k+1项的和,因此,增加了2k+1-2k=2k项.7.(2018·商丘模拟)已知1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N*都成立,则a,b,c的值为( )A.a=,b=c=B.a=b=c=C.a=0,b=c=D.不存在这样的a,b,c【解题指南】根据数学归纳法的要求,只需代入前三个数即可.【解析】选A.因为等式对一切n∈N*均成立,所以n=1,2,3时等式成立,即整理得解得a=,b=c=.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2018·洛阳模拟)用数学归纳法证明1+++…+<n(n∈N*,n>1)时,第一步应验证的不等式是________.解析】由n∈N*,n>1知,n取第一个值n0=2,当n=2时,不等式为1++<2.答案:1++<2.9.设数列{a n}的前n项和为S n,且对任意的自然数n都有(S n-1)2=a n S n,通过计算S1,S2,S3,猜想S n=______. 【解析】由(S1-1)2=S1·S1,得S1=,由(S2-1)2=(S2-S1)S2,得S2=,依次得S3=,猜想S n=.答案:10.用数学归纳法证明不等式++…+>的过程中,由n=k推导n=k+1时,不等式的左边增加的式子是________.导学号12560630【解析】不等式的左边增加的式子是+-=,故填.答案:.1.(5分)已知n为正偶数,用数学归纳法证明1-+-+…-=2(++…+)时,若已假设n=k(k≥2且k为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证( )A.n=k+1时等式成立B.n=k+2时等式成立C.n=2k+2时等式成立D.n=2(k+2)时等式成立【解析】选B. k为偶数,则k+2为偶数.2.(5分)用数学归纳法证明“1+++…+<n(n≥2)”时,由n=k的假设证明n=k+1时,不等式左边需增加的项数为( )A.2k-1B.2k-1C.2kD.2k+1【解析】选C.当n=k时,左边=1+++…+,当n=k+1时,左边=1+++…+,所以左边增加的项数为2k+1-1-(2k-1)=2k+1-2k=2k.3.(5分)(2018·武汉模拟)已知数列{a n}满足条件a n=,设f(n)=(1-a1)(1-a2)(1-a3)…(1-a n),计算f(1),f(2),f(3),f(4)的值,由此猜想f(n)的通项公式为________.【解析】f(1)=,f(2)=,f(3)=,f(4)=.由此可猜想f(n)=.答案:f(n)=4.(12分)(2018·东莞模拟)已知S n=1+++…+(n>1,n∈N*),求证:>1+(n≥2,n∈N*).【证明】(1)当n=2时,=S4=1+++=>1+,即n=2时命题成立;(2)假设当n=k(k≥2,k∈N*)时命题成立,即=1+++…+>1+,则当n=k+1时,=1+++…+++…+>1++++…+>1++=1++=1+,故当n=k+1时,命题成立.由(1)和(2)可知,对n≥2,n∈N*.不等式>1+都成立.5.(13分)在数列{a n}中,a1=2,a n+1=λa n+λn+1+(2-λ)2n(n∈N*,λ>0).(1)求a2,a3,a4.(2)猜想{a n}的通项公式,并加以证明.【解析】(1)a2=2λ+λ2+2(2-λ)=λ2+22,。
20XX版高考数学一轮复习第六章不等式第1讲不等式的概念与性
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第1讲不等式的概念与性质1．(20XX年河北承德实验中学统测)若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式正确的个数是()11ab2244①b；③ac>bc；④2>2.abc＋1c＋1A．1b．2c．3D．42．(20XX年北京)已知x，y∈R，且x>y>0，则()11A.－>0b．sinx－siny>0xy?1?x?1?yc.??－??0?2??2?23322223．已知下列不等式：①x＋3>2x；②a＋b≥ab＋ab(a，b∈R＋)；③a＋b≥2(a－b－1)．其中正确的个数是()A．0b．1c．2D．34．(20XX年湖北)将离心率为e1的双曲线c1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线c2，则()A．对任意的a，b，e1b．当a>b时，e1e2c．对任意的a，b，e1>e2D．当a>b时，e1>e2；当a2225．(20XX年上海)记方程①：x＋a1x＋1＝0，方程②：x＋a2x＋2＝0，方程③：x＋a3x＋4＝0，其中a1，a2，a3是正实数．当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是() A．方程①有实根，且②有实根b．方程①有实根，且②无实根c．方程①无实根，且②有实根D．方程①无实根，且②无实根6．已知函数f(x)＝ax＋bx＋c满足f(1)＝0，且a>b>c，则的取值范围为__________．7．(20XX年山东滨州模拟)A杯中有浓度为a的盐水xg，b杯中有浓度为b的盐水yg，其中A杯中的盐水更咸一些．若将A，b两杯盐水混合在一起，其浓度可用不等式表示为______________．8．用若干辆载重为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装8吨，则最后一辆汽车不满也不空．则有汽车________辆．9．设a，b为正实数．现有下列命题：22①若a－b＝1，则a－b＜1；11②若－＝1，则a－b＜1；2caba③若|a－b|＝1，则|a－b|＜1；33④若|a－b|＝1，则|a－b|＜1.其中的真命题有__________．(写出所有真命题的编号)10．(20XX年湖南怀化模拟)某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．1111a?1b???2211．已知a＞0，b＞0，求证：??b??2＋??a??2≥a2＋b2.12．已知α∈(0，π)，比较2sin2α与sinα1－cosα的大小．2第1讲不等式的概念与性质111．A解析：①a＝1，b＝－1，＜不成立；ab②a＝1，b＝－1，a＞b不成立；44③c＝0，ac＞bc不成立；④因为c＋1＞0，a＞b，所以＞成立．c＋1c2＋111112．c解析：由x>y>0，得y>0及函数y＝sinx的单222abxyxy1?1?x?1?y?1?调性，可知sinx－siny>0不一定正确，b不正确；由0y>0，得???1?yx－??y>0，得xy>0，但不一定大于1，故lnx＋lny＝lnxy>0不一定?2?成立，D不正确．222332223．D解析：∈x－2x＋3＝(x－1)＋2>0，∈x＋3>2x.∈a＋b－ab－ab ＝(a－b)(a223322222－b)＝(a＋b)(a－b)≥0，∈a＋b≥ab＋ab.∈a＋b－2(a－b－1)＝(a－1)＋(b＋2221)≥0，∈a＋b≥2(a－b－1)．b2b＋m2bb＋m4．b解析：e1＝1＋2，e2＝1＋化简，得0)，2.不妨令e1aa＋maa＋mbb＋mbb＋m得bma时，有>，即e1>e2；当b aa＋maa＋mb.a2282225．b解析：当方程①有实根，且②无实根时，a1≥4，a2a12 2即方程③：x＋a3x＋4＝0无实根．故选b.而A，D由于不等式方向不一致，不可推；c推出③有实根．1??6.?－2，－?解析：因为f(1)＝0，所以a＋b＋c＝0.所以b＝－(a＋c)．2??又a>b>c，所以a>－(a＋c)>c，且a>0，c a＋cccc所以1>－>，即1>－1－>.aaaa2c??a－2，7．bc1解得－2a2ax＋byax＋byb，将A，b两杯盐水混合后，盐水的浓度变为.x＋yx＋yax＋bybx＋byax＋byax＋ayax＋by则有>＝b，x＋yx＋yx＋yx ＋yx＋y8．6解析：设有x辆汽车，则货物重为(4x＋20)吨．x－＜4x＋20，??由题意，得?8x＞4x＋20，??x∈n*.*解得5＜x＜7，且x∈n.故只有x＝6才满足要求．39．①④解析：①中，∈a－b＝1，∈a－b＝22221.a＋b∈a＞0，b＞0，又a＝b＋1＞1，1∈a＞1.从而＜1，即a－b＜1.a＋b∈①正确．5②中，取a＝5，b＝，验证知②错误．6③中，取a＝4，b＝1，验证知③错误．④∈a，b是正实数，不妨设a＞b>0，3322∈a－b＝(a－b)(a＋b＋ab)．a3－b31∈a－b＝2.2＝2a＋ab＋ba＋ab＋b233222∈a＝1＋b＞1，∈a＞1.∈a＋ab＋b＞1.1∈0＜2＜1.a＋ab＋b21∈0a＋ab＋b2同理，设0*10．解：设该单位职工有n人(n∈n)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元．3134则y1＝x＋x·(n－1)＝x＋nx，y2＝nx.4445134因为y1－y2＝x＋nx－nx445111?n?＝x－nx＝x?1－?.4204?5?当n＝5时，y1＝y2；当n>5时，y1y2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．a3＋b311．证明：方法一，左边－右边＝－(a＋b)ab＝＝a＋ba＋ba－ab＋b－aba＋baba－2ab＋ba＋ba－b＝abab2≥0.∈原不等式成立．方法二，左边>0，右边>0.左边a＋ba－ab＋b＝右边aba＋b＝a－ab＋b2ab－ab≥＝1.ababsinα4sinαcosα－cosα＝1－cosα1－cosα－sinα∈原不等式成立．12．解：2sin2α－4sinαsinα22(－4cosα＋4cosα－1)＝－(2cosα－1).1－cosα1－cosα2∈α∈(0，π)，∈sinα＞0,1－cosα＞0，(2cosα－1)≥0.sinαsinα2∈－(2cosα－1)≤0，即2sin2α－≤0.sinααπ1－cos1－cosα∈2sin2α≤，当且仅当α＝时取等号．31－cosα＝5最后，小编希望文章对您有所帮助，如果有不周到的地方请多谅解，更多相关的文章正在创作中，希望您定期关注。
2019版高考数学一轮复习第6章不等式6.3基本不等式课件文
(2)(必修 A5P100A 组 T2)一段长为 30 m 的篱笆围成一个 一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m，则这个矩形的长为
15 ____1_5___m，宽为____2____m 时菜园面积最大．
解析 设矩形的长为 x m，宽为 y m．则 x＋2y＝30，所 以 S＝xy＝12x·(2y)≤12x＋22y2＝2225，当且仅当 x＝2y，即 x ＝15，y＝125时取等号．
ab·ba＝4，
[条件探究 1] 将典例条件变为“x＞0，y＞0 且 x＋2y
＝1”，求1x＋1y的最小值． 解 ∵x＋2y＝1，
∴1x＋1y＝1x＋1y·(x＋2y)＝3＋xy＋2xy≥3＋2 xy·2xy＝3＋
Hale Waihona Puke 2 2.当且仅当yx＝2xy， x＋2y＝1，
x＝ 2－1，
第6章 不等式
6．3 基本不等式
基础知识过关
[知识梳理] 1．基本不等式
注：设 a>0，b>0，则 a、b 的算术平均数为a＋2 b，几何 平均数为 ab，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数 不小于它们的几何平均数．
2．利用基本不等式求最值问题 已知 x＞0，y＞0，则： (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有 最小 值是 2 p(简记： 积定和最小 )． (2)如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，xy 有 最大 值是p42(简记： 和定积最大 )． 注：应用基本不等式求最值时，必须考察“一正、二定、 三相等”，忽略某个条件，就会出现错误．
解 因为 x＜54，所以 5－4x＞0，则 f(x)＝4x－2＋4x－1 5 ＝－5－4x＋5－14x＋3≤－2＋3＝1，当且仅当 5－4x＝ 5－14x，即 x＝1 时，等号成立．故 f(x)＝4x－2＋4x－1 5的最 大值为 1.
高考数学一轮复习不等式知识点讲解
2019 年高考数学一轮复习不等式知识点讲解不等式这部分知识，浸透在中学数学各个分支中，有着十分宽泛的应用。
下边是不等式知识点解说，请考生掌握。
1。
解不等式的中心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依照，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法亲密有关，要擅长把它们有机地联系起来，相互转变。
在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一。
经过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，经过结构函数、数形联合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法能够使得分类标准清晰。
2。
整式不等式 (主假如一次、二次不等式 )的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单一性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式 (组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形联合是解不等式的常用方法。
方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解亲密有关，要擅长把它们有机地联系起来，相互转变和相互变用。
课本、报刊杂志中的成语、名言警语等俯首皆是 ,但学生写作文运用到文章中的甚少 ,即便运用也很难做到恰到好处。
为何 ?还是没有完全“记死”的缘由。
要解决这个问题 ,方法很简单 ,每天花 3-5 分钟左右的时间记一条成语、一则名言警语即可。
能够写在后黑板的“累积专栏”上每天一换 ,能够在每天课前的 3 分钟让学生轮番解说 ,也可让学生个人收集 ,每天往笔录本上抄录 ,教师按期检查等等。
这样 ,一年便可记 300 多条成语、 300 多则名言警语 ,与日俱增 ,终归会成为一笔不小的财产。
这些成语典故“储藏”在学生脑中 ,自然会下笔成章 ,写作时便会为所欲为地“提取”出来 ,使文章添色添辉。
3。
在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，经过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，经过结构函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，能够使分类标准更为清晰。
高考数学一轮复习第6章不等式：不等式的概念与性质.doc
第六章 不等式课时作业30 不等式的概念与性质时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2 C.b a ＋ab>2 D ．|a |＋|b |>|a ＋b | 解析：由1a <1b<0，得b <a <0.∴A 、B 、C 均正确．但|a ＋b |＝|a |＋|b |. 答案：D2．设a ＋b <0，且a >0，则下列不等式成立的是 ( )A ．a 2<b 2<－abB ．b 2<－ab <a 2C ．a 2<－ab <b 2D ．－ab <b 2<a 2 解析：令a ＝1，b ＝－2即可．故选C. 答案：C3．设0<b <a <1，则下列不等式成立的是( )答案：C4．设a ，b ，c ，d ∈R ＋，且a ＋d ＝b ＋c ，|a －d |<|b －c |，则( ) A ．ad ＝bc B ．ad <bc C ．ad >bc D ．ad ≤bc 解析：将两条件平方，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋d 2＋2ad ＝b 2＋c 2＋2bc ， ①a 2＋d 2－2ad <b 2＋c 2－2bc . ② 由②－①得－4ad <－4bc ，∴ad >bc . 答案：C( )A ．d >a >b >cB ．d >c >b >aC ．d >b >c >aD ．a >c >b >d解析：由题知，d >tan π4＝1，而a 、b 、c 均小于1.故d 最大，而a 3＝12，b 3＝827，∴a >b ；答案：A6．设a >0，b >0，c >0，下列不等关系不恒成立．．．．的是( )A ．c 3＋c ＋1>c 2＋14c －1B ．|a －b |≤|a －c |＋|b －c |C ．若a ＋4b ＝1，则1a ＋1b>6.8D ．ax 2＋bx －c ≥0(x ∈R )解析：只有满足a >0且Δ＝b 2＋4ac ≤0时D 中不等式才恒成立，故选D. 答案：D二、填空题(每小题5分，共7．若a <b <0，则1a －b 与1a的大小为________．解析：由a <b <0可得a <a －b <0.答案：1a －b <1a8．设a ＝2－5，b ＝5－2，c ＝5－25，则a 、b 、c 之间的大小关系为__________． 解析：a ＝2－5＝4－5<0.∴b >0. c ＝5－25＝25－20>0. b －c ＝35－7＝45－49<0. ∴c >b >a . 答案：c >b >a9．已知－1≤a ＋b ≤1,1≤a －b ≤3，则3a －b 的取值范围是________． 解析：将3a －b 用a ＋b 和a －b 表示，设3a －b ＝m (a ＋b )＋n (a －b )＝(m ＋n )a ＋(m －n )b .比较系数，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3，m －n ＝－1，⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2.∴3a －b ＝(a ＋b )＋2(a －b )． 又－1≤a ＋b ≤1,1≤a －b ≤3， ∴1≤3a －b ≤7. 答案：[1,7]10．设a >b >c >0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小顺序是__________．解析：令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝18，y ＝20，z ＝26，故z >y >x . 答案：z >y >x三、解答题(共50分)11．(15分)已知a ∈R ，a ≠1，比较11－2a ＋a2与1＋2a ＋a 2的大小． 解：∵11－2a ＋a 2－(1＋2a ＋a 2)＝－a 2(a ＋2)(a －2)(1－a )2∴①当a ＝0或a ＝±2时，11－2a ＋a2＝1＋2a ＋a 2； ②当a <－2或a >2时，11－2a ＋a2<1＋2a ＋a 2； ③当－2<a <2且a ≠1，a ≠0时，11－2a ＋a2>1＋2a ＋a 2. 12．(15分)设f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2，其中x >0，且x ≠1，试比较f (x )与g (x )的大小．解：f (x )－g (x )＝(1＋log x 3)－2log x 2＝log x 3x4.∵对数值的正负与底数和真数与1的大小有关， ∴需分情况讨论．①当⎩⎪⎨⎪⎧0<x <13x 4>1或⎩⎪⎨⎪⎧x >10<3x 4<1，故1<x <43时，log x 3x4<0，∴f (x )<g (x )；②当3x 4＝1，即x ＝43时，log x 3x4＝0，故f (x )＝g (x )；③当⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <10<3x 4<1或⎩⎪⎨⎪⎧x >13x 4>1，即0<x <1或x >43时，log x 3x4>0，故f (x )>g (x )．综上所述，当1<x <43时，f (x )<g (x )；当x ＝43时，f (x )＝g (x )；当0<x <1或x >43时，f (x )>g (x )．13．(已知m ∈R ，a >b >1，f (x )＝mxx －1，试比较f (a )与f (b )的大小．解：由于f (x )＝mx x －1，所以f (a )＝ma a －1，f (b )＝mb b －1，于是f (a )－f (b )＝ma a －1－mbb －1＝m (b －a )(a －1)(b －1).由于a >b >1，所以b －a <0，(a －1)(b －1)>0，当m >0时，m (b －a )(a －1)(b －1)<0，所以f (a )<f (b )；当m <0时，m (b －a )(a －1)(b －1)>0，所以f (a )>f (b )；当m ＝0时，m (b －a )(a －1)(b －1)＝0，所以f (a )＝f (b )．。
高考数学理科一轮复习 第6章 不等式第1讲
2 解得 x≥a或 x≤－1.
基础知识过关
经典题型冲关
课后作业
答案
③当 a<0
2 时，原不等式化为x－a (x＋1)≤0.
2 2 当a>－1，即 a<－2 时，解得－1≤x≤a； 2 当a＝－1，即 a＝－2 时，解得 x＝－1 满足题意； 2 2 当a<－1，即 0>a>－2，解得a≤x≤－1.
q21－q3－1－q5 －q－1 ＝ ＝ q4 <0， 4 q 1－q S3 S5 所以a <a . 3 5 S3 S5 综上可知a <a . 3 5
基础知识过关 经典题型冲关 课后作业
解析
3．已知二次函数 y＝f(x)的图象过原点，且 1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4，求 f(－2)的取值范围．
. 02 a＞c □
.
(3)可加性：a＞b⇒a＋c＞b＋c. 03 ac＞bc ；a＞b，c＜0⇒ (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ □ (5)加法法则：a＞b，c＞d⇒
05 a＋c＞b＋d □
04 ac＜bc □
.
.
基础知识过关
经典题型冲关
课后作业
06 ac＞bd . (6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d ＞0⇒ □ n n 07 □ a ＞ b (7)乘方法则：a＞b＞0⇒ (n ∈N，n≥1)．
答案 D
)
基础知识过关
经典题型冲关
课后作业
答案
解析
c＜d＜0⇒cd＞0 ⇒ 解法一： c＜d＜0
－1 －1 c d 1 1 －a －b a b ＜ ＜ 0 ⇒ ＜ ＜ 0 ⇒ ＞ ＞ 0 cd cd d c d c ⇒ ＞ c ⇒d＜c.故选 D. d a＞b＞0
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第1讲 不等式的概念与性质1．(2017年河北承德实验中学统测)若a ，b ，c ∈R ，且a ＞b ，则下列不等式正确的个数是( )①1a <1b ；②a 2>b 2；③ac 4>bc 4；④a c 2＋1>b c 2＋1. A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．(2016年北京)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y>0 B ．sin x －sin y >0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0 D ．ln x ＋ln y >0 3．已知下列不等式：①x 2＋3>2x ；②a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2(a ，b ∈R ＋)；③a 2＋b 2≥2(a －b －1)．其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 4．(2015年湖北)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( )A ．对任意的a ，b ，e 1<e 2B ．当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2C ．对任意的a ，b ，e 1>e 2D ．当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 25．(2015年上海)记方程①：x 2＋a 1x ＋1＝0，方程②：x 2＋a 2x ＋2＝0，方程③：x 2＋a 3x ＋4＝0，其中a 1，a 2，a 3是正实数．当a 1，a 2，a 3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是( )A ．方程①有实根，且②有实根B ．方程①有实根，且②无实根C ．方程①无实根，且②有实根D ．方程①无实根，且②无实根6．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，则c a的取值范围为__________． 7．(2016年山东滨州模拟)A 杯中有浓度为a 的盐水x g ，B 杯中有浓度为b 的盐水y g ，其中A 杯中的盐水更咸一些．若将A ，B 两杯盐水混合在一起，其浓度可用不等式表示为______________．8．用若干辆载重为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装8吨，则最后一辆汽车不满也不空．则有汽车________辆．9．设a ，b 为正实数．现有下列命题：①若a 2－b 2＝1，则a －b ＜1；②若1b －1a＝1，则a －b ＜1；③若|a －b |＝1，则|a －b |＜1；④若|a 3－b 3|＝1，则|a －b |＜1.其中的真命题有__________．(写出所有真命题的编号)10．(2016年湖南怀化模拟)某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．11．已知a ＞0，b ＞0，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 12≥a 12＋b 12.12．已知α∈(0，π)，比较2sin 2α与sin α1－cos α的大小．第1讲 不等式的概念与性质1．A 解析：①a ＝1，b ＝－1，1a ＜1b不成立；②a ＝1，b ＝－1，a 2＞b 2不成立；③c ＝0，ac 4＞bc 4不成立； ④因为c 2＋1＞0，a ＞b ，所以a c 2＋1＞bc 2＋1成立． 2．C 解析：由x >y >0，得1x <1y ，即1x －1y<0，A 不正确；由x >y >0及函数y ＝sin x 的单调性，可知sin x －sin y >0不一定正确，B 不正确；由0<12<1，x >y >0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12y <0，C 正确；由x >y >0，得xy >0，但不一定大于1，故ln x ＋ln y ＝ln xy >0不一定成立，D 不正确．3．D 解析：∵x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2>0，∴x 2＋3>2x .∵a 3＋b 3－a 2b －ab 2＝(a －b )(a 2－b 2)＝(a ＋b )(a －b )2≥0，∴a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2.∵a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，∴a 2＋b 2≥2(a －b －1)．4．B 解析：e 1＝1＋b 2a 2，e 2＝1＋b ＋m 2a ＋m 2.不妨令e 1<e 2，化简，得b a <b ＋ma ＋m(m >0)，得bm <am ，得b <a .所以当b >a 时，有b a >b ＋m a ＋m ，即e 1>e 2；当b <a 时，有b a <b ＋ma ＋m，即e 1<e 2.故选B.5．B 解析：当方程①有实根，且②无实根时，a 21≥4，a 22<8，从而a 3＝a 22a 1<82＝4，∴a 23<16，即方程③：x 2＋a 3x ＋4＝0无实根．故选B.而A ，D 由于不等式方向不一致，不可推；C 推出③有实根．6.⎝⎛⎭⎪⎫－2，－12 解析：因为f (1)＝0，所以a ＋b ＋c ＝0.所以b ＝－(a ＋c )． 又a >b >c ，所以a >－(a ＋c )>c ，且a >0，c <0.所以1>－a ＋c a >c a ，即1>－1－c a >ca.所以⎩⎪⎨⎪⎧2ca <－1，ca >－2，解得－2<c a <－12.7．b <ax ＋by x ＋y <a 解析：依题意，知a >b ，将A ，B 两杯盐水混合后，盐水的浓度变为ax ＋byx ＋y .则有ax ＋by x ＋y >bx ＋by x ＋y ＝b ，ax ＋by x ＋y <ax ＋ay x ＋y ＝a .故有b <ax ＋by x ＋y <a .8．6 解析：设有x 辆汽车，则货物重为(4x ＋20)吨．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x －＜4x ＋20，8x ＞4x ＋20，x ∈N *.解得5＜x ＜7，且x ∈N *.故只有x ＝6才满足要求．9．①④ 解析：①中，∵a 2－b 2＝1，∴a －b ＝1a ＋b. ∵a ＞0，b ＞0，又a 2＝b 2＋1＞1，∴a ＞1.从而1a ＋b＜1，即a －b ＜1.∴①正确．②中，取a ＝5，b ＝56，验证知②错误．③中，取a ＝4，b ＝1，验证知③错误． ④∵a ，b 是正实数，不妨设a ＞b >0， ∴a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋b 2＋ab )．∴a －b ＝a 3－b 3a 2＋ab ＋b 2＝1a 2＋ab ＋b 2. ∵a 3＝1＋b 3＞1，∴a 2＞1.∴a 2＋ab ＋b 2＞1.∴0＜1a 2＋ab ＋b 2＜1.∴0<a －b ＝1a 2＋ab ＋b 2＜1.即|a －b |＜1.同理，设0<a ＜b ，也能得到|a －b |＜1的结论．故④正确．10．解：设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元， 坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元．则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34nx ，y 2＝45nx .因为y 1－y 2＝14x ＋34nx －45nx＝14x －120nx ＝14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n 5. 当n ＝5时，y 1＝y 2； 当n >5时，y 1<y 2； 当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．11．证明：方法一，左边－右边＝a 3＋b 3ab－(a ＋b )＝a ＋b a －ab ＋b －ab a ＋bab＝a ＋ba －2 ab ＋b ab ＝a ＋b a －b2ab≥0.∴原不等式成立．方法二，左边>0，右边>0. 左边右边＝a ＋b a －ab ＋bab a ＋b＝a －ab ＋b ab ≥2 ab －abab＝1. ∴原不等式成立． 12．解：2sin 2α－sin α1－cos α＝4sin αcos α－cos α－sin α1－cos α＝sin α1－cos α(－4cos2α＋4cos α－1)＝－sin α1－cos α(2cos α－1)2.∵α∈(0，π)，∴sin α＞0,1－cos α＞0，(2cos α－1)2≥0.∴－sin α1－cos α(2cos α－1)2≤0，即2sin 2α－sin α1－cos α≤0.∴2sin 2α≤sin α1－cos α，当且仅当α＝π3时取等号．。