高考数学6.1不等式的概念与性质知识研习课件理(通用版)
《不等式的性质》课件
不等式的可乘性
总结词
如果a>b>0，且c>0，则ac>bc。
详细描述
这是不等式的另一个重要性质，称为可乘性。它表明当两个正数a和b之间存在一个正数c时，如果已 知a大于b，并且c也大于0，那么在两边同时乘以c后，得到的结果仍然是ac大于bc。
不等式的可除性
总结词
如果a>b>0，且c>0，则a/c>b/c。
详细描述
这是不等式的另一个重要性质，称为可除性。它表明当两个正数a和b之间存在一个正数c时，如果已知a大于b， 并且c也大于0，那么在两边同时除以c后，得到的结果仍然是a/c大于b/c。
PART 03
不等式的解法
代数法解不等式
代数法是解不等式最常用的方法 之一，通过移项、合并同类项、 化简等步骤，将不等式转化为容
总结词
如果a>b且b>c，则a>c。
详细描述
这是不等式的基本性质之一，称为传递性。它表明当两个数a和c之间存在一个 中间数b，且已知a大于b且b大于c时，那么a必然大于c。
不等式的可加性
总结词
如果a>b，那么a+c>b+c。
详细描述
这是不等式的另一个重要性质，称为可加性。它表明当两个数a和b之间存在一个 差值c时，如果已知a大于b，那么在两边同时加上c后，得到的结果仍然是a+c大 于b+c。
在经济中的应用
资源配置
市场分析
不等式可以用来描述资源配置问题， 例如在生产过程中如何分配资源以达 到最大效益。
在市场分析中，可以利用不等式性质 来分析市场供需关系，例如分析商品 价格与需求量之间的关系。
决策分析
高考数学一轮复习第六章不等式第1讲不等式的概念与性质课件理
答案：②④
第九页，共三十一页。
(2)(2018 年山东(shān dōnɡ)德州期中)已知a<b<c 且 a＋b＋c＝0，则下
列不等式恒成立(chénglì)的是( )
A.a2<b2<c2 C.ac<bc
B.ab2<cb2 D.ab<ac
解析：方法一，∵a<b<c 且 a＋b＋c＝0，∴a<0，c>0.
答案：D
第十二页，共三十一页。
(4)(2018 年河北承德一中月考)下面(xiàmian)四个条件中，使 a>b 成 立的充分(chōngfèn)而不必要的条件是( )
A.a>b－1
B.a2>b2
C.a>b＋1
D.a3>b3
解析：显然当 a＝2，b＝2.5 时，a>b－1 a>b，A 错误；
当 a＝－2，b＝1 时，a2>b2 a>b，B 错误；a>b＋1⇒a>b，但
∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1).
第二十五页，共三十一页。
∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4， ∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10. ∴5≤f(－2)≤10.
方法三，由12≤ ≤aa－ ＋bb≤ ≤24， 确定的平面区域如图 6-1-1.
图 6-1-1
第二十六页，共三十一页。
当 f(－2)＝4a－2b 过点 A32，12时， 取得最小值 4×32－2×12＝5.
第六章 不等式
第1讲 不等式的概念(gàiniàn)与性质
第一页，共三十一页。
1.了解现实(xiànshí)世界和日常生活中的不等关系. 2.了解不等式(组)的实际背景.
不等式性质的ppt
x＜-1
例3.设a＞b，用“＜”或“＞”填空： (1)a-3 b-3 (2) a b (3) -4a -4b
解：(1) ∵a＞b 2 2 ∴两边都减去3，由不等式基本性质1 得 a-3＞b-3
(2) ∵a＞b，并且2＞0 ∴两边都除以2，由不等式基本性质2 得
(3) ∵a＞b，并且-4＜0 ∴两边都乘以-4，由不等式基本性质3 得 -4a＜-4b
（2）当不等式两边都乘以（或除以）同 一个数时，一定要看清是正数还是
负数；对于未给定范围的字母，应
分情况讨论.
1. 下列各数中,哪些是不等是x+3>6的 解?哪些不是?
-4; -2.5; 0;
1; 2.5 ;
3; 3.2; 4.8;
2. 用不等式表示: (1)a是正数;
8; 12. (2)y的2倍与1的差大于3;
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6×(-5) ＜ 2×(-5) (4)-2<3, (-2)×6 ＜ 3×6,
(-2)×(-6) ＞ 3×(-6)
由上面规律填空: (1)当不等式两边加上或减去同一个数
(正数或负数)时,不等号的方向 不变 ;
(2)当不等式两边乘同一个正数时,不等号
的方向不变 ;而乘同一个负数时,不等号的方向 ___改__变____
不等式的性质(1)
1.什么是等式？ 2.等式的基本性质是什么？
不等式ppt课件
不等式的应用场景
01
02
03
04
数学领域
解决各种不等关系的问题，如 最值、范围等。
物理领域
描述物理现象和规律，如力学 、电磁学等。
经济领域
描述经济变量之间的关系，如 价格、成本等。
实际生活
描述日常生活中的不等关系， 如时间、距离等。
02
不等式的类型
算术平均数与几何平均数的不等式
总结词
算术平均数与几何平均数的不等式是一种基本的不等式，它反映了平均值与方 差之间的关系。
实际应用定义
描述实际生活中两个量之 间的不等关系，如价格、 距离等。
不等式的性质
加法单调性
即同向不等式相加，不等号不 改变方向。
反身性
任何实数都大于它本身。
传递性
如果a>b，b>c，则a>c。
乘法单调性
即不等式乘以一个正数，不等 号不改变方向；乘以一个负数 ，不等号改变方向。
非空性
不等式的两边都可以取无穷大 或无穷小。
03
不等式的证明方法
利用导数证明不等式
总结词
导数是一阶导数的简称，它描述了函数在某一点的变化率， 可以用来判断函数的单调性和凹凸性，从而帮助我们证明不 等式。
详细描述
首先，我们需要找到不等式两边的函数，然后求导，通过比 较导数值的大小来判断函数的单调性，从而得出不等式的证 明结论。
利用拉格朗日中值定理证明不等式
详细描述
柯西不等式表明，对于任何实数x 和y，都有$x^2+y^2 \geq 2xy$ ，当且仅当x=y时等号成立。这 个不等式在解决一些最优化问题 时非常有用。
排序不等式
总结词
排序不等式是一种基于排序原理的不 等式，它反映了有序实数之间的差值 与乘积之间的关系。
高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明6.1不等式的性质及一元二次不等式课件理
合A,再求解.
(2)利用指数函数的性质,将原不等式化为关于x的一元
二次不等式求解即可.
【规范解答】(1)选C.A={x|1<x<3}， B={x|2<x<4}, 故A∩B={x|2<x<3}.
(2)因为4=22且y=2x在R上单调递增，所以 <4可化
为x2-x<2，解得-1<x<2.所以 <4的解集是 a(x 1 ) a
B．2个
C．433个，
D．4个
【解析】选C.运用倒数性质，
由a>b，ab>0可得 {x|2x
4}.
②④正确．又正数大于3 负数，①正确，③错误.
2.如果a,b,c满足c<b<a,且ac<0,那么下列选项中不一
定成立的是 ( )
A.ab>ac
B.c(b-a)>0
C.cb2<ab2
D.ac(a-c)<0
A.n>m>p
B.m>p>n
C.m>n>p
D.p>m>n
【解题导引】(1)根据已知条件可判断出x和z的符号, 然后由不等式的性质便可求解. (2)根据不等式性质和函数单调性求解.
【规范解答】(1)选C.因为x>y>z,x+y+z=0,所以x>0,
z<0.所以由 1 可得xy>xz. (2)选B.因为ax >1,所以a2+1-2a=(a-1)2>0,即a2+1>2a,
第六章 不等式、推理与证明 第一节
不等式的性质及一元二次不等式
ab
1
a
高考数学一轮复习 第6章第1节 不等式的概念与性质课件 文 新课标
所以f(－2)＝3f(－1)＋f(1)． 因为1≤f(－1)≤2，所以3≤3f(－1)≤6. 又因为3≤f(1)≤4，所以6≤f(－2)≤10. 故f(－2)的取值范围是[6,10]． (方法2)设f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，
6．了解二元一次不等式的几何意义，能用平 面区域表示二元一次不等式组．
7．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线 性规划问题，并能加以解决．
8．了解基本不等式的证明过程．
9．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问 题．
10．了解合情推理的含义，能利用归纳和类 比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现 中的作用．
1．实数比较大小的方法 (1)a－b＞0⇔ a＞b ； (2)a－b＝0⇔ a＝b ； (3)a－b＜0⇔ a＜b .
2．不等式的性质 (1)a＞b⇔b a. (2)a＞b，b＞c⇒a ＜ c. (3)a＞b⇔a＋c ＞ b＋c. 推论1 a＋b＞c>⇔a ＞ c－b； 推论2 a＞b，c＞d⇒a＋c ＞b＋d.
所以5≤f(－2)≤11. 该同学的解答是否正确？如果错误，错 在哪里？并给出正确的解答．
关键提示：由已知可设f(x)＝ax＋b，主 要是把f(－2)表示为mf(－1)＋nf(1)的形 式．本题还可以用线性规划的解题思路进行 求解．
解：该同学的解答是错误的，错误的根 源在于②－①时使用了同向不等式相减．正 确解法如下：
所以只需证明C－A＞0，A－B＞0. 因为A－B＝(1＋a2)－(1－a2)＝2a2＞0， 所以A＞B.
不等式及其性质 PPT
正
可乘性
可乘方
7
性
a>b>0
c>d>0 ⇒_a_c>_b_d_
a>b>0⇒_a_n_>_b_n
(n∈N，n≥2)
同向 同正
nn 8 可开方 a>b>0⇒__a_>___b__ (n∈N， 同正
n≥2)
状元随笔
（1）性质 3 是移项的依据。不等式中任何一项改 变符号后，可以把它从一边移到另一边。即 a ＋b>c ⇒a>c －b。性质 3 是可逆性的，即 a>b ⇔a ＋c>b ＋c。
a>b⇔_b_<_a_ a>b，b>c⇒_a_>_c_ a>b⇔_a_＋__c_>_b_＋___c __
4 可乘性
ac>>0b⇒_a_c_>_b_c_ ac<>0b⇒_a_c_<_b_c_
同向 5 可加性
a>b c>d
⇒_a__＋__c>__b_＋__d__
注意 可逆 可逆 c 的符
号
同向
同向同
6
不等式及其性质
最新课程标准： 理解不等式的概念，掌握不等式的性质。
知识点一 实数大小比较
1．文字叙述 如果 a－b 是正__数__，那么 a>b； 如果 a－b__等_于 ___0__，那么 a＝b； 如果 a－b 是负__数__，那么 a<b，反之也成立。 2．符号表示 a－b>0⇔a__>__b； a－b＝0⇔a_＝___b； a－b<0⇔a__<__b。
跟踪训练 2 （1）已知 a<b，那么下列式子中，错 误的是（ ）
高三数学一轮总复习 第六章 不等式、推理与证明 6.1 不等关系与不等式课件.ppt
□ 性质(5)：a＞b，c＞d⇒a＋c 12 _＞___b＋d(加法法则)。 □ 性质(6)：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac 13 _＞___bd(乘法法则)。 □ 性质(7)：a＞b＞0，n∈N*，n＞1⇒an 14 __＞____bn(乘方法则)。 □ 性质(8)：a＞b＞0，n∈N*，n＞1⇒n a 15 __＞____n b(开方法则)。 □ 性质(9)：ab＞0，a＞b⇒1a 16 ___＜___b1(倒数法则)。
9
1．下列命题正确的是( A．若 ac＞bc，则 a＞b C．若1a＞1b，则 a＜b
) B．若 a2＞b2，则 a＞b
D．若 a＜ b，则 a＜b
解析：若 a＜ b，则( a)2＜( b)2，即 a＜b，选 D。 答案：D
10
2．若 x＋y＞0，a＜0，ay＞0，则 x－y 的值( )
A．大于 0
14
课堂学案 考点通关
考点例析 通关特训
15
考点一
比较两个数(式)的大小
【例 1】 (1)设 x＜y＜0，比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小；
解析：(1)(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y) ＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)。 ∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0。 ∴－2xy(x－y)＞0。 ∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)。
18
通关特训 1 (1)已知等比数列{an}中，a1＞0，q＞0，前 n 项和为 Sn，比较aS33与Sa55 的大小。
解析：(1)当 q＝1 时，aS33＝3，Sa55＝5，故aS33＜Sa55；当 q＞0 且 q≠1 时，Sa33－Sa55＝aa11q21－1－q3q －aa11q41－1－q5q＝q21－qq431－－q1－q5＝q4q21－－1q＝－q＋q4 1＜0，故aS33＜Sa55。综上，Sa33＜Sa55。
人教版高考数学课件：不等式的概念与性质
§6.1不等式的概念与性质一、要点回顾 （一）主要知识：1. 不等式的性质：①对称性②传递性③加法性质④乘法性质⑤乘方性质⑥开方性质 2．比较两数大小的一般方法 （二）主要方法：1．根据给定的条件，利用不等式的性质、判断不等式或与之有关的结论是否成立． 2.利用不等式的性质与实数的性质、函数性质的结合，进行数值大小的比较． 3．判断不等式中条件与结论之间的关系，是充分条件或必要条件或充分必要条件． 二．典例讲练 （一）基础题1．命题（1）,n n a b ac bc n N *>⇒>∈，（2）22a b a b c c >⇒>，（3）11a b a b>⇒<，（4）0,0a b c d ac bd <<<<⇒>，（5()a b n N *>>∈（6）a b a c b d c d<⎧+<+⇔⎨<⎩，（7）220a b a ab b <<⇒>>其中真命题的是 ⑵⑷⑸⑺ ．2．若函数f(x)，g(x)的定义域和值域为R ，则f(x)>g(x)（x ∈R ）成立的充要条件是（ ）．A ． 有1个x ∈R ，使得f(x)>g(x)B ． 有无穷多个x ∈R ，使得f(x)>g(x)C ． 对R 中任意的x ，都有f(x)>g(x)+1D ． R 中不存在x ，使得f(x)≤g(x) 分析 4个命题的关系在证明问题过程中经常使用． 原命题：若A 成立，则B 成立，逆命题：若B 成立，则A 成立；否命题：若A 成立则B 成立；逆否命题：若B 成立，则A 成立． 其中A ⇒B 与A B ⇒互为充要条件．由于对任意x ∈R ，f(x)>g(x)成立的逆否命题为：在R 中不存在x ，使f(x)≤g(x)成立．答 选D ．点评 本题也可通过构造特殊函数，采用排除法解决． 值得强调的是：不等式的性质的考查方向将更加注重基础性、全面性． 题型灵活多变． 3. 设,(,0)a b ∈-∞，则“a b >”是“11a b a b->-”成立的 （ C ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．下列不等式：（1）232()x x x R +≥∈， （2）553223(,)a b a b a b a b R +≥+∈， （3）222(1)a b a b +≥--．其中正确的个数为 （ C ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．35. 如果0m b a <<<，则 （ A ） A ．coscos cos b m b b m a m a a m +-<<+- B ．cos cos cos b b m b ma a m a m-+<<-+C ．coscos cos b m b b m a m a a m -+<<-+ D ．cos cos cos b m b m ba m a m a+-<<+- （二）能力题6． 已知c b a >>，且,0=++c b a 求ac的取值范围 12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭7．比较1+log x 3与2log x 2（x ＞0且x ≠1）的大小.剖析：由于要比较的两个数都是对数，我们联系到对数的性质，以及对数函数的单调性.解：（1+log x 3）－2log x 2=log x 43x .当⎪⎩⎪⎨⎧<<<<143010x x ，或⎪⎩⎪⎨⎧>>，，1431x x 即0＜x ＜1或x ＞34时， 有log x 43x ＞0，1+log x 3＞2log x 2.当⎪⎩⎪⎨⎧><<，，14310x x ①或⎪⎩⎪⎨⎧<<>14301x x ，②时，log x 43x ＜0. 解①得无解，解②得1＜x ＜34，即当1＜x ＜34时，有log x 43x ＜0，1+log x 3＜2log x 2.当43x =1，即x =34时，有log x 43x =0.∴1+log x 3=2log x 2. 综上所述，当0＜x ＜1或x ＞34时，1+log x 3＞2log x 2；当1＜x ＜34时，1+log x 3＜2log x 2； 当x =34时，1+log x 3=2log x 2. 评述：作差看符号是比较两数大小的常用方法，在分类讨论时，要做到不重复、不遗漏. 8．已知函数()b ax x x f ++=2，1=+q p ，试比较()()y qf x pf +与()qy px f +的大小． 解：作差()()y qf x pf +—()qy px f +=()()b ay y q b ax x p +++++22()2qy px +-()b qy px a -+-()()pqxy y q q x p p 21122--+-=()()()221y x p p y x pq --=-=()1∴当y x =时，()()012=--y x p p 得()()y qf x pf +=()qy px f +．（2）当y x ≠时，()02>-y x ∴①当0,1==o r pp 时，()()012=--y x p p 得()()y qf x pf +=()qy px f +．②当10<<p 时，()()012>--y x p p 得()()y qf x pf +>()qy px f +．③当01<>orp p 时，()()012<--y x p p 得()()y qf x pf +<()qy px f +．综上所述：当y x =或0,1==orp p 时()()y qf x pf +=()qy px f +．当y x ≠且10<<p 时()()y qf x pf +>()qy px f +．当y x ≠且01<>orp p 时()()y qf x pf +<()qy px f +． [思维点拔]两数或两式的大小只有大于，小于或等于三者之一．（三）备用题9． 设21≈a ，令12111a a ++= （1）证明：2介于21,a a 之间 （2）求21,a a 中哪一个更接近于2（3）你能设计一个比2a 更接近于2的一个3a 吗？说明理由 （1）证明：（2－a 1）（2－a 2）=（2－a 1）· （2－1－111a +）=1211221a a +--））（（＜0.∴2介于a 1、a 2之间. （2）解：|2－a 2|=|2－1－111a +|=|111221a a +--））（（|=1112a +-|2－a 1|＜|2－a 1|. ∴a 2比a 1更接近于2. （3）解：令a 3=1+211a +，则a 3比a 2更接近于2. 由（2）知|2－a 3|=2112a +-|2－a 2|＜|2－a 2|. 10. 已知f （x ）=|log 2（x +1）|，m ＜n ，f （m ）=f （n ）.（1）比较m +n 与0的大小；（2）比较f （n m n m -+）与f （mn nm -+）的大小. 剖析：本题关键是如何去掉绝对值号，然后再判断差的符号. 解：（1）∵f （m ）=f （n ），∴|log 2（m +1）|=|log 2（n +1）|.∴log 22（m +1）=log 22（n +1）. ∴［log 2（m +1）+log 2（n +1）］［log 2（m +1）－log 2（n +1）］=0，log 2（m +1）（n +1）·log 211++n m =0.∵m ＜n ，∴11++n m ≠1.∴log 2（m +1）（n +1）=0.∴mn +m +n +1=1.∴mn +m +n =0.当m 、n ∈（－1，0］或m 、n ∈［0，+∞）时，由函数y =f （x ）的单调性知x ∈（－1，0］时，f （x ）为减函数，x ∈［0，+∞）时，f （x ）为增函数，f （m ）≠f （n ）.∴－1＜m ＜0，n ＞0.∴m ·n ＜0.∴m +n =－mn ＞0. （2）f （n m n m -+）=|log 2n m m -2|=－log 2n m m -2=log 2m n m 2-，f （m n nm -+）=|log 2m n n -2|=log 2mn n -2. m n m 2-－m n n -2=）（）（m n m mn n m ----242=－）（）（m n m n m -+22＞0.∴f （n m n m -+）＞f （mn nm -+）.一、选择题（第题6分，共30分）1. 已知01x y a <<<<，则 （ B ） A ．log ()0a xy < B ．0log ()1a xy << C ．1log ()2a xy << D ．log ()2a xy >．2. a 、b 为不等的正数，k ∈N*，则(ab k +a k b)-(a k+1+b k+1)的符号为（ B ）A ． 恒正B ． 恒负C ． 与a 、b 大小有关D ． 与k 是奇数或偶数有关 3. （2004年福建，3）命题p ：若a 、b ∈R ，则|a |+|b |＞1是|a +b |＞1的充分而不必要条件；命题q ：函数y =2|1|--x 的定义域是（－∞，－1］∪［3，+∞），则A.“p 或q ”为假B.“p 且q ”为真C. p 真q 假D. p 假q 真 剖析：只需弄清命题p 、q 的真假即可.解：∵|a +b |≤|a |+|b |，若|a |+|b |＞1不能推出|a +b |＞1，而|a +b |＞1一定有|a |+|b |＞1，故命题p 为假.又函数y =2|1|--x 的定义域为|x －1|－2≥0，∴|x －1|≥2.∴x ≤－1或x ≥3.∴q 为真.答案：D4. （2004年辽宁，2）对于0＜a ＜1，给出下列四个不等式：①log a （1+a ）＜log a （1+a1）；②log a （1+a ）＞log a （1+a 1）；③a 1+a ＜a 1a11+；④a1+a＞aa11+.其中成立的是 A.①③B.①④C.②③D.②④解析：∵0＜a ＜1，∴a ＜a 1，从而1+a ＜1+a 1.∴log a （1+a ）＞log a （1+a1）. 又∵0＜a ＜1，∴a 1+a＞a a11+.故②与④成立.答案：D5. 若p =a +21-a （a ＞2），q =2242-+-a a ，则 A.p ＞q B.p ＜q C.p ≥qD.p ≤q解析：p =a －2+21-a +2≥4，而－a 2+4a －2=－（a －2）2+2＜2，∴q ＜4.∴p ＞q .答案：A 二、填空题（每题5分，共20分） 6. 已知三个不等式：0>ab ，bda c -<-，ad bc >，以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成______三______个正确的命题7.已知13,0,5≤-=+=++x y x z y x 且，则z y x ,,中最大值为______52x =8. 给出下列条件①1a b <<；②01a b <<<；③01a b <<<．其中，能推出11log log log ba ab b b<<成立的条件的序号是 ② （填所有可能的条件的序号）． 9．函数()y f x =是(0,2)上的减函数，且关于x 的函数(2)y f x =+是偶函数，则15(),(),(3)22f f f 的大小关系是 f(21) ＞f(3)＞f(25) ． 三、解答题（20+20+10，共50分）10. 已知－1＜a +b ＜3且2＜a －b ＜4，求2a +3b 的取值范围.剖析：∵a +b ，a －b 的范围已知，∴要求2a +3b 的取值范围，只需将2a +3b 用已知量a +b ，a －b 表示出来.可设2a +3b =x （a +b ）+y （a －b ），用待定系数法求出x 、y . 解：设2a +3b =x （a +b ）+y （a －b ），∴⎩⎨⎧=-=+.32y x y x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==2125y x ，∴－25＜25（a +b ）＜215，－2＜－21（a －b ）＜－1.∴－29＜25（a +b ）－21（a －b ）＜213， 即－29＜2a +3b ＜213. 评述：解此题常见错误是：－1＜a +b ＜3， ① 2＜a －b ＜4. ②①+②得1＜2a ＜7. ③ 由②得－4＜b －a ＜－2. ④①+④得－5＜2b ＜1，∴－215＜3b ＜23. ⑤ ③+⑤得－213＜2a +3b ＜217. 11. 设A =x n +x －n ，B =x n －1+x 1－n ，当x ∈R +，n ∈N 时，求证：A ≥B.证明：A －B =（x n +x －n ）－（x n －1+x 1－n ）=x －n （x 2n +1－x 2n －1－x ）=x －n ［x （x 2n －1－1）－（x 2n －1－1）］=x －n （x －1）（x 2n －1－1）.由x ∈R +，x －n ＞0，得当x ≥1时，x －1≥0，x 2n －1－1≥0；当x ＜1时，x －1＜0，x 2n －1＜0，即x －1与x 2n －1－1同号.∴A －B ≥0.∴A ≥B .12. 设0＜x ＜1，a ＞0且a ≠31，试比较|log 3a （1－x ）3|与|log 3a （1+x ）3|的大小.解：∵0＜x ＜1，∴①当3a ＞1，即a ＞31时，|log 3a （1－x ）3|－|log 3a （1+x ）3|=|3log 3a （1－x ）|－|3log 3a （1+x ）|=3［－log 3a （1－x ）－log 3a （1+x ）］=－3log 3a （1－x 2）. ∵0＜1－x 2＜1，∴－3log 3a （1－x 2）＞0.②当0＜3a ＜1，即0＜a ＜31时，|log 3a （1－x ）3|－|log 3a （1+x ）3|=3［log 3a （1－x ）+log 3a （1+x ）］=3log 3a （1－x 2）＞0. 综上所述，|log 3a （1－x ）3|＞|log 3a （1+x ）3|.§6.2算术平均数与几何平均数一、要点回顾 （一）主要知识：1. 算术平均数：如果+∈R b a ,，那么2ba +叫做这两个正数的算术平均数． 2．几何平均数：如果+∈Rb a ,，那么ab 叫做这两个正数的几何平均数．3．定理：如果+∈R b a ,，那么ab b a 222≥+（当且仅当a=b 时取“=”号）4．推论：如果+∈R b a ,，那么ab ba ≥+2（当且仅当a=b 时取“=”号） 5．基本不等式：若+∈R b a ,，则ba ab b a b a 1122222+≥≥+≥+ 当且仅当a=b 时取“=”号 （二）主要方法：1．利用基本不等式比较大小 2．利用基本不等式证明不等式 3．利用基本不等式求最值 4．基本不等式的综合应用 二．典例讲练 （一）基础题1．设1)(,0,0=+->>y x xy y x 且，则（ B ）A ．222+≤+y xB ．222+≥+y xC ．2)12(+≤+y xD ．2)12(+≥+y x 2. 下列函数中，y 的最小值为4的是（ C ）A ．4y x x=+B．2y =C ．4x x y e e -=+D ．sin (0)sin y x x x π=+<< 3．若0,0a b >>，且21a b +=，则224s a b =-的最大值是 （ A ）A ．212- B ．12- C ．212+ D ．12+ 4. 下列不等式的证明过程正确的是（ B ）A ．若a,b ∈R,则a b +b a ≥2ba ab ∙=2 B. 若a ∈-R ,则22a a -+≥222aa-∙=2C. 若a ∈+R ,则lg a +lg b ≥2b a lg lg D. 若a ∈-R , 则a+a 4≥－xx 4⋅=－4 5. 已知xx f )21()(=，a 、b ∈R +，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2b a f A ，)(ab f G =，⎪⎭⎫⎝⎛+=b a ab f H 2， 则A 、G 、H 的大小关系是（ A ）A ． A ≤G ≤HB ． A ≤H ≤GC ． G ≤H ≤AD ． H ≤G ≤A （二）能力题6．设a>0 b>0 则下列不等式中不成立的是（）A ．a+b+ab1≥22 B. (a+b)( a 1+b 1)≥4C.abb a22+≥a+b D.ba ab+2≥ab分析1：由于-是选择题，可用特值法，如取a=4,b=1, 代入各选项中的不等式，易判断ba ab +2≥ab 不成立．分析2：可逐项使用均值不等式判断 A ．a+b+ab1≥2ab +ab1≥2abab 12⋅=22，不等式成立．B ．∵a+b ≥2ab >0,a 1+b 1≥2ab1>0,相乘得: (a+b)( a 1+b 1)≥4成立. C. ∵a 2+b 2=(a+b)2－2ab ≥(a+b)2－2(2b a +)2=(2b a +)2又ab ≤2b a +⇒ab 1≥ba +2∴ab ba 22+≥a+b 成立 D. ∵a+b ≥2ab ⇒b a +1≤ab21∴b a ab +2≤ab ab 22=ab ,即ba ab +2≥ab 不成立.故选D 7．若正数a ，b 满足ab=a+b+3，求证ab ≥9 分析一 把等式利用重要不等式化成不等式．解法一 由a 、b ∈R +，由重要不等式得a+b ≥2ab ，则ab=a+b+3≥2ab +3， 即32--ab ab ≥)1)(3(0+-⇒ab ab ≥ab ⇒0≥3，∴ ab ≥9 ． 解法二 a 、b 为正数，∴ ab=a+b+3≥333ab >0， 两边立方得 a 3b 3≥34ab ⇒a 2b 2≥34，∵ab>0，∴ab ≥9 ． 解法三 原条件式变为ab-3=a+b ， ①∵ a 、b 均为正数，故①式两边都为正数，两边平方得a 2b 2-6ab+9=a 2+b 2+2ab ，∵ a 2+b 2≥2ab ，∴ a 2b 2-6ab+9≥4ab ，即a 2b 2-10ab+9≥0，(ab-1)(ab-9)≥0，由①式可知ab>3，∴ ab ≥9 ． 分析二 利用方程思想求解．解法四 把a 、b ∈R +看作一元二次方程的两个根，此方程为x 2+(3-ab)x+ab=0， 则△=(3-ab)2-4ab ≥0，即 (ab)2-10ab+9≥0，∴ (ab-9)(ab-1)≥0，∵ab-1=a+b+2>0成立， ∴ ab ≥9 ．分析三 利用函数思想，要求ab 的取值范围可以把ab 看成某个变量的函数，求出这个函数的值域就可以了．解法五 由已知得a(b-1)=b+3，显然a>1，∴ 13-+=b b a ，514114)1(5)1(132+-+-=-+-+-=-+⋅=b b b b b b b b ab ≥9542=+，即ab ≥9 ．点评 本题易出现下列错误解法：因a 、b 是正数，所以a+b>0，∴ab=a+b+3>3，故ab 的取值范围是(3，)∞+． 其主要原因是审题不认真，受等式ab=a+b+3中ab 的干扰所致． 解本题用了转化思想（等式转化为不等式）、方程思想、函数思想，这是解决数学问题经常用的思想方法．变题 已知一动直线l 与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积的数值比直线l 的纵、横截距之和大1，求这三角形面积的最小值． 解 设直线l 的方程1=+b y a x （a>0，b>0），则121++=b a ab ，∵a+b>2ab ， ∴ab 21≥12+ab ，即24)(2--ab ab ≥0，解得ab ≥62+， ∴ab 21≥2)62(21+，当a=b=2+6时，三角形面积的最小值为5+26．8．求下列各式的最值：（1）已知x>y>0且xy=1，求yx y x -+22的最小值及此时x 、y 的值；（2）已知x>0，y>0，且3x+4y=12，求lgx+lgy 的最大值及此时x 、y 的值．分析 这是条件最值问题，但目标式与已知条件的联系较隐蔽，不易发现，对于（1），由积xy=1，应联想和(x-y)2的转化，以便利用已知；对于（2），应将lgx+lgy 转化成lgxy ，进而引发类似（1）的方法．解 （1）∵ x>y>0，∴ x-y>0，∵ xy=1．（定值）∴ y x y x y x xy y x y x y x -+-=-+-=-+2)(2)(222≥22． 解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=>>y x y x xy y x 210 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=226226y x ∴ 当226+=x ，226-=y 时， yx y x -+22取得最小值22 ．（2）∵x>0，y>0，3x+4y=12，∴ y x xy 43121⋅⋅=≤32431212=⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x ，∴lgx+lgy=lgxy ≤lg3 ．由⎪⎩⎪⎨⎧==+>>y x y x y x 4312430,0 解得⎪⎩⎪⎨⎧==232y x ∴当x=2，y=23时，lgx+lgy 取得最大值lg3 ． 点评 由重要不等式（平均值定理）求最值可分为三步． 第一步，全正（即求平均值的各个量都是正数）；第二步，凑定值． 这步技巧性强，充分体现解题人利用均值不等式求最值的水平，应侧重训练，当凑出和为定值时，对应各个量的积有最大值；当凑出的积为定值时，其对应各量的和有最小值；第三步，“取等号”，即对应各个量能取得等号时，有最值存在，否则，没有最值存在，以上三步可简化为：一正，二定，三相等． 三步缺一不可．利用均值不等式求最值是高考求最值最常考的方法之一．（三）备用题9．今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确,有人说要用它称物体的重量,只需将物体放在左右托盘各称一次,则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量,这种说法对吗?并说明你的结论解:不对设左、右臂长分别是12,l l ,物体放在左、右托盘称得重量分别为,a b 真实重量为为G ，则由杠杆平衡原理有： 12l G l a ⋅=⋅，21l G l b ⋅=⋅ ①×②得G 2=ab , ∴G=ab 由于12l l ≠，故a b ≠ ,由平均值不等式2ba + > ab 知说法不对真实重量是两次称量结果的几何平均值点评:本小题平均值不等, 杠杆平衡原理知识、数学化能力及分析问题、解决问题的能力，属跨学科（数学、物理）的创新问题10. 已知A 、B 两地相距200km ，一只船从A 地逆水到B 地，水速为8km/h ，船在静水中的速度为v km/h(8<v 0v ≤)，若船每小时的燃料费与其在静水中速度的平方成正比，当v=12 km/h 时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度应为多少？ 分析：本题是应用不等式知识解决实际问题的应用题，中间体现了分类讨论这一重要的数学思想，本题中的分类讨论思想很隐蔽，它是由均值不等式中“等号”能否成立引起的，解题中要重视．解：设每小时的燃料费为y 1，比例系数为k(k>0)，则21kv y =当v=12时，y 1=720212720⋅=∴k 得k=5设全程燃料费为y ，依题意有3200016864810008648100081000820021≥⎪⎭⎫⎝⎛+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=-=-⋅=v v v v v v v y y 当8648-=-v v ，即v=16时取等号 8<v 0v ≤所以当16≥ v 时，v=16时全程燃料费最省 当16< v 时，令8648-+-=v v t 任取0218v v v ≤<<则80,88021<<<-<v v ()()08864121<---∴v v()()()088641212121>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-∴v v v v t t即8648-+-=v v t 在(] v ,8上为减函数，当v=v 0时，y 取最小值810002- v v综合得：当16≥ v 时，v=16km/h ，全程燃料费最省，32000为元，当16< v 时，当v=v 0时，全程燃料费最省，为810002- v v 元．另解：当16< v 时，令8648-+-=v v t ()2'8641--+=v t 1680<≤<v v ()6480,8802<-<<-<∴v v ()086412'<--+=∴v t[]0,88648v v v t 在-+-=∴上为减函数，以下相同 小结：注意基本不等式应用条件和分类讨论，判断函数单调性用导数是很有效的方法一、选择题（第题6分，共30分）1. 若x , y ∈R +, 且x ＋y =s , xy =p , 则下列命题中正确的是（ ）A 当且仅当x =y 时，s 有最小值2pB 当且仅当x =y 时，p 有最大值42sC 当且仅当p 为定值时，s 有最小值2pD 若s 为定值，则当且仅当x =y 时，p 有最大值42s答案：D2 若x , y ∈R +, x ＋y ≤4,则下列不等式中成立的是（ ）Ay x +141B x 1＋y1≥ 2 D xy 1≥1答案：B 提示：x 1＋y 1≥2xy 1≥22)2(1y x +≥13 下列说法中不正确的是（ ）A 由a 、b ∈R ，可得a 2＋b 2≥2ab ≥－(a 2＋b 2)B 对于命题“a 、b ∈R +⇒2ba +≥ab ”,把条件改为a 、b 均为非负数后依然成立 C 若a >b >0, n ∈Z , n >1,则a >b ⇔ n n b a >D 若a 、b 、c ∈R +，则33331cb a abc ++≤ 答案：D 提示：3333c b a ++≤333333cb a ⋅=abc 1 4 下列不等式中恒成立的是（ ）A ctg θ＋tg θ≥2B x ＋x2－1≥2 2 D xyz ≤271(x ＋y ＋z =1) 答案：B5 x 、y >0, x ＋y =1, 且 y x +≤a 恒成立, 则a 的最小值为（ ）/2 B 22 C 2 D 答案：D 提示：y x +≤22yx +=2 二、填空题（每题5分，共20分）6. 若a >1, b >1, c >1, ab =10，则log a c ＋log b c 4lg c （并指出什么时候等号成立）答案：a =b =10时等号成立 提示：a >1, b >1, c >1, ab =10, log a c ＋log b c =lgc ·ba b a lg lg lg lg +≥lg c ·2)2lg lg (1b a +=4lgc , 当lg a =lg b 时,即a =b =10时等号成立7. 已知+∈R c b a ,,且1=++c b a ，则满足不等式k c b a <+++++141414的最小整数k ________5_______8. 已知a>2，b>2，f(x)=lgx ，则)2(b a f +，)(21b a f +，)]()([21b f a f +的大小顺序是 _．)2(b a f +≥)]()([21b f a f +＞)(21b a f +9. 关于x 的方程9(4)340x x a +++=有解，则实数a 的取值范围是 ． a ≤-8三、解答题（20+20+10，共50分） 10. 设x ≥0, y ≥0, x 2+22y=1,求x y21+的最大值．分析: ∵x 2+22y是常数, ∴x 2与22y的积可能有最大值∴可把x 放到根号)1(2y x +里面去考虑,注意到x2与1+y 2的积,应处理成2 x 2·212y+解法1: ∵x ≥0, y ≥0, x 2+22y=1 ∴x y21+=)1(22y x +=21222yx+≤222122yx++=2221222++yx=423当且仅当x=23,y=22(即x 2= 212y +)时, x y21+取得最大值423 解法2: 令{θθcos sin 2==x y (0≤θ≤2π) 则x y21+=cos θθ2sin 21+=21)sin 21(cos 222⋅+θθ ≤]2cos 2)sin 21([22212θθ++=423 当θ2cos 2=θ2sin 21+,即θ=6π时,x=23,y=22时x y21+取得最大值423 11. 若x>0,y>0,x+y=1, 求证:(1+x 1)(1+y1)≥9分析: x+y 常数,xy 可有最大值 证法1: (1+x 1)(1+y 1)=1+x 1+y 1+xy 1=1+xy y x ++xy 1=1+xy2≥1+2)2(2y x +=9 (当且仅当x=y=21时取“=”号) 证法2： 令x=θ2cos y=θ2sin , 0<θ<2π (1+x 1)(1+y 1)=(1+θ2cos 1)(1+θ2sin 1)=1+θ2sin 1+θ2cos 1+θ2cos 1·θ2sin 1=1+θθ22cos sin 2⋅=1+θ2sin 82≥1+8=9， 0<2θ<π θ=4π时，x=y=21时取等号 证法3：∵x+y=1∴(1+x 1)(1+y 1)=(1+x y x +)(1+y y x +)=(2+x y )(2+y x )=5+2(x y +y x )≥5+4=9 (当且仅当x=y=21时取“=”号)12. 若a >0, b >0，且ba 11+=1, 求证：(I) a ＋b ≥4; (II) 对于一切n ∈N , (a ＋b )n －a n －b n≥22n －2n＋1成立提示：(I )b a 11+=1, a ＋b =(ba 11+)(a ＋b )=1＋a b ＋b a＋1≥4, (II ) 当n =1时, 左式＝0，右式＝0，∴n =1时成立，假设n =k 时成立，即(a ＋b )k－a k－b k≥22k－2k ＋1, 则当n =k ＋1时，(a ＋b )k ＋1－a k ＋1－b k ＋1=(a ＋b ) (a ＋b )k －a k ＋1－b k ＋1≥(a ＋b )(a k ＋b k ＋22k －2k ＋1) －a k ＋1－b k ＋1=ab k ＋ba k ＋(a ＋b )(22k －2k ＋1)≥2·2k ＋1＋4·22k －4·2k ＋1=22k ＋2－2k ＋2, ∴n =k ＋1时命题成立§6.3.1不等式的证明（一）一、要点回顾 （一）主要知识：1. 比较法证明不等式是最基本的方法也是最常用的方法．比较法的两种形式： ①比差法：要证a>b ，只须证a-b>0．②比商法：要证a>b 且b>0，只须证>ba0． 说明：①作差比较法证明不等式时， 通常是进行因式分解，利用各因式的符号进行判断，或进行配方，利用非负数的性质进行判断；②一般地运用比商法时要考虑正负，尤其是作为除式式子的值必须确定符号；③证幂指数或乘积不等式时常用比商法，证对数不等式时常用比差法．2．综合法：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式的方法．证明时要注意字母是否为正和等号成立的条件． 基本不等式：(1)若,0,0>>b a 则ba ab b a b a 1122222+≥≥+≥+ 当且仅当a=b 时取等号．(2)时取等号当且仅当b a abb a R b a =≥+∈2,,22(3)a,b 同号,时取等号当且仅当b a ab b a =≥+23.分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立．这种证明方法叫做分析法．要注意书写的格式, 综合法是分析法的逆过程 （二）主要方法：1．比较法是证明不等式最常用最基本的方法当欲证的不等式两端是多项式或分式时，常用差值比较法当欲证的不等式两端是乘积的形式或幂指不等式时常用商值比较法，即欲证1)0,0(,>>>>ba b a b a 可证2. 用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程，这是解决数学问题的一种重要的数学思想方法3．分析法是数学解题的两个重要策略原则的具体运用，两个重要策略原则是： 正难则反原则：若从正面考虑问题比较难入手时，则可考虑从相反方向去探索解决问题的方法，即我们常说的逆向思维，由结论向条件追溯简单化原则：寻求解题思路与途径，常把较复杂的问题转化为较简单的问题，在证明较复杂的不等式时，可以考虑将这个不等式不断地进行变换转化，得到一个较易证明的不等式二．典例讲练（一）基础题1．已知0>>b a ，则下列各式中成立的是（ D ）A ．b a b a b a =++22 B ．b a b a b a >++22 C ．a b b a b a =++22 D ．bab a b a <++222．设+∈R c b a ,,，则三个数b a 1+，cb 1+，ac 1+的值（ D ）A ．都大于2B ．至少有一个不大于2C ．都小于2D ．至少有一个不小于2 3．设1>x ，12,1-++=++=x x N x x M ，则（ A ）A ．N M <B ．N M ≥C ．N M ≤D ．N M > 4．设c b a ,,不全为0，且0=++c b a ，则（ B ）A ．0>++ca bc abB ．bc a ac b ab c >>>222,,C ．ca bc ab ,,均为负数D ．0<abc5. 设α、β均为第一象限角，且α>β, 则下列各式中一定成立的是（D ）．A ．βαsin sin >1B ．βαcos cos >1C ．tg αtg β>1D ．sin 2αsin 2β<21（二）能力题6．已知a , b ∈R ＋,且a ＋b ＝1, 求证：3a ＋3b <4. 解：由a ＋b ＝1可知 3a ＋3b <4⇐3a ＋31－a<4⇐aa a 333432+⋅-<0⇐(3a －1)(3a －3)<0⇐1<3a <3⇐0<a <1, 由于a , b ∈R ＋,且a ＋b ＝1, ∴ 0<a <1一定成立，故3a ＋3b <4.7．已知a,b,c 为正数n,是正整数,且f(n)=lg 3nn n c b a ++,求证2f(n)≤f(2n)证明：2f(n)=29222lg )3lg(3lg 2222nn n n n n n n n n n n n n n c a c b b a c b a c b a c b a +++++=++=++f(2n)= lg 3222nn n c b a ++,由基本不等式知,n n n n n n n n n nnnc a c a b c b c b ab a 2222222,2,2+≤+≤+≤三式相加得[思维点拔] 利用某些已经证明过的不等式作为基础,分析求证式子间的特点证明 8．已知a ，b 为正数，求证：ab ba +≥b a +．分析 本题证明的方法较多，各有特点． 证法一 （作差比较法）abab b a b b a a b a ab ba --+=+-+)(abb a b a ))((--=abb a b a )()(2+-=．∵ a>0，b>0，∴0>+b a ，0>ab ，2)(b a -≥0，∴)(b a ab ba +-+≥0，∴ab ba +≥b a +．点评 作差比较法的一般步骤为“作差，变形，判断符号”，其中变形是关键步骤，变形的根本目的是为了便于判断符号，如前所述，因式分解、配方是常见手段． 证法二 （作商比较法）)(b a ab b b a a ba abb a++=++)()()(33b a ab b a ++=)())((b a ab ab b a b a +-++=ababb a -+=1-+=ab b a ≥11212=-=-abab ．∵ a>0，b>0，∴ 0>+b a ，∴ab b a +≥b a +．点评 作商比较法一般在要比较的两式均大于0时才考虑使用，步骤一般为“作商，变形，判断商与数1的大小关系”． 证法三 （综合法） ∵ a>0，b>0，∴b ba +≥ab ba 22=⋅，a ab +≥b a ab 22=⋅，两式相加，得a ab b ba +++≥b a 22+，∴ab ba +≥b a +．点评 综合法证明不等式常用两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这一结论，运用时要结合题目条件，有时要适当变形，如本题也可这样证：a b b b a a b a b a a b ba +++=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+)(≥ab b a 2++2)(b a +=． ∴ab ba +≥b a +．点评 巧用综合法，相当简洁． 本题用分析法，亦自然流畅 ． ∵ a>0，b>0，∴0>⋅b a ，∴ 欲证ab ba +≥b a +，即证ba bb a a +≥b a +，只要证 b b a a +≥a b b a +，只要证 2)(b b a a +≥2)(a b b a +，即证 ab ab b a 233++≥222ab ab ab b a ++，只要证 a 3+b 3≥ab(a+b)， 只要证 a 2+b 2-ab ≥ab ，即证 (a-b)2≥0．∵ (a-b)2≥0成立，∴ 原不等式成立 ． 点评 当要证明的不等式形式上比较复杂时，常通过分析法寻求证题思路．“分析法”与“综合法”是自然科学中常用的思维方法，特别是这两种方法的综合运用能力，对解决实际问题有重要的作用． 这两种数学方法同比较法一样，是高考考查的重要数学思维方法． （三）备用题9．设a ，b ∈R ，且a ≠b ，求证：||111122b a b a -<+-+． 分析 原不等式等价于||)1)(1(||2222b a b a b a -<++-，即等价于 )1)(1(||22++<+b a b a ． 证法一 )()1)(1(22b a b a +-++0])1()1(2[21222222>-+-+++=b a b a b a ∴ b a b a +>++)1)(1(22．同理 )()1)(1(22b a b a ++++0])1()1(2[21222222>++++++=b a b a b a ∴ ||)1)(1(22b a b a +>++．从而原不等式成立． 证法二 先用比较法后用放缩法：||||)1)(1(22b a b a --++021)21|(|21||2222>+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=b a b a ．从而 ||b a +≤)1)(1(||||22++<+b a b a ．下略． 证法三 三角代换法令a=tan α，b=tan β，则|cos cos ||)sin(|||βαβα+=+b a ，βα2222cos cos 1)1)(1(=++b a ． 即证1|cos cos ||)sin(|<⋅+βαβα，显然成立．点评 在这个不等式的证明中，值得大家体会的是：等价转换的思想方法．如果两个不等式A 和B 是等价的，那么欲证A 可以去证B ；在已知a<b 的情况下，欲证a<c ，可以去证b<c ．这些逻辑关系，使得我们可以用变换的手法找到一个比原不等式更易于入手的不等式． 对于不等式的外形比较生疏，或是较为复杂时，常常使用这个方法． 10. 有甲、乙两个粮食经销商每次在同一粮食生产基地以相同价格购进粮食，他们共购粮三次，各次的粮食价格不同，甲每次购粮10000千克，乙每次购粮10000元三次后统计，谁购的粮食平均价低？为什么？解：设第一、二、三次的粮食价格分别为1a 元/千克、2a 元/千克、3a 元/千克，+∈R a a a 321,,，则甲三次购粮的平均价格为33000)(10000321321a a a a a a ++=++，乙三次购粮的平均价格为321321111310000100001000030000a a a a a a ++=++，因为3133111332133213321321a a a a a a a a a <=<++所以乙购的粮食价格低说明“各次的粮食价格不同”，必须用字母表示，这样就能把粮食平均价格用式子表示出来我们应该从式的特征联想到用基本不等式进行变换一、选择题（第题6分，共30分）1. 已知b>a>0且a+b=1，则有 （ B ） A ． a ab b a b >>>+>21222B ． a ab b a b >>>+>22122 C ． ab a b b a 22122>>>>+ D ． a 2＋b 2＞b ＞a ＞12＞2ab 2. 已知a ，b ∈R +，33b a A -=与3b a B -=的大小关系是（ D ） A ． A>B B ．A ≥B C ． A ≤B D ． 与a ，b 之间的大小关系有关 3. 已知θtg a >θtg b >1，a , b ∈R ＋且不等于1, θ∈(23π, 2π)，则下列各式中成立的是（C ）． A ．b >a >1 B ．a >b >1 C ．0<a <b <1 D ．0<b <a <14. 若A=a 2+3ab ，B=4ab-b 2，则A 、B 的大小关系是（ B ）A ． A ≤B B ． A ≥BC ． A<B 或A>BD ． A>B5. 设μμ则且,10)(4,4,0,022++-⋅==+≥≥y x y x y x y x 的最值情况是 （ A ） A ．有最大值2，最小值2)22(2- B ．有最大值2，最小值0 C ．有最大值10，最小值2)22(2- D ．最值不存在 二、填空题（每题5分，共20分）6. 若f (n )＝12+n －n , g (n )＝n －12-n , φ(n )＝n21, n ∈N ，则f (n ), g (n ),φ(n )的大小关系是 f (n )<φ(n )<g (n ) .7．已知不等边三角形的三边长成等比数列，最短边之长为a ，那么它的周长的取值范围是))53(,3(a a +.8. 若a>b>c ，则使不等式c b b a -+-11≥ca n-成立的n 的最大值为______ ．4 9. 已知a>0且111>-a b ，则a +1与b-11之间的大小关系为________ ．a +1＞b-11三、解答题（20+20+10，共50分）10. 若f (x )＝21x +, a ≠b , 证明：|f (a )－f (b )|<|a －b |. 证明：|f (a )－f (b )|<|a －b | ⇐ |21a +－21b +|<|a －b | ⇐ 1＋a 2－2)1)(1(22b a ++＋1＋b 2<a 2－2ab ＋b 2 ⇐ )1)(1(22b a ++>1＋ab当1＋ab ≤0时,)1)(1(22b a ++>1＋ab 显然成立；当1＋ab >0时, 只要证(1＋a 2)(1＋b 2)>(1＋ab )2即可,∵ (1＋a 2)(1＋b 2)＝1＋a 2＋b 2＋a 2b 2>1＋2ab ＋a 2b 2＝(1＋ab )2, ∴)1)(1(22b a ++>1＋ab 成立. ∴ 原不等式成立.11. 设实数x ，y 满足y+x 2=0，0<a<1求证：812log )(log +≤+a yx a a a证明：（分析法）要证812log )(log +≤+a yxa a a ，10<<a ，只要证：812a a a yx ≥+， 又222y x yx y x aa a a a +=+≥+ ，∴只需证：41a ayx ≥+∴只需证41≤+y x ， 即证0412≥+-x x ，此式显然成立∴原不等式成立 12. 设m 等于a ，b 和1中最大的一个，当m x >时，求证：2<+xbx a 分析：本题的关键是将题设条件中的文字语言“m 等于a ，b 和1中最大的一个”翻译为符号语言“a m ≥，b m ≥，1≥m ”，从而知m x ≥>证明：（综合法）a m x ≥> ，,1x m b x m >≥>≥22222 1.2a b x x a b a bx x x x x x x x∴+≤+=+<+=。
认识不等式公开课课件
组合优化、风险管理等问题。
工程中的不等式
02
在工程领域中，不等式被用来解决各种物理问题和优化问题，
如机械设计、建筑设计、交通运输等问题。
社会科学中的不等式
03
在社会科学中，不等式被用来解决各种社会问题和经济问题，
如人口统计、市场分析、社会福利等问题。
THANKS
感谢观看
随着数学的发展，不等式在各个领域的应用越来 越广泛，如微积分、线性代数、概率论等领域。
3
现代数学中的不等式
在现代数学中，不等式已经成为一个独立的分支 ，有许多重要的不等式和不等式定理被发现和研 究。
不等式与其他数学知识的联系
不等式与函数
函数的不等式问题是不等式的一 个重要应用领域，如函数的单调 性、最值等问题都涉及到不等式
及在假设检验中确定临界值。
物理问题中的不等式应用
01 02
力学中的不等式
在分析力学系统的稳定性时，常常用到不等式。例如，在分析弹性杆的 稳定性时，通过建立力和长度之间的大小关系，可以推导出杆的临界承 载力。
热力学中的不等式
热力学中的基本不等式（如Gibbs-Duhem不等式）在研究物质的热性 质和相变过程中有重要应用。
市场竞争中的不等式
在市场竞争分析中，常常用到各种类型的不等式来描述竞争者之间 的优劣势关系，以及市场占有率的变化趋势。
04
不等式的扩展知识
不等式的历史发展
1 2
古代数学中的不等式
在古代，数学家们已经开始研究不等式的问题， 如古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中讨论 了面积和体积的不等式。
近代数学中的不等式
的应用。
不等式与几何
几何学中常常涉及到面积、体积、 长度等量的比较，这些问题的解决 常常需要用到不等式。
2020高三数学一轮复习 6-1 不等式的概念及性质课件(文
(4)以后经常用到“不等式取倒数”的性质： a＞b，ab＞0⇒1a＜1b，应在会证明的基础上理解记忆．
• 1．已知a，b都是实数，那么“a2>b2”是 “a>b”的 ()
• A．充分而不必要条件 • B．必要而不充分条件 • C．充分必要条件 • D．既不充分也不必要条件
• 【解析】 令a＝－2，b＝1，(－2)2>12/⇒ －2>1，充分性不成立．
• (2)第二部分为两个不等式的运算性质，共
有7条：
a＋c＞b＋d
• ①同向不等式相加：a＞b，ca＞－bc＞⇒b－d
；
ac＞bd
• ②异向不等式相减：a＞b，c＜d⇒
；
• ③同向不等式相乘：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ ；
• (1)同向可加性及同向可乘性可以推广到两 个以上的不等式．
• (2)注意不等式性质的单向性和双向性，也 就是说每条性质是否具有可逆性．在应用 性质时要准确把握条件是结论的充分条件 还是必要条件．
• 【答案】 A
• 3．若m＜0，n＞0且m＋n＜0，则下列不 等式中成立的是
()
• A．－n＜m＜n＜－m B．－n＜m＜－m ＜n
• C．m＜－n＜－m＜n D．m＜－n＜n＜－ m
• 【解析】 解法1：(取特殊值法)
• 令m＝－3，n＝2分别代入各选项检验可 知只有D正确．
• 解法2：m＋n＜0⇒m＜－n⇒n＜－m，又 由于m＜0＜n，
• 【解析】 (1)因未知c的正负或是否为零， 无法确定ac与bc的大小，所以是假命题．
• (2)因为c2≥0，当c＝0时，ac2＝bc2，所以 是假命题．
• (3)由a＜b，a＜0，得a2＞ab；由a＜b，b ＜0，得ab＞b2，所以命题是真命题．
高考数学理一轮复习 61不等式的概念和性质 精品课件
题型四
不等式性质的灵活应用
思维提示
用不等式性质解决函数的定义域、值 域、最值、奇偶性、单调性等问题
例4 设f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，其中x＞0且x≠1， 试比较f(x)与g(x)的大小．
[分析] 运用对数函数的运算性质，对x的范围进行分 类讨论．
[解] ∵f(x)－g(x)＝(1＋logx3)－2logx2 ＝logx34x.
当 x＝43时，f(x)＝g(x)；
当 0＜x＜1 或 x＞43时，f(x)＞g(x)．
[规律总结] 作差比较法是比较两个实数大小的最基本 方法，其关键是作差后进行恒等变形，当差的符号不确定， 要进行分类讨论.
备选例题 4 已知二次函数 y＝ax2＋2bx＋c，其中 a＞b ＞c，a＋b＋c＝0.
()
A．2
B．3
C．4
D．5
[分析] 判断命题的真假，要紧扣不等式的性质，特别
注意条件与结论间的关系．
[解] ①中，c 的符号不确定，故 ac，bc 大小也不能确 定，故为假；
②中，由 ac2＞bc2 知 c≠0.又 c2＞0，则 a＞b，故为真； ③中，由ab＜＜b0 可得 ab＞b2， 由aa＜＜b0 可得 a2＞ab， ∴a2＞ab＞b2 为真；
1 a
＜
1 b
”
不能Leabharlann 变化条件
写
成
“a
＞
b
⇒
1 a
＜
1 b
”
，
又
如
“ac＞＞db＞＞00 ⇒ac＞bd”不能写成“ac＞＞db ⇒ac＞bd”．
6．要注意“a＞b＞0⇔an＞bn”(n∈N*且n＞1)中n的奇偶 性，当n为正奇数时，条件可放宽，即“a＞b⇒an＞bn”是成立 的．
高三数学一轮复习 6.1 不等式的概念及性质课件 理 大纲版人教版
不等实根为α、β，∴Δ=9-4ab>0,α+β=3- ,α·β= b .
a
a
由|α-β|=1得(α-β)2=1,
பைடு நூலகம்
即(α+β)2-4αβ= -9 =14b,
a2 a
∴9-4ab=a2,即a2+4ab=9(a<0,a,b∈R).
（2）∵α+β=- 3,α·β=
a
,x1ba+x2=-
,x1·4 x2=
a
4
4
【解析】∵- <α<β< ,
4
4
∴- < α-β<0,∴- <23α-β< .
2
4
4
答案：(- 3, )
44
7.已知三个不等式：①ab>0,② c d ,③bc>ad.以其中两个
ab
作条件，余下一个作结论，则可组成______个正确命题.
【解析】对命题②作等价变形：
c d bc-ad 0
∴-4<-|b|≤0,
又∵1<a<3,∴-3<a-|b|<3,故选C.
5.实系数方程x2+ax+2b=0的一根大于0且小于1，另一根大于1
且小于2，则 b 2 的取值范围是( )
a 1
(A)（ 1 ，1）
4
(B)（ 1 ，1）
2
(C)（- 1 ， 1 ）
24
(D)（- 1 ， 1 ）
22
【解题提示】先根据二次方程根的分布得出a,b的取值范
（10分）已知函数f(x)=ax2+4x+b(a<0,a,b∈R),设关于x的方
2020届高考数学一轮课件：6.1 不等式的性质与解法、基本不等式
<
������ ������
解析∵c<d<0,∴-c>-d>0.∴0<-1������
<
1 -������
,
即1
-������
>
-1������>0.又∵a>b>0,∴-������������
>
-������������.∴������������
<
������������.
5.(2014·大纲全国,文3,5分,难度★★)不等式组
无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造
价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是( C )
A.80元 B.120元 C.160元 D.240元
解析设容器的底长 x m,宽 y m,则 xy=4.
所以 y=4������,则总造价为
f(x)=20xy+2(x+y)×1×10=80+8������0+20x
4 ������
=
3������ ������
+
4������������+7≥4
3+7,当且仅当3������������ = 4������������,即
a=2 3+4,b=3+2 3时取等号.故选 D.
考情概览
试题类编
考点
考点
68
69
5.(2014·福建,文9,5分,难度★★)要制作一个容积为4 m3,高为1 m的
一元二次不等式解法、交集 运算 一元二次不等式解法、交集 运算 一元二次不等式解法、交集 运算 一元二次不等式解法、交集 运算 一元二次不等式解法、交集 运算 一元二次不等式解法、并集 运算 一元二次不等式解法、交集 运算
高考数学复习课件 6.1 不等式的概念与性质 理 新人教版
A.1a≥1b
B．ac2≥bc2
()
C.ca2＞cb2
D．(ac)2≥(bc)2
解析：因为c2≥0，a≥b，故ac2≥bc2.
答案：B
2．“a＞2且b＞2”是“a＋b＞4”的
()
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：a＞2且b＞2⇒a＋b＞4，但a＋b＞4⇒/ a＞2且b
所以有Sa33<Sa55.综上可知有Sa33<Sa55.
【即时巩固 2】
已知
a＞0，b＞0，试比较
a＋ b
b与 a
a＋ b的大小．
解：
a＋ b
ba－(
a＋
b)＝
a－ b
b＋
b－ a
a
＝a－bb＋b－aa＝(a－b)
1－ b
1a＝(a－b)
a－ b， ab
当
a＝b
时，
a＋ b
b＝ a
a＋
b；
当
a≠b
＞2，故选A.
答案：A
3．已知
1≤x≤2
，
y
＝
1
－
1 x
，
则
y
的取值范围为
________． 解析：由 1≤x≤2，所以12≤1x≤1，
所以－1≤－1x≤－12，所以 0≤1－1x≤12，所以 0≤y≤12. 答案：0≤y≤12
4．已知－π2＜α＜β＜π2，求 α－β 的取值范围． 解：因为－π2＜α＜π2，－π2＜－β＜π2，
8．了解基本不等式的证明过程． 9．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 10．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行 简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用． 11．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模 式，并能运用它们进行一些简单推理． 12．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异． 13．了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合 法；了解分析法和综合法的思考过程、特点． 14．了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解 反证法的思考过程、特点． 15．了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一 些简单的数学命题．
高考数学(浙江版,理)课件：6.1 不等关系和不等式
0⇒ ccd < cdd <0⇒ d1< 1c<0⇒
1
d
1 0 c
⇒ a> b⇒ a< b.
c
a b 0 d c d c
解法二:依题意取a=2,b=1,c=-2,d=-1,代入验证得A、B、C均错,只有D正
确.
判断关于不等式的命题真假的三种方法 (1)直接运用不等式的性质:把要判断的命题和不等式的性质联系起来考 虑,找到与命题相关的性质,然后进行推理判断. (2)利用函数的单调性:当直接利用不等式性质不能比较大小时,可以利用 指数函数、对数函数、幂函数等的单调性进行判断. (3)特殊值验证法:给所要判断的几个式子中涉及的变量赋一些特殊值进 行比较、判断.
ab
23
满足a>b>1,所以必要性不成立,故选A.
ab
不等式性质的应用
典例2 (2014四川,4,5分)若a>b>0,c<d<0,则一定有 ( )
A. a > b
cd
C. a > b
dc
答案 D
B. a < b
cd
D. a < b
dc
解析
解法一:
cd 0 c
cd d
0
ca cb
ab
中真命题的个数是 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5 答案 C ①中,c的符号不确定,故ac,bc的大小也不能确定,故为假. ②中,由ac2>bc2知c≠0,则c2>0,则a>b,故为真.
③中,由
a b
b, 0
可得ab>b2,
c
由
a a
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2．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．
3 ．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函 数、一元二次方程的联系．
4 ．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，
会设计求解的程序框图． 5．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．
1．已知 a≥b，则下列正确的是( 1 1 A. ≥ a b a b C. 2＞ 2 c c
)
B．ac2≥bc2 D．(ac)2≥(bc)2
解析：因为c2≥0，a≥b，所以ac2≥bc2. 答案：B
2．“a＞2且b＞2”是“a＋b＞4”的( A．充分非必要条件
)
B．必要非充分条件
C．充要条件
2，故选A. 答案：A
a b 当 a＝b 时， ＋ ＝ a＋ b； b a a b 当 a≠b＞0 时， ＋ ＞ a＋ b. b a
考点三 不等式性质的应用 【案例 3】 已知－ 1 ＜ a＋ b＜ 3 且 2 ＜a－ b ＜4 ，求 2a ＋
3b的取值范围．
关键提示：将2a＋3b用a＋b和a－b表示出来，再利用不 等式的性质求解2a＋3b的范围．
＝
答案：
a ＞ d
b c
π π 4．已知－ ＜α＜β＜ ，求 α－β 的取值范围． 2 2
π π π π 解：因为－ ＜α＜ ，－ ＜－β＜ ， 2 2 2 2 所以－π＜α＋(－β)＜π.又 α＜β，所以 α－β＜0， 所以－π＜α－β＜0，即 α－β∈(－π，0)．
1 ．比较大小可采用作差比较法，或作商比较法，要保 证推导过程的严密性(有依据)． 2 ．在使用不等式的性质时，要注意不等式成立的充分 条件．
当x＝1时，x3＝x2－x＋1；
当x＞1时，x3＞x2－x＋1.
a b 【即时巩固 2】 已知 a＞0， b＞0， 试比较 ＋ 与 a b a ＋ b的大小．
a b a b 解： ＋ －( a＋ b)＝ － b＋ － a b a b a 1 1 a－b b－a a－ b ＝ ＋ ＝(a－b) － ＝(a－b) ， a b a ab b
D．既不充分也不必要条件
解析：a＞2且b＞2⇒a＋b＞4，但a＋b＞4⇒/ a＞2且b＞
3．已知 a＞b＞0，且 c＞d＞0，则 系是________．
Байду номын сангаас
a 与 d
b 的大小关 c
a d b c
a c 解析： 因为 a＞b＞0， c＞d＞0， 故 ＞1， ＞1， 所以 b d ac ·＝ db ac ·＞1，所以 bd a ＞ d b . c
3 3
1 1 ③a ＞b ，ab＞0⇒ ＜ ； a b
2 2
④0＜a＜b＜1⇒loga(1＋a)＞logb(1－a)． 其中正确的个数是( A．1 B．2 ) C．3 D．4
a b 2 a 2 b 解析：① 2＞ 2⇒c ·2＞c ·2⇒a＞b； c c c c
a＞b， 3 3 ②a ＞b ⇒ ab＞0
1 1 1a 1b D： a＜ b⇔2 ＜2 ⇔a＞b. 2 2 1 x y ＝ 为减函数 2
故选 D.
答案：D
【即时巩固 1】 已知 a，b，c∈R，给出下列推理： a b ① 2＞ 2⇒a＞b； c c 1 1 ②a ＞b ，ab＞0⇒ ＜ ； a b
a b 1 1 ⇒ ＞ ⇒ ＜ ； ab ab a b
③a2＞b2 不能推出 a＞b，由②得不成立； ④因为 1＋a＞1＞1－a＞0， 所以 loga(1＋a)＜0 且 logb(1 －a)＞0， 所以④不成立．
答案：B
考点二 比较大小
【案例2】 比较下列各组中两个代数式的大小：
(1)(x－3)2与(x－2)(x－4)； (2)当x≥1时，x3与x2－x＋1. 关键提示：步骤：作差、变形、判断符号、结论． 解：(1)(x－3)2－(x－2)(x－4)＝1＞0， 所以(x－3)2＞(x－2)(x－4)． (2)x3－(x2－x＋1)＝x2(x－1)＋(x－1) ＝(x－1)(x2＋1)，
1．实数比较大小的方法 (1)a－b＞0⇔ a＞b ； ； . (2)a－b＝0⇔ a＝b (3)a－b＜0⇔ a＜b
2．不等式的性质
(1)a＞b⇔b ＜ a. (2)a＞b，b＞c⇒a ＞ c.
(3)a＞b⇔a＋c ＞ b＋c.
推论1 a＋b＞c⇔a > c－b；
推论2 a＞b，c＞d⇒a＋c > b＋d. (4)a＞b，c＞0⇒ac bc；a＞b，c＜0⇒ac ＜bc. 推论1 a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac > bd； 1 1 ＜ 推论2 a＞b，ab＞0⇒ ； a b 推论3 0＜a＜b＜1⇒an ＜ bn(n∈N*，且n＞1)． n n (5)a＞b＞0⇒ a > b (n∈N*，且n＞1)．
6 ．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表 示二元一次不等式组． 7 ．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问
题，并能加以解决．
8．了解基本不等式的证明过程． 9．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
10．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简
单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．
11．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，
并能运用它们进行一些简单推理． 12．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．
13．了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；
了解分析法和综合法的思考过程、特点． 14．了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证 法的思考过程、特点． 15．了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些 简单的数学命题．
考点一 不等式的性质 【案例 1】 使不等式 a＞b 成立的充要条件是( A．a ＞b
2 2
)
1 1 B. ＜ a b 1 1 D. a＜ b 2 2
C．lg a＞lg b
关键提示： 判定四个备选项中哪个经化简可与“a＞b” 等价．
解析：A：a2＞b2⇔|a|＞|b|； 1 1 a－b B： ＜ ⇔ ＞0； a b ab C：lg a＞lg b⇔a＞b＞0；