2012新课标人教A版数学同步导学课件：1-1.2.2《组合与组合数公式》第1课时(选修2-3)

4．(1)计算：C9996＋C9997； (2)求C3n38－n＋Cn＋213n的值．
解析： (1)C9996＋C9997＝C993＋C992 100×99×98 3 ＝C100 ＝ 3×2×1 ＝161 700
19 21 ∴ ≤n≤ 2 2 ∵n∈N*，∴n＝10 ∴C3n38－n＋Cn＋213n＝C3028＋C3130 30×29 1 ＝C30 ＋C31 ＝ ＋31＝466.
2.计算：(1)C85＋C10098·C77； (2)C50＋C51＋C52＋C53＋C54＋C55； (3)Cn＋1n·Cnn－1.
解析： 8×7×6 100×99 2 (1)原式＝C8 ＋C100 ×1＝ ＋
3
3×2×1
2×1
＝56＋4 950＝5
006.
(2)原式＝2(C50＋C51＋C52)＝2(C61＋C52)
[题后感悟] 判断一个问题是排列问题还是组合问题的关键 是正确区分事件有无顺序，区分有无顺序的方法是：把问题的 一个选择结果解出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位 置，看是否产生新的变化．若有新变化，即说明有顺序，是排 列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．
1.判断下列问题是排列问题，还是组合问题． (1)50个同学聚会，两两握手，共握手多少次？ (2)从50个同学中选出正、副班长各一人，有多少种选法？ (3)从50个人中选3个人去参加同一种劳动，有多少种不同的 选法？ (4)从50个人中选3个人到三个学校参加毕业典礼，有多少种 选法？
解答本题主要是分清取出的这m个(2个或3个)是进行排列还 是组合，即确定是与顺序有关还是无关．
[解题过程]
(1)当取出3个数字后，如果改变三个数字的顺
序，会得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而且 与元素的安排顺序有关，是排列问题． (2)取出3个数字之后，无论怎样改变这三个数字之间的顺序， 其和均不变，此问题只与取出的元素有关，而与元素的安排顺 序无关，是组合问题． (3)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题． (4)甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，无顺序 区别为组合问题． (5)发信人与收信人是有区别的，是排列问题．
Cnm
Cnm＝ n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) m！ n！ m Cn ＝ m！(n－m)！
＋
Cn m
.
－1
.
1．给出下面几个问题，其中是组合问题的有( ①由1,2,3,4构成的2个元素集合； ②五个队进行单循环比赛的分组情况； ③由1,2,3组成两位数的不同方法数； ④由1,2,3组成无重复数字的两位数． A．①③ C．①② B．②④ D．①②④
)
解析： ①②与顺序无关是组合问题． ③④与顺序有关不是组合问题． 答案： C
2．如果Cn2＝28，则n的值为( A．9 C．7
解析： 2
)
B．8 D．6
n(n－1) 2 ∵Cn ＝ ，
n(n－1) ( ) ∴ ＝28，解得n＝8. 2
答案： B
3．从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人 中至多有一个人参加，则不同选法的种数为________． 解析： C64－C42＝9. 答案： 9
1 1 7 m (1)已知 m－ m＝ m，求C8 . C5 C6 10C7 (2)解方程：Cx＋2
x－2 x－3
＋Cx＋2
1 ＝10Ax＋33.
由组合数公式把方程转化为一元二次方程求解．
[规范解答]
(1)原方程变形为
m！(5－m)！ m！(6－m)(5－m)！ － 5！ 6×5！ 7m！(7－m)(6－m)(5－m)！ ， ＝ 10×7×6×5！ 6－m (7－m)(6－m) ∴1－ 6 ＝ ， 60 即m2－23m＋42＝0，2分 解得m＝2或m＝21， 又∵0≤m≤5且m∈N*，∴m＝2，4分 ∴C8m＝C82＝28.6分
1．组合 一般地，从n个 不同 元素中 取出m(m≤n)个元素合成一组 ， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 2．组合数与组合数公式
从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有 组合数 不同组合的个数 ，叫做从 n 个不同元素中取 定义 出 m 个元素的组合数． 表示法 乘积形式 组合数 公式 阶乘形式 Cnm＝Cnn－m； 性质 m Cnm Cn＋1 ＝ ①n，m∈N*且 m≤n 备注 1 ②规定 Cn0＝
【错因】
一是转化不等价．
事实上Cnx＝Cny⇔ 二是最后得出的结果没检验，出现根的取舍错误．解 有关组合数的方程，其方法是利用组合数公式或性质转化 为不含组合数的代数方程，再解这个方程，最后的结果要 进行检验．应注意：①组合数的隐含条件；②转化的等价 性．
【正解】 ∵Cx2＋3x＋216＝C165x＋5， ∴x2＋3x＋2＝5x＋5或(x2＋3x＋2)＋(5x＋5)＝16， 即x2－2x－3＝0或x2＋8x－9＝0， ∴x＝－1或x＝3或x＝－9或x＝1. 经检验x＝3，x＝－9不合题意，舍去， 故原方程的解是x1＝－1，x2＝1.
(2)由原方程得x＋1＝2x－3或x＋1＋2x－3＝13， ∴x＝4或x＝5，
又由 得2≤x≤8且x∈N*， ∴原方程的解为x＝4或x＝5.
1．判断组合与排列的主要依据是什么？
2．组合数公式的两种形式的适用范围各是什么？
形式 乘积形式 阶乘形式
主要适用范围 具体含数字的组合数的值 含字母的组合数的有关变形及证明
2
2×1
判断下列问题是排列问题，还是组合问题． (1)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数， 这样的三位数共有多少个？ (2)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，然后把这三个数字 相加得到一个和，这样的和共有多少个？ (3)从a，b，c，d四名学生中选2名学生，去完成同一件工作 有多少种不同的选法？ (4)5个人规定相互通话一次，共通了多少次电话？ (5)5个人相互各写一封信，共写了多少封信？
[提醒] 要注意性质Cn＋1m＝Cnm＋Cnm－1的顺用、逆用、变 形用．顺用是将一个组合数拆成两个；逆用则是“合二为一”； 变形用为Cnm－1＝Cn＋1m－Cnm的使用，为某些项相互抵消提供了 方便．
◎解方程：Cx2＋3x＋216＝C165x＋5. 【错解】 ∵Cx2＋3x＋216＝C165x＋5， ∴x2＋3x＋2＝5x＋5， 即x2－2x－3＝0，解得x1＝－1(舍去)，x2＝3. ∴原方程的解为x＝3.
Βιβλιοθήκη [题后感悟](1)有关组合数的证明问题，一般先依据组合数
的性质化简，再用组合数的阶乘形式证明； (2)关于组合数的计算问题，一般先依据组合数的性质进行 化简，再用组合数的乘积形式计算． (3)多个组合数的和化简为一个组合数的关键在于掌握组合 数性质2两边的上、下标的特征，并注意观察和分析待化简的组 合式的特征．
解析：
(1)(2)都是选出2人，但握手与两人的顺序无关，而
正、副班长的人选与顺序有关，故(1)是组合问题，(2)是排列问 题； (3)(4)都是选出3人，但参加同一劳动没有顺序，而到三个学 校参加毕业典礼却有顺序，故(3)是组合问题，(4)是排列问题．
计算下列各式的值． (1)3C83－2C52； (2)C10098＋C200199； (3)C73＋C74＋C85＋C96； (4)Cn5－n＋Cn＋19－n.
(2)原方程可化为Cx＋3 即Cx＋35＝
x－2
1 ＝ Ax＋33， 10
1 Ax＋33，8分 10
(x＋3)！ (x＋3)！ ∴ ＝ ， 5！(x－2)！ 10·x！ 1 1 ∴ ＝ ， 120(x－2)！ 10·x(x－1)·(x－2)！ ∴x2－x－12＝0，10分 解得x＝4或x＝－3， 经检验：x＝4是原方程的解.12分
5×4 ＝32. ＝2×6＋ 2×1
(n＋1)！ (n＋1)·n！ n 1 (3)方法一：原式＝Cn＋1 ·Cn ＝ ·n＝ ·n n！ n！ ＝(n＋1)n＝n2＋n. 方法二：原式＝(Cnn＋Cnn 1)·Cnn 1＝(1＋Cn1)·Cn1＝(1＋
－ －
n)n＝n2＋n.
1.2.2 组
合
第1课时 组合与组合数公式
1．理解组合与组合数的概念． 2．会推导组合数公式，并会应用公式求值． 3．了解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明.
1．组合的概念及组合与组合数的区别．(易混点) 2．组合数公式的推导．(难点) 3．组合数公式的应用．(重点)
某国际会议中心有A，B，C，D和E，共5种不同功能的会议 室，且每种功能的会议室又有大、中、小和特小，共4种型号， 总共20个会议室．现在有一个国际学术会议需要选择3种不同功 能的6个会议室，并且每种功能的会议室选2个型号． 试问：会议中心的工作人员安排会议的方法有多少种？
利用组合数公式和组合数的性质解决．
[解题过程]
8×7×6 5×4 3 2 (1)3C8 －2C5 ＝3× －2× ＝148. 3×2×1 2×1 2×1 150.
100×99 98 199 2 1 (2)C100 ＋C200 ＝C100 ＋C200 ＝ ＋200＝5
(3)原式＝C84＋C85＋C96＝C95＋C96＝C106＝C104＝210. (4)由 5－n≤n5－n≥09－n≤n＋19－n≥0 ⇒4≤n≤5. ∵n∈N*，∴n＝4 或 5. 当 n＝4 时，原式＝C41＋C55＝5. 当 n＝5 时，原式＝C50＋C64＝16.
[题后感悟] 含有组合数的方程或不等式的解法：
3.(1)解不等式：Cmm－4＞Cm－1m－6＋Cm－16. (2)解方程：C13x＋1＝C132x－3.
解析： ＞Cm6， m！ m！ ∴ ＞ ，∴30＞(m－4)(m－5)， 4！(m－4)！ 6！(m－6)！ 即m2－9m－10＜0，∴－1＜m＜10. 又∵m≥7且m∈N*， ∴m＝7或8或9. (1)原不等式可化为Cm4＞Cm－15＋Cm－16，即Cm4