8逆变换与逆矩阵
矩阵求逆方法大全
矩阵求逆方法大全矩阵的逆在线性代数中是一个非常重要且常用的概念。
逆矩阵存在的前提是矩阵必须是方阵且可逆。
逆矩阵的定义可以简单地表述为：对于一个方阵A，如果存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵，那么B就是A的逆矩阵，记作A^-1下面将介绍几种求解矩阵逆的方法。
1.初等变换法：初等变换法是一种最常用的求解矩阵逆的方法。
基本思想是通过一系列初等行变换将原矩阵A转化为单位矩阵I，同时对单位矩阵进行相同的初等变换，得到A的逆矩阵。
具体步骤为：(1)将原矩阵A与单位矩阵I进行横向拼接，形成增广矩阵[A，I]；(2)通过初等行变换将增广矩阵[A，I]变换为[I，B]，其中B即为矩阵A的逆矩阵。
这种方法比较直观，但计算量较大，特别是对于大型矩阵很不方便。
2.列主元消去法：列主元消去法是一种改进的初等变换法，其目的是选取主元的位置，使得计算量减少。
具体步骤为：(1)将原矩阵A与单位矩阵I进行横向拼接，形成增广矩阵[A，I]；(2)选取增广矩阵中当前列中绝对值最大的元素作为主元，通过交换行使主元出现在当前处理行的位置；(3)用主元所在行将其他行消元，使得主元所在列的其他元素都为0；(4)重复以上步骤，直到增广矩阵[A，I]经过一系列的行变换变为[I，B]，其中B即为矩阵A的逆矩阵。
列主元消去法相对于初等变换法来说，计算量会更小，但仍然对于大型矩阵的操作不够高效。
3.公式法：对于一个二阶方阵A，其逆矩阵可以通过以下公式求得：A^-1 = (1/，A，) * adj(A)，其中，A，为A的行列式，adj(A)为A的伴随矩阵。
对于更高阶的矩阵，也可以通过类似的公式求解，但行列式和伴随矩阵的计算相对较为复杂，不太适用于实际操作。
4.LU分解法：LU分解也是一种常用的矩阵求解方法，其将原矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。
逆矩阵的计算可以通过LU分解来完成。
具体步骤为：(1)对原矩阵A进行LU分解，得到下三角矩阵L和上三角矩阵U；(2)分别求解方程LY=I和UX=Y，其中Y为未知矩阵；(3)得到Y后，再将方程UX=Y带入，求解方程UX=I，得到逆矩阵X。
逆矩阵及初等变换
先假设n阶矩阵A, 满足 A ≠ 0， 即 矩阵A是可逆的
则有下列公式： 则有下列公式：
( A | E ) n×2 n ( E | A ) n×2 n →
行初等变换
1
施行初等行变换， 即对 n × 2n 矩阵 ( A E ) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A1 .
例3
6 4 2 * 得 A = 3 6 5 , 所以 2 2 2
1 3 2 1 * 3 5 1 . A = A = 3 A 2 2 1 1 1
上页
下页
返回
例2 设
1 2 3 1 3 2 1 A = 2 2 1, B = 5 3, C = 2 0, 3 4 3 3 1
1 1 1
(4).若A可逆 则A 也可逆 且( A ) = ( A ) . , ,
T
T 1
1 T
上页
下页
返回
例1 解
1 2 3 . 求方阵 A = 2 2 1的逆阵 3 4 3 ≠0， 可逆。 经计算可得： |A| = 2 ≠0，知A可逆。 经计算可得： | 可逆
A11= 2，A21= 6，A31=－4， 2， 6， A12=－3，A22=－6，A32=5， =5， A13= 2，A23= 2，A33=－2， 2， 2，
1 * A = A, A
1
A A . 其中 *为方阵 的伴随阵
上页
下页
返回
由定理1和定理2可得：矩阵 由定理1和定理2可得：矩阵A 是可逆方阵的充 分必要条件是 |A| ≠ 0 。 | 称为奇异方阵 否则称为非 奇异方阵， 当 |A| = 0 时，A 称为奇异方阵，否则称为非 | 奇异阵。 奇异阵。 推论 ），则 若 AB = E（或 BA = E），则B = A -1 。 （ ），
线性代数-逆矩阵
=
6
2 0 0
0 4 0
0 1 0 −0 7 0
0 1 0
0 0 1
−1
=
6
1 0 0
0 3 0
0 −1
0 6
1 0 0−1 1 0 = 6 0 3 0 = 6 0 1 3
0 6 0 0 0 = 0 2 0.
0 0 6 0 0 1 6 0 0 1
1 0 0 0 0
0 2 0 0 0
证明 由A2 − A − 2E = 0,
A−1
得A(A − E ) = 2E ⇒ A A − E = E
2 ⇒ A A − E = 1 ⇒ A ≠ 0, 故A可逆.
2
∴ A−1 = 1 (A − E ).
2
又由A2 − A − 2E = 0
⇒ (A + 2E )(A − 3E ) + 4E = 0
1 5 − 11
123 1 2 3
解
A = 2 1 2= 0 −3 −4
133 0 1 0
12 3 = 0 − 3 − 4 = − 3 − 4 = 4≠ 0, 所以A可逆.
01 0 1 0
A11
=
1 3
2 = −3, 3
A12
=
−
2 1
2 = −4, 3
A13
=
2 1
1 = 5, 3
同理可求得 A21 = 3, A22 = 0, A23 = −1, A31 = 1, A32 = 4, A33 = −3.
1 1
−1 1
1 1 0X1
−1 1
1 4 0 = 0
2 −1
3 5
2 1 1 3 2 1 2 1 1
第四讲矩阵的运算与逆矩阵
a11b12 a12b22 a13b32 a21b12 a22b22 a23b32 2×2
（2）乘法的定义与运算规律
定义4 设 A aij 是一个 m×s 矩阵,B bij 是一个s×n 矩阵,
那么规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个m×n 矩阵 C cij ,
s
c 其中 ij ai1b1 j ai 2b2 j aisbsj aik bkj i 1,2,, m; j 1,2,, n k 1
a1, a2 ,
bn n1
b1a1 b1a2 b1an
, an
1n
b2a1
bna1
b2a2
bna2
b2an
bnan
nn
（3）矩阵运算的性质（与实数运算的对比）
通过以上对矩阵运算的了解，尤其是对矩阵乘法运算的
分析，我们可以对比一下矩阵的代数运算与我们所熟悉
的实数的代数运算，并找出它们之间的本质区别：
3. 对于两个 n 阶矩阵，一般
ABk Ak B k . AB2 ABAB A2 B2
如
A
2 3
46,
B
2 1
42,
AB 00
00,
AB2
0 0
0 0
;
A2 128
16 24
,
B2
8 4
016,
A2 B 2
0 0
128 192
.
线性代数 第二章 矩阵及其运算
11
第四讲 矩阵的运算与逆矩阵
注4：方阵A的多项式定义：已知f ( x) a0 a1 x a2 x2 an xn 则对应A的多项式为：f ( A) a0E a1 A a2 A2 an An;请看下例：
逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)
逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且（E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K证明 因为E 与A 可以交换, 所以(E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K ,因A K = 0 ,于是得(E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ， 同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ，因此E-A 是可逆矩阵,且(E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K .同理可以证明(E+ A)也可逆,且(E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K .由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵.例2 设 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000300000200010,求 E-A 的逆矩阵.分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵.解 容易验证A 2=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000060000200， A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000006000， A 4=0而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000310062106211.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21Λ使（1）s p p p Λ21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得：（2） s p p p Λ21I= A 1-比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-.用矩阵表示（A I ）−−−→−初等行变换为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡521310132.解 [A I]→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3/16/16/1100010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001故 A 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/112/32/13/46/136/1. 在事先不知道n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆，因为此时表明A =0，则A 1-不存在.例2 求A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡987654321.解 [A E]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100987010654001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1071260014630001321→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121000014630001321. 由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A 不可逆.3.伴随阵法定理 n 阶矩阵A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且A 1-=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A (212221212111)其中A ij 是A 中元素a ij 的代数余子式.矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A AA A A (2122212)12111称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A 3，于是有A 1-=A 1A 3.证明 必要性：设A 可逆，由A A 1-=I ，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ≠0，即A 为非奇异.充分性： 设A 为非奇异，存在矩阵B=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111， 其中AB=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a (2)12222111211⨯A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A A A A A ............... (2122212)12111=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡A A A A ............0...00...0=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1 (00)...1......0...100...01=I同理可证BA=I.由此可知，若A 可逆，则A 1-=A1A 3. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I 来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且A 11为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 证明 因为A =221100A A =11A 22A ≠0, 所以A 可逆.设A 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡WZY X，于是有⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡m nI I 00,其中 X A 11=I n ， Y A 22=0，Z A 11=0，W A 22=I m .又因为A 11、A 22都可逆，用A 111-、A 122-分别右乘上面左右两组等式得：X= A 111-，Y=0，Z=0，W= A 122-故 A 21= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：121...-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k A A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---11211...k A A A 4.2.准三角形矩阵求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A证明 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212110A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡22110A A 两边求逆得1121110--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-I A A I 12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 所以 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A同理可证12221110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E ，把题目中的逆矩阵化简掉。
苏教版高中数学选修4-2：逆矩阵的概念_课件1
阵，若存在，请把它求出来；若不存在，请说明理由．
课 堂 互 动
1 (1)A＝0
120；(2)B＝10
－12；
课 时 作
探
业
究
1 1
(3)C＝21 21；(4)D＝01 －01.
2 2
菜单
课 前
【思路探究】 矩阵→对应的几何变换→
当 堂
自
双
主 导
判断是否存在逆变换→若存在写出逆变换→逆矩阵
基 达
学
标
【自主解答】 (1)矩阵 A 对应的是伸压变换，它将平面
内点的横坐标保持不变，纵坐标沿 y 轴方向压缩为原来的12，
课
堂 因此，它存在逆变换：将平面内的点的横坐标保持不变，纵 课
互
时
动 坐标沿 y 轴方向伸长为原来的 2 倍，所对应的变换矩阵记为
堂
课
互
(1)注意到 1×3－2×1＝1≠0，故 A 存在逆矩阵 A－1，且 时
动
作
探 究
3 A－1＝－121
－111＝－32 1
－11.
业
菜单
课 前
当
(2)注意到 2×5－4×3＝－2≠0，故 B 存在逆矩阵 B－1， 堂
自
双
主且
导
基 达
学
5 －3
标
课
B－1＝－ －24 －2
的，B 称为 A 的逆矩阵，记作：A－1＝B.
菜单
课
当
前
3．逆矩阵的性质
自
堂 双
主 导
基
(1)若二阶矩阵 A 存在逆矩阵 B，则逆矩阵是惟一的． 达
学
标
(2)若二阶矩阵 A，B 均存在逆矩阵，则 AB 也存在逆矩
高中数学 2.4 逆变换与逆矩阵 2.4.1 逆矩阵的概念教学案 苏教版选修4-2-苏教版高二选修4
2．4.1 逆矩阵的概念1．逆矩阵的定义对于二阶矩阵A 、B ，假设有AB ＝BA ＝E ，那么称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵，记为A －1.2．逆矩阵的性质(1)假设二阶矩阵A 、B 均可逆，那么AB 也可逆，且(AB )－1＝B －1A －1. (2)A 、B 、C 为二阶矩阵且AB ＝AC ，假设A 存在逆矩阵，那么B ＝C . 3．逆矩阵的求法(1)公式法：对于二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，假设ad －bc ≠0，那么A 必可逆，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －bad －bc －c ad －bc a ad －bc .(2)待定系数法． (3)逆变换法．[对应学生用书P30]逆矩阵的求法[例1] 求矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤3 22 1的逆矩阵．[思路点拨] 设出逆矩阵，利用待定系数法求解或直接利用公式法求解．[精解详析] 法一：待定系数法：设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 221⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001.即⎣⎡⎦⎤3x ＋2z 3y ＋2w 2x ＋z 2y ＋w ＝⎣⎡⎦⎤1 00 1，故⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2z ＝1，2x ＋z ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧3y ＋2w ＝0，2y ＋w ＝1，解得x ＝－1，z ＝2，y ＝2，w ＝－3， 从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎡⎦⎤－122－3.法二：公式法：ad －bc ＝3×1－2×2＝－1≠0，∴A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－122－3.用待定系数法求逆矩阵时，先设出矩阵A 的逆矩阵A －1，再由AA －1＝E 得相等矩阵，最后利用相等矩阵的概念求出A －1.1．(某某高考)矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1002，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206，求矩阵A －1B .解：设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 02⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12，所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 0 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －2 0 3. 2．矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤21 －3－1所对应的线性变换把点A (x ，y )变成点A ′(13,5)，试求M 的逆矩阵及点A 的坐标．解：由M ＝⎣⎡⎦⎤21 －3－1，得2×(－1)－(－3)×1＝1≠0，故M－1＝⎣⎡⎦⎤－1－1 32.从而由⎣⎡⎦⎤21 －3－1⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤135得⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤－1－1 32⎣⎡⎦⎤13 5＝⎣⎡⎦⎤－1×13＋3×5－1×13＋2×5＝⎣⎡⎦⎤ 2－3， 故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，即A (2，－3)为所求．[例2] 用几何变换的观点求以下矩阵的逆矩阵．(1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001；(2)B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01－10.[思路点拨] A 为伸压变换矩阵，B 为旋转变换矩阵，只需找到它们的逆变换，再写出逆变换对应的矩阵即为所求．[精解详析](1)矩阵A 为伸压变换矩阵，它对应的几何变换为平面内点的纵坐标保持不变，横坐标沿x 轴方向拉伸为原来2倍的伸缩变换，因此它存在逆变换T A －1：将平面内点的纵坐标保持不变，横坐标沿x 轴方向压缩为原来的12，所对应的变换矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1.(2)矩阵B 为旋转变换矩阵，它对应的几何变换为将平面内的点绕原点顺时针旋转90°.它存在逆变换T B －1：将平面内的点绕原点逆时针旋转90°，所对应的变换矩阵为B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0.从几何角度考虑矩阵对应的变换是否存在逆变换，就是观察在变换下是否能“走过去又能走回来〞，即对应的变换是一一映射．关键是熟练掌握反射变换、伸缩变换、旋转变换、切变变换等常用变换对应的矩阵，根据矩阵对应的几何变换找出其逆变换，再写出逆变换对应的矩阵，即为所求逆矩阵．3．矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1232－32 －12，求A －1.解：矩阵A 对应的变换是旋转变换R 240°，它的逆变换是R －240°∴A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos －240° －sin －240°sin －240° cos －240°＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12 －32 32 －12. 4．矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 5，求A －1. 解：因矩阵A 所对应的变换为伸缩变换，所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 15.逆矩阵的概念与性质的应用[例3] 假设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 005，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 301，求矩阵AB 的逆矩阵．[思路点拨] 根据公式(AB )－1＝B －1A －1，先求出B －1、A －1，再利用矩阵乘法求解． [精解详析] 因为矩阵A 所对应的变换为伸缩变换，所以A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤120015. 而矩阵B 对应的变换为切变变换，其逆矩阵B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －30 1，∴(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－301⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤120015＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12－350 15.(1)要避免犯如下错误(AB )－1＝A －1B －1. (2)此题也可以先求出AB 再求其逆．5．A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12－323212，求A －1.解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12，那么A ＝MN . ∵1×1－0×(－1)＝1≠0，∴M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101，同理N －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1232－32 12.由逆矩阵的性质，得A －1＝(MN )－1＝N －1M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1232－3212⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤121＋32－321－32. 6．假设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201，求曲线x 2＋y 2＝1在矩阵(AB )－1变换下的曲线方程．解：(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－201⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－201.设P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝1上任意一点，P 点在(AB )－1对应变换下变成Q (x ′，y ′) 那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －2y y . ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ，y ′＝y .故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋2y ′，y ＝y .′∴P (x ′＋2y ′，y ′)．又P 点在圆上，∴(x ′＋2y ′)2＋(y ′)2＝1. 展开整理为(x ′)2＋4x ′y ′＋5(y ′)2＝1. 故所求曲线方程为x 2＋4xy ＋5y 2＝1.[例4] 矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－2－3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2312，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110，求满足AXB ＝C 的矩阵X .[思路点拨] 由AXB ＝C 得X ＝A －1CB －1，从而求解． [精解详析] ∵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 －2 2 1，B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－1 2，∴X ＝A －1CB －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 －2 2 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－1 2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 －3 1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 01.此种题型要特别注意左乘还是右乘相应的逆矩阵，假设位置错误，那么得不到正确结果，原因是矩阵乘法并不满足交换律．7．矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 －7.假设矩阵X 满足AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，试求矩阵X .解：设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 －7⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －2zy －2w 3x －7z 3y －7w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2z ＝1，y －2w ＝0，3x －7z ＝0，3y －7w ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－2，z ＝3，w ＝－1.故所求的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7 －23 －1.因为AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，所以A －1AX ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31， 所以X ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7 －23 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤19 8. 8．假设点A (2,2)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α对应变换的作用下得到的点为B (－2,2)，求矩阵M 的逆矩阵．解：因为M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos α－2sin α2sin α＋2cos α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α－sin α＝－1，sin α＋cos α＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝0，sin α＝1.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110.法一：由M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 90°－sin 90°sin 90°cos 90°，知M 是绕原点O 逆时针旋转90°的旋转变换矩阵，于是M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos －90°－sin －90°sin －90°cos －90°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01－10.法二：由M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110，那么ad －bc ＝1≠0.∴M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01－10.[对应学生用书P32]1．求以下矩阵的逆矩阵．(1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1123；(2)B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2345.解：法一：利用逆矩阵公式．(1)注意到1×3－2×1＝1≠0，故A 存在逆矩阵A －1，且 A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤31－11－2111＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－1－21. (2)注意到2×5－4×3＝－2≠0，故B 存在逆矩阵B －1，且 B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5－2 －3－2－4－2 2－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 32 2 －1.法二：利用待定系数法． (1)设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 123⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋cb ＋d 2a ＋3c 2b ＋3d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001.故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝1，2a ＋3c ＝0，b ＋d ＝0，2b ＋3d ＝1.解得a ＝3，c ＝－2，b ＝－1，d ＝1. 从而A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－2 1.(2)设矩阵B 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 345⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋3z 2y ＋3w 4x ＋5z 4y ＋5w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001.故⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3z ＝1，4x ＋5z ＝0，2y ＋3w ＝0，4y ＋5w ＝1.解得x ＝－52，z ＝2，y ＝32，w ＝－1.从而B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 322 －1.2．可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a273的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b －2－7 a ，求a ，b 的值． 解：根据题意，得AA －1＝E ， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a27 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤ b －2－7 a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab －2×7 －2a ＋2a 7b －21 －2×7＋3a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ab －14＝1，7b －21＝0，－14＋3a ＝1，解得a ＝5，b ＝3.3．A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－1 1，求证B 是A 的逆矩阵． 证明：因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1112，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1， 所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤111 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1112＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001， 所以B 是A 的逆矩阵．4．求矩阵乘积AB 的逆矩阵． (1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 004；(2)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234.解：(1)(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 014. (2)(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2132－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤－100－1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－1－32 12. 5．变换矩阵A 把平面上的点P (2，－1)，Q (－1,2)分别变换成点P 1(3，－4)，Q 1(0,5)． (1)求变换矩阵A ；(2)判断变换矩阵A 是否可逆，如果可逆，求矩阵A 的逆矩阵A －1；如果不可逆，请说明理由．解：(1)设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，依题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－4，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤05，即⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝3，2c －d ＝－4，－a ＋2b ＝0，－c ＋2d ＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝2.所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21－12.(2)变换矩阵A 是可逆的，理由如下：设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，那么由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋z ＝1，2y ＋w ＝0，－x ＋2z ＝0，－y ＋2w ＝1.解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＝25，y ＝－15，z ＝15，w ＝25.故矩阵A 的逆矩阵为A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 －1515 25. 6．矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 12，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1，试求曲线y ＝cos x 在矩阵M －1N 对应的线性变换作用下的函数解析式．解：M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002，∴M －1N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 2. ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12x 2y 即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝2y .∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝12y ′.代入y ＝cos x 得12y ′＝cos 2x ′故曲线y ＝cos x 在矩阵M －1N 对应的变换作用下解析式为y ＝2cos 2x . 7．矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234.(1)求矩阵A 的逆矩阵B ；(2)假设直线l 经过矩阵B 变换后的方程为y ＝x ，求直线l 的方程． 解：(1)设矩阵A 的逆矩阵为B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2c ＝1，b ＋2d ＝0，3a ＋4c ＝0，3b ＋4d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，c ＝32，d ＝－12，所以B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2132－12. (2)设直线l 上任一点P (x ，y )经过B 对应变换变为点P (x ′，y ′)，那么⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2132－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－2x ＋y ，y ′＝32x －12y ，又y ′＝x ′，所以－2x ＋y ＝32x －12y ，即直线l 的方程为7x －3y ＝0.8．曲线C 在矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 00 12对应的变换作用下的象为x 2＋y 2＝1，求曲线C 的方程．解：矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 00 12对应的变换为：平面内点的纵坐标沿y 轴方向缩短为原来的12，横坐标沿x 轴方向缩短为原来的13，其逆变换为：将平面内点的纵坐标沿y 轴方向拉伸为原来的2倍，横坐标沿x 轴方向拉伸为原来的3倍，故⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 00 12－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 002.设圆x 2＋y 2＝1上任一点P (x ，y )在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤3002对应的伸缩变换作用下的象为P ′(x ′，y ′)，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝y ′2，代入x 2＋y 2＝1，得x ′29＋y ′24＝1.故曲线C 的方程为x 29＋y 24＝1.。
逆矩阵的几种求法及解析
. .. . .. ..逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义: 设A、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A为可逆矩阵, 而称B为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1求证: 如果方阵A 满足A K= 0, 那么E-A是可逆矩阵, 且（E-A）1-= E + A + A2+…+A1-K证明因为E 与A 可以交换, 所以(E- A )(E+A + A2+…+ A1-K)= E-A K,因A K= 0 ,于是得(E-A)（E+A+A2+…+A1-K）=E，同理可得（E + A + A2+…+A1-K）(E-A)=E，因此E-A是可逆矩阵,且(E-A)1-= E + A + A2+…+A1-K.同理可以证明(E+ A)也可逆,且(E+ A)1-= E -A + A2+…+（-1）1-K A1-K.由此可知, 只要满足A K=0，就可以利用此题求出一类矩阵E±A的逆矩阵.例2 设 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000300000200010,求 E-A 的逆矩阵.分析由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵.解容易验证A 2=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000060000200， A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000006000， A 4=0而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000310062106211.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21 使（1）s p p p 21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得：（2） s p p p 21I= A 1-比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-.用矩阵表示（A I ）−−−→−初等行变换为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡521310132.解 [A I]→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3/16/16/1100010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001 故 A 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/112/32/13/46/136/1. 在事先不知道n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆，因为此时表明A =0，则A 1-不存在.例2 求A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡987654321.解 [A E]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100987010654001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1071260014630001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121000014630001321. 由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A 不可逆.3.伴随阵法定理 n 阶矩阵A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且A 1-=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111 其中A ij 是A 中元素a ij 的代数余子式.矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A AA A A (2122212)12111称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A *，于是有A 1-=A 1 A *.证明 必要性：设A 可逆，由A A 1-=I ，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ≠0，即A 为非奇异.充分性： 设A 为非奇异，存在矩阵B=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111， 其中AB=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a (2)12222111211⨯A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A ............... (2122212)12111=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡A A A A ............0...00...0=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1 (00)...1......0...100...01=I同理可证BA=I.由此可知，若A 可逆，则A 1-=A1 A *. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I 来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且A 11为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 证明 因为A =221100A A =11A 22A ≠0, 所以A 可逆.设A 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡WZY X，于是有⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡m nI I 00, 其中 X A 11=I n ， Y A 22=0，Z A 11=0，W A 22=I m .又因为A 11、A 22都可逆，用A 111-、A 122-分别右乘上面左右两组等式得：X= A 111-，Y=0，Z=0，W= A 122-故 A 21= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：121...-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k A A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---11211...k A A A4.2.准三角形矩阵求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A证明 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212110A A A⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A 两边求逆得1121110--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-I A A I 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 所以 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A同理可证12221110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E ，把题目中的逆矩阵化简掉。
逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)
逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且（E-A ）= E + A + A +…+A 1-21-K 证明 因为E 与A 可以交换, 所以(E- A )(E+A + A +…+ A )= E-A ,21-K K 因A = 0 ,于是得 K (E-A)（E+A+A +…+A ）=E ，21-K 同理可得（E + A + A +…+A ）(E-A)=E ，21-K 因此E-A 是可逆矩阵,且(E-A)= E + A + A +…+A .1-21-K 同理可以证明(E+ A)也可逆,且(E+ A)= E -A + A +…+（-1）A .1-21-K 1-K 由此可知, 只要满足A =0，就可以利用此题求出一类矩阵E A 的逆矩阵.K ±例2 设 A =,求 E-A 的逆矩阵.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00300000200010分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以K 采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵.解 容易验证A =， A =， A =02⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00000000600002003⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000006004而 (E-A)(E+A+ A + A )=E,所以23(E-A)= E+A+ A + A =.1-23⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡10003100621062112.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵使S P P P ,,21 （1）A=I ，用A 右乘上式两端，得：s p p p 211- （2） I= A s p p p 211-比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A .1-用矩阵表示（A I ）为（I A ），就是求逆矩阵的初等行变换法，−−−→−初等行变换1-它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡521310132解 [A I]→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3/16/16/1100010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001故 A =.1-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/112/32/13/46/136/1在事先不知道n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆，因为此时表明=0，则A 不存在.A 1-例2 求A=.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡987654321解 [A E]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100987010654001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1071260014630001321 .→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121000014630001321由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A 不可逆.3.伴随阵法定理 n 阶矩阵A=[a ]为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且ij A =1-A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111其中A 是中元素a 的代数余子式.ij A ij 矩阵称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A ，于是有A = A .⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A AA A A (2122212)1211131-A 13证明 必要性：设A 可逆，由A A =I ，有=，则=，所以1-1-AA I A 1-A I A0，即A 为非奇异.≠充分性： 设A 为非奇异，存在矩阵B=，A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111其中AB=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a (2)12222111211⨯A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A ............... (2122212)12111===I A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡A AA A ...00.........0...00...0⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1...00...1......0...100...01同理可证BA=I.由此可知，若A 可逆，则A =A .1-A13用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA =I 来检验.一1-旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设A 、A 都是非奇异矩阵，且A 为n 阶方阵，A 为m 阶方阵11221122 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 证明 因为==0, 所以A 可逆.A 22110A A 11A 22A ≠设A =，于是有=,1-⎥⎦⎤⎢⎣⎡WZYX⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡m nI I 00其中 X A =I ， Y A =0，Z A =0，W A =I .又因为A 、A 都可逆，用11n 221122m 1122A 、A 分别右乘上面左右两组等式得：111-122-X= A ，Y=0，Z=0，W= A 111-122-故 A = 21⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：=121...-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k A A A ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---11211...k A A A 4.2.准三角形矩阵求逆命题 设A 、A 都是非奇异矩阵，则有1122=12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A 证明 因为=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212110A A A⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦⎤⎢⎣⎡22110A A 两边求逆得=1121110--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-I A A I 12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 所以 =1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A 同理可证=12221110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA =E ，把题目中的逆矩阵化简掉。
逆矩阵的几种求法与解析
(E-A) = E + A + A +…+A .
同理可以证明(E+ A)也可逆,且
(E+ A) = E -A + A +…+（-1） A .
由此可知,只要满足A =0，就可以利用此题求出一类矩阵E A的逆矩阵.
例2设A = ,求E-A的逆矩阵.
分析由于A中有许多元素为零,考虑A 是否为零矩阵,若为零矩阵,则可以采用例2的方法求E-A的逆矩阵.
3.伴随阵法
定理n阶矩阵A=[a ]为可逆的充分必要条件是A非奇异.且
A =
其中A 是 中元素a 的代数余子式.
矩阵 称为矩阵A的伴随矩阵，记作A*，于是有A = A*.
证明必要性：设A可逆，由AA =I，有 = ，则 = ，所以 0，即A为非奇异.
充分性： 设A为非奇异，存在矩阵
B= ，
其中
AB=
X= A ，Y=0，Z=0，W= A
故 A =
把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：
=
4.2.准三角形矩阵求逆
命题设A 、A 都是非奇异矩阵，则有
=
证明因为 =
两边求逆得
=
所以 =
=
同理可证
=
此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.
5.恒等变形法
恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA =E，把题目中的逆矩阵化简掉。
例1计算（A+4E） （4E-A） （16E-A ）的行列式，其中 A=
逆矩阵与逆变换
逆变换与逆矩阵教学目标1.逆矩阵的概念；2.逆矩阵的性质。
教学重点及难点逆矩阵的概念与简单性质。
教学过程一、逆变换与逆矩阵1.逆变换：设ρ是一个线性变换，如果存在一个线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝I，（I是恒等变换），则称变换ρ可逆，其中σ是ρ的逆变换。
2.逆矩阵：设Ａ是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵Ｂ，使得BA=AB=E2,则称矩阵Ａ可逆，其中Ｂ为Ａ的逆矩阵。
符号、记法：1A-，读作Ａ的逆。
一般地，设A是一个二阶可逆矩阵，对应的线性变换为ρ，由矩阵与线性变换的对应关系可以看出，A的逆矩阵就是ρ的逆变换所对应的矩阵。
【应用】1.试寻找Ｒ30o的逆变换。
【应用】1.A ＝3142⎛⎫⎪⎝⎭，问A 是否可逆？若可逆，求其逆矩阵1A -。
2. A ＝2142⎛⎫ ⎪⎝⎭，问A 是否可逆？若可逆，求其逆矩阵1A -。
由以上两题，总结一般矩阵A ＝a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭可逆的必要条件。
二、逆矩阵的性质1.二阶矩阵可逆的唯一性。
性质1：设A 是一个二阶矩阵，如果A 是可逆的，则A 的逆矩阵是唯一的。
性质2：.设A 、B 是二阶矩阵，如果A 、B 都可逆，则AB 也可逆，且111()AB B A ---=。
【练习：P 50】补充练习：1.下列变换不存在逆变换的是 （ ）A.沿x 轴方向，向y 轴作投影变换。
B.60oR 变换。
C.横坐标不变，纵坐标增加横坐标的两倍的切变变换。
D.以y 轴为反射变换2.下列矩阵不存在逆矩阵的是 （ ）A. 0110⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 0.5001⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 0110-⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 1010⎛⎫ ⎪⎝⎭ 3.设A,B 可逆，下列式子不正确的是 （ ）A.111()AB A B ---=B. 111()AB B A ---=C.11()A A --=D. 2112()()A A --=4.关于x 轴的反射变换对应矩阵的逆矩阵是5.变换ρ将（3，2）变成（1，0），设ρ的逆变换为ρ－1，则ρ－1将（1，0）变成点6.矩阵0111⎛⎫ ⎪⎝⎭的逆矩阵为 7.设ρ：''x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1101-⎛⎫ ⎪⎝⎭x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点（－2，3）在ρ－1的作用下的点的坐标为8.A ＝1101-⎛⎫ ⎪⎝⎭122122⎛- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -= 答案：1.A 2.D 3.A 4. 1001⎛⎫⎪-⎝⎭ 5.（3，2） 6. 1110-⎛⎫ ⎪⎝⎭ 7.（1，3）。
矩阵运算中的转置与逆矩阵
矩阵运算中的转置与逆矩阵矩阵是线性代数中重要的概念之一，它在各个领域中都有广泛的应用。
在矩阵运算中，转置和逆矩阵是两个常见且重要的操作。
本文将详细介绍矩阵的转置和逆矩阵的概念、性质以及计算方法。
一、矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行与列互换得到的新矩阵。
对于一个m×n的矩阵A，其转置记作A^T，即A的第i行第j列元素变为A^T的第j行第i列元素。
矩阵转置的性质如下：1. (A^T)^T = A，即矩阵进行两次转置后得到原矩阵。
2. (A + B)^T = A^T + B^T，即矩阵的和的转置等于各个矩阵转置后的和。
3. (kA)^T = kA^T，其中k为常数。
4. (AB)^T = B^T A^T，即矩阵乘积的转置等于右边矩阵转置后乘以左边矩阵转置。
计算矩阵的转置可以通过交换矩阵的行和列来实现。
例如，对于一个3×2的矩阵A：A = [a11 a12a21 a22a31 a32]其转置A^T为一个2×3的矩阵：A^T = [a11 a21 a31a12 a22 a32]二、矩阵的逆矩阵对于一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I（其中I为单位矩阵），则称B为A的逆矩阵，记作A^(-1)。
逆矩阵的性质如下：1. (A^(-1))^(-1) = A，即逆矩阵的逆矩阵等于原矩阵。
2. (kA)^(-1) = k^(-1)A^(-1)，其中k为常数。
3. (AB)^(-1) = B^(-1)A^(-1)，即矩阵乘积的逆矩阵等于右边矩阵的逆矩阵乘以左边矩阵的逆矩阵。
计算矩阵的逆矩阵需要满足以下条件：1. 矩阵A必须是一个方阵，即行数等于列数。
2. 矩阵A的行列式不为零，即|A|≠0。
计算矩阵的逆矩阵可以使用伴随矩阵和行列式的方法。
假设A为一个n阶方阵，其逆矩阵A^(-1)的计算公式为：A^(-1) = (1/|A|) adj(A)，其中adj(A)为A的伴随矩阵，|A|为A的行列式。
矩阵的逆与行列式
行列式
行列式的定义
行列式是一个由数字组成的数 学对象
行列式可以由矩阵的行或列组 成
行列式可以用来表示矩阵的逆 矩阵
行列式在数学和物理中有广泛 的应用
行列式的性质
代数余子式：行列式等于其所有代数余子式的乘积 行列式展开：行列式等于其主对角线上元素的乘积减去副对角线上元素的乘积 行列式转置：行列式的转置等于原行列式的相反数 行列式交换：行列式的行与列交换后，其值不变
行列式的计算方法
代数余子式法：利用代数余子 式展开行列式，然后求和得到 行列式的值
定义法：根据行列式的定义， 通过逐项展开计算行列式的值
公式法：利用行列式的展开 公式，直接计算行列式的值
递推法：利用递推关系式计 算行列式的值
行列式的应用
线性方程组求解：行列式可用来求解线性方程组 矩阵逆运算：行列式是矩阵逆运算的基础 向量空间：行列式可以用来描述向量空间中的线性变换 特征值与特征向量：行列式在计算特征值和特征阵相乘为单位矩 阵
逆矩阵的行列式等于原矩阵行 列式的倒数
逆矩阵的转置等于原矩阵转置 的逆
逆矩阵的行向量组与原矩阵的 行向量组正交
逆矩阵的求法
高斯-若尔当消元法 伴随矩阵法 逆矩阵的公式法 逆矩阵的迭代法
逆矩阵的应用
线性方程组的求解 矩阵的分解 特征值和特征向量的计算 矩阵的相似变换
矩阵的逆与行列式
汇报人：XX
目录
添加目录标题
矩阵的逆
01
02
行列式
矩阵的逆与行列式的 关系
03
04
添加章节标题
矩阵的逆
逆矩阵的定义
矩阵的逆：存在唯一的逆矩阵，使得乘积为单位矩阵 逆矩阵的性质：与原矩阵互为逆矩阵，满足交换律和结合律 逆矩阵的求法：高斯消元法、LU分解等 逆矩阵的应用：线性方程组求解、矩阵变换等
逆矩阵
A1称为 A 的可逆矩阵或逆阵. 则矩阵
二、逆矩阵的概念和性质
定义
,使得
对于 n 阶矩阵 A ，如果有一个 n 阶矩阵 B
AB BA E ,
1
则说矩阵A是可逆的，并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵.
A的逆矩阵记作 A .
例
1 1 1 2 1 2 , B , 设 A 1 1 1 2 1 2
1 0
2 1
3 0
1 2 3 3 2 1 1 3
0 3 4
3 4 1 0
4 0, 所以A可逆 .
2 2 1 3
A11 A13
3, 5,
A12
4,
同理可求得
A21 3 , A22 0 , A23 1, A31 1, A32 4 , A33 3.
3 2 1 3 1 3 1 3 2 3 5 2 2 0 1 3 1 5 2 1 1
1 1 1 2 3 1 0 2 10 4 . 0 2 5 2 10 4
3,
同理可得
A13 2, A21 6, A22 6, A23 2,
A31 4, A32 5, A33 2,
得
故
6 4 2 A 3 6 5 , 2 2 2
3 2 6 4 1 2 1 1 A 1 A 3 6 5 3 2 3 5 2 . A 2 1 1 1 2 2 2
1 若A可逆, 则A 亦可逆, 且A
1
1 1
A.
(2021年整理)逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)
逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)(推荐完整)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)(推荐完整)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)(推荐完整)的全部内容。
逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典）（推荐完整)编辑整理：张嬗雒老师尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布到文库，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是我们任然希望逆矩阵的几种求法与解析（很全很经典）（推荐完整) 这篇文档能够给您的工作和学习带来便利。
同时我们也真诚的希望收到您的建议和反馈到下面的留言区,这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请下载收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为〈逆矩阵的几种求法与解析（很全很经典)(推荐完整)〉这篇文档的全部内容.逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容，很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷。
逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法。
1。
利用定义求逆矩阵定义： 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E ， 则称A 为可逆矩阵， 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1 求证： 如果方阵A 满足A k= 0， 那么EA 是可逆矩阵， 且（E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K证明 因为E 与A 可以交换， 所以(E — A ）(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K ,因A K = 0 ,于是得(E —A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ，同理可得(E + A + A 2+…+A 1-K ）（E —A ）=E ，因此E-A 是可逆矩阵，且(E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K .同理可以证明（E+ A)也可逆，且（E+ A ）1-= E —A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
情境分析
由引例,我们可以得到：有的矩阵能“找到回家的路”， 称它为原变换的逆变换，而逆变换也对应着一个矩阵, 但并非所有的二阶矩阵A，都存在二阶矩阵B，使得 AB=BA=E2.
那我们该如何对逆矩阵下一个合适的定义呢？
数学建构
一、概念的引入
当数 a 0时， 有 在数的运算中，
aa1 a 1a 1, （或称 a 的逆）； 其中 a 1 1 为 a 的倒数， a E 在矩阵的运算中， 单位矩阵E2 相当于数的乘法运算中 的1， 那么，对于矩阵 A 如果存在一个矩阵A1, ，
情境分析
（1）对于反射变换TA，满足条件的变换即为其自身，即B=A；
（2）对于旋转变换TA，存在旋转变换TB，即B为绕原点顺时针 旋转300 的变换矩阵； （3）对于伸缩变换TA，存在伸缩变换TB，即B为使平面的保持 横坐标不变，纵坐标沿y轴方向压缩为原来的一半的变换矩阵； （4）对于投影变换TA，不存在满足条件的变换矩阵B。 原因：投影变换不是一一映射； （5）对于切变变换TA，存在切变变换TB，即B为使平面的保持 纵坐标不变,横坐标依纵坐标的比例减少,且（x , y）→（x-2y , y）的 变换矩阵；
1
一上交作业：课本P50 1、 2.
优化设计P31
8。
二家庭作业：优化设计 P30 优化设计 1-7
使得
AA1 A1 A E ,
1
则矩阵 A 称为 A 的可逆矩阵或逆阵.
建构数学
对于二阶矩阵 A,B 若有 AB=BA= E 2 则称 A 是可逆的, B 称为A 的逆矩阵. 通常记 A的逆矩阵为 A-1 思考： A的逆矩阵有多少个？ 性质1（逆矩阵的唯一性）： 设A 是二阶矩阵，如果A是可逆 的，则A的逆矩阵是唯一的.
总结逆矩阵的求法？
练一练
1 5 3 2 解 矩 阵 方 程 1 1 4 X 1 4
解
1
1 5 3 2 X 1 4 1 4
1
1 5 给方程两端左乘矩阵 , 1 4 E 1 5 1 5 1 5 3 2 得 X 1 4 1 4 1 4 1 4 1 5 3 2 4 5 3 2 17 28 X . 1 4 1 4 1 1 1 4 4 6
2、逆矩阵性质 若 (1)、 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的. 证明：若设 B 和 C是 A的可逆矩阵，则有
AB BA E , AC CA E ,
可得 B EB CAB C AB CE C . 所以 A 的逆矩阵是唯一的,即
B C A 1 .
学习难点：熟练运用公式求逆矩阵;
探究：
I ?
对于一个线性变换 ，是否存在一个线性变换 ，使得
对于一个二阶矩阵A,是否存在一个二阶矩阵B，使得 AB=BA= E 2
这节课，我们来研究这些问题。
创造情境
由前面学习我们知道:二阶矩阵对应着平面上的一个几 何变换，它把点（x ，y）变换到点（x′，y′）.反过来: 若知道变换后的结果（x′，y′）,能否“找到回家的路”, 再让它变回到原来的（x ，y）呢？ 如图示：
例题分析2
解 则 设
1 A , 求A的逆阵. 例 设 1 0 目前只能利用定义，用待定系数法解决！ a b B 是 A 的逆矩阵, c d
2 1 a b 1 0 AB 1 0 c d 0 1 2a c 2b d 1 0 b 0 1 a
学习目标:
1.通过图形变换,理解逆矩阵的意义并掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件, 通过具体的投影变换,说明它所对应矩阵的逆矩阵不存在; 2.会证明逆矩阵的唯一性和(AB)-1=B-1A-1等简单性质; 3.会从几何变换的角度求出AB的逆矩阵; 4.会用逆矩阵的知识解释二阶矩阵的乘法何时满足消去律;
学习重点：会判别逆矩阵是否存在,如何求逆矩阵;
1 1 1
总 结：
矩阵方程
AX B XA B
AXB C
解
X A1 B X BA1 X A1 C B1
思考题
若A可逆, 那么矩阵方程AX B是否有唯一解 X A1 B ? 矩阵方程 YA B 是否有唯一解 Y BA ?
1
思考题解答
答 是的. 这是由于 的唯一性决定的 A .
2、逆矩阵性质
1
(2)、 A可逆, 则A 亦可逆 且 A 若 ,
1 1
A.
(3)、 A, B为 同 阶 方 阵 且 均 可 逆 AB亦 可 逆 且 若 ,则 ,
AB
证明
1
B A
1
1
ABB1 A1 ABB1 A1 AEA 1 AA1 E , 1 AB B 1 A1 . 1 1 1 推广 A1 A2 Am Am A2 1 A1 .
2a c 1, 2b d 0 , a 0, b 1,
又因为
a 0, b 1, c 1, d 2.
AB BA 2 1 0 1 0 1 2 1 1 0 , 1 0 1 2 1 2 1 0 0 1 0 1 1 所以 A . 1 2
（x ，y）
（x′，y′）
走过出的变换矩阵A，是否存在变换矩阵 B，使得连续进行两次变换（先TA后TB）的结果与恒 等变换的结果相同：
（1）以x轴为反射轴的反射变换； （2）绕原点逆时针旋转300的旋转变换； （3）横坐标不变，沿y轴方向将纵坐标伸长为原来的 2倍的伸缩变换； （4）沿y轴方向，向x轴的投影变换； （5）纵坐标y不变，横坐标依纵坐标的比例增加，且 （x , y）→（x+2y , y）的切变变换；