《自动控制原理》第2章
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自动控制原理第2章
自动控制理论
电气信息学院
任课教师: 高秀梅
1
第二章 控制系统的数学模型
§2-1 微分方程 §2-2 传递函数 §2-3 动态结构图 §2-4 信号流图 §2-5 梅逊（Mason）公式 §2-6 自动控制系统的传递函数
2
一、什么是数学模型？ 二、为什么要建立数学模型？ 三、建立数学模型的方法？ 四、数学模型的形式有哪些？
2) . 比例定理： f (t ) Kf1 (t ), L[ f1 (t )] F1 (s) 若 则 st
0
L[ f (t )] Kf1 (t )e dt KF1 ( s)
1）和2）为拉氏变换的线性特性。 3). 微分定理： 若 L df (t ) df (t ) e at dt sF (s) f (0 ) dt dt 0 则
1、系统输入量： F(t) 输出量： y(t) 2、列写方程组：
F(t)
k m f y(t)
11
§2-1 微分方程
3、消去中间变量并写成标准形式：
m d y (t ) f dy ( t ) 1 y (t ) F (t ) 2 k k dt k dt
令T
2 2
2
m f 1 , , K k k 2 mk
有
T
d y (t ) dt 2
dy ( t ) 2 T y ( t ) KF ( t ) dt
12
§2-1 微分方程
例3 求下图的微分方程
i1
i1
i
i2
13
§2-1 微分方程 二、线性微分方程式的求解
工程实践中常采用拉氏变换法求解线 性常微分方程。 拉氏变换法求解微分方程的基本思路：
电气信息学院
任课教师: 高秀梅
1
第二章 控制系统的数学模型
§2-1 微分方程 §2-2 传递函数 §2-3 动态结构图 §2-4 信号流图 §2-5 梅逊（Mason）公式 §2-6 自动控制系统的传递函数
2
一、什么是数学模型？ 二、为什么要建立数学模型？ 三、建立数学模型的方法？ 四、数学模型的形式有哪些？
2) . 比例定理： f (t ) Kf1 (t ), L[ f1 (t )] F1 (s) 若 则 st
0
L[ f (t )] Kf1 (t )e dt KF1 ( s)
1）和2）为拉氏变换的线性特性。 3). 微分定理： 若 L df (t ) df (t ) e at dt sF (s) f (0 ) dt dt 0 则
1、系统输入量： F(t) 输出量： y(t) 2、列写方程组：
F(t)
k m f y(t)
11
§2-1 微分方程
3、消去中间变量并写成标准形式：
m d y (t ) f dy ( t ) 1 y (t ) F (t ) 2 k k dt k dt
令T
2 2
2
m f 1 , , K k k 2 mk
有
T
d y (t ) dt 2
dy ( t ) 2 T y ( t ) KF ( t ) dt
12
§2-1 微分方程
例3 求下图的微分方程
i1
i1
i
i2
13
§2-1 微分方程 二、线性微分方程式的求解
工程实践中常采用拉氏变换法求解线 性常微分方程。 拉氏变换法求解微分方程的基本思路：
自动控制原理第2章
' ' & & Tmω + ω = K g ug + K g ug K c' M c'
显然，转速ω 既与输入量 ug有关，也与干扰 M有关。 有关， 有关。 显然， c
′ (iT + K1K2 K3 Km Ktτ ) Tm = m
′ KKKK τ Kg = 1 2 3 m
(i + K1K2 K3 Km Kt )
华中科技大学文华学院机电学部 自动控制理论
控制系统的复数域数学模型
线性定常系统的微分方程式一般表达式为： 线性定常系统的微分方程式一般表达式为：
d nc(t ) d n1c(t ) dc(t ) a0 + a1 +…+ an1 + anc(t ) n n1 dt dt dt d mr(t ) d m1r(t ) dr(t ) = b0 + b1 +…+ bm1 + bmr(t ) m m1 dt dt dt 在零初始条件时，对上式进行拉氏变换， 在零初始条件时，对上式进行拉氏变换，得：
(i + K1K2 K3 Km Kt )
Kg =
K1K2 K3 Km
(i + K1K2 K3 Km Kt )
′ K KC = C
(i + K1K2 K3 Km Kt )
华中科技大学文华学院机电学部 自动控制理论
2.2 控制系统的复数域数学模型
1.传递函数的定义和性质 1.传递函数的定义和性质 传递函数：是在零初始条件下， 传递函数：是在零初始条件下，系统输出量的拉氏变 换与输入量的拉氏变换之比。 换与输入量的拉氏变换之比。 一是指输入量是在t≥0时才作用于系统，则在 是指输入量是在t≥0时才作用于系统， t≥0时才作用于系统 t=0时 系统输入量x 以及其各阶导数均为零； t=0时，系统输入量xr以及其各阶导数均为零； 是指输入量加于系统之前， 二是指输入量加于系统之前，系统处于稳定的 工作状态，即输出量x 及其各阶导数在t=0 t=0时的 工作状态，即输出量xc及其各阶导数在t=0时的 值也为零。 值也为零。
显然，转速ω 既与输入量 ug有关，也与干扰 M有关。 有关， 有关。 显然， c
′ (iT + K1K2 K3 Km Ktτ ) Tm = m
′ KKKK τ Kg = 1 2 3 m
(i + K1K2 K3 Km Kt )
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控制系统的复数域数学模型
线性定常系统的微分方程式一般表达式为： 线性定常系统的微分方程式一般表达式为：
d nc(t ) d n1c(t ) dc(t ) a0 + a1 +…+ an1 + anc(t ) n n1 dt dt dt d mr(t ) d m1r(t ) dr(t ) = b0 + b1 +…+ bm1 + bmr(t ) m m1 dt dt dt 在零初始条件时，对上式进行拉氏变换， 在零初始条件时，对上式进行拉氏变换，得：
(i + K1K2 K3 Km Kt )
Kg =
K1K2 K3 Km
(i + K1K2 K3 Km Kt )
′ K KC = C
(i + K1K2 K3 Km Kt )
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2.2 控制系统的复数域数学模型
1.传递函数的定义和性质 1.传递函数的定义和性质 传递函数：是在零初始条件下， 传递函数：是在零初始条件下，系统输出量的拉氏变 换与输入量的拉氏变换之比。 换与输入量的拉氏变换之比。 一是指输入量是在t≥0时才作用于系统，则在 是指输入量是在t≥0时才作用于系统， t≥0时才作用于系统 t=0时 系统输入量x 以及其各阶导数均为零； t=0时，系统输入量xr以及其各阶导数均为零； 是指输入量加于系统之前， 二是指输入量加于系统之前，系统处于稳定的 工作状态，即输出量x 及其各阶导数在t=0 t=0时的 工作状态，即输出量xc及其各阶导数在t=0时的 值也为零。 值也为零。
自动控制原理第二章
at
1 te (s a)2 sin t 2 s 2 s cos t 2 s 2
at
拉普拉斯积分下限说明：
在拉氏变换定义中，积分下限0，有左极限和右极限之分，对于在t 0 处连续或只有第一类间断点的函数， 0的左极限与右极限是相同的，对于 t 0处有无穷跳跃的函数，两种极限则是不同的。 在实际中，右极限没有体现出[0 , 0 ]区间内的跳跃性，而左极限包含这 一区间，所以0 型的拉式变换反应了客观事实，因此在拉氏变换过程中， 如不特殊声明，均认为是左极限变换。
2.常用函数拉普拉斯变换
(1) (2) (3) (4) (5)
(t ) 1 1 1(t ) s 1 t 2 s t n 1 1 n (n 1) ! s 1 at e sa
(6) (7) (8)
(9) e sin t ( s a)2 2 sa at (10) e cos t ( s a)2 2
1 周期： T f
K
Tห้องสมุดไป่ตู้
角频率： 2π f 频率： f 初相：
0
2
t
● 正弦信号为单频率信号，适于测试系统频率特性。
1-5 自动控制系统的分析与设计工具
Matlab 草稿纸式编程语言 良好的人机界面 结论可做一定等级的理论论据 Simulink工具箱
求微分方程的特解 .
控制系统建模的MATLAB方法
在控制系统系统分析和设计中，首要任务是建立系统的数学模型。 控制系统数学模型：描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式；
（1）静态数学模型：在静态条件（即变量各阶导数为零）下，描述变量之间关系
1 te (s a)2 sin t 2 s 2 s cos t 2 s 2
at
拉普拉斯积分下限说明：
在拉氏变换定义中，积分下限0，有左极限和右极限之分，对于在t 0 处连续或只有第一类间断点的函数， 0的左极限与右极限是相同的，对于 t 0处有无穷跳跃的函数，两种极限则是不同的。 在实际中，右极限没有体现出[0 , 0 ]区间内的跳跃性，而左极限包含这 一区间，所以0 型的拉式变换反应了客观事实，因此在拉氏变换过程中， 如不特殊声明，均认为是左极限变换。
2.常用函数拉普拉斯变换
(1) (2) (3) (4) (5)
(t ) 1 1 1(t ) s 1 t 2 s t n 1 1 n (n 1) ! s 1 at e sa
(6) (7) (8)
(9) e sin t ( s a)2 2 sa at (10) e cos t ( s a)2 2
1 周期： T f
K
Tห้องสมุดไป่ตู้
角频率： 2π f 频率： f 初相：
0
2
t
● 正弦信号为单频率信号，适于测试系统频率特性。
1-5 自动控制系统的分析与设计工具
Matlab 草稿纸式编程语言 良好的人机界面 结论可做一定等级的理论论据 Simulink工具箱
求微分方程的特解 .
控制系统建模的MATLAB方法
在控制系统系统分析和设计中，首要任务是建立系统的数学模型。 控制系统数学模型：描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式；
（1）静态数学模型：在静态条件（即变量各阶导数为零）下，描述变量之间关系
02 自动控制原理—第二章
Tm J
Tm
d dt
K u u a K m (Ta
dM c dt
Mc)
电感La较小，故电磁时间常数Ta可以忽略 ，则
Tm
d dt
K uua K m M c
如果取电动机的转角 （rad）作为输出，电枢电压ua （V），考 虑到 d ，可将上式改写成
2.举例 ①一个自变量：励磁电流成正 比，但if增加到某个范围后，磁路饱和，发电机的电势与励磁电流呈 现一种连续变化的非线性函数关系。 设：x—励磁电流， y—发电机的输出电势。 y=f(x)
设原运行于某平衡点（静态工作点） A点：x=x0 , y=y0 ,且y0=f(x0) B点：当x变化△ x， y=y0+△ y 函数在（x0 , y0 ）点连续可微，在A 点展开成泰勒级数，即
y k x
df ( x ) k dx x x0
②两个自变量： y=f(x1， x2) 静态工作点： y0=f(x10， x20) 在y0=f(x10， x20) 附近展开成泰勒级数，即
f 1 2 f f 2 f 2 f y f ( x10 , x 20 ) ( x1 x10 ) ( x 2 x 20 ) ( x1 x10 ) 2 ( x1 x10 )( x 2 x 20 ) ( x 2 x 20 ) 2 2 2 x 2! x x 2 x1x 2 x 2 1 1
例2-2
解 设回路电流i1和i2为中间变量。根据基尔霍夫电压定律对前一回 路，有
u i R1i1
对后一回路，有
1 C1
(i
1
i 2 ) dt
1 C2
Tm
d dt
K u u a K m (Ta
dM c dt
Mc)
电感La较小，故电磁时间常数Ta可以忽略 ，则
Tm
d dt
K uua K m M c
如果取电动机的转角 （rad）作为输出，电枢电压ua （V），考 虑到 d ，可将上式改写成
2.举例 ①一个自变量：励磁电流成正 比，但if增加到某个范围后，磁路饱和，发电机的电势与励磁电流呈 现一种连续变化的非线性函数关系。 设：x—励磁电流， y—发电机的输出电势。 y=f(x)
设原运行于某平衡点（静态工作点） A点：x=x0 , y=y0 ,且y0=f(x0) B点：当x变化△ x， y=y0+△ y 函数在（x0 , y0 ）点连续可微，在A 点展开成泰勒级数，即
y k x
df ( x ) k dx x x0
②两个自变量： y=f(x1， x2) 静态工作点： y0=f(x10， x20) 在y0=f(x10， x20) 附近展开成泰勒级数，即
f 1 2 f f 2 f 2 f y f ( x10 , x 20 ) ( x1 x10 ) ( x 2 x 20 ) ( x1 x10 ) 2 ( x1 x10 )( x 2 x 20 ) ( x 2 x 20 ) 2 2 2 x 2! x x 2 x1x 2 x 2 1 1
例2-2
解 设回路电流i1和i2为中间变量。根据基尔霍夫电压定律对前一回 路，有
u i R1i1
对后一回路，有
1 C1
(i
1
i 2 ) dt
1 C2
自动控制原理_第二章
Gk ( s) G ( s) H ( s)
B( s) G1 ( s)G2 ( s) H ( s) E ( s)
注意：这里的开环传递函数是针对闭环系统而言的，而不是指开环系 统的传递函数。
解：首先对小车进行受力分析，在水平方向应 用牛顿第二定律可写出：
dy(t ) d 2 y (t ) F (t ) f Ky (t ) m dt dt 2
令
2
T
m f , 可得 K 2 mK
图2 弹簧-质量-阻尼器系统图
d 2 y( t ) dy(t ) F (t ) T 2 T y ( t ) dt 2 dt K
用解析法列写系统或元部件微分方程的一般步骤是：
（1）根据系统的具体工作情况，确定系统或元部件的输
入、输出变量；
（2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量 所遵循的物理（或化学）定律，列写出各元部件的动态方程， 一般为微分方程组； （3）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程； （4）将微分方程标准化。即将与输入有关的各项放在等 号右侧，与输出有关的各项放在等号左侧，并按降幂排列。
以工作点处的切线代替曲线，得到变量在工作点的增量方程， 经上述处理后，输出与输入之间就成为线性关系。
二、复频域模型 – 传递函数
（1）利用时域卷积获得：
如果已知系统单位脉冲响应为g(t),则任意输入r(t)的响应输出c(t):
c( t )
r ( ) g(t )d
c(t ) r ( ) g(t )d
0 t
考虑到物理可实现性，上式改为： 对上式做拉氏变换得：
C ( s) R( s)G( s) G( s)
C ( s) R( s )
自动控制原理第2章
自动控制原理
11
2.2.2 非线性微分方程的线性化
铁芯线圈电路工作原理
u K1 铁芯线圈磁通变化时产生的感应电势：
d (i ) dt
dφ(i)/ di是线圈中电流i的非线性函数 根据基尔霍夫定律写出电路微分方程 u r 将φ(i)在i0附近用泰勒级数展开
K1
d (i ) d (i ) di Ri K1 Ri dt di dt
dt dt
ua Kae,
ut Ktw,
Ke
J
dt
J
e ur ut
（2）消去中间变量，得： K K K T T dM L Tm d 2w dw TaTm 2 Tm (1 K )w a ur a m M L，K a t dt dt Ke J dt J Ke
自动控制原理
0 0 0
自动控制原理
18
2.4
控制系统的结构图
2.4.1 结构图的概念
dr bm1 bm r dt
令C(s)=L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，在初始条件为零时，进行拉氏变换， 可得到s的代数方程
n n 1 s a s 1 m m 1 an 1s an C s b s b s 1 0
bm 1s bm R s
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
电气工程 普通高等教育 自 动 化 系列规划教材
自动控制原理（第2版）
孟华 主编
第2章 控制系统的数学模型
机械工业出版社
第2章 控制系统数学模型的建立
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 概述 控制系统微分方程的建立 传递函数 控制系统的结构图 控制系统的信号流图 控制系统的传递函数
11
2.2.2 非线性微分方程的线性化
铁芯线圈电路工作原理
u K1 铁芯线圈磁通变化时产生的感应电势：
d (i ) dt
dφ(i)/ di是线圈中电流i的非线性函数 根据基尔霍夫定律写出电路微分方程 u r 将φ(i)在i0附近用泰勒级数展开
K1
d (i ) d (i ) di Ri K1 Ri dt di dt
dt dt
ua Kae,
ut Ktw,
Ke
J
dt
J
e ur ut
（2）消去中间变量，得： K K K T T dM L Tm d 2w dw TaTm 2 Tm (1 K )w a ur a m M L，K a t dt dt Ke J dt J Ke
自动控制原理
0 0 0
自动控制原理
18
2.4
控制系统的结构图
2.4.1 结构图的概念
dr bm1 bm r dt
令C(s)=L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，在初始条件为零时，进行拉氏变换， 可得到s的代数方程
n n 1 s a s 1 m m 1 an 1s an C s b s b s 1 0
bm 1s bm R s
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
电气工程 普通高等教育 自 动 化 系列规划教材
自动控制原理（第2版）
孟华 主编
第2章 控制系统的数学模型
机械工业出版社
第2章 控制系统数学模型的建立
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 概述 控制系统微分方程的建立 传递函数 控制系统的结构图 控制系统的信号流图 控制系统的传递函数
自动控制原理第2章
拉普拉斯变换
因果
t f1 (t) f (t)e
s jw
象函数
( jw )t w F1 ( ) f (t )e dt
0
正LT
F(s) f (t)e dt
st
0
原函数 逆LT
1 jw st f (t ) F ( s )e ds w 2j j
d 2 y (t ) F (t ) mg Fk (t ) Ff (t ) m dt 2 由虎克定律：
Fk (t ) k[ y(t ) y0 ]
其中ky0 mg
摩擦力和速度成正比：
非重根系数的计算
cr +1 ,...,cn按式2-12或2-13计算获得；
重根系数的计算 cr ,cr -1 ,...,c1按下式计算：
cr lim( s - s1 ) r F ( s) d cr -1 lim [( s - s1 ) r F ( s )] s s1 ds ... cr - j ... 1 d (r-1) r c1 = [( s s ) 1 F ( s )] lim j (r -1)! s s1 ds1 1 d (j) lim j [( s - s1 ) r F ( s )] j! s s1 ds1
无量纲化
可用数学模型
标准化
标准数学模型
数学模型的分类
按输入输出的表达形式
微分方程（时间域）
传递函数（复数域）
动态结构图（各元件传函的连接关系） 响应曲线（step、pulse） 频率特性（bode图、nyquist图、nichols图）
状态变量形式
• 静态数学模型 • 动态数学模型
自动控制原理第2章
传递函数是在拉氏变换基础上的复域中的数学模型。
※传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且可以
用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。
微分方程 t （时域）
L
L
1
F
F 1
系统
传递函数
s j
j
频率特性
s
（复域）
s
（频域）
2.3.1拉氏变换相关知识
2.3.2传递函数的定义
线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换
②两个自变量： y=f(x1， x2) 静态工作点： y0=f(x10， x20) 在y0=f(x10， x20) 附近展开成泰勒级数，即
f 1 2 f f 2 f 2 f 2 ( x1 x10 ) 2 y f ( x10 , x20 ) ( x1 x10 ) ( x2 x20 ) ( x1 x10 )(x2 x20 ) 2 ( x2 x20 ) 2 x 2! x x2 x1x2 x2 1 1
例2.5试建立如图2.4所示系 统的微分方程。
R1
解：根据克希霍夫电压定律， 可写出下列方程组
u1
R2
ur
i1
C1 图2.4
i2
C2
uc
1 ur R1i1 C (i1 i2 )dt 1 1 1 (i1 i2 )dt R2i2 i2 dt C2 C1 1 uc i2 dt C2
用台劳级数展开为
df ( x) 1 d 2 f ( x) y f ( x) f ( x0 ) ( ) x 0 ( x x0 ) ( ) x 0 ( x x0 ) 2 ... dx 2! dx 2
※传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且可以
用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。
微分方程 t （时域）
L
L
1
F
F 1
系统
传递函数
s j
j
频率特性
s
（复域）
s
（频域）
2.3.1拉氏变换相关知识
2.3.2传递函数的定义
线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换
②两个自变量： y=f(x1， x2) 静态工作点： y0=f(x10， x20) 在y0=f(x10， x20) 附近展开成泰勒级数，即
f 1 2 f f 2 f 2 f 2 ( x1 x10 ) 2 y f ( x10 , x20 ) ( x1 x10 ) ( x2 x20 ) ( x1 x10 )(x2 x20 ) 2 ( x2 x20 ) 2 x 2! x x2 x1x2 x2 1 1
例2.5试建立如图2.4所示系 统的微分方程。
R1
解：根据克希霍夫电压定律， 可写出下列方程组
u1
R2
ur
i1
C1 图2.4
i2
C2
uc
1 ur R1i1 C (i1 i2 )dt 1 1 1 (i1 i2 )dt R2i2 i2 dt C2 C1 1 uc i2 dt C2
用台劳级数展开为
df ( x) 1 d 2 f ( x) y f ( x) f ( x0 ) ( ) x 0 ( x x0 ) ( ) x 0 ( x x0 ) 2 ... dx 2! dx 2
自动控制原理-胡寿松-第二章
G(s)
C(s) R(s)b0 s m a Nhomakorabea s n
b1sm1 a1sn1
bm1s bm an1s an
bm
(1s
1)(
2 2
s
2
222s 1)
式中， i
an (T1s 1)(T22s2 22T2s
、T j 称为时间常数；
1)
(is 1)
(2) t≥0 时 f(t)是分段连续的
(3) ∫ ∞ f(t)e -st dt <∞
0
f(t)的拉氏变换为：
F(s)=∫
∞ 0
f(t)e-stdt
记作 F(s)=L[f(t)]
拉氏反变换为：
f(t)=L-1 [F(s)]
第一节控制系统的时域数学模型
2．常用函数的拉氏变换
(3()1(6))单单指位位数斜阶函坡数跃函函数e-数att I(t)
(Tjs 1)
m
K bm
K*
(zi )
i
为传递系数或增益。
an
n
( p j )
j 1
第二节控制系统的复数域数学模型
三、 典型环节的传递函数
不同的物理系统，其结构差别很大。但若 从系统的数学模型来看，一般可将自动控制系 统的数学模型看作由若干个典型环节所组成。 研究和掌握这些典型环节的特性将有助于对系 统性能的了解。
第二节控制系统的复数域数学模型
1．比例环节
放大倍数
微分拉氏方反程变: 换得c(:t)=Kr(t) c(取t)=拉K氏变换:
单位阶跃响应曲线
得传递函数: Gcr(((tts)))
K
自动控制原理第二章
解.
求
t2
L
2
?
L t2 2 L
t2 t dt
2 11
t dt s s2
1 t2
s2
1 s3
t0
2-1 控制系统的时域数学模型
（4）实位移定理 L f (t 0 ) eτ0s F(s)
证明：左
0
f (t
0 ) etsdt
令 t 0
f ( ) es( 0 )d e0s f ( ) e sd 右
1 2j
1
s
j
e (s j)t
0
1
s j
e (s j)t
0
1 1
1 1 2 j
2j
s
j
s
j
2j
s2
2
s2
2
2-1 控制系统的时域数学模型
■拉氏变换的几个重要定理
（1）线性性质 La f1(t) b f2(t) a F1(s) b F2(s)
（2）微分定理 L f t s F s f 0
uc
(t)
ur
(t)
d 2 y(t) m
f
dy(t)
ky(t)
F (t)
dt 2
dt
2-1 控制系统的时域数学模型
2.非线性微分方程线性化
实际的物理系统往往有间隙、死区、饱和等非线性 特性，严格地讲，任何一个元件或系统都不同程度地具 有非线性特性。
在研究系统时尽量将非线性在合理、可能的条件下 简化为线性问题，即将非线性模型线性化。
则系统的微分方程为
J
d 2
dt 2
f
d
dt
Mi
2-1 控制系统的时域数学模型
求
t2
L
2
?
L t2 2 L
t2 t dt
2 11
t dt s s2
1 t2
s2
1 s3
t0
2-1 控制系统的时域数学模型
（4）实位移定理 L f (t 0 ) eτ0s F(s)
证明：左
0
f (t
0 ) etsdt
令 t 0
f ( ) es( 0 )d e0s f ( ) e sd 右
1 2j
1
s
j
e (s j)t
0
1
s j
e (s j)t
0
1 1
1 1 2 j
2j
s
j
s
j
2j
s2
2
s2
2
2-1 控制系统的时域数学模型
■拉氏变换的几个重要定理
（1）线性性质 La f1(t) b f2(t) a F1(s) b F2(s)
（2）微分定理 L f t s F s f 0
uc
(t)
ur
(t)
d 2 y(t) m
f
dy(t)
ky(t)
F (t)
dt 2
dt
2-1 控制系统的时域数学模型
2.非线性微分方程线性化
实际的物理系统往往有间隙、死区、饱和等非线性 特性，严格地讲，任何一个元件或系统都不同程度地具 有非线性特性。
在研究系统时尽量将非线性在合理、可能的条件下 简化为线性问题，即将非线性模型线性化。
则系统的微分方程为
J
d 2
dt 2
f
d
dt
Mi
2-1 控制系统的时域数学模型
自动控制原理(第二版)(赵四化)章 (2)
第2章 控制系统的数学模型 图2-3 直流电动机系统
第2章 控制系统的数学模型
(2) 建立输入、 输出量的动态联系。
在他励直流电动机系统中有机械运动及电磁 运动， 二者之间还存在耦合。 根据几种关系建立的输 入、 输出量的动态联系为
机械运动：
J d f M
dt
（2-7）
电磁运动:
u
Ea
La
dIa dt
图中， A点为工作点， y0=f(x0)。 x、 y在 工作点附近做小范围增量变化， 即当x=x0+Δx 时， 有 y=y0+Δy。 则函数y=f(x)在工作点附近可以展开成泰勒 级数：
y
f
(x0 )
f
(x0)x
1 2!
f
(x0 )x2
（2-13）
第2章 控制系统的数学模型
当Δx很小时， 可以忽略上式的高次项 ， 则式(2-13)可以改写为
Ra Ia
（2-8）
第2章 控制系统的数学模型
机电之间的耦合关系：
Ea=CeΩ
（2-９）
M=CmIa
（2-10）
其中， Ce为电动机电势常数； Cm为电动机力矩常数。
第2章 控制系统的数学模型
(3) 消去中间变量， 得到系统的数学模型。 消去中间变量Ea、 Ia和M, 得
La CeCm
d 2
dt2
第2章 控制系统的数学模型
G(s) Uo(s) 1 Ui (s) Ts 1
（2-23）
这一关系可以用图2-6所示的方框图表示， 输入信号经过G(s)动态传递到输出， 故称G(s)为RC电路 的传递函数。
第2章 控制系统的数学模型 图2-6 RC电路方框图
自动控制原理(王万良)第二章
18
考察单位脉冲输入信号下系统的输出
单位脉冲输入信号的拉氏变换为1
U (s) = L{δ (t)} = 1
U(s) 系统G(s) Y(s)
单位脉冲输入信号下系统的输出的拉氏变换为
Y(s) = G(s)
1 系统G(s) Y(s)
单位脉冲输入信号下系统的输出为
g(t) = L−1{Y(s)} = L−1{G(s)} δ(t)
2
2.1 系统数学模型的概念
自控理论方法是先将系统抽象完数学模型，然后用数学的方法处理。 控制系统的数学模型是描述系统内部各物理量（或变量） 之间关系的数学表达式或图形表达式或数字表达式。
F(t)
m
f
X(t)
d 2 X (t) m
+
f
dX (t)
+ kX (t)
=
F (t)
dt 2
dt
＋ ur(t) －
相应的传递函数为： G (s) = C (s) = 3s 2 + 5s + 1 R(s) s3 + s2 + 4s
练习2
已知某系统传递函数为：
G(s) = C(s) = 3s2 + 2s +1 R(s) s3 + 4s +1
相应的微分方程为： c (t) + 4c(t) + c(t) = 3r(t) + 2r(t) + r(t)
惯性环节: 从输入开始时刻就已有输出，仅由于惯性，输出要经过一段
时间之后才接近所要求的输出值；
延迟环节: 从输入开始后在0－τ时间内没有输出，在t =τ之后，才有输出。
r(t) c(t)
0τ
24
精品课件-自动控制原理-第2章
1 sn
F(s)
n
(2.15)
第二章 线性系统的数学描述
4) 初值定理 函数f(t)在t=0时的函数值可以通过f(t)的拉氏变换F(s)乘 以s取s→∞时的极限而得到, 即
lim f (t) f (0) lim sF(s)
t 0
s
(2.16)
第二章 线性系统的数学描述
5) 终值定理 函数f(t)在t→+∞时的函数值(即稳定值)可以通过F(s)的 拉氏变换F(s)乘以s取s→0 时的极限而得到, 即
c(0) c(0) c(0) c(n1) (0) 0 r(0) r(0) r(0) r(m1) (0) 0
则根据拉氏变换的定义和性质,对式(2.18)进行拉氏变换, 并令 C(s)=L［c(t)］, R(s)=L［r(t)］,可得
[a0sn a1sn1 an1s an ]C(s) [b0sm b1sm1 bm1s bm ]R(s)
第二章 线性系统的数学描述
2.1.1 电气系统
电气系统中最常见的装置是由电阻、电容、运算放大器等元 件组成的电路, 又称电气网络。我们将电阻、电感和电容等本身 不含有电源的器件称为无源器件,而将运算放大器这样本身包含 电源的器件称为有源器件。仅由无源器件构成的电气网络称为无 源网络；如果电气网络中含有有源器件或电源, 就称之为有源网 络。
第二章 线性系统的数学描述
2.1.2 机械系统
【例 2-3】 图2-3表示一个含有弹簧、运动部件、阻尼器 的机械位移装置。其中k是弹簧系数，m是运动部件质量，μ是阻 尼器的阻尼系数；外力f(t)是系统的输入量，位移y(t)是系统的 输出量。试确定系统的微分方程。
解 根据牛顿运动定律, 运动部件在外力作用下克服弹簧拉
自动控制原理第二章
1 ui (t ) 1(t ), U i ( s) s Ui 0.1s 0.2 1 1 u0 (t ) L [U 0 ( s )] L [ 2 2 ] s s 1 s s 1 1 0.1s 0.2 1 L [ 2 ] 2 s ( s s 1) s s 1
m=10, f=1, k=1
m=10, f=1, k=5
输入： Fi 1(t )
m=10, f=1, k=1
m=10, f=1, k=5
相似系统
RLC无源网络和弹簧-质量-阻尼器机械系 统的数学模型均是二阶微分方程，为相似 系统。 相似系统便于用一个简单系统去研究与其 相似的复杂系统，也便于控制系统的计算 机数字仿真。
化的过程。
4、线性系统的基本特性 叠加性：系统在几个输入信号同时作用 下的总响应，等于这几个输入信号单独 作用的响应之和。
如果元件输入为： r1(t)、r2(t)、r(t) ，
对应的输出为： c1(t)、c2(t)、c(t) 。
如果 r(t)=r1(t)+r2(t) 时， c(t)=c1(t)+c2(t) 满足叠加性。
满足齐次性。
满足叠加性和齐次性的元件才是线性元件
例如 y=kx 是线性元件
输入 x1 输出 y1=kx1 x2 输入x1 ＋x2 C为常数， Cx1 y2=kx2 y1 ＋ y2 满足迭加性 Cy1 满足齐次性
所表示的元件 为线性元件
线性方程不一定满足迭加性和齐次性
y=kx+b(b为常数 0)线性方程，所表示的元件不是 线性元件 . 输入 x1y1 输出 y1＝ kx1+b x2 y2 y2 =kx2+b 输入 x1 ＋ x2 输出 y=k(x1 ＋ x2)+b =k x1 +kx2+b y1 +y2 不满足迭加性 k为常数 :kx1输出y=k(kx1)+b=k2x1+b ky1=k(kx1+b)= k2x1+kb yky1 不满足齐次方程。 所表示的元件不是线性元件。
《自动控制原理》第2章 拉氏变换与拉氏反变换
=
(s
+
s+a a)2 +
2
（四）有理分式的拉氏反变换
Ch2 控制系统的数学模型
F (s)
=
B(s) A(s)
=
b0 s m a0 s n
+ b1sm−1 + a1sn−1
++ bm ++ an
(m n)
定义: F(s) 的零点：B(s)=0的解 zj F(s)的极点：A(s)=0的解 pi F(s)的特征多项式：A(s)
c1
=
F (s)s
s=0
=
s+2 (s + 3)(s +1)2
s=0
=
2 31
=
2 3
c2
=
F (s)(s
+ 3)
s = −3
=
s+2 s(s +1)2
s = −3
=
−1 − 3 4
=
1 12
Ch2 控制系统的数学模型
c3
=
F (s)(s
+ 1) 2
s = −1
=
s+2 s(s + 3)
s = −1
Ch2 控制系统的数学模型
Ch2 控制系统的数学模型
Ch2 控制系统的数学模型
Ch2 控制系统的数学模型
Ch2 控制系统的数学模型
Ch2 控制系统的数学模型
Ch2 控制系统的数学模型
Ch2 控制系统的数学模型
Ch2 控制系统的数学模型
Ch2 控制系统的数学模型
或 相似定理
Ch2 控制系统的数学模型
设 p1 = + j, p1 = − j,
自动控制原理第二章
解 根据系统的物理特性，可写出以下微 分方程
ui (t ) − uc (t ) = uo (t ) duc (t ) uc (t ) + i (t ) = C dt R1 uc (t ) = R2i (t )
进而可得
U i ( s) − U c ( s) = U o (s) R1Cs + 1 U c ( s) I (s) = R1 U o ( s ) = R2 I ( s )
2.2传递函数 传递函数
引言： 引言：传递函数是在拉氏变换基础上引 申出来的复数域数学模型。传递函数不 仅可以表征系统的动态特性，而且可以 用来研究系统的结构或参数变化对系统 性能的影响。经典控制理论中广泛应用 的根轨迹法和频域法，就是以传递函数 为基础建立起来的。因此，传递函数是 经典控制理论中最基本也是最重要的数 学模型。
传递函数的零点和极点 零点：传递函数中分子多项式为零的值称为传 递函数的零点，通常用Zi 表示，在复平面坐标 中用“0”表示。 极点：传递函数中分母多项式为零的值，称为 传递函数的极点，通常用Pj表示，在复平面坐 标中用“X”表示。
零、极点可以是实数、复数（若为复数则 共轭成对出现），在复平面上总能找到 相对应的一点，故系统的传递函数与复 平面有相应的对应关系。因此在传递函 数分子多项式和分母多项式互质时，传 递函数的零、极点分布图也表征了系统 的动态性能。
(2-2)
传递函数是在零初始条件下定义的。零 初始条件有两方面含义：一是指输入是 在 t = 0 以后才作用于系统，因此，系统 输入量及其各阶导数在 t ≤ 0 时均为零； 二是指输入作用于系统之前，系统是 “相对静止”的，即系统输出量及各阶 t≤0 导数在 时的值也为零。
自动控制原理---第二章可编辑全文
解：
sa
x(0) lim sX (s) lim
s
1
s
s s a
s
x() lim sX (s) lim 0
s0
s0 s a
二.复习拉氏反变换
1.定义 由象函数X(s)求原函数x(t)
x(t ) L1 X (s) 1 j X (s)e st dt
2j j
2.求拉氏反变换的方法
（3）方程式两端的各项的量纲应一致。利用这点，可以检查微 分方程式的正确与否。
相似系统的定义：任何系统，只要它们的微分方程具有相同的形
式。在方程中，占据相同位置的量，相似量。
上面两个例题介m绍dd2t的2y 系f统ddy，t 就ky是相F (似t)系统。模拟技术：当分析一个
例2-1
机械系统或不易进行试
在电枢控制的直流电动机中，由输入的电枢电压ua在电枢回路产生 电枢电流ia ，再由电枢电流ia与激磁磁通相互作用产生电磁转矩MD ， 从而使电枢旋转，拖动负载运动。
Ra和La分别是电枢绕组总电阻和总电感。在完成能量转换的过 程中，其绕组在磁场中切割磁力线会产生感应反电势Ea，其大小与
激磁磁通及转速成正比，方向与外加电枢电压ua相反。 下面推导其微分方程式。
方程数与变量数相等！ 5) 联立上述方程，消去中间变量，得到只包含输入 输出的方程式。 6) 将方程式化成标准形。
与输出有关的放在左边，与输入有关的放在右边，导数项按 降阶排列，系数化为有物理意义的形式。
2.2.2 机械平移系统举例
三个基本的无源元件：质量m,弹簧k,阻尼器f 对应三种阻碍运动的力:惯性力ma;弹性力ky;阻尼力fv
第二章 控制系统的数学模型
主要内容: 1.数学模型的概念,建模的原则
自动控制原理(第二章)
自动控制原理
Basis of Control Engineering ——Basic Concept of AutomatHale Waihona Puke c Control ——Basic
Ch 2 控制系统的数学模型
2-1 概述 2-2 控制系统的时域数学模型
△ 2-3 △☆ 2-4
控制系统的复数域数学模型 控制系统的结构图和信号流图
静态数学模型：静态条件下， 静态数学模型：静态条件下，描述各变量间关系的 代数方程； 代数方程； 动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系的微分 动态数学模型： 方程。 方程。
南理工泰州科技学院
Basis of Control Engineering ——Basic Concept of Automatic Control ——Basic
R1 ui C1 u1
方法一： 方法一： 1）列写微分方程； 列写微分方程； 在零初始条件下，求取拉氏变换。 2）在零初始条件下，求取拉氏变换。 方法二： 方法二：利用复阻抗概念
U1 ( s ) 1 G ( s) = = U i ( s ) R1C1s + 1
南理工泰州科技学院
Basis of Control Engineering ——Basic Concept of Automatic Control ——Basic
L[ ∫
t
0
1 f ( t ) dt ] = F ( s ) s
（4）位移定理。 ）位移定理。
L[ f (t −τ0 )1(t −τ0 )] = e−τ0s F(s)
（5）初值和终值定理。 ）初值和终值定理。
f (0) = lim sF ( s )
s →∞
lim f (t ) = lim sF ( s)
Basis of Control Engineering ——Basic Concept of AutomatHale Waihona Puke c Control ——Basic
Ch 2 控制系统的数学模型
2-1 概述 2-2 控制系统的时域数学模型
△ 2-3 △☆ 2-4
控制系统的复数域数学模型 控制系统的结构图和信号流图
静态数学模型：静态条件下， 静态数学模型：静态条件下，描述各变量间关系的 代数方程； 代数方程； 动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系的微分 动态数学模型： 方程。 方程。
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R1 ui C1 u1
方法一： 方法一： 1）列写微分方程； 列写微分方程； 在零初始条件下，求取拉氏变换。 2）在零初始条件下，求取拉氏变换。 方法二： 方法二：利用复阻抗概念
U1 ( s ) 1 G ( s) = = U i ( s ) R1C1s + 1
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L[ ∫
t
0
1 f ( t ) dt ] = F ( s ) s
（4）位移定理。 ）位移定理。
L[ f (t −τ0 )1(t −τ0 )] = e−τ0s F(s)
（5）初值和终值定理。 ）初值和终值定理。
f (0) = lim sF ( s )
s →∞
lim f (t ) = lim sF ( s)
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第2章 控制系统的数学模型 （4） 传递函数的分母是它所对应的微分方程的特征方 程 多 项 式 ， 即 传 递 函 数 的 分 母 是 特 征 方 程 ansn+an-1sn1+…+a1s+a0=0的等号左边部分。而以后的分析表明：特征方
联立以上各式得：
Rd d 2n dn 1 dTd τ mτ d 2 + τ m +n= ud − + TL τ d 2 dt K eΦ dt dt K e KT Φ
JRd τ 式中：τm为电动机的机电时间常数， m = 2 ； K e KT Φ
Ld τd为电磁时间常数， τ d = Rd
图2-1 RC无源网络
第2章 控制系统的数学模型 例2：建立图2-2所示电路的微分方程。ur为输入量，uc2为 ： 输出量。
图2-2 两级RC无源网络
第2章 控制系统的数学模型 解：由基尔霍夫定律，列写方程
u r = u R1 + u c1
u c1 = u R2 + u c2
i1 = i2 + ic1
第2章 控制系统的数学模型 ④ 将该方程整理成标准形式。即把与输入量有关的各项 放在微分方程的右边，把与输出量有关的各项放在微分方程的 左边，方程两边各阶导数按降幂排列，并将方程的系数化为具 有一定物理意义的表示形式， 如时间常数等。
第2章 控制系统的数学模型 例 1: 建立图2-1所示电路的微分方程。ur为输入量，uc为 输出量。 . 解： 由基尔霍夫定律， 列写方程
1 1 1 U c (s) = − − 2 s ( s + 1) s +1
取拉氏反变换，得微分方程的解为
y = 1 − te − e
−t
−t
第2章 控制系统的数学模型
2.2 传递函数
2.2.1 传递函数的定义 设描述系统或元件的微分方程的一般表示形式为
dn d n −1 d a n n c(t ) + a n −1 n −1 c(t ) + L + a1 c(t ) + a0 c(t ) dt dt dt dm d m−1 d = bm m r (t ) + bm −1 m −1 r (t ) + L + b1 r (t ) + b0 r (t ) dt dt dt
输入量的拉氏变换式之比。 即
输出量的拉氏变换 C ( s ) 传递函数 G ( s ) = = 输入量的拉氏变换 R ( s )
第2章 控制系统的数学模型 传递函数的求取 2.2.2 传递函数的求取 1． 直接计算法 对于系统或元件，首先建立描述元件或系统的微分方程式， 然后在零初始条件下，对方程式进行拉氏变换，即可按传递函 数的定义求出系统的传递函数。 例 6 ：试求取图2-3所示直流电动机的转速与输入电压之间 的传递函数。 解：对求取的直流电动机的微分方程式进行拉氏变换后可 得
did u d = iRd + Ld +e dt
Td = K T Φi d
e = C eΦn
dn Td − TL = J dt
第2章 控制系统的数学模型
图2-3 直流电动机运动模型
第2章 控制系统的数学模型
GD 2 m r 式中：J = ，k = 375 为电枢电压；e为电枢电动势； k s min id 为电枢电流；Rd 为电枢电阻；Td 为电磁转矩；TL 为摩擦和负 载转矩；Φ为磁通； KT为电磁常数；Ke为电动势常数；n为转 速；J为转动惯量；GD2为飞轮矩。
图2-5 RLC串联电路
第2章 控制系统的数学模型 解 ：图2-5(a)所示电路的复域电路如图2-5(b)所示。由基 尔霍夫定律得
U o (s) =
1 Cs 1 R + Ls + Cs
U i (s)
经整理得到系统的传递函数
U o ( s) 1 G(s) = = U i ( s ) LCs 2 + RCs + 1
第2章 控制系统的数学模型 例4：求图2-1所示电路中的uc。其中ur=1(t)，uc及各阶导数 ： 在t=0时的值为零。 解：由例1知系统的微分方程为
对上式进行拉氏变换得到
du c T + uc = ur dt
TsU c ( s ) + U c ( s ) = U r ( s )
由于ur=1(t)的拉氏变换为U r ( s ) = 1 , 因此输出量的拉氏变换式 s 为
第2章 控制系统的数学模型 （3） 传递函数是一种运算函数。由G(s)=C(s)/R(s)可得 C(s)=G(s)R(s)。此式表明， 若已知一个系统的传递函数G(s)， 则对任何一个输入量r(t)，只要以R(s)乘以G(s)， 即可得到输 出量的象函数C(s)，再以拉氏反变换，就可得到输出量c(t)。 由此可见，G(s)起着从输入到输出的传递作用，故名传递函数。
U ( s) G ( s) = =R I (s) U (s) G (s) = = Ls I (s)
U (s) 1 G(s) = = I ( s ) Cs
第2章 控制系统的数学模型
图2-4 R、L、C元件的复域模型
第2章 控制系统的数学模型 例 7： 试求图2-5(a)所示电路的传递函数，uo 为输出量，ui ： 为输入量。
式中： r(t)为系统的输入量；c(t)为系统的输出量；
第2章 控制系统的数学模型 为了便于分析系统，规定控制系统的初始状态为零，即在 t=0-时系统的输出：
c( 0 − ) = c ′( 0 − ) = c ′′( 0 − ) = L = 0
这表明，在外作用加于系统的瞬时（ t=0）之前，系统是 相对静止的，被控量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为 零。 所以， 在初始条件为零时， 对微分方程的一般表示式两 边进行拉氏变换
1 1 U c ( s) = × Ts + 1 s
第2章 控制系统的数学模型 将上式展开成部分分式表达式
1 U c (s) = − s
取拉氏反变换得微分方程的解为
1 1 s+ T
uc = 1 − e
1 − t T
第2章 控制系统的数学模型
d2y dy 例5： 已知系统的微分方程为 2 + 2 + y = x ，x及各阶 ： dt dt 导数在t=0时的值为零。试求在x=1(t)时系统的输出y。
第2章 控制系统的数学模型 （2） 传递函数是复变量s（s=σ+jω）的有理分式，s是复 数，而分式中的各项系数an，an-1，…，a1，a0及bm，bm-1，…， b1，b0都是实数，它们是由组成系统的元件结构、参数决定的， 而与输入量、扰动量等外部因素无关。因此传递函数代表了 系统的固有特性，是一种用象函数来描述系统的数学模型， 称为系统的复数域模型。
将上式进行标准化处理，令T1=R1C1，T2=R2C2，T3=R1C2, 则
T1T2
d u c2 dt
2
2
+ (T1 + T2 + T3 )
du c2 dt
+ u c2 = u r
第2章 控制系统的数学模型 例 3：建立图2-3所示直流电动机的微分方程。ud 为输入量， n为输出量。 解： 直流电动机各物理量之间的基本关系如下：
。
第2章 控制系统的数学模型 由上式可见，电动机的转速与电动机自身的固有参数τm、 τd 有关，与电动机的电枢电压ud 、负载转矩TL 以及负载转矩对 时间的变化率有关。 若不考虑电动机负载的影响，则
d 2n dn 1 τ mτ d 2 + τ m +n= ud dt K eΦ dt
第2章 控制系统的数学模型 控制系统微分方程的求解 2.1.2 控制系统微分方程的求解 用拉普拉斯变换求解微分方程的步骤如下： ① 将微分方程进行拉氏变换， 得到以s为变量的变换方程； ② 解出变换方程， 即求出输出量的拉氏变换表达式； ③ 将输出量的象函数展开成部分分式表达式； ④ 对输出量的部分分式进行拉氏反变换， 即可得微分方程的解。的数学模型
2.1 控制系统的微分方程 2.2 传递函数 2.3 控制系统的动态结构图 2.4 典型环节的数学模型及阶跃响应 2.5 自动控制系统的传递函数 习题2 习题
第2章 控制系统的数学模型
2.1 控制系统的微分方程
2.1.1 控制系统微分方程的建立 ① 分析系统和元件的工作原理，找出各物理量之间所遵循 的物理规律，确定系统的输入量和输出量。 ② 一般从系统的输入端开始，根据各元件或环节所遵循的 物理规律，依次列写它们的微分方程。 ③ 将各元件或环节的微分方程联立起来，消去中间变量， 求取一个仅含有系统的输入量和输出量的微分方程，它就是系 统的微分方程。
u r = u R + uc
u R = Ri
du c i=C dt
联立以上各式， 消去中间变量得
du c RC + uc = ur dt
第2章 控制系统的数学模型 将上式进行标准化处理，令T=RC， 则
du c T + uc = ur dt
式中： T称为该电路的时间常数。
第2章 控制系统的数学模型
a n s n C ( s) + a n −1 s n −1C ( s) + L + a1 sC ( s ) + a 0 C ( s) = bm s m R( s ) + bm −1 s m −1 R( s ) + L + b1 sR( s) + b0 R( s )
第2章 控制系统的数学模型 即
(a n s n + a n −1 s n −1 + L + a1 s + a0 )C ( s ) = (bm s m + bm −1 s m−1 + L + b1 s + b0 ) R( s )